Enne selle geomeetrilise kujundi ja selle omadustega seotud küsimuste uurimist on vaja mõista mõningaid termineid. Kui inimene kuuleb püramiidist, kujutab ta ette tohutuid ehitisi Egiptuses. Sellised näevad välja kõige lihtsamad. Aga need juhtuvad erinevad tüübid ja kujundid, mis tähendab, et geomeetriliste kujundite arvutusvalem on erinev.

Püramiid - geomeetriline kujund, mis tähistab ja esindab mitut nägu. Tegelikult on see sama hulktahukas, mille põhjas asub hulknurk ja selle külgedel on kolmnurgad, mis ühendavad ühes punktis - tipus. Joonisel on kahte peamist tüüpi:

• õige;
• kärbitud.

Esimesel juhul on aluseks tavaline hulknurk. Siin on kõik külgpinnad võrdsed enda ja figuuri enda vahel meeldivad perfektsionistile.

Teisel juhul on kaks alust - suur allosas ja väike ülaosas, mis kordab peamise kuju. Teisisõnu, kärbitud püramiid on hulktahukas, mille lõik on moodustatud paralleelselt alusega.

Tingimused ja märge

Põhitingimused:

• Korrapärane (võrdkülgne) kolmnurk Kolme identse nurga ja võrdsete külgedega kujund. Sel juhul on kõik nurgad 60 kraadi. Joonis on tavalistest hulktahukatest lihtsaim. Kui see arv asub aluses, nimetatakse sellist hulktahukat tavaliseks kolmnurkseks. Kui alus on ruut, nimetatakse püramiidi tavaliseks nelinurkseks püramiidiks.
• Tipp- kõrgeim punkt, kus servad kokku puutuvad. Tipu kõrguse moodustab sirgjoon, mis väljub tipust püramiidi põhjani.
• serv on üks hulknurga tasapindadest. See võib olla kolmnurga kujul kolmnurkse püramiidi puhul või trapetsi kujul kärbitud püramiid.
• ristlõige- lahkamise tulemusena tekkinud lame kuju. Mitte segi ajada lõiguga, kuna sektsioon näitab ka seda, mis on lõigu taga.
• Apoteem- segment, mis on tõmmatud püramiidi tipust selle põhjani. See on ka näo kõrgus, kus asub teine ​​kõrguspunkt. See määratlus kehtib ainult tavalise hulktahuka jaoks. Näiteks - kui see pole kärbitud püramiid, siis on nägu kolmnurk. Sel juhul muutub selle kolmnurga kõrgus apoteemiks.

Pindala valemid

Leidke püramiidi külgpinna pindala mis tahes tüüpi saab teha mitmel viisil. Kui joonis ei ole sümmeetriline ja on erinevate külgedega hulknurk, siis on sel juhul lihtsam arvutada kogupindala pinnad kõigi pindade kogumise kaudu. Teisisõnu peate arvutama iga näo pindala ja liitma need kokku.

Sõltuvalt teadaolevatest parameetritest võib vaja minna ruudu, trapetsi, suvalise nelinurga jne arvutamise valemeid. Valemid ise erinevatel puhkudel on samuti erinev.

Tavafiguuri puhul on ala leidmine palju lihtsam. Piisab vaid mõne põhiparameetri teadmisest. Enamikul juhtudel on selliste arvude jaoks vaja arvutusi täpselt teha. Seetõttu esitatakse allpool vastavad valemid. Vastasel juhul peaksite kõik värvima mitmele lehele, mis ajab ainult segadusse ja segadusse.

Arvutamise põhivalem külgpindala õige püramiid näeb välja selline:

S \u003d ½ Pa (P on aluse ümbermõõt ja apoteem)

Vaatleme ühte näidetest. Polühedril on alus segmentidega A1, A2, A3, A4, A5 ja need kõik on võrdsed 10 cm Olgu apoteem võrdne 5 cm Kõigepealt tuleb leida ümbermõõt. Kuna aluse kõik viis tahku on ühesugused, võib selle leida järgmiselt: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Järgmiseks rakendame põhivalemit: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm ruudus .

