Máximo común divisor (MCD): definición, ejemplos y propiedades. Encontrar el GCD usando el algoritmo de Euclides y usando factorización prima

Máximo común divisor

Definición 2

Si un número natural a es divisible por un número natural $b$, entonces $b$ se llama divisor de $a$, y el número $a$ se llama múltiplo de $b$.

Sean $a$ y $b$ números naturales. El número $c$ se llama divisor común tanto para $a$ como para $b$.

El conjunto de divisores comunes de los números $a$ y $b$ es finito, ya que ninguno de estos divisores puede ser mayor que $a$. Esto quiere decir que entre estos divisores existe el mayor, que se denomina máximo común divisor de los números $a$ y $b$, y se utiliza la notación para denotarlo:

$mcd\(a;b)\o\D\(a;b)$

Para encontrar el máximo común divisor de dos números:

1. Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

Ejemplo 1

Encuentra el mcd de los números $121$ y $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Elija los números que se incluyen en la expansión de estos números

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$mcd=2\cdot 11=22$

Ejemplo 2

Encuentra el MCD de los monomios $63$ y $81$.

Lo encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto:

Descompongamos números en factores primos

$63=3\cpunto 3\cpunto 7$

$81=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3$

Seleccionamos los números que se incluyen en la expansión de estos números

$63=3\cpunto 3\cpunto 7$

$81=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3$

Busquemos el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$mcd=3\cdot 3=9$

Puedes encontrar el MCD de dos números de otra manera, usando el conjunto de divisores de números.

Ejemplo 3

Encuentra el mcd de los números $48$ y $60$.

Decisión:

Encuentra el conjunto de divisores de $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ahora encontremos el conjunto de divisores de $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Encontremos la intersección de estos conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de los números $48$ y $60 ps El elemento más grande de este conjunto será el número $12$. Así que el máximo común divisor de $48$ y $60$ es $12$.

Definición de NOC

Definición 3

múltiplo común de números naturales$a$ y $b$ es un número natural que es múltiplo de $a$ y $b$.

Los múltiplos comunes de números son números que son divisibles por el original sin resto, por ejemplo, para los números $25$ y $50$, los múltiplos comunes serán los números $50,100,150,200$, etc.

El mínimo común múltiplo se denominará mínimo común múltiplo y se denotará por MCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Para encontrar el MCM de dos números, necesitas:

1. Descomponer números en factores primos
2. Escribe los factores que forman parte del primer número y súmales los factores que forman parte del segundo y no van al primero

Ejemplo 4

Encuentra el MCM de los números $99$ y $77$.

Lo encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto

Descomponer números en factores primos

$99=3\cpunto 3\cpunto 11$

Escriba los factores incluidos en el primero

agregarles factores que son parte del segundo y no van al primero

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el mínimo común múltiplo deseado

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

La compilación de listas de divisores de números suele llevar mucho tiempo. Hay una manera de encontrar GCD llamada algoritmo de Euclides.

Declaraciones en las que se basa el algoritmo de Euclides:

Si $a$ y $b$ son números naturales, y $a\vdots b$, entonces $D(a;b)=b$

Si $a$ y $b$ son números naturales tales que $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos disminuir sucesivamente los números considerados hasta llegar a un par de números tal que uno de ellos sea divisible por el otro. Entonces, el menor de estos números será el máximo común divisor deseado para los números $a$ y $b$.

Propiedades de GCD y LCM

1. Cualquier múltiplo común de $a$ y $b$ es divisible por K$(a;b)$
2. Si $a\vdots b$ , entonces K$(a;b)=a$

Si K$(a;b)=k$ y $m$-número natural, entonces K$(am;bm)=km$

Si $d$ es un divisor común para $a$ y $b$, entonces K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Si $a\vdots c$ y $b\vdots c$ , entonces $\frac(ab)(c)$ es un múltiplo común de $a$ y $b$

Para cualquier número natural $a$ y $b$ la igualdad

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Cualquier divisor común de $a$ y $b$ es un divisor de $D(a;b)$

Pero muchos números naturales son divisibles por otros números naturales.

por ejemplo:

El número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Los números por los cuales el número es divisible (para 12 es 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de números. divisor de un numero natural un es el número natural que divide al número dado un sin rastro. Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto. Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen divisores comunes. Estos son los números: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El mayor divisor de estos números es 12.

Divisor común de dos números dados un y b es el número por el cual los dos números dados son divisibles sin resto un y b. Divisor común de números múltiples (MCD) es el número que sirve de divisor para cada uno de ellos.

Brevemente el máximo común divisor de números un y b se escriben asi:

Ejemplo: mcd (12; 36) = 12.

Los divisores de números en la notación de la solución denotan letra mayúscula"D".

