Uno de los temas más interesantes en geometría del curso escolar es "Quadangles" (grado 8). ¿Qué tipos de tales figuras existen, qué propiedades especiales tienen? ¿Qué tienen de especial los cuadriláteros con vértices de noventa grados? Analicemos todo esto.

¿Qué figura geométrica se llama cuadrilátero?

Los polígonos, que constan de cuatro lados y, respectivamente, de cuatro vértices (esquinas), se denominan cuadriláteros en geometría euclidiana.

La historia del nombre de este tipo de figuras es interesante. En el idioma ruso, el sustantivo "cuadrangular" se forma a partir de la frase "cuatro esquinas" (al igual que "triángulo" - tres esquinas, "pentágono" - cinco esquinas, etc.).

Sin embargo, en latín (a través del cual muchos términos geométricos llegaron a la mayoría de los idiomas del mundo), se llama cuadrilátero. Esta palabra está formada por el numeral quadri (cuatro) y el sustantivo latus (lado). Entonces podemos concluir que entre los antiguos este polígono se conocía solo como "de cuatro lados".

Por cierto, tal nombre (con énfasis en la presencia de cuatro lados en lugar de esquinas en figuras de este tipo) se ha conservado en algunos idiomas modernos. Por ejemplo, en inglés - quadrilateral y en francés - quadrilatère.

Al mismo tiempo, en la mayoría de los idiomas eslavos, el tipo considerado de figuras todavía se identifica por el número de ángulos y no por los lados. Por ejemplo, en eslovaco (štvoruholník), en búlgaro ("chetirigalnik"), en bielorruso ("chatyrokhkutnik"), en ucraniano ("chotirikutnik"), en checo (čtyřúhelník), pero en polaco el cuadrángulo se llama por el número de lados - czworoboczny.

¿Qué tipos de cuadriláteros se estudian en el currículo escolar?

En la geometría moderna, existen 4 tipos de polígonos de cuatro lados.

Sin embargo, debido a las propiedades demasiado complejas de algunos de ellos, en las lecciones de geometría, a los escolares se les presentan solo dos tipos.

• Paralelogramo. Los lados opuestos de tal cuadrilátero son paralelos entre sí por pares y, en consecuencia, también son iguales en pares.
• Trapecio (trapecio o trapezoide). Este cuadrilátero consta de dos lados opuestos paralelos entre sí. Sin embargo, el otro par de lados no tiene esta característica.

Tipos de cuadriláteros no estudiados en el curso de geometría escolar

Además de los anteriores, hay dos tipos más de cuadriláteros que los escolares no conocen en las clases de geometría, debido a su particular complejidad.

• Deltoides (cometa)- una figura en la que cada uno de los dos pares de lados adyacentes tiene la misma longitud entre sí. Tal cuadrilátero obtuvo su nombre debido al hecho de que, en apariencia, se parece mucho a la letra del alfabeto griego: "delta".
• antiparalelogramo- esta figura es tan compleja como su nombre. En él, dos lados opuestos son iguales, pero al mismo tiempo no son paralelos entre sí. Además, los lados opuestos largos de este cuadrilátero se cortan entre sí, al igual que las extensiones de los otros dos lados más cortos.

Tipos de paralelogramo

Habiendo tratado los principales tipos de cuadriláteros, vale la pena prestar atención a sus subespecies. Entonces, todos los paralelogramos, a su vez, también se dividen en cuatro grupos.

• Paralelogramo clásico.
• Rombo (rombo)- una figura cuadrangular con lados iguales. Sus diagonales se cortan en ángulo recto, dividiendo el rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales.
• Rectángulo. El nombre habla por sí mismo. Ya que es un cuadrilátero con ángulos rectos (cada uno de ellos es igual a noventa grados). Sus lados opuestos no solo son paralelos entre sí, sino también iguales.
• Cuadrado (cuadrado). Como un rectángulo, es un cuadrilátero con ángulos rectos, pero tiene todos los lados iguales entre sí. Esta figura está cerca de un rombo. Entonces se puede argumentar que un cuadrado es un cruce entre un rombo y un rectángulo.

Propiedades especiales del rectángulo

Considerando figuras en las que cada uno de los ángulos entre los lados es igual a noventa grados, vale la pena detenerse más de cerca en el rectángulo. Entonces, ¿qué características especiales tiene que lo distinguen de otros paralelogramos?

