Eines der interessantesten Themen in Geometrie aus dem Schulkurs ist "Vierecke" (Klasse 8). Welche Arten solcher Figuren gibt es, welche besonderen Eigenschaften haben sie? Was ist einzigartig an Vierecken mit 90-Grad-Ecken? Lassen Sie uns das alles untersuchen.

Welche geometrische Figur nennt man ein Viereck

Polygone, die aus vier Seiten und dementsprechend aus vier Ecken (Ecken) bestehen, heißen in der euklidischen Geometrie Vierecke.

Die Geschichte des Namens dieser Art von Figuren ist interessant. In der russischen Sprache wird das Substantiv "viereckig" aus dem Ausdruck "vier Ecken" gebildet (genau wie "Dreieck" - drei Ecken, "Fünfeck" - fünf Ecken usw.).

Im Lateinischen (durch das viele geometrische Begriffe in die meisten Sprachen der Welt kamen) heißt es jedoch Viereck. Dieses Wort wird aus der Ziffer quadri (vier) und dem Substantiv latus (Seite) gebildet. Daraus können wir schließen, dass dieses Polygon bei den Alten nur als "vierseitig" bezeichnet wurde.

Übrigens ist ein solcher Name (mit Betonung auf das Vorhandensein von vier Seiten anstelle von Ecken in Figuren dieses Typs) in einigen modernen Sprachen erhalten geblieben. Zum Beispiel auf Englisch - Viereck und auf Französisch - Quadrilatère.

Gleichzeitig wird in den meisten slawischen Sprachen der betrachtete Figurentyp immer noch durch die Anzahl der Winkel und nicht durch die Seiten identifiziert. Zum Beispiel auf Slowakisch (štvoruholník), auf Bulgarisch („chetirigalnik“), auf Weißrussisch („chatyrokhkutnik“), auf Ukrainisch („chotirikutnik“), auf Tschechisch (čtyřúhelník), aber auf Polnisch wird das Viereck mit der Nummer von bezeichnet Seiten - czworoboczny.

Welche Arten von Vierecken werden im Schullehrplan untersucht?

In der modernen Geometrie gibt es 4 Arten von Polygonen mit vier Seiten.

Aufgrund der zu komplexen Eigenschaften einiger von ihnen werden Schulkindern im Geometrieunterricht jedoch nur zwei Arten vorgestellt.

• Parallelogramm. Die gegenüberliegenden Seiten eines solchen Vierecks sind paarweise parallel zueinander und dementsprechend auch paarweise gleich.
• Trapez (Trapez oder Trapez). Dieses Viereck besteht aus zwei gegenüberliegenden Seiten, die parallel zueinander verlaufen. Das andere Seitenpaar hat diese Funktion jedoch nicht.

Arten von Vierecken, die nicht im Geometriekurs der Schule behandelt werden

Darüber hinaus gibt es noch zwei weitere Arten von Vierecken, die Schulkindern aufgrund ihrer besonderen Komplexität im Geometrieunterricht nicht vorgestellt werden.

• Deltamuskel (Drachen)- eine Figur, bei der zwei benachbarte Seitenpaare jeweils gleich lang sind. Ein solches Viereck erhielt seinen Namen aufgrund der Tatsache, dass es im Aussehen dem Buchstaben des griechischen Alphabets - "Delta" - ziemlich stark ähnelt.
• Antiparallelogramm- diese Figur ist so komplex wie ihr Name. Darin sind zwei gegenüberliegende Seiten gleich, aber gleichzeitig nicht parallel zueinander. Außerdem schneiden sich die langen gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks ebenso wie die Verlängerungen der anderen beiden kürzeren Seiten.

Arten von Parallelogrammen

Nachdem Sie sich mit den Haupttypen von Vierecken befasst haben, lohnt es sich, auf ihre Unterarten zu achten. Alle Parallelogramme wiederum sind also ebenfalls in vier Gruppen eingeteilt.

• Klassisches Parallelogramm.
• Raute (Raute)- eine viereckige Figur mit gleichen Seiten. Seine Diagonalen schneiden sich rechtwinklig und teilen die Raute in vier gleiche rechtwinklige Dreiecke.
• Rechteck. Der Name spricht für sich. Da es sich um ein Viereck mit rechten Winkeln handelt (jeder von ihnen ist gleich neunzig Grad). Seine gegenüberliegenden Seiten sind nicht nur parallel zueinander, sondern auch gleich.
• Quadratisch (quadratisch). Wie ein Rechteck ist es ein Viereck mit rechten Winkeln, aber alle Seiten sind einander gleich. Diese Figur kommt einer Raute nahe. Man kann also argumentieren, dass ein Quadrat eine Kreuzung zwischen einer Raute und einem Rechteck ist.

Besondere Eigenschaften des Rechtecks

Betrachtet man Figuren, bei denen jeder der Winkel zwischen den Seiten gleich neunzig Grad ist, lohnt es sich, näher auf das Rechteck einzugehen. Welche Besonderheiten hat es also, die es von anderen Parallelogrammen unterscheiden?

Um zu behaupten, dass das betrachtete Parallelogramm ein Rechteck ist, müssen seine Diagonalen einander gleich sein und jeder der Winkel muss richtig sein. Außerdem muss das Quadrat seiner Diagonalen der Summe der Quadrate zweier benachbarter Seiten dieser Figur entsprechen. Das klassische Rechteck besteht also aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, bei denen bekanntlich die Diagonale des betrachteten Vierecks als Hypotenuse fungiert.