Õige külgpindala kolmnurkne püramiid kõige lihtsam arvutada. Valem näeb välja selline:

S =½* ab *3, kus a on apoteem, b on aluse tahk. Tegur kolm tähendab siin aluse pindade arvu ja esimene osa on külgpinna pindala. Kaaluge näidet. Antud on joonis, mille apoteem on 5 cm ja aluspind on 8 cm. Arvutame: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm ruudus.

Tüvipüramiidi külgpindala seda on natuke keerulisem arvutada. Valem näeb välja selline: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, kus p_01 ja p_02 on aluste perimeetrid ja on apoteem. Kaaluge näidet. Oletame, et nelinurkse kujundi korral on aluste külgede mõõtmed 3 ja 6 cm, apoteem on 4 cm.

Alustuseks peaksite siit leidma aluste ümbermõõdud: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Jääb üle asendada väärtused põhivalemiga ja saada: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm ruudus.

Seega on võimalik leida mis tahes keerukusega tavalise püramiidi külgpindala. Olge ettevaatlik, et mitte segadusse ajada need arvutused koos kogupindala kogu hulktahukas. Ja kui teil on seda siiski vaja teha, piisab, kui arvutada polüeedri suurima aluse pindala ja lisada see hulktahuka külgpinna pindalale.

Video

See video aitab teil koondada teavet erinevate püramiidide külgpinna leidmise kohta.

Kas te ei saanud oma küsimusele vastust? Soovitage autoritele teemat.

Püramiidi pindala. Selles artiklis käsitleme teiega tavaliste püramiididega seotud probleeme. Tuletan meelde, et tavaline püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk, püramiidi tipp projitseeritakse selle hulknurga keskmesse.

Sellise püramiidi külgkülg on võrdhaarne kolmnurk.Selle tavalise püramiidi tipust tõmmatud kolmnurga kõrgust nimetatakse apoteemiks, SF on apoteem:

Allpool kirjeldatud probleemide puhul on vaja leida kogu püramiidi pindala või selle külgpinna pindala. Blogis on juba käsitletud mitmeid tavapüramiididega seotud probleeme, kus tõstatati küsimus elementide leidmise kohta (kõrgus, aluse serv, külgserv), .

AT KASUTADA ülesandeid, reeglina peetakse silmas korrapäraseid kolmnurkseid, nelinurkseid ja kuusnurkseid püramiide. Ma pole tavaliste viis- ja seitsenurksete püramiididega probleeme näinud.

Kogu pinna pindala valem on lihtne - peate leidma püramiidi aluse pindala ja selle külgpinna pindala summa:

Kaaluge ülesandeid:

Aluse küljed on õiged nelinurkne püramiid on 72, külgservad on 164. Leidke selle püramiidi pindala.

Püramiidi pindala on võrdne külgpinna ja aluse pindalade summaga:

*Külgpind koosneb neljast võrdse pindalaga kolmnurgast. Püramiidi alus on ruut.

Püramiidi külje pindala saab arvutada, kasutades:

Seega on püramiidi pindala:

Vastus: 28224

Aluse küljed on õiged kuusnurkne püramiid on 22, külgmised servad on 61. Leidke selle püramiidi külgpinna pindala.

Korrapärase kuusnurkse püramiidi alus on korrapärane kuusnurk.

Selle püramiidi külgpind koosneb kuuest võrdsest kolmnurgast, mille küljed on 61,61 ja 22:

Leidke kolmnurga pindala Heroni valemi abil:

Seega on külgpindala:

Vastus: 3240

* Ülaltoodud ülesannete puhul võib külgpinna pindala leida erineva kolmnurga valemiga, kuid selleks peate arvutama apoteemi.

