In diesem Artikel werden Sie und ich eine Diskussion über einen „Zauberstab“ beginnen, mit dem Sie viele Probleme in der Geometrie auf einfache Arithmetik reduzieren können. Dieser „Zauberstab“ kann Ihnen das Leben erheblich erleichtern, besonders wenn Sie sich beim Bauen von räumlichen Figuren, Schnitten usw. unsicher fühlen. All dies erfordert eine gewisse Vorstellungskraft und praktisches Geschick. Die Methode, die wir hier zu betrachten beginnen, ermöglicht es Ihnen, fast vollständig von allen Arten geometrischer Konstruktionen und Argumentationen zu abstrahieren. Die Methode wird aufgerufen "Koordinatenmethode". In diesem Artikel werden wir uns mit den folgenden Fragen befassen:

1. Koordinatenebene
2. Punkte und Vektoren in der Ebene
3. Aufbau eines Vektors aus zwei Punkten
4. Vektorlänge (Abstand zwischen zwei Punkten).
5. Mittelpunktkoordinaten
6. Skalarprodukt von Vektoren
7. Winkel zwischen zwei Vektoren

Ich denke, Sie haben bereits erraten, warum die Koordinatenmethode so heißt? Es hat zwar einen solchen Namen bekommen, da es nicht mit geometrischen Objekten operiert, sondern mit deren numerischen Eigenschaften (Koordinaten). Und die Transformation selbst, die den Übergang von der Geometrie zur Algebra ermöglicht, besteht in der Einführung eines Koordinatensystems. Wenn die ursprüngliche Figur flach war, dann sind die Koordinaten zweidimensional, und wenn die Figur dreidimensional ist, dann sind die Koordinaten dreidimensional. In diesem Artikel betrachten wir nur den zweidimensionalen Fall. Und der Hauptzweck des Artikels besteht darin, Ihnen beizubringen, wie Sie einige grundlegende Techniken der Koordinatenmethode anwenden (sie erweisen sich manchmal als nützlich, wenn Sie Probleme in der Planimetrie in Teil B der Einheitlichen Staatsprüfung lösen). Die folgenden zwei Abschnitte zu diesem Thema sind der Diskussion von Methoden zur Lösung von Problemen C2 (das Problem der Stereometrie) gewidmet.

Wo wäre es logisch, mit der Diskussion der Koordinatenmethode anzufangen? Wahrscheinlich mit dem Konzept eines Koordinatensystems. Erinnere dich, als du sie zum ersten Mal getroffen hast. Mir scheint, dass Sie in der 7. Klasse zum Beispiel von der Existenz einer linearen Funktion erfahren haben. Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie es Punkt für Punkt aufgebaut haben. Erinnerst du dich? Sie haben eine beliebige Zahl gewählt, sie in die Formel eingesetzt und so berechnet. Zum Beispiel, wenn, dann, wenn, dann usw. Was haben Sie als Ergebnis erhalten? Und Sie haben Punkte mit Koordinaten erhalten: und. Dann zeichneten Sie ein „Kreuz“ (Koordinatensystem), wählten darauf eine Skala (wie viele Zellen Sie als einzelnes Segment haben werden) und markierten die erhaltenen Punkte darauf, die Sie dann mit einer geraden Linie, der resultierenden Linie, verbanden ist der Graph der Funktion.

Es gibt ein paar Dinge, die Ihnen etwas genauer erklärt werden müssen:

1. Sie wählen aus Bequemlichkeitsgründen ein einzelnes Segment, damit alles schön und kompakt ins Bild passt

2. Es wird angenommen, dass die Achse von links nach rechts und die Achse von unten nach oben verläuft

3. Sie schneiden sich im rechten Winkel, und der Punkt ihres Schnittpunkts wird Ursprung genannt. Es ist mit einem Buchstaben gekennzeichnet.

4. In der Aufzeichnung der Koordinaten eines Punktes steht beispielsweise links in Klammern die Koordinate des Punktes entlang der Achse und rechts entlang der Achse. Insbesondere bedeutet einfach, dass der Punkt

5. Um einen beliebigen Punkt auf der Koordinatenachse festzulegen, müssen Sie seine Koordinaten angeben (2 Zahlen)

6. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

7. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

8. Die Achse wird als x-Achse bezeichnet

9. Die Achse wird als y-Achse bezeichnet

Jetzt gehen wir mit Ihnen den nächsten Schritt: Markieren Sie zwei Punkte. Verbinde diese beiden Punkte mit einer Linie. Und lassen Sie uns den Pfeil so platzieren, als würden wir ein Segment von Punkt zu Punkt zeichnen: Das heißt, wir werden unser Segment gerichtet machen!

Erinnern Sie sich, was ein anderer Name für ein gerichtetes Segment ist? Das ist richtig, es heißt Vektor!

Wenn wir also einen Punkt mit einem Punkt verbinden, und der Anfang wird Punkt A sein, und das Ende wird Punkt B sein, dann bekommen wir einen Vektor. Du hast diese Konstruktion auch in der 8. Klasse gemacht, erinnerst du dich?

Es stellt sich heraus, dass Vektoren wie Punkte durch zwei Zahlen bezeichnet werden können: Diese Zahlen werden die Koordinaten des Vektors genannt. Frage: Glauben Sie, dass es ausreicht, die Koordinaten des Anfangs und des Endes des Vektors zu kennen, um seine Koordinaten zu finden? Es stellt sich heraus, dass ja! Und es geht ganz einfach:

Da also im Vektor der Punkt der Anfang und das Ende ist, hat der Vektor die folgenden Koordinaten:

Zum Beispiel, wenn, dann die Koordinaten des Vektors

Jetzt machen wir das Gegenteil, finden die Koordinaten des Vektors. Was müssen wir dafür ändern? Ja, Sie müssen Anfang und Ende vertauschen: Jetzt befindet sich der Anfang des Vektors an einem Punkt und das Ende an einem Punkt. Dann:

Schauen Sie genau hin, was ist der Unterschied zwischen Vektoren und? Ihr einziger Unterschied sind die Vorzeichen in den Koordinaten. Sie sind gegenüber. Diese Tatsache wird so geschrieben:

Manchmal, wenn nicht ausdrücklich angegeben ist, welcher Punkt der Anfang des Vektors ist und welcher das Ende ist, werden die Vektoren nicht durch zwei Großbuchstaben, sondern durch einen Kleinbuchstaben gekennzeichnet, z. B.: usw.

Jetzt ein bisschen trainieren und finde die Koordinaten der folgenden Vektoren:

Untersuchung:

Lösen Sie nun das Problem etwas schwieriger:

Ein Vektortorus mit on-cha-scrap an einem Punkt hat co-or-di-on-you. Find-di-te abs-cis-su-Punkte.

Trotzdem ganz prosaisch: Seien die Koordinaten des Punktes. Dann

Ich habe das System kompiliert, indem ich die Koordinaten eines Vektors ermittelt habe. Dann hat der Punkt Koordinaten. Uns interessiert die Abszisse. Dann

Antworten:

Was kann man sonst noch mit Vektoren machen? Ja, fast alles ist dasselbe wie bei gewöhnlichen Zahlen (außer dass Sie nicht dividieren können, aber Sie können auf zwei Arten multiplizieren, eine davon werden wir hier etwas später besprechen)

1. Vektoren können miteinander gestapelt werden
2. Vektoren können voneinander subtrahiert werden
3. Vektoren können mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert (oder dividiert) werden
4. Vektoren können miteinander multipliziert werden

Alle diese Operationen haben eine ziemlich visuelle geometrische Darstellung. Zum Beispiel die Dreiecks- (oder Parallelogramm-) Regel für Addition und Subtraktion:

Ein Vektor dehnt oder schrumpft oder ändert die Richtung, wenn er mit einer Zahl multipliziert oder dividiert wird:

Hier interessiert uns jedoch die Frage, was mit den Koordinaten passiert.

1. Beim Addieren (Subtrahieren) zweier Vektoren addieren (subtrahieren) wir ihre Koordinaten Element für Element. Also:

2. Beim Multiplizieren (Dividieren) eines Vektors mit einer Zahl werden alle seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert (dividiert):

Zum Beispiel:

· Find-di-die Summe von ko-or-di-nat von Jahrhundert zu Ra.

Lassen Sie uns zuerst die Koordinaten jedes der Vektoren finden. Beide haben denselben Ursprung – den Ursprungspunkt. Ihre Enden sind unterschiedlich. Dann, . Jetzt berechnen wir die Koordinaten des Vektors Dann ist die Summe der Koordinaten des resultierenden Vektors gleich.

Antworten:

Lösen Sie nun selbst folgendes Problem:

· Finden Sie die Summe der Koordinaten des Vektors

Wir überprüfen:

Betrachten wir nun das folgende Problem: Wir haben zwei Punkte auf der Koordinatenebene. Wie finde ich den Abstand zwischen ihnen? Lassen Sie den ersten Punkt sein und den zweiten. Lassen Sie uns den Abstand zwischen ihnen als bezeichnen. Machen wir zur Verdeutlichung folgende Zeichnung:

Was ich getan habe? Ich habe zuerst die Punkte und verbunden und auch eine Linie parallel zur Achse vom Punkt gezogen und eine Linie parallel zur Achse vom Punkt gezogen. Schnitten sie sich an einem Punkt und bildeten eine wunderbare Figur? Warum ist sie wunderbar? Ja, Sie und ich wissen fast alles über ein rechtwinkliges Dreieck. Nun, der Satz des Pythagoras, sicher. Das gewünschte Segment ist die Hypotenuse dieses Dreiecks, und die Segmente sind die Beine. Wie lauten die Koordinaten des Punktes? Ja, sie sind anhand des Bildes leicht zu finden: Da die Segmente parallel zu den Achsen sind, sind ihre Längen leicht zu finden: Wenn wir die Längen der Segmente jeweils durch bezeichnen, dann

Wenden wir nun den Satz des Pythagoras an. Wir kennen die Beinlängen, wir finden die Hypotenuse:

Somit ist der Abstand zwischen zwei Punkten die Wurzelsumme der quadrierten Differenzen von den Koordinaten. Oder - der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Länge des sie verbindenden Segments. Es ist leicht zu sehen, dass der Abstand zwischen den Punkten nicht von der Richtung abhängt. Dann:

Daraus ziehen wir drei Schlussfolgerungen:

Lassen Sie uns ein wenig üben, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet:

Zum Beispiel, wenn, dann ist der Abstand zwischen und

Oder gehen wir anders vor: Finden Sie die Koordinaten des Vektors

Und finde die Länge des Vektors:

Wie Sie sehen können, ist es das gleiche!

Üben Sie jetzt ein wenig alleine:

Aufgabe: Finden Sie den Abstand zwischen den angegebenen Punkten:

Wir überprüfen:

Hier sind ein paar weitere Probleme für die gleiche Formel, obwohl sie etwas anders klingen:

1. Find-di-te das Quadrat der Länge des Augenlids-zu-ra.

2. Nai-di-te-Quadrat der Augenlidlänge-zu-ra

Ich schätze, du kannst sie leicht handhaben? Wir überprüfen:

1. Und das dient der Aufmerksamkeit) Die Koordinaten der Vektoren haben wir bereits vorher gefunden: . Dann hat der Vektor Koordinaten. Das Quadrat seiner Länge ist:

2. Finde die Koordinaten des Vektors

Dann ist das Quadrat seiner Länge

Nichts kompliziertes, oder? Einfache Arithmetik, mehr nicht.

Die folgenden Rätsel lassen sich nicht eindeutig einordnen, sie dienen eher der allgemeinen Gelehrsamkeit und der Fähigkeit, einfache Bilder zu zeichnen.

1. Finden-di-diese Sinus des Winkels auf-klo-auf-von-Schnitt, verbinden-einen-n-ten-ten Punkt mit der Abszissenachse.

und

Wie machen wir das hier? Sie müssen den Sinus des Winkels zwischen und der Achse finden. Und wo können wir nach dem Sinus suchen? Richtig, in einem rechtwinkligen Dreieck. Was müssen wir also tun? Baue dieses Dreieck!

Da die Koordinaten des Punktes und, dann das Segment gleich ist, und das Segment. Wir müssen den Sinus des Winkels finden. Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Sinus das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse ist

Was bleibt uns noch zu tun? Finden Sie die Hypotenuse. Sie können dies auf zwei Arten tun: mit dem Satz des Pythagoras (die Beine sind bekannt!) oder mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten (eigentlich die gleiche wie bei der ersten Methode!). Ich gehe den zweiten Weg:

Antworten:

Die nächste Aufgabe wird Ihnen noch einfacher erscheinen. Sie - auf den Koordinaten des Punktes.

Aufgabe 2. Von diesem Punkt aus wird das Per-Pen-Di-Ku-Lar auf die Abs-Ciss-Achse abgesenkt. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Machen wir eine Zeichnung:

Die Basis der Senkrechten ist der Punkt, an dem sie die x-Achse (Achse) schneidet, für mich ist dies ein Punkt. Die Abbildung zeigt, dass es Koordinaten hat: . Uns interessiert die Abszisse – also die „X“-Komponente. Sie ist gleich.

Antworten: .

Aufgabe 3. Finden Sie unter den Bedingungen der vorherigen Aufgabe die Summe der Entfernungen vom Punkt zu den Koordinatenachsen.

Die Aufgabe ist im Allgemeinen elementar, wenn Sie wissen, wie groß der Abstand eines Punktes zu den Achsen ist. Du weisst? Ich hoffe, aber dennoch erinnere ich dich:

In meiner etwas höher gelegenen Zeichnung habe ich also bereits eine solche Senkrechte dargestellt? Welche Achse ist es? zur Achse. Und wie lang ist sie dann? Sie ist gleich. Zeichne nun selbst eine Senkrechte zur Achse und bestimme ihre Länge. Es wird gleich sein, oder? Dann ist ihre Summe gleich.

Antworten: .

Aufgabe 4. Finden Sie unter den Bedingungen von Aufgabe 2 die Ordinate des Punktes, der symmetrisch zum Punkt um die x-Achse liegt.

Ich denke, Sie verstehen intuitiv, was Symmetrie ist? Sehr viele Gegenstände haben sie: viele Gebäude, Tische, Flächen, viele geometrische Formen: eine Kugel, ein Zylinder, ein Quadrat, eine Raute usw. Grob gesagt kann Symmetrie wie folgt verstanden werden: Eine Figur besteht aus zwei (oder mehr) identische Hälften. Diese Symmetrie wird axial genannt. Was ist denn eine Achse? Das ist genau die Linie, entlang der die Figur relativ gesehen in identische Hälften „geschnitten“ werden kann (in diesem Bild ist die Symmetrieachse gerade):

Kommen wir nun zu unserer Aufgabe zurück. Wir wissen, dass wir einen Punkt suchen, der symmetrisch zur Achse ist. Dann ist diese Achse die Symmetrieachse. Wir müssen also einen Punkt markieren, damit die Achse das Segment in zwei gleiche Teile schneidet. Versuchen Sie, selbst einen solchen Punkt zu markieren. Jetzt vergleiche mit meiner Lösung:

Hast du das auch gemacht? Also! Am gefundenen Punkt interessiert uns die Ordinate. Sie ist gleich

Antworten:

Sagen Sie mir jetzt, nachdem Sie eine Sekunde nachgedacht haben, was wird die Abszisse des Punktes sein, der symmetrisch zu Punkt A um die y-Achse ist? Wie ist deine Antwort? Richtige Antwort: .

Im Allgemeinen kann die Regel wie folgt geschrieben werden:

Ein Punkt symmetrisch zu einem Punkt um die x-Achse hat die Koordinaten:

Ein Punkt, der symmetrisch zu einem Punkt um die y-Achse ist, hat Koordinaten:

Nun, jetzt ist es wirklich beängstigend. Aufgabe: Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der relativ zum Ursprung symmetrisch zu einem Punkt ist. Denken Sie zuerst selbst nach und schauen Sie sich dann meine Zeichnung an!

Antworten:

Jetzt Parallelogrammproblem:

Aufgabe 5: Die Punkte sind ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te oder-dee-on-tu Punkte.

Sie können dieses Problem auf zwei Arten lösen: Logik und die Koordinatenmethode. Ich werde zuerst die Koordinatenmethode anwenden und Ihnen dann sagen, wie Sie sich anders entscheiden können.

Es ist ziemlich klar, dass die Abszisse des Punktes gleich ist. (er liegt auf der vom Punkt zur x-Achse gezogenen Senkrechten). Wir müssen die Ordinate finden. Nutzen wir die Tatsache, dass unsere Figur ein Parallelogramm ist, was das bedeutet. Ermitteln Sie die Länge des Segments mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Wir senken die Senkrechte, die den Punkt mit der Achse verbindet. Der Schnittpunkt ist mit einem Buchstaben gekennzeichnet.

Die Länge des Segments ist gleich. (finden Sie das Problem selbst, wo wir diesen Moment besprochen haben), dann finden wir die Länge des Segments mit dem Satz des Pythagoras:

Die Länge des Segments ist genau gleich seiner Ordinate.

Antworten: .

Eine andere Lösung (ich werde nur ein Bild bereitstellen, das es veranschaulicht)

Lösungsfortschritt:

1. Verbringen

2. Finden Sie Punktkoordinaten und Länge

3. Beweisen Sie das.

Noch eine Schnittlängenproblem:

Die Punkte sind-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Finde die Länge seiner Mittellinie, par-ral-lel-noy.

Erinnerst du dich, was die Mittellinie eines Dreiecks ist? Dann ist diese Aufgabe für Sie elementar. Wenn Sie sich nicht erinnern, erinnere ich Sie daran: Die Mittellinie eines Dreiecks ist eine Linie, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Es ist parallel zur Basis und gleich der Hälfte davon.

Die Basis ist ein Segment. Die Länge mussten wir vorher suchen, sie ist gleich. Dann ist die Länge der Mittellinie halb so lang und gleich.

Antworten: .

Bemerkung: Dieses Problem kann auch auf andere Weise gelöst werden, worauf wir uns später noch beziehen werden.

In der Zwischenzeit haben wir hier ein paar Aufgaben für Sie, üben Sie sie aus, sie sind ziemlich einfach, aber sie helfen, mit der Koordinatenmethode „in die Finger zu bekommen“!

1. Die Punkte erscheinen-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Finde die Länge seiner Mittellinie.

2. Punkte und yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te oder-dee-on-tu Punkte.

3. Finden Sie die Länge aus dem Schnitt, verbinden Sie den zweiten Punkt und

4. Finden-di-te den Bereich für-den-roten-shen-noy-fi-gu-ry auf der ko-or-di-nat-noy-Ebene.

5. Ein Kreis mit dem Mittelpunkt na-cha-le ko-or-di-nat verläuft durch einen Punkt. Finde-de-te ihren Ra-di-Schnurrbart.

6. Nai-di-te ra-di-us Kreis-no-sti, beschreibe-san-noy in der Nähe des rechten Winkels-no-ka, die Spitzen-shi-ny von etwas-ro-go haben Co-oder - di-na-you co-von-antwort-aber

Lösungen:

1. Es ist bekannt, dass die Mittellinie eines Trapezes gleich der Hälfte der Summe seiner Basen ist. Die Basis ist gleich, aber die Basis. Dann

Antworten:

2. Der einfachste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, dies zu beachten (Parallelogramm-Regel). Berechnen Sie die Koordinaten der Vektoren und ist nicht schwierig: . Beim Addieren von Vektoren werden die Koordinaten addiert. Dann hat Koordinaten. Der Punkt hat die gleichen Koordinaten, da der Anfang des Vektors ein Punkt mit Koordinaten ist. Uns interessiert die Ordinate. Sie ist gleich.

Antworten:

3. Wir handeln sofort nach der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Antworten:

4. Betrachten Sie das Bild und sagen Sie, zwischen welchen beiden Figuren ist die schraffierte Fläche „eingeklemmt“? Es ist zwischen zwei Quadraten eingeklemmt. Dann ist die Fläche der gewünschten Figur gleich der Fläche des großen Quadrats minus der Fläche des kleinen. Die Seite des kleinen Quadrats ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge ist

Dann ist die Fläche des kleinen Quadrats

Das Gleiche machen wir mit einem großen Quadrat: Seine Seite ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge ist gleich

Dann ist die Fläche des großen Quadrats

Die Fläche der gewünschten Figur ergibt sich aus der Formel:

Antworten:

5. Wenn der Kreis den Ursprung als Mittelpunkt hat und durch einen Punkt verläuft, ist sein Radius genau gleich der Länge des Segments (machen Sie eine Zeichnung und Sie werden verstehen, warum dies offensichtlich ist). Finden Sie die Länge dieses Segments:

Antworten:

6. Es ist bekannt, dass der Radius eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises gleich der Hälfte seiner Diagonale ist. Lassen Sie uns die Länge einer der beiden Diagonalen finden (schließlich sind sie in einem Rechteck gleich!)