Das letzte der aufgeführten Zeichen dieser Figur ist auch ihre besondere Eigenschaft. Daneben gibt es noch andere. Zum Beispiel die Tatsache, dass alle Seiten des untersuchten Vierecks mit rechten Winkeln gleichzeitig seine Höhen sind.

Wenn ein Kreis um ein beliebiges Rechteck gezeichnet wird, entspricht sein Durchmesser außerdem der Diagonale der eingeschriebenen Figur.

Neben anderen Eigenschaften dieses Vierecks ist es flach und existiert nicht in der nicht-euklidischen Geometrie. Dies liegt daran, dass es in einem solchen System keine viereckigen Figuren gibt, deren Winkelsumme gleich dreihundertsechzig Grad ist.

Quadrat und seine Eigenschaften

Nachdem wir uns mit den Zeichen und Eigenschaften eines Rechtecks ​​befasst haben, lohnt es sich, auf das zweite der Wissenschaft bekannte Viereck mit rechten Winkeln (dies ist ein Quadrat) zu achten.

Da es sich tatsächlich um dasselbe Rechteck handelt, aber mit gleichen Seiten, hat diese Figur alle ihre Eigenschaften. Aber im Gegensatz dazu ist das Quadrat in der nichteuklidischen Geometrie vorhanden.

Darüber hinaus weist diese Figur weitere Besonderheiten auf. Zum Beispiel die Tatsache, dass die Diagonalen eines Quadrats nicht nur gleich sind, sondern sich auch rechtwinklig schneiden. Ein Quadrat besteht also wie eine Raute aus vier rechtwinkligen Dreiecken, in die es durch Diagonalen geteilt wird.

Außerdem ist diese Figur die symmetrischste unter allen Vierecken.

Wie groß ist die Summe der Winkel eines Vierecks

In Anbetracht der Merkmale der Vierecke der euklidischen Geometrie lohnt es sich, auf ihre Winkel zu achten.

Also ist in jeder der oben genannten Figuren, egal ob sie rechte Winkel hat oder nicht, ihre Gesamtsumme immer dieselbe - dreihundertsechzig Grad. Dies ist ein einzigartiges Unterscheidungsmerkmal dieses Figurentyps.

Umfang von Vierecken

Nachdem Sie herausgefunden haben, was die Summe der Winkel eines Vierecks ist, und andere besondere Eigenschaften von Figuren dieser Art, sollten Sie wissen, welche Formeln am besten zur Berechnung ihres Umfangs und ihrer Fläche verwendet werden.

Um den Umfang eines beliebigen Vierecks zu bestimmen, müssen Sie nur die Länge aller seiner Seiten zusammenzählen.

In der KLMN-Figur kann der Umfang beispielsweise nach folgender Formel berechnet werden: P \u003d KL + LM + MN + KN. Wenn Sie hier die Zahlen einsetzen, erhalten Sie: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Wenn es sich bei der fraglichen Figur um eine Raute oder ein Quadrat handelt, können Sie die Formel vereinfachen, um den Umfang zu ermitteln, indem Sie einfach die Länge einer ihrer Seiten mit vier multiplizieren: P \u003d KL x 4. Zum Beispiel: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Formeln für Flächenvierecke

Nachdem Sie herausgefunden haben, wie Sie den Umfang einer Figur mit vier Ecken und Seiten ermitteln können, sollten Sie die beliebtesten und einfachsten Methoden zum Ermitteln ihrer Fläche in Betracht ziehen.

Weitere Eigenschaften von Vierecken: einbeschriebene und umschriebene Kreise

Nachdem die Merkmale und Eigenschaften eines Vierecks als Figur der euklidischen Geometrie betrachtet wurden, lohnt es sich, auf die Fähigkeit zu achten, Kreise darin zu beschreiben oder einzuschreiben:

• Wenn die Summen der gegenüberliegenden Winkel der Figur jeweils einhundertachtzig Grad betragen und paarweise gleich sind, dann lässt sich um ein solches Viereck ein Kreis frei beschreiben.
• Wenn nach dem Satz von Ptolemäus ein Kreis außerhalb eines Polygons mit vier Seiten umschrieben wird, dann ist das Produkt seiner Diagonalen gleich der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten der gegebenen Figur. Die Formel sieht also folgendermaßen aus: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Wenn Sie ein Viereck konstruieren, in dem die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich sind, kann ein Kreis darin eingeschrieben werden.

Nachdem Sie herausgefunden haben, was ein Viereck ist, welche Arten davon existieren, welche von ihnen nur rechte Winkel zwischen den Seiten haben und welche Eigenschaften sie haben, sollten Sie sich an all dieses Material erinnern. Insbesondere die Formeln zum Ermitteln des Umfangs und der Fläche der betrachteten Polygone. Schließlich sind Zahlen dieser Form eine der häufigsten, und dieses Wissen kann für Berechnungen im wirklichen Leben nützlich sein.

Definition. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Eigentum. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich und gegenüberliegende Winkel gleich.

Eigentum. Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch den Schnittpunkt halbiert.

1 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn zwei Seiten eines Vierecks gleich und parallel sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

2 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise gleich sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

3 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen schneiden und der Schnittpunkt halbiert wird, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

Definition. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind. Parallele Seiten werden aufgerufen Gründe.

