Väljamõeldud jooned. Mis on võrrandi kanooniline vorm? Ellips ja selle kanooniline võrrand

Nüüd näitame, et teist järku kõverate afiinse klassifikatsiooni annavad kõverate endi nimed, st et teist järku kõverate afiinsed klassid on klassid:

tõelised ellipsid;

kujuteldavad ellipsid;

hüperbool;

reaalsete ristuvate sirgete paarid;

ristuvad kujuteldavad (konjugeeritud) paarid;

paralleelsete reaaljoonte paarid;

paralleelsete kujuteldavate konjugaatjoonte paarid;

kokkulangevate reaaljoonte paarid.

Peame tõestama kahte väidet:

V. Kõik samanimelised kõverad (st kõik ellipsid, kõik hüperboolid jne) on üksteisega afiinselt samaväärsed.

B. Kaks erineva nimega kõverat ei ole kunagi afiinsed samaväärsed.

Tõestame väidet A. XV peatüki lõikes 3 on juba tõestatud, et kõik ellipsid on afiinselt samaväärsed ühega neist, nimelt ringid ja kõik hüperboolid on hüperboolid. üksteist. Kõik kujuteldavad ellipsid, mis on afiinselt samaväärsed raadiusega - - 1 ringiga, on ka üksteisega afiinselt ekvivalentsed.

Tõestame kõigi paraboolide afiinset samaväärsust. Tõestame veelgi enam, nimelt et kõik paraboolid on üksteisega sarnased. Piisab, kui tõestada, et parabool, mis on antud mingis koordinaatsüsteemis selle kanoonilise võrrandiga

nagu parabool

Selleks allutame tasapinnale sarnasuse teisenduse koefitsiendiga - :

Siis nii, et meie teisenduse all on kõver

läheb kõveraks

st parabooliks

Q.E.D.

Liigume edasi lagunevate kõverate juurde. § valemites (9) ja (11) lk 401 ja 402 tõestati, et mõnes (isegi ristkülikukujulises) koordinaatsüsteemis ristumisjoonte paariks jaguneval kõveral on võrrand

Täiendava koordinaatide teisenduse tegemine

näeme, et igal kõveral, mis laguneb ristuvate reaalsete ja vastavalt kujuteldavate sirgjoonte paariks, on mõnes afiinses koordinaatsüsteemis võrrand

Mis puudutab paralleelsete joonte paariks jagunevaid kõveraid, siis igaüks neist saab (isegi mõnes ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis) anda võrrandiga

vastavalt päriselt

kujuteldava, otsese jaoks. Koordinaatide teisendus võimaldab panna need võrrandid (või kattuvate joonte jaoks), mis tähendab kõigi sama nimega lagunevate teist järku kõverate afiinset samaväärsust.

Pöördume väite B tõestuse poole.

Kõigepealt märgime, et tasandi afiinse teisenduse korral jääb algebralise kõvera järjekord muutumatuks. Lisaks: iga teist järku lagunev kõver on sirgjoonte paar ja afiinse teisenduse korral muutub sirge sirgeks, ristuvate joonte paarist saab ristuvate joonte paar ja paralleelsete joonte paarist paralleelsete paar; lisaks muutuvad tõelised jooned reaalseteks ja kujuteldavad jooned kujuteldavateks. See tuleneb asjaolust, et kõik koefitsiendid valemites (3) (XI peatükk, § 3), mis defineerivad afiinset teisendust, on reaalarvud.

Öeldust järeldub, et joon, mis on afiinselt samaväärne antud laguneva teist järku kõveraga, on samanimeline lagunev kõver.

Liigume mittelagunevate kõverate juurde. Jällegi, afiinse teisenduse korral ei saa tegelik kõver muutuda kujuteldavaks ja vastupidi. Seetõttu on imaginaarsete ellipside klass afiinne invariantne.

Vaatleme reaalsete mittelagunevate kõverate klasse: ellipsid, hüperboolid, paraboolid.

Kõikide teist järku kõverate hulgas on iga ellips ja ainult ellips mingis ristkülikus, samas kui paraboolid ja hüperboolid (nagu ka kõik lagunevad kõverad) ulatuvad lõpmatuseni.

Afiinse teisenduse korral läheb antud ellipsi sisaldav ristkülik ABCD teisendatud kõverat sisaldavaks rööpkülikuks, mis seetõttu ei saa minna lõpmatuseni ja on seetõttu ellips.

