Tavalise kuusnurkse püramiidi maht on 6 külge. Püramiid

Püramiidid on: kolmnurksed, nelinurksed jne, olenevalt sellest, mis on alus – kolmnurk, nelinurk jne.
Püramiidi nimetatakse õigeks (joonis 286b), kui esiteks on selle alus korrapärane hulknurk ja teiseks, kõrgus läbib selle hulknurga keskpunkti.
Vastasel juhul nimetatakse püramiidi ebakorrapäraseks (joon. 286, c). Tavalises püramiidis on kõik külgmised servad üksteisega võrdsed (nagu kallutatud võrdsete projektsioonidega). Seetõttu on tavalise püramiidi kõik külgpinnad võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.
Korrapärase kuusnurkse püramiidi elementide analüüs ja nende kujutamine kompleksjoonisel (joon.287).

a) Korrapärase kuusnurkse püramiidi kompleksjoonis. Püramiidi alus asub tasapinnal P 1 ; püramiidi aluse kaks külge on paralleelsed projektsioonide tasandiga П 2 .
b) Alus ABCDEF - projektsioonide tasapinnal П 1 asuv kuusnurk.
c) Külgpind ASF - üldasendis tasapinnal paiknev kolmnurk.
d) Külgpind FSE - kolmnurk, mis asub profiilis - eenduv tasapind.
e) Serv SE on üldasendis segment.
f) Edge SA - eesmine segment.
g) Püramiidi tipp S on ruumipunkt.
Sees (Joon.288 ja Joon.289) näitab näiteid järjestikustest graafilistest operatsioonidest püramiidide keeruka joonistamise ja visuaalsete kujutiste (aksonomeetria) tegemisel.

Arvestades:
1. Alus asub tasapinnal P 1.
2. Üks aluse külgedest on paralleelne x 12 teljega.
I. Integreeritud joonistamine.
Mina, a. Kujundame püramiidi aluse - hulknurga, vastavalt sellele tingimusele, mis asub tasapinnal П 1 .
Kujundame tipu – ruumis paikneva punkti. Punkti S kõrgus võrdub püramiidi kõrgusega. Punkti S horisontaalprojektsioon S 1 on püramiidi aluse projektsiooni keskel (tingimuse järgi).
mina, b. Kujundame püramiidi servad - segmendid; selleks ühendame baastippude ABCDE otseprojektsioonid püramiidi S tipu vastavate projektsioonidega. Püramiidi servade esiprojektsioonid S 2 C 2 ja S 2 D 2 on kujutatud katkendjoontega, nähtamatuna, mis on suletud püramiidi tahkudega (SBA ja SAE).
mina, c. Punkti K horisontaalprojektsioon K 1 külgpinnal SBA on antud, selleks on vaja leida selle frontaalprojektsioon. Selleks tõmbame läbi punktide S 1 ja K 1 abijoone S 1 F 1, leiame selle frontaalprojektsiooni ja sellel vertikaalse sideliini abil määrame punkti soovitud frontaalprojektsiooni K 2 koha. K.
II. Püramiidi pinna areng on tasane kujund, mis koosneb külgpindadest - identsetest võrdkülgsetest kolmnurkadest, mille üks külg on võrdne aluse küljega ja ülejäänud kaks - külgmiste servadega ning tavalisest hulknurgast - baas.
Aluse külgede loomulikud mõõtmed ilmnevad selle horisontaalprojektsioonil. Eenditel olevate ribide loomulikke mõõtmeid ei selgunud.
Hüpotenuus S 2 ¯A 2 (joonis 288, 1 , b) täisnurkne kolmnurk S 2 O 2 ¯A 2 , milles suur jalg võrdub püramiidi kõrgusega S 2 O 2 ja väike jalg võrdub serva horisontaalprojektsiooniga S 1 A 1 on serva loomulik suurus püramiidist. Pühkimine tuleks ehitada järgmises järjekorras:
a) suvalisest punktist S (tipp) tõmbame kaare raadiusega R, mis on võrdne püramiidi servaga;
b) tõmmatud kaarele jäta kõrvale viis akordi suurusega R 1, mis on võrdne aluse küljega;
c) ühendame punktid D, C, B, A, E, D järjestikku omavahel ja punktiga S sirgjoontega, saame viis võrdkülgset võrdsed kolmnurgad, mis moodustavad selle püramiidi külgpinna arengu, lõigatud mööda serva SD ;
d) kinnitame triangulatsioonimeetodil mis tahes tahku püramiidi aluse - viisnurga, näiteks näo DSE külge.
Punkt K kantakse pühkimisele abisirge abil, kasutades suurust B 1 F 1, mis on võetud horisontaalprojektsioonil, ja suurust A 2 K 2 võttes arvesse ribi loomulikku suurust.
III. Püramiidi visuaalne esitus isomeetrias.
III, a. Me kujutame püramiidi alust, kasutades koordinaate vastavalt (joonis 288, 1 , a).
Me kujutame püramiidi tippu, kasutades koordinaate (joon.288, 1 , a).
III, b. Me kujutame püramiidi külgservi, ühendades ülaosa aluse tippudega. Serv S"D" ja aluse C"D" ja D"E" küljed on näidatud katkendjoontega nähtamatuna, mis on suletud püramiidi C"S"B, B"S"A külgedega. ja A"S"E.
III, e. Määrame püramiidi K pinnal oleva punkti, kasutades mõõtmeid y F ja x K. Püramiidi dimeetrilise kujutise puhul tuleks järgida sama järjestust.
Pilt ebakorrapärasest kolmnurksest püramiidist.