Para afirmar que el paralelogramo en cuestión es un rectángulo, sus diagonales deben ser iguales entre sí y cada uno de los ángulos debe ser recto. Además, el cuadrado de sus diagonales debe corresponder a la suma de los cuadrados de dos lados adyacentes de esta figura. En otras palabras, el rectángulo clásico consta de dos triángulos rectángulos, y en ellos, como es sabido, la diagonal del cuadrilátero considerado actúa como hipotenusa.

El último de los signos enumerados de esta figura es también su propiedad especial. Además de este, hay otros. Por ejemplo, el hecho de que todos los lados del cuadrilátero estudiado con ángulos rectos sean al mismo tiempo sus alturas.

Además, si se dibuja un círculo alrededor de cualquier rectángulo, su diámetro será igual a la diagonal de la figura inscrita.

Entre otras propiedades de este cuadrilátero, que es plano y no existe en geometría no euclidiana. Esto se debe al hecho de que en tal sistema no hay figuras cuadrangulares, cuya suma de los ángulos es igual a trescientos sesenta grados.

Plaza y sus características.

Habiendo tratado los signos y propiedades de un rectángulo, vale la pena prestar atención al segundo cuadrilátero conocido por la ciencia con ángulos rectos (este es un cuadrado).

Siendo en realidad el mismo rectángulo, pero con lados iguales, esta figura tiene todas sus propiedades. Pero a diferencia de éste, el cuadrado está presente en la geometría no euclidiana.

Además, esta figura tiene otras características distintivas propias. Por ejemplo, el hecho de que las diagonales de un cuadrado no solo sean iguales entre sí, sino que también se crucen en un ángulo recto. Así, como un rombo, un cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos, en los que está dividido por diagonales.

Además, esta figura es la más simétrica de todos los cuadriláteros.

Cual es la suma de los angulos de un cuadrilatero

Teniendo en cuenta las características de los cuadriláteros de geometría euclidiana, vale la pena prestar atención a sus ángulos.

Entonces, en cada una de las figuras anteriores, independientemente de si tiene ángulos rectos o no, su suma total es siempre la misma: trescientos sesenta grados. Esta es una característica distintiva única de este tipo de figura.

Perímetro de cuadriláteros

Habiendo descubierto cuál es la suma de los ángulos de un cuadrilátero y otras propiedades especiales de figuras de este tipo, vale la pena saber qué fórmulas se usan mejor para calcular su perímetro y área.

Para determinar el perímetro de cualquier cuadrilátero, solo necesitas sumar la longitud de todos sus lados.

Por ejemplo, en la figura KLMN, su perímetro se puede calcular mediante la fórmula: P \u003d KL + LM + MN + KN. Si sustituyes los números aquí, obtienes: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

En el caso de que la figura en cuestión sea un rombo o un cuadrado, para encontrar el perímetro, puede simplificar la fórmula simplemente multiplicando la longitud de uno de sus lados por cuatro: P \u003d KL x 4. Por ejemplo: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Fórmulas del área del cuadrilátero

Habiendo descubierto cómo encontrar el perímetro de cualquier figura con cuatro esquinas y lados, vale la pena considerar las formas más populares y sencillas de encontrar su área.

Otras propiedades de los cuadriláteros: circunferencias inscritas y circunscritas

Habiendo considerado las características y propiedades de un cuadrilátero como una figura de geometría euclidiana, vale la pena prestar atención a la capacidad de describir o inscribir círculos en su interior:

• Si las sumas de los ángulos opuestos de la figura son ciento ochenta grados cada uno y son iguales entre sí por pares, entonces se puede describir libremente un círculo alrededor de dicho cuadrilátero.
• Según el teorema de Ptolomeo, si un círculo está circunscrito fuera de un polígono de cuatro lados, entonces el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos de la figura dada. Por lo tanto, la fórmula se verá así: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Si construyes un cuadrilátero en el que las sumas de los lados opuestos son iguales, entonces se puede inscribir un círculo en él.

Habiendo descubierto qué es un cuadrilátero, qué tipos existen, cuáles tienen solo ángulos rectos entre los lados y qué propiedades tienen, vale la pena recordar todo este material. En particular, las fórmulas para encontrar el perímetro y el área de los polígonos considerados. Después de todo, las figuras de esta forma son una de las más comunes, y este conocimiento puede ser útil para los cálculos en la vida real.

