Kako konstruisati konjugaciju pravog ugla. Izrada crteža dijela sa parovima. Konjugacija kružnica (lukova) s pravom linijom

02.11.2019

Uparivanje.

Uparivanje je glatki prijelaz iz jedne linije u drugu.

Konjugacija linija koje se seku lukom kružnice datog poluprečnika.

Problem se svodi na crtanje kružnice tangente na obe date prave.

Opcija 1.

Povlačimo pomoćne linije paralelne sa datim na udaljenosti R od datih.

Tačka presjeka ovih linija bit će centar O konjugacijski lukovi. Okomite spuštene iz centra O u

date prave linije će odrediti tangente K i K 1 .

Opcija 2.

Konstrukcija je ista.

Pairings. Konjugacija linija.

Opcija 3.

Ako želite nacrtati krug tako da se dodiruje tri seku prave linije, tada u ovom slučaju

Radijus se ne može specificirati uslovima problema. Centar O krug je na raskrsnici simetrala uglovi

AT i OD. Polumjer kružnice je okomica spuštena iz centra O na bilo koju od 3 date prave

Linije.

Pairings. Konjugacija linija.

Konstrukcija eksterne konjugacije date kružnice sa datim ravnim lukom datog polumjera R 1 .

Iz centra O ovog kruga nacrtamo luk pomoćne kružnice poluprečnika R+R 1 .

Povlačimo pravu liniju paralelnu sa datom na udaljenosti R1.

Presjek ravne linije i konstrukcijskog luka dat će središnju točku luka zavoja Oko 1.

Dodirna tačka luka To leži na liniji OO 1 .

Tačka kontakta između luka i linije K 1 leži na presjeku okomice iz tačke O 1 na pravu sa lukom.

Pairings. Konstrukcija vanjske konjugacije kružnice s pravom linijom.

Konstrukcija unutrašnje konjugacije date kružnice sa datim ravnim lukom datog polumjera R 1 .

Iz centra O ovog kruga crtamo pomoćni krug sa poluprečnikom R- R 1 .

Pairings. Konstrukcija unutrašnje konjugacije kružnice sa pravom linijom.

Konjugacija dvije zadane kružnice lukom datog polumjera R 3 .

Spoljašnji dodir.

Iz centra kruga Oko 1 R1+R3.

Iz centra kruga Oko 2 opisati luk pomoćne kružnice sa radijusom R2+R3.

raskrsnica lukovi pomoćnih kružnica će dati tačku Oko 3, koji je centar luka konjugacije

dodirne tačke K 1 i K 2 su na linijama O 1 O 3 i O 2 O 3.

Unutrašnji dodir

Iz centra kruga Oko 1 opisati luk pomoćne kružnice sa radijusom R 3 -R 1 .

Iz centra kruga Oko 2 opisati luk pomoćne kružnice sa radijusom R 3 - R 2 .

raskrsnica

(krugovi poluprečnika R 3) .

Pairings. Konjugacija dva kruga lukom.

Spoljašnji i unutrašnji dodir.

Date su dvije kružnice sa centrima O 1 i O 2 poluprečnika r 1 i r 2 . Potrebno je nacrtati krug datog

Radijus R kako bi se omogućio unutrašnji kontakt s jednim krugom, a vanjski kontakt s drugim.

Iz centra kruga Oko 1 opisati luk pomoćne kružnice sa radijusom R-r 1 .

Iz centra kruga Oko 2 opisati luk pomoćne kružnice sa radijusom R+r 2 .

raskrsnicalukovi pomoćnih kružnica će dati tačku koja je centar luka konjugacije

(krugovi poluprečnika R) .

Pairings. Konjugacija dva kruga lukom.

Konstrukcija kružnice koja prolazi dati poen I tangenta na datu kružnicu

u datoj tački B.

Pronalaženje sredine prave linije AB. Kroz sredinu prave AB nacrtajte okomicu. Nastavak raskrsnice

OB i okomite prave daju tačku Oko 1. Oko 1 - središte željene kružnice sa radijusom R = O 1 B = O 1 A.

Pairings. Unutrašnja tangentnost kruga i luka.

Konstruisanje konjugacije kružnice sa pravom linijom u datoj tački A na pravoj liniji.

Iz date tačke A prave LM vraćamo okomicu na pravu LM. U nastavku

Okomito odvojite segment AB. AB = R. Tačku B povezujemo sa središtem kružnice O 1 pravom linijom.

Iz tačke A povlačimo pravu liniju paralelnu sa BO 1 dok se ne ukršta sa kružnicom. Hajde da shvatimo To- tačka

Dodirnite. Povežite tačku K sa centrom kružnice O 1 . Produžimo prave O 1 K i AB do raskrsnice. Hajde da shvatimo

Oko 2, koji je centar luka konjugacije sa radijusom O 2 A \u003d O 2 K.

Pairings. Konjugacija kružnice sa pravom linijom u datoj tački.

Konstruisanje konjugacije kružnice sa pravom linijom u tački A datoj na kružnici.

Eksterni dodir.

Trošimo tangenta na kružnicu kroz tačku ALI. Presek tangente sa pravom linijom LM daće tačku AT.

Podela ugla na pola

Oko 1. Oko 1 O 1 A \u003d O 1 K.

Unutrašnji dodir.

Trošimo tangenta na kružnicu kroz tačku ALI. Presek tangente sa LM linijom će dati tačku AT.

