Berechnungen der mathematischen Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen. Formel der mathematischen Erwartung. Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein spezieller Zweig der Mathematik, der nur von Studenten höherer Bildungseinrichtungen studiert wird. Du liebst Berechnungen und Formeln? Haben Sie keine Angst vor der Bekanntschaft mit der Normalverteilung, der Entropie des Ensembles, der mathematischen Erwartung und der Varianz einer diskreten Zufallsvariablen? Dann ist dieses Thema für Sie von großem Interesse. Machen wir uns mit einigen der wichtigsten Grundkonzepte dieses Teils der Wissenschaft vertraut.

Erinnern wir uns an die Grundlagen

Auch wenn Sie sich an die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie erinnern, vernachlässigen Sie nicht die ersten Absätze des Artikels. Tatsache ist, dass Sie ohne ein klares Verständnis der Grundlagen nicht mit den unten besprochenen Formeln arbeiten können.

Es gibt also ein zufälliges Ereignis, ein Experiment. Als Ergebnis der durchgeführten Aktionen können wir mehrere Ergebnisse erzielen - einige davon sind häufiger, andere weniger häufig. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der tatsächlich erzielten Ergebnisse eines Typs zur Gesamtzahl der möglichen. Nur wenn Sie die klassische Definition dieses Konzepts kennen, können Sie damit beginnen, die mathematische Erwartung und Streuung kontinuierlicher Zufallsvariablen zu untersuchen.

Arithmetische Mittel

Schon in der Schule, im Mathematikunterricht, haben Sie angefangen, mit dem arithmetischen Mittel zu arbeiten. Dieses Konzept ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie weit verbreitet und kann daher nicht ignoriert werden. Für uns ist im Moment vor allem, dass wir ihm in den Formeln für den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen begegnen werden.

Wir haben eine Zahlenfolge und wollen das arithmetische Mittel finden. Alles, was von uns verlangt wird, ist, alles Verfügbare zu summieren und durch die Anzahl der Elemente in der Folge zu dividieren. Angenommen, wir haben Zahlen von 1 bis 9. Die Summe der Elemente ist 45, und wir teilen diesen Wert durch 9. Antwort: - 5.

Streuung

Varianz ist wissenschaftlich ausgedrückt das mittlere Quadrat der Abweichungen der erhaltenen Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel. Einer wird mit einem großen lateinischen Buchstaben D bezeichnet. Was wird benötigt, um ihn zu berechnen? Für jedes Element der Folge berechnen wir die Differenz zwischen der verfügbaren Zahl und dem arithmetischen Mittel und quadrieren sie. Es wird genau so viele Werte geben, wie es Ergebnisse für das Ereignis geben kann, das wir in Betracht ziehen. Als nächstes fassen wir alles Empfangene zusammen und dividieren durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz. Wenn wir fünf mögliche Ergebnisse haben, teilen Sie durch fünf.

Die Varianz hat auch Eigenschaften, die Sie sich merken müssen, um sie beim Lösen von Problemen anzuwenden. Wenn beispielsweise die Zufallsvariable um das X-fache erhöht wird, erhöht sich die Varianz um das X-fache des Quadrats (d. h. X*X). Es ist nie kleiner als Null und hängt nicht davon ab, Werte um einen gleichen Wert nach oben oder unten zu verschieben. Außerdem ist bei unabhängigen Versuchen die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen.

Jetzt müssen wir unbedingt Beispiele für die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert betrachten.

Nehmen wir an, wir führen 21 Experimente durch und erhalten 7 verschiedene Ergebnisse. Wir haben sie jeweils 1, 2, 2, 3, 4, 4 und 5 Mal beobachtet. Was wird die Varianz sein?

Zuerst berechnen wir das arithmetische Mittel: Die Summe der Elemente ist natürlich 21. Wir teilen es durch 7 und erhalten 3. Jetzt subtrahieren wir 3 von jeder Zahl in der ursprünglichen Folge, quadrieren jeden Wert und addieren die Ergebnisse . Es stellt sich heraus 12. Jetzt müssen wir die Zahl durch die Anzahl der Elemente teilen, und das scheint alles zu sein. Aber es gibt einen Haken! Lassen Sie uns darüber diskutieren.

Abhängigkeit von der Anzahl der Experimente

Es stellt sich heraus, dass bei der Berechnung der Varianz der Nenner eine von zwei Zahlen sein kann: entweder N oder N-1. Hier ist N die Anzahl der durchgeführten Experimente oder die Anzahl der Elemente in der Sequenz (was im Wesentlichen dasselbe ist). Wovon hängt es ab?

Wenn die Anzahl der Tests in Hunderten gemessen wird, müssen wir N in den Nenner setzen, wenn in Einheiten, dann N-1. Die Wissenschaftler haben sich entschieden, die Grenze ganz symbolisch zu ziehen: Heute verläuft sie entlang der Zahl 30. Wenn wir weniger als 30 Experimente durchgeführt haben, teilen wir die Menge durch N-1, und wenn mehr, dann durch N.

Aufgabe

Kehren wir zu unserem Beispiel zur Lösung des Varianz- und Erwartungsproblems zurück. Wir haben eine Zwischenzahl von 12 erhalten, die durch N oder N-1 geteilt werden musste. Da wir 21 Experimente durchgeführt haben, also weniger als 30, wählen wir die zweite Option. Die Antwort lautet also: Die Varianz ist 12 / 2 = 2.

Erwarteter Wert

Kommen wir zum zweiten Konzept, das wir in diesem Artikel berücksichtigen müssen. Die mathematische Erwartung ist das Ergebnis der Addition aller möglichen Ergebnisse multipliziert mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Es ist wichtig zu verstehen, dass der erhaltene Wert sowie das Ergebnis der Varianzberechnung nur einmal für die gesamte Aufgabe erhalten wird, unabhängig davon, wie viele Ergebnisse darin berücksichtigt werden.

Die mathematische Erwartungsformel ist ganz einfach: Wir nehmen das Ergebnis, multiplizieren es mit seiner Wahrscheinlichkeit, addieren dasselbe für das zweite, dritte Ergebnis usw. Alles, was mit diesem Konzept zusammenhängt, ist einfach zu berechnen. Beispielsweise ist die Summe der mathematischen Erwartungen gleich der mathematischen Erwartung der Summe. Gleiches gilt für die Arbeit. Nicht jede Größe in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlaubt es, solch einfache Operationen durchzuführen. Nehmen wir eine Aufgabe und berechnen den Wert von zwei Konzepten, die wir untersucht haben, gleichzeitig. Außerdem wurden wir von der Theorie abgelenkt – es ist Zeit für die Praxis.

Noch ein Beispiel

Wir führten 50 Versuche durch und erhielten 10 Arten von Ergebnissen – Zahlen 0 bis 9 – die in unterschiedlichen Prozentsätzen auftraten. Diese sind jeweils: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Denken Sie daran, dass Sie die Prozentwerte durch 100 teilen müssen, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten. Wir erhalten also 0,02; 0,1 usw. Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems für die Varianz einer Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert vorstellen.

Den arithmetischen Mittelwert berechnen wir mit der Formel, die wir aus der Grundschule kennen: 50/10 = 5.

Lassen Sie uns nun die Wahrscheinlichkeiten in die Anzahl der Ergebnisse "in Stücken" übersetzen, um das Zählen zu vereinfachen. Wir erhalten 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 und 9. Subtrahieren Sie das arithmetische Mittel von jedem erhaltenen Wert, danach quadrieren wir jedes der erhaltenen Ergebnisse. Sehen Sie, wie das am Beispiel des ersten Elements geht: 1 - 5 = (-4). Weiter: (-4) * (-4) = 16. Für andere Werte führen Sie diese Operationen selbst durch. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, erhalten Sie nach dem Hinzufügen von allem 90.

Fahren wir mit der Berechnung der Varianz und des Mittelwerts fort, indem wir 90 durch N dividieren. Warum wählen wir N und nicht N-1? Das ist richtig, denn die Anzahl der durchgeführten Experimente übersteigt 30. Also: 90/10 = 9. Wir haben die Streuung. Wenn Sie eine andere Nummer erhalten, verzweifeln Sie nicht. Höchstwahrscheinlich ist Ihnen bei den Berechnungen ein banaler Fehler unterlaufen. Überprüfen Sie noch einmal, was Sie geschrieben haben, und sicher wird alles zusammenpassen.

Erinnern wir uns abschließend an die mathematische Erwartungsformel. Wir geben nicht alle Berechnungen an, wir schreiben nur die Antwort, mit der Sie nach Abschluss aller erforderlichen Verfahren überprüfen können. Der erwartete Wert beträgt 5,48. Wir erinnern uns nur am Beispiel der ersten Elemente, wie Operationen durchgeführt werden: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... und so weiter. Wie Sie sehen können, multiplizieren wir einfach den Wert des Ergebnisses mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Abweichung

Ein weiteres Konzept, das eng mit Streuung und mathematischer Erwartung verwandt ist, ist die Standardabweichung. Es wird entweder mit den lateinischen Buchstaben sd oder mit dem griechischen Kleinbuchstaben „sigma“ bezeichnet. Dieses Konzept zeigt, wie die Werte im Durchschnitt vom zentralen Merkmal abweichen. Um seinen Wert zu finden, müssen Sie die Quadratwurzel der Varianz berechnen.

Wenn Sie eine Normalverteilung grafisch darstellen und direkt darauf die quadrierte Abweichung sehen möchten, kann dies in mehreren Schritten erfolgen. Nehmen Sie die Hälfte des Bildes links oder rechts vom Modus (Mittelwert) und zeichnen Sie eine Senkrechte zur horizontalen Achse, sodass die Flächen der resultierenden Figuren gleich sind. Der Wert des Segments zwischen der Mitte der Verteilung und der resultierenden Projektion auf der horizontalen Achse ist die Standardabweichung.

Software

Wie aus den Beschreibungen der Formeln und den vorgestellten Beispielen ersichtlich ist, ist die Berechnung der Varianz und des mathematischen Erwartungswerts aus arithmetischer Sicht nicht das einfachste Verfahren. Um keine Zeit zu verschwenden, ist es sinnvoll, das in der Hochschulbildung verwendete Programm zu verwenden - es heißt "R". Es verfügt über Funktionen, mit denen Sie Werte für viele Konzepte aus Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie berechnen können.

Beispielsweise definieren Sie einen Wertevektor. Dies geschieht wie folgt: Vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Abschließend

Streuung und mathematische Erwartung sind ohne die es schwierig ist, etwas in der Zukunft zu berechnen. Im Hauptstudium an Universitäten werden sie bereits in den ersten Monaten des Fachstudiums berücksichtigt. Gerade wegen des mangelnden Verständnisses dieser einfachen Konzepte und der Unfähigkeit, sie zu berechnen, geraten viele Studenten im Programm sofort ins Hintertreffen und erhalten später schlechte Noten in der Sitzung, was ihnen Stipendien vorenthält.

