Nima parallelepiped deyiladi. kubsimon

Ta'rif

ko'pburchak ko'pburchaklardan tashkil topgan va fazoning qaysidir qismini chegaralovchi yopiq sirtni chaqiramiz.

Ushbu ko'pburchaklarning tomonlari bo'lgan segmentlar deyiladi qovurg'alar ko'pburchaklar va ko'pburchaklarning o'zlari - yuzlar. Ko'pburchaklarning uchlari ko'pburchakning uchlari deyiladi.

Biz faqat konveks ko'pburchakni ko'rib chiqamiz (bu har bir tekislikning bir tomonida o'z yuzini o'z ichiga olgan poliedr).

Ko'pburchakni tashkil etuvchi ko'pburchaklar uning sirtini hosil qiladi. Fazoning ma'lum ko'pburchak bilan chegaralangan qismi uning ichki qismi deb ataladi.

Ta'rif: prizma

Parallel tekisliklarda joylashgan \(A_1A_2A_3...A_n\) va \(B_1B_2B_3...B_n\) ikkita teng ko‘pburchakni ko‘rib chiqaylik, shunda segmentlar bir-biriga teng bo‘lsin. \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralleldir. \(A_1A_2A_3...A_n\) va \(B_1B_2B_3...B_n\) koʻpburchaklar, shuningdek parallelogrammalar bilan tuzilgan koʻp yuzli \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), deyiladi (\(n\)-ko'mir) prizma.

\(A_1A_2A_3...A_n\) va \(B_1B_2B_3...B_n\) koʻpburchaklar prizma, parallelogramm asoslari deyiladi. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– yon yuzlar, segmentlar \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- yon qovurg'alar.
Shunday qilib, prizmaning yon qirralari parallel va bir-biriga teng.

Bir misolni ko'rib chiqing - prizma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), uning asosi qavariq beshburchakdir.

Balandligi Prizma - bu bir asosning istalgan nuqtasidan boshqa asosning tekisligiga perpendikulyar.

Agar yon qirralarning asosga perpendikulyar bo'lmasa, unda bunday prizma deyiladi qiyshiq(1-rasm), aks holda - To'g'riga. To'g'ri prizma uchun yon qirralarning balandliklari, yon yuzlari esa teng to'rtburchaklardir.

Agar to'g'ri prizma asosida muntazam ko'pburchak yotsa, prizma deyiladi to'g'ri.

Ta'rif: hajm tushunchasi

Ovoz birligi birlik kubidir (o'lchamlari \(1\times1\times1\) birliklar\(^3\) bo'lgan kub, bu erda birlik qandaydir o'lchov birligi).

Aytishimiz mumkinki, ko'pburchakning hajmi bu ko'pburchak chegaralaydigan bo'shliq miqdoridir. Aks holda: bu qiymat raqamli qiymat bu birlik kub va uning qismlari berilgan ko'pburchakga necha marta to'g'ri kelishini ko'rsatadi.

Hajmi maydon bilan bir xil xususiyatlarga ega:

1. Teng raqamlarning hajmlari teng.

2. Agar ko‘pburchak bir necha kesishmaydigan ko‘pburchaklardan tashkil topgan bo‘lsa, uning hajmi summasiga teng bu ko'p yuzlilarning hajmlari.

3. Hajmi - manfiy bo'lmagan qiymat.

4. Hajmi sm\(^3\) (kub santimetr), m\(^3\) () bilan o‘lchanadi. Kub metr) va hokazo.

Teorema

1. Prizmaning yon yuzasining maydoni poydevor perimetri va prizma balandligining ko'paytmasiga teng.
Yon sirt maydoni prizmaning lateral yuzlari maydonlarining yig'indisidir.

2. Prizmaning hajmi asos maydoni va prizma balandligi ko‘paytmasiga teng: \

Ta'rif: quti

Parallelepiped Bu asosi parallelogramm bo'lgan prizma.