Antworten:

Na, hast du alles geschafft? Es war nicht so schwer, es herauszufinden, oder? Hier gibt es nur eine Regel - sich ein visuelles Bild machen und einfach alle Daten daraus „lesen“ zu können.

Wir haben sehr wenig übrig. Es gibt buchstäblich zwei weitere Punkte, die ich diskutieren möchte.

Lassen Sie uns versuchen, dieses einfache Problem zu lösen. Lassen Sie zwei Punkte und gegeben werden. Finden Sie die Koordinaten der Mitte des Segments. Die Lösung dieses Problems lautet wie folgt: Der Punkt sei die gewünschte Mitte, dann hat er Koordinaten:

Also: Koordinaten der Segmentmitte = arithmetisches Mittel der entsprechenden Koordinaten der Segmentenden.

Diese Regel ist sehr einfach und bereitet den Schülern normalerweise keine Schwierigkeiten. Mal sehen, in welchen Problemen und wie es verwendet wird:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Die Punkte sind yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu Punkte von re-re-se-che-niya seines dia-go-on-lei.

3. Find-di-te abs-cis-su der Mitte des Kreises, beschreibe-san-noy in der Nähe des Rechtecks-no-ka, die Spitzen-shi-wir haben etwas-ro-go co-or-di- na-du-vom-tierarzt-stvenno-aber.

Lösungen:

1. Die erste Aufgabe ist nur ein Klassiker. Wir handeln sofort, indem wir den Mittelpunkt des Segments bestimmen. Sie hat Koordinaten. Die Ordinate ist gleich.

Antworten:

2. Es ist leicht zu sehen, dass das gegebene Viereck ein Parallelogramm (sogar eine Raute!) ist. Sie können es selbst beweisen, indem Sie die Seitenlängen berechnen und miteinander vergleichen. Was weiß ich über ein Parallelogramm? Seine Diagonalen werden durch den Schnittpunkt halbiert! Aha! Was ist also der Schnittpunkt der Diagonalen? Dies ist die Mitte einer der Diagonalen! Ich werde insbesondere die Diagonale wählen. Dann hat der Punkt Koordinaten, die Ordinate des Punktes ist gleich.

Antworten:

3. Was ist der Mittelpunkt des um das Rechteck umschriebenen Kreises? Sie fällt mit dem Schnittpunkt ihrer Diagonalen zusammen. Was weißt du über die Diagonalen eines Rechtecks? Sie sind gleich und der Schnittpunkt wird halbiert. Die Aufgabe wurde auf die vorherige reduziert. Nehmen wir zum Beispiel die Diagonale. Wenn also der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises ist, dann ist die Mitte. Ich suche Koordinaten: Die Abszisse ist gleich.

Antworten:

Üben Sie jetzt ein wenig auf eigene Faust, ich werde nur die Antworten zu jeder Aufgabe geben, damit Sie sich selbst überprüfen können.

1. Nai-di-te ra-di-us Kreis-no-sti, beschreiben-san-noy in der Nähe des Dreiecks-no-ka, die Spitzen von jemandem-ro-go haben ko-oder-di-no-Herren

2. Finde-di-te oder-di-na-tu die Mitte des Kreises, beschreibe die san-noy in der Nähe des Dreiecks-no-ka, die Tops-shi-wir haben etwas-ro-go-Koordinaten

3. Welche Art von ra-di-y-sa sollte es einen Kreis mit einem Mittelpunkt an einem Punkt geben, so dass er die Abs-Ziss-Achse berührt?

4. Find-di-te oder-di-an-diesem Punkt des Re-re-se-che-ing der Achse und von-cut, connect-nya-yu-th-th-Punkt und

Antworten:

Hat alles geklappt? Ich hoffe sehr darauf! Jetzt - der letzte Stoß. Seien Sie jetzt besonders vorsichtig. Das Material, das ich jetzt erklären werde, ist nicht nur für die einfachen Koordinatenverfahrensprobleme in Teil B relevant, sondern ist auch in Problem C2 allgegenwärtig.

Welche meiner Versprechen habe ich noch nicht gehalten? Erinnern Sie sich, welche Operationen auf Vektoren ich versprochen habe einzuführen und welche ich schließlich eingeführt habe? Bin ich sicher, dass ich nichts vergessen habe? Vergessen! Ich habe vergessen zu erklären, was Multiplikation von Vektoren bedeutet.

Es gibt zwei Möglichkeiten, einen Vektor mit einem Vektor zu multiplizieren. Je nach gewählter Methode erhalten wir Objekte unterschiedlicher Art:

Das Vektorprodukt ist ziemlich knifflig. Wie das geht und warum es notwendig ist, werden wir im nächsten Artikel mit Ihnen besprechen. Und dabei konzentrieren wir uns auf das Skalarprodukt.

Es gibt bereits zwei Möglichkeiten, die es uns ermöglichen, es zu berechnen:

Wie Sie erraten haben, sollte das Ergebnis dasselbe sein! Schauen wir uns also zuerst den ersten Weg an:

Skalarprodukt durch Koordinaten

Finden Sie: - Gemeinsame Notation für Skalarprodukt

Die Formel für die Berechnung lautet wie folgt:

Das Skalarprodukt = die Summe der Produkte der Koordinaten der Vektoren!

Beispiel:

Find-dee-te

Entscheidung:

Finden Sie die Koordinaten jedes der Vektoren:

Wir berechnen das Skalarprodukt nach der Formel:

Antworten:

Sie sehen, absolut nichts kompliziertes!

Probieren Sie es jetzt selbst aus:

Find-di-te skalar-noe pro-von-ve-de-nie Jahrhundert bis Graben und

Hast du es geschafft? Vielleicht ist ihm ein kleiner Trick aufgefallen? Lass uns das Prüfen:

Vektorkoordinaten, wie in der vorherigen Aufgabe! Antworten: .

Neben der Koordinate gibt es noch eine andere Möglichkeit, das Skalarprodukt zu berechnen, nämlich über die Längen der Vektoren und den Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

Bezeichnet den Winkel zwischen den Vektoren und.

Das heißt, das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Wozu brauchen wir diese zweite Formel, wenn wir die erste haben, die viel einfacher ist, zumindest keine Kosinuszahlen enthält. Und es wird benötigt, damit wir aus der ersten und zweiten Formel ableiten können, wie man den Winkel zwischen Vektoren findet!

Merken Sie sich dann die Formel für die Länge eines Vektors!

Wenn ich diese Daten dann in die Punktproduktformel einsetze, erhalte ich:

Aber auf der anderen Seite:

Was haben wir also? Wir haben jetzt eine Formel, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen! Manchmal wird es der Kürze halber auch so geschrieben:

Das heißt, der Algorithmus zum Berechnen des Winkels zwischen Vektoren lautet wie folgt:

1. Wir berechnen das Skalarprodukt durch die Koordinaten
2. Finde die Längen von Vektoren und multipliziere sie
3. Teilen Sie das Ergebnis von Punkt 1 durch das Ergebnis von Punkt 2

Üben wir mit Beispielen:

1. Finden Sie den Winkel zwischen den Augenlidern-zu-ra-mi und. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

2. Finden Sie unter den Bedingungen der vorherigen Aufgabe den Kosinus zwischen den Vektoren

Lass uns das tun: Ich helfe dir, das erste Problem zu lösen, und versuche, das zweite selbst zu lösen! Ich stimme zu? Dann fangen wir an!

1. Diese Vektoren sind unsere alten Freunde. Wir haben bereits ihr Skalarprodukt betrachtet und es war gleich. Ihre Koordinaten sind: , . Dann finden wir ihre Längen:

Dann suchen wir den Kosinus zwischen den Vektoren:

Was ist der Kosinus des Winkels? Das ist die Ecke.

Antworten:

Nun, jetzt lösen Sie das zweite Problem selbst und vergleichen Sie dann! Ich gebe nur eine sehr kurze Lösung:

2. hat Koordinaten, hat Koordinaten.

Sei der Winkel zwischen den Vektoren und dann

Antworten:

Zu beachten ist, dass die Aufgaben direkt an den Vektoren und das Koordinatenverfahren in Teil B der Prüfungsarbeit eher selten sind. Die überwiegende Mehrheit der C2-Probleme kann jedoch leicht durch die Einführung eines Koordinatensystems gelöst werden. Sie können diesen Artikel also als Grundlage betrachten, auf deren Grundlage wir recht knifflige Konstruktionen erstellen, die wir zur Lösung komplexer Probleme benötigen.

KOORDINATEN UND VEKTOREN. MITTELSTUFE

Sie und ich studieren weiterhin die Methode der Koordinaten. Im letzten Teil haben wir eine Reihe wichtiger Formeln hergeleitet, die Folgendes ermöglichen:

1. Finden Sie Vektorkoordinaten
2. Finden Sie die Länge eines Vektors (alternativ: den Abstand zwischen zwei Punkten)
3. Vektoren addieren, subtrahieren. Multipliziere sie mit einer reellen Zahl
4. Finden Sie den Mittelpunkt eines Segments
5. Skalarprodukt von Vektoren berechnen
6. Finde den Winkel zwischen Vektoren

In diese 6 Punkte passt natürlich nicht das gesamte Koordinatenverfahren. Ihr liegt eine Wissenschaft wie die Analytische Geometrie zugrunde, die Sie an der Universität kennenlernen werden. Ich möchte nur eine Grundlage schaffen, die es Ihnen ermöglicht, Probleme in einem einzigen Zustand zu lösen. Prüfung. Wir haben die Aufgaben von Teil B in herausgefunden. Jetzt ist es an der Zeit, sich auf eine qualitativ neue Ebene zu begeben! Dieser Artikel widmet sich einem Verfahren zur Lösung solcher C2-Probleme, bei denen es sinnvoll wäre, auf das Koordinatenverfahren umzusteigen. Diese Angemessenheit wird dadurch bestimmt, was in dem Problem gefunden werden muss und welche Zahl angegeben wird. Also würde ich die Koordinatenmethode verwenden, wenn die Fragen lauten:

1. Finde den Winkel zwischen zwei Ebenen
2. Finden Sie den Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene
3. Finde den Winkel zwischen zwei Geraden
4. Finden Sie die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene
5. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie
6. Finden Sie den Abstand von einer geraden Linie zu einer Ebene
7. Finden Sie den Abstand zwischen zwei Linien

Wenn die in der Aufgabenstellung angegebene Figur ein Rotationskörper ist (Kugel, Zylinder, Kegel ...)

Geeignete Zahlen für das Koordinatenverfahren sind:

1. Quader
2. Pyramide (dreieckig, viereckig, sechseckig)

Auch nach meiner Erfahrung Es ist ungeeignet, die Koordinatenmethode für zu verwenden:

1. Finden der Bereiche von Abschnitten
2. Berechnungen von Volumen von Körpern

Gleichwohl sei gleich darauf hingewiesen, dass drei „ungünstige“ Situationen für das Koordinatenverfahren in der Praxis eher selten sind. Bei den meisten Aufgaben kann es Ihr Retter werden, besonders wenn Sie in dreidimensionalen Konstruktionen (die manchmal ziemlich kompliziert sind) nicht sehr stark sind.

Was sind all die Zahlen, die ich oben aufgelistet habe? Sie sind nicht mehr flach wie Quadrat, Dreieck, Kreis, sondern voluminös! Dementsprechend müssen wir nicht ein zweidimensionales, sondern ein dreidimensionales Koordinatensystem betrachten. Es ist ganz einfach aufgebaut: Nur zusätzlich zu Abszisse und Ordinate führen wir eine weitere Achse ein, die Applikatachse. Die Abbildung zeigt schematisch ihre relative Position:

Alle von ihnen sind senkrecht zueinander und schneiden sich an einem Punkt, den wir den Ursprung nennen werden. Die Abszissenachse wird wie zuvor bezeichnet, die Ordinatenachse mit - und die eingeführte Anwendungsachse mit - .

Wenn früher jeder Punkt in der Ebene durch zwei Zahlen gekennzeichnet war - die Abszisse und die Ordinate, dann wird jeder Punkt im Raum bereits durch drei Zahlen beschrieben - die Abszisse, die Ordinate, die Applikate. Zum Beispiel:

Dementsprechend ist die Abszisse des Punktes gleich, die Ordinate ist , und die Anwendung ist .

Manchmal wird die Abszisse eines Punktes auch als Projektion des Punktes auf die Abszissenachse bezeichnet, die Ordinate ist die Projektion des Punktes auf die y-Achse und die Anwendung ist die Projektion des Punktes auf die Anwendungsachse. Wenn also ein Punkt gegeben ist, dann ein Punkt mit Koordinaten:

heißt die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

heißt die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Es stellt sich natürlich die Frage: Sind alle für den zweidimensionalen Fall hergeleiteten Formeln im Raum gültig? Die Antwort ist ja, sie sind gerecht und haben das gleiche Aussehen. Für ein kleines Detail. Ich denke du hast schon erraten welche. In allen Formeln müssen wir einen weiteren Term hinzufügen, der für die Anwendungsachse verantwortlich ist. Nämlich.

1. Wenn zwei Punkte gegeben sind: , dann:

• Vektorkoordinaten:
• Abstand zwischen zwei Punkten (oder Vektorlänge)
• Die Mitte des Segments hat Koordinaten

2. Wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann:

• Ihr Skalarprodukt ist:
• Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist:

Allerdings ist der Raum nicht so einfach. Wie Sie verstehen, bringt das Hinzufügen einer weiteren Koordinate eine erhebliche Vielfalt in das Spektrum der Figuren, die in diesem Raum „leben“. Und für die weitere Erzählung muss ich, grob gesagt, eine „Verallgemeinerung“ der geraden Linie einführen. Diese "Verallgemeinerung" wird ein Flugzeug sein. Was weißt du über Flugzeuge? Versuchen Sie, die Frage zu beantworten: Was ist ein Flugzeug? Es ist sehr schwer zu sagen. Wir alle stellen uns jedoch intuitiv vor, wie es aussieht:

Grob gesagt ist dies eine Art endloses „Blatt“, das in den Weltraum geschoben wird. "Unendlich" sollte so verstanden werden, dass sich die Ebene in alle Richtungen erstreckt, das heißt, ihre Fläche ist gleich unendlich. Diese Erklärung "an den Fingern" gibt jedoch nicht die geringste Vorstellung von der Struktur des Flugzeugs. Und wir werden daran interessiert sein.

Erinnern wir uns an eines der grundlegenden Axiome der Geometrie:

• Eine Gerade geht durch zwei verschiedene Punkte auf einer Ebene, außerdem nur einen:

Oder sein Analogon im Weltraum:

Sie erinnern sich natürlich, wie man die Gleichung einer geraden Linie aus zwei gegebenen Punkten ableitet, das ist überhaupt nicht schwierig: Wenn der erste Punkt Koordinaten hat: und der zweite, dann lautet die Gleichung der geraden Linie wie folgt:

Du hast das in der siebten Klasse durchgemacht. Im Raum sieht die Geradengleichung so aus: Nehmen wir zwei Punkte mit den Koordinaten: , dann hat die Geradengleichung, die durch sie geht, die Form:

Zum Beispiel verläuft eine Linie durch Punkte:

Wie ist das zu verstehen? Dies ist wie folgt zu verstehen: Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten folgendes System erfüllen:

Wir werden uns nicht sehr für die Gleichung einer geraden Linie interessieren, aber wir müssen auf das sehr wichtige Konzept des Richtungsvektors einer geraden Linie achten. - jeder Nicht-Null-Vektor, der auf einer gegebenen Linie oder parallel dazu liegt.

Beispielsweise sind beide Vektoren Richtungsvektoren einer Geraden. Sei ein Punkt, der auf einer geraden Linie liegt, und sein Richtungsvektor. Dann kann die Geradengleichung in folgender Form geschrieben werden:

Auch hier werde ich mich nicht sehr für die Gleichung einer geraden Linie interessieren, aber Sie müssen sich wirklich daran erinnern, was ein Richtungsvektor ist! Noch einmal: es ist JEDER Nicht-Null-Vektor, der auf einer Linie oder parallel dazu liegt.

Zurückziehen Dreipunktgleichung einer Ebene ist nicht mehr so ​​trivial und wird normalerweise nicht in einem High-School-Kurs behandelt. Aber vergeblich! Diese Technik ist unerlässlich, wenn wir auf die Koordinatenmethode zurückgreifen, um komplexe Probleme zu lösen. Ich nehme aber an, dass Sie voller Lust sind, etwas Neues zu lernen? Außerdem können Sie Ihren Lehrer an der Universität beeindrucken, wenn sich herausstellt, dass Sie bereits wissen, wie man die Technik anwendet, die normalerweise im Kurs der analytischen Geometrie studiert wird. Also lasst uns anfangen.

Die Gleichung einer Ebene unterscheidet sich nicht allzu sehr von der Gleichung einer geraden Linie auf einer Ebene, sie hat nämlich die Form:

einige Zahlen (nicht alle gleich Null), sondern Variablen, zum Beispiel: etc. Wie Sie sehen können, unterscheidet sich die Gleichung einer Ebene nicht sehr von der Gleichung einer geraden Linie (lineare Funktion). Erinnern Sie sich jedoch, was wir mit Ihnen gestritten haben? Wir haben gesagt, dass, wenn wir drei Punkte haben, die nicht auf einer geraden Linie liegen, die Gleichung der Ebene eindeutig aus ihnen wiederhergestellt wird. Aber wie? Ich versuche es dir zu erklären.

Da die Ebenengleichung lautet:

Und die Punkte gehören zu dieser Ebene, wenn wir dann die Koordinaten jedes Punktes in die Gleichung der Ebene einsetzen, sollten wir die richtige Identität erhalten:

Es müssen also bereits drei Gleichungen mit Unbekannten gelöst werden! Dilemma! Davon können wir aber immer ausgehen (dazu müssen wir dividieren durch). Somit erhalten wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Wir werden ein solches System aber nicht lösen, sondern den daraus folgenden kryptischen Ausdruck aufschreiben:

Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte geht

\[\links| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Stoppen! Was ist das noch? Ein sehr ungewöhnliches Modul! Das Objekt, das Sie vor sich sehen, hat jedoch nichts mit dem Modul zu tun. Dieses Objekt wird Determinante dritter Ordnung genannt. Wenn Sie sich von nun an mit der Methode der Koordinaten in der Ebene beschäftigen, werden Sie oft auf genau diese Determinanten stoßen. Was ist eine Determinante dritter Ordnung? Seltsamerweise ist es nur eine Zahl. Es bleibt zu verstehen, welche spezifische Zahl wir mit der Determinante vergleichen werden.

Schreiben wir zunächst die Determinante dritter Ordnung in allgemeinerer Form:

Wo sind einige Zahlen. Außerdem meinen wir mit dem ersten Index die Zeilennummer und mit dem Index die Spaltennummer. Zum Beispiel bedeutet dies, dass die angegebene Zahl am Schnittpunkt der zweiten Reihe und der dritten Spalte liegt. Stellen wir uns folgende Frage: Wie genau berechnen wir eine solche Determinante? Das heißt, mit welcher spezifischen Zahl werden wir es vergleichen? Für die Determinante gerade dritter Ordnung gibt es eine heuristische (visuelle) Dreiecksregel, sie sieht so aus:

1. Das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden Diagonale
2. Das Produkt der Elemente der Nebendiagonale (von rechts oben nach links unten) das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ bilden, zur Nebendiagonale das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ bilden die Nebendiagonale
3. Dann ist die Determinante gleich der Differenz zwischen den im Schritt erhaltenen Werten und

Wenn wir das alles in Zahlen schreiben, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:

Sie müssen sich die Berechnungsmethode in dieser Form jedoch nicht merken, es reicht aus, nur die Dreiecke im Kopf zu behalten und die Vorstellung davon, was zu was hinzugefügt und was dann von was abgezogen wird).

