Üks huvitavamaid geomeetria teemasid koolikursusest on "Kvadrakud" (8. klass). Mis tüüpi selliseid kujusid eksisteerib, millised erilised omadused neil on? Mis on üheksakümnekraadiste nurkadega nelinurkade ainulaadset? Vaatame seda kõike.

Millist geomeetrilist kujundit nimetatakse nelinurgaks

Hulknurki, mis koosnevad neljast küljest ja vastavalt neljast tipust (nurgast), nimetatakse Eukleidilises geomeetrias nelinurkadeks.

Huvitav on seda tüüpi figuuride nimede ajalugu. Vene keeles moodustatakse nimisõna "nelinurkne" fraasist "neli nurka" (nagu "kolmnurk" - kolm nurka, "viisnurk" - viis nurka jne).

Ladina keeles (mille kaudu jõudsid paljud geomeetrilised terminid enamikusse maailma keeltesse) nimetatakse seda aga nelinurgaks. See sõna on moodustatud arvsõnast neli (neli) ja nimisõna latus (külg). Seega võime järeldada, et iidsete seas nimetati seda hulknurka ainult "neljapoolseks".

Muide, selline nimetus (rõhuga seda tüüpi kujunditel pigem nelja külje kui nurga olemasolul) on säilinud mõnes tänapäeva keeles. Näiteks inglise keeles - quadrilateral ja prantsuse keeles - quadrilatère.

Samal ajal tuvastatakse enamikus slaavi keeltes vaadeldav kujundite tüüp endiselt nurkade, mitte külgede arvu järgi. Näiteks slovaki keeles (štvoruholník), bulgaaria keeles ("chetirigalnik"), valgevene keeles ("chatyrokhkutnik"), ukraina keeles ("chotirikutnik"), tšehhi keeles (čtyřúhelník), kuid poola keeles nimetatakse nelinurka numbriga küljed - czworoboczny.

Mis tüüpi nelinurki õpitakse kooli õppekavas

Kaasaegses geomeetrias on 4 tüüpi nelja küljega hulknurki.

Mõnede nende liiga keeruliste omaduste tõttu tutvustatakse koolilastele aga geomeetriatundides vaid kahte tüüpi.

• Parallelogramm. Sellise nelinurga vastasküljed on paarikaupa üksteisega paralleelsed ja on vastavalt ka paarikaupa võrdsed.
• Trapets (trapets või trapets). See nelinurk koosneb kahest vastasküljest, mis on üksteisega paralleelsed. Teisel küljepaaril seda funktsiooni aga pole.

Kooli geomeetria kursusel uurimata nelinurkade tüübid

Lisaks eelmainitule on veel kahte tüüpi nelinurki, mida kooliõpilastele nende erilise keerukuse tõttu geomeetriatundides ei tutvustata.

• Deltaliha (lohe)- kujund, kus kaks paari külgnevaid külgi on üksteisega võrdse pikkusega. Selline nelinurk sai oma nime tänu sellele, et välimuselt meenutab see üsna tugevalt kreeka tähestiku tähte - “delta”.
• Antiparallelogramm- see kujund on sama keeruline kui selle nimi. Selles on kaks vastaskülge võrdsed, kuid samal ajal ei ole nad üksteisega paralleelsed. Lisaks lõikuvad selle nelinurga pikad vastasküljed, nagu ka kahe teise, lühema külje pikendused.

Rööpküliku tüübid

Olles käsitlenud nelinurkade põhitüüpe, tasub pöörata tähelepanu selle alamliikidele. Seega jagunevad kõik rööpkülikud omakorda nelja rühma.

• Klassikaline rööpkülik.
• Romb (romb)- võrdsete külgedega nelinurkne kujund. Selle diagonaalid lõikuvad täisnurga all, jagades rombi neljaks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks.
• Ristkülik. Nimi räägib enda eest. Kuna tegemist on täisnurksete nurkadega nelinurgaga (igaüks neist võrdub üheksakümne kraadiga). Selle vastasküljed pole mitte ainult paralleelsed, vaid ka võrdsed.
• Ruut (ruut). Nagu ristkülik, on see nelinurk täisnurksega, kuid selle kõik küljed on üksteisega võrdsed. See kujund on rombi lähedal. Seega võib väita, et ruut on rombi ja ristküliku rist.

Ristküliku eriomadused

Arvestades arve, mille külgedevaheline nurk on võrdne üheksakümne kraadiga, tasub ristkülikul lähemalt peatuda. Niisiis, millised eriomadused sellel on, mis eristavad seda teistest rööpkülikutest?

Et väita, et vaadeldav rööpkülik on ristkülik, peavad selle diagonaalid olema üksteisega võrdsed ja kõik nurgad peavad olema täisnurgad. Lisaks peab selle diagonaalide ruut vastama selle joonise kahe külgneva külje ruutude summale. Teisisõnu, klassikaline ristkülik koosneb kahest täisnurksest kolmnurgast ja neis, nagu teada, toimib vaadeldava nelinurga diagonaal hüpotenuusina.

