Lineaarvõrrandid. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Lineaarvõrrandid.

Lineaarvõrrandid pole koolimatemaatika kõige keerulisem teema. Kuid seal on mõned nipid, mis võivad isegi koolitatud õpilast mõistatada. Kas mõtleme selle välja?)

Lineaarvõrrandit määratletakse tavaliselt järgmisel kujul:

kirves + b = 0 kus a ja b- mis tahes numbrid.

2x + 7 = 0. Siin a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 siin a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Siin a = 12, b = 1/2

Pole midagi keerulist, eks? Eriti kui te ei märka sõnu: "kus a ja b on suvalised arvud"... Ja kui märkad, aga hooletult mõtled?) Lõppude lõpuks, kui a=0, b = 0(kõik numbrid on võimalikud?), siis saame naljaka väljendi:

Kuid see pole veel kõik! Kui ütleme, a=0, a b = 5, selgub midagi üsna absurdset:

Mis kurnab ja õõnestab usaldust matemaatika vastu, jah ...) Eriti eksamitel. Aga nendest kummalistest väljenditest tuleb leida ka X! Mida pole üldse olemas. Ja üllataval kombel on seda X-i väga lihtne leida. Õpime, kuidas seda teha. Selles õppetükis.

Kuidas lineaarvõrrandit välimuselt ära tunda? Oleneb mida välimus.) Nipp seisneb selles, et lineaarvõrrandeid ei nimetata ainult vormivõrranditeks kirves + b = 0 , aga ka kõik võrrandid, mis on teisenduste ja lihtsustustega taandatud sellele kujule. Ja kes teab, kas seda vähendatakse või mitte?)

Lineaarvõrrandi saab mõnel juhul selgelt ära tunda. Ütle, et kui meil on võrrand, milles on ainult esimese astme tundmatuid, siis jah arvud. Ja võrrand seda ei tee murrud jagatud teadmata , see on tähtis! Ja jagamine number, või murdosa - see on kõik! Näiteks:

See on lineaarne võrrand. Siin on murrud, aga ruudus, kuubis jne pole x-e ja nimetajates pole x-i, s.t. Ei jagamine x-ga. Ja siin on võrrand

lineaarseks nimetada ei saa. Siin on x-id kõik esimesel astmel, kuid on olemas avaldisega jagamine x-ga. Pärast lihtsustusi ja teisendusi saate lineaarvõrrandi, ruutvõrrandi ja kõike, mis teile meeldib.

Selgub, et mõnes keerulises näites on lineaarvõrrandi leidmine võimatu enne, kui olete selle peaaegu lahendanud. See on häiriv. Kuid ülesannetes reeglina ei küsita võrrandi vormi kohta, eks? Ülesannetes on võrrandid järjestatud otsustama. See teeb mind õnnelikuks.)

Lineaarvõrrandite lahendus. Näited.

Kogu lineaarvõrrandite lahendus koosneb võrrandite identsetest teisendustest. Muide, need teisendused (koguni kaks!) on lahenduste aluseks kõik matemaatika võrrandid. Teisisõnu, otsus ükskõik milline Võrrand algab samade teisendustega. Lineaarvõrrandite puhul lõpeb see (lahendus) nendel teisendustel täisväärtusliku vastusega. Mõttekas on jälgida linki, eks?) Pealegi on ka näiteid lineaarvõrrandite lahendamisest.

Alustame kõige lihtsama näitega. Ilma igasuguste lõksudeta. Oletame, et peame lahendama järgmise võrrandi.

x - 3 = 2 - 4x

See on lineaarne võrrand. X-id on kõik esimesel astmel, X-ga jagamist pole. Kuid tegelikult meid ei huvita, mis võrrand on. Peame selle lahendama. Siinne skeem on lihtne. Koguge võrrandi vasakpoolses servas kõik, millel on x-id, paremal kõik, kus pole x-e (arvud).

Selleks peate üle kandma - 4x vasakule poole, märgivahetusega muidugi, aga - 3 - paremale. Muide, see on võrrandite esimene identne teisendus.üllatunud? Niisiis, nad ei järginud linki, kuid asjata ...) Saame:

x + 4x = 2 + 3

Anname sarnaseid, arvestame:

Mida me vajame, et olla täiesti õnnelikud? Jah, et vasakul oleks puhas X! Viis jääb teele. Viiest lahti saada võrrandite teine ​​identne teisendus. Nimelt jagame mõlemad võrrandi osad 5-ga. Saame valmis vastuse:

Elementaarne näide muidugi. See on soojenduseks.) Ei ole väga selge, miks ma siin identseid teisendusi meenutasin? OKEI. Võtame härjal sarvist.) Otsustame midagi muljetavaldavamat.