Definición. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares.

Propiedad. En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales y los ángulos opuestos son iguales.

Propiedad. Las diagonales de un paralelogramo son bisecadas por el punto de intersección.

1 signo de un paralelogramo. Si dos lados de un cuadrilátero son iguales y paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

2 signo de un paralelogramo. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales en pares, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

3 signo de un paralelogramo. Si en un cuadrilátero las diagonales se cortan y el punto de intersección se biseca, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.

Definición. Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos lados no son paralelos. Los lados paralelos se llaman jardines.

El trapezoide se llama isósceles (isosceles) si sus lados son iguales. En un trapezoide isósceles, los ángulos en las bases son iguales.

rectangular.

línea media del trapezoide. La línea media es paralela a las bases e igual a la mitad de su suma.

Rectángulo

Definición.

Propiedad. Las diagonales de un rectángulo son iguales.

Signo de rectángulo. Si las diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces el paralelogramo es un rectángulo.

Definición.

Propiedad. Las diagonales de un rombo son mutuamente perpendiculares y bisecan sus ángulos.

Definición.

Un cuadrado es un tipo particular de rectángulo, y también un tipo particular de rombo. Por lo tanto, tiene todas sus propiedades.

Propiedades:
1. Todas las esquinas del cuadrado son correctas.

Cuadrangula todas las reglas

Palabras clave:
cuadrilátero, convexo, suma de ángulos, área de un cuadrilátero

cuadrilátero se llama una figura, que consta de cuatro puntos y cuatro segmentos que los conectan en serie. En este caso, tres de estos puntos no deben estar en una línea recta, y los segmentos que los conectan no deben intersecarse.

• Los vértices del cuadrilátero se llaman vecino si son los extremos de uno de sus lados.
• Vértices que no son vecinos , llamado opuesto .
• Los segmentos de línea que conectan vértices opuestos de un cuadrilátero se llaman diagonales .
• Los lados de un cuadrilátero que parten de un mismo vértice se llaman vecino fiestas.
• Los lados que no tienen un extremo común se llaman opuesto fiestas.
• El cuadrilátero se llama convexo , si se encuentra en un semiplano con respecto a la recta que contiene cualquiera de sus lados.

Tipos de cuadriláteros

1. Paralelogramo Un cuadrilátero con lados opuestos paralelos
   • Rectángulo un paralelogramo con todos los ángulos rectos
   • Rombo - un paralelogramo con todos los lados iguales
   • Cuadrado - un rectángulo con todos los lados iguales
2. Trapecio - un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos lados no son paralelos
3. Deltoides Un cuadrilátero cuyos dos pares de lados adyacentes son iguales

cuadriláteros

cuadrilátero se llama una figura, que consta de cuatro puntos y cuatro segmentos que los conectan en serie. En este caso, tres de estos puntos no se encuentran en la misma línea recta, y los segmentos que los conectan no se intersecan.

opuesto. opuesto.

Tipos de cuadriláteros

Paralelogramo

Paralelogramo Se llama cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares.

Propiedades del paralelogramo

• los lados opuestos son iguales;
• los ángulos opuestos son iguales;
• la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de todos los lados:

Características del paralelogramo

Trapecio Se llama cuadrilátero al que dos lados opuestos son paralelos y los otros dos no lo son.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman jardines y los lados no paralelos lados El segmento que une los puntos medios de los lados se llama línea media.

El trapezoide se llama isósceles(o isósceles) si sus lados son iguales.

Un trapezoide con un ángulo recto se llama rectangular.

Propiedades trapezoidales

Signos de un trapecio

Rectángulo

Rectángulo Se llama paralelogramo si todos los ángulos son rectos.

Propiedades del rectángulo

Características del rectángulo

Un paralelogramo es un rectángulo si:

1. Una de sus esquinas es derecha.
2. Sus diagonales son iguales.

Rombo Un paralelogramo se llama si todos los lados son iguales.

Propiedades del rombo

• todas las propiedades de un paralelogramo;
• las diagonales son perpendiculares;

Signos de un rombo

Cuadrado Se llama un rectángulo en el que todos los lados son iguales.

Propiedades cuadradas

• todas las esquinas del cuadrado son correctas;
• las diagonales del cuadrado son iguales, mutuamente perpendiculares, el punto de intersección se divide por la mitad y las esquinas del cuadrado se dividen por la mitad.