Parallelepipedning barcha yuzlari (ularning \(6\) : \(4\) yon yuzlari va \(2\) asoslari) parallelogrammlar, qarama-qarshi yuzlari (bir-biriga parallel) teng parallelogrammalardir (2-rasm).

Qutining diagonali- parallelepipedning bir yuzda yotmaydigan ikkita uchini birlashtiruvchi segment (ularning \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) va hokazo.).

kubsimon asosi to‘rtburchak bo‘lgan to‘g‘ri parallelepipeddir.
Chunki to'g'ri parallelepiped bo'lsa, u holda yon yuzlari to'rtburchaklardir. Shunday qilib, umuman olganda, to'rtburchaklar parallelepipedning barcha yuzlari to'rtburchaklardir.

Kuboidning barcha diagonallari teng (bu uchburchaklarning tengligidan kelib chiqadi). \(\uchburchak ACC_1=\uchburchak AA_1C=\uchburchak BDD_1=\uchburchak BB_1D\) va hokazo.).

Izoh

Shunday qilib, parallelepiped prizmaning barcha xossalariga ega.

Teorema

To'rtburchaklar parallelepipedning lateral yuzasining maydoni teng \

Kvadrat to'liq sirt to'rtburchak parallelepipedga teng \

Teorema

Kuboidning hajmi uning bir cho'qqidan chiqadigan uchta qirrasining ko'paytmasiga teng (kuboidning uch o'lchami): \

Isbot

Chunki to'rtburchaklar parallelepiped uchun yon qirralari asosga perpendikulyar bo'lsa, u holda ular ham uning balandliklari, ya'ni \(h=AA_1=c\) asosi to'rtburchak \(S_(\text(asosiy))=AB\cdot AD=ab\). Bu formuladan kelib chiqadi.

Teorema

Kuboidning diagonali \(d\) formula bo'yicha qidiriladi (bu erda \(a,b,c\) kuboidning o'lchamlari)\

Isbot

Shaklni ko'rib chiqing. 3. Chunki asosi to'rtburchak, keyin \(\triangle ABD\) to'rtburchaklar, shuning uchun Pifagor teoremasi bo'yicha \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Chunki barcha lateral qirralarning asoslarga perpendikulyar, keyin \(BB_1\perp (ABC) \O'ngga BB_1\) bu tekislikdagi har qanday chiziqqa perpendikulyar, ya'ni. \(BB_1\perp BD\) . Shunday qilib, \(\uchburchak BB_1D\) to'rtburchakdir. Keyin Pifagor teoremasi bilan \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Ta'rif: kub

Kub to'rtburchaklar parallelepiped bo'lib, uning barcha tomonlari teng kvadratlardir.

Shunday qilib, uch o'lcham bir-biriga teng: \(a=b=c\) . Shunday qilib, quyidagilar to'g'ri

Teoremalar

1. Qirgi \(a\) boʻlgan kubning hajmi \(V_(\text(kub))=a^3\) ga teng.

2. Kub diagonali \(d=a\sqrt3\) formulasi bilan qidiriladi.

3. Kubning umumiy sirt maydoni \(S_(\matn(toʻliq kub takrorlash))=6a^2\).

Parallelepiped - bu geometrik figura, uning barcha 6 yuzi parallelogrammdir.

Ushbu parallelogrammalarning turiga qarab, parallelepipedning quyidagi turlari ajratiladi:

• To'g'riga;
• moyil;
• to'rtburchaklar.

To'g'ri parallelepiped to'rtburchak prizma bo'lib, uning qirralari asos tekisligi bilan 90 ° burchak hosil qiladi.

To'rtburchak parallelepiped to'rtburchak prizma bo'lib, uning barcha yuzlari to'rtburchaklardir. Kub barcha yuzlari va qirralari teng bo'lgan to'rtburchak prizma turidir.