Viimane selle figuuri loetletud märkidest on ka selle eriline omadus. Peale selle on veel teisigi. Näiteks asjaolu, et uuritava nelinurga kõik täisnurksed küljed on samal ajal ka selle kõrgused.

Lisaks, kui mis tahes ristküliku ümber tõmmatakse ring, on selle läbimõõt võrdne kirjutatud joonise diagonaaliga.

Selle nelinurga muude omaduste hulgas on see, et see on tasane ja seda ei eksisteeri mitteeukleidilises geomeetrias. See on tingitud asjaolust, et sellises süsteemis pole nelinurkseid kujundeid, mille nurkade summa on kolmsada kuuskümmend kraadi.

Ruut ja selle omadused

Olles käsitlenud ristküliku märke ja omadusi, tasub pöörata tähelepanu teisele teadusele teadaolevale täisnurksega nelinurgale (see on ruut).

Olles tegelikult sama ristkülik, kuid võrdsete külgedega, on sellel joonisel kõik selle omadused. Kuid erinevalt sellest esineb ruut mitteeukleidilises geomeetrias.

Lisaks on sellel kujundil muid omapäraseid tunnuseid. Näiteks asjaolu, et ruudu diagonaalid ei ole lihtsalt üksteisega võrdsed, vaid ka ristuvad täisnurga all. Seega, nagu romb, koosneb ruut neljast täisnurksest kolmnurgast, milleks see on jagatud diagonaalidega.

Lisaks on see näitaja kõigi nelinurkade seas kõige sümmeetrilisem.

Mis on nelinurga nurkade summa

Arvestades Eukleidilise geomeetriaga nelinurkade iseärasusi, tasub pöörata tähelepanu nende nurkadele.

Seega on kõigil ülaltoodud joonistel, olenemata sellest, kas sellel on täisnurgad või mitte, nende kogusumma alati sama - kolmsada kuuskümmend kraadi. See on seda tüüpi figuuri ainulaadne eripära.

Nelinurkade ümbermõõt

Olles välja mõelnud, mis on nelinurga nurkade summa ja muud seda tüüpi kujundite eriomadused, tasub teada, milliseid valemeid on nende ümbermõõdu ja pindala arvutamiseks kõige parem kasutada.

Iga nelinurga ümbermõõdu määramiseks peate lihtsalt liitma selle kõigi külgede pikkused.

Näiteks KLMN-i joonisel saab selle perimeetri arvutada järgmise valemi abil: P \u003d KL + LM + MN + KN. Kui asendate siin olevad numbrid, saate: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Kui kõnealune kujund on romb või ruut, saate perimeetri leidmiseks valemit lihtsustada, korrutades selle ühe külje pikkuse lihtsalt neljaga: P \u003d KL x 4. Näiteks: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Pindala nelinurga valemid

Olles välja mõelnud, kuidas leida nelja nurga ja küljega figuuri ümbermõõt, tasub kaaluda kõige populaarsemaid ja lihtsamaid viise selle ala leidmiseks.

Nelinurkade muud omadused: sissekirjutatud ja piiritletud ringid

Võttes arvesse nelinurga kui Eukleidilise geomeetria kujundi tunnuseid ja omadusi, tasub pöörata tähelepanu võimalusele kirjeldada või kirjutada selle sisse ringe:

• Kui joonise vastasnurkade summad on igaüks sada kaheksakümmend kraadi ja on paarikaupa võrdsed, siis võib sellise nelinurga ümber vabalt kirjeldada ringjoont.
• Ptolemaiose teoreemi kohaselt, kui ringjoon on ümbritsetud väljaspool nelja küljega hulknurka, on selle diagonaalide korrutis võrdne antud joonise vastaskülgede korrutistega. Seega näeb valem välja selline: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Kui konstrueerida nelinurk, mille vastaskülgede summad on üksteisega võrdsed, saab sellesse kirjutada ringi.

Olles välja mõelnud, mis on nelinurk, mis tüüpi see eksisteerib, millistel neist on ainult täisnurgad külgede vahel ja millised omadused neil on, tasub kogu see materjal meeles pidada. Eelkõige vaadeldavate hulknurkade perimeetri ja pindala leidmise valemid. Sellise kujuga kujundid on ju ühed levinumad ja need teadmised võivad reaalses elus arvutustes kasuks tulla.

Definitsioon. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Kinnisvara. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed ja vastasnurgad on võrdsed.

Kinnisvara. Rööpküliku diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga.

1 rööpkülikumärk. Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, siis on nelinurk rööpkülik.

2 rööpküliku märk. Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, siis on nelinurk rööpkülik.

3 rööpküliku märk. Kui nelinurgas lõikuvad diagonaalid ja lõikepunkt poolitatakse, siis on see nelinurk rööpkülik.

Definitsioon. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks külge ei ole paralleelsed. Paralleelseid külgi nimetatakse põhjustel.