Seega on ellipsiga afiinselt samaväärne kõver tingimata ellips. Tõestatust järeldub, et kõver, mis on afiinselt võrdne hüperbooli või parabooliga, ei saa olla ellips (ja nagu me teame, ei saa see olla ka lagunev kõver. Seetõttu jääb üle vaid tõestada, et afiinsus tasandi teisenduses ei saa hüperbool muutuda parabooliks ja vastupidi, see tuleneb ilmselt kõige lihtsamalt sellest, et paraboolil puudub sümmeetriakese, samas kui hüperboolil on. Aga kuna sümmeetriakeskme puudumine parabooli tõestatakse alles järgmises peatükis, nüüd anname teise, samuti väga lihtsa tõestuse hüperbooli ja parabooli afiinse mitteekvivalentsuse.

Lemma. Kui paraboolil on ühised punktid antud sirge d tasapinnal määratletud kahe pooltasandiga, siis on sellel sirgega vähemalt üks ühine punkt.

Tõepoolest, oleme näinud, et on olemas koordinaatsüsteem, milles antud paraboolil on võrrand

Olgu selle koordinaatsüsteemi suhtes sirgel d võrrand

Eeldusel on paraboolil kaks punkti, millest üks asub võrrandi (1) suhtes, oletame, positiivses ja teine ​​negatiivses pooltasandis. Seetõttu, pidades meeles, et me oskame kirjutada

Teise järjekorra read

tasapinnalised sirged, mille ristkülikukujulised ristkülikukoordinaadid vastavad 2. astme algebralisele võrrandile

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 a 2 + 2a 13 x + 2a 23 a + a 11 = 0. (*)

Võrrand (*) ei pruugi määrata tegelikku geomeetrilist kujutist, kuid üldistuse huvides öeldakse sellistel juhtudel, et see määrab kujuteldava lineaarse v. n. Sõltuvalt üldvõrrandi (*) koefitsientide väärtustest saab selle teisendada koordinaatide süsteemi alguspunkti paralleelse translatsiooni ja pöördega mõne nurga võrra ühele allolevast 9 kanoonilisest vormist, millest igaüks vastab teatud liinide klassile. Täpselt,

purunematud jooned:

y 2 = 2 pikslit – paraboolid,

katkestusjooned:

x 2 - a 2 \u003d 0 - paralleelsete joonte paarid,

x 2 + a 2 \u003d 0 - mõtteliste paralleelsete joonte paarid,

x 2 = 0 - kokkulangevate paralleelsete joonte paarid.

Uurimine pilgu L. sisse. saab läbi viia ilma üldvõrrandit kanoonilisele kujule taandamata. See saavutatakse väärtuste ühisel arvestamisel nn. L.v. põhiinvariandid. n. - võrrandi (*) kordajatest koosnevad avaldised, mille väärtused ei muutu koordinaatsüsteemi paralleelse tõlke ja pööramise korral:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Nii näiteks iseloomustab ellipse kui mittelagunevaid jooni asjaolu, et nende puhul Δ ≠ 0; invariantse δ positiivne väärtus eristab ellipse teist tüüpi mittelagunevatest joontest (hüperboolide δ korral

Kolm peamist invarianti Δ, δ ja S määravad LV. (v.a paralleelsete sirgete puhul) kuni eukleidilise tasandi liikumiseni (vt Liikumine): kui kahe sirge vastavad invariandid Δ, δ ja S on võrdsed, siis saab selliseid sirgeid kombineerida liikumisega. Teisisõnu, need jooned on samaväärsed tasandi liikumisrühma suhtes (meetriliselt ekvivalentsed).

Seal on L. klassifikatsioonid. teiste transformatsioonirühmade vaatenurgast. Seega on liikumisrühmast – afiinsete teisenduste rühmast (vt Afiinsed teisendused) – suhteliselt üldisemad kaks sama kanoonilise kujuga võrranditega määratletud sirget ekvivalentsed. Näiteks kaks sarnast L. sisse. n (vt sarnasust) peetakse samaväärseteks. Ühendused lineaarse c.v erinevate afiinsete klasside vahel. võimaldab luua projektiivse geomeetria seisukohalt klassifikatsiooni (vt projektiivne geomeetria), milles lõpmatuses olevad elemendid erilist rolli ei mängi. Tõeline mittelagunev L. sisse. jne: ellipsid, hüperboolid ja paraboolid moodustavad ühe projektiivse klassi - tõeliste ovaalsete joonte (ovaalide) klassi. Tõeline ovaaljoon on ellips, hüperbool või parabool, olenevalt sellest, kuidas see paikneb lõpmatuse joone suhtes: ellips lõikub vale joonega kahes kujutletavas punktis, hüperbool kahes erinevas reaalpunktis, parabool puudutab vale joont. ; on projektiivseid teisendusi, mis viivad need read üksteiseks. L.v-l on ainult 5 projektiivset ekvivalentsusklassi. n. Täpselt

