Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird durch eine Formel definiert. Formeln für Derivate. Schutz personenbezogener Daten

AUS Korrekturlesen von Materialien zum Thema "Derivate". Grundschulniveau.
Theoretische Informationen für Schüler, Lehrer und Tutoren in Mathematik. Um beim Unterricht zu helfen.

Definition: die Ableitung einer Funktion an einem Punkt heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement der Variablen, das heißt

Tabelle der Ableitungen grundlegender mathematischer Funktionen:

Regeln zur Berechnung von Derivaten

Ableitung von Summe zweier Ausdrücke ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Ausdrücke (die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen)

Differenzableitung zweier Ausdrücke ist gleich der Differenz der Ableitungen dieser Terme (die Ableitung der Differenz ist gleich der Differenz der Ableitungen).

Ableitung des Produkts zwei Faktoren ist gleich dem Produkt der Ableitung des ersten Faktors durch den zweiten plus dem Produkt des ersten Faktors durch die Ableitung des zweiten (der Summe der Ableitungen der Faktoren, die der Reihe nach genommen werden).
Kommentar des Mathelehrers: Wenn ich den Schüler in kurzen Sätzen an die Regel zur Berechnung der Ableitung eines Produkts erinnere, sage ich dies: die Ableitung des ersten Faktors durch den zweiten plus Schlag Austausch!

Ableitung des Quotienten zweier Ausdrücke ist gleich dem Quotienten aus der Differenz abwechselnd genommener Ableitungen der Faktoren und dem Quadrat des Nenners.

Ableitung des Produkts einer Zahl und einer Funktion. Um die Ableitung des Produkts einer Zahl und eines wörtlichen Ausdrucks (einer Funktion) zu finden, müssen Sie diese Zahl mit der Ableitung dieses wörtlichen Ausdrucks multiplizieren.

Ableitung einer komplexen Funktion:

Um die Ableitung einer komplexen Funktion zu berechnen, musst du die Ableitung der äußeren Funktion finden und sie mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Ihre Kommentare und Ihr Feedback zur Seite mit Derivaten:
Alexander S.
Ich brauchte dringend einen Tisch. Einer der meisten im Internet. Vielen Dank für die Erklärungen und Regeln. Mindestens ein weiteres Beispiel für sie und im Allgemeinen wäre es großartig. Danke noch einmal.

Kolpakov A.N., Tutor für Mathematik: ok, ich werde versuchen, die Seite bald mit Beispielen zu aktualisieren.

Virtuelles mathematisches Nachschlagewerk.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, Tutor für Mathematik.

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Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differentiation genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen, Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen zu finden, indem die Ableitung als Grenze des Verhältnisses des Inkrements zum Inkrement des Arguments definiert wurde, erschien eine Ableitungstabelle und genau definierte Ableitungsregeln . Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren die ersten, die sich mit dem Auffinden von Derivaten beschäftigten.

Um die Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, ist es daher heutzutage nicht erforderlich, die oben erwähnte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern nur die Tabelle zu verwenden von Derivaten und die Regeln der Differenzierung. Der folgende Algorithmus eignet sich zum Auffinden der Ableitung.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen einfache Funktionen zerlegen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) diese Funktionen sind verwandt. Außerdem finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen des Produkts, der Summe und des Quotienten - in den Ableitungsregeln. Die Ableitungstabelle und Ableitungsregeln folgen nach den ersten beiden Beispielen.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Ableitungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen der Funktionen ist, d.h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von "X" gleich eins ist und die Ableitung des Sinus Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Als Ableitung der Summe differenzieren, bei der der zweite Term mit konstantem Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung genommen werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden sie in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Ableitungsregeln klar. Wir gehen gleich zu ihnen.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstanten (Zahl). Jede Zahl (1, 2, 5, 200 ...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer null. Es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, da es sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Meistens "x". Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, sich daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nicht-Quadratwurzeln in eine Potenz umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen hoch -1
5. Ableitung der Quadratwurzel
6. Sinusableitung
7. Cosinus-Ableitung
8. Tangensableitung
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arkuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des inversen Tangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung der Exponentialfunktion

Abgrenzungsregeln

1. Ableitung der Summe oder Differenz
2. Derivat eines Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar sind, dann an der gleichen Stelle die Funktionen

und

diese. die Ableitung der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen durch eine Konstante unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen, d.h.