Arvestades:
1. Alus asub tasapinnal P 1.
2. Aluse külg BC on risti X-teljega.
I. Integreeritud joonistamine
Mina, a. Kujundame püramiidi aluse - võrdhaarse kolmnurga, mis asub tasapinnal P 1, ja tippu S - ruumis asuva punkti, mille kõrgus on võrdne püramiidi kõrgusega.
mina, b. Kujundame püramiidi servad - segmendid, mille jaoks ühendame aluse tippude samanimelised projektsioonid püramiidi tipu samanimeliste projektsioonidega sirgjoontega. Lennuki aluse külje horisontaalset projektsiooni kujutame katkendjoonega nähtamatuna, mis on suletud püramiidi ABS, ACS kahe tahuga.
mina, c. Külgpinna frontaalprojektsioonil A 2 C 2 S 2 on antud punkti D projektsioon D 2. On vaja leida selle horisontaalprojektsioon. Selleks joonistame punkti D 2 kaudu teljega x 12 paralleelse abisirge - horisontaali frontaalprojektsiooni, seejärel leiame selle horisontaalprojektsiooni ja sellel, kasutades vertikaalset sideliini, määrame selle asukoha. punkti D soovitud horisontaalprojektsioon D 1.
II. Püramiidi pühkimise ehitamine.
Aluse külgede loomulikud mõõtmed ilmnevad horisontaalprojektsioonis. Roide AS loomulik suurus ilmneb frontaalprojektsioonis; projektsioonides ribide BS ja CS loomulik suurus puudub, nende ribide suurus selgub pöörates neid ümber i-telje, risti püramiidi S tippu läbiva tasapinnaga P 1. Uus frontaalprojektsioon ¯C 2 S 2 on serva CS loomulik väärtus.
Püramiidi pinna arenduse konstrueerimise järjekord:
a) joonistage võrdhaarne kolmnurk - tahk CSB, mille alus on võrdne püramiidi CB aluse küljega ja küljed- ribi loomulik suurus SC ;
b) lisame konstrueeritud kolmnurga külgedele SC ja SB kaks kolmnurka - püramiidi CSA ja BSA küljed ning konstrueeritud kolmnurga alusele CB - CBA püramiidi alusele, mille tulemusena saame täieliku selle püramiidi pinna lahtivoltimine.
Punkti D ülekandmine arendusse toimub järgmises järjekorras: kõigepealt tõmmake ASC külgpinna arendusele horisontaaljoon, kasutades mõõdet R 1 ja seejärel määrake punkti D asukoht horisontaaljoonel R abil. 2-mõõtmeline.
III. Püramiidi ja frontaalse dimeetrilise projektsiooni visuaalne kujutis
III, a. Me kujutame püramiidi alust A "B" C ja tippu S, kasutades koordinaate vastavalt (

Ruumikujundite mahtude arvutamine on stereomeetria üks olulisi ülesandeid. Selles artiklis käsitleme sellise hulktahuka kui püramiidi ruumala määramise küsimust ja anname ka tavalise kuusnurkse.

Püramiid kuusnurkne

Alustuseks kaalume, milline on see näitaja, mida arutatakse artiklis.