27155. Leia korrapärase nelinurkse püramiidi pindala, mille aluse küljed on 6 ja kõrgus 4.

Püramiidi pindala leidmiseks peame teadma aluse pindala ja külgpinna pindala:

Aluse pindala on 36, kuna see on ruut, mille külg on 6.

Külgpind koosneb neljast näost, mis on võrdsed kolmnurgad. Sellise kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle alust ja kõrgust (apoteem):

* Kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja selle aluse kõrguse korrutisest.

Alus on teada, see võrdub kuuega. Leiame kõrguse. Kaaluge täisnurkne kolmnurk(kollasega esile tõstetud):

Üks jalg on võrdne 4-ga, kuna see on püramiidi kõrgus, teine ​​​​jalg on võrdne 3-ga, kuna see pool alusribid. Hüpotenuusi leiame Pythagorase teoreemi abil:

Seega on püramiidi külgpinna pindala:

Seega on kogu püramiidi pindala:

Vastus: 96

27069. Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgmised servad 13. Leia selle püramiidi pindala.

27070. Korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad 13. Leia selle püramiidi külgpinna pindala.

Samuti on olemas valemid tavalise püramiidi külgpinna jaoks. Tavalises püramiidis on alus külgpinna ortogonaalne projektsioon, seega:

P- aluse ümbermõõt, l- püramiidi apoteem

*See valem põhineb kolmnurga pindala valemil.

Kui soovite nende valemite tuletamise kohta rohkem teada saada, ärge jätke seda mööda, jälgige artiklite avaldamist.See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

- See on hulktahukas kujund, mille põhjas asub hulknurk ja ülejäänud tahud on kujutatud ühise tipuga kolmnurkadega.

Kui alus on ruut, nimetatakse püramiidi nelinurkne, kui kolmnurk on kolmnurkne. Püramiidi kõrgus tõmmatakse selle tipust risti alusega. Kasutatakse ka pindala arvutamiseks apoteem on külgpinna kõrgus selle tipust alla lastud.
Püramiidi külgpinna pindala valem on selle külgpindade pindalade summa, mis on üksteisega võrdsed. Seda arvutusmeetodit kasutatakse aga väga harva. Põhimõtteliselt arvutatakse püramiidi pindala läbi aluse ja apoteemi perimeetri:

Vaatleme näidet püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks.

Olgu antud püramiid, mille alus on ABCDE ja tipp on F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apoteem a = 5 cm. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Leiame perimeetri. Kuna aluse kõik küljed on võrdsed, võrdub viisnurga ümbermõõt:
Nüüd leiate püramiidi küljeala:

Korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala

Regulaarne kolmnurkne püramiid koosneb alusest, milles asub tavaline kolmnurk, ja kolmest külgpinnast, mille pindala on võrdne.
Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna pindala valemi saab arvutada erinevaid viise. Perimeetri ja apoteemi arvutamiseks võite kasutada tavalist valemit või leida ühe näo pindala ja korrutada see kolmega. Kuna püramiidi tahk on kolmnurk, rakendame kolmnurga pindala valemit. See nõuab apoteemi ja aluse pikkust. Vaatleme näidet tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks.

Antud püramiid, mille apoteem a = 4 cm ja aluspind b = 2 cm. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Esiteks leidke ühe külgpinna ala. Sel juhul on see:
Asendage valemis olevad väärtused:
Kuna tavalises püramiidis on kõik küljed ühesugused, on püramiidi külgpinna pindala võrdne kolme tahu pindalade summaga. Vastavalt:

Kärbitud püramiidi pindala

kärbitud Püramiid on hulktahukas, mille moodustab püramiid ja selle alusega paralleelne lõik.
Kärbitud püramiidi külgpinna valem on väga lihtne. Pindala on võrdne poole aluste perimeetrite ja apoteemi summa korrutisega:

Lühidalt peamisest

Pindala (2019)

Prisma pindala

Kas on olemas a üldine valem? Ei, üldiselt ei. Peate lihtsalt leidma külgmiste tahkude alad ja need kokku võtma.