Regel 2Wenn funktioniert

an einer Stelle differenzierbar sind, dann ist auch ihr Produkt an derselben Stelle differenzierbar

und

diese. die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folge 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden:

Folge 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes der Faktoren und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar.u/v und

diese. die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner das Quadrat des ersteren Zählers ist .

Wo kann man auf anderen Seiten suchen

Bei der Bestimmung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Ableitungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie weitere Beispiele zu diesen Ableitungen im Artikel."Die Ableitung eines Produkts und eines Quotienten".

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist dessen Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird er aus dem Vorzeichen der Ableitungen herausgenommen. Dies ist ein typischer Fehler, der in der Anfangsphase des Ableitungsstudiums auftritt, aber wenn der durchschnittliche Schüler mehrere Ein-Zwei-Komponenten-Beispiele löst, macht der durchschnittliche Schüler diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie beim Differenzieren eines Produkts oder eines Quotienten einen Begriff haben u"v, indem u- eine Zahl, z. B. 2 oder 5, dh eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert). .

Ein weiterer häufiger Fehler ist die mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion einem eigenen Artikel gewidmet. Aber zuerst werden wir lernen, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise in neuen Windows-Handbüchern öffnen Aktionen mit Kräften und Wurzeln und Aktionen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, dh wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion " Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln".

Wenn Sie eine Aufgabe wie z , dann befinden Sie sich in der Lektion "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen".

Schritt-für-Schritt-Beispiele - wie man die Ableitung findet

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir bestimmen die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt das Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, von denen einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. Also wird "x" zu eins und minus 5 - zu null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten die folgenden Werte von Derivaten:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die durch die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten finden. Wir wenden die Formel zum Ableiten eines Quotienten an: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für solche Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Stapel von Wurzeln und Graden gibt, wie zum Beispiel dann willkommen im Unterricht "Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln" .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren möchten, das heißt, wann die Funktion aussieht , dann hast du Unterricht "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen" .

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen einer der Faktoren die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, mit deren Ableitung wir uns in der Ableitungstabelle vertraut gemacht haben. Nach der Produktdifferenzierungsregel und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir den Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Nach der Ableitungsregel des Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um den Bruch im Zähler loszuwerden, multipliziere Zähler und Nenner mit .

Was ist eine Ableitungsfunktion - das ist das mathematische Hauptkonzept, das in der Analyse auf der gleichen Ebene wie Integrale steht. Diese Funktion an einem bestimmten Punkt gibt eine Eigenschaft der Änderungsrate der Funktion an einem bestimmten Punkt an.
Begriffe wie Differentiation und Integration, der erste steht für die Aktion, eine Ableitung zu finden, der zweite hingegen stellt die Funktion ausgehend von dieser Ableitung wieder her.
Ableitungsrechnungen spielen bei Differentialrechnungen eine wichtige Rolle.
Als anschauliches Beispiel stellen wir die Ableitung auf der Koordinatenebene dar.

In der Funktion y \u003d f (x) legen wir die Punkte M fest, an denen (x0; f (X0)) und N f (x0 +? x) auf jeder Abszisse ein Inkrement in der Form x vorhanden ist. Ein Inkrement ist der Vorgang, bei dem sich die Abszisse ändert, dann ändert sich auch die Ordinate. Bezeichnet als?
Lassen Sie uns den Tangens des Winkels im Dreieck MPN finden, indem wir dafür die Punkte M und N verwenden.

tg? = NP/MP = ?y/?x.

x geht auf 0. Das Schneiden von MN nähert sich der Tangente MT und dem Winkel &agr; wird sein?. Also, tg? Maximalwert für tg ?.