mitte-mandunud jooned

(x 1, x 2, x 3- homogeensed koordinaadid):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - tõeline ovaal,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - kujuteldav ovaal,

degenereerunud jooned:

x 1 2 - x 2 2= 0 - reaaljoonte paar,

x 1 2 + x 2 2= 0 - mõtteliste joonte paar,

x 1 2= 0 – kokkulangevate reaaljoonte paar.

A. B. Ivanov.

Suur Nõukogude entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. 1969-1978 .

Vaadake, mis on "teise järgu read" teistes sõnaraamatutes:

Tasapinnad, mille ristkülikukujulised punktikoordinaadid vastavad 2. astme algebralisele võrrandile. Teist järku ridade hulgas on ellipsid (eriti ringid), hüperboolid, paraboolid ... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

Tasapinnad, mille ristkülikukujulised punktikoordinaadid vastavad 2. astme algebralisele võrrandile. Teist järku ridade hulgas on ellipsid (eriti ringid), hüperboolid, paraboolid. * * * TEISE JÄRKU RIID TEISE JÄRKU RIID,… … entsüklopeediline sõnaraamat

Lamedad jooned, ristkülikukujulised punktide k px koordinaadid rahuldavad algebraid. urnium II järgu. L. hulgas in. n. ellipsid (eriti ringid), hüperboolid, paraboolid… Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

Lame joon, Descartes'i ristkülikukujulised koordinaadid sülemi rahuldamiseks algebraliselt. 2. astme võrrand Võrrand (*) ei pruugi määrata tegelikku geomeetrilist. pilt, kuid üldistuse säilitamiseks sellistel juhtudel öeldakse, et see määrab ... ... Matemaatiline entsüklopeedia

3-mõõtmelise reaal- (või kompleksse) ruumi punktide hulk, mille koordinaadid Descartes'i süsteemis rahuldavad algebralist. 2. astme võrrand (*) Võrrand (*) ei pruugi määrata tegelikku geomeetrilist. pilte, sellistes ...... Matemaatiline entsüklopeedia

Sellel kõverate joonte geomeetrias väga sageli kasutatav sõnal on mitte päris kindel tähendus. Kui seda sõna rakendada suletud ja mittehargnevatele kõveratele joontele, tähendab kõvera haru iga pidevat indiviidi ... ... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron

Teist järku jooned, kaks läbimõõtu, millest igaüks poolitab selle kõvera kõõlud, paralleelselt teisega. SD-d mängivad teist järku joonte üldteoorias olulist rolli. Ellipsi paralleelprojektsiooniga tema S. d. d. ... ...

Jooned, mis saadakse parempoolse ringikujulise koonuse lõikamisel tasapindadega, mis ei läbi selle tippu. K. s. võib olla kolme tüüpi: 1) lõiketasand lõikub kõigi koonuse generaatoritega oma ühe õõnsuse punktides; rida…… Suur Nõukogude entsüklopeedia

Jooned, mis saadakse parempoolse ringkoonuse lõikamisel tasapindadega, mis ei läbi selle tippu. K. s. võib olla kolme tüüpi: 1) lõiketasand lõikub kõigi koonuse generaatoritega selle ühe õõnsuse punktides (joonis, a): lõikejoon ... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Geomeetria sektsioon. Algebralise geomeetria põhimõisted on kõige lihtsamad geomeetrilised kujutised (punktid, jooned, tasapinnad, kõverad ja teist järku pinnad). Peamised uurimismeetodid Ameerika Ühendriikides on koordinaatide meetod (vt allpool) ja meetodid ... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

Raamatud

• Analüütilise geomeetria lühikursus, Efimov Nikolai Vladimirovitš. Analüütilise geomeetria õppeaineks on kujundid, mis Descartes'i koordinaatides on antud esimese või teise astme võrranditega. Tasapinnal on need sirged ja teist järku jooned. ...