Näiteks siin on see võrrand:

Kust me alustame? X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale? Võiks nii olla. Väikesed sammud pikal teel. Ja saate kohe, universaalsel ja võimsal viisil. Kui teie arsenalis pole muidugi identsed võrrandite teisendused.

Esitan teile võtmeküsimuse: Mis sulle selle võrrandi juures kõige rohkem ei meeldi?

95 inimest 100-st vastavad: fraktsioonid ! Vastus on õige. Nii et laseme neist lahti. Nii et alustame kohe teine ​​identne teisendus. Mida on vaja vasakpoolse murru korrutamiseks, et nimetaja täielikult väheneks? See on õige, 3. Ja paremal? 4-ga. Kuid matemaatika võimaldab meil mõlemat poolt korrutada sama number. Kuidas me välja saame? Korrutame mõlemad pooled 12-ga! Need. ühisele nimetajale. Siis vähendatakse kolme ja nelja. Ärge unustage, et peate iga osa korrutama täielikult. Esimene samm näeb välja järgmine:

Sulgude laiendamine:

Märge! Lugeja (x+2) Võtsin sulgudesse! Seda seetõttu, et murdude korrutamisel korrutatakse lugeja tervega, täielikult! Ja nüüd saate murde vähendada ja vähendada:

Ülejäänud sulgude avamine:

Mitte näide, vaid puhas rõõm!) Nüüd tuletame meelde loitsu madalamatest klassidest: x-iga - vasakule, ilma x-ga - paremale! Ja rakendage seda teisendust:

Siin on mõned nagu:

Ja jagame mõlemad osad 25-ga, st. rakenda uuesti teist teisendust:

See on kõik. Vastus: X=0,16

Pange tähele: algse segase võrrandi meeldivaks muutmiseks kasutasime kahte (ainult kahte!) identsed teisendused- tõlkimine vasakule-paremale koos märgi muutmise ja võrrandi sama arvuga korrutamise-jagamisega. See on universaalne viis! Me töötame sel viisil ükskõik milline võrrandid! Absoluutselt ükskõik milline. Seetõttu kordan neid identseid teisendusi kogu aeg.)

Nagu näete, on lineaarvõrrandite lahendamise põhimõte lihtne. Võtame võrrandi ja lihtsustame seda identsete teisenduste abil, kuni saame vastuse. Peamised probleemid on siin arvutustes, mitte lahenduse põhimõttes.

Aga ... Kõige elementaarsemate lineaarvõrrandite lahendamise protsessis on niisuguseid üllatusi, et need võivad ajada tugevasse stuuporisse...) Õnneks saab selliseid üllatusi olla ainult kaks. Nimetagem neid erijuhtudeks.

Erijuhud lineaarvõrrandite lahendamisel.

Üllatus kõigepealt.

Oletame, et kohtate elementaarvõrrandit, näiteks:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Pisut igavledes kanname X-ga üle vasakule, ilma X-ga - paremale ... Märgivahetusega on kõik lõug-chinar ... Saame:

2x-5x+3x=5-2-3

Me usume ja ... oh imet! Saame:

Iseenesest pole see võrdsus taunitav. Null tõesti null. Aga X on kadunud! Ja me peame vastusesse kirjutama, millega x on võrdne. Muidu lahendus ei loe, jah...) Ummik?

Rahune! Sellistel kahtlastel juhtudel päästavad kõige üldisemad reeglid. Kuidas võrrandeid lahendada? Mida tähendab võrrandi lahendamine? See tähendab, leidke kõik x väärtused, mis algsesse võrrandisse asendatuna annavad meile õige võrdsuse.

Kuid meil on õige võrdsus juba juhtus! 0=0, kus tegelikult?! Jääb üle välja mõelda, milliste x-dega see saadakse. Milliste x väärtustega saab asendada originaal võrrand, kui need x-id ikka kahaneb nulli? Ole nüüd?)

Jah!!! X-e saab asendada ükskõik milline! Mida sa tahad. Vähemalt 5, vähemalt 0,05, vähemalt -220. Need kahanevad ikkagi. Kui te mind ei usu, saate seda kontrollida.) Asendage suvalised x väärtused originaal võrrand ja arvutada. Kogu aeg saab olema puhas tõde: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ja nii edasi.

Siin on teie vastus: x on suvaline arv.

Vastuse saab kirjutada erinevate matemaatiliste sümbolitega, olemus ei muutu. See on täiesti õige ja täielik vastus.

Teiseks üllatus.

Võtame sama elementaarlineaarvõrrandi ja muudame selles ainult ühte arvu. Selle otsustame:

2x+1=5x+5–3x–2

Pärast samu identseid teisendusi saame midagi intrigeerivat:

Nagu nii. Lahendas lineaarvõrrandi, sai kummalise võrrandi. Matemaatiliselt on meil vale võrdsus. Ja rääkides selge keel, see ei ole tõsi. Märatsema. Kuid sellegipoolest on see jama selleks üsna hea põhjus õige otsus võrrandid.)