Podela ugla, formiran tangentom i pravom linijom LM , na pola. Presjek simetrale ugla i

Produženje radijusa OA će dati poen Oko 1. Oko 1 - O 1 A \u003d O 1 K.

Pairings. Konjugacija kružnice sa pravom linijom u datoj tački na kružnici.

Konjugacija dva nekoncentrična luka kružnica pomoću luka datog polumjera.

Crtajte iz centra luka Oko 1 pomoćni luk sa radijusom R 1 -R 3 . Crtajte iz centra luka O 2 pomoćni

Radijus luka R2+R3. Presjek lukova će dati tačku Oh, Oh- centar luka konjugacije sa radijusom R3. dodirne tačke

K 1 i K 2 lezi na linijama OO 1 i OO 2.

Pairings. Uparivanje 2 nekoncentrična luka kružnica sa lukom.

Konstrukcija krive krive odabirom lukova.

Odabirom centara lukova koji se poklapaju sa dijelovima krive, možete nacrtati bilo koju krivulju pomoću šestara.

Da bi lukovi glatko prelazili iz jednog u drugi, potrebno je da tačke njihove konjugacije (tangencije)

Bili su na pravim linijama koje su povezivale centre ovih lukova.

Redoslijed konstrukcija.

Biramo centar 1 lukovi proizvoljnog preseka ab.

U nastavku prvo radijus odaberite centar 2 iscrtati radijus luka b.c.

U nastavku sekunda radijus odaberite centar 3 iscrtati radijus luka cd itd.

Tako gradimo cijelu krivu.

Pairings. Izbor lukova.

Konjugacija dvije paralelne prave sa dva luka.

Tačke definirane na ravnim paralelnim linijama ALI i AT povezati linijom AB.

Birajte na pravoj liniji AB proizvoljna tačka M.

Podijelimo segmente AM i VM na pola.

Vraćamo okomice u sredini segmenata.

U tačkama A i B, datim pravima, vraćamo okomice na prave.

raskrsnica relevantan okomiteće dati bodove Oko 1 i Oko 2.

Oko 1 centar luka konjugacije sa radijusom O 1 A \u003d O 1 M.

Oko 2 centar luka konjugacije sa radijusom O 2 V \u003d O 2 M.

Ako je poenta M izaberite on srednji linije AB, onda radijusi konjugacijski lukovi će su jednaki.

Dodirni lukovi u tački M nalazi se na liniji Oko 1 Oko 2.

Pairings. Konjugacija paralelnih pravih sa dva luka.

Centar za uparivanje- tačka jednako udaljena od linija parenja. I zajednička tačka za ove linije se zove tačka konjugacije .

Konjugacija se izvodi pomoću kompasa.

Moguće su sljedeće vrste uparivanja:

1) konjugacija linija koje se seku pomoću luka datog poluprečnika R (zaokruživanje uglova);

2) konjugaciju kružnog luka i prave linije pomoću luka datog poluprečnika R;

3) konjugaciju lukova kružnica poluprečnika R 1 i R 2 pravom linijom;

4) konjugacija lukova dva kruga poluprečnika R 1 i R 2 lukom datog poluprečnika R (spoljna, unutrašnja i mešovita konjugacija).

Kod eksternog parenja, centri spojnih lukova poluprečnika R 1 i R 2 leže izvan spojnog luka poluprečnika R. Kod unutrašnjeg parenja, centri parnih lukova leže unutar spojnog luka poluprečnika R. Kod mešovitog parenja, centar jednog od spojnih lukova leži unutar spojnog luka poluprečnika R, a centar drugog spojnog luka - izvan njega.

U tabeli. 1 prikazuje konstrukciju i daje kratka objašnjenja za konstrukciju jednostavnih konjugacija.

PairingsTabela 1

Primjer jednostavnih drugara	Grafička konstrukcija parova	Kratko objašnjenje za konstrukciju

1. Konjugacija linija koje se seku pomoću luka datog radijusa R.		Nacrtajte ravne linije paralelne sa stranama ugla na udaljenosti R. Od tačke O međusobnim presjekom ovih pravih, spuštanjem okomica na strane ugla, dobijamo tačke konjugacije 1 i 2 . Radijus R nacrtati luk.
2. Konjugacija kružnog luka i prave linije pomoću luka datog polumjera R.		Na daljinu R povući liniju paralelnu datoj pravoj, a iz centra O 1 poluprečnika R+R 1- luk kruga. Dot O- centar luka konjugacije. tačka 2 dolazimo na okomicu povučenu iz tačke O na datu pravu liniju, a tačku 1 - na pravu liniju OO 1 .
3. Konjugacija lukova dvaju krugova poluprečnika R1 i R2 duž.		Iz tačke O 1 nacrtajte kružnicu poluprečnika R 1 - R2. Segment O 1 O 2 podijelimo na pola i iz tačke O 3 povučemo luk poluprečnika 0,5 O 1 O 2 . Povežite tačke O 1 i O 2 sa tačkom ALI. Iz tačke O 2 ispustite okomicu na pravu AO 2, bodova 1.2 - tačke uparivanja.