Das Trapez heißt gleichschenklig (gleichschenklig) wenn seine Seiten gleich sind. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel an den Grundseiten gleich.

rechteckig.

Mittellinie des Trapezes. Die Mittellinie ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme.

Rechteck

Definition.

Eigentum. Die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich.

Rechteckiges Zeichen. Wenn die Diagonalen eines Parallelogramms gleich sind, dann ist das Parallelogramm ein Rechteck.

Definition.

Eigentum. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren ihre Winkel.

Definition.

Ein Quadrat ist eine besondere Art von Rechteck und auch eine besondere Art von Raute. Daher hat es alle ihre Eigenschaften.

Eigenschaften:
1. Alle Ecken des Quadrats sind richtig

Vervierfacht alle Regeln

Stichworte:
Viereck, konvex, Winkelsumme, Fläche eines Vierecks

Viereck wird eine Figur genannt, die aus vier Punkten und vier Segmenten besteht, die diese in Reihe verbinden. In diesem Fall sollten keine drei dieser Punkte auf einer geraden Linie liegen und die sie verbindenden Segmente sollten sich nicht schneiden.

• Die Ecken des Vierecks heißen benachbart wenn sie die Enden einer seiner Seiten sind.
• Knoten, die keine Nachbarn sind , namens Gegenteil .
• Liniensegmente, die gegenüberliegende Eckpunkte eines Vierecks verbinden, werden genannt Diagonalen .
• Die Seiten eines Vierecks, die von derselben Ecke ausgehen, heißen benachbart Parteien.
• Seiten, die kein gemeinsames Ende haben, werden aufgerufen Gegenteil Parteien.
• Das Viereck heißt konvex , wenn es in einer Halbebene relativ zu der geraden Linie liegt, die eine seiner Seiten enthält.

Arten von Vierecken

1. Parallelogramm Ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind
   • Rechteck ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln
   • Rhombus - ein Parallelogramm mit allen Seiten gleich
   • Quadrat - ein Rechteck mit allen Seiten gleich
2. Trapez - ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind
3. Deltamuskel Ein Viereck, dessen zwei benachbarte Seitenpaare gleich sind

Vierecke

Viereck wird eine Figur genannt, die aus vier Punkten und vier Segmenten besteht, die diese in Reihe verbinden. In diesem Fall liegen keine drei dieser Punkte auf derselben Geraden, und die sie verbindenden Segmente schneiden sich nicht.

Gegenteil. Gegenteil.

Arten von Vierecken

Parallelogramm

Parallelogramm heißt ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Parallelogrammeigenschaften

• gegenüberliegende Seiten sind gleich;
• gegenüberliegende Winkel sind gleich;
• Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller Seiten:

Merkmale des Parallelogramms

Trapez Man nennt ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind und die anderen beiden nicht parallel sind.

Die parallelen Seiten eines Trapezes heißen seine Gründen und die nicht parallelen Seiten Seiten. Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet, wird aufgerufen Mittellinie.

Das Trapez heißt gleichschenklig(oder gleichschenklig), wenn seine Seiten gleich sind.

Ein Trapez mit einem rechten Winkel heißt rechteckig.

Trapezeigenschaften

Zeichen eines Trapezes

Rechteck

Rechteck Ein Parallelogramm heißt, wenn alle Winkel rechte Winkel sind.

Rechteckeigenschaften

Rechteckfunktionen

Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn:

1. Eine seiner Ecken ist richtig.
2. Seine Diagonalen sind gleich.

Rhombus Ein Parallelogramm heißt, wenn alle Seiten gleich sind.

Rhombus-Eigenschaften

• alle Eigenschaften eines Parallelogramms;
• die Diagonalen sind senkrecht;

Zeichen einer Raute

Quadrat Man nennt ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Quadratische Eigenschaften

• alle Ecken des Quadrats sind richtig;
• die Diagonalen des Quadrats sind gleich, senkrecht zueinander, der Schnittpunkt wird halbiert und die Ecken des Quadrats werden halbiert.

Quadratische Schilder

Grundlegende Formeln

S=d 1 d 2 Sünde

Parallelogramm
a und b- benachbarte Parteien; - der Winkel zwischen ihnen; ha - Höhe zur Seite a.

S = ab Sünde

S=d 1 d 2 Sünde

Trapez
a und b- Gelände; h- der Abstand zwischen ihnen; l- Mittellinie .

Rechteck

S=d 1 d 2 Sünde

S = eine 2 Sünde

S=d 1 d 2

Quadrat
d- diagonal.

www.univer.omsk.su

Eigenschaften von Vierecken. Arten von Vierecken. Eigenschaften beliebiger Vierecke. Parallelogrammeigenschaften. Rhombus-Eigenschaften. Rechteckeigenschaften. Quadratische Eigenschaften. trapezförmige Eigenschaften. Ungefähr 7-9 Klasse (13-15 Jahre alt)

Eigenschaften von Vierecken. Arten von Vierecken. Eigenschaften beliebiger Vierecke.
Parallelogrammeigenschaften. Rhombus-Eigenschaften. Rechteckeigenschaften. Quadratische Eigenschaften. trapezförmige Eigenschaften.

Arten von Vierecken:

• Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind

• Rhombus ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.

• Rechteck ist ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln.

• Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Eigenschaften beliebiger Vierecke:

Parallelogrammeigenschaften:

Rauteneigenschaften:

Rechteckeigenschaften:

Quadratische Eigenschaften:

Trapezeigenschaften:

Beratung und Technik
Website-Support: Zavarka-Team

Vervierfacht alle Regeln

Nichteuklidische Geometrie, Geometrie ähnlich der Geometrie Euklid, dass es die Bewegung von Figuren definiert, sich aber von der euklidischen Geometrie dadurch unterscheidet, dass eines seiner fünf Postulate (zweites oder fünftes) durch seine Negation ersetzt wird. Die Ablehnung eines der euklidischen Postulate (1825) war ein bedeutendes Ereignis in der Geschichte des Denkens, denn es diente als erster Schritt in Richtung Relativitätstheorie.

Euklids zweites Postulat besagt dies Jedes Liniensegment kann unbegrenzt verlängert werden. Euklid glaubte offenbar, dass dieses Postulat auch die Aussage enthielt, dass die gerade Linie unendlich lang sei. Jedoch In der "elliptischen" Geometrie ist jede gerade Linie endlich und wie ein Kreis geschlossen.

Das fünfte Postulat besagt, dass, wenn eine Linie zwei gegebene Linien so schneidet, dass die beiden Innenwinkel auf einer Seite davon kleiner als zwei rechte Winkel sind, diese beiden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit verlängert werden, sich auf der Seite schneiden, wo die Summe dieser Winkel ist kleiner als die Summe zweier Geraden. Aber in der "hyperbolischen" Geometrie kann es eine Linie CB (siehe Abb.) geben, die im Punkt C senkrecht zu einer gegebenen Linie r steht und eine andere Linie s in einem spitzen Winkel im Punkt B schneidet, aber dennoch die unendlichen Linien r und s werden sich nie schneiden.

Aus diesen überarbeiteten Postulaten folgte, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks, die in der euklidischen Geometrie 180° entspricht, in der elliptischen Geometrie größer als 180° und in der hyperbolischen Geometrie kleiner als 180° ist.

Viereck

Viereck ist ein Polygon mit vier Ecken und vier Seiten.

Viereck, eine geometrische Figur - ein Polygon mit vier Ecken, sowie jedes Objekt, ein Gerät dieser Form.

Zwei nicht benachbarte Seiten eines Vierecks heißen Gegenteil. Zwei nicht benachbarte Ecken werden auch genannt Gegenteil.

Vierecke sind konvex (wie ABCD) und
nicht konvex (A 1 B 1 C 1 D 1).

Arten von Vierecken

• Parallelogramm- ein Viereck, bei dem alle gegenüberliegenden Seiten parallel sind;
• Rechteck- ein Viereck mit allen rechten Winkeln;
• Rhombus- ein Viereck, in dem alle Seiten gleich sind;
• Quadrat- ein Viereck, in dem alle Winkel gleich und alle Seiten gleich sind;
• Trapez- ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden Seiten parallel;
• Deltamuskel Ein Viereck, dessen zwei benachbarte Seitenpaare gleich sind.

Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Parallelogramm (von griechisch parallelos - parallel und gramme - Linie) d.h. auf parallelen Linien liegen. Sonderfälle eines Parallelogramms sind ein Rechteck, ein Quadrat und eine Raute.

• gegenüberliegende Seiten sind gleich;
• gegenüberliegende Winkel sind gleich;
• die Diagonalen des Schnittpunkts werden halbiert;
• die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180°;
• Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller Seiten.

Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn:

1. Seine beiden gegenüberliegenden Seiten sind gleich und parallel.
2. Gegenüberliegende Seiten sind paarweise gleich.
3. Gegenüberliegende Winkel sind paarweise gleich.
4. Die Diagonalen des Schnittpunktes werden halbiert.

Rechteck

Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln.

• gegenüberliegende Seiten sind gleich;
• gegenüberliegende Winkel sind gleich;
• die Diagonalen des Schnittpunkts werden halbiert;
• die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180°;
• Die Diagonalen sind gleich.

Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn:

1. Eine seiner Ecken ist richtig.
2. Seine Diagonalen sind gleich.

Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.

• gegenüberliegende Seiten sind gleich;
• gegenüberliegende Winkel sind gleich;
• die Diagonalen des Schnittpunkts werden halbiert;
• die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180°;
• die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller Seiten;
• die Diagonalen sind senkrecht;
• die Diagonalen sind die Winkelhalbierenden seiner Winkel.

Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn:

1. Seine beiden benachbarten Seiten sind gleich.
2. Seine Diagonalen sind senkrecht.
3. Eine der Diagonalen ist die Winkelhalbierende ihres Winkels.

Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

• alle Ecken des Quadrats sind richtig;
• die Diagonalen des Quadrats sind gleich, senkrecht zueinander, der Schnittpunkt wird halbiert und die Ecken des Quadrats werden halbiert.

1. Ein Rechteck ist ein Quadrat, wenn es einige Merkmale einer Raute hat.

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind.

Die parallelen Seiten eines Trapezes werden seine Basen genannt, und die nicht parallelen Seiten werden seine Seiten genannt. Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet, wird als Mittellinie bezeichnet.

Ein Trapez heißt gleichschenklig (oder gleichschenklig), wenn seine Seiten gleich sind.

Ein Trapez mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Trapez.