Lassen Sie uns die Dreiecksmethode an einem Beispiel veranschaulichen:

1. Berechnen Sie die Determinante:

Lassen Sie uns herausfinden, was wir addieren und was wir subtrahieren:

Begriffe, die mit einem „Plus“ versehen sind:

Dies ist die Hauptdiagonale: das Produkt der Elemente ist

Das erste Dreieck, "senkrecht zur Hauptdiagonale: das Produkt der Elemente ist

Das zweite Dreieck, "senkrecht zur Hauptdiagonale: das Produkt der Elemente ist

Wir addieren drei Zahlen:

Begriffe mit einem „Minus“

Dies ist eine Seitendiagonale: das Produkt der Elemente ist

Das erste Dreieck, "senkrecht zur Nebendiagonale: das Produkt der Elemente ist

Das zweite Dreieck, "senkrecht zur Nebendiagonale: das Produkt der Elemente ist

Wir addieren drei Zahlen:

Es bleibt nur noch, von der Summe der Plus-Terme die Summe der Minus-Terme abzuziehen:

Auf diese Weise,

Wie Sie sehen können, ist die Berechnung von Determinanten dritter Ordnung nichts Kompliziertes und Übernatürliches. Es ist einfach wichtig, sich an Dreiecke zu erinnern und keine Rechenfehler zu machen. Versuchen Sie nun, selbst zu rechnen:

Wir überprüfen:

1. Das erste Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonale:
2. Das zweite Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonale:
3. Die Summe der Plusterme:
4. Erstes Dreieck senkrecht zur Seitendiagonale:
5. Das zweite Dreieck, senkrecht zur Seitendiagonalen:
6. Die Summe der Terme mit einem Minus:
7. Summe der Plusterme minus Summe der Minusterme:

Hier noch ein paar Determinanten für dich, berechne deren Werte selbst und vergleiche mit den Antworten:

Antworten:

Na, hat alles gepasst? Super, dann kann es weitergehen! Wenn es Schwierigkeiten gibt, dann mein Rat: Im Internet gibt es eine Reihe von Programmen, um die Determinante online zu berechnen. Alles, was Sie brauchen, ist, Ihre eigene Determinante zu finden, sie selbst zu berechnen und sie dann mit dem zu vergleichen, was das Programm berechnet. Und so weiter, bis die Ergebnisse übereinstimmen. Ich bin sicher, dieser Moment wird nicht lange auf sich warten lassen!

Kehren wir nun zu der Determinante zurück, die ich aufgeschrieben habe, als ich über die Gleichung einer Ebene gesprochen habe, die durch drei gegebene Punkte verläuft:

Alles, was Sie tun müssen, ist, seinen Wert direkt zu berechnen (mit der Dreiecksmethode) und das Ergebnis gleich Null zu setzen. Da es sich um Variablen handelt, erhalten Sie natürlich einen Ausdruck, der von ihnen abhängt. Dieser Ausdruck ist die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte geht, die nicht auf einer geraden Linie liegen!

Veranschaulichen wir dies an einem einfachen Beispiel:

1. Konstruieren Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte geht

Wir bilden eine Determinante für diese drei Punkte:

Vereinfachung:

Jetzt berechnen wir es direkt nach der Dreiecksregel:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ rechts| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Somit lautet die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte geht:

Versuchen Sie jetzt, ein Problem selbst zu lösen, und dann besprechen wir es:

2. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte geht

Nun, lassen Sie uns jetzt die Lösung besprechen:

Wir machen eine Determinante:

Und berechne seinen Wert:

Dann hat die Ebenengleichung die Form:

Oder durch Reduktion um erhalten wir:

Nun zwei Aufgaben zur Selbstkontrolle:

1. Konstruieren Sie die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht:

Antworten:

Hat alles gepasst? Auch hier ist mein Rat, wenn es gewisse Schwierigkeiten gibt: Sie nehmen drei Punkte aus Ihrem Kopf (sie werden mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht auf einer geraden Linie liegen) und bauen ein Flugzeug darauf. Und dann überprüfen Sie sich online. Zum Beispiel auf der Website:

Mit Hilfe von Determinanten werden wir jedoch nicht nur die Gleichung der Ebene konstruieren. Denken Sie daran, ich habe Ihnen gesagt, dass für Vektoren nicht nur das Skalarprodukt definiert ist. Es gibt auch einen Vektor sowie ein Mischprodukt. Und wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren eine Zahl ist, dann ist das Vektorprodukt zweier Vektoren ein Vektor, und dieser Vektor steht senkrecht zu den gegebenen:

Darüber hinaus ist sein Modul gleich der Fläche des Parallelogramms, das auf den Vektoren und aufgebaut ist. Wir benötigen diesen Vektor, um die Entfernung von einem Punkt zu einer Linie zu berechnen. Wie können wir das Kreuzprodukt von Vektoren berechnen und wenn ihre Koordinaten gegeben sind? Dabei kommt uns wieder die Determinante dritter Ordnung zu Hilfe. Bevor ich jedoch zum Algorithmus zur Berechnung des Kreuzprodukts übergehe, muss ich einen kleinen lyrischen Exkurs machen.

Dieser Exkurs betrifft die Basisvektoren.

Schematisch sind sie in der Abbildung dargestellt:

Warum denkst du, dass sie Basic genannt werden? Die Sache ist die :

Oder auf dem Bild:

Die Gültigkeit dieser Formel ist offensichtlich, denn:

Vektorprodukt

Jetzt kann ich mit der Einführung des Kreuzprodukts beginnen:

Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der nach folgender Regel berechnet wird:

Lassen Sie uns nun einige Beispiele für die Berechnung des Kreuzprodukts geben:

Beispiel 1: Finden Sie das Kreuzprodukt von Vektoren:

Lösung: Ich mache eine Determinante:

Und ich rechne es aus:

Jetzt, nachdem ich durch Basisvektoren geschrieben habe, kehre ich zur üblichen Vektorschreibweise zurück:

Auf diese Weise:

Versuchen Sie es jetzt.

Bereit? Wir überprüfen:

Und traditionell zwei zu kontrollierende Aufgaben:

1. Finden Sie das Kreuzprodukt der folgenden Vektoren:
2. Finden Sie das Kreuzprodukt der folgenden Vektoren:

Antworten:

Mischprodukt aus drei Vektoren

Die letzte Konstruktion, die ich brauche, ist das gemischte Produkt von drei Vektoren. Es ist wie ein Skalar eine Zahl. Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu berechnen. - durch die Determinante, - durch das Mischprodukt.

Nehmen wir nämlich an, wir haben drei Vektoren:

Dann kann das gemischte Produkt dreier Vektoren, bezeichnet mit berechnet werden als:

1. - das heißt, das Mischprodukt ist das Skalarprodukt eines Vektors und das Vektorprodukt zweier anderer Vektoren

Zum Beispiel ist das gemischte Produkt von drei Vektoren:

Versuchen Sie, es mit dem Vektorprodukt selbst zu berechnen, und achten Sie darauf, dass die Ergebnisse übereinstimmen!

Und nochmal - zwei Beispiele für eine eigenständige Lösung:

Antworten:

Wahl des Koordinatensystems

Nun, jetzt haben wir alle notwendigen Wissensgrundlagen, um komplexe stereometrische Probleme in der Geometrie zu lösen. Bevor ich jedoch direkt zu den Beispielen und Algorithmen zu ihrer Lösung übergehe, glaube ich, dass es nützlich sein wird, auf die folgende Frage einzugehen: wie genau Wählen Sie ein Koordinatensystem für eine bestimmte Figur. Denn die Wahl der relativen Lage des Koordinatensystems und der Figur im Raum entscheidet letztendlich darüber, wie umständlich die Berechnungen werden.

Ich erinnere Sie daran, dass wir in diesem Abschnitt die folgenden Zahlen betrachten:

1. Quader
2. Gerades Prisma (dreieckig, sechseckig…)
3. Pyramide (dreieckig, viereckig)
4. Tetraeder (dasselbe wie dreieckige Pyramide)

Für einen Quader oder Würfel empfehle ich folgende Konstruktion:

Das heißt, ich werde die Figur „in die Ecke“ stellen. Der Würfel und die Box sind sehr gute Figuren. Für sie können Sie immer leicht die Koordinaten ihrer Scheitelpunkte finden. Zum Beispiel, wenn (wie im Bild gezeigt)

dann sind die Scheitelpunktkoordinaten:

Natürlich müssen Sie sich das nicht merken, aber es ist wünschenswert, sich daran zu erinnern, wie Sie einen Würfel oder eine rechteckige Box am besten positionieren.

gerades Prisma

Prisma ist eine schädlichere Figur. Sie können es auf verschiedene Arten im Raum anordnen. Ich denke jedoch, dass die folgende Option die beste Option ist:

Dreieckiges Prisma:

Das heißt, wir legen eine der Seiten des Dreiecks vollständig auf die Achse und eine der Ecken fällt mit dem Ursprung zusammen.

Sechskantprisma:

Das heißt, einer der Scheitelpunkte fällt mit dem Ursprung zusammen und eine der Seiten liegt auf der Achse.

Viereckige und sechseckige Pyramide:

Eine Situation ähnlich wie bei einem Würfel: Wir kombinieren zwei Seiten der Basis mit den Koordinatenachsen, wir kombinieren einen der Eckpunkte mit dem Ursprung. Die einzige kleine Schwierigkeit besteht darin, die Koordinaten des Punktes zu berechnen.

Für eine sechseckige Pyramide - dasselbe wie für ein sechseckiges Prisma. Die Hauptaufgabe besteht wieder darin, die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden.

Tetraeder (dreieckige Pyramide)

Die Situation ist sehr ähnlich wie die, die ich für das Dreiecksprisma angegeben habe: Ein Scheitelpunkt fällt mit dem Ursprung zusammen, eine Seite liegt auf der Koordinatenachse.

Nun, jetzt sind Sie und ich endlich kurz davor, Probleme zu lösen. Aus dem, was ich ganz am Anfang des Artikels gesagt habe, könnte man folgende Schlussfolgerung ziehen: Die meisten C2-Probleme fallen in 2 Kategorien: Probleme für den Winkel und Probleme für die Entfernung. Zuerst betrachten wir Probleme zum Finden eines Winkels. Sie wiederum werden (mit zunehmender Komplexität) in folgende Kategorien eingeteilt:

Probleme beim Finden von Ecken

1. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Geraden
2. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Ebenen

Betrachten wir diese Probleme der Reihe nach: Beginnen wir damit, den Winkel zwischen zwei geraden Linien zu finden. Komm schon, denk dran, hast du und ich ähnliche Beispiele schon einmal gelöst? Sie erinnern sich, denn wir hatten schon etwas Ähnliches ... Wir haben nach einem Winkel zwischen zwei Vektoren gesucht. Ich erinnere Sie daran, wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann wird der Winkel zwischen ihnen aus der Beziehung gefunden:

Jetzt haben wir ein Ziel - den Winkel zwischen zwei geraden Linien zu finden. Kommen wir zum „flachen Bild“:

Wie viele Winkel erhalten wir, wenn sich zwei Geraden schneiden? Schon Sachen. Allerdings sind nur zwei von ihnen nicht gleich, während andere senkrecht zu ihnen stehen (und daher mit ihnen übereinstimmen). Welchen Winkel sollten wir also als Winkel zwischen zwei Geraden betrachten: oder? Hier gilt die Regel: Der Winkel zwischen zwei Geraden beträgt immer nicht mehr als Grad. Das heißt, wir werden von zwei Winkeln immer den Winkel mit dem kleinsten Gradmaß wählen. Das heißt, in diesem Bild ist der Winkel zwischen den beiden Linien gleich. Um nicht jedes Mal den kleinsten der beiden Winkel suchen zu müssen, schlugen listige Mathematiker vor, das Modul zu verwenden. Somit wird der Winkel zwischen zwei Geraden durch die Formel bestimmt:

Sie als aufmerksamer Leser hätten eine Frage haben müssen: Woher bekommen wir eigentlich genau diese Zahlen, die wir brauchen, um den Kosinus eines Winkels zu berechnen? Antwort: Wir nehmen sie aus den Richtungsvektoren der Linien! Der Algorithmus zum Ermitteln des Winkels zwischen zwei Linien lautet also wie folgt:

1. Wir wenden Formel 1 an.

Oder ausführlicher:

1. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der ersten Geraden
2. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der zweiten Linie
3. Berechnen Sie den Modul ihres Skalarprodukts
4. Wir suchen die Länge des ersten Vektors
5. Wir suchen die Länge des zweiten Vektors
6. Multiplizieren Sie die Ergebnisse von Punkt 4 mit den Ergebnissen von Punkt 5
7. Wir teilen das Ergebnis von Punkt 3 durch das Ergebnis von Punkt 6. Wir erhalten den Kosinus des Winkels zwischen den Linien
8. Wenn uns dieses Ergebnis erlaubt, den Winkel genau zu berechnen, suchen wir danach
9. Ansonsten schreiben wir durch den Arkuskosinus

Nun, jetzt geht es an die Aufgaben: Ich werde die Lösung der ersten beiden ausführlich demonstrieren, die Lösung einer anderen kurz vorstellen und nur die letzten beiden Aufgaben beantworten, das müssen Sie machen Sie alle Berechnungen für sie selbst.

Aufgaben:

1. Finde im rechten tet-ra-ed-re den Winkel zwischen dir-so-dass tet-ra-ed-ra und der me-di-a-noy bo-ko-how Seite.

2. In der rechten Vorwärts-Sechs-Kohle-Pi-Ra-Mi-De sind die Hundert-Ro-Na-Os-No-Va-Niya irgendwie gleich und die Seitenrippen sind gleich, finden Sie den Winkel zwischen der Geraden Linien u.

3. Die Längen aller Kanten des rechtshändigen Four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy sind gleich. Finden Sie den Winkel zwischen den geraden Linien und wenn from-re-zok - you-so-that gegeben pi-ra-mi-dy, ist der Punkt se-re-di-auf ihrer bo-ko-ten Rippe

4. Auf der Kante des Würfels von-mich-zu einem Punkt, so dass Find-di-te den Winkel zwischen den geraden Linien und

5. Punkt - se-re-di-an den Kanten des Würfels Nai-di-te der Winkel zwischen den geraden Linien und.

Es ist kein Zufall, dass ich die Aufgaben in dieser Reihenfolge angeordnet habe. Während Sie noch keine Zeit hatten, sich mit der Koordinatenmethode zurechtzufinden, werde ich selbst die „problematischsten“ Zahlen analysieren und Sie mit dem einfachsten Würfel befassen! Nach und nach muss man lernen mit den ganzen Figuren zu arbeiten, ich werde die Komplexität der Aufgaben von Thema zu Thema steigern.

Fangen wir an, Probleme zu lösen:

1. Zeichnen Sie ein Tetraeder und platzieren Sie es im Koordinatensystem, wie ich es bereits vorgeschlagen habe. Da das Tetraeder regelmäßig ist, sind alle seine Flächen (einschließlich der Basis) regelmäßige Dreiecke. Da uns die Seitenlänge nicht vorgegeben ist, kann ich sie gleich nehmen. Ich denke, Sie verstehen, dass der Winkel nicht wirklich davon abhängt, wie stark unser Tetraeder "gestreckt" wird. Ich werde auch die Höhe und den Median in den Tetraeder einzeichnen. Unterwegs werde ich seine Basis zeichnen (es wird uns auch nützlich sein).

Ich muss den Winkel zwischen und finden. Was wissen wir? Wir kennen nur die Koordinate des Punktes. Also müssen wir mehr Koordinaten der Punkte finden. Jetzt denken wir: Ein Punkt ist ein Schnittpunkt von Höhen (oder Halbierenden oder Seitenhalbierenden) eines Dreiecks. Ein Punkt ist ein erhöhter Punkt. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Dann müssen wir endlich finden: die Koordinaten der Punkte: .

Beginnen wir mit dem Einfachsten: Punktkoordinaten. Betrachten Sie die Abbildung: Es ist klar, dass die Anwendbarkeit eines Punktes gleich Null ist (der Punkt liegt auf einer Ebene). Seine Ordinate ist gleich (weil es der Median ist). Es ist schwieriger, seine Abszisse zu finden. Dies ist jedoch auf der Grundlage des Satzes des Pythagoras leicht zu bewerkstelligen: Betrachten Sie ein Dreieck. Seine Hypotenuse ist gleich und eines der Beine ist gleich Dann:

Endlich haben wir:

Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Punktes finden. Es ist klar, dass seine Anwendung wieder gleich Null ist und seine Ordinate die gleiche wie die eines Punktes ist. Finden wir seine Abszisse. Dies geschieht ziemlich trivial, wenn man sich daran erinnert die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks werden durch den Schnittpunkt im Verhältnis geteilt von oben zählen. Da:, dann ist die gewünschte Abszisse des Punktes, gleich der Länge des Segments, gleich:. Somit sind die Koordinaten des Punktes:

Finden wir die Koordinaten des Punktes. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes zusammenfallen. Und die Applikation entspricht der Länge des Segments. - Dies ist einer der Schenkel des Dreiecks. Die Hypotenuse eines Dreiecks ist ein Segment - ein Bein. Es wird nach den Gründen gesucht, die ich fett hervorgehoben habe:

Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Dann müssen wir uns die Formel für die Koordinaten der Segmentmitte merken:

Das war's, jetzt können wir die Koordinaten der Richtungsvektoren suchen:

Nun, alles ist bereit: Wir setzen alle Daten in die Formel ein:

Auf diese Weise,

Antworten:

Sie sollten sich vor solchen "schrecklichen" Antworten nicht fürchten: Bei Problemen C2 ist dies eine gängige Praxis. Ich würde mich eher über die "schöne" Antwort in diesem Teil wundern. Außerdem habe ich, wie Sie bemerkt haben, praktisch auf nichts anderes als den Satz des Pythagoras und die Eigenschaft der Höhen eines gleichseitigen Dreiecks zurückgegriffen. Das heißt, um das stereometrische Problem zu lösen, habe ich ein Minimum an Stereometrie verwendet. Der Gewinn darin wird teilweise durch ziemlich umständliche Berechnungen "ausgelöscht". Aber sie sind ziemlich algorithmisch!

2. Zeichnen Sie eine regelmäßige sechseckige Pyramide zusammen mit dem Koordinatensystem und ihrer Basis:

Wir müssen den Winkel zwischen den Linien und finden. Somit reduziert sich unsere Aufgabe darauf, die Koordinaten von Punkten zu finden: . Wir finden die Koordinaten der letzten drei aus der kleinen Zeichnung, und wir finden die Koordinate des Scheitelpunkts durch die Koordinate des Punkts. Viel Arbeit, aber es muss losgehen!

a) Koordinate: Es ist klar, dass ihre Anwendung und Ordinate Null sind. Finden wir die Abszisse. Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck. Leider kennen wir darin nur die Hypotenuse, die gleich ist. Wir werden versuchen, das Bein zu finden (weil es klar ist, dass die doppelte Länge des Beins uns die Abszisse des Punktes gibt). Wie können wir nach ihr suchen? Erinnern wir uns, was für eine Figur wir am Fuß der Pyramide haben? Dies ist ein regelmäßiges Sechseck. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass alle Seiten und alle Winkel gleich sind. Wir müssen eine solche Ecke finden. Irgendwelche Ideen? Es gibt viele Ideen, aber es gibt eine Formel:

Die Summe der Winkel eines regelmäßigen n-Ecks ist .

Die Summe der Winkel eines regelmäßigen Sechsecks ist also Grad. Dann ist jeder der Winkel gleich:

Schauen wir uns das Bild noch einmal an. Es ist klar, dass das Segment die Winkelhalbierende ist. Dann ist der Winkel Grad. Dann:

Wo dann.

Es hat also Koordinaten

b) Jetzt können wir leicht die Koordinate des Punktes finden: .

c) Finde die Koordinaten des Punktes. Da ihre Abszisse mit der Länge des Segments zusammenfällt, ist sie gleich. Die Bestimmung der Ordinate ist auch nicht sehr schwierig: Wenn wir die Punkte und verbinden und den Schnittpunkt der Linie bezeichnen, sagen wir for. (Do it yourself einfacher Aufbau). Dann ist also die Ordinate von Punkt B gleich der Summe der Längen der Segmente. Schauen wir uns das Dreieck noch einmal an. Dann

Then seit Then hat der Punkt Koordinaten

d) Finden Sie nun die Koordinaten des Punktes. Betrachten Sie ein Rechteck und beweisen Sie: Somit sind die Koordinaten des Punktes:

e) Es bleibt, die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes zusammenfallen. Lassen Sie uns eine App finden. Seit damals. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Durch den Zustand des Problems, der seitlichen Kante. Das ist die Hypotenuse meines Dreiecks. Dann ist die Höhe der Pyramide das Bein.