Shaklning xususiyatlari uning xususiyatlarini oldindan belgilaydi. Bularga quyidagi 4 ta bayonot kiradi:

Yuqoridagi barcha xususiyatlarni eslab qolish juda oddiy, ular tushunish oson va tur va xususiyatlardan kelib chiqqan holda mantiqiy ravishda olinadi geometrik jism. Biroq, oddiy bayonotlar odatiy USE vazifalarini hal qilishda juda foydali bo'lishi mumkin va testdan o'tish uchun zarur bo'lgan vaqtni tejaydi.

Parallelepiped formulalari

Muammoga javob topish uchun faqat raqamning xususiyatlarini bilish etarli emas. Geometrik jismning maydoni va hajmini topish uchun sizga ba'zi formulalar kerak bo'lishi mumkin.

Asoslarning maydoni parallelogramm yoki to'rtburchakning mos keladigan ko'rsatkichi sifatida ham topiladi. Siz parallelogramm asosini o'zingiz tanlashingiz mumkin. Qoidaga ko'ra, muammolarni hal qilishda, to'rtburchaklar asosiga qurilgan prizma bilan ishlash osonroq.

Test topshiriqlarida parallelepipedning yon yuzasini topish formulasi ham kerak bo'lishi mumkin.

Oddiy USE vazifalarini hal qilish misollari

1-mashq.

Berilgan: o'lchamlari 3, 4 va 12 sm bo'lgan kuboid.
Kerakli Shaklning asosiy diagonallaridan birining uzunligini toping.
Yechim: Geometrik muammoning har qanday yechimi to'g'ri va aniq chizmani qurish bilan boshlanishi kerak, unda "berilgan" va kerakli qiymat ko'rsatiladi. Quyidagi rasm misoldir to'g'ri dizayn vazifa shartlari.

Tuzilgan chizmani ko'rib chiqib, geometrik jismning barcha xususiyatlarini eslab, uni hal qilishning yagona to'g'ri yo'liga keldik. Parallelepipedning 4-xususiyatidan foydalanib, quyidagi ifodani olamiz:

Oddiy hisob-kitoblardan keyin b2=169 ifodasini olamiz, demak, b=13. Vazifaga javob topildi, uni izlash va chizish uchun 5 daqiqadan ko'proq vaqt ketishi kerak.

Dars maqsadlari:

1. Tarbiyaviy:

Parallelepiped tushunchasi va uning turlari bilan tanishtirish;
- parallelogramm va to‘rtburchakning o‘xshashligidan foydalanib) shakllantirish va parallelepiped va to‘rtburchak parallelepipedning xossalarini isbotlash;
- fazoda parallellik va perpendikulyarlikka oid savollarni takrorlash.

2. Rivojlanayotgan:

Talabalarda idrok, tushunish, fikrlash, diqqat, xotira kabi bilish jarayonlarini rivojlantirishni davom ettirish;
- o'quvchilarda elementlarning rivojlanishiga yordam berish ijodiy faoliyat fikrlash sifatlari sifatida (sezgi, fazoviy fikrlash);
- o‘quvchilarda geometriya fanidagi predmet ichidagi bog‘lanishlarni tushunishga yordam beradigan, shu jumladan analogiya orqali xulosa chiqarish qobiliyatini shakllantirish.

3. Tarbiyaviy:

Tashkilot, odatlarni tarbiyalashga hissa qo'shing tizimli ish;
- yozuvlarni tayyorlash, chizmalarni bajarishda estetik ko'nikmalarni shakllantirishga ko'maklashish.

Dars turi: dars-yangi materialni o'rganish (2 soat).

Dars tuzilishi:

1. Tashkiliy moment.
2. Bilimlarni dolzarblashtirish.
3. Yangi materialni o‘rganish.
4. Xulosa chiqarish va uy vazifasini belgilash.

Uskunalar: dalillar bilan plakatlar (slaydlar), turli geometrik jismlarning maketlari, shu jumladan barcha turdagi parallelepipedlar, grafik proyektor.