Üben Sie mindestens eine Woche lang eine halbe Stunde am Tag und lösen Sie ähnliche Aufgaben wie die in diesem Artikel vorgestellten. Dann kommen Sie bei jedem Wahrscheinlichkeitstheorie-Test mit Beispielen ohne überflüssige Tipps und Spickzettel zurecht.

Merkmale von DSW und ihre Eigenschaften. Mathematische Erwartung, Varianz, Standardabweichung

Das Verteilungsgesetz charakterisiert die Zufallsvariable vollständig. Wenn es jedoch nicht möglich ist, das Verteilungsgesetz zu finden, oder dies nicht erforderlich ist, kann man sich darauf beschränken, Werte zu finden, die als numerische Eigenschaften einer Zufallsvariablen bezeichnet werden. Diese Werte bestimmen einen Durchschnittswert, um den die Werte einer Zufallsvariablen gruppiert werden, und den Grad ihrer Streuung um diesen Durchschnittswert.

mathematische Erwartung Eine diskrete Zufallsvariable ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen und ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Die mathematische Erwartung liegt vor, wenn die Reihe auf der rechten Seite der Gleichheit absolut konvergiert.

Aus Sicht der Wahrscheinlichkeit können wir sagen, dass die mathematische Erwartung ungefähr gleich dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen ist.

Beispiel. Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen ist bekannt. Finde die mathematische Erwartung.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Entscheidung:

9.2 Erwartungseigenschaften

1. Die mathematische Erwartung eines konstanten Werts ist gleich der Konstante selbst.

2. Aus dem Erwartungszeichen kann ein konstanter Faktor genommen werden.

3. Die mathematische Erwartung des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen.

Diese Eigenschaft gilt für eine beliebige Anzahl von Zufallsvariablen.

4. Der mathematische Erwartungswert der Summe zweier Zufallsvariablen ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungswerte der Terme.

Diese Eigenschaft gilt auch für eine beliebige Anzahl von Zufallsvariablen.

Lassen Sie n unabhängige Versuche durchführen, bei denen die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A gleich p ist.

Satz. Die mathematische Erwartung M(X) der Anzahl des Auftretens von Ereignis A in n unabhängigen Versuchen ist gleich dem Produkt aus der Anzahl der Versuche und der Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses in jedem Versuch.

Beispiel. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen Z, wenn die mathematischen Erwartungswerte von X und Y bekannt sind: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Entscheidung:

9.3 Streuung einer diskreten Zufallsvariablen

Die mathematische Erwartung kann jedoch einen Zufallsprozess nicht vollständig charakterisieren. Neben der mathematischen Erwartung muss ein Wert eingeführt werden, der die Abweichung der Werte der Zufallsvariablen von der mathematischen Erwartung charakterisiert.

Diese Abweichung ist gleich der Differenz zwischen der Zufallsvariablen und ihrer mathematischen Erwartung. In diesem Fall ist die mathematische Erwartung der Abweichung Null. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass einige mögliche Abweichungen positiv, andere negativ sind und als Ergebnis ihrer gegenseitigen Aufhebung Null erhalten wird.

Dispersion (Streuung) Als diskrete Zufallsvariable bezeichnet man die mathematische Erwartung der quadratischen Abweichung der Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung.

In der Praxis ist diese Methode der Varianzberechnung unpraktisch, weil führt zu umständlichen Berechnungen für eine Vielzahl von Werten einer Zufallsvariablen.

Daher wird ein anderes Verfahren verwendet.

Satz. Die Varianz ist gleich der Differenz zwischen dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats der Zufallsvariablen X und dem Quadrat ihres mathematischen Erwartungswerts.

Nachweisen. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der mathematische Erwartungswert M (X) und das Quadrat des mathematischen Erwartungswerts M 2 (X) konstante Werte sind, können wir schreiben:

Beispiel. Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen, die durch das Verteilungsgesetz gegeben ist.

X
X2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Entscheidung: .

9.4 Dispersionseigenschaften

1. Die Streuung eines konstanten Werts ist Null. .

2. Ein konstanter Faktor kann aus dem Streuungszeichen durch Quadrieren herausgenommen werden. .

3. Die Varianz der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen dieser Variablen. .

4. Die Varianz der Differenz zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen dieser Variablen. .

Satz. Die Varianz der Anzahl der Eintreten des Ereignisses A in n unabhängigen Versuchen, bei denen jeweils die Wahrscheinlichkeit p des Eintretens des Ereignisses konstant ist, ist gleich dem Produkt aus der Anzahl der Versuche und den Eintritts- und Nides Ereignisses in jedem Versuch.

9.5 Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen

Standardabweichung Die Zufallsvariable X wird als Quadratwurzel der Varianz bezeichnet.

Satz. Die Standardabweichung der Summe endlich vieler voneinander unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten Standardabweichungen dieser Variablen.

Die mathematische Erwartung ist die Definition

Mat warten ist eines der wichtigsten Konzepte in der mathematischen Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie, das die Verteilung von Werten charakterisiert bzw Wahrscheinlichkeiten zufällige Variable. Üblicherweise ausgedrückt als gewichteter Durchschnitt aller möglichen Parameter einer Zufallsvariablen. Es ist weit verbreitet in der technischen Analyse, dem Studium von Zahlenreihen, dem Studium kontinuierlicher und langfristiger Prozesse. Es ist wichtig für die Risikobewertung, die Vorhersage von Preisindikatoren beim Handel auf den Finanzmärkten und wird bei der Entwicklung von Strategien und Methoden für Spieltaktiken verwendet Glücksspiel Theorie.

Schachmatt wartet- Das Mittelwert einer Zufallsvariablen, Verteilung Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariable wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet.

Mat warten ist Maß für den Mittelwert einer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen x bezeichnet M(x).

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Mat warten ist

Mat warten ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte, die diese Zufallsvariable annehmen kann.

Mat warten ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen durch die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Mat warten ist der durchschnittliche Nutzen aus einer bestimmten Entscheidung, sofern eine solche Entscheidung im Rahmen der Theorie der großen Zahl und der großen Entfernung betrachtet werden kann.

Mat warten ist In der Theorie des Glücksspiels die Höhe der Gewinne, die ein Spekulant im Durchschnitt für jede Wette gewinnen oder verlieren kann. In der Sprache des Glücksspiels Spekulanten Dies wird manchmal als "Vorteil" bezeichnet Spekulant“ (wenn es für den Spekulanten positiv ist) oder „Hausvorteil“ (wenn es für den Spekulanten negativ ist).

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Mat warten ist Gewinn pro Sieg multipliziert mit dem Durchschnitt profitieren, abzüglich des Verlustes multipliziert mit dem durchschnittlichen Verlust.

Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen in der mathematischen Theorie

Eine der wichtigsten numerischen Eigenschaften einer Zufallsvariablen ist der Erwartungswert. Lassen Sie uns das Konzept eines Systems von Zufallsvariablen einführen. Stellen Sie sich eine Reihe von Zufallsvariablen vor, die die Ergebnisse desselben Zufallsexperiments sind. Wenn einer der möglichen Werte des Systems ist, dann entspricht das Ereignis einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, die die Axiome von Kolmogorov erfüllt. Eine Funktion, die für beliebige mögliche Werte von Zufallsvariablen definiert ist, wird als gemeinsames Verteilungsgesetz bezeichnet. Mit dieser Funktion können Sie die Wahrscheinlichkeiten beliebiger Ereignisse berechnen. Insbesondere gemeinsam Gesetz Verteilung von Zufallsvariablen und, die Werte aus der Menge nehmen und, ist durch Wahrscheinlichkeiten gegeben.

Der Begriff „Mat. Erwartung“ wurde von Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) eingeführt und entstand aus dem Konzept des „erwarteten Werts der Auszahlung“, das erstmals im 17. Jahrhundert in der Theorie des Glücksspiels in den Werken von Blaise Pascal und Christian Huygens auftauchte. Das erste vollständige theoretische Verständnis und die Bewertung dieses Konzepts wurde jedoch von Pafnuty Lvovich Chebyshev (Mitte des 19. Jahrhunderts) gegeben.

Gesetz Verteilungen numerischer Zufallsvariablen (Verteilungsfunktion und Verteilungsreihe bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte) beschreiben das Verhalten einer Zufallsvariablen vollständig. Bei einer Reihe von Problemen reicht es jedoch aus, einige numerische Eigenschaften der untersuchten Größe zu kennen (z. B. ihren Durchschnittswert und mögliche Abweichungen davon), um die gestellte Frage zu beantworten. Die wichtigsten numerischen Merkmale von Zufallsvariablen sind Erwartung, Varianz, Modus und Median.

Die mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte ihrer möglichen Werte und ihrer entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Manchmal matt. Die Erwartung wird als gewichteter Durchschnitt bezeichnet, da sie ungefähr gleich dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen über eine große Anzahl von Experimenten ist. Aus der Definition der Erwartungsmatte folgt, dass ihr Wert nicht kleiner als der kleinstmögliche Wert einer Zufallsvariablen und nicht größer als der größte ist. Die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen ist eine nicht zufällige (konstante) Variable.

Die mathematische Erwartung hat eine einfache physikalische Bedeutung: Wenn eine Einheitsmasse auf einer geraden Linie platziert wird, etwas Masse an einigen Punkten platziert (für eine diskrete Verteilung) oder sie mit einer bestimmten Dichte „verschmiert“ wird (für eine absolut kontinuierliche Verteilung), dann Der Punkt, der der Mattenerwartung entspricht, ist die Koordinaten-"Schwerpunkt"-Gerade.

Der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist eine bestimmte Zahl, die sozusagen ihr „Repräsentant“ ist und sie bei groben Näherungsrechnungen ersetzt. Wenn wir sagen: „Die durchschnittliche Lampenbetriebszeit beträgt 100 Stunden“ oder „Der durchschnittliche Auftreffpunkt ist relativ zum Ziel um 2 m nach rechts verschoben“, bezeichnen wir damit eine bestimmte numerische Eigenschaft einer Zufallsgröße, die dessen beschreibt Lage auf der numerischen Achse, d.h. Positionsbeschreibung.

Von den Eigenschaften der Situation in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielt die Erwartung einer Zufallsvariablen die wichtigste Rolle, die manchmal einfach als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bezeichnet wird.