Jällegi, me mõtleme alates üldreeglid. Mida x meile algsesse võrrandisse asendades annab õige võrdsus? Jah, mitte ühtegi! Selliseid xe pole olemas. Mida iganes asendate, kõik väheneb, jama jääb alles.)

Siin on teie vastus: lahendusi pole.

See on ka täiesti õige vastus. Matemaatikas tuleb selliseid vastuseid sageli ette.

Nagu nii. Nüüd ma loodan, et X-de kadumine mis tahes (mitte ainult lineaarse) võrrandi lahendamisel ei häiri teid üldse. Asi on tuttav.)

Nüüd, kui oleme kõigi lõksudega toime tulnud lineaarvõrrandid, on mõttekas need lahendada.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Võrrandite võrgulahenduse teenus aitab teil lahendada mis tahes võrrandi. Meie saiti kasutades ei saa te mitte ainult võrrandile vastust, vaid ka näete üksikasjalik lahendus, st tulemuse saamise protsessi samm-sammult kuvamine. Meie teenus on kasulik keskkooliõpilastele ja nende vanematele. Õpilased saavad valmistuda kontrolltöödeks, eksamiteks, testida oma teadmisi ning vanemad saavad juhtida laste matemaatiliste võrrandite lahendamist. Võrrandite lahendamise oskus on õpilastele kohustuslik. Teenus aitab teil ise õppida ja täiendada oma teadmisi matemaatiliste võrrandite vallas. Selle abil saate lahendada mis tahes võrrandi: ruut-, kuup-, irratsionaalne, trigonomeetriline jne. võrguteenus kuid hindamatu, sest lisaks õigele vastusele saate iga võrrandi üksikasjaliku lahenduse. Võrrandite Internetis lahendamise eelised. Saate meie veebisaidil Internetis lahendada mis tahes võrrandi täiesti tasuta. Teenus on täisautomaatne, arvutisse ei pea midagi installima, piisab vaid andmete sisestamisest ja programm väljastab lahenduse. Kõik arvutusvead või trükivead on välistatud. Meiega on võrgus mis tahes võrrandit väga lihtne lahendada, seega kasutage meie saiti mis tahes võrrandite lahendamiseks. Tuleb vaid andmed sisestada ja arvutus valmib sekunditega. Programm töötab iseseisvalt, ilma inimese sekkumiseta ning saate täpse ja üksikasjaliku vastuse. Võrrandi lahendamine üldkujul. Sellises võrrandis on muutujate koefitsiendid ja soovitud juured omavahel seotud. Muutuja suurim võimsus määrab sellise võrrandi järjekorra. Selle põhjal võrrandite jaoks kasutada erinevaid meetodeid ja teoreemid lahenduste leidmiseks. Seda tüüpi võrrandite lahendamine tähendab soovitud juurte leidmist üldisel kujul. Meie teenus võimaldab teil Internetis lahendada isegi kõige keerukama algebralise võrrandi. Saad nii võrrandi üldlahendi kui ka privaatlahenduse enda määratud jaoks. arvväärtusi koefitsiendid. Algebralise võrrandi lahendamiseks saidil piisab, kui täidate õigesti ainult kaks välja: antud võrrandi vasak ja parem osa. Muutuvate koefitsientidega algebralistel võrranditel on lõpmatu arv lahendeid ja teatud tingimuste seadmisel valitakse lahendite hulgast välja konkreetsed. Ruutvõrrand. Ruutvõrrand on kujul ax^2+bx+c=0, kui a>0. Ruutvormi võrrandite lahendamine eeldab x väärtuste leidmist, mille korral on täidetud võrdus ax ^ 2 + bx + c \u003d 0. Selleks leitakse diskriminandi väärtus valemiga D=b^2-4ac. Kui diskriminant on nullist väiksem, siis võrrandil puuduvad reaaljuured (juured on kompleksarvude väljast), kui see on null, siis on võrrandil üks reaaljuur ja kui diskriminant on suurem kui null, siis võrrandil on kaks reaaljuurt, mis leitakse valemiga: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Ruutvõrrandi võrgus lahendamiseks peate lihtsalt sisestama sellise võrrandi koefitsiendid (täisarvud, murrud või kümnendväärtused). Kui võrrandis on lahutamismärke, tuleb võrrandi vastavate liikmete ette panna miinus. Samuti saate ruutvõrrandi Internetis lahendada sõltuvalt parameetrist, st võrrandi koefitsientide muutujatest. Meie veebiteenus ühiste lahenduste leidmiseks tuleb selle ülesandega suurepäraselt toime. Lineaarvõrrandid. Lineaarvõrrandite (või võrrandisüsteemide) lahendamiseks kasutatakse praktikas nelja peamist meetodit. Kirjeldame iga meetodit üksikasjalikult. Asendusmeetod. Asendusmeetodil võrrandite lahendamine eeldab ühe muutuja väljendamist teistega. Pärast seda asendatakse avaldis süsteemi teiste võrranditega. Sellest tuleneb ka lahendusmeetodi nimetus, st muutuja asemel asendatakse selle avaldis ülejäänud muutujate kaudu. Praktikas nõuab meetod keerukaid arvutusi, kuigi sellest on lihtne aru saada, seega säästab sellise võrrandi veebipõhine lahendamine aega ja teeb arvutused lihtsamaks. Peate lihtsalt määrama võrrandis tundmatute arvu ja täitma lineaarvõrrandi andmed, seejärel teeb teenus arvutuse. Gaussi meetod. Meetod põhineb süsteemi kõige lihtsamatel teisendustel, et jõuda samaväärse kolmnurksüsteemini. Tundmatud määratakse selle järgi ükshaaval. Praktikas tuleb selline võrrand Internetis lahendada Täpsem kirjeldus, tänu millele omandate hästi Gaussi meetodi lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Kirjutage lineaarvõrrandisüsteem õiges vormingus üles ja võtke süsteemi õigeks lahendamiseks arvesse tundmatute arvu. Crameri meetod. See meetod lahendab võrrandisüsteemid juhtudel, kui süsteemil on ainus otsus. Peamine matemaatiline tehe on siin maatriksdeterminantide arvutamine. Võrrandite lahendamine Crameri meetodil toimub võrgus, tulemuse saate kohe koos täieliku ja üksikasjaliku kirjeldusega. Piisab, kui täita süsteem koefitsientidega ja valida tundmatute muutujate arv. maatriks meetod. See meetod seisneb maatriksis A tundmatute koefitsientide, X veergu tundmatute ja veerus B vabade liikmete koefitsientide kogumises. Seega taandatakse lineaarvõrrandisüsteem järgmiseks. maatriksvõrrand kujul AxX=B. Sellel võrrandil on kordumatu lahend ainult siis, kui maatriksi A determinant on nullist erinev, vastasel juhul pole süsteemil lahendeid või on lõpmatu arv lahendeid. Võrrandite lahendus maatriksmeetodil on pöördmaatriksi A leidmine.