Signos cuadrados

fórmulas básicas

S = d 1 d 2 pecado

Paralelogramo
un y b- partes adyacentes; - el ángulo entre ellos; ha- altura al lado un.

S = ab sen

S = d 1 d 2 pecado

Trapecio
un y b- motivos; h- la distancia entre ellos; yo- línea media .

Rectángulo

S = d 1 d 2 pecado

S = un 2 pecado

S = d 1 d 2

Cuadrado
d- diagonal.

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Propiedades de los cuadriláteros. Tipos de cuadriláteros. Propiedades de cuadriláteros arbitrarios. Propiedades del paralelogramo. Propiedades del rombo. Propiedades del rectángulo. Propiedades cuadradas. propiedades trapezoidales. Aproximadamente 7-9 grado (13-15 años)

Propiedades de los cuadriláteros. Tipos de cuadriláteros. Propiedades de cuadriláteros arbitrarios.
Propiedades del paralelogramo. Propiedades del rombo. Propiedades del rectángulo. Propiedades cuadradas. propiedades trapezoidales.

Tipos de cuadriláteros:

• Paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos

• Rombo es un paralelogramo con todos los lados iguales.

• Rectángulo es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos.

• Cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales.

Propiedades de los cuadriláteros arbitrarios:

Propiedades del paralelogramo:

Propiedades del rombo:

Propiedades del rectángulo:

Propiedades cuadradas:

Propiedades del trapecio:

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Geometría no euclidiana, geometría similar a la geometría Euclides en que define el movimiento de las figuras, pero difiere de la geometría euclidiana en que uno de sus cinco postulados (segundo o quinto) es reemplazado por su negación. La negación de uno de los postulados euclidianos (1825) fue un hecho significativo en la historia del pensamiento, pues sirvió como primer paso hacia la teoría de la relatividad.

El segundo postulado de Euclides establece que cualquier segmento de línea se puede extender indefinidamente. Euclides aparentemente creía que este postulado también contenía la afirmación de que la línea recta tiene una longitud infinita. Sin embargo en la geometría "elíptica" cualquier línea recta es finita y, como un círculo, es cerrada.

El quinto postulado establece que si una recta corta a dos rectas dadas de tal manera que los dos ángulos interiores de un lado de ella suman menos que dos ángulos rectos, entonces estas dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán en el lado donde la suma de estos ángulos es menor que la suma de dos rectas. Pero en la geometría "hiperbólica", puede existir una línea CB (ver Fig.), perpendicular en el punto C a una línea dada r e intersectando otra línea s en un ángulo agudo en el punto B, pero, sin embargo, las infinitas líneas r y s nunca se intersecarán.

De estos postulados revisados ​​se sigue que la suma de los ángulos de un triángulo, igual a 180° en geometría euclidiana, es mayor que 180° en geometría elíptica y menor que 180° en geometría hiperbólica.

Cuadrilátero

Cuadrilátero es un polígono que contiene cuatro vértices y cuatro lados.

Cuadrilátero, una figura geométrica: un polígono con cuatro esquinas, así como cualquier objeto, un dispositivo de esta forma.

Dos lados no adyacentes de un cuadrilátero se llaman opuesto. Dos vértices que no son adyacentes también se llaman opuesto.

Los cuadriláteros son convexos (como ABCD) y
no convexo (A 1 B 1 C 1 D 1).

Tipos de cuadriláteros

• Paralelogramo- un cuadrilátero en el que todos los lados opuestos son paralelos;
• Rectángulo- un cuadrilátero con todos los ángulos rectos;
• Rombo- un cuadrilátero en el que todos los lados son iguales;
• Cuadrado- un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos y todos los lados son iguales;
• Trapecio- un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos;
• Deltoides Un cuadrilátero cuyos dos pares de lados adyacentes son iguales.

Paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares.

Paralelogramo (del griego paralelos - paralelo y gramme - línea) es decir, se encuentran en líneas paralelas. Los casos especiales de un paralelogramo son un rectángulo, un cuadrado y un rombo.

• los lados opuestos son iguales;
• los ángulos opuestos son iguales;
• las diagonales del punto de intersección se dividen por la mitad;
• la suma de los ángulos adyacentes a un lado es 180°;
• la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de todos los lados.