See on võrrandi üldtunnustatud standardvorm, kui mõne sekundiga saab selgeks, millise geomeetrilise objekti see määratleb. Lisaks on kanooniline vorm väga mugav paljude praktiliste ülesannete lahendamiseks. Nii näiteks kanoonilise võrrandi järgi "tasane" sirge, esiteks on kohe selge, et tegemist on sirgjoonega ja teiseks on lihtsalt nähtav selle juurde kuuluv punkt ja suunavektor.

Ilmselgelt mis tahes 1. järjekorra rida tähistab sirgjoont. Teisel korrusel ei oota meid enam korrapidaja, vaid hoopis mitmekesisem üheksast kujust koosnev seltskond:

Teist järku ridade klassifikatsioon

Spetsiaalse toimingute komplekti abil taandatakse mis tahes teist järku reavõrrand ühte järgmistest tüüpidest:

(ja on positiivsed reaalarvud)

1) on ellipsi kanooniline võrrand;

2) on hüperbooli kanooniline võrrand;

3) on parabooli kanooniline võrrand;

4) – kujuteldav ellips;

5) - ristuvate joonte paar;

6) - paar kujuteldav ristuvad sirged (ainukese reaalse lõikepunktiga alguspunktis);

7) - paralleelsete joonte paar;

8) - paar kujuteldav paralleelsed jooned;

9) on kattuvate joonte paar.

Mõnele lugejale võib jääda mulje, et nimekiri on puudulik. Näiteks lõigu number 7 võrrand määrab paari otsene, paralleelselt teljega ja tekib küsimus: kus on võrrand, mis määrab y-teljega paralleelsed sirged? Vasta sellele ei peeta kaanoniks. Sirged jooned tähistavad sama 90 kraadi võrra pööratud standardkorpust ja klassifikatsiooni lisakirje on üleliigne, kuna see ei sisalda midagi põhimõtteliselt uut.

Seega on 2. järku ridu üheksa ja ainult üheksa erinevat tüüpi, kuid praktikas on kõige levinumad ellips, hüperbool ja parabool.

Vaatame kõigepealt ellipsi. Nagu tavaliselt, keskendun punktidele, millel on probleemide lahendamisel suur tähtsus, ja kui vajate üksikasjalikku valemite tuletamist, teoreemide tõestust, vaadake näiteks Bazylevi / Atanasjani või Aleksandrovi õpikut.

Ellips ja selle kanooniline võrrand

Õigekiri ... palun ärge korrake mõnede Yandexi kasutajate vigu, kes on huvitatud "ellipsi ehitamisest", "ellipsi ja ovaali erinevusest" ja "elebsi ekstsentrilisusest".

Ellipsi kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on positiivsed reaalarvud ja . Ellipsi definitsiooni sõnastan hiljem, kuid praegu on aeg rääkimisest paus teha ja lahendada levinud probleem:

Kuidas ehitada ellipsi?

Jah, võtke see ja lihtsalt joonistage see. Ülesanne on tavaline ja märkimisväärne osa õpilastest ei tule joonistusega päris asjatundlikult toime:

Näide 1

Koostage võrrandiga antud ellips

Otsus: kõigepealt toome võrrandi kanoonilisele kujule:

Miks tuua? Üks kanoonilise võrrandi eeliseid on see, et see võimaldab teil koheselt määrata ellipsi tipud, mis on punktides . On lihtne näha, et kõigi nende punktide koordinaadid vastavad võrrandile .

Sel juhul :


Joonelõik helistas suurtelg ellips;
joonelõik – väiketelg;
number helistas poolsuurtelg ellips;
number – pool-minoortelg.
meie näites: .

Et kiiresti ette kujutada, kuidas see või teine ​​ellips välja näeb, vaadake lihtsalt selle kanoonilise võrrandi "a" ja "be" väärtusi.

Kõik on korras, korralik ja ilus, kuid on üks hoiatus: tegin joonise programmi abil. Ja saate joonistada mis tahes rakendusega. Karmis tegelikkuses lebab aga laual ruuduline paber ja meie käte ümber tantsivad hiired. Kunstiandidega inimesed võivad muidugi vaielda, aga teil on ka hiiri (kuigi väiksemaid). Pole asjata, et inimkond leiutas joonlaua, sirkli, kraadiklaasi ja muid lihtsaid joonistusseadmeid.