7. klassi matemaatikakursusel kohtutakse esmalt koos kahe muutujaga võrrandid, kuid neid uuritakse ainult kahe tundmatuga võrrandisüsteemide kontekstis. Seetõttu jääb see silma alt ära terve rida probleemid, milles neid piirava võrrandi koefitsientidele kehtestatakse teatud tingimused. Lisaks jäetakse tähelepanuta ka sellised probleemide lahendamise meetodid nagu "lahendage võrrand naturaal- või täisarvudes", kuigi KASUTAGE materjale ja sisseastumiseksamitel puutub taoliste probleemidega kokku üha sagedamini.

Millist võrrandit nimetatakse kahe muutujaga võrrandiks?

Näiteks võrrandid 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 või xy = 12 on kahe muutuja võrrandid.

Vaatleme võrrandit 2x - y = 1. See muutub tõeliseks võrrandiks x = 2 ja y = 3 korral, seega on see muutuja väärtuste paar vaadeldava võrrandi lahendus.

Seega on mis tahes kahe muutujaga võrrandi lahendus järjestatud paaride kogum (x; y), muutujate väärtused, mille see võrrand muudab tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Kahe tundmatuga võrrand võib:

a) on üks lahendus. Näiteks võrrandil x 2 + 5y 2 = 0 on kordumatu lahend (0; 0);

b) on mitu lahendust. Näiteks (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 on 4 lahendust: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

sisse) pole lahendusi. Näiteks võrrandil x 2 + y 2 + 1 = 0 pole lahendeid;

G) lahendusi on lõputult palju. Näiteks x + y = 3. Selle võrrandi lahendid on arvud, mille summa on 3. Selle võrrandi lahendite hulga saab kirjutada kujul (k; 3 - k), kus k on mis tahes reaalarv.

Peamised meetodid kahe muutujaga võrrandite lahendamisel on meetodid, mis põhinevad avaldiste lagundamisel teguriteks, täisruudu valikul, ruutvõrrandi omaduste kasutamisel, avaldiste piiritusel ja hindamismeetoditel. Võrrand muundatakse reeglina vormiks, millest saab tundmatute leidmise süsteemi.

Faktoriseerimine

Näide 1

Lahendage võrrand: xy - 2 = 2x - y.

Otsus.

Rühmitame faktooringu tingimused:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Võtke igast sulust välja ühistegur:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. Meil ​​on:

y = 2, x on mis tahes reaalarv või x = -1, y on mis tahes reaalarv.