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Das war's, ich habe die Koordinaten aller für mich interessanten Punkte. Ich suche die Koordinaten der Richtungsvektoren der Geraden:

Wir suchen den Winkel zwischen diesen Vektoren:

Antworten:

Auch bei der Lösung dieses Problems habe ich keine raffinierten Tricks angewandt, außer der Formel für die Winkelsumme eines regelmäßigen n-Ecks sowie der Definition von Kosinus und Sinus eines rechtwinkligen Dreiecks.

3. Da uns die Kantenlängen in der Pyramide wieder nicht gegeben sind, betrachte ich sie gleich eins. Da also ALLE Kanten und nicht nur die Seitenkanten gleich sind, liegt an der Basis der Pyramide und mir ein Quadrat, und die Seitenflächen sind regelmäßige Dreiecke. Lassen Sie uns eine solche Pyramide sowie ihre Basis in einer Ebene darstellen und alle im Text des Problems angegebenen Daten markieren:

Wir suchen den Winkel zwischen und. Ich werde sehr kurze Berechnungen anstellen, wenn ich nach den Koordinaten von Punkten suche. Sie müssen sie "entschlüsseln":

b) - die Mitte des Segments. Ihre Koordinaten:

c) Ich werde die Länge des Segments mit dem Satz des Pythagoras in einem Dreieck finden. Ich werde durch den Satz des Pythagoras in einem Dreieck finden.

Koordinaten:

d) - die Mitte des Segments. Seine Koordinaten sind

e) Vektorkoordinaten

f) Vektorkoordinaten

g) Winkel suchen:

Der Würfel ist die einfachste Figur. Ich bin sicher, Sie können es selbst herausfinden. Die Lösungen zu den Aufgaben 4 und 5 lauten wie folgt:

Ermitteln des Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene

Nun, die Zeit für einfache Rätsel ist vorbei! Jetzt werden die Beispiele noch schwieriger. Um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu finden, gehen wir wie folgt vor:

1. Mit drei Punkten bauen wir die Gleichung der Ebene auf
   ,
   mit einer Determinante dritter Ordnung.
2. Durch zwei Punkte suchen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden:
3. Wir wenden die Formel an, um den Winkel zwischen einer geraden Linie und einer Ebene zu berechnen:

Wie Sie sehen können, ist diese Formel derjenigen sehr ähnlich, die wir verwendet haben, um die Winkel zwischen zwei Linien zu finden. Die Struktur der rechten Seite ist genauso, und auf der linken Seite suchen wir jetzt nach einem Sinus und nicht wie zuvor nach einem Kosinus. Nun, eine böse Aktion wurde hinzugefügt - die Suche nach der Gleichung der Ebene.

Lassen Sie uns nicht beiseite legen Lösungsbeispiele:

1. Os-no-va-ni-em direkt-mein Preis-wir sind-la-et-xia gleich-aber-arm-ren-ny Dreieck-nicke dich-mit-diesem Preis-wir sind gleich. Finde den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene

2. In einem rechteckigen pa-ral-le-le-pi-pe-de aus dem Westen Nai-di-te der Winkel zwischen der geraden Linie und der Ebene

3. Im rechtshändigen Sechs-Kohle-Prisma sind alle Kanten gleich. Finde den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

4. Im rechten Dreieck pi-ra-mi-de mit dem os-but-va-ni-em aus dem Westen der Rippe Nai-di-te Winkel, ob-ra-zo-van -ny Ebene des os -no-va-niya und straight-my, durch das se-re-di-na der Rippen und

5. Die Längen aller Kanten des rechten viereckigen Pi-ra-mi-dy mit der Spitze sind gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der geraden Linie und der Ebene, wenn der Punkt se-re-di-auf der Bo-ko-in-th-Kante des Pi-ra-mi-dy ist.

Auch hier werde ich die ersten beiden Probleme im Detail lösen, das dritte - kurz, und die letzten beiden überlasse ich Ihnen, um sie selbst zu lösen. Außerdem musste man sich schon mit drei- und viereckigen Pyramiden auseinandersetzen, aber noch nicht mit Prismen.

Lösungen:

1. Zeichnen Sie ein Prisma sowie seine Basis. Kombinieren wir es mit dem Koordinatensystem und markieren alle Daten, die in der Problemstellung angegeben sind:

Ich entschuldige mich für die Nichteinhaltung der Proportionen, aber für die Lösung des Problems ist dies eigentlich nicht so wichtig. Das Flugzeug ist nur die "Rückwand" meines Prismas. Es reicht aus, einfach zu erraten, dass die Gleichung einer solchen Ebene die Form hat:

Dies kann aber auch direkt angezeigt werden:

Wir wählen drei willkürliche Punkte auf dieser Ebene: zum Beispiel .

Stellen wir die Gleichung der Ebene auf:

Übung für Sie: Berechnen Sie diese Determinante selbst. Warst du erfolgreich? Dann hat die Ebenengleichung die Form:

Oder einfach

Auf diese Weise,

Um das Beispiel zu lösen, muss ich die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden finden. Da der Punkt mit dem Ursprung zusammenfällt, fallen die Koordinaten des Vektors einfach mit den Koordinaten des Punktes zusammen.Um dies zu tun, finden wir zuerst die Koordinaten des Punktes.

Betrachten Sie dazu ein Dreieck. Lassen Sie uns eine Höhe (es ist auch ein Median und eine Winkelhalbierende) von oben zeichnen. Da ist dann die Ordinate des Punktes gleich. Um die Abszisse dieses Punktes zu finden, müssen wir die Länge des Segments berechnen. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Ein Punkt ist ein „Raised“ auf einem Punkt:

Dann die Koordinaten des Vektors:

Antworten:

Wie Sie sehen können, ist die Lösung solcher Probleme grundsätzlich nicht schwierig. Tatsächlich vereinfacht die „Geradheit“ einer Figur wie eines Prismas den Prozess ein wenig mehr. Kommen wir nun zum nächsten Beispiel:

2. Wir zeichnen ein Parallelepiped, zeichnen eine Ebene und eine gerade Linie darin und zeichnen auch separat seine untere Basis:

Zuerst finden wir die Gleichung der Ebene: Die Koordinaten der drei darin liegenden Punkte:

(Die ersten beiden Koordinaten werden auf offensichtliche Weise erhalten, und Sie können die letzte Koordinate leicht aus dem Bild vom Punkt aus finden). Dann stellen wir die Gleichung der Ebene auf:

Wir berechnen:

Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors: Es ist klar, dass seine Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes zusammenfallen, oder? Wie findet man Koordinaten? Dies sind die Koordinaten des Punktes, um eins erhöht entlang der Anwendungsachse! . Dann suchen wir den gewünschten Winkel:

Antworten:

3. Zeichnen Sie eine regelmäßige sechseckige Pyramide und zeichnen Sie dann eine Ebene und eine gerade Linie darin.

Hier ist es sogar problematisch, eine Ebene zu zeichnen, ganz zu schweigen von der Lösung dieses Problems, aber die Koordinatenmethode kümmert sich nicht darum! In seiner Vielseitigkeit liegt sein Hauptvorteil!

Das Flugzeug geht durch drei Punkte: . Wir suchen ihre Koordinaten:

ein) . Lassen Sie sich die Koordinaten für die letzten beiden Punkte selbst anzeigen. Dazu musst du das Problem mit einer sechseckigen Pyramide lösen!

2) Wir bilden die Gleichung der Ebene:

Wir suchen die Koordinaten des Vektors: . (Siehe noch einmal Dreieckspyramidenproblem!)

3) Wir suchen einen Winkel:

Antworten:

Wie Sie sehen können, gibt es bei diesen Aufgaben nichts übernatürlich Schwieriges. Sie müssen nur sehr vorsichtig mit den Wurzeln sein. Zu den letzten beiden Problemen werde ich nur Antworten geben:

Wie Sie sehen können, ist die Technik zum Lösen von Problemen überall gleich: Die Hauptaufgabe besteht darin, die Koordinaten der Scheitelpunkte zu finden und sie in einige Formeln einzusetzen. Es bleibt uns noch, eine weitere Klasse von Problemen zur Berechnung von Winkeln zu betrachten, nämlich:

Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen

Der Lösungsalgorithmus lautet wie folgt:

1. Für drei Punkte suchen wir die Gleichung der ersten Ebene:
2. Für die anderen drei Punkte suchen wir die Gleichung der zweiten Ebene:
3. Wir wenden die Formel an:

Wie Sie sehen können, ist die Formel den beiden vorherigen sehr ähnlich, mit deren Hilfe wir nach Winkeln zwischen geraden Linien und zwischen einer geraden Linie und einer Ebene gesucht haben. Es wird Ihnen also nicht schwer fallen, sich an diesen zu erinnern. Kommen wir gleich zum Problem:

1. Ein Hundert-Ro-auf der Basis des rechten dreieckigen Prismas ist gleich, und die Diagonale der Seitenfläche ist gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Ebene und der Ebene der Basis des Preises.

2. In der rechten Vorwärts-Vier-du-wieder-Kohle-noy Pi-ra-mi-de sind alle Kanten von jemandem gleich, finden Sie den Sinus des Winkels zwischen der Ebene und der Ebene Ko-Stu, die durchgeht der Punkt von per-pen-di-ku-lyar-aber direkt-mein.

3. In einem regulären Prisma mit vier Kohlen sind die Seiten des Os-no-va-nia gleich und die Seitenkanten sind gleich. Am Rande von-mir-che-auf den Punkt damit. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen und

4. Beim rechten viereckigen Prisma sind die Seiten der Basen gleich und die Seitenkanten gleich. Auf der Kante von-mir-che-zu einem Punkt, damit Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen und.

5. Finden Sie im Würfel den Cosinus des Winkels zwischen den Ebenen und

Problemlösungen:

1. Ich zeichne ein regelmäßiges (an der Basis - ein gleichseitiges Dreieck) dreieckiges Prisma und markiere darauf die Ebenen, die im Zustand des Problems erscheinen:

Wir müssen die Gleichungen zweier Ebenen finden: Die Basisgleichung erhält man trivial: Sie können die entsprechende Determinante für drei Punkte aufstellen, aber ich werde die Gleichung gleich aufstellen:

Lassen Sie uns nun die Gleichung finden Der Punkt hat Koordinaten Der Punkt - Da - der Median und die Höhe des Dreiecks, ist es leicht, durch den Satz des Pythagoras in einem Dreieck zu finden. Dann hat der Punkt Koordinaten: Finden Sie die Anwendung des Punktes Dazu betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck

Dann erhalten wir die folgenden Koordinaten: Wir bilden die Gleichung der Ebene.

Wir berechnen den Winkel zwischen den Ebenen:

Antworten:

2. Anfertigen einer Zeichnung:

Am schwierigsten ist es zu verstehen, was für eine mysteriöse Ebene es ist, die senkrecht durch einen Punkt verläuft. Naja, Hauptsache was ist das? Hauptsache Achtsamkeit! Tatsächlich ist die Linie senkrecht. Die Linie ist auch senkrecht. Dann steht die Ebene, die durch diese beiden Linien geht, senkrecht zur Linie und geht übrigens durch den Punkt. Diese Ebene geht auch durch die Spitze der Pyramide. Dann das gewünschte Flugzeug - Und schon ist das Flugzeug bei uns. Wir suchen nach Koordinaten von Punkten.

Wir finden die Koordinate des Punktes durch den Punkt. Aus einer kleinen Zeichnung lässt sich leicht ableiten, dass die Koordinaten des Punktes wie folgt sein werden: Was muss nun noch gefunden werden, um die Koordinaten der Spitze der Pyramide zu finden? Die Höhe muss noch berechnet werden. Dies geschieht mit dem gleichen Satz des Pythagoras: Beweisen Sie zuerst, dass (trivialerweise aus kleinen Dreiecken, die an der Basis ein Quadrat bilden). Da wir nach Bedingung haben:

Jetzt ist alles fertig: Scheitelkoordinaten:

Wir bilden die Gleichung der Ebene:

Sie sind bereits Experte in der Berechnung von Determinanten. Ganz einfach erhalten Sie:

Oder anders (wenn wir beide Teile mit der Wurzel aus zwei multiplizieren)

Lassen Sie uns nun die Gleichung der Ebene finden:

(Du hast doch nicht vergessen, wie wir auf die Ebenengleichung kommen, oder? Wenn du nicht verstehst, woher dieses Minus kommt, dann gehe zurück zur Definition der Ebenengleichung! Es hat sich einfach immer davor herausgestellt dass mein Flugzeug zum Ursprung gehörte!)

Wir berechnen die Determinante:

(Sie werden vielleicht bemerken, dass die Gleichung der Ebene mit der Gleichung der geraden Linie übereinstimmt, die durch die Punkte geht und! Überlegen Sie warum!)

Jetzt berechnen wir den Winkel:

Wir müssen den Sinus finden:

Antworten:

3. Eine knifflige Frage: Was ist ein rechteckiges Prisma, was denkst du? Es ist nur ein bekanntes Parallelepiped für Sie! Sofort zeichnen! Sie können die Basis nicht einmal separat darstellen, hier hat sie wenig Nutzen:

Wie bereits erwähnt, wird die Ebene als Gleichung geschrieben:

Jetzt bauen wir ein Flugzeug

Wir stellen sofort die Gleichung der Ebene auf:

Auf der Suche nach einem Winkel

Nun die Antworten zu den letzten beiden Aufgaben:

Nun, jetzt ist es an der Zeit, eine Pause einzulegen, denn Sie und ich sind großartig und haben einen großartigen Job gemacht!

Koordinaten und Vektoren. Fortgeschrittenes Level

In diesem Artikel besprechen wir mit Ihnen eine weitere Klasse von Problemen, die mit der Koordinatenmethode gelöst werden können: Entfernungsprobleme. Wir werden nämlich die folgenden Fälle betrachten:

1. Berechnen des Abstands zwischen schrägen Linien.

Ich habe die gegebenen Aufgaben nach zunehmender Komplexität geordnet. Am einfachsten ist es zu finden Abstand zwischen Punkt und Ebene und das Schwierigste ist das Finden Abstand zwischen sich schneidenden Linien. Obwohl natürlich nichts unmöglich ist! Lassen Sie uns nicht zögern und sofort mit der Betrachtung der ersten Klasse von Problemen fortfahren:

Berechnung der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene

Was brauchen wir, um dieses Problem zu lösen?

1. Punktkoordinaten

Sobald wir also alle notwendigen Daten haben, wenden wir die Formel an:

Sie sollten bereits wissen, wie wir die Gleichung der Ebene aus den vorherigen Problemen aufbauen, die ich im letzten Teil analysiert habe. Kommen wir gleich zur Sache. Das Schema lautet wie folgt: 1, 2 - Ich helfe Ihnen bei der Entscheidung und im Detail 3, 4 - nur die Antwort, Sie treffen die Entscheidung selbst und vergleichen. Gestartet!

Aufgaben:

1. Gegeben ist ein Würfel. Die Kantenlänge des Würfels ist Find-di-te-Entfernung von se-re-di-ny von geschnitten zu flach

2. Angesichts der Rechts-vil-naya vier-du-rekh-kohle-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe Kante hundert-ro-auf der os-no-va-nia ist gleich. Find-di-jene Abstände von einem Punkt zu einer Ebene, wo - se-re-di-an den Rändern.

3. Im rechten dreieckigen Pi-ra-mi-de mit os-aber-va-ni-em ist die andere Kante gleich, und einhundert-ro-on os-no-vaniya ist gleich. Finde-di-diese Abstände von der Spitze zur Ebene.

4. Im rechtshändigen Sechs-Kohle-Prisma sind alle Kanten gleich. Finde-di-diese Abstände von einem Punkt zu einer Ebene.

Lösungen:

1. Zeichne einen Würfel mit einzelnen Kanten, baue ein Segment und eine Ebene, bezeichne die Mitte des Segments mit dem Buchstaben

.

Beginnen wir zunächst mit einem einfachen: Finden Sie die Koordinaten eines Punktes. Seitdem (Koordinaten der Segmentmitte merken!)

Jetzt setzen wir die Gleichung der Ebene auf drei Punkte zusammen

\[\links| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Jetzt kann ich anfangen, die Entfernung zu finden:

2. Wir beginnen wieder mit einer Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren!

Bei einer Pyramide wäre es sinnvoll, ihre Basis separat zu zeichnen.

Selbst die Tatsache, dass ich wie eine Hühnerpfote zeichne, wird uns nicht daran hindern, dieses Problem leicht zu lösen!

Jetzt ist es einfach, die Koordinaten eines Punktes zu finden

Da die Koordinaten des Punktes

2. Da die Koordinaten des Punktes a die Mitte der Strecke sind, dann

Wir können leicht die Koordinaten von zwei weiteren Punkten auf der Ebene finden.Wir stellen die Gleichung der Ebene auf und vereinfachen sie:

\[\links| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Da der Punkt Koordinaten hat: , berechnen wir die Entfernung:

Antwort (sehr selten!):

Na, hast du verstanden? Es scheint mir, dass hier alles genauso technisch ist wie in den Beispielen, die wir mit Ihnen im vorherigen Teil betrachtet haben. Ich bin mir also sicher, dass es Ihnen, wenn Sie dieses Material beherrschen, nicht schwer fallen wird, die verbleibenden zwei Probleme zu lösen. Ich gebe Ihnen nur die Antworten:

Berechnung der Entfernung von einer Linie zu einer Ebene

Eigentlich gibt es hier nichts Neues. Wie können eine Linie und eine Ebene relativ zueinander lokalisiert werden? Sie haben alle Möglichkeiten: sich zu schneiden, oder eine Gerade ist parallel zur Ebene. Was denken Sie, ist der Abstand von der Linie zu der Ebene, mit der sich die gegebene Linie schneidet? Es scheint mir klar zu sein, dass ein solcher Abstand gleich Null ist. Uninteressanter Fall.

Der zweite Fall ist kniffliger: Hier ist der Abstand bereits ungleich Null. Da die Linie jedoch parallel zur Ebene ist, ist jeder Punkt der Linie gleich weit von dieser Ebene entfernt:

Auf diese Weise:

Und das bedeutet, dass meine Aufgabe auf die vorherige reduziert wurde: Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie, wir suchen die Gleichung der Ebene, wir berechnen die Entfernung vom Punkt zur Ebene. Tatsächlich sind solche Aufgaben in der Prüfung äußerst selten. Ich habe es geschafft, nur ein Problem zu finden, und die darin enthaltenen Daten waren so, dass die Koordinatenmethode darauf nicht sehr anwendbar war!

Kommen wir nun zu einer anderen, viel wichtigeren Klasse von Problemen:

Berechnung der Entfernung eines Punktes zu einer Linie

Was werden wir brauchen?

1. Die Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf einer geraden Linie liegt

3. Richtungsvektorkoordinaten der Geraden

Welche Formel verwenden wir?

Was bedeutet dir der Nenner dieses Bruchs und damit sollte klar sein: Das ist die Länge des Richtungsvektors der Geraden. Hier ist ein sehr kniffliger Zähler! Der Ausdruck bedeutet Modul (Länge) des Vektorprodukts von Vektoren und Wie man das Vektorprodukt berechnet, haben wir im vorherigen Teil der Arbeit untersucht. Frischen Sie Ihr Wissen auf, es wird uns jetzt sehr nützlich sein!

Somit lautet der Algorithmus zum Lösen von Problemen wie folgt:

1. Wir suchen die Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie, zu der wir die Entfernung suchen:

3. Erstellen eines Vektors

4. Wir bilden den Richtungsvektor der Geraden

5. Berechnen Sie das Kreuzprodukt

6. Wir suchen die Länge des resultierenden Vektors:

7. Distanz berechnen:

Wir haben viel Arbeit und die Beispiele werden ziemlich komplex sein! Konzentrieren Sie sich jetzt also ganz auf Ihre Aufmerksamkeit!

1. Dana ist ein rechtshändiges dreieckiges Pi-ra-mi-da mit einer Spitze. Einhundert-ro-auf dem os-no-va-niya pi-ra-mi-dy ist gleich, du-so-ta ist gleich. Find-di-diese Abstände vom se-re-di-ny der bo-ko-ten Kante zur geraden Linie, wo die Punkte und das se-re-di-ny der Rippen und co-von-vet sind -stven-aber.

2. Die Längen der Rippen und des rechten Winkels-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sind jeweils gleich und Find-di-te-Abstand von top-shi-ny bis straight-my

3. Im rechten Sechs-Kohle-Prisma haben alle Kanten eines Schwarms den gleichen Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie

Lösungen:

1. Wir machen eine ordentliche Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren:

Wir haben viel Arbeit für Sie! Ich möchte zunächst in Worten beschreiben, was wir suchen werden und in welcher Reihenfolge:

1. Koordinaten von Punkten und

2. Punktkoordinaten

3. Koordinaten von Punkten und

4. Koordinaten von Vektoren und

5. Ihr Kreuzprodukt

6. Vektorlänge

7. Die Länge des Vektorprodukts

8. Entfernung von bis

Nun, wir haben viel zu tun! Krempeln wir die Ärmel hoch!