Trapetsi nimetatakse võrdhaarne (võrdhaarne) kui selle küljed on võrdsed. Võrdhaarse trapetsi korral on aluste nurgad võrdsed.

ristkülikukujuline.

trapetsi keskjoon. Keskmine joon on paralleelne alustega ja võrdne nende poolsummaga.

Ristkülik

Definitsioon.

Kinnisvara. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

Ristküliku märk. Kui rööpküliku diagonaalid on võrdsed, siis on rööpkülik ristkülik.

Definitsioon.

Kinnisvara. Rombi diagonaalid on üksteisega risti ja poolitavad selle nurgad.

Definitsioon.

Ruut on teatud tüüpi ristkülik ja ka teatud tüüpi romb. Seetõttu on sellel kõik oma omadused.

Omadused:
1. Kõik ruudu nurgad on õiged

Nelinurksed kõik reeglid

Märksõnad:
nelinurk, kumer, nurkade summa, nelinurga pindala

nelinurkne nimetatakse kujundit, mis koosneb neljast punktist ja neljast neid järjestikku ühendavast segmendist. Sel juhul ei tohiks kolm neist punktidest asuda ühel sirgel ja neid ühendavad segmendid ei tohiks ristuda.

• Nelinurga tippe nimetatakse naaber kui need on selle ühe külje otsad.
• Tipud, mis ei ole naabrid , helistas vastupidine .
• Nimetatakse sirglõike, mis ühendavad nelinurga vastandlikke tippe diagonaalid .
• Nimetatakse nelinurga külgi, mis pärinevad samast tipust naaber peod.
• Neid külgi, millel pole ühist otsa, nimetatakse vastupidine peod.
• Nelinurka nimetatakse kumer , kui see asub sirgjoone suhtes, mis sisaldab selle mis tahes külgi, ühel pooltasandil.

Nelinurkade tüübid

1. Parallelogramm Nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed
   • Ristkülik rööpkülik, millel on kõik täisnurgad
   • Romb - rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed
   • Ruut - ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed
2. Trapets - nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks külge ei ole paralleelsed
3. Deltalihas Nelinurk, mille kaks paari külgnevaid külgi on võrdsed

Nelinurgad

nelinurkne nimetatakse kujundit, mis koosneb neljast punktist ja neljast neid järjestikku ühendavast segmendist. Sel juhul ei asu kolm neist punktidest ühel sirgel ja neid ühendavad lõigud ei ristu.

vastupidine. vastupidine.

Nelinurkade tüübid

Parallelogramm

Parallelogramm nimetatakse nelinurgaks, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Parallelogrammi omadused

• vastasküljed on võrdsed;
• vastasnurgad on võrdsed;
• diagonaalide ruutude summa on võrdne kõigi külgede ruutude summaga:

Parallelogrammi omadused

Trapets Nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed ja ülejäänud kaks ei ole paralleelsed.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse selle põhjustel ja mitteparalleelsed küljed küljed. Külgede keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse keskmine joon.

Trapetsi nimetatakse võrdhaarne(või võrdhaarne), kui selle küljed on võrdsed.

Nimetatakse ühe täisnurgaga trapetsi ristkülikukujuline.

Trapetsi omadused

Trapetsi märgid

Ristkülik

Ristkülik Rööpkülikut nimetatakse siis, kui kõik nurgad on täisnurgad.

Ristküliku omadused

Ristküliku omadused

Rööpkülik on ristkülik, kui:

1. Üks selle nurkadest on õige.
2. Selle diagonaalid on võrdsed.

Romb Rööpkülikut nimetatakse siis, kui kõik küljed on võrdsed.

Rombi omadused

• rööpküliku kõik omadused;
• diagonaalid on risti;

Rombi märgid

Ruut Nimetatakse ristkülikut, mille kõik küljed on võrdsed.

Ruudu omadused

• kõik ruudu nurgad on õiged;
• ruudu diagonaalid on võrdsed, üksteisega risti, lõikepunkt jagatakse pooleks ja ruudu nurgad pooleks.

Ruudukujulised sildid

Põhivalemid

S=d 1 d 2 patt

Parallelogramm
a ja b- naaberpooled; - nendevaheline nurk; h a - kõrgus küljele a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 patt

Trapets
a ja b- alused; h- nendevaheline kaugus; l- keskmine joon .

Ristkülik

S=d 1 d 2 patt

S = a 2 patt

S=d 1 d 2

Ruut
d- diagonaal.

www.univer.omsk.su

Nelinurkade omadused. Nelinurkade tüübid. Suvaliste nelinurkade omadused. Parallelogrammi omadused. Rombi omadused. Ristküliku omadused. Ruudu omadused. trapetsikujulised omadused. Ligikaudu 7-9 klass (13-15 aastat vana)

Nelinurkade omadused. Nelinurkade tüübid. Suvaliste nelinurkade omadused.
Parallelogrammi omadused. Rombi omadused. Ristküliku omadused. Ruudu omadused. trapetsikujulised omadused.