Seega vastuseks on kõik paarid kujul (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R.

Null ei ole negatiivsed arvud

Näide 2

Lahendage võrrand: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Otsus.

Rühmitamine:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nüüd saab iga sulu ahendada, kasutades ruuduvahe valemit.

(3x - 2) 2 + (2a - 3) 2 = 0.

Kahe mittenegatiivse avaldise summa on null ainult siis, kui 3x - 2 = 0 ja 2y - 3 = 0.

Seega x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastus: (2/3; 3/2).

Hindamismeetod

Näide 3

Lahendage võrrand: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Otsus.

Valige igast sulust täisruut:

((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Prognoos sulgudes olevate väljendite tähendus.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, siis võrrandi vasak pool on alati vähemalt 2. Võrdsus on võimalik, kui:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y - 2) 2 + 2 = 2, seega x = -1, y = 2.

Vastus: (-1; 2).

Tutvume teise meetodiga kahe teise astme muutujaga võrrandite lahendamiseks. See meetod seisneb selles, et võrrandit peetakse järgmiselt ruut mõne muutuja suhtes.

Näide 4

Lahendage võrrand: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Otsus.

Lahendame võrrandi ruutarvuna x suhtes. Leiame diskrimineerija:

D = 36 - 4 (y - 4 y + 13) = -4y + 16 y - 16 = -4 ( y - 2) 2 . Võrrandil on lahendus ainult siis, kui D = 0, st kui y = 4. Asendame y väärtuse algse võrrandiga ja leiame, et x = 3.

Vastus: (3; 4).

Sageli kahe tundmatuga võrrandites näitavad piirangud muutujatele.

Näide 5

Lahendage võrrand täisarvudes: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Otsus.

Kirjutame võrrandi ümber kujul x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Saadud võrrandi parem pool, jagades 5-ga, annab jäägi 2. Seega x 2 ei jagu 5-ga. Kuid ruut arvust, mis ei jagu 5-ga, annab jäägi 1 või 4. Seega on võrdsus võimatu ja lahendeid pole.

Vastus: pole juuri.

Näide 6

Lahendage võrrand: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Otsus.

Valime igas sulus täisruudud:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Võrrandi vasak pool on alati suurem kui 3 või sellega võrdne. Võrdsus on võimalik, kui |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Seega x = ± 2, y = -3.

Vastus: (2; -3) ja (-2; -3).

Näide 7

Iga võrrandit rahuldava negatiivse täisarvu (x; y) paari jaoks
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, arvutage summa (x + y). Vasta väikseim summa.

Otsus.

Valige täisruudud:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4 a + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kuna x ja y on täisarvud, on ka nende ruudud täisarvud. Kahe täisarvu ruutude summa, mis on võrdne 37-ga, saame, kui liidame 1 + 36. Seega:

(x - y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Neid süsteeme lahendades ja arvestades, et x ja y on negatiivsed, leiame lahendid: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastus: -17.

Ärge heitke meelt, kui teil on raskusi kahe tundmatuga võrrandite lahendamisel. Väikese harjutamisega saate omandada mis tahes võrrandi.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas lahendada kahe muutujaga võrrandeid?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
Esimene tund on tasuta!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Juhend

Asendusmeetod Väljendage üks muutuja ja asendage see teise võrrandiga. Saate väljendada mis tahes muutujat, mis teile meeldib. Näiteks väljendage "y" teisest võrrandist:
x-y=2 => y=x-2 Seejärel ühendage kõik esimesse võrrandisse:
2x+(x-2)=10 Liigutage kõik ilma x-ita paremale poole ja loendage:
2x+x=10+2
3x=12 Järgmiseks jagage "x" võrrandi mõlemad pooled 3-ga:
x=4. Niisiis, olete leidnud "x. Otsige üles "at. Selleks asendage "x" võrrandis, millest väljendasite "y:
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Tehke kontroll. Selleks asendage saadud väärtused võrranditesse:
2*4+2=10
4-2=2
Tundmatu leitud õigesti!

Võrrandite liitmine või lahutamine Vabanege igast muutujast korraga. Meie puhul on seda lihtsam teha "y.
Kuna “y”-s on “+” ja teises “-”, siis saad teha liitmistoimingu, s.t. Lisame vasaku külje vasakule ja parema külje paremale:
2x+y+(x-y)=10+2Teisenda:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Asendage mis tahes võrrandis "x" ja leidke "y:
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2 Vastavalt 1. meetodile saate õigesti leida selle, mida leidsite.