1. Um die Koordinaten der Höhe der Pyramide zu finden, müssen wir die Koordinaten des Punktes kennen, dessen Applikat Null ist und dessen Ordinate gleich seiner Abszisse ist. Endlich haben wir die Koordinaten:

Punktkoordinaten

2. - Mitte des Segments

3. - die Mitte des Segments

Mittelpunkt

4.Koordinaten

Vektorkoordinaten

5. Berechnen Sie das Vektorprodukt:

6. Die Länge des Vektors: Der einfachste Weg ist, zu ersetzen, dass das Segment die Mittellinie des Dreiecks ist, was bedeutet, dass es gleich der Hälfte der Basis ist. So dass.

7. Wir betrachten die Länge des Vektorprodukts:

8. Finden Sie schließlich die Entfernung:

Puh, das ist alles! Ehrlich gesagt sage ich Ihnen: Dieses Problem mit traditionellen Methoden (durch Konstruktionen) zu lösen, wäre viel schneller. Aber hier habe ich alles auf einen fertigen Algorithmus reduziert! Ich denke, dass Ihnen der Lösungsalgorithmus klar ist? Daher werde ich Sie bitten, die verbleibenden zwei Probleme selbst zu lösen. Antworten vergleichen?

Ich wiederhole noch einmal: Es ist einfacher (schneller), diese Probleme durch Konstruktionen zu lösen, als auf die Koordinatenmethode zurückzugreifen. Ich habe diese Art der Lösung nur demonstriert, um Ihnen eine universelle Methode zu zeigen, die es Ihnen ermöglicht, „nichts zu beenden“.

Betrachten Sie schließlich die letzte Klasse von Problemen:

Berechnen des Abstands zwischen schrägen Linien

Hier wird der Algorithmus zum Lösen von Problemen dem vorherigen ähnlich sein. Was wir haben:

3. Beliebiger Vektor, der die Punkte der ersten und zweiten Linie verbindet:

Wie finden wir den Abstand zwischen Linien?

Die Formel lautet:

Der Zähler ist das Modul des gemischten Produkts (wir haben es im vorherigen Teil eingeführt) und der Nenner - wie in der vorherigen Formel (das Modul des Vektorprodukts der Richtungsvektoren der Linien, der Abstand, zwischen dem wir suchen zum).

Ich werde dich daran erinnern

dann Die Abstandsformel kann umgeschrieben werden als:

Teilen Sie diese Determinante durch die Determinante! Wobei ich hier ehrlich gesagt nicht auf Witze aus bin! Diese Formel ist in der Tat sehr umständlich und führt zu ziemlich komplizierten Berechnungen. Wenn ich Sie wäre, würde ich es nur als letzten Ausweg verwenden!

Versuchen wir, ein paar Probleme mit der obigen Methode zu lösen:

1. Im rechten Dreiecksprisma sind alle Kanten irgendwie gleich, finde den Abstand zwischen den geraden Linien und.

2. Bei einem rechts-vorne-förmigen dreieckigen Prisma sind alle Kanten der os-no-va-niya von jemandem gleich Se-che-tion, die durch die andere Rippe gehen, und se-re-di-nu-Rippen sind yav-la-et-sya quadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-i-nie zwischen Straight-we-mi und

Ich entscheide über Ersteres, und basierend darauf entscheidest du über Zweites!

1. Ich zeichne ein Prisma und markiere die Linien und

Punkt C Koordinaten: dann

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Vektorkoordinaten

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Wir betrachten das Kreuzprodukt zwischen den Vektoren und

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nun betrachten wir seine Länge:

Antworten:

Versuchen Sie nun, die zweite Aufgabe sorgfältig zu erledigen. Die Antwort darauf wird lauten:.

Koordinaten und Vektoren. Kurze Beschreibung und grundlegende Formeln

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment. - der Anfang des Vektors, - das Ende des Vektors.
Der Vektor wird mit oder bezeichnet.

Absolutwert Vektor - die Länge des Segments, das den Vektor darstellt. Bezeichnet als.

Vektorkoordinaten:

,
wo sind die Enden des Vektors \displaystyle a .

Summe der Vektoren: .

Das Produkt von Vektoren:

Skalarprodukt von Vektoren:

Das Skalarprodukt von Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Absolutwerte und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

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Definition

Skalar- ein Wert, der durch eine Zahl charakterisiert werden kann. Zum Beispiel Länge, Fläche, Masse, Temperatur usw.

Vektor ein gerichtetes Segment heißt $\overline(A B)$; Punkt $A$ ist der Anfang, Punkt $B$ ist das Ende des Vektors (Abb. 1).

Ein Vektor wird entweder durch zwei Großbuchstaben - Anfang und Ende - $\overline(A B)$ oder durch einen Kleinbuchstaben: $\overline(a)$ gekennzeichnet.

Definition

Sind Anfang und Ende eines Vektors gleich, so heißt ein solcher Vektor Null. Meistens wird der Nullvektor als $\overline(0)$ bezeichnet.

Die Vektoren werden aufgerufen kollinear, wenn sie entweder auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen (Abb. 2).

Definition

Zwei kollineare Vektoren $\overline(a)$ und $\overline(b)$ werden aufgerufen gleichgerichtet, wenn ihre Richtungen gleich sind: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Abb. 3, a). Zwei kollineare Vektoren $\overline(a)$ und $\overline(b)$ werden aufgerufen gegensätzliche Richtungen, wenn ihre Richtungen entgegengesetzt sind: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Abb. 3b).

Definition

Die Vektoren werden aufgerufen koplanar wenn sie parallel zur gleichen Ebene sind oder in der gleichen Ebene liegen (Abb. 4).

Zwei Vektoren sind immer koplanar.

Definition

Länge (Modul) Der Vektor $\overline(A B)$ ist der Abstand zwischen seinem Anfang und seinem Ende: $|\overline(A B)|$

Eine ausführliche Theorie über die Länge eines Vektors finden Sie unter dem Link.

Die Länge des Nullvektors ist Null.

Definition

Ein Vektor, dessen Länge gleich eins ist, wird aufgerufen Einheitsvektor oder ortom.

Die Vektoren werden aufgerufen gleich wenn sie auf einer oder parallelen Linie liegen; Ihre Richtungen stimmen überein und ihre Längen sind gleich.

Mit anderen Worten, zwei Vektoren gleich, wenn sie kollinear, gleichgerichtet und gleich lang sind:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

An einem beliebigen Punkt $M$ im Raum kann man einen einzelnen Vektor $\overline(M N)$ konstruieren, der gleich dem gegebenen Vektor $\overline(A B)$ ist.

Endlich habe ich ein umfangreiches und lang ersehntes Thema in die Finger bekommen Analytische Geometrie. Zuerst ein wenig über diesen Abschnitt der höheren Mathematik…. Sicherlich erinnerten Sie sich jetzt an den Schul-Geometrie-Kurs mit zahlreichen Sätzen, deren Beweisen, Zeichnungen usw. Was zu verbergen ist, ein ungeliebtes und oft obskures Thema für einen erheblichen Teil der Studenten. Seltsamerweise mag analytische Geometrie interessanter und zugänglicher erscheinen. Was bedeutet das Adjektiv „analytisch“? Mir fallen sofort zwei geprägte mathematische Wendungen ein: „grafisches Lösungsverfahren“ und „analytisches Lösungsverfahren“. Grafische Methode ist natürlich mit der Konstruktion von Diagrammen und Zeichnungen verbunden. Analytisch gleich Methode beinhaltet die Problemlösung überwiegend durch algebraische Operationen. In dieser Hinsicht ist der Algorithmus zur Lösung fast aller Probleme der analytischen Geometrie einfach und transparent, oft reicht es aus, die erforderlichen Formeln genau anzuwenden - und die Antwort ist fertig! Nein, auf Zeichnungen wird es natürlich ganz und gar nicht kommen, außerdem werde ich zum besseren Verständnis des Stoffes versuchen, sie über das Notwendige hinaus zu bringen.

Der offene Lehrgang Geometrie erhebt keinen Anspruch auf theoretische Vollständigkeit, er ist auf die Lösung praktischer Probleme ausgerichtet. In meine Vorlesungen werde ich nur das einfließen lassen, was aus meiner Sicht in der Praxis wichtig ist. Wenn Sie eine vollständigere Referenz zu einem Unterabschnitt benötigen, empfehle ich die folgende leicht zugängliche Literatur:

1) Eine Sache, die, kein Scherz, mehreren Generationen vertraut ist: Schulbuch Geometrie, die Autoren - L.S. Atanasyan und Gesellschaft. Dieser Kleiderbügel für die Schulumkleide hat bereits 20 (!) Neuauflagen überstanden, was natürlich nicht die Grenze ist.

2) Geometrie in 2 Bänden. Die Autoren L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Das ist Literatur für die Hochschulbildung, die Sie brauchen werden erster Band. Selten auftretende Aufgaben können aus meinem Sichtfeld geraten, und das Tutorial wird eine unschätzbare Hilfe sein.

Beide Bücher können kostenlos online heruntergeladen werden. Darüber hinaus können Sie mein Archiv mit vorgefertigten Lösungen nutzen, die auf der Seite zu finden sind Laden Sie Beispiele für höhere Mathematik herunter.

Von den Tools biete ich wieder meine eigene Entwicklung an - Softwarepaket zur analytischen Geometrie, die das Leben erheblich vereinfacht und viel Zeit spart.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser mit geometrischen Grundbegriffen und Figuren vertraut ist: Punkt, Gerade, Ebene, Dreieck, Parallelogramm, Parallelepiped, Würfel usw. Es ist ratsam, sich einige Sätze zu merken, zumindest den Satz des Pythagoras, hallo Wiederholer)

Und jetzt werden wir nacheinander betrachten: das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten. Weiter empfehle ich die Lektüre der wichtigste Artikel Skalarprodukt von Vektoren, ebenso gut wie Vektor und Mischprodukt von Vektoren. Die lokale Aufgabe wird nicht überflüssig - Teilung des Segments in dieser Hinsicht. Basierend auf den obigen Informationen können Sie Gleichung einer Geraden in einer Ebene mit die einfachsten Beispiele für Lösungen, was erlauben wird lernen, wie man Probleme in der Geometrie löst. Hilfreich sind auch die folgenden Artikel: Gleichung einer Ebene im Raum, Gleichungen einer geraden Linie im Raum, Grundlegende Probleme auf der Linie und Ebene , andere Abschnitte der analytischen Geometrie. Dabei werden selbstverständlich auch Standardaufgaben berücksichtigt.

Das Konzept eines Vektors. kostenloser Vektor

Lassen Sie uns zunächst die Schuldefinition eines Vektors wiederholen. Vektor namens gerichtet ein Segment, dessen Anfang und Ende angegeben sind:

In diesem Fall ist der Anfang des Segments der Punkt , das Ende des Segments der Punkt . Der Vektor selbst wird mit bezeichnet. Richtung Wichtig ist, wenn Sie den Pfeil an das andere Ende des Segments verschieben, erhalten Sie einen Vektor, und dieser ist bereits vorhanden ganz anderer Vektor. Es ist bequem, das Konzept eines Vektors mit der Bewegung eines physischen Körpers zu identifizieren: Sie müssen zugeben, dass das Betreten der Türen eines Instituts oder das Verlassen der Türen eines Instituts völlig verschiedene Dinge sind.

Es ist zweckmäßig, einzelne Punkte einer Ebene, des Raums, als den sogenannten Raum zu betrachten Nullvektor. Ein solcher Vektor hat dasselbe Ende und denselben Anfang.

!!! Notiz: Hier und im Folgenden können Sie davon ausgehen, dass die Vektoren in der gleichen Ebene liegen, oder Sie können davon ausgehen, dass sie sich im Raum befinden - die Essenz des dargestellten Materials gilt sowohl für die Ebene als auch für den Raum.

Bezeichnungen: Viele machten sofort auf einen Stock ohne Pfeil in der Bezeichnung aufmerksam und sagten, dass sie oben auch einen Pfeil setzen! Das ist richtig, Sie können mit einem Pfeil schreiben: , aber zulässig und Aufzeichnung, die ich später verwenden werde. Wieso den? Anscheinend hat sich eine solche Angewohnheit aus praktischen Erwägungen heraus entwickelt, meine Schützen in Schule und Uni erwiesen sich als zu vielfältig und zottig. In der pädagogischen Literatur wird manchmal gar nicht auf die Keilschrift geachtet, sondern die Buchstaben fett hervorgehoben: , was impliziert, dass es sich um einen Vektor handelt.

Das war der Stil, und nun zu den Möglichkeiten, Vektoren zu schreiben:

1) Vektoren können in zwei lateinischen Großbuchstaben geschrieben werden:
usw. Während der erste Buchstabe Notwendig bezeichnet den Startpunkt des Vektors und der zweite Buchstabe bezeichnet den Endpunkt des Vektors.

2) Vektoren werden auch in lateinischen Kleinbuchstaben geschrieben:
Insbesondere kann unser Vektor der Kürze halber durch einen kleinen lateinischen Buchstaben umbenannt werden.

Länge oder Modul Nicht-Null-Vektor wird die Länge des Segments genannt. Die Länge des Nullvektors ist Null. Logisch.

Die Länge eines Vektors wird durch das Modulozeichen angegeben: ,

Wie man die Länge eines Vektors findet, werden wir etwas später lernen (oder wiederholen, für wen wie).

Das waren elementare Informationen über den Vektor, die allen Schulkindern bekannt sind. In der analytischen Geometrie, dem sog kostenloser Vektor.

Wenn es ganz einfach ist - Vektor kann von jedem beliebigen Punkt aus gezeichnet werden:

Früher nannten wir solche Vektoren gleich (die Definition gleicher Vektoren wird weiter unten gegeben), aber aus rein mathematischer Sicht ist dies der GLEICHE VEKTOR oder kostenloser Vektor. Warum kostenlos? Denn im Laufe der Problemlösung können Sie den einen oder anderen Vektor an JEDEM Punkt der Ebene oder des Raums „anhängen“, den Sie benötigen. Dies ist eine sehr coole Eigenschaft! Stellen Sie sich einen Vektor beliebiger Länge und Richtung vor - er kann unendlich oft und an jedem Punkt im Raum "geklont" werden, tatsächlich existiert er ÜBERALL. Es gibt so ein Studenten-Sprichwort: Jeder Dozent in f**u im Vektor. Immerhin nicht nur ein witziger Reim, alles ist mathematisch korrekt - ein Vektor kann dort auch angehängt werden. Aber beeilen Sie sich nicht, sich zu freuen, die Schüler selbst leiden häufiger =)

So, kostenloser Vektor- Das ein Haufen identische Richtungssegmente. Die schulische Definition eines Vektors, die zu Beginn des Absatzes gegeben wird: „Ein gerichtetes Segment heißt Vektor ...“, impliziert Spezifisch ein gerichtetes Segment aus einer gegebenen Menge, das an einem bestimmten Punkt in der Ebene oder im Raum befestigt ist.

Es sollte beachtet werden, dass aus physikalischer Sicht das Konzept eines freien Vektors im Allgemeinen falsch ist und der Anwendungspunkt des Vektors von Bedeutung ist. In der Tat reicht ein direkter Schlag mit der gleichen Kraft auf die Nase oder auf die Stirn, um mein dummes Beispiel zu entwickeln, das andere Konsequenzen nach sich zieht. Jedoch, nicht frei Vektoren werden auch im Verlauf von Vyshmat gefunden (gehen Sie nicht dorthin :)).

Aktionen mit Vektoren. Kollinearität von Vektoren

Im Schulgeometriekurs werden eine Reihe von Aktionen und Regeln mit Vektoren betrachtet: Addition nach der Dreiecksregel, Addition nach der Parallelogrammregel, Differenzenregel von Vektoren, Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, Skalarprodukt von Vektoren usw. Als Ausgangspunkt wiederholen wir zwei Regeln, die für die Lösung von Problemen der analytischen Geometrie besonders relevant sind.

Additionsregel von Vektoren nach der Dreiecksregel

Betrachten Sie zwei beliebige Nicht-Null-Vektoren und :

Es ist erforderlich, die Summe dieser Vektoren zu finden. Aufgrund der Tatsache, dass alle Vektoren als frei gelten, verschieben wir den Vektor aus Ende Vektor:

Die Summe der Vektoren ist der Vektor . Zum besseren Verständnis der Regel ist es ratsam, ihr eine physikalische Bedeutung zu geben: Lassen Sie einen Körper einen Weg entlang des Vektors und dann entlang des Vektors ziehen. Dann ist die Summe der Vektoren der Vektor des resultierenden Weges, der am Ausgangspunkt beginnt und am Ankunftspunkt endet. Eine ähnliche Regel wird für die Summe beliebig vieler Vektoren formuliert. Wie sie sagen, kann der Körper seinen Weg stark im Zickzack oder vielleicht auf Autopilot gehen - entlang des resultierenden Summenvektors.

Übrigens, wenn der Vektor verschoben wird Anfang vector , dann erhalten wir das Äquivalent Parallelogrammregel Addition von Vektoren.

Zunächst zur Kollinearität von Vektoren. Die beiden Vektoren werden aufgerufen kollinear ob sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen. Grob gesagt sprechen wir von parallelen Vektoren. Aber in Bezug auf sie wird immer das Adjektiv "kollinear" verwendet.

Stellen Sie sich zwei kollineare Vektoren vor. Wenn die Pfeile dieser Vektoren in die gleiche Richtung gerichtet sind, werden solche Vektoren aufgerufen gleichgerichtet. Wenn die Pfeile in unterschiedliche Richtungen schauen, dann werden die Vektoren sein entgegengesetzt gerichtet.

Bezeichnungen: Die Kollinearität von Vektoren wird mit dem üblichen Parallelitätssymbol geschrieben: , während eine Detaillierung möglich ist: (Vektoren sind gleich gerichtet) oder (Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet).

Arbeit eines Vektors ungleich Null durch eine Zahl ist ein Vektor, dessen Länge gleich ist, und die Vektoren und sind auf gerichtet und entgegengesetzt gerichtet auf .

Die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl ist anhand eines Bildes besser verständlich:

Wir verstehen genauer:

1 Richtung. Wenn der Multiplikator negativ ist, dann der Vektor ändert die Richtung zum Gegenteil.

2) Länge. Wenn der Faktor in oder enthalten ist, dann die Länge des Vektors sinkt. Die Länge des Vektors ist also doppelt so lang wie die Länge des Vektors . Wenn der Modulo-Multiplikator größer als eins ist, dann die Länge des Vektors erhöht sich rechtzeitig.

3) Bitte beachten Sie das alle Vektoren sind kollinear, während ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt wird, zum Beispiel . Das Gegenteil ist auch wahr: Wenn ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt werden kann, dann sind solche Vektoren notwendigerweise kollinear. Auf diese Weise: Wenn wir einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren, werden wir kollinear(relativ zum Original) Vektor.

4) Die Vektoren sind gleichgerichtet. Die Vektoren und sind ebenfalls gleichgerichtet. Jeder Vektor der ersten Gruppe ist jedem Vektor der zweiten Gruppe entgegengesetzt.

Welche Vektoren sind gleich?

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleichgerichtet sind und die gleiche Länge haben. Beachten Sie, dass die Co-Richtung impliziert, dass die Vektoren kollinear sind. Die Definition wird ungenau (redundant), wenn Sie sagen: "Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie kollinear, gleichgerichtet und gleich lang sind."

Aus Sicht des Konzepts eines freien Vektors sind gleiche Vektoren derselbe Vektor, was bereits im vorherigen Absatz diskutiert wurde.

Vektorkoordinaten in der Ebene und im Raum

Der erste Punkt besteht darin, Vektoren auf einer Ebene zu betrachten. Zeichnen Sie ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem und legen Sie es vom Ursprung ab Single Vektoren und :

Vektoren und senkrecht. Orthogonal = Senkrecht. Ich empfehle, sich langsam an die Begriffe zu gewöhnen: Statt Parallelität und Rechtwinkligkeit verwenden wir die Wörter respektive Kollinearität und Orthogonalität.

Bezeichnung: Orthogonalität von Vektoren wird mit dem üblichen senkrechten Zeichen geschrieben, zum Beispiel: .