Tabela 1 se nastavlja


4. Konjugacija lukova dvaju krugova poluprečnika R1 i R2 luk datog poluprečnika R(eksterno uparivanje).		Iz centara O 1 i O 2 crtaju lukove radijusa R+R 1 i R + R 2 . O 1 i O 2 sa tačkom O. Tačke 1 i 2 su tačke spajanja.
5. Konjugacija lukova dvaju krugova poluprečnika R1 i R2 luk datog poluprečnika R(interno uparivanje).		Iz centara O 1 i O 2 crtaju lukove radijusa R-R1 i R-R2. Dobili smo poen O- centar luka konjugacije. povežite tačke O 1 i O 2 sa tačkom O do preseka sa datim kružnicama. bodova 1 i 2- spojne tačke.
6. Konjugacija lukova dvaju krugova poluprečnika R1 i R2 luk datog poluprečnika R(mješovita konjugacija).		Iz centara O 1 i O 2 nacrtajte lukove radijusa R- R 1 i R + R 2 . Dobijamo tačku O - centar luka konjugacije. povežite tačke O 1 i O 2 sa tačkom O do preseka sa datim kružnicama. bodova 1 i 2- spojne tačke.

zakrivljene krive

To su zakrivljene linije kod kojih se zakrivljenost kontinuirano mijenja na svakom njihovom elementu. Zakrivljene krive se ne mogu nacrtati šestarom, one se grade iz niza tačaka. Prilikom crtanja krive, rezultirajući niz tačaka povezuje se duž uzorka, pa se naziva zakrivljena linija. Preciznost građenja krive krive se povećava sa povećanjem broja međutočaka na presjeku krive.

Zakrivljene krive uključuju takozvane ravne dijelove konusa - elipsa, parabola, hiperbola, koji se dobijaju kao rezultat presjeka kružnog konusa ravninom. Takve krive su razmatrane prilikom izučavanja predmeta "Deskriptivna geometrija". Krive takođe uključuju evolventni, sinusoida, Arhimedova spirala, cikloidne krive.

Elipsa- lokus tačaka, čiji je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke (fokusa) konstantna vrijednost.

Najrasprostranjenija metoda konstruisanja elipse duž datih poluosi AB i CD. Pri konstruisanju se crtaju dva koncentrična kruga čiji su prečnici jednaki datim osama elipse. Za izgradnju 12 tačaka elipse, krugovi se dijele na 12 jednakih dijelova, a rezultirajuće tačke se povezuju sa centrom.

Na sl. 15 prikazuje konstrukciju šest tačaka gornje polovine elipse; donja polovina je nacrtana na isti način.

Evolventni- je putanja kružne tačke formirana njenim raspoređivanjem i ispravljanjem (razvijanjem kruga).

Konstrukcija evolvente prema datom prečniku kruga prikazana je na sl. 16. Krug je podijeljen na osam jednakih dijelova. Iz tačaka 1,2,3 nacrtajte tangente na kružnicu, usmjerene u jednom smjeru. Na posljednjoj tangenti, evolventni korak je postavljen jednak opsegu

(2 pR), a rezultujući segment je takođe podeljen na 8 jednakih delova. Stavljajući jedan dio na prvu tangentu, dva dijela na drugu, tri dijela na treću itd., dobijamo evolventne tačke.

Cikloidne krive- ravne zakrivljene linije opisane točkom koja pripada krugu koji se kotrlja bez klizanja duž prave linije ili kruga. Ako se u isto vrijeme krug kotrlja u pravoj liniji, tada tačka opisuje krivulju koja se zove cikloida.

Konstrukcija cikloide prema datom prečniku kruga d prikazana je na Sl.17.

Rice. 17

Krug i segment dužine 2pR podijeljeni su na 12 jednakih dijelova. Nacrtajte ravnu liniju kroz centar kruga paralelno sa segmentom linije. Od tačaka podjele segmenta do prave linije povlače se okomite. U tačkama njihovog preseka sa pravom linijom dobijamo O 1, O 2, O 3 itd. su centri kotrljajućeg kruga.

Iz ovih centara opisujemo lukove poluprečnika R. Kroz tačke podjele kružnice povlačimo prave paralelne pravoj liniji koja spaja centre kružnica. Na presjeku prave linije koja prolazi kroz tačku 1 sa lukom opisanim iz centra O1 nalazi se jedna od tačaka cikloide; kroz tačku 2 sa drugom iz centra O2 - druga tačka itd.

Ako se krug kotrlja duž drugog kruga, nalazeći se unutar njega (duž konkavnog dijela), tada tačka opisuje krivulju tzv. hipocikloid. Ako se krug kotrlja duž drugog kruga, nalazi se izvan njega (duž konveksnog dijela), tada tačka opisuje krivulju tzv. epicikloid.

Konstrukcija hipocikloida i epicikloida je slična, ali umjesto segmenta dužine 2pR uzima se luk kružnice vodilice.

Konstrukcija epicikloide prema datom poluprečniku pokretne i nepokretne kružnice prikazana je na Sl.18. Ugao α, koji se izračunava po formuli

α = 180°(2r/R), a krug poluprečnika R je podeljen na osam jednakih delova. Povučen je luk kružnice poluprečnika R + r i iz tačaka O 1 , O 2 , O 3 .. - kružnica poluprečnika r.

Konstrukcija hipocikloide po datim poluprečnikima pokretnih i nepokretnih kružnica prikazana je na Sl.19. Ugao α, koji se izračunava, i krug poluprečnika R podijeljeni su na osam jednakih dijelova. Povučen je luk kružnice poluprečnika R - r i iz tačaka O 1, O 2, O 3 ... - kružnica poluprečnika r.

