Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku u datom smjeru. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu određenom faktor nagiba k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva središte snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2) piše se ovako:

Nagib prave koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A i B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije linije date jednadžbama nagiba

y = k 1 x + B 1 ,

Ovaj članak otkriva izvođenje jednačine prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravokutnom koordinatnom sistemu koji se nalazi na ravni. Izvodimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu. Vizuelno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih za obrađeni materijal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije dobijanja jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, potrebno je obratiti pažnju na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije nepodudarne tačke na ravni moguće povući pravu liniju i samo jednu. Drugim riječima, dvije date tačke ravni određene su pravom linijom koja prolazi kroz ove tačke.

Ako je ravan dana pravokutnim koordinatnim sistemom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednadžbi ravne linije na ravni. Postoji i veza sa usmjeravajućim vektorom prave linije.Ovi podaci su dovoljni da se sastavi jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

Razmotrimo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je sastaviti jednačinu prave a koja prolazi kroz dve neusklađene tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) koje se nalaze u Dekartovom koordinatnom sistemu.

U kanonskoj jednadžbi ravne linije na ravni, koja ima oblik x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , pravokutni koordinatni sistem O x y je specificiran ravnom linijom koja se siječe s njom u tački s koordinatama M 1 (x 1, y 1) sa vodećim vektorom a → = (a x , a y) .

Potrebno je sastaviti kanonska jednačina prava a koja će prolaziti kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) .

Prava a ima usmjeravajući vektor M 1 M 2 → sa koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), budući da seče tačke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe sa koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama tačaka M 1 koje leže na njima (x 1, y 1) i M 2 (x 2 , y 2) . Dobijamo jednačinu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Razmotrite sliku ispod.

Nakon proračuna, zapisujemo parametarske jednačine prave linije u ravni koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) . Dobijamo jednačinu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Pogledajmo pobliže nekoliko primjera.

Primjer 1

Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz 2 date tačke sa koordinatama M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Odluka

Kanonska jednadžba za pravu liniju koja se siječe u dvije tačke sa koordinatama x 1 , y 1 i x 2 , y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Prema uslovu zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Treba zamjena numeričke vrijednosti u jednadžbu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Odavde dobijamo da će kanonska jednadžba imati oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ako je potrebno riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, onda za početak možete prijeći na kanonsku, jer je iz nje lakše doći do bilo koje druge.

Primjer 2

Compose opšta jednačina prava linija koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sistemu.

Odluka

Prvo treba da zapišete kanonsku jednačinu date prave koja prolazi kroz date dve tačke. Dobijamo jednačinu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dovodimo kanonsku jednačinu u željeni oblik, tada dobijamo:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .

Primjeri takvih zadataka razmatrani su u školskim udžbenicima na časovima algebre. Školski zadaci su se razlikovali po tome što je poznata jednadžba ravne linije s koeficijentom nagiba, koja ima oblik y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b, na kojem jednačina y = k x + b definira pravu u sistemu O x y koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2 . Kada je x 1 = x 2 , tada nagib poprima vrijednost beskonačnosti, a prava linija M 1 M 2 definirana je općom nepotpunom jednačinom oblika x - x 1 = 0 .

Zato što su tačke M 1 i M 2 nalaze se na pravoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednačinu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sistem jednačina y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b u odnosu na k i b.

Da bismo to učinili, nalazimo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Sa takvim vrijednostima k i b, jednačina prave linije koja prolazi kroz date dvije tačke ima sljedeći oblik y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Pamtiti tako ogroman broj formula odjednom neće raditi. Da biste to učinili, potrebno je povećati broj ponavljanja u rješavanju problema.

Primjer 3

Napišite jednačinu prave linije sa nagibom koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Odluka

Da bismo riješili problem, koristimo formulu s nagibom koji ima oblik y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da zadata jednačina odgovaralo pravoj liniji koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (- 7 , - 5) i M 2 (2 , 1) .

bodova M 1 i M 2 smještene na pravoj liniji, tada njihove koordinate treba da obrnu jednadžbu y = k x + b u tačnu jednakost. Odavde dobijamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Kombinirajmo jednačinu u sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.

Nakon zamjene, to dobijamo

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sada se vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamjenjuju u jednadžbu y = k x + b. Dobijamo da će željena jednačina koja prolazi kroz date tačke biti jednačina koja ima oblik y = 2 3 x - 1 3 .

Ovakav način rješavanja predodređuje potrošnju veliki broj vrijeme. Postoji način na koji se zadatak rješava doslovno u dva koraka.

Pišemo kanonsku jednačinu prave koja prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5) , koja ima oblik x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sada pređimo na jednadžbu nagiba. Dobijamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .

Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravougaoni koordinatni sistem O x y z sa dve date nepodudarne tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), prava M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednačinu ove prave.

Imamo te kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednačine oblika x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ mogu postaviti pravu u koordinatnom sistemu O x y z koja prolazi kroz tačke koje imaju koordinate (x 1, y 1, z 1) sa usmjeravajućim vektorom a → = (a x, a y, a z) .

Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , gdje prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat, parametarski x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Razmotrite sliku koja prikazuje 2 date tačke u prostoru i jednačinu prave linije.

Primjer 4

Napišite jednačinu prave linije definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z trodimenzionalnog prostora, prolazeći kroz date dve tačke sa koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5 ) .

Odluka

Moramo pronaći kanonsku jednačinu. As mi pričamo o trodimenzionalnom prostoru, što znači da kada ravna linija prolazi kroz date tačke, željena kanonska jednadžba će poprimiti oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1.