Valemit saab kirjutada sirge prisma:

Kus on aluse ümbermõõt.

Aga ikkagi palju lihtsam igas konkreetne juhtum liitke kokku kõik alad, kui jätke pähe täiendavad valemid. Näiteks kaalume täispind korrapärane kuusnurkne prisma.

Kõik külgpinnad on ristkülikud. Tähendab.

Seda on juba mahu arvutamisel arvesse võetud.

Seega saame:

Püramiidi pindala

Püramiidi puhul kehtib ka üldreegel:

Nüüd arvutame välja kõige populaarsemate püramiidide pindala.

Tavalise kolmnurkse püramiidi pindala

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv võrdne. Pean leidma ja.

Tuletage nüüd meelde

See on täisnurkse kolmnurga pindala.

Ja meenutagem, kuidas seda piirkonda leida. Kasutame pindala valemit:

Meil on "" - see ja "" - ka see, eh.

Nüüd leiame.

Põhipindala valemit ja Pythagorase teoreemi kasutades leiame

Tähelepanu: kui teil on tavaline tetraeeder (st), siis valem on järgmine:

Tavalise nelinurkse püramiidi pindala

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv võrdne.

Alusel on ruut ja seetõttu.

Jääb üle leida külgpinna ala

Tavalise kuusnurkse püramiidi pindala.

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv.

Kuidas leida? Kuusnurk koosneb täpselt kuuest identsest korrapärasest kolmnurgast. Oleme juba korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala arvutamisel otsinud korrapärase kolmnurga pindala, siin kasutame leitud valemit.

Noh, me oleme juba kaks korda otsinud külgpinna piirkonda

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled niigi parem kui valdav enamus oma eakaaslastest.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Sest edukas tarneÜhtne riigieksam, instituuti vastuvõtmiseks eelarve eest ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla kindlasti teistest eksamil parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele õpetuse kõigis 99 artiklis - 999 hõõruda.

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele on kohe avatav.

Teisel juhul me anname teile simulaator "6000 ülesannet lahenduste ja vastustega, iga teema kohta, igale keerukusastmele." Kindlasti piisab sellest, kui suvalise teemaga ülesannete lahendamisel kätt saada.

Tegelikult on see palju enamat kui lihtsalt simulaator – terve koolitusprogramm. Vajadusel saad kasutada ka TASUTA.

Juurdepääs kõigile tekstidele ja programmidele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

Tüüpilised geomeetrilised probleemid tasapinnas ja kolmemõõtmelises ruumis on pindade pindalade määramise ülesanded erinevad kujundid. Selles artiklis esitame tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna pindala valemi.

Mis on püramiid?

Anname püramiidi range geomeetrilise määratluse. Oletame, et on mõni hulknurk, millel on n külge ja n nurka. Valime ruumis suvalise punkti, mis ei asu määratud n-nurga tasapinnal, ja ühendame selle hulknurga iga tipuga. Saame mingi ruumalaga kujundi, mida nimetatakse n-nurkseks püramiidiks. Näiteks näitame alloleval joonisel, milline näeb välja viisnurkne püramiid.

Iga püramiidi kaks olulist elementi on selle põhi (n-nurk) ja tipp. Need elemendid on omavahel ühendatud n kolmnurgaga, mis üldiselt ei ole üksteisega võrdsed. Ülaosast alusele langetatud risti nimetatakse kujundi kõrguseks. Kui see lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis (kattub hulknurga massikeskmega), siis nimetatakse sellist püramiidi sirgeks. Kui lisaks sellele tingimusele on aluseks korrapärane hulknurk, siis nimetatakse kogu püramiidi korrapäraseks. Alloleval joonisel on näha, kuidas näevad välja tavalised kolmnurkse, nelinurkse, viisnurkse ja kuusnurkse alusega püramiidid.

Püramiidi pind

Enne kui asuda küsimusele tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna pindala kohta, tuleks üksikasjalikumalt peatuda pinna enda kontseptsioonil.