tg? = lim von?x-0 tg ? = lim von?x-0 ?y/?x

Ableitungstabelle

Wenn Sie den Wortlaut von jedem aussprechen Ableitungsformeln. Die Tabelle wird leichter zu merken sein.
1) Die Ableitung eines konstanten Werts ist 0.
2) X mit einem Strich ist gleich eins.
3) Wenn es einen konstanten Faktor gibt, nehmen wir einfach eo für die Ableitung heraus.
4) Um die Ableitungspotenz zu finden, müssen Sie den Exponenten dieses Grades mit dem Exponenten mit derselben Basis multiplizieren, bei dem der Exponent um 1 kleiner ist.
5) Das Finden einer Wurzel ist eins dividiert durch 2 dieser Wurzeln.
6) Die Ableitung von Eins dividiert durch X ist gleich Eins dividiert durch X zum Quadrat, mit einem Minuszeichen.
7) P Sinus ist gleich Kosinus
8) P Cosinus ist gleich dem Sinus mit Minuszeichen.
9) P-Tangens ist gleich eins dividiert durch den quadrierten Kosinus.
10) Der P-Kotangens ist gleich eins mit einem Minuszeichen, dividiert durch den Sinus im Quadrat.

Zur Differenzierung gibt es auch Regeln, die man auch leichter lernt, indem man sie laut ausspricht.

1) Ganz einfach, die Anzahl der Terme ist gleich ihrer Summe.
2) Die Ableitung bei der Multiplikation ist gleich der Multiplikation des ersten Werts mit dem zweiten, wobei die Multiplikation des zweiten Werts mit dem ersten zu sich selbst addiert wird.
3) Die Ableitung bei der Division ist gleich der Multiplikation des ersten Werts mit dem zweiten, subtrahiert von sich selbst die Multiplikation des zweiten Werts mit dem ersten. Der Bruch geteilt durch den zweiten Wert zum Quadrat.
4) Die Formulierung ist ein Sonderfall der dritten Formel.

In dieser Lektion beschäftigen wir uns weiter mit den Ableitungen von Funktionen und gehen zu einem komplexeren Thema über, nämlich den Ableitungen des Produkts und des Quotienten. Wenn Sie die vorherige Lektion gesehen haben, haben Sie wahrscheinlich verstanden, dass wir nur die einfachsten Konstruktionen betrachtet haben, nämlich die Ableitung einer Potenzfunktion, Summen und Differenzen. Insbesondere haben wir gelernt, dass die Ableitung der Summe gleich ihrer Summe und die Ableitung der Differenz gleich ihrer Differenz ist. Leider werden die Formeln bei Ableitungen des Quotienten und des Produkts viel komplizierter. Beginnen wir mit der Formel für die Ableitung eines Funktionsprodukts.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Zunächst erlaube ich mir einen kleinen lyrischen Exkurs. Tatsache ist, dass es in dieser Lektion neben der Standard-Potenzfunktion $y=((x)^(n))$ auch andere Funktionen geben wird, nämlich $y=\sin x$ sowie $y =\ cos x$ und andere Trigonometrie - $y=tgx$ und natürlich $y=ctgx$.

Wenn wir alle die Ableitung einer Potenzfunktion genau kennen, nämlich $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, dann ist as für trigonometrische Funktionen müssen gesondert erwähnt werden. Lass uns schreiben:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Aber Sie kennen diese Formeln sehr gut, gehen wir weiter.

Was ist ein Derivat eines Produkts?

Das Wichtigste zuerst: Wenn eine Funktion ein Produkt zweier anderer Funktionen ist, zum Beispiel $f\cdot g$, dann ist die Ableitung dieser Konstruktion gleich dem folgenden Ausdruck:

Wie Sie sehen können, ist diese Formel deutlich anders und komplexer als die Formeln, die wir zuvor betrachtet haben. Beispielsweise wird die Ableitung der Summe als elementar betrachtet — $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, oder die Ableitung der Differenz, was auch als elementar gilt — $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Versuchen wir, die erste Formel anzuwenden, um die Ableitungen zweier Funktionen zu berechnen, die uns in der Aufgabe gegeben sind. Beginnen wir mit dem ersten Beispiel:

Es ist offensichtlich, dass die folgende Konstruktion als Produkt fungiert, genauer gesagt als Faktor: $((x)^(3))$, das wir als $f$ betrachten können, und $\left(x-5 \right) $ können wir als $g$ betrachten. Dann ist ihr Produkt nur das Produkt zweier Funktionen. Wir entscheiden:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ rechts))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Schauen wir uns nun jeden unserer Begriffe genauer an. Wir sehen, dass sowohl der erste als auch der zweite Term die Potenz von $x$ enthalten: im ersten Fall ist es $((x)^(2))$, und im zweiten Fall ist es $((x)^(3) )$. Nehmen wir den kleinsten Grad aus Klammern, er bleibt in der Klammer:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15) \\\end(align)\]

Alle fanden wir die Antwort.

Wir kehren zu unseren Aufgaben zurück und versuchen zu lösen:

Schreiben wir also um:

Auch hier stellen wir fest, dass wir über das Produkt des Produkts zweier Funktionen sprechen: $x$, das mit $f$ bezeichnet werden kann, und $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, was möglich ist mit $g$ bezeichnet werden.

Damit haben wir wieder das Produkt zweier Funktionen. Um die Ableitung der Funktion $f\left(x \right)$ zu finden, verwenden wir wieder unsere Formel. Wir bekommen:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Antwort gefunden.

Warum Derivate faktorisieren?

Wir haben gerade einige sehr wichtige mathematische Tatsachen verwendet, die an sich nichts mit Derivaten zu tun haben, aber ohne ihr Wissen macht jedes weitere Studium dieses Themas einfach keinen Sinn.

Erstens, nachdem wir das allererste Problem gelöst und bereits alle Vorzeichen der Ableitungen beseitigt hatten, begannen wir aus irgendeinem Grund, diesen Ausdruck zu faktorisieren.

Zweitens sind wir bei der Lösung des folgenden Problems mehrmals von der Wurzel zum Grad mit einem rationalen Exponenten und umgekehrt gegangen, während wir die Formel des 8. bis 9. Grades verwendet haben, die separat wiederholt werden sollte.

In Bezug auf die Faktorisierung - warum brauchen wir all diese zusätzlichen Anstrengungen und Transformationen? In der Tat, wenn das Problem einfach sagt "Finde die Ableitung einer Funktion", dann sind diese zusätzlichen Schritte nicht erforderlich. Bei echten Problemen, die Sie bei diversen Klausuren und Tests erwarten, reicht es jedoch oft nicht aus, nur die Ableitung zu finden. Tatsache ist, dass die Ableitung nur ein Werkzeug ist, mit dem Sie beispielsweise eine Zunahme oder Abnahme einer Funktion herausfinden können, und dazu müssen Sie die Gleichung lösen, sie faktorisieren. Und hier wird diese Technik sehr geeignet sein. Und im Allgemeinen ist es mit einer in Faktoren zerlegten Funktion viel bequemer und angenehmer, in Zukunft zu arbeiten, wenn Transformationen erforderlich sind. Deshalb Regel Nummer 1: Wenn die Ableitung faktorisiert werden kann, sollten Sie genau das tun. Und sofort Regel Nummer 2 (tatsächlich ist dies das Material der 8. bis 9. Klasse): Wenn die Wurzel im Problem auftritt n-ten Grades ist außerdem die Wurzel deutlich größer als zwei, dann kann diese Wurzel durch einen gewöhnlichen Grad mit einem rationalen Exponenten ersetzt werden, und im Exponenten erscheint ein Bruch, wo n- gleicher Grad - wird im Nenner dieses Bruchs stehen.

Natürlich, wenn unter der Wurzel ein gewisser Grad steht (in unserem Fall ist dies der Grad k), dann geht es nirgendwo hin, sondern erscheint einfach im Zähler eben dieses Grades.

Und jetzt, da Sie das alles verstehen, gehen wir zurück zu den Ableitungen des Produkts und berechnen ein paar weitere Gleichungen.