Nelinurkade tüübid:

• Parallelogramm on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed

• Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

• Ristkülik on rööpkülik, millel on kõik täisnurgad.

• Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

Suvaliste nelinurkade omadused:

Parallelogrammi omadused:

Rombi omadused:

Ristküliku omadused:

Ruudu omadused:

Trapetsi omadused:

Nõustamine ja tehniline
saidi tugi: Zavarka meeskond

Nelinurksed kõik reeglid

Mitteeukleidiline geomeetria, geomeetria sarnane geomeetriaga Euclid selle poolest, et see määratleb kujundite liikumise, kuid erineb eukleidilisest geomeetriast selle poolest, et üks selle viiest postulaadist (teine ​​või viies) on asendatud selle eitusega. Ühe eukleidilise postulaadi (1825) eitamine oli mõtteloos märkimisväärne sündmus, sest see oli esimene samm relatiivsusteooria.

Eukleidese teine ​​postulaat väidab seda mis tahes joonelõiku saab lõputult pikendada. Ilmselt uskus Euclid, et see postulaat sisaldas ka väidet, et sirgel on lõpmatu pikkus. Kuid "elliptilises" geomeetrias on iga sirge lõplik ja nagu ringjoon, on suletud.

Viies postulaat ütleb, et kui sirge lõikub kahte etteantud sirget nii, et selle ühel küljel olevad kaks sisenurka on summaarselt väiksemad kui kaks täisnurka, siis need kaks sirget, kui neid piiramatult pikendada, ristuvad sellel küljel, kus nende nurkade summa on väiksem kui kahe sirge summa. Kuid "hüperboolses" geomeetrias võib eksisteerida sirge CB (vt joonis), mis on punktis C risti antud sirgega r ja lõikab punktis B teravnurga all teist sirget s, kuid sellest hoolimata on lõpmatud sirged r ja s ei ristu kunagi.

Nendest muudetud postulaatidest järeldas, et kolmnurga nurkade summa, mis on võrdne 180° Eukleidilise geomeetriaga, on suurem kui 180° elliptilises geomeetrias ja väiksem kui 180° hüperboolses geomeetrias.

Nelinurk

Nelinurk on hulknurk, millel on neli tippu ja neli külge.

Nelinurk, geomeetriline kujund - nelja nurgaga hulknurk, samuti mis tahes objekt, selle vormi seade.

Nimetatakse nelinurga kahte mittekülgnevat külge vastupidine. Nimetatakse ka kahte tippu, mis ei ole kõrvuti vastupidine.

Nelinurgad on kumerad (nagu ABCD) ja
mittekumer (A 1 B 1 C 1 D 1).

Nelinurkade tüübid

• Parallelogramm- nelinurk, mille kõik vastasküljed on paralleelsed;
• Ristkülik- kõigi täisnurkadega nelinurk;
• Romb- nelinurk, mille kõik küljed on võrdsed;
• Ruut- nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja kõik küljed võrdsed;
• Trapets- nelinurk, mille kaks vastaskülge on paralleelsed;
• Deltalihas Nelinurk, mille kaks paari külgnevaid külgi on võrdsed.

Parallelogramm

Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Parallelogramm (kreeka sõnast parallelos - paralleel ja gramme - joon) st asetseb paralleelsetel sirgel. Rööpküliku erijuhud on ristkülik, ruut ja romb.

• vastasküljed on võrdsed;
• vastasnurgad on võrdsed;
• lõikepunkti diagonaalid jagatakse pooleks;
• ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180°;
• diagonaalide ruutude summa võrdub kõigi külgede ruutude summaga.

Nelinurk on rööpkülik, kui:

1. Selle kaks vastaskülge on võrdsed ja paralleelsed.
2. Vastasküljed on paarides võrdsed.
3. Vastasnurgad on paarides võrdsed.
4. Lõikepunkti diagonaalid jagatakse pooleks.

Ristkülik

Ristkülik on rööpkülik, millel on kõik täisnurgad.

• vastasküljed on võrdsed;
• vastasnurgad on võrdsed;
• lõikepunkti diagonaalid jagatakse pooleks;
• ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180°;
• diagonaalid on võrdsed.

Rööpkülik on ristkülik, kui:

1. Üks selle nurkadest on õige.
2. Selle diagonaalid on võrdsed.

Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

• vastasküljed on võrdsed;
• vastasnurgad on võrdsed;
• lõikepunkti diagonaalid jagatakse pooleks;
• ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180°;
• diagonaalide ruutude summa võrdub kõigi külgede ruutude summaga;
• diagonaalid on risti;
• diagonaalid on selle nurkade poolitajad.

Rööpkülik on romb, kui:

1. Selle kaks külgnevat külge on võrdsed.
2. Selle diagonaalid on risti.
3. Üks diagonaalidest on selle nurga poolitaja.

Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

• kõik ruudu nurgad on õiged;
• ruudu diagonaalid on võrdsed, üksteisega risti, lõikepunkt jagatakse pooleks ja ruudu nurgad pooleks.