Un cuadrilátero es un paralelogramo si:

1. Sus dos lados opuestos son iguales y paralelos.
2. Los lados opuestos son iguales en pares.
3. Los ángulos opuestos son iguales en pares.
4. Las diagonales del punto de intersección se dividen por la mitad.

Rectángulo

Un rectángulo es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos.

• los lados opuestos son iguales;
• los ángulos opuestos son iguales;
• las diagonales del punto de intersección se dividen por la mitad;
• la suma de los ángulos adyacentes a un lado es 180°;
• las diagonales son iguales.

Un paralelogramo es un rectángulo si:

1. Una de sus esquinas es derecha.
2. Sus diagonales son iguales.

Un rombo es un paralelogramo en el que todos los lados son iguales.

• los lados opuestos son iguales;
• los ángulos opuestos son iguales;
• las diagonales del punto de intersección se dividen por la mitad;
• la suma de los ángulos adyacentes a un lado es 180°;
• la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de todos los lados;
• las diagonales son perpendiculares;
• las diagonales son las bisectrices de sus ángulos.

Un paralelogramo es un rombo si:

1. Sus dos lados adyacentes son iguales.
2. Sus diagonales son perpendiculares.
3. Una de las diagonales es la bisectriz de su ángulo.

Un cuadrado es un rectángulo en el que todos los lados son iguales.

• todas las esquinas del cuadrado son correctas;
• las diagonales del cuadrado son iguales, mutuamente perpendiculares, el punto de intersección se divide por la mitad y las esquinas del cuadrado se dividen por la mitad.

1. Un rectángulo es un cuadrado si tiene alguna característica de un rombo.

Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados opuestos son paralelos y los otros dos no son paralelos.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman sus bases, y los lados no paralelos se llaman sus lados. El segmento que conecta los puntos medios de los lados se llama línea media.

Un trapezoide se llama isósceles (o isósceles) si sus lados son iguales.

Un trapezoide con un ángulo recto se llama trapezoide de ángulo recto.

• su línea media es paralela a las bases e igual a la mitad de su suma;
• si el trapezoide es isósceles, entonces sus diagonales son iguales y los ángulos en la base son iguales;
• si el trapezoide es isósceles, entonces se puede describir un círculo a su alrededor;
• si la suma de las bases es igual a la suma de los lados, entonces se puede inscribir un círculo en él.

1. Un cuadrilátero es un trapezoide si sus lados paralelos no son iguales

Deltoides Un cuadrilátero con dos pares de lados de la misma longitud. A diferencia de un paralelogramo, dos pares de lados adyacentes no son iguales, sino dos pares de lados adyacentes. El deltoides tiene forma de cometa.

• Los ángulos entre lados de diferente longitud son iguales.
• Las diagonales del deltoides (o sus extensiones) se cortan en ángulo recto.
• Se puede inscribir un círculo en cualquier deltoides convexo, además de esto, si el deltoides no es un rombo, entonces hay otro círculo que toca las extensiones de los cuatro lados. Para un deltoides no convexo, se puede construir un círculo tangente a dos lados más grandes y extensiones de dos lados más pequeños, y un círculo tangente a dos lados más pequeños y extensiones de dos lados más grandes.

• Si el ángulo entre los lados desiguales del deltoides es una línea recta, entonces se puede inscribir un círculo en él (el deltoides descrito).
• Si un par de lados opuestos de un deltoides son iguales, entonces dicho deltoides es un rombo.
• Si un par de lados opuestos y ambas diagonales de un deltoides son iguales, entonces el deltoides es un cuadrado. Un deltoides inscrito con diagonales iguales también es un cuadrado.

El surgimiento de la geometría se remonta a la antigüedad y se debió a las necesidades prácticas de la actividad humana (necesidad de medir terrenos, medir los volúmenes de varios cuerpos, etc.).

La información y los conceptos geométricos más simples se conocían en el antiguo Egipto. Durante este período, los enunciados geométricos se formularon en forma de reglas dadas sin demostración.

Del siglo VII a.C. mi. al siglo I d.C. mi. La geometría como ciencia se desarrolló rápidamente en la antigua Grecia. Durante este período, no solo tuvo lugar la acumulación de diversa información geométrica, sino que también se elaboró ​​la metodología para probar enunciados geométricos, y se hicieron los primeros intentos para formular las disposiciones primarias básicas (axiomas) de la geometría, a partir de los cuales se desarrollaron muchas formas geométricas diferentes. Los enunciados se obtienen por razonamiento puramente lógico. El nivel de desarrollo de la geometría en la antigua Grecia se refleja en el trabajo de "Comienzos" de Euclides.