Sel põhjusel ei suuda me tõenäoliselt ellipsi täpselt joonistada, teades ainult tippe. Ikka hästi, kui ellips on väike, näiteks pooltelgedega. Teise võimalusena saate vähendada joonise mõõtkava ja vastavalt sellele ka mõõtmeid. Kuid üldiselt on väga soovitav leida lisapunkte.

Ellipsi konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi – geomeetriline ja algebraline. Mulle ei meeldi kompassi ja joonlauaga ehitamine lühikese algoritmi ja joonise olulise segaduse tõttu. Hädaolukorras palume tutvuda õpikuga, kuid tegelikult on palju ratsionaalsem kasutada algebra vahendeid. Mustandil olevast ellipsivõrrandist väljendame kiiresti:

Seejärel jagatakse võrrand kaheks funktsiooniks:
– määrab ellipsi ülemise kaare;
– määrab ellipsi alumise kaare.

Iga ellips on sümmeetriline nii koordinaatide telgede kui ka lähtepunkti suhtes. Ja see on suurepärane – sümmeetria on peaaegu alati tasuta kingituse esilekutsuja. Ilmselgelt piisab 1. koordinaatide kvartaliga tegelemisest, seega vajame funktsiooni . See soovitab leida lisapunkte abstsissidega . Saime kalkulaatorisse kolm SMS-i:

Meeldiv on muidugi ka see, et kui arvutustes tehakse ränk viga, siis see selgub kohe ehituse käigus.

Märkige joonisele punktid (punane värv), teistele kaaredele sümmeetrilised punktid (sinine värv) ja ühendage kogu ettevõte hoolikalt joonega:


Parem on joonistada esialgne visand õhukeselt ja õhukeselt ning alles seejärel vajutada pliiatsile. Tulemuseks peaks olema üsna korralik ellips. Muide, kas soovite teada, mis see kõver on?

Selle illustreerimiseks konkreetse näitega näitan teile, mis selles tõlgenduses vastab järgmisele väitele: (reaalne või kujuteldav) punkt P asub (reaalsel või mõttelisel) sirgel g. Sel juhul on loomulikult vaja eristada järgmisi juhtumeid:

1) reaalpunkt ja reaaljoon,

2) reaalpunkt ja mõtteline joon,

Juhtum 1) ei nõua meilt eriseletust; siin on üks tavalise geomeetria põhiseostest.

2. juhul peab sellega konjugaat koos antud mõttelise sirgega tingimata läbima antud reaalpunkti; järelikult peab see punkt ühtima selle kiirtekimbu tipuga, mida me kasutame kujuteldava joone kujutamiseks.

Samamoodi peab juhul 3) tegelik sirge olema identne selle punktide sirgjoonelise involutsiooni toega, mis on antud kujuteldava punkti esindaja.

Kõige huvitavam juhtum on 4) (joonis 96): siin peab ilmselgelt komplekskonjugaadi punkt asuma ka komplekskonjugaadi sirgel ja sellest järeldub, et punkti P esindavate punktide involutsiooni punktide paar peab asuma mõnel sirgjoont g kujutava pöörde joonte paaril, st et mõlemad pöörded peavad paiknema perspektiivis üksteise suhtes; pealegi selgub, et mõlema involutsiooni nooled on samuti paigutatud perspektiivi.

Üldiselt saame tasapinna analüütilises geomeetrias, mis pöörab tähelepanu ka kompleksvaldkonnale, sellest tasapinnast täieliku reaalse pildi, kui lisame uute elementidena kõigi selle reaalpunktide ja -joonte hulka involutsionaali hulk. ülaltoodud joonised koos nende suunanooltega. Siin piisab, kui kirjeldan üldiselt, millises vormis kujuneks sellise reaalse keeruka geomeetria pildi konstrueerimine. Seejuures järgin ma järjekorda, milles nüüd tavaliselt esitatakse elementaargeomeetria esimesed propositsioonid.

1) Need algavad eksistentsi aksioomidest, mille eesmärk on anda täpne sõnastus äsja mainitud elementide olemasolust tavalise geomeetriaga võrreldes laiendatud alal.