1. Ristkülik on ruut, kui sellel on mõni rombi tunnus.

Trapets on nelinurk, mille kaks vastaskülge on paralleelsed ja ülejäänud kaks ei ole paralleelsed.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse selle alusteks ja mitteparalleelseid külgi külgedeks. Külgede keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse keskjooneks.

Trapetsi nimetatakse võrdhaarseks (või võrdhaarseks), kui selle küljed on võrdsed.

Ühe täisnurgaga trapetsi nimetatakse täisnurkseks trapetsiks.

• selle keskjoon on paralleelne alustega ja võrdne nende poolsummaga;
• kui trapets on võrdhaarne, siis on selle diagonaalid võrdsed ja nurgad aluses võrdsed;
• kui trapets on võrdhaarne, siis saab selle ümber kirjeldada ringjoont;
• kui aluste summa võrdub külgede summaga, siis saab sellesse kirjutada ringi.

1. Nelinurk on trapets, kui selle paralleelsed küljed ei ole võrdsed

Deltalihas Nelinurk, millel on kaks paari sama pikkusega külgi. Erinevalt rööpkülikest ei ole kaks paari kõrvuti asetsevaid külgi võrdsed, vaid kaks paari külgnevaid külgi. Deltalihase kuju on tuulelohe.

• Ebavõrdse pikkusega külgede vahelised nurgad on võrdsed.
• Deltalihase diagonaalid (või nende pikendused) lõikuvad täisnurga all.
• Ringi saab kirjutada igasse kumerasse deltalihasesse, peale selle, kui deltalihas ei ole romb, siis on veel üks ring, mis puudutab kõigi nelja külje pikendusi. Mittekumera deltalihase puhul saab konstrueerida ringi puutuja kahe suurema külje ja kahe väiksema külje pikendusega ning ringi puutuja kahe väiksema külje ja kahe suurema külje pikendusega.

• Kui deltalihase ebavõrdsete külgede vaheline nurk on sirgjoon, siis saab sellesse kirjutada ringjoone (kirjeldatud deltalihas).
• Kui deltalihase vastaskülgede paar on võrdsed, siis on selline deltalihas romb.
• Kui deltalihase vastaskülgede paar ja mõlemad diagonaalid on võrdsed, on deltalihas ruut. Võrdsete diagonaalidega sissekirjutatud deltalihas on samuti ruut.

Geomeetria tekkimine pärineb iidsetest aegadest ja tulenes inimtegevuse praktilistest vajadustest (vajadus mõõta maad, mõõta erinevate kehade ruumalasid jne).

Lihtsaim geomeetriline teave ja mõisted olid tuntud Vana-Egiptuses. Sel perioodil formuleeriti geomeetrilisi väiteid reeglite kujul, mis esitati ilma tõestuseta.

Alates 7. sajandist eKr e. kuni 1. sajandini pKr e. geomeetria kui teadus arenes kiiresti Vana-Kreekas. Sel perioodil ei toimunud mitte ainult mitmesuguse geomeetrilise informatsiooni akumuleerumine, vaid töötati välja ka geomeetriliste väidete tõestamise metoodika ning tehti esimesed katsed sõnastada geomeetria põhisätted (aksioomid), millest lähtuvalt palju erinevaid geomeetrilisi elemente. väited tuletatakse puhtalt loogilise arutluskäiguga. Geomeetria arengutase Vana-Kreekas kajastub Eukleidese teoses "Algused".

Selles raamatus püüti esmakordselt anda planimeetria süstemaatiline konstruktsioon määratlemata geomeetriliste põhimõistete ja aksioomide (postulaatide) alusel.

Erilise koha matemaatika ajaloos hõivab Eukleidese viies postulaat (paralleelsete sirgete aksioom). Matemaatikud püüdsid pikka aega edutult tuletada viiendat postulaati ülejäänud Eukleidese postulaatidest ja alles 19. sajandi keskel sai tänu N. I. Lobatševski, B. Riemanni ja J. Boyai uurimustele selgeks, et viiendat postulaati ei saa tuletada ülejäänutest ja Eukleidese pakutud aksioomide süsteem pole ainus võimalik.

Eukleidese "Elementidel" oli matemaatika arengule tohutu mõju. Rohkem kui kaks tuhat aastat ei olnud see raamat mitte ainult geomeetria õpik, vaid oli ka paljude matemaatiliste uuringute lähtepunkt, mille tulemusena tekkisid uued iseseisvad matemaatika harud.

Geomeetria süstemaatiline konstrueerimine toimub tavaliselt järgmise plaani järgi:

ma Loetletakse peamised geomeetrilised mõisted, mida tutvustatakse ilma definitsioonideta.

II. Antakse geomeetria aksioomide sõnastus.

III. Aksioomide ja geomeetriliste põhimõistete alusel formuleeritakse teised geomeetrilised mõisted ja teoreemid.

1. Nime mitte-eukleidiline geomeetria päritolu?
2. Milliseid kujundeid nimetatakse nelinurkadeks?
3. Rööpküliku omadused?
4. Nelinurkade tüübid?