Die betrachteten Vektoren werden aufgerufen Koordinatenvektoren oder Ort. Diese Vektoren bilden sich Basis auf der Oberfläche. Was die Basis ist, denke ich, ist vielen intuitiv klar, genauere Infos findet man im Artikel Lineare (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis.In einfachen Worten, die Basis und der Koordinatenursprung definieren das gesamte System - dies ist eine Art Fundament, auf dem ein volles und reiches geometrisches Leben brodelt.

Manchmal wird die konstruierte Basis aufgerufen orthonormal Basis der Ebene: "ortho" - weil die Koordinatenvektoren orthogonal sind, bedeutet das Adjektiv "normalisiert" Einheit, d.h. die Längen der Basisvektoren sind gleich eins.

Bezeichnung: Die Basis wird normalerweise in Klammern geschrieben, in denen in strenger Reihenfolge Basisvektoren sind aufgelistet, zum Beispiel: . Koordinatenvektoren es ist verboten Platz tauschen.

Irgendein Ebene Vektor der einzige Weg ausgedrückt als:
, wo - Zahlen, die genannt werden Vektorkoordinaten auf dieser Grundlage. Aber der Ausdruck selbst namens VektorzerlegungBasis .

Abendessen serviert:

Beginnen wir mit dem ersten Buchstaben des Alphabets: . Die Zeichnung zeigt deutlich, dass bei der Zerlegung des Vektors nach der Basis die eben betrachteten verwendet werden:
1) die Regel der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: und ;
2) Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel: .

Legen Sie nun den Vektor von jedem anderen Punkt auf der Ebene gedanklich beiseite. Es ist ziemlich offensichtlich, dass seine Korruption ihm "unerbittlich folgen wird". Hier ist sie, die Freiheit des Vektors – der Vektor „trägt alles mit sich“. Diese Eigenschaft gilt natürlich für jeden Vektor. Komischerweise müssen die Basis-(Frei-)Vektoren selbst nicht vom Ursprung abgesetzt werden, man kann z. B. den einen unten links und den anderen oben rechts zeichnen, und daran ändert sich nichts! Sie müssen dies zwar nicht tun, da der Lehrer auch Originalität zeigt und Ihnen an einem unerwarteten Ort einen „Pass“ zeichnet.

Vektoren veranschaulichen genau die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl, der Vektor ist mit dem Basisvektor gleichgerichtet, der Vektor ist dem Basisvektor entgegengesetzt gerichtet. Für diese Vektoren ist eine der Koordinaten gleich Null, es kann akribisch wie folgt geschrieben werden:


Und die Basisvektoren sind übrigens so: (tatsächlich werden sie durch sich selbst ausgedrückt).

Und endlich: , . Übrigens, was ist Vektorsubtraktion, und warum habe ich Ihnen nichts über die Subtraktionsregel erzählt? Irgendwo in der linearen Algebra, ich weiß nicht mehr wo, habe ich bemerkt, dass die Subtraktion ein Sonderfall der Addition ist. Die Erweiterungen der Vektoren "de" und "e" werden also ruhig als Summe geschrieben: . Ordne die Terme stellenweise neu und folge der Zeichnung, wie anschaulich die gute alte Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel in diesen Situationen funktioniert.

Überlegte Zerlegung der Form manchmal auch als Vektorzerlegung bezeichnet im Systemort(also im System der Einheitsvektoren). Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, einen Vektor zu schreiben, die folgende Option ist üblich:

Oder mit Gleichheitszeichen:

Die Basisvektoren selbst werden wie folgt geschrieben: und

Das heißt, die Koordinaten des Vektors sind in Klammern angegeben. In praktischen Aufgaben werden alle drei Aufnahmemöglichkeiten genutzt.

Ich zweifelte, ob ich sprechen sollte, aber ich werde trotzdem sagen: Vektorkoordinaten können nicht neu angeordnet werden. Streng an erster Stelle notieren Sie die Koordinate, die dem Einheitsvektor entspricht, strikt an zweiter Stelle notieren Sie die Koordinate, die dem Einheitsvektor entspricht. In der Tat, und sind zwei verschiedene Vektoren.

Wir haben die Koordinaten im Flugzeug herausgefunden. Betrachten Sie nun Vektoren im dreidimensionalen Raum, hier ist alles fast gleich! Es wird nur eine weitere Koordinate hinzugefügt. Es ist schwierig, dreidimensionale Zeichnungen auszuführen, daher beschränke ich mich auf einen Vektor, den ich der Einfachheit halber vom Ursprung verschiebe:

Irgendein 3D-Raumvektor der einzige Weg Erweitern Sie auf orthonormaler Basis:
, wo sind die Koordinaten des Vektors (Zahl) in der gegebenen Basis.

Beispiel aus dem Bild: . Mal sehen, wie die Vektoraktionsregeln hier funktionieren. Zuerst einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren: (roter Pfeil), (grüner Pfeil) und (magentafarbener Pfeil). Zweitens ist hier ein Beispiel für das Hinzufügen mehrerer, in diesem Fall drei, Vektoren: . Der Summenvektor beginnt am Startpunkt (Anfang des Vektors ) und endet am Zielpunkt (Ende des Vektors ).

Alle Vektoren des dreidimensionalen Raums sind natürlich auch frei, versuchen Sie, den Vektor geistig von jedem anderen Punkt zu verschieben, und Sie werden verstehen, dass seine Ausdehnung "bei ihm bleibt".

Ähnlich wie bei der Flugzeughülle zusätzlich zum Schreiben Versionen mit Klammern sind weit verbreitet: entweder .

Wenn ein (oder zwei) Koordinatenvektoren in der Erweiterung fehlen, werden stattdessen Nullen gesetzt. Beispiele:
Vektor (sorgfältig ) - aufschreiben ;
Vektor (sorgfältig ) - aufschreiben ;
Vektor (sorgfältig ) - aufschreiben .

Basisvektoren werden wie folgt geschrieben:

Hier ist vielleicht das gesamte theoretische Mindestwissen vorhanden, das zur Lösung von Problemen der analytischen Geometrie erforderlich ist. Vielleicht gibt es zu viele Begriffe und Definitionen, daher empfehle ich Dummies, diese Informationen erneut zu lesen und zu verstehen. Und es wird für jeden Leser nützlich sein, von Zeit zu Zeit auf die Grundlektion zu verweisen, um sich das Material besser anzueignen. Kollinearität, Orthogonalität, Orthonormalbasis, Vektorzerlegung – diese und andere Begriffe werden im Folgenden häufig verwendet. Ich stelle fest, dass die Materialien der Website nicht ausreichen, um einen theoretischen Test, ein Kolloquium über Geometrie, zu bestehen, da ich alle Theoreme sorgfältig verschlüssele (außer ohne Beweise) - zum Nachteil des wissenschaftlichen Präsentationsstils, aber ein Plus für Ihr Verständnis des Themas. Um detaillierte theoretische Informationen zu erhalten, bitte ich Sie, sich vor Professor Atanasyan zu verneigen.

Kommen wir nun zum praktischen Teil:

Die einfachsten Probleme der analytischen Geometrie.
Aktionen mit Vektoren in Koordinaten

Die Aufgaben, die betrachtet werden, sind sehr wünschenswert, um zu lernen, wie man sie vollautomatisch löst, und die Formeln sich einprägen, erinnern sich nicht einmal absichtlich daran, sie werden sich selbst daran erinnern =) Dies ist sehr wichtig, da andere Probleme der analytischen Geometrie auf den einfachsten elementaren Beispielen basieren und es ärgerlich sein wird, zusätzliche Zeit damit zu verbringen, Bauern zu essen. Die obersten Knöpfe am Hemd brauchen Sie nicht zuzumachen, vieles ist Ihnen aus der Schule vertraut.

Die Präsentation des Materials wird parallel verlaufen – sowohl für die Ebene als auch für den Weltraum. Aus dem Grund, dass alle Formeln ... Sie werden es selbst sehen.

Wie findet man einen Vektor mit zwei Punkten?

Sind zwei Punkte der Ebene und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:

Sind zwei Raumpunkte und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:

Also, von den Koordinaten des Endes des Vektors Sie müssen die entsprechenden Koordinaten subtrahieren Vektorstart.

Die Übung: Schreiben Sie für dieselben Punkte die Formeln zum Ermitteln der Koordinaten des Vektors auf. Formeln am Ende der Lektion.

Beispiel 1

Gegeben zwei Punkte in der Ebene und . Finden Sie Vektorkoordinaten

Entscheidung: nach der entsprechenden Formel:

Alternativ könnte folgende Notation verwendet werden:

Ästheten entscheiden so:

Ich persönlich bin an die erste Version der Platte gewöhnt.

Antworten:

Gemäß der Bedingung war es nicht erforderlich, eine Zeichnung zu erstellen (was typisch für Probleme der analytischen Geometrie ist), aber um Dummies einige Punkte zu erklären, werde ich nicht zu faul sein:

Muss verstanden werden Unterschied zwischen Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten:

Punktkoordinaten sind die üblichen Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Ich denke, seit der 5. bis 6. Klasse weiß jeder, wie man Punkte auf der Koordinatenebene zeichnet. Jeder Punkt hat einen festen Platz in der Ebene und kann nirgendwo hin verschoben werden.

Die Koordinaten desselben Vektors ist in diesem Fall seine Erweiterung in Bezug auf die Basis . Jeder Vektor ist frei, daher können wir ihn bei Bedarf leicht von einem anderen Punkt in der Ebene verschieben. Interessanterweise kann man für Vektoren überhaupt keine Achsen bauen, ein rechtwinkliges Koordinatensystem braucht man nur eine Basis, in diesem Fall eine orthonormale Basis der Ebene.

Die Aufzeichnungen von Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten scheinen ähnlich zu sein: , und Sinn für Koordinaten absolut anders, und Sie sollten sich dieses Unterschieds bewusst sein. Dieser Unterschied gilt natürlich auch für den Raum.

Meine Damen und Herren, wir füllen unsere Hände:

Beispiel 2

a) Gegebene Punkte und . Finden Sie Vektoren und .
b) Punkte werden vergeben und . Finden Sie Vektoren und .
c) Gegebene Punkte und . Finden Sie Vektoren und .
d) Punkte werden vergeben. Vektoren finden .

Vielleicht genug. Dies sind Beispiele für eine eigenständige Entscheidung, vernachlässigen Sie diese nicht, es wird sich auszahlen ;-). Zeichnungen sind nicht erforderlich. Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Was ist wichtig bei der Lösung von Problemen der analytischen Geometrie? Es ist wichtig, EXTREM VORSICHTIG zu sein, um den meisterhaften Fehler „zwei plus zwei gleich null“ zu vermeiden. Ich entschuldige mich im Voraus, wenn ich einen Fehler gemacht habe =)

Wie findet man die Länge eines Segments?

Die Länge wird, wie bereits erwähnt, durch das Modulzeichen angegeben.

Wenn zwei Punkte der Ebene und gegeben sind, kann die Länge des Segments nach der Formel berechnet werden

Wenn zwei Punkte im Raum und gegeben sind, kann die Länge des Segments durch die Formel berechnet werden

Notiz: Die Formeln bleiben korrekt, wenn die entsprechenden Koordinaten vertauscht werden: und , aber die erste Option ist mehr Standard

Beispiel 3

Entscheidung: nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Zur Verdeutlichung mache ich eine Zeichnung

Liniensegment - es ist kein Vektor, und Sie können es natürlich nirgendwohin verschieben. Zusätzlich, wenn Sie die Zeichnung maßstäblich ausfüllen: 1 Einheit. \u003d 1 cm (zwei Tetradenzellen), dann kann die Antwort mit einem normalen Lineal überprüft werden, indem die Länge des Segments direkt gemessen wird.

Ja, die Lösung ist kurz, aber es gibt ein paar wichtige Punkte, die ich klarstellen möchte:

Als erstes setzen wir in der Antwort die Dimension: „Einheiten“. Der Zustand sagt nicht WAS es ist, Millimeter, Zentimeter, Meter oder Kilometer. Daher wird die allgemeine Formulierung eine mathematisch kompetente Lösung sein: „Einheiten“ - abgekürzt als „Einheiten“.

Zweitens wiederholen wir das Schulmaterial, das nicht nur für das betrachtete Problem nützlich ist:

beachten wichtiger technischer Trick – Nehmen Sie den Multiplikator unter der Wurzel heraus. Als Ergebnis der Berechnungen haben wir das Ergebnis erhalten, und ein guter mathematischer Stil beinhaltet das Entfernen des Multiplikators unter der Wurzel (wenn möglich). Der Ablauf sieht im Detail so aus: . Natürlich ist es kein Fehler, die Antwort im Formular zu belassen - aber es ist definitiv ein Fehler und ein gewichtiges Argument für Spitzfindigkeiten seitens des Lehrers.

Hier sind weitere häufige Fälle:

Oft erhält man beispielsweise unter der Wurzel eine ausreichend große Zahl. Wie in solchen Fällen sein? Auf dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl durch 4: teilbar ist. Ja, komplett aufgeteilt, also: . Oder kann die Zahl vielleicht wieder durch 4 geteilt werden? . Auf diese Weise: . Die letzte Ziffer der Zahl ist ungerade, also ist eine dritte Division durch 4 eindeutig nicht möglich. Versuchen, durch neun zu teilen: . Ergebend:
Bereit.

Fazit: Wenn wir unter der Wurzel eine ganze Zahl erhalten, die nicht extrahiert werden kann, versuchen wir, den Faktor unter der Wurzel herauszuziehen. Auf dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl teilbar ist durch: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc.

Beim Lösen verschiedener Probleme werden oft Wurzeln gefunden, versuchen Sie immer, Faktoren unter der Wurzel zu extrahieren, um eine niedrigere Punktzahl und unnötige Probleme beim Abschließen Ihrer Lösungen gemäß der Anmerkung des Lehrers zu vermeiden.

Wiederholen wir die Quadratur der Wurzeln und anderer Potenzen gleichzeitig:

Die Regeln für Handlungen mit Grad finden sich in allgemeiner Form in einem Schulbuch über Algebra, aber ich denke, dass aus den gegebenen Beispielen schon alles oder fast alles klar ist.

Aufgabe für eine unabhängige Lösung mit einem Segment im Raum:

Beispiel 4

Gegebene Punkte und . Finden Sie die Länge des Segments.

Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wie findet man die Länge eines Vektors?

Wenn ein Ebenenvektor angegeben ist, wird seine Länge nach der Formel berechnet.

Wenn ein Raumvektor angegeben ist, wird seine Länge durch die Formel berechnet .

Standarddefinition: "Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke." Dies ist normalerweise die Grenze des Wissens eines Absolventen über Vektoren. Wer braucht eine Art "gerichtete Segmente"?

Aber was sind eigentlich Vektoren und warum sind sie das?
Wettervorhersage. "Wind Nordwest, Geschwindigkeit 18 Meter pro Sekunde." Stimmen Sie zu, die Richtung des Windes (woher er weht) und das Modul (dh der absolute Wert) seiner Geschwindigkeit sind ebenfalls von Bedeutung.

Größen ohne Richtung heißen Skalare. Masse, Arbeit, elektrische Ladung sind nirgendwohin gerichtet. Sie sind nur durch einen Zahlenwert gekennzeichnet – „wie viele Kilogramm“ oder „wie viele Joule“.

Physikalische Größen, die nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung haben, nennt man vektorielle Größen.

Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung - Vektoren. Für sie ist es wichtig „wie viel“ und es ist wichtig „wo“. Beispielsweise ist die Beschleunigung im freien Fall auf die Erdoberfläche gerichtet und ihr Wert beträgt 9,8 m/s 2 . Impuls, elektrische Feldstärke, magnetische Feldinduktion sind ebenfalls Vektorgrößen.

Sie erinnern sich, dass physikalische Größen mit lateinischen oder griechischen Buchstaben bezeichnet werden. Der Pfeil über dem Buchstaben zeigt an, dass die Größe ein Vektor ist:

Hier ist ein weiteres Beispiel.
Das Auto fährt von A nach B. Das Endergebnis ist seine Bewegung von Punkt A nach Punkt B, d. h. eine Bewegung um einen Vektor .

Jetzt ist klar, warum ein Vektor ein gerichtetes Segment ist. Achtung, das Ende des Vektors ist dort, wo der Pfeil ist. Vektorlänge heißt die Länge dieses Segments. Benannt: oder

Bisher haben wir nach den Regeln der Arithmetik und elementaren Algebra mit skalaren Größen gearbeitet. Vektoren sind ein neues Konzept. Dies ist eine andere Klasse von mathematischen Objekten. Sie haben ihre eigenen Regeln.

Früher kannten wir nicht einmal Zahlen. Die Bekanntschaft mit ihnen begann in der Grundschule. Es stellte sich heraus, dass man Zahlen miteinander vergleichen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Wir haben gelernt, dass es eine Zahl eins und eine Zahl null gibt.
Jetzt lernen wir Vektoren kennen.

Die Begriffe "größer als" und "kleiner als" gibt es bei Vektoren nicht - schließlich können ihre Richtungen unterschiedlich sein. Sie können nur die Längen von Vektoren vergleichen.

Aber das Konzept der Gleichheit für Vektoren ist.
Gleich sind Vektoren gleicher Länge und gleicher Richtung. Das bedeutet, dass der Vektor parallel zu sich selbst an jeden beliebigen Punkt in der Ebene verschoben werden kann.
Single heißt ein Vektor, dessen Länge 1 ist. Null - ein Vektor, dessen Länge gleich Null ist, dh sein Anfang fällt mit dem Ende zusammen.

Es ist am bequemsten, mit Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zu arbeiten – demjenigen, in dem wir Funktionsgraphen zeichnen. Jeder Punkt im Koordinatensystem entspricht zwei Zahlen - seinen x- und y-Koordinaten, der Abszisse und der Ordinate.
Der Vektor ist ebenfalls durch zwei Koordinaten gegeben:

Hier werden die Koordinaten des Vektors in Klammern geschrieben - in x und in y.
Sie sind leicht zu finden: die Koordinate des Endes des Vektors minus die Koordinate seines Anfangs.

Wenn die Vektorkoordinaten gegeben sind, wird seine Länge durch die Formel gefunden

Vektoraddition

Es gibt zwei Möglichkeiten, Vektoren hinzuzufügen.

ein . Parallelogrammregel. Um die Vektoren und zu addieren, platzieren wir die Ursprünge beider am selben Punkt. Wir vervollständigen das Parallelogramm und zeichnen die Diagonale des Parallelogramms vom selben Punkt aus. Dies ist die Summe der Vektoren und .

Erinnern Sie sich an die Fabel über Schwan, Krebs und Hecht? Sie haben sich sehr bemüht, aber sie haben den Karren nie bewegt. Immerhin war die Vektorsumme der von ihnen auf den Wagen aufgebrachten Kräfte gleich Null.

2. Die zweite Möglichkeit, Vektoren hinzuzufügen, ist die Dreiecksregel. Nehmen wir die gleichen Vektoren und . Wir addieren den Anfang des zweiten zum Ende des ersten Vektors. Verbinden wir nun den Anfang des ersten und das Ende des zweiten. Dies ist die Summe der Vektoren und .

Nach der gleichen Regel können Sie mehrere Vektoren hinzufügen. Wir befestigen sie einzeln und verbinden dann den Anfang des ersten mit dem Ende des letzten.

Stellen Sie sich vor, Sie gehen von Punkt A nach Punkt B, von B nach C, von C nach D, dann nach E und dann nach F. Das Endergebnis dieser Aktionen ist ein Wechsel von A nach F.

Beim Addieren von Vektoren und erhalten wir:

Vektorsubtraktion

Der Vektor ist dem Vektor entgegengesetzt gerichtet. Die Längen der Vektoren und sind gleich.

Jetzt ist klar, was Subtraktion von Vektoren ist. Die Differenz der Vektoren und ist die Summe aus dem Vektor und dem Vektor .

Multipliziere einen Vektor mit einer Zahl

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl k ergibt einen Vektor, dessen Länge k mal von der Länge abweicht. Es ist mit dem Vektor gleichgerichtet, wenn k größer als Null ist, und entgegengesetzt gerichtet, wenn k kleiner als Null ist.

Skalarprodukt von Vektoren

Vektoren können nicht nur mit Zahlen, sondern auch untereinander multipliziert werden.