Betrachten Sie eine Zufallsvariable X, die mögliche Werte hat x1, x2, …, xn mit Wahrscheinlichkeiten p1, p2, …, pn. Wir müssen die Position der Werte der Zufallsvariablen auf der x-Achse mit irgendeiner Zahl charakterisieren unter Berücksichtigung dass diese Werte unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben. Dazu ist es selbstverständlich, den sogenannten „gewichteten Durchschnitt“ der Werte zu verwenden xi, und jeder Wert xi sollte bei der Mittelwertbildung mit einem „Gewicht“ berücksichtigt werden, das proportional zur Wahrscheinlichkeit dieses Werts ist. Daher berechnen wir den Mittelwert der Zufallsvariablen X, die wir bezeichnen werden M|X|:

Dieser gewichtete Durchschnitt wird Matt-Erwartung der Zufallsvariablen genannt. So haben wir eines der wichtigsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie in Betracht gezogen - das Konzept der Matte. Erwartungen. Matte. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

Matte. Erwartung einer Zufallsvariablen X aufgrund einer Art Abhängigkeit mit dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen bei einer großen Anzahl von Experimenten. Diese Abhängigkeit ist von der gleichen Art wie die Abhängigkeit zwischen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, nämlich: Bei einer großen Anzahl von Experimenten nähert sich (konvergiert in der Wahrscheinlichkeit) das arithmetische Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen seiner Matte. warten. Aus dem Vorhandensein einer Beziehung zwischen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit kann man als Konsequenz auf die Existenz einer ähnlichen Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem mathematischen Erwartungswert schließen. Betrachten Sie in der Tat eine Zufallsvariable X, gekennzeichnet durch eine Reihe von Verteilungen:

Lass es produzieren N unabhängige Experimente, in denen jeweils der Wert X nimmt einen bestimmten Wert an. Angenommen, der Wert x1 erschien m1 Zeiten, Wert x2 erschien m2 Zeiten, allgemeine Bedeutung xi erschien mi mal. Berechnen wir das arithmetische Mittel der beobachteten Werte von X, was im Gegensatz zu den Erwartungsmatten M|X| wir werden bezeichnen M*|X|:

Mit einer Zunahme der Anzahl von Experimenten N Frequenzen Pi wird sich den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten annähern (in der Wahrscheinlichkeit konvergieren). Daher das arithmetische Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen M|X| mit zunehmender Anzahl von Experimenten wird es sich seiner Erwartung annähern (in der Wahrscheinlichkeit konvergieren). Die oben formulierte Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und der Matte. Erwartung ist der Inhalt einer der Formen des Gesetzes der großen Zahl.

Wir wissen bereits, dass alle Formen des Gesetzes der großen Zahlen die Tatsache aussagen, dass bestimmte Mittelwerte über eine große Anzahl von Experimenten stabil sind. Hier sprechen wir über die Stabilität des arithmetischen Mittels aus einer Reihe von Beobachtungen mit gleichem Wert. Bei einer kleinen Anzahl von Experimenten ist das arithmetische Mittel ihrer Ergebnisse zufällig; bei ausreichender Erhöhung der Anzahl der Experimente wird es "fast nicht zufällig" und nähert sich stabilisierend einem konstanten Wert - mat. warten.

Die Eigenschaft der Stabilität von Mittelwerten für eine große Anzahl von Experimenten ist experimentell leicht zu verifizieren. Wenn wir zum Beispiel einen Körper im Labor auf genauen Waagen wiegen, erhalten wir jedes Mal einen neuen Wert als Ergebnis des Wiegens; Um den Beobachtungsfehler zu reduzieren, wiegen wir den Körper mehrmals und verwenden das arithmetische Mittel der erhaltenen Werte. Es ist leicht einzusehen, dass bei weiterer Erhöhung der Versuchszahl (Wägungen) das arithmetische Mittel immer weniger auf diese Erhöhung reagiert und sich bei hinreichend großer Versuchszahl praktisch nicht mehr ändert.

Es sei darauf hingewiesen, dass das wichtigste Merkmal der Position einer Zufallsvariablen mat ist. Erwartung - existiert nicht für alle Zufallsvariablen. Es ist möglich, Beispiele für solche Zufallsvariablen zu machen, für die mat. es gibt keine Erwartung, da die entsprechende Summe oder das entsprechende Integral divergiert. Für die Praxis sind solche Fälle jedoch nicht von großem Interesse. Normalerweise haben die Zufallsvariablen, mit denen wir es zu tun haben, einen begrenzten Bereich möglicher Werte und natürlich eine Matterwartung.

Neben dem wichtigsten Merkmal der Position einer Zufallsvariablen, der Erwartungsmatte, werden in der Praxis mitunter weitere Positionsmerkmale verwendet, insbesondere der Modus und der Median der Zufallsvariablen.

Der Modus einer Zufallsvariablen ist ihr wahrscheinlichster Wert. Der Begriff „wahrscheinlichster Wert“ bezieht sich streng genommen nur auf diskontinuierliche Mengen; für eine kontinuierliche Größe ist der Modus der Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist. Die Abbildungen zeigen den Modus für diskontinuierliche bzw. kontinuierliche Zufallsvariablen.

Weist das Verteilungspolygon (Verteilungskurve) mehr als ein Maximum auf, spricht man von einer „polymodalen“ Verteilung.

Manchmal gibt es Verteilungen, die in der Mitte kein Maximum, sondern ein Minimum haben. Solche Verteilungen werden "antimodal" genannt.

Im allgemeinen Fall stimmen Modus und Erwartungswert einer Zufallsvariablen nicht überein. Im Spezialfall, wenn die Verteilung symmetrisch und modal ist (d. h. einen Modus hat) und es eine Matte gibt. Erwartungswert, dann stimmt sie mit dem Modus und dem Symmetriezentrum der Verteilung überein.

Häufig wird noch ein weiteres Merkmal der Position verwendet – der sogenannte Median einer Zufallsvariablen. Dieses Merkmal wird normalerweise nur für kontinuierliche Zufallsvariablen verwendet, obwohl es auch für eine diskontinuierliche Variable formal definiert werden kann. Geometrisch ist der Median die Abszisse des Punktes, an dem die von der Verteilungskurve begrenzte Fläche halbiert wird.

Bei einer symmetrischen Modalverteilung fällt der Median mit der Matte zusammen. Erwartung und Mode.

Die mathematische Erwartung ist ein Durchschnittswert, eine Zufallsvariable - ein numerisches Merkmal der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen. Ganz allgemein gesagt, die Matterwartung einer Zufallsvariablen X(w) ist als Lebesgue-Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert R im ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsraum:

Matte. Erwartung kann auch als Lebesgue-Integral von berechnet werden X nach Wahrscheinlichkeitsverteilung px Mengen X:

Auf natürliche Weise kann man das Konzept einer Zufallsvariablen mit unendlicher Erwartung definieren. Ein typisches Beispiel sind die Rückführungszeiten bei einigen Irrfahrten.

Mit Hilfe von Matte. Erwartungen werden durch viele numerische und funktionale Merkmale der Verteilung (als mathematischer Erwartungswert der entsprechenden Funktionen einer Zufallsvariablen) definiert, z. B. Erzeugende Funktion, charakteristische Funktion, Momente beliebiger Ordnung, insbesondere Varianz, Kovarianz.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Die mathematische Erwartung ist ein Merkmal der Position der Werte einer Zufallsvariablen (der Durchschnittswert ihrer Verteilung). In dieser Funktion dient der mathematische Erwartungswert als ein "typischer" Verteilungsparameter und seine Rolle ähnelt der Rolle des statischen Moments - der Koordinate des Schwerpunkts der Massenverteilung - in der Mechanik. Von anderen Merkmalen des Ortes, mit deren Hilfe die Verteilung allgemein beschrieben wird – Mediane, Modi, Erwartung – unterscheidet sich der größere Wert, den sie und das entsprechende Streumerkmal – Varianz – in den Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie haben. Die Bedeutung von Erwartungsmatten ergibt sich mit größter Vollständigkeit aus dem Gesetz der großen Zahl (Chebyshevs Ungleichung) und dem verstärkten Gesetz der großen Zahl.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Angenommen, es gibt eine Zufallsvariable, die einen von mehreren numerischen Werten annehmen kann (z. B. kann die Anzahl der Punkte in einem Würfelwurf 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein). Oft stellt sich in der Praxis bei einem solchen Wert die Frage: Welchen Wert nimmt er „im Durchschnitt“ bei einer großen Anzahl von Tests an? Wie hoch wird unsere durchschnittliche Rendite (oder unser Verlust) aus jeder der riskanten Transaktionen sein?

Nehmen wir an, es gibt eine Art Lotterie. Wir möchten verstehen, ob es rentabel ist oder nicht, daran teilzunehmen (oder sogar wiederholt und regelmäßig teilzunehmen). Nehmen wir an, dass jedes vierte Ticket gewinnt, der Preis beträgt 300 Rubel und jedes Ticket - 100 Rubel. Bei unendlich vielen Beteiligungen passiert genau das. In drei Viertel der Fälle werden wir verlieren, alle drei Verluste kosten 300 Rubel. In jedem vierten Fall gewinnen wir 200 Rubel. (Preis minus Kosten), das heißt, bei vier Teilnahmen verlieren wir durchschnittlich 100 Rubel, bei einer - durchschnittlich 25 Rubel. Insgesamt beträgt der Durchschnittspreis unserer Ruine 25 Rubel pro Ticket.

Wir würfeln. Wenn es kein Schummeln ist (ohne den Schwerpunkt zu verschieben usw.), wie viele Punkte haben wir dann im Durchschnitt auf einmal? Da jede Option gleich wahrscheinlich ist, nehmen wir das blöde arithmetische Mittel und erhalten 3,5. Da dies DURCHSCHNITTLICH ist, brauchen Sie sich nicht zu empören, dass kein bestimmter Wurf 3,5 Punkte ergibt - nun, dieser Würfel hat kein Gesicht mit einer solchen Zahl!

Fassen wir nun unsere Beispiele zusammen:

Werfen wir einen Blick auf das Bild oben. Links ist eine Tabelle der Verteilung einer Zufallsvariablen. Der Wert von X kann einen von n möglichen Werten annehmen (in der obersten Zeile angegeben). Es kann keine anderen Werte geben. Unter jedem möglichen Wert ist seine Wahrscheinlichkeit unten signiert. Rechts ist eine Formel, wobei M(X) mat genannt wird. warten. Die Bedeutung dieses Werts ist, dass bei einer großen Anzahl von Versuchen (mit einer großen Stichprobe) der Durchschnittswert genau dieser Erwartung entspricht.

Gehen wir zurück zu demselben Spielwürfel. Matte. die Erwartung der Punktzahl beim Werfen ist 3,5 (rechnen Sie selbst mit der Formel nach, wenn Sie es nicht glauben). Nehmen wir an, Sie haben es ein paar Mal geworfen. 4 und 6 fielen aus, im Durchschnitt waren es 5, also weit entfernt von 3,5. Sie haben es wieder geworfen, 3 sind rausgefallen, das heißt im Durchschnitt (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Irgendwie weit von der Matte entfernt. Erwartungen. Machen Sie jetzt ein verrücktes Experiment - rollen Sie den Würfel 1000 Mal! Und wenn der Durchschnitt nicht genau 3,5 beträgt, dann wird er nahe daran liegen.