En este libro, por primera vez, se hizo un intento de dar una construcción sistemática de la planimetría sobre la base de conceptos y axiomas (postulados) geométricos básicos indefinidos.

Un lugar especial en la historia de las matemáticas lo ocupa el quinto postulado de Euclides (el axioma de las líneas paralelas). Durante mucho tiempo, los matemáticos intentaron sin éxito derivar el quinto postulado del resto de los postulados de Euclides, y solo a mediados del siglo XIX, gracias a los estudios de N. I. Lobachevsky, B. Riemann y J. Boyai, quedó claro que el quinto postulado no puede derivarse de los demás, y el sistema de axiomas propuesto por Euclides no es el único posible.

Los "Elementos" de Euclides tuvieron un gran impacto en el desarrollo de las matemáticas. Durante más de dos mil años, este libro no solo fue un libro de texto sobre geometría, sino que también sirvió como punto de partida para muchos estudios matemáticos, como resultado de lo cual surgieron nuevas ramas independientes de las matemáticas.

La construcción sistemática de la geometría generalmente se lleva a cabo de acuerdo con el siguiente plan:

YO. Se enumeran los principales conceptos geométricos, que se introducen sin definiciones.

II. Se da una formulación de los axiomas de la geometría.

tercero Sobre la base de axiomas y conceptos geométricos básicos, se formulan otros conceptos y teoremas geométricos.

1. Origen del nombre ¿Geometría no euclidiana?
2. ¿Qué formas se llaman cuadriláteros?
3. ¿Propiedades de un paralelogramo?
4. ¿Tipos de cuadriláteros?

Lista de fuentes utilizadas

1. AG Tsypkin. manual de matemáticas
2. “Examen estatal unificado 2006. Matemáticas. Materiales educativos y de capacitación para la preparación de los estudiantes / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Resolviendo los principales problemas competitivos en matemáticas de la colección editada por M. I. Scanavi"

Trabajando en la lección

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Con cuatro esquinas y cuatro lados. Un cuadrilátero está formado por una polilínea cerrada, que consta de cuatro enlaces, y la parte del plano que está dentro de la polilínea.

La designación de un cuadrilátero se compone de las letras de sus vértices, nombrándolas en orden. Por ejemplo, dicen o escriben: cuadrilátero A B C D :

En un cuadrilátero A B C D puntos UN, B, C y D- Este vértices del cuadrilátero, segmentos AB, antes de Cristo, CD y AD - lados.

Los vértices que pertenecen al mismo lado se llaman vecino, los vértices que no son adyacentes se llaman opuesto:

En un cuadrilátero A B C D picos UN y B, B y C, C y D, D y UN son adyacentes y los vértices UN y C, B y D- opuesto. Los ángulos que se encuentran en vértices adyacentes también se denominan vecinos, y en vértices opuestos, opuestos.

Los lados de un cuadrilátero también se pueden dividir en pares en lados adyacentes y opuestos: los lados que tienen un vértice común se llaman vecino(o relacionada), lados que no tienen vértices comunes - opuesto:

Fiestas AB y antes de Cristo, antes de Cristo y CD, CD y AD, AD y AB son adyacentes y los lados AB y corriente continua, ANUNCIO y antes de Cristo- opuesto.

Si los vértices opuestos están conectados por un segmento, dicho segmento se llamará la diagonal del cuadrilátero. Teniendo en cuenta que solo hay dos pares de vértices opuestos en el cuadrilátero, entonces solo puede haber dos diagonales:

Segmentos C.A. y BD- diagonales.

Considere los principales tipos de cuadriláteros convexos:

• Trapecio- un cuadrilátero en el que un par de lados opuestos son paralelos entre sí y el otro par no es paralelo.
  • Trapecio isósceles- un trapezoide cuyos lados son iguales.
  • Trapezoide rectangular Un trapecio con uno de los ángulos rectos.
• Paralelogramo Un cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos entre sí.
  • Rectángulo Un paralelogramo en el que todos los ángulos son iguales.
  • Rombo Un paralelogramo con todos los lados iguales.
  • Cuadrado Un paralelogramo con lados y ángulos iguales. Tanto un rectángulo como un rombo pueden ser cuadrados.