Aber bevor ich direkt zu den Berechnungen übergehe, möchte ich die folgenden Muster in Erinnerung rufen:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Betrachten Sie das erste Beispiel:

Wir haben wieder ein Produkt aus zwei Funktionen: Die erste ist $f$, die zweite ist $g$. Ich erinnere Sie an die Formel:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Entscheiden wir:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Kommen wir zur zweiten Funktion:

Auch hier ist $\left(3x-2 \right)$ eine Funktion von $f$, $\cos x$ ist eine Funktion von $g$. Die Gesamtableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime))\]

Schreiben wir getrennt:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Wir faktorisieren diesen Ausdruck nicht in Faktoren, da dies noch nicht die endgültige Antwort ist. Jetzt müssen wir den zweiten Teil lösen. Schreiben wir es auf:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Und jetzt kehren wir zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück und sammeln alles in einer einzigen Struktur:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Das ist es, das ist die endgültige Antwort.

Kommen wir zum letzten Beispiel - es wird das komplexeste und umfangreichste in Bezug auf Berechnungen sein. Also ein Beispiel:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Wir zählen jeden Teil einzeln:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Um zur ursprünglichen Funktion zurückzukehren, berechnen wir ihre Ableitung als Ganzes:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Das ist eigentlich alles, was ich über die Ableitungen der Arbeit sagen wollte. Wie Sie sehen können, besteht das Hauptproblem der Formel nicht darin, sie auswendig zu lernen, sondern darin, dass eine ziemlich große Menge an Berechnungen erhalten wird. Aber das ist in Ordnung, denn jetzt kommen wir zur Ableitung des Quotienten, wo wir uns sehr anstrengen müssen.

Was ist die Ableitung eines Quotienten?

Also die Formel für die Ableitung eines Quotienten. Vielleicht ist dies die schwierigste Formel im Schulderivatekurs. Angenommen, wir haben eine Funktion der Form $\frac(f)(g)$, wobei $f$ und $g$ ebenfalls Funktionen sind, die auch unvollendet sein können. Dann wird es nach folgender Formel berechnet:

Der Zähler erinnert uns irgendwie an die Formel für die Ableitung des Produkts, allerdings steht zwischen den Gliedern ein Minuszeichen und zum Nenner wurde auch das Quadrat des ursprünglichen Nenners hinzugefügt. Mal sehen, wie das in der Praxis funktioniert:

Versuchen wir zu lösen:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Ich schlage vor, jeden Teil einzeln aufzuschreiben und aufzuschreiben:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ rechts))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Wir schreiben unseren Ausdruck um:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right ))^(2))) \\\end(align)\]

Wir haben die Antwort gefunden. Kommen wir zur zweiten Funktion:

Gemessen an der Tatsache, dass sein Zähler nur eins ist, werden die Berechnungen hier etwas einfacher sein. Schreiben wir also:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\links(((x)^(2))+4 \rechts))^(2)))\]

Lassen Sie uns jeden Teil des Beispiels einzeln zählen:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Wir schreiben unseren Ausdruck um:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Wir haben die Antwort gefunden. Der Rechenaufwand fiel erwartungsgemäß deutlich geringer aus als bei der ersten Funktion.

Was ist der Unterschied zwischen den Notationen?

Aufmerksame Schüler haben wahrscheinlich schon eine Frage: Warum bezeichnen wir in manchen Fällen die Funktion als $f\left(x \right)$, während wir in anderen Fällen nur $y$ schreiben? Tatsächlich gibt es aus mathematischer Sicht absolut keinen Unterschied - Sie haben das Recht, sowohl die erste als auch die zweite Bezeichnung zu verwenden, und es gibt keine Strafen für Prüfungen und Tests. Für diejenigen, die es noch interessiert, werde ich erklären, warum die Autoren von Lehrbüchern und Aufgaben in einigen Fällen $f\left(x \right)$ schreiben und in anderen (viel häufiger) nur $y$. Die Sache ist die, dass wir durch das Schreiben einer Funktion in der Form \ demjenigen, der unsere Berechnungen liest, implizit andeuten, dass wir über die algebraische Interpretation der funktionalen Abhängigkeit sprechen. Das heißt, es gibt eine Variable $x$, wir betrachten die Abhängigkeit von dieser Variablen und bezeichnen sie mit $f\left(x \right)$. Gleichzeitig erwartet derjenige, der Ihre Berechnungen liest, beispielsweise der Verifizierer, nach einer solchen Notation unbewusst, dass ihn in Zukunft nur noch algebraische Transformationen erwarten - keine Graphen und keine Geometrie.