• seine Mittellinie ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme;
• wenn das Trapez gleichschenklig ist, dann sind seine Diagonalen gleich und die Winkel an der Basis sind gleich;
• wenn das Trapez gleichschenklig ist, dann kann ein Kreis um es herum beschrieben werden;
• Wenn die Summe der Basen gleich der Summe der Seiten ist, kann ein Kreis darin eingeschrieben werden.

1. Ein Viereck ist ein Trapez, wenn seine parallelen Seiten nicht gleich sind

Deltamuskel Ein Viereck mit zwei gleich langen Seitenpaaren. Im Gegensatz zu einem Parallelogramm sind nicht zwei Paare benachbarter Seiten gleich, sondern zwei Paare benachbarter Seiten. Der Deltamuskel hat die Form eines Drachens.

• Die Winkel zwischen Seiten ungleicher Länge sind gleich.
• Die Diagonalen des Deltamuskels (oder ihre Verlängerungen) schneiden sich im rechten Winkel.
• In jeden konvexen Deltamuskel kann ein Kreis eingeschrieben werden. Wenn der Deltamuskel keine Raute ist, gibt es außerdem einen anderen Kreis, der die Verlängerungen aller vier Seiten berührt. Für einen nicht konvexen Deltamuskel kann man einen Kreis konstruieren, der zwei größere Seiten und Verlängerungen von zwei kleineren Seiten tangiert, und einen Kreis, der zwei kleinere Seiten und Verlängerungen von zwei größeren Seiten tangiert.

• Wenn der Winkel zwischen den ungleichen Seiten des Deltamuskels eine gerade Linie ist, kann ein Kreis darin eingeschrieben werden (der beschriebene Deltamuskel).
• Wenn zwei gegenüberliegende Seiten eines Deltamuskels gleich sind, dann ist ein solcher Deltamuskel eine Raute.
• Wenn ein Paar gegenüberliegender Seiten und beide Diagonalen eines Deltamuskels gleich sind, dann ist der Deltamuskel ein Quadrat. Ein einbeschriebener Deltamuskel mit gleichen Diagonalen ist auch ein Quadrat.

Die Entstehung der Geometrie geht auf die Antike zurück und war auf die praktischen Bedürfnisse der menschlichen Tätigkeit zurückzuführen (die Notwendigkeit, Land zu messen, das Volumen verschiedener Körper zu messen usw.).

Die einfachsten geometrischen Informationen und Konzepte waren im alten Ägypten bekannt. In dieser Zeit wurden geometrische Aussagen in Form von unbewiesen gegebenen Regeln formuliert.

Aus dem 7. Jahrhundert v e. bis ins 1. Jahrhundert n. Chr e. Die Geometrie als Wissenschaft entwickelte sich im antiken Griechenland schnell. In dieser Zeit fand nicht nur die Anhäufung verschiedener geometrischer Informationen statt, sondern es wurde auch die Methodik zum Beweis geometrischer Aussagen ausgearbeitet und die ersten Versuche unternommen, die grundlegenden Primärbestimmungen (Axiome) der Geometrie zu formulieren, aus denen viele verschiedene geometrische Aussagen werden durch rein logisches Denken abgeleitet. Der Entwicklungsstand der Geometrie im antiken Griechenland spiegelt sich in der Arbeit von Euklids "Anfängen" wider.

In diesem Buch wurde zum ersten Mal der Versuch unternommen, eine systematische Konstruktion der Planimetrie auf der Grundlage von undefinierten geometrischen Grundbegriffen und Axiomen (Postulaten) zu geben.

Einen besonderen Platz in der Geschichte der Mathematik nimmt das fünfte Postulat von Euklid (das Axiom der parallelen Linien) ein. Mathematiker versuchten lange Zeit erfolglos, das fünfte Postulat aus den übrigen Postulaten von Euklid abzuleiten, und erst Mitte des 19. Jahrhunderts wurde dies dank der Studien von N. I. Lobachevsky, B. Riemann und J. Boyai klar das fünfte Postulat lässt sich nicht aus den übrigen ableiten, und das von Euklid vorgeschlagene Axiomensystem ist nicht das einzig mögliche.

Euklids „Elemente“ hatten einen großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik. Dieses Buch war mehr als zweitausend Jahre lang nicht nur ein Lehrbuch der Geometrie, sondern diente auch als Ausgangspunkt für viele mathematische Studien, aus denen neue eigenständige Zweige der Mathematik hervorgingen.

Der systematische Aufbau der Geometrie erfolgt in der Regel nach folgendem Schema:

ICH. Es werden die wichtigsten geometrischen Konzepte aufgelistet, die ohne Definitionen eingeführt werden.

II. Eine Formulierung der Axiome der Geometrie wird gegeben.

III. Auf der Grundlage von Axiomen und geometrischen Grundbegriffen werden weitere geometrische Begriffe und Theoreme formuliert.

1. Herkunft des Namens Nichteuklidische Geometrie?
2. Welche Formen nennt man Vierecke?
3. Eigenschaften eines Parallelogramms?
4. Arten von Vierecken?