Propiedades de esquina de cuadriláteros convexos

Todos los cuadriláteros convexos tienen las siguientes dos propiedades:

1. Cualquier ángulo interno menor de 180°.
2. La suma de los ángulos interiores es 360°.

tema de la lección

• Definición de un cuadrilátero.

Objetivos de la lección

• Educativo: repetición, generalización y prueba de conocimientos sobre el tema: "Cuadrángulos"; desarrollo de habilidades básicas.
• Desarrollo: para desarrollar la atención, la perseverancia, la perseverancia, el pensamiento lógico, el habla matemática de los estudiantes.
• Educativo: a través de la lección para cultivar una actitud atenta hacia los demás, para inculcar la capacidad de escuchar a los camaradas, la asistencia mutua, la independencia.

Objetivos de la lección

• Desarrollar habilidades en la construcción de un cuadrilátero usando una barra de escala y un triángulo de dibujo.
• Comprobar la capacidad de los alumnos para resolver problemas.

Plan de estudios

1. Referencia histórica. Geometría no euclidiana.
2. Cuadrilátero.
3. Tipos de cuadriláteros.

Geometría no euclidiana

Geometría no euclidiana, geometría similar a la geometría Euclides en que define el movimiento de las figuras, pero difiere de la geometría euclidiana en que uno de sus cinco postulados (segundo o quinto) es reemplazado por su negación. La negación de uno de los postulados euclidianos (1825) fue un hecho significativo en la historia del pensamiento, pues sirvió como primer paso hacia la teoría de la relatividad.

El segundo postulado de Euclides establece que cualquier segmento de línea se puede extender indefinidamente. Euclides aparentemente creía que este postulado también contenía la afirmación de que la línea recta tiene una longitud infinita. Sin embargo en la geometría "elíptica" cualquier línea recta es finita y, como un círculo, es cerrada.

El quinto postulado establece que si una recta corta a dos rectas dadas de tal manera que los dos ángulos interiores de un lado de ella suman menos que dos ángulos rectos, entonces estas dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán en el lado donde la suma de estos ángulos es menor que la suma de dos rectas. Pero en la geometría "hiperbólica", puede existir una línea CB (ver Fig.), perpendicular en el punto C a una línea dada r e intersectando otra línea s en un ángulo agudo en el punto B, pero, sin embargo, las infinitas líneas r y s nunca se intersecarán.

De estos postulados revisados ​​se sigue que la suma de los ángulos de un triángulo, igual a 180° en geometría euclidiana, es mayor que 180° en geometría elíptica y menor que 180° en geometría hiperbólica.

Cuadrilátero

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Un cuadrilátero convexo es una figura que consta de cuatro lados conectados entre sí en los vértices, formando cuatro ángulos junto con los lados, mientras que el cuadrilátero en sí está siempre en el mismo plano con respecto a la línea recta en la que se encuentra uno de sus lados. En otras palabras, toda la figura está de un lado de cualquiera de sus lados.

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Como puede ver, la definición es bastante fácil de recordar.

Propiedades y tipos básicos.

Casi todas las figuras que conocemos, que constan de cuatro esquinas y lados, se pueden atribuir a cuadriláteros convexos. Se pueden distinguir los siguientes:

1. paralelogramo;
2. cuadrado;
3. rectángulo;
4. trapezoide;
5. rombo.

Todas estas figuras están unidas no solo por el hecho de que son cuadrangulares, sino también por el hecho de que también son convexas. Basta con mirar el diagrama:

La figura muestra un trapezoide convexo.. Aquí puedes ver que el trapezoide está en el mismo plano o en un lado del segmento. Si realiza acciones similares, puede descubrir que en el caso de todos los demás lados, el trapezoide es convexo.

¿Es un paralelogramo un cuadrilátero convexo?

Arriba hay una imagen de un paralelogramo. Como se puede ver en la figura, el paralelogramo también es convexo. Si observa la figura con respecto a las líneas en las que se encuentran los segmentos AB, BC, CD y AD, queda claro que siempre está en el mismo plano desde estas líneas. Las características principales de un paralelogramo son que sus lados son pares paralelos e iguales de la misma manera que los ángulos opuestos son iguales entre sí.