Lass uns Mat zählen. Warten auf die oben beschriebene Lotterie. Die Tabelle wird wie folgt aussehen:

Dann ist die Erwartung schachmatt, wie wir oben festgestellt haben.:

Eine andere Sache ist, dass es auch "an den Fingern" liegt, ohne Formel wäre es schwierig, wenn es mehr Optionen gäbe. Nehmen wir an, es gab 75 % verlorene Tickets, 20 % gewonnene Tickets und 5 % gewonnene Tickets.

Nun einige Eigenschaften der Erwartungsmatte.

Matte. Die Wartezeit ist linear. Es ist leicht zu beweisen:

Der konstante Multiplikator darf aus dem Schachmatt-Zeichen herausgenommen werden. Erwartungen, das heißt:

Dies ist ein Spezialfall der Linearitätseigenschaft von Erwartungsmatten.

Eine weitere Folge der Linearität von mat. Erwartungen:

das ist matt. die Erwartung der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Zufallsvariablen.

Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen, dann:

Dies ist auch leicht zu beweisen) XY selbst ist eine Zufallsvariable, während wenn die Anfangswerte annehmen könnten n und m Werte bzw. dann XY kann nm-Werte annehmen. Jeder der Werte wird basierend auf der Tatsache berechnet, dass die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse multipliziert werden. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

Mathematische Erwartung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Kontinuierliche Zufallsvariablen haben eine solche Eigenschaft wie die Verteilungsdichte (Wahrscheinlichkeitsdichte). Tatsächlich kennzeichnet es die Situation, dass eine Zufallsvariable einige Werte aus der Menge der reellen Zahlen häufiger annimmt, andere - seltener. Betrachten Sie zum Beispiel dieses Diagramm:

Hier X- eigentlich eine Zufallsvariable, f(x)- Verteilungsdichte. Nach dieser Grafik zu urteilen, während der Experimente, der Wert X wird oft eine Zahl nahe Null sein. Chancen zu übertreffen 3 oder weniger sein -3 eher rein theoretisch.

Wenn die Verteilungsdichte bekannt ist, wird die Erwartungsmatte wie folgt durchsucht:

Angenommen, es gibt eine Gleichverteilung:

Lass uns eine Matte finden. Erwartung:

Dies steht ganz im Einklang mit dem intuitiven Verständnis. Nehmen wir an, wenn wir viele zufällige reelle Zahlen mit einer gleichmäßigen Verteilung erhalten, jedes Segment |0; 1| , dann sollte das arithmetische Mittel etwa 0,5 betragen.

Die für diskrete Zufallsvariablen anwendbaren Eigenschaften von Erwartungsmatten – Linearität usw. – gelten auch hier.

Die Beziehung der mathematischen Erwartung zu anderen statistischen Indikatoren

BEIM statistisch Analyse, zusammen mit der Erwartung, gibt es ein System voneinander abhängiger Indikatoren, die die Homogenität von Phänomenen und Stabilität widerspiegeln Prozesse. Variationsindikatoren haben oft keine eigenständige Bedeutung und werden für die weitere Datenanalyse verwendet. Die Ausnahme bildet der Variationskoeffizient, der die Homogenität charakterisiert Daten was ist wertvoll statistisch charakteristisch.

Grad der Variabilität oder Stabilität Prozesse in der Statistik kann anhand mehrerer Indikatoren gemessen werden.

Der wichtigste Indikator zur Charakterisierung Variabilität Zufallsvariable, ist Streuung, die am engsten und unmittelbarsten mit der Matte verbunden ist. warten. Dieser Parameter wird aktiv in anderen Arten statistischer Analysen (Hypothesentests, Analyse von Ursache-Wirkungs-Beziehungen usw.) verwendet. Wie die mittlere lineare Abweichung spiegelt auch die Varianz das Streuungsmaß wider Daten um den Durchschnitt.

Es ist sinnvoll, die Zeichensprache in die Wortsprache zu übersetzen. Es stellt sich heraus, dass die Varianz das durchschnittliche Quadrat der Abweichungen ist. Das heißt, zuerst wird der Durchschnittswert berechnet, dann wird die Differenz zwischen jedem Original- und Durchschnittswert genommen, quadriert, aufsummiert und dann durch die Anzahl der Werte in dieser Grundgesamtheit dividiert. Unterschied zwischen einem einzelnen Wert und dem Durchschnitt spiegelt das Maß der Abweichung wider. Es wird quadriert, um sicherzustellen, dass alle Abweichungen ausschließlich positive Zahlen werden, und um eine gegenseitige Aufhebung positiver und negativer Abweichungen zu vermeiden, wenn sie summiert werden. Dann berechnen wir angesichts der quadrierten Abweichungen einfach das arithmetische Mittel. Durchschnitt - quadriert - Abweichungen. Abweichungen werden quadriert und der Durchschnitt berücksichtigt. Die Antwort auf das Zauberwort „Dispersion“ sind nur drei Worte.

In ihrer reinen Form, wie beispielsweise dem arithmetischen Mittel oder , wird die Streuung jedoch nicht verwendet. Es ist vielmehr ein Hilfs- und Zwischenindikator, der für andere Arten statistischer Analysen verwendet wird. Sie hat nicht einmal eine normale Maßeinheit. Nach der Formel zu urteilen, ist dies das Quadrat der ursprünglichen Dateneinheit.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Lassen Sie uns eine Zufallsvariable messen N Mal messen wir zum Beispiel zehn Mal die Windgeschwindigkeit und wollen den Mittelwert finden. Wie hängt der Mittelwert mit der Verteilungsfunktion zusammen?

Oder wir würfeln viele Male. Die Anzahl der Punkte, die bei jedem Wurf auf den Würfel fallen, ist eine Zufallsvariable und kann beliebige natürliche Werte von 1 bis 6 annehmen. N es tendiert zu einer ganz bestimmten Zahl - mat. Erwartung Mx. In diesem Fall ist Mx = 3,5.

Wie kam es zu diesem Wert? Hereinlassen N Versuche n1 sobald 1 Punkt abgezogen wird, n2 mal - 2 Punkte und so weiter. Dann die Anzahl der Ergebnisse, bei denen ein Punkt gefallen ist:

Ähnlich für die Ergebnisse, wenn 2, 3, 4, 5 und 6 Punkte herausfielen.

Nehmen wir nun an, dass wir die Verteilungen der Zufallsvariablen x kennen, d.h. wir wissen, dass die Zufallsvariable x mit den Wahrscheinlichkeiten p1, p2,... die Werte x1, x2,..., xk annehmen kann. , pk.

Der Matterwartungswert Mx einer Zufallsvariablen x ist:

Die mathematische Erwartung ist nicht immer eine vernünftige Schätzung einer Zufallsvariablen. Um den Durchschnittslohn zu schätzen, ist es daher sinnvoller, das Konzept des Medians zu verwenden, dh einen Wert, der die Anzahl der Personen angibt, die weniger als den Median erhalten Gehalt und groß, Streichholz.

Die Wahrscheinlichkeit p1, dass die Zufallsvariable x kleiner als x1/2 ist, und die Wahrscheinlichkeit p2, dass die Zufallsvariable x größer als x1/2 ist, sind gleich und gleich 1/2. Der Median ist nicht für alle Verteilungen eindeutig bestimmt.

Standard oder Standardabweichung in der Statistik wird der Grad der Abweichung von Beobachtungsdaten oder Sätzen vom MITTELWERT bezeichnet. Gekennzeichnet durch die Buchstaben s oder s. Eine kleine Standardabweichung zeigt an, dass die Daten um den Mittelwert gruppiert sind, und eine große Standardabweichung zeigt an, dass die Anfangsdaten weit davon entfernt sind. Die Standardabweichung ist gleich der Quadratwurzel einer Größe, die als Varianz bezeichnet wird. Er ist der Durchschnitt der Summe der quadrierten Differenzen der Ausgangsdaten, die vom Mittelwert abweichen. Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen ist die Quadratwurzel der Varianz:

Beispiel. Berechnen Sie unter Testbedingungen beim Schießen auf eine Zielscheibe die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsvariablen:

Variation- Fluktuation, Variabilität des Wertes des Attributs in Einheiten der Bevölkerung. Separate numerische Werte eines Merkmals, die in der untersuchten Population vorkommen, werden als Wertvarianten bezeichnet. Die Unzulänglichkeit des Durchschnittswerts für eine vollständige Charakterisierung der Population macht es erforderlich, die Durchschnittswerte durch Indikatoren zu ergänzen, die es ermöglichen, die Typizität dieser Durchschnittswerte zu beurteilen, indem die Fluktuation (Variation) des untersuchten Merkmals gemessen wird. Der Variationskoeffizient wird nach folgender Formel berechnet:

Span-Variation(R) ist die Differenz zwischen den Höchst- und Mindestwerten des Merkmals in der untersuchten Population. Dieser Indikator gibt die allgemeinste Vorstellung von der Fluktuation des untersuchten Merkmals, wie er zeigt Unterschied nur zwischen den Grenzwerten der Varianten. Die Abhängigkeit von den Extremwerten des Attributs verleiht der Variationsbreite einen instabilen, zufälligen Charakter.

Durchschnittliche lineare Abweichung ist das arithmetische Mittel der absoluten (modulo) Abweichungen aller Werte der analysierten Grundgesamtheit von ihrem Mittelwert:

Mathematische Erwartung in der Glücksspieltheorie

Mat warten ist der durchschnittliche Geldbetrag, den ein Glücksspielspekulant bei einer bestimmten Wette gewinnen oder verlieren kann. Dies ist ein sehr wichtiges Konzept für einen Spekulanten, da es für die Beurteilung der meisten Spielsituationen von grundlegender Bedeutung ist. Die Matterwartung ist auch das beste Werkzeug, um grundlegende Kartenlayouts und Spielsituationen zu analysieren.

Nehmen wir an, Sie spielen mit einem Freund um Münzen und setzen jedes Mal den gleichen Betrag von 1 $, egal was passiert. Zahl – du hast gewonnen, Kopf – du hast verloren. Die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl kommt, ist eins zu eins und Sie setzen $1 zu $1. Ihre Schachmatt-Erwartung ist also null, weil Mathematisch gesehen können Sie nicht wissen, ob Sie nach zwei Würfen oder nach 200 führen oder verlieren.

Ihr Stundengewinn ist null. Die stündliche Auszahlung ist der Geldbetrag, den Sie in einer Stunde zu gewinnen erwarten. Sie können innerhalb einer Stunde 500 Mal eine Münze werfen, aber Sie werden nicht gewinnen oder verlieren, weil Ihre Chancen sind weder positiv noch negativ. Aus der Sicht eines seriösen Spekulanten ist ein solches Kurssystem nicht schlecht. Aber es ist nur Zeitverschwendung.