Liste der verwendeten Quellen

1. AG Zypkin. Handbuch der Mathematik
2. „Einheitliches Staatsexamen 2006. Mathematik. Bildungs- und Schulungsmaterialien zur Vorbereitung von Studenten / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Lösung der wichtigsten Wettbewerbsprobleme in der Mathematik der von M. I. Scanavi herausgegebenen Sammlung"

Arbeiten am Unterricht

Sie können eine Frage zur modernen Bildung stellen, eine Idee äußern oder ein dringendes Problem lösen Bildungsforum wo sich ein Bildungsrat des frischen Denkens und Handelns international trifft. Geschaffen haben Blog, Sie verbessern nicht nur Ihren Status als kompetenter Lehrer, sondern leisten auch einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der Schule der Zukunft. Gilde der Bildungsführeröffnet die Tür zu hochrangigen Spezialisten und lädt Sie zur Zusammenarbeit ein, um die besten Schulen der Welt zu schaffen.

Beliebt:

• Artikel 282. Aufstachelung zu Hass oder Feindschaft sowie Demütigung der Menschenwürde
• Körperschaftsteuerrechner So berechnen Sie die Körperschaftsteuer Das Berechnungsformular für Vorauszahlungen hat sich geändert. Beginnend mit der Berichterstattung für das erste Halbjahr 2017 wird die Berechnung der Körperschaftsteuer […]
• Gesetze der Ökologie In mehr als 100 Jahren umfassender Erforschung von Populationen und Gemeinschaften hat sich eine riesige Menge an Fakten angesammelt. Unter ihnen - eine große Anzahl, die zufällige oder unregelmäßige Phänomene und Prozesse widerspiegelt. Aber nicht […]
• Vorsorgemöglichkeiten in der gesetzlichen Rentenversicherung Bis Ende 2015 konnten Bürgerinnen und Bürger des Jahrgangs 1967 und jünger wählen, ob sie die Rentenversicherung weiter aufbauen […]
• Verordnung des Landwirtschaftsministeriums 549, eingetragen beim Justizministerium der Russischen Föderation am 5. März 2009 N 13476 LANDWIRTSCHAFTSMINISTERIUM DER RUSSISCHEN FÖDERATION vom 16. Dezember 2008 N 532 ÜBER DIE GENEHMIGUNG DER KLASSIFIZIERUNG DER NATÜRLICHEN BRANDGEFAHR VON WÄLDERN UND […]
• Anhebung der Renten für Kinder mit Behinderungen ab 1. Januar 2018 Die Altersvorsorge der Bürgerinnen und Bürger ist Aufgabe des Staates. Dies steht im Gesetzbuch des Landes - in der Verfassung. Unter den Behinderten, die […]
• Regel der internen Ordnung von JSC RZD JSC "RUSSISCHE EISENBAHN" VERORDNUNG vom 26. Juli 2012 N 87 ÜBER DIE GENEHMIGUNG DER INTERNEN ARBEITSVORSCHRIFTEN VORSCHRIFTEN DER REGIONALDIENSTE (ABTEILUNG) DER ENTWICKLUNG DER FAHRGASTKOMMUNIKATION UND […]
• Gesetz der 3 Stufen des Comte Positivismus als philosophische Bewegung geht von der Vorstellung aus, dass der Großteil des Wissens über die Welt, den Menschen und die Gesellschaft in Spezialwissenschaften gewonnen wird, dass die "positive" Wissenschaft Versuche aufgeben sollte […]

Mit vier Ecken und vier Seiten. Ein Viereck wird durch eine geschlossene Polylinie gebildet, die aus vier Verbindungen besteht, und dem Teil der Ebene, der sich innerhalb der Polylinie befindet.

Die Bezeichnung eines Vierecks besteht aus den Buchstaben an seinen Eckpunkten, die der Reihe nach benannt werden. Sie sagen oder schreiben zum Beispiel: Viereck A B C D :

In einem Viereck A B C D Punkte EIN, B, C und D- Das viereckige Eckpunkte, Segmente AB, BC, CD und DA - Seiten.

Knoten, die zu derselben Seite gehören, werden aufgerufen benachbart, Knoten, die nicht benachbart sind, werden aufgerufen Gegenteil:

In einem Viereck A B C D Spitzen EIN und B, B und C, C und D, D und EIN benachbart sind, und die Ecken EIN und C, B und D- Gegenteil. Winkel, die an benachbarten Eckpunkten liegen, werden auch als benachbart und an gegenüberliegenden Eckpunkten als entgegengesetzt bezeichnet.

Die Seiten eines Vierecks können auch paarweise in benachbarte und gegenüberliegende Seiten unterteilt werden: Seiten, die einen gemeinsamen Eckpunkt haben, werden als Seiten bezeichnet benachbart(oder verbunden), Seiten, die keine gemeinsamen Ecken haben - Gegenteil:

Parteien AB und BC, BC und CD, CD und DA, DA und AB benachbart sind, und die Seiten AB und Gleichstrom, ANZEIGE und BC- Gegenteil.

Wenn gegenüberliegende Eckpunkte durch ein Segment verbunden sind, wird ein solches Segment aufgerufen die Diagonale des Vierecks. Wenn man bedenkt, dass es im Viereck nur zwei Paare von gegenüberliegenden Eckpunkten gibt, kann es nur zwei Diagonalen geben:

Segmente AC und BD- Diagonalen.

Betrachten Sie die Haupttypen konvexer Vierecke:

• Trapez- ein Viereck, bei dem ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel zueinander und das andere Paar nicht parallel ist.
  • Gleichschenkliges Trapez- ein Trapez, dessen Seiten gleich sind.
  • Rechteckiges Trapez Ein Trapez mit einem der rechten Winkel.
• Parallelogramm Ein Viereck, bei dem beide gegenüberliegenden Seitenpaare parallel zueinander sind.
  • Rechteck Ein Parallelogramm, in dem alle Winkel gleich sind.
  • Rhombus Ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.
  • Quadrat Ein Parallelogramm mit gleichen Seiten und Winkeln. Sowohl ein Rechteck als auch eine Raute können ein Quadrat sein.