Po uslovu imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iz toga slijedi da se potrebne jednačine mogu napisati na sljedeći način:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Postoji beskonačno mnogo pravih koje se mogu povući kroz bilo koju tačku.

Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju, postoji samo jedna prava linija.

Dvije nepodudarne prave u ravni ili se sijeku u jednoj tački, ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

Postoje tri opcije u 3D prostoru. relativnu poziciju dvije ravne linije:

• linije se seku;

• prave su paralelne;

• prave se seku.

Pravo linija- algebarska kriva prvog reda: u Dekartovom koordinatnom sistemu prava linija

je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije.

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nije jednako nuli u isto vrijeme. Ova jednačina prvog reda se zove general

jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i With Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija se poklapa sa osom OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija se poklapa sa osom Oh

Jednačina prave linije može se predstaviti u razne forme zavisno od bilo koje date

početni uslovi.

Jednadžba prave linije sa tačkom i vektorom normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na pravu datu jednacinom

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Odluka. Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C

u rezultirajući izraz zamjenjujemo koordinate date tačke A. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M2 (x 2, y 2 , z 2), onda jednačina prave linije,

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. Na

ravni, gore napisana jednačina prave je pojednostavljena:

ako x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako x 1 = x 2 .

Razlomak = k pozvao faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Odluka. Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednadžba prave linije po tački i nagibu.

Ako je opšta jednačina prave linije Ah + Wu + C = 0 dovesti u formu:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.

Po analogiji sa tačkom koja uzima u obzir jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i vektor pravca prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Bα 2 = 0 pozvao vektor smjera prave linije.

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Odluka. Tražićemo jednadžbu željene prave linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x=1, y=2 dobijamo C/ A = -3, tj. željena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada, dijeljenjem sa -C, dobijamo:

ili , gdje

geometrijskom smislu koeficijenti u tome što je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osovinom Oh, a b- koordinata tačke preseka prave sa osom OU.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako obje strane jednačine Ah + Wu + C = 0 podijeliti brojem , koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave linije.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * C< 0.

R- dužina okomice spuštena od početka do prave,

a φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave linije 12x - 5y - 65 = 0. Obavezno pisati Razne vrste jednačine

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave linije u segmentima:

Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave linije:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između linija na ravni.

Definicija. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, onda oštar ugao između ovih redova

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dva prave linije su okomite,

ako k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direktno Ah + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 \u003d λB. Ako takođe S 1 \u003d λS, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku je okomita na datu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do linije Ah + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

direktno. Zatim udaljenost između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi dati poen M 0 okomito

zadata linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Budući da ravna linija prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da je u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) paralelna s y-osi. Njegova jednadžba je x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, tada se jednadžba ravne linije može napisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna s x-osi.

Jednačina prave linije u segmentima

Neka prava linija siječe osu Ox u tački M 1 (a; 0), a os Oy - u tački M 2 (0; b). Jednačina će imati oblik:
one.
. Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente ravna linija odsijeca na koordinatnoj osi.

Jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku Mo (x O; y o) okomito na dati vektor koji nije nula n = (A; B).

Uzmite proizvoljnu tačku M(x; y) na pravoj liniji i razmotrite vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .

Vektor n = (A; B) okomit na pravu naziva se normalan normalni vektor ove linije .

Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C \u003d -Ax o - Vu o - slobodni član. Jednadžba (10.9) je opšta jednačina prave linije(vidi sl.2).

Sl.1 Sl.2

Kanonske jednadžbe prave linije

,

Gdje
su koordinate tačke kroz koju linija prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Krug je skup svih tačaka u ravni koje su jednako udaljene od date tačke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika R centriran na tačku
:

Konkretno, ako se centar udjela poklapa sa ishodištem, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup tačaka u ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke i , koji se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox i čije je ishodište u sredini između žarišta ima oblik
G de a dužina glavne poluose; b je dužina male poluose (slika 2).

Jednačina parabole je kvadratna funkcija. Postoji nekoliko opcija za sastavljanje ove jednačine. Sve zavisi od toga koji su parametri predstavljeni u stanju problema.

Uputstvo

Parabola je kriva koja po obliku podsjeća na luk i predstavlja graf funkcija snage. Bez obzira da li parabola ima karakteristike, ova je parna. Takva funkcija se zove parna, y za sve vrijednosti argumenta iz definicije, kada se promijeni znak argumenta, vrijednost se ne mijenja: f (-x) \u003d f (x) Počnite s najjednostavnijom funkcijom : y \u003d x ^ 2. Iz njegovog oblika možemo zaključiti da je i pozitivan i negativne vrijednosti argument x. Tačka u kojoj je x=0 i istovremeno y =0 smatra se tačkom.

Ispod su sve glavne opcije za konstruisanje ove funkcije i njene . Kao prvi primjer, ispod je funkcija oblika: f(x)=x^2+a, gdje je a cijeli broj Da bi se grafički prikazala ova funkcija, potrebno je pomaknuti graf funkcije f(x) po jedinicama. Primjer je funkcija y=x^2+3, gdje je funkcija pomaknuta duž y-ose za dvije jedinice. Ako je data funkcija suprotnog predznaka, na primjer y=x^2-3, tada se njen graf pomiče prema dolje duž y-ose.

Druga vrsta funkcije kojoj se može dati parabola je f(x)=(x + a)^2. U takvim slučajevima, graf se, naprotiv, pomera duž apscise (x-ose) za jedinicu. Na primjer, razmotrite funkcije: y=(x +4)^2 i y=(x-4)^2. U prvom slučaju, gdje postoji funkcija sa znakom plus, graf se pomiče duž x-ose ulijevo, au drugom slučaju udesno. Svi ovi slučajevi su prikazani na slici.