Das Skalarprodukt von Vektoren ist das Produkt der Längen von Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Pass auf - wir haben zwei Vektoren multipliziert und wir haben einen Skalar bekommen, also eine Zahl. In der Physik ist mechanische Arbeit beispielsweise gleich dem Skalarprodukt zweier Vektoren - Kraft und Verschiebung:

Wenn die Vektoren senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt Null.
Und so wird das Skalarprodukt in Bezug auf die Koordinaten der Vektoren ausgedrückt und:

Aus der Formel für das Skalarprodukt kannst du den Winkel zwischen den Vektoren ermitteln:

Diese Formel ist besonders praktisch in der Stereometrie. Beispielsweise müssen Sie in Aufgabe 14 des Profils USE in der Mathematik den Winkel zwischen sich schneidenden Linien oder zwischen einer Linie und einer Ebene finden. Problem 14 wird mit der Vektormethode oft um ein Vielfaches schneller gelöst als mit der klassischen.

Im Schullehrplan in Mathematik wird nur das Skalarprodukt von Vektoren untersucht.
Es stellt sich heraus, dass es neben dem Skalar auch ein Vektorprodukt gibt, wenn als Ergebnis der Multiplikation zweier Vektoren ein Vektor erhalten wird. Wer die Klausur in Physik besteht, kennt die Lorentzkraft und die Ampèrekraft. Die Formeln zum Auffinden dieser Kräfte beinhalten genau Vektorprodukte.

Vektoren sind ein sehr nützliches mathematisches Werkzeug. Davon werden Sie im ersten Kurs überzeugt.

2018 Olshevsky Andrey Georgievich

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Vektoren in der Ebene und im Raum, Problemlösungen, Beispiele, Formeln

1 Vektoren im Raum

Vektoren im Raum umfassen Geometrie 10, Klasse 11 und analytische Geometrie. Mit Vektoren können Sie die geometrischen Probleme des zweiten Teils der Prüfung und der analytischen Geometrie im Raum effektiv lösen. Vektoren im Raum werden genauso angegeben wie Vektoren in der Ebene, jedoch wird die dritte Koordinate z berücksichtigt. Der Ausschluss von Vektoren im Raum der dritten Dimension ergibt Vektoren in der Ebene, was die Geometrie der Klasse 8, 9 erklärt.

1.1 Vektor in der Ebene und im Weltraum

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment mit einem Anfang und einem Ende, angezeigt durch einen Pfeil in der Figur. Ein beliebiger Punkt im Raum kann als Nullvektor betrachtet werden. Der Nullvektor hat keine bestimmte Richtung, da Anfang und Ende gleich sind, also kann ihm jede Richtung gegeben werden.

Vektor aus dem Englischen übersetzt bedeutet Vektor, Richtung, Kurs, Führung, Richtungseinstellung, Flugzeugkurs.

Die Länge (Modul) eines Nicht-Null-Vektors ist die Länge des Segments AB, das bezeichnet ist
. Vektorlänge bezeichnet . Der Nullvektor hat eine Länge gleich Null = 0.

Kollineare Vektoren sind Nicht-Null-Vektoren, die auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen.

Der Nullvektor ist kollinear zu jedem Vektor.

Kodirektionale werden kollineare Nicht-Null-Vektoren genannt, die eine Richtung haben. Kodirektionale Vektoren werden mit bezeichnet. Zum Beispiel, wenn der Vektor mit dem Vektor gleichgerichtet ist , dann wird die Notation verwendet.

Der Nullvektor ist mit jedem Vektor gleichgerichtet.

Entgegengesetzt sind zwei kollineare Nicht-Null-Vektoren, die die entgegengesetzte Richtung haben. Entgegengesetzte Vektoren sind mit ↓ bezeichnet. Wenn beispielsweise der Vektor dem Vektor entgegengesetzt ist, wird die Notation ↓ verwendet.

Kodirektionale Vektoren gleicher Länge heißen gleich.

Viele physikalische Größen sind Vektorgrößen: Kraft, Geschwindigkeit, elektrisches Feld.

Wenn der Angriffspunkt (Anfang) des Vektors nicht festgelegt ist, wird er willkürlich gewählt.

Wenn der Anfang des Vektors am Punkt O platziert wird, wird davon ausgegangen, dass der Vektor vom Punkt O verschoben wird. Von jedem Punkt aus kann ein einzelner Vektor gleich dem gegebenen Vektor gezeichnet werden.

1.2 Summe der Vektoren

Beim Addieren von Vektoren nach der Dreiecksregel wird Vektor 1 gezeichnet, von dessen Ende Vektor 2 gezeichnet wird und die Summe dieser beiden Vektoren ist Vektor 3, gezeichnet vom Anfang von Vektor 1 bis zum Ende von Vektor 2:

Für beliebige Punkte A , B und C können Sie die Summe der Vektoren schreiben:

+
=

Wenn zwei Vektoren am selben Punkt beginnen

dann ist es besser, sie gemäß der Parallelogrammregel hinzuzufügen.

Wenn zwei Vektoren gemäß der Parallelogrammregel hinzugefügt werden, werden die hinzugefügten Vektoren von einem Punkt aus abgesetzt, ein Parallelogramm wird von den Enden dieser Vektoren vervollständigt, indem der Anfang eines anderen an das Ende eines Vektors angelegt wird. Der Vektor, der durch die Diagonale des Parallelogramms gebildet wird und vom Startpunkt der addierten Vektoren ausgeht, ist die Summe der Vektoren

Die Parallelogrammregel enthält eine andere Reihenfolge der Addition von Vektoren gemäß der Dreiecksregel.

Vektoradditionsgesetze:

1. Das Kommutativgesetz + = + .

2. Assoziativgesetz ( + ) + = + ( + ).

Wenn mehrere Vektoren addiert werden müssen, werden die Vektoren paarweise oder nach der Polygonregel addiert: Vektor 2 wird vom Ende von Vektor 1 gezeichnet, Vektor 3 wird vom Ende von Vektor 2 gezeichnet, Vektor 4 wird von gezeichnet das Ende von Vektor 3, Vektor 5 wird vom Ende von Vektor 4 gezeichnet usw. Ein Vektor, der die Summe mehrerer Vektoren ist, wird vom Anfang von Vektor 1 bis zum Ende des letzten Vektors gezeichnet.

Gemäß den Gesetzen der Vektoraddition hat die Reihenfolge der Vektoraddition keinen Einfluss auf den resultierenden Vektor, der die Summe mehrerer Vektoren ist.

Entgegengesetzt sind zwei von Null verschiedene entgegengesetzt gerichtete Vektoren gleicher Länge. Vektor - ist das Gegenteil eines Vektors

Diese Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet und im Absolutwert gleich.

1.3 Vektordifferenz

Die Differenz von Vektoren kann als Summe von Vektoren geschrieben werden

- = + (-),

wobei "-" der Vektor ist, der dem Vektor entgegengesetzt ist.

Vektoren und - können nach der Regel eines Dreiecks oder Parallelogramms hinzugefügt werden.

Lassen Sie Vektoren und

Um den Unterschied von Vektoren zu finden - wir bauen einen Vektor -

Wir addieren die Vektoren und - gemäß der Dreiecksregel, indem wir den Anfang des Vektors anwenden - bis zum Ende des Vektors erhalten wir den Vektor + (-) = -

Wir addieren die Vektoren und - gemäß der Parallelogrammregel, verschieben die Anfänge der Vektoren und - von einem Punkt aus

Wenn die Vektoren und vom selben Punkt stammen

,

dann ergibt die Differenz der Vektoren - einen Vektor, der ihre Enden verbindet, und der Pfeil am Ende des resultierenden Vektors wird in Richtung des Vektors platziert, von dem der zweite Vektor subtrahiert wird

Die folgende Abbildung zeigt die Addition und Differenz von Vektoren

Die folgende Abbildung zeigt die Addition und Differenz von Vektoren auf unterschiedliche Weise.

Aufgabe. Gegebene Vektoren und .

Zeichnen Sie die Summe und Differenz von Vektoren auf alle möglichen Arten in allen möglichen Kombinationen von Vektoren.

1.4 Kollineares Vektorlemma

= k

1.5 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Das Produkt eines Vektors ungleich Null mit einer Zahl k ergibt einen Vektor = k , kollinear zum Vektor . Vektorlänge:

| | = |k |·| |

Wenn ein k > 0, dann sind die Vektoren und gleichgerichtet.

Wenn ein k = 0, dann ist der Vektor Null.

Wenn ein k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Wenn | k | = 1, dann sind die Vektoren und gleich lang.

Wenn ein k = 1, dann und gleiche Vektoren.

Wenn ein k = -1, dann entgegengesetzte Vektoren.

Wenn | k | > 1, dann ist die Länge des Vektors größer als die Länge des Vektors .

Wenn ein k > 1, dann sind die Vektoren und gleichgerichtet und die Länge ist größer als die Länge des Vektors .

Wenn ein k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Wenn | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Wenn 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Wenn -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Das Produkt eines Nullvektors mit einer Zahl ergibt einen Nullvektor.

Aufgabe. Gegeben sei ein Vektor.

Konstruieren Sie die Vektoren 2, -3, 0,5, -1,5.

Aufgabe. Gegebene Vektoren und .

Konstruieren Sie die Vektoren 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Gesetze, die die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl beschreiben

1. Kombinationsgesetz (kn) = k (n)

2. Das erste Distributivgesetz k (+ ) = k + k .

3. Das zweite Distributivgesetz (k + n) = k + n.

Für kollineare Vektoren und , wenn ≠ 0, gibt es eine einzelne Zahl k, die es ermöglicht, den Vektor auszudrücken durch:

= k

1.6 Koplanare Vektoren

Koplanare Vektoren sind solche, die in derselben Ebene oder in parallelen Ebenen liegen. Wenn Sie von einem Punkt aus Vektoren zeichnen, die gleich gegebenen koplanaren Vektoren sind, liegen sie in derselben Ebene. Daher können wir sagen, dass Vektoren koplanar genannt werden, wenn es gleiche Vektoren gibt, die in derselben Ebene liegen.

Zwei beliebige Vektoren sind immer koplanar. Die drei Vektoren können koplanar sein oder nicht. Drei Vektoren, von denen mindestens zwei kollinear sind, sind koplanar. Kollineare Vektoren sind immer koplanar.

1.7 Zerlegung eines Vektors in zwei nicht kollineare Vektoren

Beliebiger Vektor auf der Ebene eindeutig in zwei nicht kollineare Nicht-Null-Vektoren zerlegt und mit nur Ausdehnungskoeffizienten x und y :

= x+y

Jeder Vektor, der koplanar zu Nicht-Null-Vektoren ist und eindeutig in zwei nicht-kollineare Vektoren und mit eindeutigen Erweiterungskoeffizienten x und y zerlegt wird:

= x+y

Erweitern wir den gegebenen Vektor in der Ebene entsprechend den gegebenen nichtkollinearen Vektoren und :

Zeichnen Sie von einem Punkt aus die gegebenen koplanaren Vektoren

Vom Ende des Vektors ziehen wir Linien parallel zu den Vektoren und zum Schnittpunkt mit den Linien, die durch die Vektoren und gezogen werden. Holen Sie sich ein Parallelogramm

Die Seitenlängen des Parallelogramms ergeben sich durch Multiplikation der Längen der Vektoren und mit den Zahlen x und y, die durch Division der Seitenlängen des Parallelogramms durch die Längen der entsprechenden Vektoren und bestimmt werden. Wir erhalten die Zerlegung des Vektors in gegebene nichtkollineare Vektoren und :

= x+y

In dem zu lösenden Problem ist x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, also die Entwicklung des Vektors in gegebenen nichtkollinearen Vektoren und kann geschrieben werden als

1,3 + 1,9 .

In dem zu lösenden Problem ist x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, also die Entwicklung des Vektors in gegebenen nicht-kollinearen Vektoren und kann geschrieben werden als

1,3 - 1,9 .

1.8 Kastenregel

Ein Parallelepiped ist eine dreidimensionale Figur, deren gegenüberliegende Flächen aus zwei gleichen Parallelogrammen bestehen, die in parallelen Ebenen liegen.

Mit der Parallelepiped-Regel können Sie drei nicht koplanare Vektoren addieren, die von einem Punkt aus gezeichnet werden, und ein Parallelepiped so konstruieren, dass die summierten Vektoren seine Kanten bilden und die verbleibenden Kanten des Parallelepipeds jeweils parallel und gleich der Länge der gebildeten Kanten sind durch die summierten Vektoren. Die Diagonale des Parallelepipeds bildet einen Vektor, der die Summe der gegebenen drei Vektoren ist, die am Startpunkt der addierten Vektoren beginnt.

1.9 Zerlegung eines Vektors in drei nicht koplanare Vektoren

Beliebiger Vektor expandiert in drei gegebene nicht koplanare Vektoren , und mit einfachen Ausdehnungskoeffizienten x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Rechteckiges Koordinatensystem im Raum

Im dreidimensionalen Raum ist das rechtwinklige Koordinatensystem Oxyz definiert durch den Ursprung O und die darin senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen Ox, Oy und Oz mit ausgewählten positiven Richtungen, die durch Pfeile und die Maßeinheit der Segmente angedeutet sind. Wenn der Maßstab der Segmente entlang aller drei Achsen gleich ist, wird ein solches System als kartesisches Koordinatensystem bezeichnet.

Koordinate x heißt Abszisse, y ist Ordinate, z ist Applikate. Die Koordinaten des Punktes M sind in Klammern M (x ; y ; z ) geschrieben.

1.11 Vektorkoordinaten im Raum

Lassen Sie uns im Raum ein rechteckiges Koordinatensystem Oxyz festlegen. Vom Ursprung in den positiven Richtungen der Achsen Ox , Oy , Oz zeichnen wir die entsprechenden Einheitsvektoren , , , die Koordinatenvektoren genannt werden und nicht koplanar sind. Daher kann jeder Vektor in drei gegebene nicht koplanare Koordinatenvektoren zerlegt werden, und zwar mit den einzigen Entwicklungskoeffizienten x , y , z :

= x + y + z .

Die Entwicklungskoeffizienten x , y , z sind die Koordinaten des Vektors in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem, die in Klammern geschrieben werden (x ; y ; z ). Der Nullvektor hat Koordinaten gleich Null (0; 0; 0). Für gleiche Vektoren sind die entsprechenden Koordinaten gleich.

Regeln zum Ermitteln der Koordinaten des resultierenden Vektors:

1. Wenn zwei oder mehr Vektoren summiert werden, ist jede Koordinate des resultierenden Vektors gleich der Summe der entsprechenden Koordinaten der gegebenen Vektoren. Wenn zwei Vektoren gegeben sind (x 1 ; y 1 ; z 1) und (x 1 ; y 1 ; z 1), dann ergibt die Summe der Vektoren + einen Vektor mit den Koordinaten (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1). ; z1 + z1)

+ = (x 1 + x 1 ; y1 + y1 ; z1 + z1)

2. Die Differenz ist eine Art Summe, also ergibt die Differenz der entsprechenden Koordinaten jede Koordinate des Vektors, der durch Subtraktion der beiden gegebenen Vektoren erhalten wird. Wenn zwei Vektoren gegeben sind (x a ; y a ; z a ) und (x b ; y b ; z b ), dann ergibt die Differenz der Vektoren - einen Vektor mit den Koordinaten (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

3. Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl ist jede Koordinate des resultierenden Vektors gleich dem Produkt dieser Zahl mit der entsprechenden Koordinate des gegebenen Vektors. Wenn eine Zahl k und ein Vektor (x ; y ; z ) gegeben sind, dann ergibt die Multiplikation des Vektors mit der Zahl k einen Vektor k mit Koordinaten

k = (kx; ky; kz).

Aufgabe. Finden Sie die Koordinaten des Vektors = 2 - 3 + 4, wenn die Koordinaten der Vektoren (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2) sind.

Entscheidung

2 + (-3) + 4

2 = (2 1; 2 (-2); 2 (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 (-2); -3 3; -3 (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4 (-1); 4 (-3); 4 2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Vektor, Radiusvektor und Punktkoordinaten

Die Vektorkoordinaten sind die Koordinaten des Vektorendes, wenn der Vektoranfang im Ursprung liegt.

Ein Radiusvektor ist ein Vektor, der vom Ursprung zu einem bestimmten Punkt gezogen wird, die Koordinaten des Radiusvektors und des Punkts sind gleich.

Wenn der Vektor
gegeben durch die Punkte M 1 (x 1; y 1; z 1) und M 2 (x 2; y 2; z 2), dann ist jede ihrer Koordinaten gleich der Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten des Endes und des Anfangs der Vektor

Für kollineare Vektoren = (x 1 ; y 1 ; z 1) und = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), wenn ≠ 0, gibt es eine einzelne Zahl k, die es ermöglicht, den Vektor auszudrücken durch:

= k

Dann werden die Koordinaten des Vektors durch die Koordinaten des Vektors ausgedrückt

= (kx 1 ; ky1; kz 1)

Das Verhältnis der entsprechenden Koordinaten kollinearer Vektoren ist gleich der einfachen Zahl k

1.13 Vektorlänge und Abstand zwischen zwei Punkten

Die Länge des Vektors (x; y; z) ist gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten

Die Länge des Vektors, gegeben durch die Anfangspunkte M 1 (x 1; y 1; z 1) und das Ende M 2 (x 2; y 2; z 2) ist gleich der Quadratwurzel der Summe von Quadrate der Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten des Endes des Vektors und des Anfangs

Distanz d zwischen zwei Punkten M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) und M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) ist gleich der Länge des Vektors

Es gibt keine z-Koordinate auf der Ebene

Abstand zwischen den Punkten M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2)

1.14 Koordinaten der Segmentmitte

Wenn Punkt C der Mittelpunkt der Strecke AB ist, dann ist der Radiusvektor des Punktes C in einem beliebigen Koordinatensystem mit Ursprung im Punkt O gleich der Hälfte der Summe der Radiusvektoren der Punkte A und B

Wenn die Koordinaten der Vektoren
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), dann ist jede Vektorkoordinate gleich der halben Summe der entsprechenden Koordinaten der Vektoren und

,
,

= (x, y, z) =

Jede der Koordinaten der Mitte des Segments ist gleich der Hälfte der Summe der entsprechenden Koordinaten der Enden des Segments.

1.15 Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel zwischen Vektoren ist gleich dem Winkel zwischen den Strahlen, die von einem Punkt gezogen und mit diesen Vektoren gemeinsam gerichtet sind. Der Winkel zwischen Vektoren kann von 0 0 bis einschließlich 180 0 reichen. Der Winkel zwischen gleichgerichteten Vektoren ist gleich 0 0 . Wenn ein Vektor oder beide Null sind, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren, von denen mindestens einer Null ist, gleich 0 0 . Der Winkel zwischen senkrechten Vektoren beträgt 90 0 . Der Winkel zwischen entgegengesetzt gerichteten Vektoren beträgt 180°.

1.16 Vektorprojektion

1.17 Skalarprodukt von Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (Skalar), die gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist

Wenn ein = 0 0 , dann sind die Vektoren gleichgerichtet
und
= cos 0 0 = 1, daher ist das Skalarprodukt von kodirektionalen Vektoren gleich dem Produkt ihrer Längen (Module)

.

Wenn der Winkel zwischen den Vektoren 0 ist< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, also ist das Skalarprodukt größer als Null
.

Wenn Nicht-Null-Vektoren senkrecht stehen, dann ist ihr Skalarprodukt Null
, da cos 90 0 = 0. Das Skalarprodukt senkrechter Vektoren ist gleich Null.

Wenn ein
, dann ist der Kosinus des Winkels zwischen solchen Vektoren kleiner als Null
, also ist das Skalarprodukt kleiner als Null
.

Wenn der Winkel zwischen Vektoren zunimmt, wird der Kosinus des Winkels zwischen ihnen
abnimmt und einen Minimalwert bei erreicht = 180 0, wenn die Vektoren entgegengesetzt gerichtet sind
. Da cos 180 0 = -1, dann
. Das Skalarprodukt entgegengesetzt gerichteter Vektoren ist gleich dem negativen Produkt ihrer Längen (Module).

Das Skalarquadrat eines Vektors ist gleich dem Betrag des Vektors im Quadrat

Das Skalarprodukt von Vektoren, von denen mindestens einer Null ist, ist gleich Null.

1.18 Die physikalische Bedeutung des Skalarprodukts von Vektoren

Aus der Physik ist bekannt, dass die Arbeit A der Kraft beim Bewegen des Körpers gleich dem Produkt der Längen der Kraft- und Verschiebungsvektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen, d. h. gleich dem Skalarprodukt der Kraft- und Verschiebungsvektoren

Wenn der Kraftvektor mit der Bewegung des Körpers gleich gerichtet ist, dann der Winkel zwischen den Vektoren
= 0 0 , also ist die Arbeit der Kraft bei Verschiebung maximal und gleich A =
.