Parabola- ovo je lokus tačaka jednako udaljenih od fiksne tačke - fokusa F i fiksne linije - direktrise, okomite na osu simetrije parabole. Konstrukcija parabole prema datom segmentu OO \u003d AB i tetivi CD prikazana je na slici 20.

Direktni OE i OS podijeljeni su na isti broj jednakih dijelova. Dalja konstrukcija je jasna iz crteža.

Hiperbola- lokus tačaka, čija razlika u udaljenostima od dvije fiksne tačke (fokusa) - je konstantna vrijednost. Predstavlja dvije otvorene, simetrično smještene grane.

Konstantne tačke hiperbole F 1 i F 2 su fokusi, a razmak između njih naziva se žarište. Segmenti linija koji povezuju tačke krive sa žarištima nazivaju se radijus vektori. Hiperbola ima dvije međusobno okomite ose - realnu i imaginarnu. Prave koje prolaze kroz centar presjeka osa nazivaju se asimptote.

Konstrukcija hiperbole prema datoj žižnoj daljini F 1 F 2 i uglu α između asimptota prikazana je na Sl.21. Nacrtana je osa na kojoj je ucrtana žižna daljina, koja je prepolovljena točkom O. Kroz tačku O povučena je kružnica poluprečnika 0,5F 1 F 2 dok se ne siječe u tačkama C, D, E, K. Povezivanje tačaka C sa D i E sa K, dobijaju se tačke A i B su vrhovi hiperbole. Od tačke F 1 ulijevo, označene su proizvoljne tačke 1, 2, 3 ... rastojanja između kojih bi se trebala povećavati kako se udaljavaju od fokusa. Iz žarišnih tačaka F 1 i F 2 poluprečnika R=B4 i r=A4 povlače se lukovi do međusobnog presjeka. Tačke preseka 4 su tačke hiperbole. Ostale tačke su konstruisane na sličan način.

sinusoida- ravna kriva koja izražava zakon promjene sinusa ugla u zavisnosti od promjene veličine ugla.

Prikazana je konstrukcija sinusoida za dati prečnik kruga d

na sl. 22.

Da biste ga izgradili, podijelite dati krug na 12 jednakih delova; segment jednak dužini date kružnice (2pR) dijeli se na isti broj jednakih dijelova. Crtajući horizontalne i vertikalne prave linije kroz tačke podele, pronalaze tačke sinusoida na njihovom preseku.

Arhimedova spirala - e zatim ravan kriva, opisana tačkom, koja se ravnomerno rotira oko datog centra i u isto vreme jednoliko se udaljava od njega.

Konstrukcija Arhimedove spirale za dati prečnik kruga D prikazana je na Sl.23.

Obim i polumjer kružnice podijeljeni su na 12 jednakih dijelova. Dalja konstrukcija je vidljiva sa crteža.

Prilikom konstruiranja konjugacija i zakrivljenih krivulja potrebno je pribjeći najjednostavnijim geometrijskim konstrukcijama - kao što je podjela kruga ili prave linije na nekoliko jednakih dijelova, podjela ugla i segmenta na pola, građenje okomica, simetrala itd. Sve ove konstrukcije proučavane su u disciplini "Crtanje" školski kurs te stoga nisu detaljno razmotreni u ovom priručniku.

1.5 Smjernice za implementaciju

U opštem slučaju, konstrukcija konjugacije kružnice m poluprečnika R 1 i prave linije l sa krugom poluprečnika R (slika 30, a, b) izvodi se na sledeći način:

- na udaljenosti R paralelno sa l povlačimo l '(GM na pravu liniju);

- sa centrom u tački O 1 povlačimo m '(GM u kružnicu), sa poluprečnikom jednakim zbroju R i R 1 ili poluprečnikom jednaka razlici R i R 1 ;

– tačka O preseka l’ i m’ je centar konjugacije;

- ispustimo okomicu iz O na pravu l. Dobijamo spojnu tačku A;

- povući pravu liniju kroz O i O 1 i označiti tačku konjugacije B njenog preseka sa kružnicom m;

- sa centrom u tački O sa radijusom R između tačaka A i B, nacrtamo luk konjugacije.

Rice. 30. Konjugacija prave sa kružnicom

Konjugacija dva kruga

Prilikom izgradnje eksterno uparivanje dvije kružnice m 1 i m 2 lukom datog polumjera R (slika 31) centar spojnog luka - tačka O - određen je presjekom dva geometrijska mjesta m 1 ' i m 2 ' - pomoćne kružnice radijusi R + R 1 i R + R 2, povučeni redom iz centara konjugiranih krugova, tj. iz tačaka O 1 i O 2. Tačke konjugacije A i B su definisane kao tačke preseka datih kružnica sa pravim linijama OO 1 i OO 2.

Interno uparivanje lukovi radijusa R 1 i R 2 sa lukom poluprečnika R prikazan je na sl. 32.

Rice. 31. Eksterno uparivanje dva kruga

Rice. 32. Unutrašnja konjugacija dva kruga

Da bismo odredili centar O luka konjugacije, povlačimo pomoćne lukove m 1 'i m 2 ' iz tačaka O 1 i O 2 - dva geometrijska mjesta - poluprečnika R–R 1 i R–R 2. Tačka presjeka ovih lukova je centar konjugacije. Od tačke O kroz tačke O 1 i O 2 povlačimo prave do preseka sa kružnicama m 1 i m 2 i dobijamo tačke konjugacije A i B. Između ovih tačaka luk konjugacione kružnice poluprečnika R je nacrtana sa centrom u tački O.