Andererseits machen wir mit der Notation der Form \, also der Bezeichnung der Variablen mit einem einzigen Buchstaben, sofort klar, dass uns in Zukunft genau die geometrische Interpretation der Funktion interessiert, also primär interessiert in seiner Grafik. Dementsprechend hat der Leser angesichts eines Datensatzes der Form \ das Recht, anschauliche Berechnungen, also Graphen, Konstruktionen usw. zu erwarten, auf keinen Fall aber analytische Transformationen.

Ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auch auf ein Merkmal der Gestaltung der Aufgaben lenken, über die wir heute nachdenken. Viele Studenten denken, dass ich zu detaillierte Berechnungen anführe, und viele davon könnten übersprungen oder einfach in meinem Kopf gelöst werden. Aber gerade eine solch detaillierte Protokollierung ermöglicht es Ihnen, beleidigende Fehler aus dem Weg zu räumen und den Anteil richtig gelöster Probleme deutlich zu erhöhen, beispielsweise bei der Selbstvorbereitung auf Tests oder Prüfungen. Wenn Sie sich Ihrer Fähigkeiten noch nicht sicher sind, wenn Sie gerade erst anfangen, dieses Thema zu studieren, beeilen Sie sich nicht - beschreiben Sie jeden Schritt im Detail, schreiben Sie jeden Multiplikator, jeden Schlag auf, und sehr bald werden Sie lernen, wie Sie solche Beispiele lösen besser als viele Schullehrer. Ich hoffe, das ist verständlich. Zählen wir noch ein paar Beispiele.

Mehrere interessante Herausforderungen

Diesmal ist, wie wir sehen, Trigonometrie in der Zusammensetzung der berechneten Ableitungen vorhanden. Also lassen Sie mich Sie an Folgendes erinnern:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Auf die Ableitung des Quotienten können wir natürlich nicht verzichten, nämlich:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Betrachten Sie die erste Funktion:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Wir haben also die Lösung für diesen Ausdruck gefunden.

Kommen wir zum zweiten Beispiel:

Es ist offensichtlich, dass ihre Ableitung komplexer sein wird, schon allein deshalb, weil Trigonometrie sowohl im Zähler als auch im Nenner dieser Funktion vorhanden ist. Wir entscheiden:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Beachten Sie, dass wir ein Derivat des Produkts haben. In diesem Fall ist es gleich:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ rechts))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Wir kehren zu unseren Berechnungen zurück. Wir schreiben auf:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben gezählt.

Wie reduziert man die Ableitung eines Quotienten auf eine einfache Formel für die Ableitung eines Produkts?

Und hier möchte ich eine sehr wichtige Bemerkung zu spezifisch trigonometrischen Funktionen machen. Der Punkt ist, dass unsere ursprüngliche Konstruktion einen Ausdruck der Form $\frac(\sin x)(\cos x)$ enthält, der einfach durch $tgx$ ersetzt werden kann. Daher werden wir die Ableitung des Quotienten auf eine einfachere Formel für die Ableitung des Produkts zurückführen. Lassen Sie uns dieses Beispiel noch einmal berechnen und die Ergebnisse vergleichen.

Also müssen wir uns jetzt folgendes überlegen:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Lassen Sie uns unsere ursprüngliche Funktion $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ unter Berücksichtigung dieser Tatsache umschreiben. Wir bekommen:

Lass uns zählen:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Wenn wir nun das Ergebnis mit dem vergleichen, was wir früher erhalten haben, wenn wir auf andere Weise rechnen, stellen wir sicher, dass wir denselben Ausdruck erhalten haben. Egal, welchen Weg wir bei der Berechnung der Ableitung gehen, wenn alles richtig berechnet wird, wird die Antwort dieselbe sein.

