Kordajate tuletis. Funktsioonide summa ja erinevuse tuletis. Summa tuletis võrdub tuletiste summaga

Kui järgime definitsiooni, siis funktsiooni tuletis punktis on funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir y argumendi Δ juurdekasvuni x:

Kõik näib olevat selge. Kuid proovige arvutada selle valemiga, ütleme, funktsiooni tuletis f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x patt x. Kui teete kõike definitsiooni järgi, siis pärast paari lehekülge arvutusi jääte lihtsalt magama. Seetõttu on lihtsamaid ja tõhusamaid viise.

Alustuseks märgime, et nn elementaarfunktsioone saab eristada kõigist funktsioonidest. Need on suhteliselt lihtsad avaldised, mille tuletised on juba ammu arvutatud ja tabelisse kantud. Selliseid funktsioone on koos nende tuletistega piisavalt lihtne meeles pidada.

Elementaarfunktsioonide tuletised

Elementaarsed funktsioonid on kõik allpool loetletud. Nende funktsioonide tuletised peavad olema peast teada. Pealegi pole neid raske pähe õppida – seepärast on need elementaarsed.

Niisiis, elementaarfunktsioonide tuletised:

Kui elementaarfunktsiooni korrutada suvalise konstandiga, on ka uue funktsiooni tuletis kergesti arvutatav:

(C · f)’ = C · f ’.

Üldjuhul saab konstandid tuletise märgist välja võtta. Näiteks:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ilmselgelt saab elementaarfunktsioone omavahel liita, korrutada, jagada ja palju muud. Nii tekivad uued funktsioonid, mis pole enam väga elementaarsed, vaid ka teatud reeglite järgi eristatavad. Neid reegleid käsitletakse allpool.

Summa ja vahe tuletis

Laske funktsioonidel f(x) ja g(x), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On olemas mõiste "negatiivne element". Seetõttu erinevus f − g saab summaks ümber kirjutada f+ (-1) g, ja siis jääb järele ainult üks valem – summa tuletis.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni summa, seega:

f ’(x) = (x 2+ patt x)’ = (x 2)' + (patt x)’ = 2x+ cosx;

Me vaidleme funktsiooni kohta sarnaselt g(x). Ainult seal on juba kolm terminit (algebra seisukohalt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Toote tuletis

Matemaatika on loogikateadus, nii et paljud inimesed usuvad, et kui summa tuletis on võrdne tuletiste summaga, siis korrutise tuletis streikima"\u003e võrdne tuletisinstrumentide korrutisega. Aga teile viigimarjad! Toote tuletis arvutatakse täiesti erineva valemi abil. Nimelt:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Valem on lihtne, kuid sageli unustatakse. Ja mitte ainult koolilapsed, vaid ka üliõpilased. Tulemuseks on valesti lahendatud probleemid.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni korrutis, seega on kõik lihtne:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x patt x)

Funktsioon g(x) esimene kordaja on veidi keerulisem, kuid üldine skeem sellest ei muutu. Ilmselgelt funktsiooni esimene kordaja g(x) on polünoom ja selle tuletis on summa tuletis. Meil on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x– 7)' · e x + (x 2 + 7x– 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastus:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x patt x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Pange tähele, et viimases etapis on tuletis faktoriseeritud. Formaalselt pole see vajalik, kuid enamik tuletisi ei arvutata iseseisvalt, vaid funktsiooni uurimiseks. See tähendab, et edaspidi võrdsustatakse tuletis nulliga, selgitatakse välja selle märgid ja nii edasi. Sellisel juhul on parem, kui avaldis on jagatud teguriteks.

Kui on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ja g(x) ≠ 0 meid huvitaval hulgal, saame defineerida uue funktsiooni h(x) = f(x)/g(x). Sellise funktsiooni jaoks leiate ka tuletise:

Pole nõrk, eks? Kust tuli miinus? Miks g 2? Aga niimoodi! See on üks keerukamaid valemeid - ilma pudelita ei saa te sellest aru. Seetõttu on parem seda konkreetsete näidete abil uurida.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised:

Iga murru lugejas ja nimetajas on elementaarfunktsioonid, seega vajame ainult jagatise tuletise valemit:

Traditsiooniliselt arvestame lugeja tegurite hulka - see lihtsustab vastust oluliselt:

Keeruline funktsioon ei pruugi olla poole kilomeetri pikkune valem. Näiteks piisab funktsiooni võtmisest f(x) = patt x ja asendada muutuja x, ütleme, edasi x 2+ln x. Selgub f(x) = patt ( x 2+ln x) on keeruline funktsioon. Tal on ka tuletis, kuid selle leidmine ülalkirjeldatud reeglite järgi ei tööta.

Kuidas olla? Sellistel juhtudel aitab muutuja asendamine ja kompleksfunktsiooni tuletise valem:

f ’(x) = f ’(t) · t', kui x asendatakse t(x).