At mješovita konjugacija(Sl. 33) centar konjugacije O je određen na preseku dva geometrijska mesta - pomoćnih kružnica poluprečnika R + R 1 i R–R 2, povučenih iz centara O 1 i O 2, respektivno. Tačke konjugacije A i B leže u preseku linija centara OO 1 i OO 2 sa lukovima datih kružnica.

Rice. 33. Konstrukcija mješovite konjugacije dva kruga

Konstrukcija tangentnih linija

Konstrukcija tangenti na kružnice zasniva se na činjenici da je tangentna linija okomita na polumjer kružnice povučene do točke dodira.

Konstrukcija tangente na kružnicu iz tačke A koja leži izvan kruga (slika 34). Segment OA koji povezuje datu tačku A sa centrom O kružnice je podeljen na pola i iz rezultujuće tačke O 1, kao iz centra, opisujemo pomoćnu kružnicu poluprečnika O 1 A. Pomoćna kružnica seče datu kružnicu u tački B, koja je tačka kontakta. Prava AB će biti tangenta na kružnicu, jer ugao ABO je pravi, kako je upisan u pomoćnu kružnicu i na osnovu njenog prečnika.

Konstrukcija tangente na dvije kružnice. Tangenta na dvije kružnice može biti vanjska ako se obje kružnice nalaze na istoj njenoj strani, i unutrašnja ako se kružnice nalaze na različitim stranama tangente.

Rice. 34. Konstrukcija tangente na kružnicu

Da bismo izgradili vanjsku tangentu na kružnice polumjera R 1 i R 2 (slika 35), postupimo na sljedeći način:

jedan). iz centra O 2 većeg kruga crtamo pomoćni krug poluprečnika R 2 -R 1;

2). segment O 1 O 2 je podijeljen na pola;

3). sa centrom O 3 crtamo pomoćni krug poluprečnika O 3 O 2;

četiri). označite tačke preseka dva pomoćna kruga - M i N;

5). kroz tačku O 2 i dobijene tačke povlačiti prave linije dok se ne seku sa kružnicom poluprečnika R 2 . Dobijamo tačke B i D;

6). iz središta O 1 povlačimo prave O 1 A i O 1 C, redom, paralelne sa O 2 B i O 2 D dok se ne sijeku s krugom polumjera R 1 u tačkama A i C.

Prave AB i CD su željene vanjske tangente na dvije kružnice.

Rice. 35. Konstrukcija vanjske tangente na dvije kružnice

Konstrukcija unutrašnje tangente na dvije kružnice poluprečnika R 1 i R 2 (sl. 36).

Rice. 36. Konstrukcija unutrašnje tangente na dvije kružnice

Iz središta jednog od krugova, na primjer iz O 1, nacrtamo pomoćni krug polumjera R 1 + R 2. Odsječak O 1 O 2 podijelimo na pola i iz dobivene točke O 3 nacrtamo drugu pomoćnu kružnicu polumjera O 1 O 3. Tačke M i N preseka pomoćnih kružnica pravimo sa centrom O 1 i na njihovom preseku sa kružnicom poluprečnika R 1 dobijamo dodirne tačke A i C. Iz tačke O 2 povlačimo pravu liniju paralelnu sa O 1 A i dobijamo dodirnu tačku B na kružnici R 2. Slično je konstruisana tačka D. Prave AB i CD su potrebne unutrašnje tangente na dve kružnice.

Lekcija broj 23.

Pairings

Prikaži više dijelova koji imaju filete.

Ispitujući detalje, vidimo da u njihovom dizajnu često jedna površina prelazi u drugu. Obično su ovi prijelazi glatki, što povećava snagu dijelova i čini ih pogodnijim za rad.

Na crtežu su površine prikazane linijama koje također glatko prelaze iz jedne u drugu.

Takav glatki prijelaz s jedne linije (površine) na drugu liniju (površinu) naziva se konjugacija.

Prilikom konstruisanja konjugacije potrebno je odrediti granicu gdje se završava jedna linija, a počinje druga, tj. pronađite prelaznu tačku na crtežu, koja se zove tačka konjugacije ili dodirna tačka .

Problemi konjugacije mogu se uslovno podijeliti u 3 grupe.

Prva grupa zadataka uključuje zadatke za konstruisanje parova, gde su uključene prave linije. To može biti direktan dodir linije i kruga, konjugacija dvije linije lukom datog radijusa, kao i crtanje tangentne linije na dvije kružnice.

Konstruirajte kružnicu tangentu na pravu liniju.

Konstrukcija kružnice tangente na pravu liniju , odnosi se na pronalaženje dodirne točke i centra kružnice.

Zadata horizontalna linija AB , potrebno je konstruisati krug sa poluprečnikom R tangenta na datu pravu (slika 1).

Tačka dodira se bira proizvoljno.

Pošto tačka tangente nije specificirana, krug radijusa R može dodirnuti ovu liniju u bilo kojoj tački. Postoji mnogo takvih krugova. Centri ovih krugova ( O 1 , O 2 itd.) biće na istoj udaljenosti od date prave linije, tj. na pravoj paralelnoj datoj pravoj AB na udaljenosti jednakoj poluprečniku date kružnice (slika 1). Nazovimo ovu liniju središnja linija .