Darslar davomida.

1. Tashkiliy moment.

2. Bilimlarni dolzarblashtirish.

Dars mavzusini bayon qilish, talabalar bilan birgalikda maqsad va vazifalarni shakllantirish, mavzuni o'rganishning amaliy ahamiyatini ko'rsatish, ushbu mavzu bo'yicha ilgari o'rganilgan masalalarni takrorlash.

3. Yangi materialni o‘rganish.

3.1. Parallelepiped va uning turlari.

Parallelepipedlarning modellari prizma tushunchasidan foydalangan holda parallelepipedning ta'rifini shakllantirishga yordam beradigan xususiyatlarini aniqlash bilan namoyish etiladi.

Ta'rifi:

Parallelepiped Poydevori parallelogramm bo'lgan prizma deyiladi.

Parallelepiped chizilgan (1-rasm), parallelepipedning elementlari prizmaning maxsus holati sifatida keltirilgan. 1-slayd ko'rsatiladi.

Ta'rifning sxematik belgisi:

Ta'rifdan xulosalar chiqariladi:

1) Agar ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma va ABCD parallelogramm bo‘lsa, ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 bo‘ladi. parallelepiped.

2) Agar ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallelepiped, u holda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma va ABCD parallelogrammdir.

3) Agar ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma yoki ABCD parallelogramma bo‘lmasa, u holda
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - emas parallelepiped.

to'rtta). Agar ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 bo'lmasa parallelepiped, u holda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma emas yoki ABCD parallelogramm emas.

Keyinchalik, tasniflash sxemasini qurish bilan parallelepipedning maxsus holatlari ko'rib chiqiladi (3-rasmga qarang), modellar namoyish etiladi va to'g'ri va to'rtburchaklar parallelepipedlarning xarakterli xususiyatlari ajratiladi, ularning ta'riflari shakllantiriladi.

Ta'rifi:

Parallelepipedning yon qirralari asosga perpendikulyar bo'lsa, to'g'ri deyiladi.

Ta'rifi:

Parallelepiped deyiladi to'rtburchaklar, agar uning yon qirralari poydevorga perpendikulyar bo'lsa va taglik to'rtburchak bo'lsa (2-rasmga qarang).

Ta'riflarni sxematik shaklda yozgandan so'ng, ulardan xulosalar tuziladi.

3.2. Parallelepipedlarning xossalari.

Fazoviy analoglari parallelepiped va to'rtburchaklar parallelepiped (paralelogramma va to'rtburchak) bo'lgan planimetrik raqamlarni qidiring. Bunday holda, biz raqamlarning vizual o'xshashligi bilan shug'ullanamiz. O'xshashlik bo'yicha xulosa chiqarish qoidasidan foydalanib, jadvallar to'ldiriladi.

Analogiya bo'yicha xulosa chiqarish qoidasi:

1. Oldin o'rganilganlar orasidan tanlang raqamlar shakli shunga o'xshash.
2. Tanlangan figuraning xossasini shakllantirish.
3. Asl figuraning o'xshash xususiyatini shakllantirish.
4. Tuzilgan fikrni isbotlang yoki rad eting.

Xususiyatlarni shakllantirishdan so'ng, ularning har birining isboti quyidagi sxema bo'yicha amalga oshiriladi:

• isbot rejasini muhokama qilish;
• isbotlovchi slayd namoyishi (2-6-slaydlar);
• talabalar tomonidan dalillarni daftarga rasmiylashtirish.

3.3 Kub va uning xossalari.

Ta'rif: Kub uch o'lchami teng bo'lgan kubikdir.

Talabalar parallelepipedga o'xshatib, mustaqil ravishda ta'rifning sxematik yozuvini tuzadilar, undan natijalar chiqaradilar va kubning xususiyatlarini tuzadilar.