Aber nehmen Sie an, jemand möchte im selben Spiel 2 $ gegen Ihren 1 $ setzen. Dann haben Sie sofort eine positive Erwartung von 50 Cent von jeder Wette. Warum 50 Cent? Im Durchschnitt gewinnt man eine Wette und verliert die zweite. Setzen Sie auf den ersten und verlieren Sie 1 $, setzen Sie auf den zweiten und gewinnen Sie 2 $. Sie haben zweimal $1 gesetzt und liegen mit $1 vorne. Jede Ihrer Ein-Dollar-Wetten brachte Ihnen also 50 ein Cent.

Wenn die Münze in einer Stunde 500 Mal fällt, beträgt Ihr Stundengewinn bereits 250 $, denn. im Durchschnitt hast du einen verloren Dollar 250 Mal und gewann zwei Dollar 250 mal. 500 $ minus 250 $ ergibt 250 $, was der Gesamtgewinn ist. Beachten Sie, dass der erwartete Wert, also der Betrag, den Sie durchschnittlich bei einer Einzelwette gewinnen, 50 Cent beträgt. Sie haben 250 $ gewonnen, indem Sie 500 Mal einen Dollar gesetzt haben, was 50 Cent Ihres Einsatzes entspricht.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Matte. Erwartung hat nichts mit kurzfristigen Ergebnissen zu tun. Ihr Gegner, der sich entschieden hat, $2 gegen Sie zu setzen, könnte Sie bei den ersten zehn Würfen in Folge schlagen, aber Sie, mit einem 2-zu-1-Wettvorteil, wenn alles andere gleich ist, machen 50 Cent auf jeden $1-Einsatz unter allen Umstände. Es spielt keine Rolle, ob Sie eine Wette oder mehrere Wetten gewinnen oder verlieren, sondern nur unter der Bedingung, dass Sie über genügend Bargeld verfügen, um die Kosten problemlos zu kompensieren. Wenn Sie weiterhin so setzen, nähern sich Ihre Gewinne über einen längeren Zeitraum der Summe der Erwartungswerte in einzelnen Würfen an.

Jedes Mal, wenn Sie eine beste Wette machen (eine Wette, die auf lange Sicht profitabel sein kann), wenn die Chancen zu Ihren Gunsten stehen, werden Sie zwangsläufig etwas gewinnen, unabhängig davon, ob Sie sie in einer bestimmten Hand verlieren oder nicht. Umgekehrt, wenn Sie eine schlechtere Wette gemacht haben (eine Wette, die auf lange Sicht unrentabel ist), wenn die Chancen nicht zu Ihren Gunsten stehen, verlieren Sie etwas, egal ob Sie die Hand gewinnen oder verlieren.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Sie wetten mit dem besten Ergebnis, wenn Ihre Erwartung positiv ist, und es ist positiv, wenn die Quoten zu Ihren Gunsten stehen. Wenn Sie mit dem schlechtesten Ergebnis wetten, haben Sie eine negative Erwartung, die eintritt, wenn die Chancen gegen Sie stehen. Ernsthafte Spekulanten setzen nur auf das beste Ergebnis, auf das schlechteste - sie passen. Was bedeuten die Chancen zu Ihren Gunsten? Sie können am Ende mehr gewinnen, als die tatsächlichen Quoten bringen. Die realen Chancen, Zahl zu treffen, sind 1 zu 1, aber aufgrund des Einsatzverhältnisses erhalten Sie 2 zu 1. In diesem Fall stehen die Chancen zu Ihren Gunsten. Das beste Ergebnis erzielen Sie definitiv mit einer positiven Erwartung von 50 Cent pro Wette.

Hier ist ein komplexeres Beispiel. Erwartungen. Der Freund schreibt die Zahlen von eins bis fünf auf und wettet $5 gegen Ihre $1, dass Sie die Zahl nicht auswählen. Stimmen Sie einer solchen Wette zu? Was ist hier die Erwartung?

Im Durchschnitt liegen Sie viermal falsch. Auf dieser Grundlage stehen die Chancen dagegen, dass Sie die Zahl erraten, 4 zu 1. Die Chancen stehen gut, dass Sie bei einem Versuch einen Dollar verlieren. Sie gewinnen jedoch 5 zu 1, mit der Möglichkeit, 4 zu 1 zu verlieren. Daher stehen die Chancen zu Ihren Gunsten, Sie können die Wette annehmen und auf das beste Ergebnis hoffen. Wenn Sie diese Wette fünfmal machen, verlieren Sie im Durchschnitt viermal 1 $ und gewinnen einmal 5 $. Auf dieser Grundlage verdienen Sie für alle fünf Versuche 1 $ mit einer positiven mathematischen Erwartung von 20 Cent pro Wette.

Ein Spekulant, der mehr gewinnen wird, als er setzt, wie im obigen Beispiel, fängt die Chancen ein. Umgekehrt ruiniert er die Chancen, wenn er erwartet, weniger zu gewinnen, als er setzt. Der Wettspekulant kann entweder eine positive oder eine negative Erwartung haben, je nachdem, ob er die Quoten fängt oder ruiniert.

Wenn Sie 50 $ setzen, um 10 $ zu gewinnen, mit einer Gewinnchance von 4 zu 1, erhalten Sie eine negative Erwartung von 2 $, weil Im Durchschnitt gewinnen Sie viermal 10 $ und verlieren einmal 50 $, was zeigt, dass der Verlust pro Wette 10 $ beträgt. Aber wenn Sie 30 $ setzen, um 10 $ zu gewinnen, mit den gleichen Gewinnchancen von 4 zu 1, dann haben Sie in diesem Fall eine positive Erwartung von 2 $, weil Sie gewinnen wieder viermal 10 $ und verlieren einmal 30 $, das heißt profitieren bei $10. Diese Beispiele zeigen, dass die erste Wette schlecht und die zweite gut ist.

Matte. Erwartung ist das Zentrum jeder Spielsituation. Wenn ein Buchmacher Fußballfans ermutigt, 11 $ zu setzen, um 10 $ zu gewinnen, haben sie eine positive Erwartung von 50 Cent pro 10 $. Wenn das Casino gleichmäßiges Geld von der Craps-Passlinie auszahlt, dann liegt die positive Erwartung des Hauses bei etwa 1,40 $ pro 100 $; Dieses Spiel ist so strukturiert, dass jeder, der auf diese Linie setzt, im Durchschnitt 50,7 % verliert und in 49,3 % der Fälle gewinnt. Zweifellos ist es diese scheinbar minimale positive Erwartung, die Kasinobesitzern auf der ganzen Welt riesige Gewinne einbringt. Wie Bob Stupak, Inhaber des Casinos Vegas World, bemerkte: „Ein Tausendstel Prozent Eine negative Wahrscheinlichkeit über eine ausreichend lange Distanz wird den reichsten Mann der Welt in den Bankrott treiben.

Mathematische Erwartung beim Pokerspielen

Das Pokerspiel ist das anschaulichste und anschaulichste Beispiel in Bezug auf die Verwendung der Theorie und Eigenschaften der Wartematte.

Matte. Erwarteter Wert beim Poker – der durchschnittliche Nutzen aus einer bestimmten Entscheidung, vorausgesetzt, dass eine solche Entscheidung im Rahmen der Theorie der großen Zahlen und der großen Entfernung betrachtet werden kann. Beim erfolgreichen Pokern geht es darum, Züge immer mit einer positiven mathematischen Erwartung zu akzeptieren.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Mathematische Bedeutung. Erwartung beim Pokern liegt darin, dass wir bei der Entscheidungsfindung oft auf Zufallsvariablen stoßen (wir wissen nicht, welche Karten der Gegner auf der Hand hat, welche Karten in den folgenden Runden kommen handeln). Wir müssen jede der Lösungen unter dem Gesichtspunkt der Theorie der großen Zahlen betrachten, die besagt, dass bei einer ausreichend großen Stichprobe der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen zu ihrem Mittelwert tendiert.

Unter den speziellen Formeln zur Berechnung von Erwartungsmatten ist die folgende beim Poker am besten anwendbar:

Beim Spielen auf der Pokermatte. Die Erwartung kann sowohl für Wetten als auch für Calls berechnet werden. Im ersten Fall sollte die Foldequity berücksichtigt werden, im zweiten Fall die eigenen Odds des Pots. Bei der Bewertung von Mat. Erwartung dieser oder jener Bewegung, sollte daran erinnert werden, dass der Fold immer eine Null-Erwartung hat. Daher ist das Ablegen von Karten immer eine profitablere Entscheidung als jeder negative Zug.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Die Erwartung sagt Ihnen, was Sie für jedes Risiko, das Sie eingehen, erwarten (oder verlieren) können. Kasinos verdienen Geld weil die Schachmatt-Erwartung von allen Spielen, die darin geübt werden, zugunsten des Casinos ist. Bei einer ausreichend langen Spielserie ist damit zu rechnen, dass der Kunde seine verlieren wird Geld denn die "Wahrscheinlichkeit" spricht für das Casino. Professionelle Casino-Spekulanten beschränken ihre Spiele jedoch auf kurze Zeiträume und erhöhen dadurch die Gewinnchancen zu ihren Gunsten. Dasselbe gilt für Investitionen. Wenn Ihre Erwartung positiv ist, können Sie mehr Geld verdienen, indem Sie in kurzer Zeit viele Trades tätigen. Zeitraum Zeit. Die Erwartung ist Ihr Prozentsatz des Gewinns pro Gewinn multipliziert mit Ihrem durchschnittlichen Gewinn minus Ihrer Verlustwahrscheinlichkeit multipliziert mit Ihrem durchschnittlichen Verlust.

Poker kann auch im Hinblick auf Schachmatt betrachtet werden. Sie können davon ausgehen, dass ein bestimmter Zug profitabel ist, aber in einigen Fällen ist es möglicherweise nicht der beste, weil ein anderer Zug profitabler ist. Nehmen wir an, Sie haben beim Five Card Draw Poker ein Full House getroffen. Dein Gegner setzt. Du weißt, dass er callen wird, wenn du den Einsatz erhöhst. Erhöhen scheint also die beste Taktik zu sein. Aber wenn Sie den Einsatz erhöhen, werden die verbleibenden zwei Spekulanten definitiv folden. Aber wenn Sie die Wette callen, sind Sie absolut sicher, dass die anderen beiden Spekulanten nach Ihnen dasselbe tun werden. Wenn Sie den Einsatz erhöhen, erhalten Sie eine Einheit, und wenn Sie einfach mitgehen, zwei. Mitgehen gibt Ihnen also einen höheren positiven Erwartungswert und ist die beste Taktik.

Matte. Abwarten kann auch eine Vorstellung davon geben, welche Pokertaktiken weniger profitabel und welche profitabler sind. Wenn Sie zum Beispiel eine bestimmte Hand spielen und denken, dass Ihr durchschnittlicher Verlust einschließlich der Antes 75 Cent beträgt, dann sollten Sie diese Hand spielen, weil das ist besser als zu folden, wenn der Einsatz $1 beträgt.