Reeglina on olukord selle valemi mõistmisega veelgi kurvem kui jagatise tuletisega. Seetõttu on parem ka seda selgitada konkreetsete näidetega, iga sammu üksikasjaliku kirjeldusega.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = patt ( x 2+ln x)

Pange tähele, et kui funktsioonis f(x) avaldise 2 asemel x+3 saab olema lihtne x, siis saame elementaarfunktsiooni f(x) = e x. Seetõttu teeme asendused: olgu 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Otsime kompleksfunktsiooni tuletist valemiga:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nüüd - tähelepanu! Pöördasenduse teostamine: t = 2x+ 3. Saame:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Vaatame nüüd funktsiooni g(x). Ilmselgelt tuleb välja vahetada. x 2+ln x = t. Meil on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (patt t)’ · t' = cos t · t ’

Vastupidine asendamine: t = x 2+ln x. Seejärel:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

See on kõik! Nagu viimasest avaldisest näha, on kogu probleem taandatud summa tuletise arvutamisele.

Vastus:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Väga sageli kasutan ma oma tundides termini "tuletis" asemel sõna "insult". Näiteks summa löök on võrdne löökide summaga. Kas see on selgem? See on hea.

Seega taandub tuletise arvutamine just nendest löökidest vabanemisele vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Viimase näitena pöördume tagasi ratsionaalse astendajaga tuletusastme juurde:

(x n)’ = n · x n − 1

Seda teavad rollis vähesed n võib olla murdarv. Näiteks juur on x 0,5 . Aga mis siis, kui juure all on midagi keerulist? Jällegi selgub keeruline funktsioon - neile meeldib selliseid konstruktsioone testides ja eksamites anda.

Ülesanne. Leia funktsiooni tuletis:

Esiteks kirjutame juur ümber ratsionaalse astendajaga astmeks:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nüüd teeme asendus: las x 2 + 8x − 7 = t. Leiame tuletise valemiga:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Teeme pöördasenduse: t = x 2 + 8x− 7. Meil ​​on:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lõpuks tagasi juurte juurde:

Kalkulaator arvutab kõigi elementaarfunktsioonide tuletised, andes üksikasjaliku lahenduse. Diferentseerimismuutuja määratakse automaatselt.

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Sellised probleemid viisid tuletise ilmumiseni, nagu näiteks punkti hetkekiiruse arvutamine ajahetkel, kui teekond on olenevalt ajast teada, funktsiooni puutuja leidmine punktis. .

Enamasti määratletakse funktsiooni tuletis funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piirina, kui see on olemas.

Definitsioon. Olgu funktsioon defineeritud mõnes punkti naabruses. Siis nimetatakse funktsiooni tuletist punktis piiriks, kui see on olemas

Kuidas arvutada funktsiooni tuletist?

Funktsioonide eristamise õppimiseks tuleb õppida ja aru saada diferentseerimisreeglid ja õppige kasutama tuletise tabel.

Eristamise reeglid

Olgu reaalmuutuja suvalised diferentseeruvad funktsioonid ja mingi reaalne konstant. Siis

on funktsioonide korrutise eristamise reegel

on jagatisfunktsioonide eristamise reegel

0 height=33 width=370 style="vertical-align: -12px;"> — muutuva astendajaga funktsiooni eristamine

- kompleksfunktsiooni diferentseerimise reegel

on võimsusfunktsiooni diferentseerimise reegel

Funktsiooni tuletis võrgus

Meie kalkulaator arvutab kiiresti ja täpselt võrgus mis tahes funktsiooni tuletise. Programm ei tee tuletise arvutamisel vigu ning aitab vältida pikki ja tüütuid arvutusi. Veebikalkulaator tuleb kasuks ka siis, kui on vaja oma lahenduse õigsust kontrollida ja kui see on vale, siis kiiresti viga leida.

Matemaatikas on täiesti võimatu lahendada füüsikalisi ülesandeid või näiteid, kui pole teadmisi tuletise ja selle arvutamise meetodite kohta. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , antud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutus – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletismääratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Aga milline:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee aja tuletis on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kooliajast saati teavad kõik, et kiirus on eratee. x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust korraga t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: võtke konstant välja

Konstandi saab tuletise märgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke reeglina - kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid vaatleme pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Otsus:

Siin on oluline öelda keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise kohta. Kompleksfunktsiooni tuletis võrdub selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi suhtes vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vaheargument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks käsitleme esmalt välisfunktsiooni tuletist vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Proovisime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui see kõlab, seega olge ettevaatlik: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi seda ja muid teemasid puudutavate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame lahendada kõige keerulisema kontrolli ja tegeleda ülesannetega, isegi kui te pole varem tuletisinstrumentide arvutamisega tegelenud.