Nacrtajte liniju centara paralelnu pravoj liniji AB na daljinu R . Budući da centar tangentne kružnice nije postavljen, uzimamo bilo koju tačku na središnjoj liniji, na primjer, tačku O.

Prije crtanja tangentne kružnice, mora se odrediti tačka tangente. Tačka kontakta će ležati na okomici ispuštenoj iz tačke O direktno AB . Na presjeku okomice s pravom AB dobiti poen DO, koja će biti tačka kontakta. Iz centra O radijus R sa tačke To nacrtajmo krug. Problem riješen.

Pišite u svoje sveske u kavezu slijedeći pravila:

Ako je ravna linija uključena u konjugaciju, tada:

centar kružnice koja se tangenta na pravu leži na pravoj liniji (liniji centara) povučenoj paralelno sa datom pravom linijom, na udaljenosti jednakoj poluprečniku date kružnice;

2) dodirna tačka leži na okomici povučenoj iz centra kružnice na datu pravu liniju.

Konjugacija dva prava.

Na ravni, dvije prave mogu biti paralelne ili pod uglom jedna prema drugoj.

Za konstruiranje konjugacije dvije prave potrebno je nacrtati kružnicu tangentu na ove dvije prave.

Otvorite svoje radne sveske na 31. stranici.

Razmotrimo konjugaciju dvije neparalelne prave.

Dvije neparalelne linije nalaze se pod uglom jedna u odnosu na drugu, koja može biti ravna, tupa ili oštra. Prilikom izrade crteža dijelova, takve uglove često treba zaokružiti lukom određenog radijusa (slika 1). Zaokruživanje uglova na crtežu nije ništa drugo do konjugacija dvije neparalelne prave linije s lukom kružnice određenog polumjera. Da biste izvršili uparivanje, morate pronaći centar luka za uparivanje i tačke uparivanja.

Poznato je da ako je ravna linija uključena u konjugaciju, tada se središte luka konjugacije nalazi na središnjoj liniji, koja je povučena paralelno sa datom pravom linijom na udaljenosti jednakoj poluprečniku R konjugacijski lukovi.

Budući da ugao čine dvije prave, dvije linije centara povlače se paralelno svakoj pravoj liniji na udaljenosti jednakoj poluprečniku R konjugacijski lukovi. Tačka njihovog presjeka bit će centar luka konjugacije.

Da biste pronašli tačke konjugacije iz tačke O spustimo okomite na date prave i dobijemo tačke konjugacije To i To 1 . Poznavanje tačaka i centra konjugacije, iz tačke O radijus R voditi luk konjugacije. Prilikom praćenja crteža prvo pratite luk, a zatim tangente.

Prilikom izgradnje konjugacije pravi ugao crtanje linije centara je pojednostavljeno, jer su strane ugla međusobno okomite. Od vrha ugla položite segmente jednake radijusu R lukovima konjugacije, i kroz dobijene tačke To i To 1 , koje će biti dodirne točke, nacrtajte dvije linije centara paralelno sa stranama ugla. To će biti i središnje linije i okomite koje definiraju spojne točke. To i To 1 (str. 31, sl. 1).

Stranica 31, zadatak 4. Konjugacija dvije paralelne prave.

Da bismo izgradili konjugaciju dvije paralelne prave, potrebno je nacrtati luk kružnice tangente na ove prave (slika 3).

Fig.3

Poluprečnik ovog kruga će biti jednak polovini udaljenosti između datih linija. Pošto tačka tangente nije data, postoji mnogo takvih krugova koji se mogu nacrtati. Njihovi će centri biti na pravoj liniji povučenoj paralelno sa datim pravim linijama na udaljenosti, pola udaljenosti između njih. Ova prava linija će biti linija centara.

dodirne tačke ( To 1 i To 2 ) leže na okomici ispuštenoj iz središta tangentne kružnice na date prave (slika 3a). Pošto centar tangentne kružnice nije određen, okomica se povlači proizvoljno. Segment linije QC 1 podijeljene na pola (slika 3b), kroz tačke sjecišta serifa paralelne sa datim linijama povlači se prava linija na kojoj će se nalaziti centri kružnica koje dodiruju date paralelne prave, tj. ova linija će biti linija centara. Stavljanje noge kompasa na tačku O , nacrtajte luk konjugacije (slika 3c) iz tačke To do tačke To 1 .

Konstrukcija linija tangentnih na kružnice

(R.T. str.33).

Vježba 1. Nacrtajte liniju tangentu na kružnicu kroz tačku ALI ležeći na krugu.

Od tačke O nacrtati pravu liniju OB kroz tačku ALI . Od tačke ALI Nacrtajte krug bilo kojeg radijusa. Na raskrsnici s pravom linijom primljeni su bodovi 1 i 2. Iz ovih tačaka bilo kojeg polumjera crtamo lukove dok se ne sijeku u tačkama C i D . Od tačke C ili D povući pravu kroz tačku ALI .

Ona će biti tangenta na kružnicu, pošto tangenta je uvek okomita na poluprečnik povučen u tačku tangente.

Zadatak 2.

Ova konstrukcija je slična konstrukciji okomite na pravu liniju kroz datu tačku, što se može izvesti pomoću dva kvadrata.