Kui selgelt määratletud muutujaid pole, siis on vaja võrrandeid veidi teisendada.
Esimeses võrrandis on meil "2x" ja teises lihtsalt "x". Et liitmine või "x" väheneks, korrutage teine ​​võrrand 2-ga:
x-y=2
2x-2y=4 Seejärel lahutage esimesest võrrandist teine ​​võrrand:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3a = 6
leidke y \u003d 2 "x, väljendades mis tahes võrrandist, st.
x=4

Seotud videod

Vihje 2: kuidas lahendada kahe muutujaga lineaarvõrrandit

Võrrand, mis on kirjutatud üldkujul ax + by + c \u003d 0, nimetatakse lineaarvõrrandiks kahega muutujad. Selline võrrand ise sisaldab lõpmatult palju lahendeid, mistõttu ülesannetes täiendatakse seda alati millegagi - veel ühe võrrandi või piirtingimustega. Sõltuvalt ülesandega kaasnevatest tingimustest lahendage lineaarvõrrand kahega muutujad peaks erinevaid viise.

Sa vajad

• - kahe muutujaga lineaarvõrrand;
• - teine ​​võrrand või lisatingimused.

Juhend

Arvestades kahe lineaarse võrrandi süsteemi, lahendage see järgmiselt. Valige üks võrranditest, milles koefitsiendid on enne muutujad väiksemad ja väljendada üht muutujatest, näiteks x. Seejärel ühendage see väärtus, mis sisaldab y-d, teise võrrandisse. Saadud võrrandis on ainult üks muutuja y, liigutage kõik osad y-ga vasakule ja vabad paremale. Leidke y ja asendage mis tahes algses võrrandis, leidke x.

Kahest võrrandist koosneva süsteemi lahendamiseks on veel üks viis. Korrutage üks võrranditest arvuga nii, et koefitsient ühe muutuja ees, näiteks x ees, oleks mõlemas võrrandis sama. Seejärel lahutage üks võrranditest teisest (kui parem pool ei ole 0, pidage meeles, et samamoodi lahutage parem pool). Näete, et muutuja x on kadunud ja alles on jäänud ainult üks y. Lahendage saadud võrrand ja asendage leitud väärtus y mis tahes algse võrrandiga. Leia x.

Kolmas viis kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks on graafiline. Joonistage koordinaatsüsteem ja joonistage graafikud kahest sirgest, mille võrrandid on teie süsteemis näidatud. Selleks asendage võrrandis mis tahes kaks x väärtust ja leidke vastav y - need on joonele kuuluvate punktide koordinaadid. Kõige mugavam on leida ristumiskoht koordinaattelgedega - lihtsalt asendage väärtused x=0 ja y=0. Ülesanneteks on nende kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Kui ülesande tingimustes on ainult üks lineaarvõrrand, siis antakse sulle lisatingimused, mille tõttu saad lahenduse leida. Nende tingimuste leidmiseks lugege probleem hoolikalt läbi. Kui a muutujad x ja y on vahemaa, kiirus, kaal – seadke vabalt piirid x≥0 ja y≥0. On täiesti võimalik, et x või y varjab , õunte jne arvu. – siis saavad väärtused olla ainult . Kui x on poja vanus, on selge, et ta ei saa olla vanem kui isa, seega täpsustage see ülesande tingimustes.

Allikad:

• kuidas lahendada ühe muutujaga võrrandit

Iseenesest võrrand kolmega teadmata on palju lahendusi, nii et enamasti täiendatakse seda veel kahe võrrandi või tingimusega. Olenevalt sellest, millised on lähteandmed, sõltub suuresti otsuse käik.

Sa vajad

• - kolmest võrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga.

Juhend

Kui kahel süsteemil kolmest on kolmest tundmatust ainult kaks, proovige väljendada mõnda muutujat teistega ja ühendada need võrrand kolmega teadmata. Selle eesmärk on muuta see normaalseks võrrand tundmatuga. Kui see on , on edasine lahendus üsna lihtne – asendage leitud väärtus teiste võrranditega ja leidke kõik muud tundmatud.

Mõnda võrrandisüsteemi saab ühest võrrandist teise võrra lahutada. Vaadake, kas on võimalik korrutada ühte või muutujat nii, et kaks tundmatut taandatakse korraga. Kui selline võimalus on, kasutage seda, tõenäoliselt ei ole hilisem otsus keeruline. Ärge unustage, et arvuga korrutades peate korrutama nii vasaku kui ka parema poole. Samamoodi pidage meeles võrrandite lahutamisel, et lahutada tuleb ka parem pool.

Kui eelmised meetodid ei aidanud, kasutage üldiselt mis tahes võrrandi lahendused kolmega teadmata. Selleks kirjutage võrrandid ümber kujul a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Nüüd tehke x (A) koefitsientide maatriks, tundmatute maatriks (X) ja vabade maatriks (B). Pöörake tähelepanu, korrutades koefitsientide maatriksi tundmatute maatriksiga, saate maatriksi, vabaliikmete maatriksi, see tähendab A * X \u003d B.