Kasutatud allikate loetelu

1. A.G. Tsypkin. Matemaatika käsiraamat
2. “Ühtne riigieksam 2006. Matemaatika. Õppe- ja koolitusmaterjalid õpilaste ettevalmistamiseks / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "M. I. Scanavi toimetatud kogumiku põhiliste võistlusülesannete lahendamine matemaatikas"

Tunni kallal töötamine

Saate tõstatada küsimuse kaasaegse hariduse kohta, avaldada ideed või lahendada kiireloomulise probleemi aadressil Haridusfoorum kus värskete mõtete ja tegude haridusnõukogu kohtub rahvusvaheliselt. Olles loonud blogi, Sa mitte ainult ei paranda oma staatust pädeva õpetajana, vaid annad olulise panuse ka tulevikukooli arengusse. Haridusjuhtide gild avab ukse tippspetsialistidele ja kutsub koostööd tegema maailma parimate koolide loomise suunas.

Populaarne:

• Artikkel 282. Vihkamise või vaenu õhutamine, samuti inimväärikuse alandamine
• Ettevõtte tulumaksu kalkulaator Kuidas arvutada ettevõtte tulumaksu Ettemaksete arvestusvorm on muutunud. Alates 2017. aasta esimese poolaasta aruandlusest on ettevõtte kinnisvaramaksu arvutamisel […]
• Ökoloogiaseadused Rohkem kui 100 aastat kestnud põhjalik populatsioonide ja koosluste uurimine on kogunud tohutul hulgal fakte. Nende hulgas - suur hulk, mis peegeldavad juhuslikke või ebaregulaarseid nähtusi ja protsesse. Kuid mitte […]
• Pensionivõimalused kohustuslikus pensionikindlustussüsteemis Kuni 2015. aasta lõpuni said 1967. aastal sündinud ja nooremad kodanikud valida, kas jätkata pensioni kogumist […]
• Põllumajandusministeeriumi korraldus 549 Registreeritud Vene Föderatsiooni Justiitsministeeriumis 5. märtsil 2009 N 13476 VENEMAA FÖDERATSIOONI PÕLLUMAJANDUSMINISTEERIUM, 16. detsember 2008 N 532 N 532 KLASSIFATATURAADI KLASSIFRAATURIDI FIAZESTURI KINNITAMISE KOHTA JA […]
• Puuetega laste pensionide tõstmine 1. jaanuarist 2018 Kodanike pensioni tagamine on riigi kohustus. See on kirjas riigi seaduste koodeksis – põhiseaduses. Puuetega inimeste seas, kes vajavad […]
• JSC RZD JSC "RUSSIAN RAILWAYS" sisekorraeeskiri 26. juuli 2012 MÄÄRUS N 87 REISIJATE JA REISIJATE ARENDAMISE PIIRKONDLIKE TEENUSTE (OSAKOND) SISEMÄÄRUSE KINNITAMISE KOHTA
• Positivismi kui filosoofilise liikumise 3 etapi seadus lähtub arusaamast, et suurem osa teadmistest maailma, inimese ja ühiskonna kohta saadakse eriteadustes, et "positiivne" teadus peaks katsetest loobuma […]

Nelja nurga ja nelja küljega. Nelinurga moodustab neljast lülist koosnev suletud polüjoon ja see osa tasapinnast, mis asub polüliini sees.

Nelinurga tähistus koosneb selle tippudes olevatest tähtedest, nimetades neid järjekorras. Näiteks öeldakse või kirjutatakse: nelinurk ABCD :

Nelinurgas ABCD punktid A, B, C ja D- See nelinurksed tipud, segmendid AB, eKr, CD ja DA - küljed.

Nimetatakse tippe, mis kuuluvad samale poolele naaber, nimetatakse tippe, mis ei ole kõrvuti vastupidine:

Nelinurgas ABCD tipud A ja B, B ja C, C ja D, D ja A on kõrvuti ja tipud A ja C, B ja D- vastupidine. Külgnevates tippudes asuvaid nurki nimetatakse ka naabertippudeks ja vastastippudes vastupidiseks.

Nelinurga küljed saab jagada ka paarikaupa külgnevateks ja vastaskülgedeks: külgi, millel on ühine tipp, nimetatakse nn. naaber(või seotud), küljed, millel pole ühiseid tippe - vastupidine:

Peod AB ja eKr, eKr ja CD, CD ja DA, DA ja AB on kõrvuti ja küljed AB ja DC, AD ja eKr- vastupidine.

Kui vastassuunalised tipud on segmendiga ühendatud, kutsutakse sellist lõiku nelinurga diagonaal. Arvestades, et nelinurgas on ainult kaks paari vastandlikke tippe, saab diagonaale olla ainult kaks:

Segmendid AC ja BD- diagonaalid.