Prvo kvadrat 1 postavljeno je tako da se njegova hipotenuza poklapa sa tačkama O i A . Onda do kvadrat 1 nanosi se kvadrat 2 , koji će biti vodič, tj. duž koje će se trg kretati 1 . Zatim kvadrat 1 pričvrstite drugu nogu na kvadrat 2. Zatim kotrljamo kvadrat 1 po kvadratu 2 sve dok se hipotenuza ne poklopi sa tačkom A . I kroz tačku povlačimo liniju tangentu na kružnicu A .

Zadatak 3. Nacrtajte liniju tangentu na kružnicu kroz tačku koja nije na kružnici.

Zadana je kružnica s polumjeromR i tačka ALI , ne leži na krugu, potrebno je crtati iz tačkeALI prava linija tangentna na datu kružnicu u njenom gornjem dijelu. Da biste to učinili, morate pronaći točku kontakta. Znamo da tačka tangente leži na okomici povučenoj od centra kružnice do tangentne linije. Dakle, tangenta i okomica tvore pravi ugao.

Znajući da je svaki ugao upisan u krug i na osnovu njegovog prečnika pravi ugao, koji povezuje tačkeALI i O , uzeti segmentJSC za prečnik opisane kružnice. Na presjeku opisane kružnice i kružnice polumjeraR će biti vrh pravog ugla (tačkaTo ). Segment linije JSC podijelite na pola kompasom, dobijete poenO 1 (Sl. 4, b).

Iz centra O 1 poluprečnik jednak segmentuJSC 1 , nacrtati krug, dobiti bodoveTo i To 1 na raskrsnici sa krugom poluprečnikaR (Sl. 4, c).

Pošto trebate nacrtati samo jednu tangentu na vrh kruga, odaberite željenu tačku dodir. Ova tačka će biti poentaTo . tačka To povezati sa tačkamaALI i O , dobijamo pravi ugao, koji se oslanja na prečnikJSC opisan krug sa radijusomR 1 . Dot To - vrh ovog ugla (slika 4, d), segmentiuredu i AK - stranice pravog ugla, dakle, tačkaTo će biti željena tačka kontakta, a prava linijaAK - željena tangenta.

Fig.4

Crtanje prave tangente na dva kruga.

Date su dvije kružnice s polumjerima R i R 1 , potrebno je konstruisati tangentu na njih. Postoje dva slučaja kontakta: spoljašnji i unutrašnji.

Kod eksterne tangentnosti, tangentna linija je na istoj strani kružnica i ne siječe segment koji povezuje centre ovih kružnica.

Kod unutrašnje tangentnosti, tangentna linija je na različitim stranama kružnica i siječe segment koji povezuje središta kružnica.

Stranica 33. Zadatak 5. Nacrtajte liniju tangentu na dva kruga. Dodir je vanjski.

Prije svega, morate pronaći tačke kontakta. Poznato je da moraju ležati na okomicama povučenim iz središta kružnica ( O i O 1 ) na tangentu.

Od tačke O nacrtati krug sa radijusom R - R 1 , pošto je dodir spoljašnji.

Podijelite udaljenost OO 1 na pola i nacrtajte krug poluprečnika R =OO 2 =O 1 O 2

Ova kružnica siječe kružnicu polumjera R - R 1 u tački TO. Povezujemo ovu tačku sa O 1 .

Od tačke O kroz tačku To nacrtajte pravu liniju dok se ne ukrsti s krugom radijusa R . imam poentu To 1 - prva tačka kontakta.

Od tačke O 1 povuci paralelnu liniju QC 1 , dok se ne siječe s krugom polumjera R 1 . Imam drugu dodirnu tačku To 2 . Povezivanje tačaka To 1 i To 2 . Ovo je tangenta na dvije kružnice.

Zadatak 6. Nacrtajte liniju tangentu na dva kruga. Dodir je unutrašnji.

Konstrukcija je slična, samo sa unutrašnjim kontaktom poluprečnik pomoćne kružnice povučen iz tačke O jednak je zbiru poluprečnika kružnica R + R 1 .

Druga grupa problema uparivanja uključuje zadatke koji uključuju samo krugove i lukove. Glatki prijelaz iz jednog kruga u drugi može se dogoditi ili direktno dodirom, ili kroz treći element - luk kruga.

Tangencija dva kruga može biti spoljašnja (PT: str.32, sl.3) ili unutrašnja (PT: str.32, sl.4).

Zadatak 3 (strana 32)

Kada se dva kruga dodiruju spolja, udaljenost između centara ovih kružnica bit će jednaka zbiru njihovih polumjera.

Od tačke O radijus R + R C napravimo luk. Od tačke O 1 radijus R 1 + R C O OD - centar konjugacije.

Povezivanje tačaka O i O 1 sa centrom konjugacije O OD . Na krugovima su dobijene dodirne tačke (konjugacija).

Od tačke O OD mate radijus R C 30 spojnih tačaka kontakta.

Zadatak 4 (strana 32)

Kada se dvije kružnice dodiruju iznutra, jedna od tangentnih kružnica nalazi se unutar druge kružnice, a udaljenost između centara ovih kružnica bit će jednaka razlici njihovih polumjera.

Od tačke O radijus ( R C – R ) napravimo luk. Od tačke O 1 radijus ( R C – R 1 ) nacrtajte luk dok se ne ukrsti sa prvim lukom. imam poentu O OD - centar konjugacije.