Eckeneigenschaften von konvexen Vierecken

Alle konvexen Vierecke haben die folgenden zwei Eigenschaften:

1. Jeder Innenwinkel kleiner als 180°.
2. Die Summe der Innenwinkel beträgt 360°.

Unterrichtsthema

• Definition eines Vierecks.

Unterrichtsziele

• Pädagogisch - Wiederholung, Verallgemeinerung und Prüfung von Wissen zum Thema: „Vierecke“; Entwicklung von Grundfertigkeiten.
• Entwickeln - um die Aufmerksamkeit, Ausdauer, Ausdauer, das logische Denken und die mathematische Sprache der Schüler zu entwickeln.
• Pädagogisch - durch den Unterricht, um eine aufmerksame Haltung zueinander zu pflegen, die Fähigkeit zu vermitteln, Kameraden zuzuhören, gegenseitige Unterstützung, Unabhängigkeit.

Unterrichtsziele

• Fähigkeiten zum Aufbau eines Vierecks mit einer Maßstabsleiste und einem Zeichendreieck bilden.
• Überprüfen Sie die Fähigkeit der Schüler, Probleme zu lösen.

Unterrichtsplan

1. Geschichtlicher Bezug. Nichteuklidische Geometrie.
2. Viereck.
3. Arten von Vierecken.

Nichteuklidische Geometrie

Nichteuklidische Geometrie, Geometrie ähnlich der Geometrie Euklid, dass es die Bewegung von Figuren definiert, sich aber von der euklidischen Geometrie dadurch unterscheidet, dass eines seiner fünf Postulate (zweites oder fünftes) durch seine Negation ersetzt wird. Die Ablehnung eines der euklidischen Postulate (1825) war ein bedeutendes Ereignis in der Geschichte des Denkens, denn es diente als erster Schritt in Richtung Relativitätstheorie.

Euklids zweites Postulat besagt dies Jedes Liniensegment kann unbegrenzt verlängert werden. Euklid glaubte offenbar, dass dieses Postulat auch die Aussage enthielt, dass die gerade Linie unendlich lang sei. Jedoch In der "elliptischen" Geometrie ist jede gerade Linie endlich und wie ein Kreis geschlossen.

Das fünfte Postulat besagt, dass, wenn eine Linie zwei gegebene Linien so schneidet, dass die beiden Innenwinkel auf einer Seite davon kleiner als zwei rechte Winkel sind, diese beiden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit verlängert werden, sich auf der Seite schneiden, wo die Summe dieser Winkel ist kleiner als die Summe zweier Geraden. Aber in der "hyperbolischen" Geometrie kann es eine Linie CB (siehe Abb.) geben, die im Punkt C senkrecht zu einer gegebenen Linie r steht und eine andere Linie s in einem spitzen Winkel im Punkt B schneidet, aber dennoch die unendlichen Linien r und s werden sich nie schneiden.

Aus diesen überarbeiteten Postulaten folgte, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks, die in der euklidischen Geometrie 180° entspricht, in der elliptischen Geometrie größer als 180° und in der hyperbolischen Geometrie kleiner als 180° ist.

Viereck

Fächer > Mathematik > Mathematik Klasse 8

Ein konvexes Viereck ist eine Figur, die aus vier Seiten besteht, die an den Ecken miteinander verbunden sind und mit den Seiten vier Winkel bilden, während das Viereck selbst immer in derselben Ebene relativ zu der geraden Linie liegt, auf der eine seiner Seiten liegt. Mit anderen Worten, die gesamte Figur befindet sich auf einer Seite einer ihrer Seiten.

In Kontakt mit

Wie Sie sehen können, ist die Definition recht einfach zu merken.

Grundlegende Eigenschaften und Typen

Fast alle uns bekannten Figuren, die aus vier Ecken und Seiten bestehen, können konvexen Vierecken zugeordnet werden. Folgendes kann unterschieden werden:

1. Parallelogramm;
2. Quadrat;
3. Rechteck;
4. Trapez;
5. Rhombus.

Alle diese Figuren sind nicht nur dadurch vereint, dass sie viereckig sind, sondern auch dadurch, dass sie auch konvex sind. Schau dir einfach das Diagramm an:

Die Abbildung zeigt ein konvexes Trapez. Hier sehen Sie, dass das Trapez auf der gleichen Ebene oder auf einer Seite des Segments liegt. Wenn Sie ähnliche Aktionen durchführen, können Sie feststellen, dass das Trapez bei allen anderen Seiten konvex ist.

Ist ein Parallelogramm ein konvexes Viereck?

Oben ist ein Bild eines Parallelogramms. Wie aus der Abbildung ersichtlich, Parallelogramm ist auch konvex. Betrachtet man die Figur in Bezug auf die Linien, auf denen die Segmente AB, BC, CD und AD liegen, wird deutlich, dass sie von diesen Linien aus immer auf der gleichen Ebene liegt. Die Hauptmerkmale eines Parallelogramms sind, dass seine Seiten paarweise parallel und gleich sind, genauso wie gegenüberliegende Winkel einander gleich sind.