Mõelge kumerate nelinurkade peamistele tüüpidele:

• Trapets- nelinurk, mille üks paar vastaskülgi on üksteisega paralleelsed ja teine ​​paar ei ole paralleelne.
  • Võrdhaarne trapets- trapets, mille küljed on võrdsed.
  • Ristkülikukujuline trapetsÜhe täisnurgaga trapets.
• Parallelogramm Nelinurk, milles mõlemad vastaskülgede paarid on üksteisega paralleelsed.
  • Ristkülik Rööpkülik, mille kõik nurgad on võrdsed.
  • Romb Rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.
  • Ruut Rööpkülik võrdsete külgede ja nurkadega. Ruut võib olla nii ristkülik kui ka romb.

Kumerate nelinurkade nurgaomadused

Kõigil kumeratel nelinurkadel on kaks järgmist omadust:

1. Kõik sisemised nurgad alla 180°.
2. Sisenurkade summa on 360°.

Tunni teema

• Nelinurga definitsioon.

Tunni eesmärgid

• Haridus - teadmiste kordamine, üldistamine ja testimine teemal: “Nelinurgad”; põhioskuste arendamine.
• Arendav - arendada õpilaste tähelepanu, visadust, visadust, loogilist mõtlemist, matemaatilist kõnet.
• Haridus - läbi tunni kasvatada tähelepanelikku suhtumist üksteisesse, sisendada oskust kuulata kaaslasi, vastastikust abi, iseseisvust.

Tunni eesmärgid

• Kujundada oskusi nelinurga ehitamiseks mastaabiriba ja joonistuskolmnurga abil.
• Kontrollige õpilaste võimet probleeme lahendada.

Tunniplaan

1. Ajaloo viide. Mitteeukleidiline geomeetria.
2. Nelinurk.
3. Nelinurkade tüübid.

Mitteeukleidiline geomeetria

Mitteeukleidiline geomeetria, geomeetria sarnane geomeetriaga Euclid selle poolest, et see määratleb kujundite liikumise, kuid erineb eukleidilisest geomeetriast selle poolest, et üks selle viiest postulaadist (teine ​​või viies) on asendatud selle eitusega. Ühe eukleidilise postulaadi (1825) eitamine oli mõtteloos märkimisväärne sündmus, sest see oli esimene samm relatiivsusteooria.

Eukleidese teine ​​postulaat väidab seda mis tahes joonelõiku saab lõputult pikendada. Ilmselt uskus Euclid, et see postulaat sisaldas ka väidet, et sirgel on lõpmatu pikkus. Kuid "elliptilises" geomeetrias on iga sirge lõplik ja nagu ringjoon, on suletud.

Viies postulaat ütleb, et kui sirge lõikub kahte etteantud sirget nii, et selle ühel küljel olevad kaks sisenurka on summaarselt väiksemad kui kaks täisnurka, siis need kaks sirget, kui neid piiramatult pikendada, ristuvad sellel küljel, kus nende nurkade summa on väiksem kui kahe sirge summa. Kuid "hüperboolses" geomeetrias võib eksisteerida sirge CB (vt joonis), mis on punktis C risti antud sirgega r ja lõikab punktis B teravnurga all teist sirget s, kuid sellest hoolimata on lõpmatud sirged r ja s ei ristu kunagi.

Nendest muudetud postulaatidest järeldas, et kolmnurga nurkade summa, mis on võrdne 180° Eukleidilise geomeetriaga, on suurem kui 180° elliptilises geomeetrias ja väiksem kui 180° hüperboolses geomeetrias.

Nelinurk

Õppeained > Matemaatika > Matemaatika 8. klass

Kumer nelinurk on kujund, mis koosneb neljast tipust üksteisega ühendatud küljest, moodustades külgedega koos neli nurka, kusjuures nelinurk ise on alati samal tasapinnal sirgjoonega, millel asub selle üks külgedest. Teisisõnu, kogu kujund on selle mis tahes külje ühel küljel.

Kokkupuutel

Nagu näete, on määratlus üsna lihtne meelde jätta.

Põhiomadused ja tüübid

Peaaegu kõik meile teadaolevad neljast nurgast ja küljelt koosnevad kujundid on omistatavad kumeratele nelinurkadele. Eristada saab järgmist:

1. rööpkülik;
2. ruut;
3. ristkülik;
4. trapetsikujuline;
5. romb.

Kõiki neid figuure ühendab mitte ainult see, et nad on nelinurksed, vaid ka see, et nad on ka kumerad. Vaadake lihtsalt diagrammi:

Joonisel on kujutatud kumer trapets. Siin on näha, et trapets asub lõigu samal tasapinnal või ühel küljel. Kui teete sarnaseid toiminguid, saate teada, et kõigi teiste külgede puhul on trapets kumer.

Kas rööpkülik on kumer nelinurk?