Ejemplo:

mcd (7; 9) = 1

Los números 7 y 9 tienen un solo divisor común: el número 1. Tales números se llaman coprimechi golpe.

Números coprimos son números naturales que solo tienen un divisor común: el número 1. Su mcd es 1.

Máximo Común Divisor (MCD), propiedades.

• Propiedad principal: máximo común divisor metro y norte es divisible por cualquier divisor común de estos números. Ejemplo: para los números 12 y 18 el máximo común divisor es 6; es divisible por todos los divisores comunes de estos números: 1, 2, 3, 6.
• Corolario 1: conjunto de divisores comunes metro y norte coincide con el conjunto de divisores mcd( metro, norte).
• Corolario 2: conjunto de múltiplos comunes metro y norte coincide con el conjunto de múltiples LCM ( metro, norte).

Esto significa, en particular, que para reducir una fracción a una forma irreducible, es necesario dividir su numerador y denominador por su mcd.

• Máximo común divisor de números metro y norte se puede definir como el elemento positivo más pequeño del conjunto de todas sus combinaciones lineales:

y por lo tanto representar como una combinación lineal de números metro y norte:

Esta relación se llama relación de Bezout, y los coeficientes tu y v — coeficientes de bezout. Los coeficientes de Bézout se calculan de manera eficiente mediante el algoritmo de Euclides ampliado. Esta declaración se generaliza a conjuntos de números naturales; su significado es que el subgrupo del grupo generado por el conjunto es cíclico y está generado por un elemento: mcd ( un 1 , un 2 , … , un).

Cálculo del máximo común divisor (mcd).

Formas eficientes de calcular el mcd de dos números son Algoritmo de Euclides y binarioalgoritmo. Además, el valor de GCD ( metro,norte) se puede calcular fácilmente si se conoce la expansión canónica de los números metro y norte para factores primos:

donde son primos distintos y y son enteros no negativos (pueden ser cero si el primo correspondiente no está en la descomposición). Entonces mcd ( metro,norte) y MCM ( metro,norte) se expresan mediante las fórmulas:

Si hay más de dos números: , su MCD se encuentra de acuerdo con el siguiente algoritmo:

- este es el GCD deseado.

Asimismo, para encontrar máximo común divisor, puedes descomponer cada uno de los números dados en factores primos. Luego escribe por separado solo aquellos factores que están incluidos en todos los números dados. Luego multiplicamos los números escritos entre ellos: el resultado de la multiplicación es el máximo común divisor .

Analicemos paso a paso el cálculo del máximo común divisor:

1. Descomponer los divisores de números en factores primos:

Los cálculos se escriben convenientemente usando una barra vertical. A la izquierda de la línea, primero escriba el dividendo, a la derecha, el divisor. Más adelante en la columna de la izquierda anotamos los valores de privado. Vamos a explicar de inmediato con un ejemplo. Factoricemos los números 28 y 64 en factores primos.

2. Subrayamos los mismos factores primos en ambos números:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Hallamos el producto de factores primos idénticos y anotamos la respuesta:

MCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Respuesta: MCD (28; 64) = 4

Puede organizar la ubicación del GCD de dos maneras: en una columna (como se hizo anteriormente) o "en una línea".

La primera forma de escribir GCD:

Encuentra GCD 48 y 36.

MCD (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12

La segunda forma de escribir GCD:

Ahora escribamos la solución de búsqueda GCD en una línea. Encuentra GCD 10 y 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Este artículo es sobre encontrar el máximo común divisor (mcd) dos y más números. Primero, considera el algoritmo de Euclides, te permite encontrar el MCD de dos números. Después de eso, nos detendremos en un método que nos permita calcular el MCD de números como un producto de sus factores primos comunes. A continuación, nos ocuparemos de encontrar el máximo común divisor de tres o más números, y también daremos ejemplos de cómo calcular el MCD de números negativos.

Navegación de página.

Algoritmo de Euclides para encontrar GCD

Tenga en cuenta que si hubiéramos consultado la tabla de números primos desde el principio, habríamos descubierto que los números 661 y 113 son primos, por lo que podríamos decir inmediatamente que su máximo común divisor es 1.

Responder:

mcd(661, 113)=1 .

Hallar MCD factorizando números en factores primos

Considere otra forma de encontrar el GCD. El máximo común divisor se puede encontrar al factorizar números en factores primos. Formulemos la regla: El mcd de dos enteros positivos a y b es igual al producto de todos los factores primos comunes en las factorizaciones primas de a y b.

Demos un ejemplo para explicar la regla para encontrar el MCD. Conozcamos las expansiones de los números 220 y 600 en factores primos, tienen la forma 220=2 2 5 11 y 600=2 2 2 3 5 5 . Los factores primos comunes involucrados en la expansión de los números 220 y 600 son 2 , 2 y 5 . Por lo tanto mcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Así, si descomponemos los números a y b en factores primos y hallamos el producto de todos sus factores comunes, entonces este hallará el máximo común divisor de los números a y b.