Olgu meil suvaline kuusnurk, mille küljed ei pruugi olla üksteisega võrdsed. Oletame ka, et oleme valinud ruumipunkti, mis ei asu kuusnurga tasapinnas. Ühendades viimase kõik nurgad valitud punktiga, saame püramiidi. Kaks erinevat kuusnurkse põhjaga püramiidi on näidatud alloleval pildil.

Näha on, et lisaks kuusnurgale koosneb kujund kuuest kolmnurgast, mille ühenduspunkti nimetatakse tipuks. Kujutatud püramiidide erinevus seisneb selles, et parempoolse kõrgus h ei ristu kuusnurkse aluse geomeetrilises keskpunktis, samas kui vasakpoolse kujundi kõrgus langeb täpselt sellesse keskpunkti. Tänu sellele kriteeriumile nimetati vasakut püramiidi sirgeks ja paremat kaldus.

Kuna joonisel vasakpoolse kujundi aluse moodustab võrdsete külgede ja nurkadega kuusnurk, siis nimetatakse seda õigeks. Edasises artiklis räägime ainult sellest püramiidist.

Suvalise püramiidi ruumala arvutamiseks kehtib järgmine valem:

Siin h on kujundi kõrguse pikkus, S o selle aluse pindala. Kasutame seda avaldist korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala määramiseks.

Kuna vaadeldav joonis põhineb võrdkülgsel kuusnurgal, saab n-nurga pindala arvutamiseks kasutada järgmist üldavaldist:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Siin n on täisarv, mis on võrdne hulknurga külgede (nurkade) arvuga, a on selle külje pikkus, kotangensfunktsioon arvutatakse vastavate tabelite abil.

Rakendades avaldist n = 6 jaoks, saame:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √ 3/2 * a 2

Nüüd jääb see väljend asendada üldine valem V köite jaoks:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Seega on vaadeldava püramiidi ruumala arvutamiseks vaja teada selle kahte lineaarset parameetrit: aluse külje pikkust ja kujundi kõrgust.

Probleemilahenduse näide

Näitame, kuidas saadud avaldist V 6 jaoks saab kasutada järgmise ülesande lahendamiseks.

On teada, et õige maht on 100 cm 3. Kui on teada, et need on üksteisega seotud järgmise võrdsusega, on vaja kindlaks määrata aluse külg ja figuuri kõrgus:

Kuna mahu valemis sisalduvad ainult a ja h, saab sellesse asendada mis tahes neist parameetritest, väljendatuna teise kaudu. Näiteks asendame a, saame:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Figuuri kõrguse väärtuse leidmiseks on vaja võtta mahust kolmanda astme juur, mis vastab pikkuse mõõtmele. Asendame ülesande tingimusest püramiidi ruumala väärtuse V 6, saame kõrguse:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Kuna aluse külg on vastavalt ülesande seisukorrale leitud väärtusest kaks korda suurem, saame selle väärtuse:

a = 2 * h = 2 * 3,0676 = 6,1352 cm

Kuusnurkse püramiidi ruumala on leitav mitte ainult figuuri kõrguse ja selle aluse külje väärtuse kaudu. Selle arvutamiseks piisab püramiidi kahe erineva lineaarse parameetri teadmisest, näiteks apoteemi ja külgserva pikkuse teadmisest.

Joonis on esimene ja väga oluline samm geomeetrilise ülesande lahendamisel. Milline peaks olema tavalise püramiidi joonis?

Meenutagem kõigepealt paralleelsed disainiomadused:

- joonise paralleelsed segmendid on kujutatud paralleelsete segmentidena;

- säilib paralleelsete sirgete lõikude ja ühe sirge lõikude pikkuste suhe.

Korrapärase kolmnurkpüramiidi joonis

Esiteks joonistage alus. Kuna mitteparalleelsete lõikude nurgad ja pikkuste suhted paralleelses kujunduses ei säili, on püramiidi põhjas olev korrapärane kolmnurk esindatud suvalise kolmnurgaga.