Stellen Sie sich nun ein Quadrat oder ein Rechteck vor. Ihren Haupteigenschaften nach sind sie auch Parallelogramme, das heißt, alle ihre Seiten sind paarweise parallel angeordnet. Nur bei einem Rechteck können die Seitenlängen unterschiedlich sein, und die Winkel stimmen (gleich 90 Grad), ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind und die Winkel auch stimmen, während die Längen der Seiten und Winkel eines Parallelogramms können unterschiedlich sein.

Als Ergebnis die Summe aller vier Ecken des Vierecks muss gleich 360 Grad sein. Am einfachsten lässt sich dies anhand eines Rechtecks ​​feststellen: Alle vier Ecken des Rechtecks ​​sind rechts, also gleich 90 Grad. Die Summe dieser 90-Grad-Winkel ergibt 360 Grad, mit anderen Worten, wenn Sie 4 Mal 90 Grad addieren, erhalten Sie das gewünschte Ergebnis.

Eigenschaft der Diagonalen eines konvexen Vierecks

Die Diagonalen eines konvexen Vierecks schneiden sich. Tatsächlich kann dieses Phänomen visuell beobachtet werden, schauen Sie sich einfach die Abbildung an:

Die Abbildung links zeigt ein nicht konvexes Viereck oder Viereck. Wie du möchtest. Wie Sie sehen können, schneiden sich die Diagonalen nicht, zumindest nicht alle. Rechts ist ein konvexes Viereck. Hier wird bereits die Schnitteigenschaft von Diagonalen beachtet. Dieselbe Eigenschaft kann als Zeichen für die Konvexität des Vierecks angesehen werden.

Andere Eigenschaften und Anzeichen der Konvexität eines Vierecks

Gerade nach diesem Begriff ist es sehr schwierig, konkrete Eigenschaften und Merkmale zu benennen. Es ist einfacher, nach verschiedenen Arten von Vierecken dieses Typs zu isolieren. Sie können mit einem Parallelogramm beginnen. Wir wissen bereits, dass dies eine viereckige Figur ist, deren Seiten paarweise parallel und gleich sind. Zugleich ist hier auch die Eigenschaft der Diagonalen des Parallelogramms, sich zu schneiden, sowie das Vorzeichen der Konvexität der Figur selbst enthalten: Das Parallelogramm liegt immer in der gleichen Ebene und auf einer Seite relativ zu einer seiner Seiten.

So, Die wichtigsten Merkmale und Eigenschaften sind bekannt:

1. die Summe der Winkel eines Vierecks beträgt 360 Grad;
2. die Diagonalen der Figuren schneiden sich in einem Punkt.

Rechteck. Diese Figur hat dieselben Eigenschaften und Merkmale wie ein Parallelogramm, aber alle seine Winkel sind gleich 90 Grad. Daher der Name Rechteck.

Square, das gleiche Parallelogramm, aber seine Ecken sind richtig, wie ein Rechteck. Aus diesem Grund wird ein Quadrat selten als Rechteck bezeichnet. Aber das Hauptunterscheidungsmerkmal eines Quadrats, zusätzlich zu den bereits oben aufgeführten, ist, dass alle vier seiner Seiten gleich sind.

Das Trapez ist eine sehr interessante Figur.. Dies ist auch ein Viereck und auch konvex. In diesem Artikel wurde das Trapez bereits am Beispiel einer Zeichnung betrachtet. Es ist klar, dass sie auch konvex ist. Der Hauptunterschied und dementsprechend ein Zeichen eines Trapezes besteht darin, dass seine Seiten absolut ungleich lang sein können, ebenso wie seine Winkel im Wert. In diesem Fall bleibt die Figur in Bezug auf jede der geraden Linien, die zwei beliebige ihrer Eckpunkte entlang der die Figur bildenden Segmente verbinden, immer auf derselben Ebene.

Rhombus ist eine ebenso interessante Figur. Teilweise kann eine Raute als Quadrat betrachtet werden. Ein Zeichen für eine Raute ist die Tatsache, dass sich ihre Diagonalen nicht nur schneiden, sondern auch die Ecken der Raute halbieren und die Diagonalen selbst sich im rechten Winkel schneiden, dh senkrecht sind. Wenn die Seitenlängen der Raute gleich sind, werden die Diagonalen am Schnittpunkt ebenfalls halbiert.

Deltoide oder konvexe Rauten (Rauten) können unterschiedliche Seitenlängen haben. Gleichzeitig bleiben jedoch sowohl die Haupteigenschaften und Merkmale der Raute selbst als auch die Merkmale und Eigenschaften der Konvexität erhalten. Das heißt, wir können beobachten, dass die Diagonalen die Ecken halbieren und sich im rechten Winkel schneiden.

Die heutige Aufgabe bestand darin, zu überlegen und zu verstehen, was konvexe Vierecke sind, was sie sind und welche Hauptmerkmale und Eigenschaften sie haben. Beachtung! Es sei noch einmal daran erinnert, dass die Summe der Winkel eines konvexen Vierecks 360 Grad beträgt. Der Umfang von Figuren ist beispielsweise gleich der Summe der Längen aller Segmente, die die Figur bilden. Die Formeln zur Berechnung des Umfangs und der Fläche von Vierecken werden in den folgenden Artikeln besprochen.

Arten von konvexen Vierecken