Considere un ejemplo de encontrar el GCD de acuerdo con la regla anunciada.

Ejemplo.

Encuentra el máximo común divisor de 72 y 96.

Decisión.

Factoricemos los números 72 y 96:

Es decir, 72=2 2 2 3 3 y 96=2 2 2 2 2 3 . Los factores primos comunes son 2 , 2 , 2 y 3 . Entonces mcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Responder:

mcd(72, 96)=24 .

Como conclusión de esta sección, observamos que la validez de la regla anterior para encontrar el mcd se deriva de la propiedad del máximo común divisor, que establece que MCD(m a 1 , m b 1)=m MCD(a 1 , b 1), donde m es cualquier entero positivo.

Hallar el MCD de tres o más números

Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir a encontrar sucesivamente el mcd de dos números. Mencionamos esto cuando estudiamos las propiedades de GCD. Allí formulamos y demostramos el teorema: el máximo común divisor de varios números a 1 , a 2 , …, a k es igual al número d k , que se encuentra en el cálculo secuencial 1 , a k)=d k .

Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el MCD de varios números considerando la solución del ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra el máximo común divisor de los cuatro números 78 , 294 , 570 y 36 .

Decisión.

En este ejemplo, un 1 = 78, un 2 = 294, un 3 = 570, un 4 = 36.

Primero, utilizando el algoritmo de Euclides, determinamos el máximo común divisor d 2 de los dos primeros números 78 y 294 . Al dividir, obtenemos las igualdades 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 y 18=6 3 . Por lo tanto, d 2 = MCD (78, 294) = 6 .

Ahora vamos a calcular d 3 \u003d MCD (d 2, a 3) \u003d MCD (6, 570). De nuevo aplicamos el algoritmo de Euclides: 570=6·95 , por lo tanto, d 3 =MCD(6, 570)=6 .

Queda por calcular d 4 \u003d MCD (d 3, a 4) \u003d MCD (6, 36). Como 36 es divisible por 6, entonces d 4 \u003d MCD (6, 36) \u003d 6.

Por lo tanto, el máximo común divisor de los cuatro números dados es d 4 =6, es decir, mcd(78, 294, 570, 36)=6.

Responder:

mcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Descomponer números en factores primos también te permite calcular el MCD de tres o más números. En este caso, el máximo común divisor se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de los números dados.

Ejemplo.

Calcula el MCD de los números del ejemplo anterior usando sus factores primos.

Decisión.

Descomponemos los números 78 , 294 , 570 y 36 en factores primos, obtenemos 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 . 3 . Los factores primos comunes de los cuatro números dados son los números 2 y 3. Por lo tanto, MCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

Resolvamos el problema. Tenemos dos tipos de cookies. Algunos son de chocolate y otros son simples. Hay 48 piezas de chocolate y 36 simples. Es necesario hacer el máximo número posible de regalos de estas galletas, y todos deben usarse.

Primero, escribamos todos los divisores de cada uno de estos dos números, ya que ambos números deben ser divisibles por el número de regalos.

Obtenemos

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Busquemos entre los divisores los comunes que tienen tanto el primer como el segundo número.

Los divisores comunes serán: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

El máximo común divisor de todos es 12. Este número se llama máximo común divisor de 36 y 48.

Con base en el resultado, podemos concluir que se pueden hacer 12 regalos con todas las galletas. Uno de esos regalos contendrá 4 galletas de chocolate y 3 galletas regulares.

Hallar el máximo común divisor

• El mayor número natural por el cual dos números a y b son divisibles sin resto se llama máximo común divisor de estos números.

A veces se utiliza la abreviatura GCD para abreviar la entrada.

Algunos pares de números tienen uno como máximo común divisor. Tales números se llaman números coprimos. Por ejemplo, los números 24 y 35. Tienen MCD =1.

Cómo encontrar el máximo común divisor

Para encontrar el máximo común divisor, no es necesario escribir todos los divisores de estos números.

Puedes hacer lo contrario. Primero, factoriza ambos números en factores primos.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Ahora, de los factores que están incluidos en la expansión del primer número, eliminamos todos los que no están incluidos en la expansión del segundo número. En nuestro caso, estos son dos doses.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Quedarán los factores 2, 2 y 3. Su producto es 12. Este número será el máximo común divisor de los números 48 y 36.

Esta regla se puede extender al caso de tres, cuatro, etc. números.

Esquema general para encontrar el máximo común divisor

• 1. Descomponer números en factores primos.
• 2. De los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tacha los que no están incluidos en la expansión de otros números.
• 3. Calcular el producto de los factores restantes.