Leidke maatriks A astmele (-1) pärast leidmist, pange tähele, et see ei tohiks olla võrdne nulliga. Pärast seda korrutage saadud maatriks maatriksiga B, mille tulemusena saate soovitud maatriksi X, mis näitab kõiki väärtusi.

Kolmest võrrandist koosnevale süsteemile saab lahenduse leida ka Crameri meetodil. Selleks tuleb leida süsteemi maatriksile vastav kolmandat järku determinant ∆. Seejärel leidke järjestikku veel kolm determinanti ∆1, ∆2 ja ∆3, asendades vastavate veergude väärtuste asemel vabade liikmete väärtused. Nüüd leia x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Allikad:

• kolme tundmatuga võrrandite lahendid

Võrrandisüsteemi lahendamine on keeruline ja põnev. Mida keerulisem on süsteem, seda huvitavam on seda lahendada. Kõige sagedamini matemaatikas Keskkool on kahe tundmatuga võrrandisüsteeme, kuid kõrgemas matemaatikas võib muutujaid olla rohkem. Süsteeme saab lahendada mitmel viisil.

Juhend

Kõige tavalisem meetod võrrandisüsteemi lahendamiseks on asendamine. Selleks peate väljendama üht muutujat teise kaudu ja asendama selle teisega võrrand süsteemid, tuues seega võrrandühele muutujale. Näiteks kui on antud võrrandid: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

Teisest avaldisest on mugav väljendada üht muutujatest, kandes kõik muu avaldise paremale poole, unustamata muuta koefitsiendi märki: x = 3-y.

Avame sulud: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Saadud y väärtus asendatakse avaldisega: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

Esimeses avaldises on kõik liikmed 2, korrutamise jaotusomaduseni saate sulust välja võtta 2: 2 * (2x-y-3) = 0. Nüüd saab avaldise mõlemat osa selle arvu võrra vähendada ja seejärel väljendada y, kuna selle moodulitegur on võrdne ühega: -y \u003d 3-2x või y \u003d 2x-3.

Nii nagu esimesel juhul, asendame selle väljendi teisega võrrand ja saame: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Asendage saadud väärtus avaldisesse: y=2x-3;y=4-3=1.

Näeme, et koefitsient y-s on väärtuselt sama, kuid märgilt erinev, seega kui need võrrandid liita, vabaneme y-st täielikult: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x = 2. Asendame x väärtuse mis tahes süsteemi kahest võrrandist ja saame y=1.

Seotud videod

Bisquare võrrand esindab võrrand neljas aste üldine vorm mida kujutab avaldis ax^4 + bx^2 + c = 0. Selle lahendus põhineb tundmatute asendusmeetodi kasutamisel. Sel juhul asendatakse x^2 teise muutujaga. Seega on tulemuseks tavaline ruut võrrand, mis tuleb lahendada.

Juhend

Lahendage ruut võrrand asendamisest tulenev. Selleks arvutage esmalt väärtus vastavalt valemile: D = b^2 ? 4ac. Sel juhul on muutujad a, b, c meie võrrandi koefitsiendid.

Leia bikvadraatvõrrandi juured. Selleks võtke saadud lahenduste ruutjuur. Kui oli üks otsus, siis tuleb kaks - positiivne ja negatiivne tähendus ruutjuur. Kui oleks kaks lahendit, oleks bikvadraatvõrrandil neli juurt.

Seotud videod

Üks neist klassikalised viisid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine on Gaussi meetod. See seisneb muutujate järjestikuses välistamises, kui võrrandisüsteem muudetakse lihtsate teisenduste abil astmeliseks süsteemiks, millest leitakse järjestikku kõik muutujad, alustades viimastest.

Juhend

Esiteks viige võrrandisüsteem sellisele kujule, kus kõik tundmatud on rangelt määratletud järjekorras. Näiteks kõik tundmatud X-id tulevad igal real esimesel kohal, kõik Y-d tulevad X-i järel, kõik Z-d Y-i järel jne. Iga võrrandi paremal küljel ei tohiks olla tundmatuid. Määrake vaimselt iga tundmatu ees olevad koefitsiendid, samuti iga võrrandi paremal küljel olevad koefitsiendid.

Selles videos analüüsime tervet rida lineaarvõrrandeid, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid ka kõige lihtsamateks.

Alustuseks defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist neist tuleks nimetada kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimesel astmel.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarsed võrrandid taandatakse algoritmi abil kõige lihtsamateks:

1. Avatud sulgud, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Tooge sarnased terminid võrdusmärgist vasakule ja paremale;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Muidugi ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui saate midagi sellist nagu $0\cdot x=8$, st. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on siis, kui võrrand on taandatud konstruktsioonile $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, mis $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, st. õige arvuline võrdsus.