Centar za uparivanje O OD povezati sa tačkama O i O 1 sa i produžite ravnu liniju dalje.

Na krugovima su dobijene dodirne tačke (konjugacija).

Od tačke O OD mate radijus R C 60 spojnih tačaka kontakta.

Treća grupa problema uparivanja uključuje zadatke za konjugaciju prave linije i luka kružnice sa lukom datog polumjera.

Obavljajući takav zadatak, oni rješavaju, takoreći, dva problema: crtanje tangentnog luka na pravu liniju i tangentnog luka na kružnicu. Dodir u ovom slučaju može biti i vanjski i unutrašnji.

RT: strana 32. Zadatak 1. Konjugacija kružnice i prave linije. Dodir je vanjski. R C 20 .

Date su prava linija i kružnica s polumjerom R , potrebno je konstruirati konjugaciju po luku radijusa R C 20 .

Pošto je u spojnoj liniji uključena ravna linija, središte luka spoja nalazi se na pravoj liniji povučenoj paralelno sa datom linijom na udaljenosti jednakoj polumjeru spoja R C 20 . Stoga, paralelno sa datom pravom linijom na udaljenosti od 20 mm, povlačimo još jednu pravu liniju.

A centar luka konjugacije, kada se dva kruga dodiruju spolja, nalazi se na krugu radijusa, jednak zbiru radijusi R i R C . Dakle, sa tačke gledišta O radijus ( R + R C O OD

Zatim nalazimo dodirne tačke. Prva tačka dodira je okomica ispuštena iz središta spojnice na datu liniju. Drugu spojnu tačku pronalazimo spajanjem središta spoja O OD i centar kruga R . Tačka tangente će ležati na prvom preseku sa kružnicom, pošto je tangenta spoljašnja.

Onda iz tačke O OD radijus R C 20 spojite tačke ukrštanja.

RT: strana 32. Zadatak 2. Konjugacija kružnice i prave linije. Dodir je unutrašnji. R C 60 .

Nacrtajte liniju centara paralelnu datoj pravoj liniji na udaljenosti od 60 mm. Od tačke O radijus ( R With - R ) do raskrsnice nacrtamo luk sa novom pravom linijom (linija centara). Hajde da shvatimo O OD , koji je centar konjugacije.

Od O OD povucite liniju kroz centar kruga O i okomita na datu pravu. Dobijamo dvije kontaktne tačke. A zatim iz središta uparivanja s radijusom od 60 mm povezujemo tačke kontakta.

Uparivanje je glatki prijelaz iz jedne linije u drugu. Glatki prijelaz može se obaviti i uz pomoć kružnih linija
(lukovi krugova), te uz pomoć zakrivljenih krivulja (lukovi elipse, parabole ili hiperbole). Razmotrit ćemo samo slučajeve konjugacije uz pomoć lukova kružnica. Od svih raznih konjugacija razne linije mogu se razlikovati sljedeće glavne vrste konjugacija: konjugacija dvije različito locirane prave pomoću luka kružnice, konjugacija prave s lukom kružnice, konstrukcija zajedničke tangente na dvije kružnice, konjugacija dvije kružnice trećina. Bilo koju vrstu uparivanja treba izvesti u sljedećem redoslijedu:

- pronaći centar luka konjugacije,

- pronađite priključne tačke,

- konjugacijski luk je nacrtan sa datim radijusom.

Različite vrste drugari su prikazani u tabeli 2:

tabela 2

Grafička konstrukcija parova	Kratko objašnjenje za konstrukciju

Konjugacija linija koje se seku lukom datog radijusa
	Nacrtajte ravne linije paralelne stranama ugla na udaljenosti R. Iz tačke O, međusobnog presjeka ovih pravih, spuštajući okomice na strane ugla, dobijamo tačke konjugacije 1 i 2. Sa poluprečnikom R, nacrtajte luk konjugacije između tačaka 1 i 2.
Konjugacija kružnice i prave linije pomoću luka datog polumjera
	Na udaljenosti R povucite pravu liniju paralelnu datoj pravoj liniji, a iz centra O 1 polumjera R + R 1 - luk kružnice. Tačka O je centar luka konjugacije. Dobijamo tačku 2 na okomici spuštenoj iz tačke O na datu pravu liniju, a tačku 1 - na preseku prave OO 1 i kružnice poluprečnika R.

Nastavak tabele 2

Konjugacija lukova dvaju kružnica pravom linijom
	Iz tačke O nacrtajte pomoćnu kružnicu poluprečnika R-R 1. Podijelite segment OO 1 na pola i iz tačke O 2 nacrtajte kružnicu poluprečnika 0,5 OO 1. Ova kružnica seče pomoćnu u tački K 0. Povezivanjem tačke K 0 sa tačkom O 1 dobijamo pravac zajedničke tangente. Tačke tangente K i K 1 nalaze se na presjeku okomita iz tačaka O i O 1 sa datim kružnicama.
Konjugacija lukova dvije kružnice s lukom datog polumjera (vanjska konjugacija)
	Iz centara O 1 i O 2 povucite lukove poluprečnika R + R 1 i R + R 2. Kada se ovi lukovi seku, dobijamo tačku O - centar luka konjugacije. Povežite tačke O 1 i O 2 sa tačkom O. Tačke K i K 1 su tačke konjugacije. Između tačaka K i K 1 nacrtajte luk konjugacije poluprečnika R.