4. Xulosa chiqarish va uy vazifasini belgilash.

Uy vazifasi:

1. Dars rejasidan foydalanib, 10-11-sinflar uchun geometriya darsligi bo'yicha L.S. Atanasyan va boshqalar, o'rganish bob 1, §4, p.13, ch.2, §3, p.24.
2. Jadvalning 2-bandi parallelepipedning xossasini isbotlang yoki inkor eting.
3. Xavfsizlik savollariga javob bering.

Test savollari.

1. Ma'lumki, parallelepipedning faqat ikkita yon yuzi asosga perpendikulyar. Qanday turdagi parallelepiped?

2. To‘g‘ri to‘rtburchak shakldagi parallelepipedning nechta yon yuzi bo‘lishi mumkin?

3. Faqat bir yon yuzli parallelepiped bo'lishi mumkinmi?

1) asosga perpendikulyar;
2) to'rtburchak shakliga ega.

4. To'g'ri parallelepipedda barcha diagonallar teng. To'rtburchakmi?

5. To'g'ri parallelepipedda diagonal kesmalar asos tekisliklariga perpendikulyar bo'lishi to'g'rimi?

6. To‘g‘ri to‘rtburchakli parallelepiped diagonali kvadratida teoremaga teskari teorema tuzing.

7. Kubni kuboiddan qanday qo'shimcha xususiyatlar ajratib turadi?

8. Cho'qqilarning birida barcha qirralari teng bo'lgan kub parallelepiped bo'ladimi?

9. To‘g‘ri to‘rtburchak parallelepiped diagonalining kvadrati bo‘yicha kub holati uchun teorema tuzing.

Yoki (ekvivalent) olti yuzli ko'pburchak va ularning har biri - parallelogramma.

Qutilarning turlari

Bir necha turdagi parallelepipedlar mavjud:

• Kuboid - yuzlari to'rtburchaklar bo'lgan kuboid.
• To'g'ri parallelepiped - bu to'rtburchaklar bo'lgan 4 ta tomoni bo'lgan parallelepiped.
• Qiyma quti - yon yuzlari asoslarga perpendikulyar bo'lmagan quti.

Asosiy elementlar

Parallelepipedning umumiy qirrasi bo'lmagan ikki yuzi qarama-qarshi, umumiy chetiga ega bo'lganlari esa qo'shni deyiladi. Parallelepipedning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita cho'qqisi qarama-qarshi deyiladi. Qarama-qarshi cho'qqilarni bog'laydigan chiziq segmenti parallelepipedning diagonali deyiladi. Kuboidning umumiy uchiga ega bo'lgan uchta chetining uzunligi uning o'lchamlari deb ataladi.

Xususiyatlari

• Parallelepiped diagonalining o'rta nuqtasiga nisbatan simmetrikdir.
• Har qanday uchlari parallelepiped yuzasiga tegishli bo'lgan va uning diagonali o'rtasidan o'tadigan segment unga yarmiga bo'linadi; xususan, parallelepipedning barcha diagonallari bir nuqtada kesishadi va uni ikkiga bo'ladi.
• Parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir.
• Kuboid diagonal uzunligining kvadrati uning uch o'lchamining kvadratlari yig'indisiga teng.

Asosiy formulalar

To'g'ri parallelepiped

Yon sirt maydoni S b \u003d R o * h, bu erda R o - poydevorning perimetri, h - balandlik

Umumiy sirt maydoni S p \u003d S b + 2S o, bu erda S o - asosning maydoni

Ovoz balandligi V=S o *h

kubsimon

Yon sirt maydoni S b \u003d 2c (a + b), bu erda a, b - poydevorning tomonlari, c - to'rtburchaklar parallelepipedning yon qirrasi

Umumiy sirt maydoni S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Ovoz balandligi V=abc, bu erda a, b, c kuboidning o'lchamlari.

Kub

Sirt maydoni: $S=6a^2$
Ovoz balandligi: $V=a^3$, qayerda $a$- kubning cheti.