Ja nüüd vaatame tegelike probleemide näitel, kuidas see kõik toimib.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate avama sulud, kui need on olemas (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. kõik, mis on muutujaga seotud - terminid, milles see sisaldub - kantakse üle ühele poole ja kõik, mis jääb ilma, kandub teisele poole.

Seejärel peate reeglina saadud võrdsuse mõlemale küljele tooma sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga "x" ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või "plusside" ja "miinuste" lugemisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või nii, et lahendiks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Analüüsime neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõigest lihtsaid ülesandeid.

Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Alustuseks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui neid on.
2. Eraldage muutujad, st. kõik, mis sisaldab "x", kantakse ühele poole ja ilma "x"ta - teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga "x".

Muidugi ei tööta see skeem alati, sellel on teatud nüansid ja nipid ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimeses etapis peame avama sulgud. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Märge: me räägime ainult üksikute terminite kohta. Kirjutame:

Anname sarnased terminid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu jätkame neljanda sammuga: jagage teguriga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Siit saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Selles ülesandes saame jälgida sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama konstruktsiooni, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. sekvesteeri muutujad:

Siin on mõned nagu:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on juba huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mõned sulud, kuid neid ei korruta millegagi, nad lihtsalt seisavad nende ees erinevaid märke. Jagame need lahti:

Teostame teise meile juba teadaoleva sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Arvutame:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui me ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, siis tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on, võib nende sekka null sisse pääseda - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui ülejäänud, te ei tohiks seda kuidagi eristada ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude laiendamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide järgi: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Sellest aru saades lihtne fakt hoiab teid keskkoolis rumalaid ja haiget tekitavaid vigu tegemast, kui selliseid asju peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerulisemaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori kavatsuse kohaselt lahendame lineaarvõrrandi, siis teisenduse käigus redutseeritakse tingimata kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Võtame nüüd privaatsuse:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastuses järgmiselt:

\[\variety \]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu samme. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Nende kahe avaldise näitel veendusime veel kord, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei saa kõik olla nii lihtne: neid võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju. Meie puhul arvestasime kahte võrrandit, mõlemas lihtsalt pole juuri.

Kuid juhiksin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid laiendada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama "x-ga". Pange tähele: korrutage iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatakse.

Ja alles pärast seda, kui need esmapilgul elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud teisendused on tehtud, saab sulg avada sellest vaatenurgast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on tehtud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allapoole lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et pööran tähelepanu nendele väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad nii lihtsaid võrrandeid uuesti lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvite need oskused automatiseerimiseks. Enam ei pea iga kord nii palju teisendusi sooritama, kirjutad kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme retriiti:

Siin on mõned nagu:

Teeme viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus oli meil ruutfunktsiooniga koefitsiente, need aga vastastikku annihileerusid, mis muudab võrrandi täpselt lineaarseks, mitte ruudukujuliseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu ettevaatlikult: korrutage kõik esimeses sulus olevad elemendid iga teise elemendiga. Kokku tuleks pärast teisendusi saada neli uut terminit:

Ja nüüd tehke hoolikalt iga liikme korrutamine:

Liigutame terminid "x"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, milles on temast suurem liige, tehakse seda vastavalt järgmine reegel: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga teisest; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena saame neli terminit.

Algebralise summa kohta

Viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1-7 $ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutame ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule "üks" lisame teise arvu, nimelt "miinus seitse". See algebraline summa erineb tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerulisemad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdosaga

Selliste ülesannete lahendamiseks tuleb meie algoritmile lisada veel üks samm. Kuid kõigepealt tuletan meelde meie algoritmi:

1. Avage sulgud.
2. Eraldi muutujad.
3. Too sarnased.
4. Jaga teguriga.

Kahjuks pole see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobiv, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis vasakul ja paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks peate algoritmile lisama veel ühe sammu, mida saab teha nii enne esimest toimingut kui ka pärast seda, nimelt vabaneda murdosadest. Seega on algoritm järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage sulgud.
3. Eraldi muutujad.
4. Too sarnased.
5. Jaga teguriga.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks on seda võimalik teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud nimetaja poolest numbrilised, st. kõikjal on nimetaja vaid arv. Seega, kui korrutada mõlemad võrrandi osad selle arvuga, siis vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et teil on kaks sulgu, ei tähenda, et peate need kõik korrutama "neljaga". Kirjutame:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd avame selle:

Teostame muutuja eraldamise:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Oleme saanud lõpplahenduse, liigume teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil on kuskil ruutfunktsioone, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste teisenduste käigus.
• Lineaarvõrrandite juured, isegi kõige lihtsamad, on kolme tüüpi: üks juur, kogu arvurida on juur, juuri pole üldse.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika paremaks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile, lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, teid ootab veel palju huvitavat!