Wichtige Nuancen bei der Lösung von Problemen

Abschließend möchte ich Ihnen noch eine Feinheit im Zusammenhang mit der Berechnung der Ableitung eines Quotienten mitteilen. Was ich Ihnen jetzt sagen werde, war nicht im ursprünglichen Skript des Video-Tutorials enthalten. Ein paar Stunden vor dem Dreh lernte ich jedoch mit einem meiner Studenten, und wir haben gerade das Thema Ableitungen des Quotienten geklärt. Und wie sich herausstellte, verstehen viele Studenten diesen Punkt nicht. Nehmen wir also an, wir müssen die unprim der folgenden Funktion zählen:

Im Prinzip ist auf den ersten Blick nichts Übernatürliches darin. Allerdings können uns bei der Berechnung viele dumme und anstößige Fehler unterlaufen, die ich jetzt analysieren möchte.

Also betrachten wir diese Ableitung. Beachten Sie zunächst, dass wir den Term $3((x)^(2))$ haben, daher ist es angebracht, sich an die folgende Formel zu erinnern:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Außerdem haben wir den Term $\frac(48)(x)$ — wir behandeln ihn durch die Ableitung des Quotienten, nämlich:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Entscheiden wir also:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Beim ersten Term gibt es keine Probleme, siehe:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Aber mit dem ersten Term, $\frac(48)(x)$, müssen Sie separat arbeiten. Tatsache ist, dass viele Studenten die Situation verwirren, wenn Sie $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ finden müssen und wenn Sie $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Das heißt, sie werden verwirrt, wenn die Konstante im Nenner steht und wenn die Konstante im Zähler steht, bzw. wenn die Variable im Zähler oder im Nenner steht.

Beginnen wir mit der ersten Option:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Wenn wir andererseits versuchen, dasselbe mit dem zweiten Bruch zu tun, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Dasselbe Beispiel könnte jedoch auch anders berechnet werden: In der Phase, in der wir zur Ableitung des Quotienten übergegangen sind, können wir $\frac(1)(x)$ als Potenz mit negativem Exponenten betrachten, d. h. wir erhalten Folgendes :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Und so, und so bekamen wir die gleiche Antwort.

Somit sind wir erneut von zwei wichtigen Tatsachen überzeugt. Erstens kann dieselbe Ableitung auf völlig unterschiedliche Weise berechnet werden. Beispielsweise kann $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ sowohl als Ableitung eines Quotienten als auch als Ableitung einer Potenzfunktion betrachtet werden. Wenn alle Berechnungen korrekt durchgeführt werden, ist die Antwort außerdem immer dieselbe. Zweitens ist es bei der Berechnung von Ableitungen, die sowohl eine Variable als auch eine Konstante enthalten, grundsätzlich wichtig, wo sich die Variable befindet – im Zähler oder im Nenner. Im ersten Fall, wenn die Variable im Zähler steht, erhalten wir eine einfache lineare Funktion, die einfach zählt. Und wenn die Variable im Nenner steht, erhalten wir einen komplexeren Ausdruck mit den zuvor angegebenen begleitenden Berechnungen.

Diese Lektion kann als vollständig betrachtet werden, wenn Sie also etwas über die Derivate einer Privatperson oder eines Produkts nicht verstehen und tatsächlich Fragen zu diesem Thema haben, zögern Sie nicht - besuchen Sie meine Website, schreiben Sie, rufen Sie an und ich Ich werde es auf jeden Fall versuchen. Kann ich Ihnen helfen?

Derivate selbst sind keineswegs ein schwieriges Thema, aber sehr umfangreich, und was wir jetzt studieren, wird in Zukunft bei der Lösung komplexerer Probleme verwendet werden. Deshalb ist es besser, alle Missverständnisse im Zusammenhang mit der Berechnung von Ableitungen eines Quotienten oder eines Produkts sofort und jetzt zu erkennen. Nicht wenn sie ein riesiger Schneeball aus Missverständnissen sind, sondern wenn sie ein kleiner Tennisball sind, mit dem man leicht umgehen kann.