2) Seejärel ühendusaksioomid, mis väidavad, et ka punktis 1) määratletud laiendatud alal! üks ja ainult üks sirge läbib (igat) kahte punkti ning sellel (ükskõik millisel) kahel sirgel on üks ja ainult üks ühine punkt.

Samal ajal, nagu eespool oli, tuleb iga kord eristada nelja juhtumit sõltuvalt sellest, kas antud elemendid on reaalsed, ja tundub väga huvitav mõelda, millised reaalsed punktide ja joonte involutseerimisega konstruktsioonid kujutavad endast kujutist. nendest keerulistest suhetest.

3) Mis puutub paigutuse (järjekorra) aksioomidesse, siis siin tulevad tegelike suhetega võrreldes mängu täiesti uued asjaolud; eelkõige kõik ühel püsijoonel asuvad reaal- ja komplekspunktid, samuti kõik ühte fikseeritud punkti läbivad kiired moodustavad kahemõõtmelise kontiinumi. Lõppude lõpuks õppis igaüks meist funktsiooniteooriat uurides harjumuse esindada kompleksse muutuja väärtuste kogumit tasandi kõigis punktides.

4) Lõpetuseks, seoses järjepidevuse aksioomidega, näitan siin ainult seda, kuidas on kujutatud keerulisi punkte, mis asuvad mõnele reaalsele punktile nii lähedal, kui soovite. Selleks peate läbi võetud reaalpunkti P (või läbi mõne muu sellele lähedase reaalpunkti) tõmbama sirge ja arvestama sellel kahte üksteisest eraldavat punktipaari (st asetsevad "ristikult"). ") punktide paarid (joonis . 97), nii et kaks erinevatest paaridest võetud punkti asuvad üksteise ja punkti P lähedal; kui nüüd punktid lõputult kokku viia, siis nimetatud punktipaaridega defineeritud involutsioon degenereerub, s.t selle mõlemad senised keerulised topeltpunktid langevad punktiga kokku.Kumbki kahest selle involutsiooniga kujutatud mõttelisest punktist (koos ühe või teine ​​nool) möödub, seega pidev kuni mõne punktini P lähedal või isegi otse P-le. Muidugi, et neid järjepidevuse mõisteid hästi kasutada, tuleb nendega üksikasjalikult töötada.

Kuigi kogu see konstruktsioon on tavalise reaalgeomeetriaga võrreldes üsna tülikas ja tüütu, võib see anda võrreldamatult rohkem. Eelkõige on see võimeline tõstma algebralisi kujutisi, mida mõistetakse nende reaalsete ja keeruliste elementide kogumina, täieliku geomeetrilise selguse tasemele ja selle abil saab kujunditel endil selgelt mõista selliseid teoreeme nagu põhiteoreem. algebra või Bezouti teoreem, et kahel kõvera järgul on üldiselt täpselt ühised punktid. Selleks oleks muidugi vaja mõista põhisätteid senisest palju täpsemal ja näitlikumal kujul; kirjanduses on aga juba olemas kogu sellisteks uurimusteks vajalik materjal.

Kuid enamikul juhtudel tooks selle geomeetrilise tõlgenduse rakendamine, hoolimata selle kõigist teoreetilistest eelistest, selliseid komplikatsioone, et tuleb rahulduda selle põhimõttelise võimalusega ja naasta tegelikult naiivsema vaatenurga juurde, mis on järgmine: a komplekspunkt on kolme kompleksse koordinaadi kogum ja sellega saab opereerida täpselt samamoodi nagu pärispunktidega. Tõepoolest, selline imaginaarsete elementide sissetoomine, hoidudes igasugusest põhimõttelisest arutlusest, on alati osutunud viljakaks neil juhtudel, kui peame tegelema kujuteldavate tsükliliste punktidega või sfääride ringiga. Nagu juba mainitud, hakkas Poncelet esimest korda selles tähenduses kujutluselemente kasutama; tema järgijad olid selles osas teised prantsuse geomeetrid, peamiselt Chall ja Darboux; Saksamaal rakendasid seda kujuteldavate elementide arusaama suure eduga ka mitmed geomeetrid, eriti Lie.

Selle kõrvalepõikega kujuteldavasse valdkonda lõpetan kogu oma kursuse teise osa ja pöördun uue peatüki juurde,

8.3.15. Punkt A asub sirgel. Kaugus punktist A tasapinnani

8.3.16. Kirjutage võrrand sirge suhtes sümmeetrilise sirge jaoks

lennuki suhtes .