Võrdkülgse kolmnurga keskpunkt on kolmnurga mediaanide lõikepunkt. Kuna ristumispunkti mediaanid jagunevad ülaosast lugedes suhtega 2: 1, ühendame mõtteliselt aluse ülaosa vastaskülje keskosaga, jagame selle ligikaudu kolmeks osaks ja paneme punkti 2 osa kaugusel ülevalt. Sellest punktist ülespoole tõmmake risti. See on püramiidi kõrgus. Tõmbame risti nii pikaks, et külgserv ei kataks kõrguse pilti.

joonistus õige nelinurkne püramiid

Alusest algab ka korrapärase nelinurkse püramiidi joonistamine. Kuna lõikude paralleelsus on säilinud, kuid nurkade suurused mitte, on aluse ruut kujutatud rööpkülikuna. Soovitav terav nurk tee see rööpkülik väiksemaks, siis on külgpinnad suuremad. Ruudu keskpunkt on selle diagonaalide lõikepunkt. Joonistame diagonaalid, lõikepunktist taastame risti. See risti on püramiidi kõrgus. Risti pikkuse valime nii, et külgmised servad ei ühineks üksteisega.

Korrapärase kuusnurkse püramiidi joonis

Kuna paralleelprojektsioon säilitab segmentide paralleelsuse, on korrapärase kuusnurkse püramiidi alus – korrapärane kuusnurk – kujutatud kuusnurgana, mille vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed. Korrapärase kuusnurga keskpunkt on selle diagonaalide lõikepunkt. Et joonist mitte segamini ajada, ei joonista me diagonaale, vaid leiame selle punkti ligikaudu. Sellest taastame risti - püramiidi kõrguse - nii, et külgmised servad ei ühineks üksteisega.

Kuupäev: 2015-01-19

Kui vajate samm-sammult juhis kuidas ehitada püramiidi pühkimist, siis ma palun meie õppetundi. Kõigepealt hinnake, kas teie püramiid on lahti volditud samamoodi nagu joonisel 1.

Kui olete selle 90 kraadi võrra keeranud, siis teie puhul joonisel "teadaolevate tegelike väärtustena" märgitud serv asub profiiliprojektsioonil, mille peate ehitama. Minu puhul seda ei nõuta, meil on juba kõik ehituseks vajalikud kogused olemas. Oluline on mitte unustada, et sellel joonisel on täissuuruses kuvatud ainult esiprojektsiooni servad SA ja SD. Kõik ülejäänud projitseeritakse pikkuse moonutamisega. Lisaks on pealtvaates ka kuusnurga kõik küljed täissuuruses. Selle põhjal alustame.

1. Suurema ilu huvides tõmbame esimese joone horisontaalselt (joonis 1). Seejärel joonistame laia kaare raadiusega R=a, st. raadiusega, mis on võrdne püramiidi külgserva pikkusega. Saame punkti A. Sellest teeme kaarele kompassiga sälgu raadiusega r \u003d b (püramiidi aluse külje pikkus). Võtame punkti B. Meil ​​on juba püramiidi esimene tahk!

2. Punktist B teeme teise sama raadiusega sälgu - saame punkti C ning ühendades selle punktidega B ja S saame püramiidi teise külgtahu (joonis 2).

3. Korrates neid samme vajalik arv kordi (kõik sõltub sellest, mitu tahku on teie püramiidil), saame sellise ventilaatori (joonis 3). Õige konstruktsiooni korral peaksite saama kõik aluse punktid ja äärmuslikke tuleks korrata.

4. See pole alati nõutav, kuid siiski vajalik: lisage püramiidi alus külgpinna arengule. Usun, et kõik, kes on selle punktini lugenud, oskavad joonistada kuus-kaheksa-viisnurga (viisnurga joonistamist kirjeldatakse üksikasjalikult õppetükis) Raskus seisneb selles, et kujund tuleb joonistada õige koht ja õige nurga all. Joonistage telg läbi mis tahes näo keskosa. Aluse joonega lõikepunktist joonistame kauguse m, nagu on näidatud joonisel 4.


Selle punkti kaudu risti joonistades saame tulevase kuusnurga teljed. Saadud keskpunktist joonistame ringi, nagu tegite pealtvaate ehitamisel. Pange tähele, et ring peab läbima külgpinna kahte punkti (minu puhul on need F ja A)

5. Joonisel 5 on kujutatud kuusnurkse prisma lõplik kokkuvoldimata vaade.


See lõpetab püramiidi pühkimise ehitamise. Koostage oma sweeps, õppige lahendusi leidma, olge söövitav ja ärge kunagi loobuge. Täname, et külastasite. Ärge unustage meid oma sõpradele soovitada :) Kõike head!

või kirjuta üles meie telefoninumber ja räägi meist oma sõpradele – ilmselt otsib keegi võimalust joonistuste tegemiseks

või looge oma lehele või ajaveebi meie tundide kohta märge - ja keegi teine ​​saab joonistuse meisterdada.