Ahora, imagina un cuadrado o un rectángulo. Según sus principales propiedades, también son paralelogramos, es decir, todos sus lados están dispuestos de dos en dos en paralelo. Solo en el caso de un rectángulo, la longitud de los lados puede ser diferente, y los ángulos son rectos (igual a 90 grados), un cuadrado es un rectángulo en el que todos los lados son iguales y los ángulos también son rectos, mientras que las longitudes de los lados y ángulos de un paralelogramo pueden ser diferentes.

Como resultado, la suma de las cuatro esquinas del cuadrilátero debe ser igual a 360 grados. La forma más sencilla de determinar esto es mediante un rectángulo: las cuatro esquinas del rectángulo son rectas, es decir, iguales a 90 grados. La suma de estos ángulos de 90 grados da 360 grados, es decir, si sumas 4 veces 90 grados, obtienes el resultado deseado.

Propiedad de las diagonales de un cuadrilátero convexo

Las diagonales de un cuadrilátero convexo se cortan. De hecho, este fenómeno se puede observar visualmente, solo mire la figura:

La figura de la izquierda muestra un cuadrilátero o cuadrilátero no convexo. Como desées. Como puedes ver, las diagonales no se cortan, al menos no todas. A la derecha hay un cuadrilátero convexo. Aquí ya se observa la propiedad de las diagonales de intersecarse. La misma propiedad puede considerarse un signo de la convexidad del cuadrilátero.

Otras propiedades y signos de convexidad de un cuadrilátero

Específicamente, de acuerdo con este término, es muy difícil nombrar propiedades y características específicas. Es más fácil aislar según diferentes tipos de cuadriláteros de este tipo. Puedes empezar con un paralelogramo. Ya sabemos que se trata de una figura cuadrangular, cuyos lados son paralelos e iguales por pares. Al mismo tiempo, también se incluye aquí la propiedad de las diagonales del paralelogramo de intersecarse entre sí, así como el signo de la convexidad de la figura misma: el paralelogramo está siempre en el mismo plano y de un lado relativo a cualquiera de sus lados.

Asi que, Se conocen las principales características y propiedades:

1. la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 grados;
2. las diagonales de las figuras se cortan en un punto.

Rectángulo. Esta figura tiene todas las mismas propiedades y características que un paralelogramo, pero todos sus ángulos miden 90 grados. De ahí el nombre, rectángulo.

Cuadrado, el mismo paralelogramo, pero sus esquinas son rectas, como un rectángulo. Debido a esto, un cuadrado rara vez se llama rectángulo. Pero la principal característica distintiva de un cuadrado, además de las ya enumeradas anteriormente, es que sus cuatro lados son iguales.

El trapezoide es una figura muy interesante.. Este también es un cuadrilátero y también convexo. En este artículo, ya se ha considerado el trapezoide usando el ejemplo de un dibujo. Está claro que ella también es convexa. La principal diferencia y, en consecuencia, un signo de un trapezoide es que sus lados pueden ser absolutamente diferentes entre sí en longitud, así como en valor de sus ángulos. En este caso, la figura siempre permanece en el mismo plano con respecto a cualquiera de las rectas que conectan dos de sus vértices cualesquiera a lo largo de los segmentos que forman la figura.

Rhombus es una figura igualmente interesante. En parte, un rombo puede considerarse un cuadrado. Un signo de un rombo es el hecho de que sus diagonales no solo se intersecan, sino que también dividen las esquinas del rombo por la mitad, y las diagonales se intersecan en ángulo recto, es decir, son perpendiculares. Si las longitudes de los lados del rombo son iguales, entonces las diagonales también se dividen por la mitad en la intersección.

Deltoides o romboides convexos (rombos) puede tener diferentes longitudes de lado. Pero al mismo tiempo, aún se conservan tanto las propiedades y características principales del rombo como las características y propiedades de la convexidad. Es decir, podemos observar que las diagonales bisecan las esquinas y se intersecan en ángulo recto.

La tarea de hoy fue considerar y comprender qué son los cuadriláteros convexos, qué son y sus principales características y propiedades. ¡Atención! Vale la pena recordar una vez más que la suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360 grados. El perímetro de las figuras, por ejemplo, es igual a la suma de las longitudes de todos los segmentos que forman la figura. Las fórmulas para calcular el perímetro y el área de los cuadriláteros se tratarán en los siguientes artículos.

Tipos de cuadriláteros convexos