8.3.17. Koostage projektsioonide võrrandid tasapinnal järgmised read:

a) ;

b)

sisse) .

8.3.18. Leidke tasapinna ja sirge vaheline nurk:

a) ;

b) .

8.3.19. Leidke punktiga sümmeetriline punkt jooni läbiva tasapinna suhtes:

ja

8.3.20. Punkt A asub sirgel

Kaugus punktist A sirgjooneni võrdub . Leidke punkti A koordinaadid.

§ 8.4. TEIST JÄRKU KÕVERAD

Koostame tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja vaatleme teise astme üldvõrrandit

kus .

Nimetatakse kõigi tasandi punktide hulk, mille koordinaadid vastavad võrrandile (8.4.1). kõverad (rida) teine ​​järjekord.

Iga teist järku kõvera jaoks on olemas ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, mida nimetatakse kanooniliseks ja milles selle kõvera võrrandil on üks järgmistest vormidest:

1) (ellips);

2) (kujuteldav ellips);

3) (mõeldud ristuvate joonte paar);

4) (hüperbool);

5) (ristuvate joonte paar);

6) (parabool);

7) (paralleelsete joonte paar);

8) (paar mõttelist paralleelset sirget);

9) (paar kokkulangevat joont).

Nimetatakse võrrandeid 1) - 9). teist järku kõverate kanoonilised võrrandid.

Teist järku kõvera võrrandi kanooniliseks vormiks taandamise ülesande lahendus sisaldab kõvera kanoonilise võrrandi ja kanoonilise koordinaatsüsteemi leidmist. Kanoonilisele vormile redutseerimine võimaldab arvutada kõvera parameetrid ja määrata selle asukoha algse koordinaatsüsteemi suhtes. Üleminek algsest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist kanooniliseks viiakse läbi algse koordinaatsüsteemi telgede pööramisega ümber punkti O mingi nurga j võrra ja sellele järgneva koordinaatsüsteemi paralleelse ülekandmisega.

Teist järku kõverate invariandid(8.4.1) nimetatakse selliseid selle võrrandi koefitsientide funktsioone, mille väärtused ei muutu liikudes ühest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist teise sama süsteemi.

Teist järku kõvera (8.4.1) korral koefitsientide summa ruudus koordinaatidel

,

juhtliikmete koefitsientidest koosnev determinant

ja kolmandat järku determinant

on invariandid.

Invariantide s, d, D väärtusi saab kasutada tüübi määramiseks ja teist järku kõvera kanoonilise võrrandi koostamiseks.

Tabel 8.1.

Teist järku kõverate klassifikatsioon invariantide alusel

Vaatame lähemalt ellipsi, hüperbooli ja parabooli.

Ellips(joonis 8.1) on punktide asukoht tasapinnal, mille puhul on kahe fikseeritud punkti kauguste summa see lennuk, nn ellipsi trikid, on konstantne väärtus (suurem kui fookuste vaheline kaugus). See ei välista ellipsi fookuste kokkulangevust. Kui fookused on samad, siis on ellips ring.

Ellipsi punkti ja fookuste kauguste poolsummat tähistatakse tähega a, pool fookuste vahekaugustest - c. Kui tasapinnal on valitud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem nii, et ellipsi fookused paiknevad Ox-teljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, siis selles koordinaatsüsteemis on ellips antud võrrandiga

, (8.4.2)

helistas ellipsi kanooniline võrrand, kus .

Riis. 8.1

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi määratud valiku korral on ellips sümmeetriline koordinaatide telgede ja lähtepunkti suhtes. Ellipsi sümmeetriateljed nimetavad seda teljed, ja sümmeetriakese on ellipsi keskpunkt. Samal ajal nimetatakse numbreid 2a ja 2b sageli ellipsi telgedeks ning numbreid a ja b nn. suur ja pool-minoortelg vastavalt.

Ellipsi ja tema telgede lõikepunkte nimetatakse ellipsi tipud. Ellipsi tippudel on koordinaadid (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Ellipsi ekstsentrilisus helistas numbrile

Alates 0£c

.

See näitab, et ekstsentrilisus iseloomustab ellipsi kuju: mida lähemal e on nullile, seda rohkem näeb ellips välja nagu ring; e suurenedes muutub ellips piklikumaks.