Wenn 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Wenn = 90 0 , dann ist die Arbeit der Kraft bei Verschiebung gleich Null A = 0.

Wenn 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Wenn der Kraftvektor der Bewegung des Körpers entgegengesetzt ist, ist der Winkel zwischen den Vektoren = 180 0, daher ist die Arbeit der Kraft auf die Bewegung negativ und gleich A = -.

Aufgabe. Bestimmen Sie die Schwerkraftarbeit beim Anheben eines 1 Tonne schweren Personenkraftwagens auf einer 1 km langen Strecke mit einem Neigungswinkel von 30 0 zum Horizont. Wie viel Liter Wasser mit einer Temperatur von 20 0 können mit dieser Energie zum Kochen gebracht werden?

Entscheidung

Arbeit Eine Schwerkraft Beim Bewegen des Körpers ist es gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen, dh es ist gleich dem Skalarprodukt der Vektoren der Schwerkraft und der Verschiebung

Schwere

G \u003d mg \u003d 1000 kg 10 m / s 2 \u003d 10.000 N.

= 1000m.

Winkel zwischen Vektoren = 1200. Dann

cos 120 0 \u003d cos (90 0 + 30 0) \u003d - sin 30 0 \u003d - 0,5.

Ersatz

A \u003d 10.000 N 1000 m (-0,5) \u003d - 5.000.000 J \u003d - 5 MJ.

1.19 Skalarprodukt von Vektoren in Koordinaten

Skalarprodukt zweier Vektoren = (x 1 ; y 1 ; z 1) und \u003d (x 2; y 2; z 2) in einem rechteckigen Koordinatensystem ist gleich der Summe der Produkte der gleichnamigen Koordinaten

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Vektoren

Wenn Vektoren ungleich Null \u003d (x 1; y 1; z 1) und \u003d (x 2; y 2; z 2) senkrecht sind, ist ihr Skalarprodukt Null

Wenn ein Vektor ungleich Null = (x 1; y 1; z 1) gegeben ist, dann müssen die Koordinaten des Vektors senkrecht (normal) dazu = (x 2; y 2; z 2) die Gleichheit erfüllen

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Es gibt unendlich viele solcher Vektoren.

Wenn ein Vektor ungleich Null = (x 1; y 1) auf die Ebene gesetzt wird, dann müssen die Koordinaten des Vektors senkrecht (normal) dazu = (x 2; y 2) die Gleichheit erfüllen

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Wenn ein Nicht-Null-Vektor = (x 1 ; y 1) auf die Ebene gesetzt wird, dann genügt es, willkürlich eine der Koordinaten des Vektors senkrecht (normal) dazu = (x 2 ; y 2) und von zu setzen die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

Drücken Sie die zweite Koordinate des Vektors aus.

Wenn wir zum Beispiel eine beliebige x 2 -Koordinate ersetzen, dann

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Die zweite Koordinate des Vektors

Wenn Sie x 2 \u003d y 1 angeben, dann die zweite Koordinate des Vektors

Wenn ein Vektor ungleich Null = (x 1; y 1) auf der Ebene gegeben ist, dann ist der Vektor senkrecht (normal) dazu = (y 1; -x 1).

Wenn eine der Koordinaten eines Nicht-Null-Vektors gleich Null ist, dann hat der Vektor dieselbe Koordinate ungleich Null, und die zweite Koordinate ist gleich Null. Solche Vektoren liegen auf den Koordinatenachsen, stehen also senkrecht zueinander.

Lassen Sie uns den zweiten Vektor definieren, senkrecht zum Vektor = (x 1 ; y 1), aber entgegengesetzt zum Vektor , das heißt, der Vektor - . Dann genügt es, die Vorzeichen der Koordinaten des Vektors zu ändern

- = (-y1; x1)

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Aufgabe.

Entscheidung

Koordinaten zweier Vektoren senkrecht zum Vektor = (x 1; y 1) in der Ebene

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Wir ersetzen die Koordinaten des Vektors = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 (-5) + (-5) (-3) = -15 + 15 = 0

Rechts!

3 5 + (-5) 3 = 15 - 15 = 0

Rechts!

Antwort: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Wenn wir x 2 = 1 zuweisen, ersetzen

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Ermitteln Sie die y 2 -Koordinate eines Vektors senkrecht zum Vektor = (x 1; y 1)

So erhalten Sie einen zweiten Vektor senkrecht zum Vektor = (x 1; y 1), aber entgegengesetzt zum Vektor . Lassen

Dann genügt es, die Vorzeichen der Koordinaten des Vektors zu ändern.

Koordinaten zweier Vektoren senkrecht zum Vektor = (x 1; y 1) in der Ebene

Aufgabe. Gegeben sei ein Vektor = (3; -5). Finden Sie zwei Normalenvektoren mit unterschiedlicher Orientierung.

Entscheidung

Koordinaten zweier Vektoren senkrecht zum Vektor = (x 1; y 1) in der Ebene

Einzelne Vektorkoordinaten

Zweite Vektorkoordinaten

Um die Rechtwinkligkeit von Vektoren zu überprüfen, setzen wir ihre Koordinaten in die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Vektoren ein

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

Rechts!

3 (-1) + (-5) (-0,6) = -3 + 3 = 0

Rechts!

Antwort: und.

Wenn Sie x 2 \u003d - x 1 zuweisen, ersetzen Sie

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Holen Sie sich die Koordinate des Vektors senkrecht zum Vektor

Wenn Sie x 2 \u003d x 1 zuweisen, ersetzen Sie

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Holen Sie sich die y-Koordinate des zweiten Vektors senkrecht zum Vektor

Koordinaten eines Vektors senkrecht zum Vektor in der Ebene = (x 1; y 1)

Koordinaten des zweiten Vektors, senkrecht zum Vektor in der Ebene = (x 1; y 1)

Koordinaten zweier Vektoren senkrecht zum Vektor = (x 1; y 1) in der Ebene

1.21 Kosinus des Winkels zwischen Vektoren

Der Kosinus des Winkels zwischen zwei Nicht-Null-Vektoren \u003d (x 1; y 1; z 1) und \u003d (x 2; y 2; z 2) ist gleich dem Skalarprodukt der Vektoren dividiert durch das Produkt der Längen dieser Vektoren

Wenn ein
= 1, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren gleich 0 0 , die Vektoren sind gleichgerichtet.

Wenn 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Wenn = 0, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren gleich 90 0 , die Vektoren stehen senkrecht zueinander.

Wenn -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Wenn = -1, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren 180 0 , die Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet.

Wenn ein Vektor durch die Koordinaten des Anfangs und des Endes gegeben ist und die Koordinaten des Anfangs von den entsprechenden Koordinaten des Endes des Vektors subtrahiert werden, erhalten wir die Koordinaten dieses Vektors.

Aufgabe. Finde den Winkel zwischen den Vektoren (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Entscheidung

Skalarprodukt von Vektoren

= 0 (-2) + (-2) 0 + 0 (-4) = 0,

daher ist der Winkel zwischen den Vektoren = 90 0 .

1.22 Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren

Die Eigenschaften des Skalarprodukts gelten für alle , , ,k:

1.
, Wenn
, dann
, Wenn =, dann
= 0.

2. Verschiebungsgesetz

3. Verteilungsrecht

4. Kombinationsrecht
.

1.23 Richtungsvektor direkt

Der Richtungsvektor einer Linie ist ein Nicht-Null-Vektor, der auf einer Linie oder auf einer Linie parallel zu der gegebenen Linie liegt.

Wenn die Linie durch zwei Punkte M 1 (x 1; y 1; z 1) und M 2 (x 2; y 2; z 2) gegeben ist, dann ist der Vektor die Führung
oder sein entgegengesetzter Vektor
= - , dessen Koordinaten

Es ist wünschenswert, das Koordinatensystem so einzustellen, dass die Linie durch den Ursprung verläuft, dann sind die Koordinaten des einzigen Punkts auf der Linie die Koordinaten des Richtungsvektors.

Aufgabe. Bestimmen Sie die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden, die durch die Punkte M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) verläuft.

Entscheidung

Der Richtungsvektor der durch die Punkte M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) verlaufenden Geraden ist bezeichnet
. Jede seiner Koordinaten ist gleich der Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten des Endes und des Anfangs des Vektors

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Stellen wir den Richtungsvektor der Geraden im Koordinatensystem mit dem Anfang am Punkt M 1, dem Ende am Punkt M 2 und dem ihm gleichen Vektor dar
vom Ursprung mit Ende am Punkt M (-1; 1; 0)

1.24 Winkel zwischen zwei Geraden

Mögliche Optionen für die relative Position von 2 Linien auf der Ebene und den Winkel zwischen diesen Linien:

1. Die Linien schneiden sich an einem einzigen Punkt und bilden 4 Winkel, 2 Paare vertikaler Winkel sind paarweise gleich. Der Winkel φ zwischen zwei sich schneidenden Linien ist der Winkel, der die anderen drei Winkel zwischen diesen Linien nicht überschreitet. Daher ist der Winkel zwischen den Linien φ ≤ 90 0 .

Schnittlinien können insbesondere senkrecht φ = 90 0 sein.

Mögliche Optionen für die relative Position von 2 Linien im Raum und den Winkel zwischen diesen Linien:

1. Die Linien schneiden sich an einem einzigen Punkt und bilden 4 Winkel, 2 Paare vertikaler Winkel sind paarweise gleich. Der Winkel φ zwischen zwei sich schneidenden Linien ist der Winkel, der die anderen drei Winkel zwischen diesen Linien nicht überschreitet.

2. Die Geraden sind parallel, dh sie fallen nicht zusammen und schneiden sich nicht, φ=0 0 .

3. Die Geraden fallen zusammen, φ = 0 0 .

4. Die Linien schneiden sich, dh sie schneiden sich nicht im Raum und sind nicht parallel. Der Winkel φ zwischen sich schneidenden Linien ist der Winkel zwischen Linien, die parallel zu diesen Linien gezogen werden, so dass sie sich schneiden. Daher ist der Winkel zwischen den Linien φ ≤ 90 0 .

Der Winkel zwischen 2 Linien ist gleich dem Winkel zwischen den Linien, die parallel zu diesen Linien in derselben Ebene gezogen werden. Daher ist der Winkel zwischen den Linien 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Winkel θ (Theta) zwischen Vektoren und 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Wenn der Winkel φ zwischen den Linien α und β gleich dem Winkel θ zwischen den Richtungsvektoren dieser Linien ist, dann ist φ = θ

cos φ = cos θ.

Wenn der Winkel zwischen den Linien φ = 180 0 - θ ist, dann

cos φ \u003d cos (180 0 - θ) \u003d - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Daher ist der Kosinus des Winkels zwischen den Linien gleich dem Betrag des Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren

cos φ = |cos θ|.

Wenn die Koordinaten von Nicht-Null-Vektoren = (x 1 ; y 1 ; z 1) und = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) gegeben sind, dann der Kosinus des Winkels θ zwischen ihnen

Der Kosinus des Winkels zwischen den Linien ist gleich dem Betrag des Kosinus des Winkels zwischen den Richtungsvektoren dieser Linien

cos φ = |cos θ| =

Die Linien sind dieselben geometrischen Objekte, daher sind in der Formel dieselben trigonometrischen Funktionen cos vorhanden.

Wenn jede der beiden Geraden durch zwei Punkte gegeben ist, dann lassen sich die Richtungsvektoren dieser Geraden und der Kosinus des Winkels zwischen den Geraden bestimmen.

Wenn ein cos φ \u003d 1, dann ist der Winkel φ zwischen den Linien 0 0, einer der Richtungsvektoren dieser Linien kann für diese Linien genommen werden, die Linien sind parallel oder fallen zusammen. Wenn die Linien nicht zusammenfallen, sind sie parallel. Wenn die Linien zusammenfallen, gehört jeder Punkt einer Linie zur anderen Linie.

Wenn 0< cos φ ≤ 1, dann ist der Winkel zwischen den Geraden 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Wenn ein cos φ \u003d 0, dann beträgt der Winkel φ zwischen den Linien 90 0 (die Linien sind senkrecht), die Linien schneiden oder schneiden sich.

Aufgabe. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien M 1 M 3 und M 2 M 3 mit den Koordinaten der Punkte M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) und M 3 (0; 0; 1) .

Entscheidung

Konstruieren wir die gegebenen Punkte und Geraden im Oxyz-Koordinatensystem.

Wir richten die Richtungsvektoren der Linien so aus, dass der Winkel θ zwischen den Vektoren mit dem Winkel φ zwischen den gegebenen Linien zusammenfällt. Zeichnen Sie die Vektoren =
und =
, sowie die Winkel θ und φ:

Lassen Sie uns die Koordinaten der Vektoren und bestimmen

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 und ax + by + cz = 0;

Die Ebene ist parallel zu dieser Koordinatenachse, deren Bezeichnung in der Gleichung der Ebene fehlt, und daher ist der entsprechende Koeffizient beispielsweise bei c = 0 null, die Ebene ist parallel zur Oz-Achse und nicht z in der Gleichung enthalten ax + by + d = 0;

Die Ebene enthält die Koordinatenachse, deren Bezeichnung fehlt, daher ist der entsprechende Koeffizient Null und d = 0, zum Beispiel bei c = d = 0 ist die Ebene parallel zur Oz-Achse und enthält kein z in der Gleichung ax + by = 0;

Die Ebene ist parallel zur Koordinatenebene, deren Notation in der Gleichung der Ebene fehlt, und daher sind die entsprechenden Koeffizienten Null, zum Beispiel für b = c = 0 ist die Ebene parallel zur Koordinatenebene Oyz und enthält y, z nicht in der Gleichung ax + d = 0.

Wenn die Ebene mit der Koordinatenebene zusammenfällt, dann ist die Gleichung einer solchen Ebene die Nullgleichheit der Bezeichnung der Koordinatenachse senkrecht zur gegebenen Koordinatenebene, beispielsweise bei x = 0 ist die gegebene Ebene die Koordinatenebene Oyz .

Aufgabe. Der Normalenvektor ist durch die Gleichung gegeben

Stellen Sie die Ebenengleichung in Normalform dar.

Entscheidung

Normale Vektorkoordinaten

EIN ; b; c ), dann können wir die Koordinaten des Punktes M 0 (x 0; y 0; z 0) und die Koordinaten a, b, c des Normalenvektors in die allgemeine Ebenengleichung einsetzen

axt + by + cz + d = 0 (1)

Wir erhalten eine Gleichung mit einer Unbekannten d

ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0

Von hier

d = -(ax 0 + von 0 + cz 0 )

Ebenengleichung (1) nach Substitution d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Wir erhalten die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) senkrecht zu einem Nicht-Null-Vektor verläuft (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Öffnen wir die Klammern

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Bezeichnen

d = - ax 0 - durch 0 - cz 0

Wir erhalten die allgemeine Gleichung der Ebene

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte und den Ursprung geht

ax + by + cz + d = 0.

Es ist wünschenswert, das Koordinatensystem so festzulegen, dass die Ebene durch den Ursprung dieses Koordinatensystems verläuft. Die in dieser Ebene liegenden Punkte M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) und M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) müssen so gesetzt werden, dass die diese Punkte verbindende Gerade nicht durch den Ursprung geht.

Die Ebene geht durch den Ursprung, also ist d = 0. Dann wird die allgemeine Gleichung der Ebene

ax + by + cz = 0.

Unbekannt 3 Koeffizienten a , b , c . Setzt man die Koordinaten zweier Punkte in die allgemeine Gleichung der Ebene ein, erhält man ein System aus 2 Gleichungen. Wenn wir einen Koeffizienten in der allgemeinen Gleichung der Ebene gleich eins nehmen, dann erlaubt uns das System von 2 Gleichungen, 2 unbekannte Koeffizienten zu bestimmen.

Wenn eine der Koordinaten des Punktes Null ist, dann wird der dieser Koordinate entsprechende Koeffizient als eins genommen.

Wenn ein Punkt zwei Nullkoordinaten hat, dann wird der Koeffizient, der einer dieser Nullkoordinaten entspricht, als Einheit genommen.

Wenn a = 1 akzeptiert wird, ermöglicht uns ein System von 2 Gleichungen, 2 unbekannte Koeffizienten b und c zu bestimmen:

Es ist einfacher, das System dieser Gleichungen zu lösen, indem man eine Gleichung mit einer solchen Zahl multipliziert, dass die Koeffizienten für einen unbekannten Stahl gleich sind. Dann erlaubt uns die Differenz der Gleichungen, diese Unbekannte auszuschließen, um eine andere Unbekannte zu bestimmen. Durch Einsetzen der gefundenen Unbekannten in eine beliebige Gleichung können wir die zweite Unbekannte bestimmen.

1.30 Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht

Lassen Sie uns die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung der Ebene definieren

ax + by + cz + d = 0,

Durchlaufen der Punkte M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) und M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Punkte dürfen nicht zwei identische Koordinaten haben.

Unbekannt 4 Koeffizienten a , b , c und d . Das Einsetzen der Koordinaten von drei Punkten in die allgemeine Gleichung der Ebene ergibt ein System von 3 Gleichungen. Nehmen Sie einen Koeffizienten in der allgemeinen Gleichung der Ebene gleich eins, dann können Sie mit dem System aus 3 Gleichungen 3 unbekannte Koeffizienten bestimmen. Normalerweise akzeptiert a = 1, dann können Sie mit dem System aus 3 Gleichungen 3 unbekannte Koeffizienten b, c und d bestimmen:

Das Gleichungssystem wird am besten durch das Eliminieren von Unbekannten (Gauß-Verfahren) gelöst. Sie können die Gleichungen im System neu anordnen. Jede Gleichung kann mit einem Faktor ungleich Null multipliziert oder dividiert werden. Zwei beliebige Gleichungen können hinzugefügt werden, und die resultierende Gleichung kann anstelle einer dieser beiden hinzugefügten Gleichungen geschrieben werden. Die Unbekannten werden aus den Gleichungen ausgeschlossen, indem ihnen ein Nullkoeffizient vorangestellt wird. In einer Gleichung bleibt normalerweise die niedrigste mit einer definierten Variablen übrig. Die gefundene Variable wird in die zweite Gleichung von unten eingesetzt, in der normalerweise 2 Unbekannte verbleiben. Die Gleichungen werden von unten nach oben gelöst und alle unbekannten Koeffizienten bestimmt.

Die Koeffizienten werden den Unbekannten vorangestellt und die unbekannten Terme auf die rechte Seite der Gleichungen übertragen

Die obere Zeile enthält normalerweise eine Gleichung, die einen Faktor von 1 vor der ersten oder einer beliebigen Unbekannten hat, oder die gesamte erste Gleichung wird durch den Faktor vor der ersten Unbekannten dividiert. In diesem Gleichungssystem dividieren wir die erste Gleichung durch y 1

Vor der ersten Unbekannten erhalten wir einen Koeffizienten von 1:

Um den Koeffizienten vor der ersten Variablen der zweiten Gleichung zurückzusetzen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit -y 2 , addieren sie zur zweiten Gleichung und schreiben die resultierende Gleichung anstelle der zweiten Gleichung. Die erste Unbekannte in der zweiten Gleichung wird eliminiert, weil

y2b - y2b = 0.

In ähnlicher Weise schließen wir die erste Unbekannte in der dritten Gleichung aus, indem wir die erste Gleichung mit -y 3 multiplizieren, sie zur dritten Gleichung addieren und die resultierende Gleichung anstelle der dritten Gleichung schreiben. Die erste Unbekannte in der dritten Gleichung wird ebenfalls eliminiert, weil

y3b - y3b = 0.

Ebenso schließen wir die zweite Unbekannte in der dritten Gleichung aus. Wir lösen das System von unten nach oben.

Aufgabe.

ax + by + cz + d = 0,

Durchlaufen der Punkte M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) und y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Die gegebene Ebene ist die Koordinatenebene Oyz .

Aufgabe. Bestimmen Sie die allgemeine Gleichung der Ebene

ax + by + cz + d = 0,

Durchlaufen der Punkte M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) und M 3 (0; 0; 1). Finden Sie die Entfernung von dieser Ebene zum Punkt M 0 (10; -3; -7).

Entscheidung

Lassen Sie uns die angegebenen Punkte im Oxyz-Koordinatensystem erstellen.

Annehmen a= 1. Das Einsetzen der Koordinaten von drei Punkten in die allgemeine Gleichung der Ebene ergibt ein System von 3 Gleichungen

ℓ =

Webseiten: 1 2 Vektoren in der Ebene und im Raum (Fortsetzung)

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