Ülal on rööpküliku kujutis. Nagu jooniselt näha, rööpkülik on ka kumer. Kui vaadata joonist nende sirgete suhtes, millel asuvad lõigud AB, BC, CD ja AD, selgub, et see on nende joonte põhjal alati samal tasapinnal. Rööpküliku põhiomadused on see, et selle küljed on paarikaupa paralleelsed ja võrdsed samamoodi nagu vastasnurgad on üksteisega võrdsed.

Kujutage nüüd ette ruutu või ristkülikut. Oma põhiomaduste järgi on nad ka rööpkülikukujulised, st kõik nende küljed on paigutatud paaridesse paralleelselt. Ainult ristküliku puhul võivad külgede pikkused olla erinevad ja nurgad on täisnurgad (võrdsed 90 kraadiga), ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed ja nurgad on samuti õiged, samas kui pikkused rööpküliku külgede ja nurkade suurus võib olla erinev.

Selle tulemusena nelinurga kõigi nelja nurga summa peab olema võrdne 360 ​​kraadiga. Lihtsaim viis seda määrata ristküliku abil: ristküliku kõik neli nurka on õiged, see tähendab 90 kraadi. Nende 90-kraadiste nurkade summa annab 360 kraadi ehk teisisõnu, kui liita 90 kraadi 4 korda, saad soovitud tulemuse.

Kumera nelinurga diagonaalide omadus

Kumera nelinurga diagonaalid lõikuvad. Tõepoolest, seda nähtust saab visuaalselt jälgida, vaadake lihtsalt joonist:

Vasakpoolsel joonisel on kujutatud mittekumerat nelinurka või nelinurka. Nagu soovite. Nagu näha, siis diagonaalid ei ristu, vähemalt mitte kõik. Paremal on kumer nelinurk. Siin on juba täheldatud diagonaalide lõikumise omadust. Sama omadust võib pidada ka nelinurga kumeruse märgiks.

Nelinurga muud omadused ja kumeruse tunnused

Täpsemalt, selle termini järgi on väga raske nimetada mingeid konkreetseid omadusi ja omadusi. Seda on lihtsam isoleerida erinevat tüüpi seda tüüpi nelinurkade järgi. Võite alustada rööpkülikuga. Teame juba, et see on nelinurkne kujund, mille küljed on paarikaupa paralleelsed ja võrdsed. Samas sisaldub siin ka rööpküliku diagonaalide omadus üksteisega lõikuda, aga ka kujundi enda kumeruse märk: rööpkülik on alati samas tasapinnas ja ühel küljel suhteline. ühelegi selle küljele.

Niisiis, peamised omadused ja omadused on teada:

1. nelinurga nurkade summa on 360 kraadi;
2. kujundite diagonaalid lõikuvad ühes punktis.

Ristkülik. Sellel joonisel on kõik samad omadused ja omadused nagu rööpkülikul, kuid kõik selle nurgad on 90 kraadi. Sellest ka nimi, ristkülik.

Ruut, sama rööpkülik, kuid selle nurgad on õiged, nagu ristkülik. Seetõttu nimetatakse ruutu harva ristkülikuks. Kuid ruudu peamine eristav tunnus, lisaks juba eespool loetletud, on see, et selle kõik neli külge on võrdsed.

Trapets on väga huvitav kujund.. See on ka nelinurk ja ka kumer. Selles artiklis on trapetsi juba käsitletud joonise näitel. On selge, et ta on ka kumer. Peamine erinevus ja vastavalt ka trapetsi märk seisneb selles, et selle küljed ei pruugi olla üksteisega absoluutselt võrdsed nii pikkuse kui ka nurkade väärtusega. Sel juhul jääb kujund alati samale tasapinnale mis tahes sirge suhtes, mis ühendab selle mis tahes kahte tippu piki joonist moodustavaid segmente.

Romb on sama huvitav kuju. Osaliselt võib rombi pidada ruuduks. Rombi tunnuseks on asjaolu, et selle diagonaalid mitte ainult ei lõiku, vaid jagavad ka rombi nurgad pooleks ning diagonaalid ise lõikuvad täisnurga all, see tähendab, et nad on risti. Kui rombi külgede pikkused on võrdsed, siis jagatakse ka diagonaalid ristumiskohas pooleks.

Deltoidid või kumerad rombid (rombid) võib olla erineva küljepikkusega. Kuid samal ajal on endiselt säilinud nii rombi enda peamised omadused ja tunnused kui ka kumeruse tunnused ja omadused. See tähendab, et võime jälgida, et diagonaalid poolitavad nurki ja lõikuvad täisnurga all.

Tänane ülesanne oli läbi mõelda ja mõista, mis on kumerad nelinurgad, mis need on ja millised on nende peamised tunnused ja omadused. Tähelepanu! Tasub veel kord meenutada, et kumera nelinurga nurkade summa on 360 kraadi. Näiteks kujundite ümbermõõt on võrdne kõigi joonist moodustavate segmentide pikkuste summaga. Nelinurkade ümbermõõdu ja pindala arvutamise valemeid käsitletakse järgmistes artiklites.

Kumerate nelinurkade tüübid