Ein weiterer wichtiger Grund, die Essenz von Mat zu verstehen. Die Erwartung ist, dass es Ihnen ein Gefühl der Sicherheit gibt, ob Sie die Wette gewonnen haben oder nicht: Wenn Sie eine gute Wette gemacht oder rechtzeitig ausgestiegen sind, wissen Sie, dass Sie einen bestimmten Geldbetrag verdient oder gespart haben, den der schwächere Spekulant hätte erzielen können nicht sicher. Es ist viel schwieriger zu folden, wenn Sie frustriert sind, dass Ihr Gegner beim Draw eine bessere Hand hat. Bei all dem wird das, was Sie sparen, indem Sie nicht spielen, anstatt zu wetten, zu Ihren Gewinnen pro Nacht oder pro Monat hinzugefügt.

Denken Sie daran, dass Ihr Gegner Sie callen würde, wenn Sie die Hand wechseln würden, und wie Sie im Artikel über das Fundamental Theorem of Poker sehen werden, ist dies nur einer Ihrer Vorteile. Sie sollten sich freuen, wenn dies geschieht. Sie können sogar lernen, eine verlorene Hand zu genießen, weil Sie wissen, dass andere Spekulanten an Ihrer Stelle viel mehr verlieren würden.

Wie im Münzspielbeispiel zu Beginn erwähnt, hängt die stündliche Gewinnquote mit der mathematischen Erwartung zusammen, und dieses Konzept ist besonders wichtig für professionelle Spekulanten. Wenn Sie Poker spielen wollen, müssen Sie im Kopf abschätzen, wie viel Sie in einer Spielstunde gewinnen können. In den meisten Fällen müssen Sie sich auf Ihre Intuition und Erfahrung verlassen, aber Sie können auch einige mathematische Berechnungen verwenden. Wenn Sie zum Beispiel Draw Lowball spielen und sehen, wie drei Spieler 10 $ setzen und dann zwei Karten ziehen, was eine sehr schlechte Taktik ist, können Sie selbst ausrechnen, dass sie jedes Mal, wenn sie 10 $ setzen, etwa 2 $ verlieren. Jeder von ihnen macht das achtmal pro Stunde, was bedeutet, dass alle drei etwa 48 Dollar pro Stunde verlieren. Sie sind einer der verbleibenden vier Spekulanten, die ungefähr gleich groß sind, also müssen sich diese vier Spekulanten (und Sie unter ihnen) 48 $ teilen, und jeder macht einen Gewinn von 12 $ pro Stunde. Ihr Stundensatz ist in diesem Fall einfach Ihr Anteil an dem Geldbetrag, den drei schlechte Spekulanten in einer Stunde verloren haben.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Über einen langen Zeitraum ist der Gesamtgewinn des Spekulanten die Summe seiner mathematischen Erwartungen in getrennten Verteilungen. Je mehr Sie mit positiver Erwartung spielen, desto mehr gewinnen Sie, und umgekehrt, je mehr Hände Sie mit negativer Erwartung spielen, desto mehr verlieren Sie. Daher sollten Sie ein Spiel priorisieren, das Ihre positive Erwartung maximieren oder Ihre negative negieren kann, damit Sie Ihren stündlichen Gewinn maximieren können.

Positive mathematische Erwartung in der Spielstrategie

Wenn Sie wissen, wie man Karten zählt, haben Sie möglicherweise einen Vorteil gegenüber dem Casino, wenn sie es nicht bemerken und Sie rausschmeißen. Casinos lieben betrunkene Spekulanten und hassen Kartenzähler. Der Vorteil ermöglicht es Ihnen, im Laufe der Zeit öfter zu gewinnen als zu verlieren. Gutes Geldmanagement mit Schachmatt-Berechnungen kann Ihnen helfen, mehr aus Ihrem Vorteil herauszuholen und Ihre Verluste zu begrenzen. Ohne einen Vorteil ist es besser, das Geld für wohltätige Zwecke zu spenden. Beim Spiel an der Börse ist der Vorteil durch das System des Spiels gegeben, das mehr Gewinn als Verlust schafft, die Differenz Preise und Provisionen. Keiner Kapitalverwaltung rettet kein schlechtes Spielsystem.

Eine positive Erwartung wird durch einen Wert größer Null definiert. Je größer diese Zahl, desto stärker die statistische Erwartung. Wenn der Wert kleiner als Null ist, dann die Erwartung wird auch negativ sein. Je größer der Modul eines negativen Werts ist, desto schlechter ist die Situation. Wenn das Ergebnis Null ist, dann ist die Erwartung ausgeglichen. Sie können nur gewinnen, wenn Sie eine positive mathematische Erwartung haben, ein vernünftiges Spielsystem. Mit der Intuition zu spielen, führt zur Katastrophe.

Mathematische Erwartung u

Die mathematische Erwartung ist ein ziemlich weit verbreiteter und beliebter statistischer Indikator bei der Implementierung des Börsenhandels auf den Finanzmärkten. Märkte. Dieser Parameter dient zunächst der Erfolgsanalyse handeln. Es ist nicht schwer zu erraten, dass je größer dieser Wert ist, desto mehr Grund gibt es, den untersuchten Handel als erfolgreich zu betrachten. Natürlich Analyse Arbeit Trader kann nicht nur mit Hilfe dieses Parameters vorgenommen werden. Allerdings ist der errechnete Wert in Verbindung mit anderen Methoden zur Beurteilung der Qualität Arbeit, kann die Genauigkeit der Analyse erheblich verbessern.

Die Mat-Erwartung wird häufig in Überwachungsdiensten für Handelskonten berechnet, wodurch Sie die an der Einzahlung geleistete Arbeit schnell bewerten können. Als Ausnahmen können wir Strategien anführen, die das „Overstaying“ von Verlusttrades nutzen. Händler Das Glück kann ihn einige Zeit begleiten, und daher kann es sein, dass es bei seiner Arbeit überhaupt keine Verluste gibt. In diesem Fall ist es nicht möglich, nur anhand der Erwartung zu navigieren, da die bei der Arbeit verwendeten Risiken nicht berücksichtigt werden.

Im Handel weiter Markt Mat Erwartung wird am häufigsten verwendet, wenn die Rentabilität einer Handelsstrategie vorhergesagt wird oder wenn Einkommen prognostiziert wird Händler basierend auf den Statistiken seiner vorherigen Bieten.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

In Bezug auf das Geldmanagement ist es sehr wichtig zu verstehen, dass es kein Schema gibt, wenn Trades mit einer negativen Erwartung getätigt werden Management Geld, das durchaus hohe Gewinne bringen kann. Wenn Sie weiterspielen Börse unter diesen Bedingungen, unabhängig von der Methode Management Geld verlieren Sie Ihr gesamtes Konto, egal wie groß es am Anfang war.

Dieses Axiom gilt nicht nur für Spiele oder Trades mit negativer Erwartung, sondern auch für Spiele mit geraden Quoten. Der einzige Fall, in dem Sie langfristig eine Chance haben, zu profitieren, ist daher, Geschäfte mit einer positiven mathematischen Erwartung abzuschließen.

Der Unterschied zwischen negativer Erwartung und positiver Erwartung ist der Unterschied zwischen Leben und Tod. Es spielt keine Rolle, wie positiv oder negativ die Erwartung ist; Entscheidend ist, ob es positiv oder negativ ist. Daher, bevor Sie Managementfragen in Betracht ziehen Hauptstadt Sie müssen ein Spiel mit einer positiven Erwartung finden.

Wenn Sie dieses Spiel nicht haben, dann wird Sie kein Geldmanagement der Welt retten. Wenn Sie andererseits eine positive Erwartung haben, ist es möglich, sie durch richtiges Geldmanagement in eine exponentielle Wachstumsfunktion umzuwandeln. Es spielt keine Rolle, wie klein die positive Erwartung ist! Mit anderen Worten, es spielt keine Rolle, wie profitabel ein Handelssystem ist, das auf einem Kontrakt basiert. Wenn Sie ein System haben, das bei einem einzelnen Trade 10 $ pro Kontrakt gewinnt (nach Provisionen und Slippage), können Managementtechniken verwendet werden Hauptstadt um es profitabler zu machen als ein System, das einen durchschnittlichen Gewinn von 1.000 $ pro Trade (nach Gebühren und Slippage) aufweist.

Entscheidend ist nicht, wie profitabel das System war, sondern wie sicher gesagt werden kann, dass das System in Zukunft zumindest einen minimalen Gewinn aufweisen wird. Daher ist die wichtigste Vorbereitung, die getroffen werden kann, sicherzustellen, dass das System in Zukunft einen positiven Erwartungswert aufweist.

Um in Zukunft einen positiven Erwartungswert zu haben, ist es sehr wichtig, die Freiheitsgrade Ihres Systems nicht einzuschränken. Dies wird nicht nur dadurch erreicht, dass die Anzahl der zu optimierenden Parameter eliminiert oder reduziert wird, sondern auch, indem so viele Systemregeln wie möglich reduziert werden. Jeder Parameter, den Sie hinzufügen, jede Regel, die Sie erstellen, jede winzige Änderung, die Sie am System vornehmen, verringert die Anzahl der Freiheitsgrade. Idealerweise möchten Sie ein ziemlich primitives und einfaches System aufbauen, das in fast jedem Markt konstant einen kleinen Gewinn bringt. Auch hier ist es wichtig, dass Sie verstehen, dass es keine Rolle spielt, wie profitabel ein System ist, solange es profitabel ist. die Sie beim Trading verdienen, werden durch effektives Geldmanagement verdient.

Mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) ist

Ein Handelssystem ist einfach ein Werkzeug, das Ihnen eine positive mathematische Erwartung gibt, damit Geldmanagement verwendet werden kann. Systeme, die nur in einem oder wenigen Märkten funktionieren (mindestens einen minimalen Gewinn zeigen) oder unterschiedliche Regeln oder Parameter für verschiedene Märkte haben, werden höchstwahrscheinlich nicht lange in Echtzeit funktionieren. Das Problem bei den meisten technischen Händlern ist, dass sie zu viel Zeit und Mühe aufwenden, um die verschiedenen Regeln und Parameter eines Handelssystems zu optimieren. Dies führt zu völlig gegensätzlichen Ergebnissen. Anstatt Energie und Computerzeit für die Steigerung der Gewinne des Handelssystems zu verschwenden, lenken Sie Ihre Energie darauf, das Maß an Zuverlässigkeit bei der Erzielung eines Mindestgewinns zu erhöhen.

Wissend, dass Kapitalverwaltung- Dies ist nur ein Zahlenspiel, das den Einsatz positiver Erwartungen erfordert, der Händler kann aufhören, nach dem "heiligen Gral" des Handels an der Börse zu suchen. Stattdessen kann er damit beginnen, seine Handelsmethode zu testen, herauszufinden, wie logisch diese Methode ist, ob sie positive Erwartungen weckt. Richtige Money-Management-Methoden, die auf alle, sogar sehr mittelmäßigen Handelsmethoden angewendet werden, werden den Rest der Arbeit erledigen.