Nagu ülalpool mainitud ja joonistel näidatud, on mis tahes püramiid moodustatud tahkude või külgede komplektist. Üks külg on alus ja n külge kolmnurgad. Kogu joonise pind on selle iga külje pindalade summa.

Pinda on mugav uurida lahtivolditava figuuri näitel. Tavalise nelinurkse püramiidi skaneerimine on näidatud allolevatel joonistel.

Näeme, et selle pindala on võrdne nelja identse võrdhaarse kolmnurga pindala ja ruudu pindala summaga.

Kõikide joonise külgi moodustavate kolmnurkade kogupindala nimetatakse külgpinna pindalaks. Järgmisena näitame, kuidas seda tavalise nelinurkse püramiidi jaoks arvutada.

Ristkülikukujulise korrapärase püramiidi külgpindala

Määratud joonise külgpinna arvutamiseks pöördume uuesti ülaltoodud pühkimise poole. Oletame, et teame ruudu aluse külge. Tähistame seda sümboliga a. On näha, et kõigil neljal identsel kolmnurgal on alus pikkusega a. Nende kogupindala arvutamiseks peate teadma seda väärtust ühe kolmnurga kohta. Geomeetria käigus on teada, et kolmnurga pindala S t võrdub aluse ja kõrguse korrutisega, mis tuleks jagada pooleks. St:

Kus h b on aluse a külge tõmmatud võrdhaarse kolmnurga kõrgus. Püramiidi jaoks on see kõrgus apoteem. Nüüd jääb üle saadud avaldis korrutada 4-ga, et saada kõnealuse püramiidi külgpinna pindala S b:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

See valem sisaldab kahte parameetrit: apoteemi ja aluse külge. Kui viimane on enamiku ülesannete tingimustes teada, siis esimest tuleb arvutada teisi suurusi teades. Siin on valemid apoteema h b arvutamiseks kahel juhul:

• kui külgribi pikkus on teada;
• kui püramiidi kõrgus on teada.

Kui tähistame külgserva (võrdhaarse kolmnurga külje) pikkust sümboliga L, siis apoteem h b määratakse valemiga:

h b \u003d √ (L 2 - a 2/4).

See avaldis on Pythagorase teoreemi rakendamise tulemus külgpinna kolmnurga jaoks.

Kui püramiidi kõrgus h on teada, saab apoteemi h b arvutada järgmiselt:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Samuti pole selle avaldise saamine keeruline, kui arvestada püramiidi sees olevat täisnurkset kolmnurka, mille moodustavad jalad h ja a / 2 ning hüpotenuus h b.

Näitame, kuidas neid valemeid rakendada, lahendades kaks huvitavaid ülesandeid.

Probleem teadaoleva pinnaga

On teada, et nelinurkse külgpinna pindala on 108 cm 2 . Kui püramiidi kõrgus on 7 cm, on vaja arvutada selle apoteemi pikkuse väärtus h bi.

Kirjutame läbi kõrguse külgpinna pindala S b valemi. Meil on:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Siin oleme lihtsalt asendanud vastava apoteema valemi S b avaldisesse. Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

A väärtuse leidmiseks muudame muutujaid:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Asendage kohe teadaolevad väärtused ja lahendage ruutvõrrand:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

Oleme kirjutanud ainult selle võrrandi positiivse juure. Siis on püramiidi aluse küljed võrdsed:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Apoteema pikkuse saamiseks kasutage lihtsalt valemit:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Cheopsi püramiidi külgpind

Määrame suurima külgpinna väärtuse Egiptuse püramiid. Teadaolevalt asub selle aluses ruut, mille külje pikkus on 230,363 meetrit. Ehitise kõrgus oli algselt 146,5 meetrit. Asendage need arvud S b vastavasse valemisse, saame:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a = 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Leitud väärtus on veidi suurem kui 17 jalgpalliväljaku pindala.