Damit jeder Trader in seiner Arbeit erfolgreich ist, muss er die drei wichtigsten Aufgaben lösen: Um sicherzustellen, dass die Anzahl erfolgreicher Transaktionen die unvermeidlichen Fehler und Fehlkalkulationen übersteigt; Richten Sie Ihr Handelssystem so ein, dass die Möglichkeit, Geld zu verdienen, so oft wie möglich besteht; Erzielen Sie ein stabiles positives Betriebsergebnis.

Und hier kann für uns arbeitende Trader Schachmatt eine gute Hilfe sein. Erwartung. Dieser Begriff in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist einer der Schlüssel. Damit können Sie eine durchschnittliche Schätzung eines zufälligen Werts abgeben. Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist ähnlich dem Schwerpunkt, wenn wir uns alle möglichen Wahrscheinlichkeiten als Punkte mit unterschiedlichen Massen vorstellen.

In Bezug auf eine Handelsstrategie wird zur Bewertung ihrer Effektivität am häufigsten die Gewinn- (oder Verlusterwartung) verwendet. Dieser Parameter ist definiert als die Summe der Produkte aus gegebener Gewinn- und Verlusthöhe und der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens. Beispielsweise geht die entwickelte Handelsstrategie davon aus, dass 37 % aller Operationen Gewinn bringen und der Rest – 63 % – unrentabel sein wird. Gleichzeitig der Durchschnitt Einkommen aus einer erfolgreichen Transaktion beträgt 7 Dollar, und der durchschnittliche Verlust beträgt 1,4 Dollar. Lassen Sie uns Matte berechnen. Erwartung des Handels auf einem solchen System:

Was bedeutet diese Zahl? Es besagt, dass wir nach den Regeln dieses Systems im Durchschnitt 1.708 Dollar von jeder abgeschlossenen Transaktion erhalten. Da der resultierende Effizienzwert größer als Null ist, kann ein solches System für echte Arbeiten verwendet werden. Wenn sich die Erwartung aufgrund der Berechnung der Matte als negativ herausstellt, deutet dies bereits auf einen durchschnittlichen Verlust hin und führt zum Ruin.

Die Höhe des Gewinns pro Trade kann auch als relativer Wert in Form von % ausgedrückt werden. Zum Beispiel:

Prozentsatz des Einkommens pro 1 Transaktion - 5%;

Der Prozentsatz erfolgreicher Handelsoperationen - 62%;

Prozentsatz des Verlusts pro 1 Trade - 3%;

Der Prozentsatz erfolgloser Transaktionen - 38%;

In diesem Fall Mat. Erwartung wird sein:

Das heißt, die durchschnittliche Transaktion bringt 1,96 %.

Es ist möglich, ein System zu entwickeln, das trotz der Dominanz von Verlusttrades ein positives Ergebnis liefert, da sein MO > 0 ist.

Abwarten allein reicht jedoch nicht. Es ist schwierig, Geld zu verdienen, wenn das System nur sehr wenige Handelssignale liefert. In diesem Fall sind sie vergleichbar mit Bankzinsen. Lassen Sie jede Operation im Durchschnitt nur 0,5 Dollar einbringen, aber was ist, wenn das System von 1000 Transaktionen pro Jahr ausgeht? Dies wird in relativ kurzer Zeit eine sehr ernste Menge sein. Daraus folgt logischerweise, dass als weiteres Kennzeichen eines guten Handelssystems eine kurze Haltedauer angesehen werden kann.

Quellen und Links

dic.academic.ru - akademisches Online-Wörterbuch

mathematik.ru - Bildungsseite für Mathematik

nsu.ru - Bildungswebsite der Staatlichen Universität Nowosibirsk

webmath.ru - ein Bildungsportal für Studenten, Bewerber und Schüler.

exponenta.ru mathematische Bildungsseite

ru.tradimo.com - kostenlose Online-Handelsschule

crypto.hut2.ru - multidisziplinäre Informationsquelle

poker-wiki.ru - kostenlose Poker-Enzyklopädie

sernam.ru - Wissenschaftliche Bibliothek ausgewählter naturwissenschaftlicher Publikationen

reshim.su - Webseite

unfx.ru - Forex bei UNFX: Schulung, Handelssignale, Vertrauensverwaltung

- - Mathematischer Erwartungswert Eines der numerischen Merkmale einer Zufallsvariablen, oft als theoretischer Durchschnitt bezeichnet. Für eine diskrete Zufallsvariable X ist mathematisch ... ... Handbuch für technische Übersetzer

ERWARTETER WERT- (erwarteter Wert) Der durchschnittliche Wert der Verteilung der wirtschaftlichen Variablen, den sie annehmen kann. Wenn pt der Preis des Gutes zum Zeitpunkt t ist, wird seine mathematische Erwartung mit Ept bezeichnet. Zur Angabe des Zeitpunkts, zu dem ... ... Wirtschaftslexikon

Erwarteter Wert- der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen. Die mathematische Erwartung ist eine deterministische Größe. Das arithmetische Mittel der Realisierungen einer Zufallsvariablen ist eine Schätzung der mathematischen Erwartung. Arithmetische Mittel… … Die offizielle Terminologie ist der (Mittelwert) einer Zufallsvariablen ein numerisches Merkmal einer Zufallsvariablen. Wenn eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum gegeben ist (siehe Wahrscheinlichkeitstheorie), dann ist ihr M. o. MX (oder EX) ist definiert als das Lebesgue-Integral: wobei ... Physikalische Enzyklopädie

ERWARTETER WERT- eine Zufallsvariable ist ihre numerische Eigenschaft. Wenn eine Zufallsvariable X eine Verteilungsfunktion F(x) hat, dann ist ihr M. o. Wille: . Wenn die Verteilung von X diskret ist, dann М.о.: , wobei x1, x2, ... mögliche Werte der diskreten Zufallsvariablen X sind; p1 ... Geologische Enzyklopädie

ERWARTETER WERT- Englisch. erwarteter Wert; Deutsch Erwartung Mathematische. Stochastischer Mittelwert oder Streuungszentrum einer Zufallsvariablen. Antinazi. Enzyklopädie der Soziologie, 2009 ... Enzyklopädie der Soziologie

Erwarteter Wert- Siehe auch: Bedingte Erwartung Mathematische Erwartung ist der Mittelwert einer Zufallsvariablen, die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet. In der englischen Literatur und in der Mathematik ... ... Wikipedia

Erwarteter Wert- 1.14 Mathematischer Erwartungswert E (X) wobei xi Werte einer diskreten Zufallsvariablen; p = P (X = xi); f(x) ist die Dichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen * Wenn dieser Ausdruck im Sinne absoluter Konvergenz existiert Quelle ... Wörterbuch-Nachschlagewerk von Begriffen der normativen und technischen Dokumentation

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- die Anzahl der Jungen unter 10 Neugeborenen.

Es ist ziemlich klar, dass diese Zahl nicht im Voraus bekannt ist, und in den nächsten zehn geborenen Kindern kann es sein:

Oder Jungs - der eine und einzige der aufgeführten Optionen.

Und um fit zu bleiben, ein bisschen Sportunterricht:

- Weitsprungdistanz (in einigen Einheiten).

Selbst der Meister des Sports kann es nicht vorhersagen :)

Aber was sind Ihre Hypothesen?

2) Kontinuierliche Zufallsvariable - dauert alles numerische Werte aus einem endlichen oder unendlichen Bereich.

Notiz : Abkürzungen DSV und NSV sind in der pädagogischen Literatur beliebt

Lassen Sie uns zuerst eine diskrete Zufallsvariable analysieren, dann - kontinuierlich.

Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen

- Das Konformität zwischen den möglichen Werten dieser Größe und ihren Wahrscheinlichkeiten. Meistens wird das Gesetz in eine Tabelle geschrieben:

Der Begriff ist recht geläufig Reihe Verteilung, aber in manchen Situationen klingt es zweideutig, und deshalb werde ich mich an das "Gesetz" halten.

Und jetzt sehr wichtiger Punkt: da die Zufallsvariable Notwendig wird akzeptieren einer der Werte, dann bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe und die Summe der Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens gleich eins ist:

oder, falls gefaltet geschrieben:

So hat zum Beispiel das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Würfelpunkten folgende Form:

Keine Kommentare.

Sie haben vielleicht den Eindruck, dass eine diskrete Zufallsvariable nur "gute" ganzzahlige Werte annehmen kann. Lassen Sie uns die Illusion zerstreuen - sie können alles sein:

Beispiel 1

Einige Spiele haben das folgende Auszahlungsverteilungsgesetz:

…wahrscheinlich träumen Sie schon lange von solchen Aufgaben :) Lassen Sie mich Ihnen ein Geheimnis verraten – ich auch. Vor allem nach Arbeitsende Feldtheorie.

Entscheidung: Da eine Zufallsvariable nur einen von drei Werten annehmen kann, bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe, was bedeutet, dass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins ist:

Wir entlarven den "Partisanen":

– die Wahrscheinlichkeit, herkömmliche Einheiten zu gewinnen, beträgt also 0,4.

Kontrolle: Was Sie sicherstellen müssen.

Antworten:

Nicht selten muss das Vertriebsrecht eigenständig erstellt werden. Für diesen Einsatz Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, Multiplikations-/Additionssätze für Ereigniswahrscheinlichkeiten und andere Chips tervera:

Beispiel 2

In der Schachtel befinden sich 50 Lottoscheine, von denen 12 gewinnen, und 2 von ihnen gewinnen jeweils 1000 Rubel und der Rest - jeweils 100 Rubel. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable - die Höhe des Gewinns, wenn ein Ticket zufällig aus der Box gezogen wird.

Entscheidung: Wie Sie bemerkt haben, ist es üblich, die Werte einer Zufallsvariablen einzugeben aufsteigende Reihenfolge. Deshalb beginnen wir mit den kleinsten Gewinnen, nämlich Rubel.

Insgesamt gibt es 50 - 12 = 38 solcher Tickets, und gem klassische Definition:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogenes Los nicht gewinnt.

Die restlichen Fälle sind einfach. Die Wahrscheinlichkeit, Rubel zu gewinnen, beträgt:

Prüfen: - und das ist ein besonders angenehmer Moment bei solchen Aufgaben!

Antworten: das erforderliche Auszahlungsverteilungsgesetz:

Die folgende Aufgabe für eine unabhängige Entscheidung:

Beispiel 3

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, ist . Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable - die Anzahl der Treffer nach 2 Schüssen.

... Ich wusste, dass du ihn vermisst hast :) Wir erinnern uns Multiplikations- und Additionstheoreme. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Das Verteilungsgesetz beschreibt eine Zufallsvariable vollständig, aber in der Praxis ist es nützlich (und manchmal nützlicher), nur einen Teil davon zu kennen. numerische Merkmale .

Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

In einfachen Worten, dies durchschnittlicher Erwartungswert mit wiederholtem Testen. Lassen Sie eine Zufallsvariable Werte mit Wahrscheinlichkeiten annehmen bzw. Dann ist der mathematische Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich Summe der Produkte alle seine Werte durch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

oder in gefalteter Form:

Berechnen wir zum Beispiel die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen - die Anzahl der Punkte, die auf einen Würfel fallen:

Erinnern wir uns nun an unser hypothetisches Spiel:

Es stellt sich die Frage: Ist es überhaupt rentabel, dieses Spiel zu spielen? ... wer hat irgendwelche Eindrücke? „Spontan“ kann man also nicht sagen! Aber diese Frage kann leicht beantwortet werden, indem man im Wesentlichen die mathematische Erwartung berechnet - gewichteter Durchschnitt Gewinnwahrscheinlichkeiten:

So die mathematische Erwartung dieses Spiels verlieren.

Vertrauen Sie keinen Eindrücken - vertrauen Sie Zahlen!

Ja, hier kann man 10 oder sogar 20-30 mal hintereinander gewinnen, aber auf Dauer werden wir unweigerlich ruiniert. Und ich würde dir nicht raten, solche Spiele zu spielen :) Naja, vielleicht nur zum Spass.

Aus alledem folgt, dass die mathematische Erwartung KEIN ZUFÄLLIGER Wert ist.

Kreative Aufgabe zur eigenständigen Recherche:

Beispiel 4

Herr X spielt Europäisches Roulette nach folgendem System: Er setzt ständig 100 Rubel auf Rot. Verfassen Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen - ihre Auszahlung. Berechnen Sie die mathematische Gewinnerwartung und runden Sie sie auf Kopeken auf. Wie viel im mittleren verliert der Spieler für jede hundert Wette?

Referenz : Europäisches Roulette enthält 18 rote, 18 schwarze und 1 grünen Sektor ("Null"). Fällt ein „Rot“ aus, bekommt der Spieler einen doppelten Einsatz ausgezahlt, ansonsten geht es an die Einnahmen des Casinos

Es gibt viele andere Roulette-Systeme, für die Sie Ihre eigenen Wahrscheinlichkeitstabellen erstellen können. Dies ist aber dann der Fall, wenn wir keine Verteilungsgesetze und -tabellen benötigen, weil feststeht, dass die mathematische Erwartung des Spielers genau dieselbe sein wird. Ändert sich nur von System zu System

Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Wenn eine Zufallsvariable nur die Wahrscheinlichkeiten annehmen kann, deren Wahrscheinlichkeiten jeweils gleich sind, dann ist der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariable durch die Gleichheit bestimmt

Wenn eine diskrete Zufallsvariable eine abzählbare Menge möglicher Werte annimmt, dann

Außerdem besteht die mathematische Erwartung, wenn die Reihe auf der rechten Seite der Gleichheit absolut konvergiert.

Kommentar. Aus der Definition folgt, dass die mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen eine nicht zufällige (konstante) Variable ist.

Definition der mathematischen Erwartung im allgemeinen Fall

Definieren wir den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen, deren Verteilung nicht notwendigerweise diskret ist. Beginnen wir mit dem Fall nicht negativer Zufallsvariablen. Die Idee wird sein, solche Zufallsvariablen mit Hilfe diskreter Zufallsvariablen zu approximieren, für die der mathematische Erwartungswert bereits bestimmt ist, und den mathematischen Erwartungswert gleich der Grenze mathematischer Erwartungswerte der ihn approximierenden diskreten Zufallsvariablen zu setzen. Übrigens ist dies eine sehr nützliche allgemeine Idee, die darin besteht, dass einige Eigenschaften zuerst für einfache Objekte bestimmt werden und dann für komplexere Objekte durch Annäherung an einfachere bestimmt werden.

Lemma 1. Es gebe eine beliebige nicht-negative Zufallsvariable. Dann gibt es eine Folge von diskreten Zufallsvariablen wie z

Nachweisen. Lassen Sie uns die Halbachse in gleich lange Segmente teilen und definieren

Dann folgen die Eigenschaften 1 und 2 leicht aus der Definition einer Zufallsvariablen, und

Lemma 2. Sei eine nicht negative Zufallsvariable und und zwei Folgen von diskreten Zufallsvariablen mit den Eigenschaften 1-3 aus Lemma 1. Dann

Nachweisen. Beachten Sie, dass wir für nicht negative Zufallsvariablen zulassen

Anhand von Eigenschaft 3 ist leicht zu erkennen, dass es eine Folge positiver Zahlen gibt, so dass

Daraus folgt das

Unter Verwendung der Eigenschaften mathematischer Erwartungen für diskrete Zufallsvariablen erhalten wir

Übergang zur Grenze, wenn wir die Behauptung von Lemma 2 erhalten.

Definition 1. Sei eine nicht-negative Zufallsvariable, sei eine Folge von diskreten Zufallsvariablen mit den Eigenschaften 1-3 aus Lemma 1. Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist die Zahl

Lemma 2 garantiert, dass es nicht auf die Wahl der Näherungsfolge ankommt.

Sei nun eine beliebige Zufallsvariable. Lassen Sie uns definieren

Aus der Definition und das folgt leicht

Definition 2. Der mathematische Erwartungswert einer beliebigen Zufallsvariablen ist die Zahl

Wenn mindestens eine der Zahlen auf der rechten Seite dieser Gleichheit endlich ist.

Erwartungseigenschaften

Eigenschaft 1. Die mathematische Erwartung eines konstanten Werts ist gleich der Konstante selbst:

Nachweisen. Wir betrachten eine Konstante als eine diskrete Zufallsvariable, die einen möglichen Wert hat und ihn mit Wahrscheinlichkeit annimmt, daher

Bemerkung 1. Wir definieren das Produkt eines konstanten Werts durch eine diskrete Zufallsvariable als eine diskrete Zufallsvariable, deren mögliche Werte gleich den Produkten einer Konstanten durch mögliche Werte sind; die Wahrscheinlichkeiten möglicher Werte sind gleich den Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden möglichen Werte. Wenn beispielsweise die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Werts gleich ist, dann ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einen Wert annimmt, gleich

Eigenschaft 2. Aus dem Erwartungszeichen kann ein konstanter Faktor entnommen werden:

Nachweisen. Die Zufallsvariable sei durch das Wahrgegeben:

Unter Berücksichtigung von Bemerkung 1 schreiben wir das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen

Bemerkung 2. Bevor wir zur nächsten Eigenschaft übergehen, weisen wir darauf hin, dass zwei Zufallsvariablen als unabhängig bezeichnet werden, wenn das Verteilungsgesetz einer von ihnen nicht davon abhängt, welche möglichen Werte die andere Variable angenommen hat. Ansonsten sind die Zufallsvariablen abhängig. Mehrere Zufallsvariablen werden als voneinander unabhängig bezeichnet, wenn die Verteilungsgesetze einer beliebigen Anzahl von ihnen nicht davon abhängen, welche möglichen Werte die anderen Variablen angenommen haben.

Bemerkung 3. Wir definieren das Produkt unabhängiger Zufallsvariablen und als Zufallsvariable, deren mögliche Werte gleich den Produkten jedes möglichen Werts sind, indem jeder mögliche Wert der Wahrscheinlichkeiten der möglichen Werte des Produkts gleich ist zu den Produkten der Wahrscheinlichkeiten der möglichen Werte der Faktoren. Wenn zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Werts ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Werts die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Werts ist

Eigenschaft 3. Die mathematische Erwartung des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

Nachweisen. Seien unabhängige Zufallsvariablen und durch ihre eigenen Wahrsgegeben:

Lassen Sie uns alle Werte zusammenstellen, die eine Zufallsvariable annehmen kann. Dazu multiplizieren wir alle möglichen Werte mit jedem möglichen Wert; als Ergebnis erhalten und schreiben wir unter Berücksichtigung von Bemerkung 3 das Verteilungsgesetz, indem wir der Einfachheit halber annehmen, dass alle möglichen Werte des Produkts verschieden sind (ist dies nicht der Fall, dann wird der Beweis analog geführt):

Die mathematische Erwartung ist gleich der Summe der Produkte aller möglichen Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten:

Folge. Der mathematische Erwartungswert des Produkts mehrerer voneinander unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungswerte.

Eigenschaft 4. Die mathematische Erwartung der Summe zweier Zufallsvariablen ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Terme:

Nachweisen. Seien Zufallsvariablen und durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:

Stellen Sie alle möglichen Werte der Menge zusammen. Fügen Sie dazu jeden möglichen Wert zu jedem möglichen Wert hinzu; nehmen wir der Einfachheit halber an, dass diese möglichen Werte unterschiedlich sind (ist dies nicht der Fall, dann wird der Beweis auf ähnliche Weise geführt), und bezeichnen ihre Wahrscheinlichkeiten jeweils mit bzw

Die mathematische Erwartung einer Größe ist gleich der Summe der Produkte möglicher Werte durch ihre Wahrscheinlichkeiten:

Beweisen wir, dass ein Ereignis, das darin besteht, einen Wert zu nehmen (die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist gleich), ein Ereignis nach sich zieht, das darin besteht, den Wert oder zu nehmen (die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist gleich nach dem Additionssatz) und umgekehrt. Daraus folgt, dass die Gleichheiten

Durch Einsetzen der rechten Teile dieser Gleichheiten in die Beziehung (*) erhalten wir

oder endlich

Dispersion und Standardabweichung

In der Praxis ist es oft erforderlich, die Streuung möglicher Werte einer Zufallsvariablen um ihren Mittelwert abzuschätzen. In der Artillerie ist es beispielsweise wichtig zu wissen, wie dicht die Granaten in der Nähe des zu treffenden Ziels einschlagen.

Auf den ersten Blick scheint es, als ob die Streuung am einfachsten geschätzt werden kann, indem man alle möglichen Werte der Abweichung einer Zufallsvariablen berechnet und dann ihren Durchschnittswert ermittelt. Dieser Pfad wird jedoch nichts aussagen, da der Mittelwert der Abweichung, d.h. für jede Zufallsvariable ist Null. Diese Eigenschaft erklärt sich aus der Tatsache, dass einige mögliche Abweichungen positiv sind, während andere negativ sind; infolge ihrer gegenseitigen Aufhebung ist der Mittelwert der Abweichung Null. Diese Überlegungen weisen auf die Zweckmäßigkeit hin, mögliche Abweichungen durch ihre absoluten Werte oder ihre Quadrate zu ersetzen. So machen sie es in der Praxis. In dem Fall, in dem mögliche Abweichungen durch ihre absoluten Werte ersetzt werden, muss man zwar mit absoluten Werten arbeiten, was manchmal zu ernsthaften Schwierigkeiten führt. Daher gehen sie meistens in die andere Richtung, d.h. Berechnen Sie den Mittelwert der quadrierten Abweichung, die als Varianz bezeichnet wird.