Ixtiyoriy quti

Egri chiziqdagi hajm va nisbatlar ko'pincha vektor algebrasi yordamida aniqlanadi. Parallelepipedning hajmi parallelepipedning bir cho'qqidan chiqadigan uch tomoni bilan aniqlangan uchta vektorning aralash mahsulotining mutlaq qiymatiga teng. Parallelepiped tomonlarining uzunliklari va ular orasidagi burchaklar nisbati bu uch vektorning Gram determinanti ularning aralash mahsuloti kvadratiga teng degan fikrni beradi: 215 .

Matematik tahlilda

Matematik tahlilda n o'lchamli to'rtburchak parallelepiped ostida $B$ ko'p narsalarni tushunish $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ mehribon $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

"Parallelepiped" maqolasiga sharh yozing

Eslatmalar

Havolalar

to'g'ri to'g'ri qavariq bo'lmagan qavariq formulalar, teoremalar, nazariyalar Boshqa

Parallelepipedni tavsiflovchi parcha

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine ... [Raqiblar shu kasallik tufayli yarashgan, deyishadi.]
Angina so'zi katta zavq bilan takrorlandi.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Qadimgi graf juda ta'sirli, deyishadi. Shifokor kelganida u boladek yig‘lab yubordi. Bu xavfli ishni aytdi.]
Oh, ce serait une perte terrible. C "est une femme ravissante. [Oh, bu katta yo'qotish bo'lardi. Bunday yoqimli ayol.]
- Vous parlez de la pauvre comtesse, - dedi Anna Pavlovna kelib. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - dedi Anna Pavlovna ishtiyoqi ustidan jilmayib. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merit. Elle est bien malheureuse, [Siz bechora grafinya haqida gapiryapsiz... Men uning sog'lig'ini bilish uchun yubordim. Menga uning biroz yaxshiroq ekanligini aytishdi. Oh, shubhasiz, bu dunyodagi eng go'zal ayol. Biz turli lagerlarga mansubmiz, lekin bu meni uning xizmatlariga ko'ra hurmat qilishimga to'sqinlik qilmaydi. U juda baxtsiz.] Anna Pavlovna qo'shimcha qildi.
Anna Pavlovna bu so'zlar bilan grafinyaning kasalligi haqida sir pardasini biroz ko'targaniga ishonib, bir beparvo yigit ularni chaqirishmaganidan hayratga tushishga ruxsat berdi. mashhur shifokorlar, lekin grafinya xavfli vositalarni bera oladigan charlatan tomonidan davolanadi.
"Vos information peuvent etre meilleures que les miennes", - to'satdan Anna Pavlovna tajribasizlarga hujum qildi. Yosh yigit. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Sizning yangiliklaringiz menikidan ko'ra aniqroq bo'lishi mumkin... lekin men undanman yaxshi manbalar Bilaman, bu shifokor juda bilimdon va mohir inson. Bu Ispaniya qirolichasining hayot shifokori.] - Shunday qilib, yigitni yo'q qilib, Anna Pavlovna Bilibinga o'girildi, u boshqa davrada terini ko'tarib, uni eritmoqchi bo'lib, un mot deb gapirdi. avstriyaliklar haqida.
- Je trouve que c "est charmant! [Men buni maftunkor deb bilaman!] - dedi u diplomatik qog'oz haqida, uning ostida Vitgenshteyn tomonidan olingan Avstriya bayroqlari Vena, le heros de Petropol [Petropolis qahramoni] (u kabi) yuborilgan. Peterburgda chaqirilgan).
- Qanday, qanday? Anna Pavlovna unga o'girildi va o'zi allaqachon bilgan ovozni eshitish uchun sukunat uyg'otdi.
Va Bilibin o'zi tuzgan diplomatik jo'natmaning quyidagi haqiqiy so'zlarini takrorladi:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," dedi Bilibin, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [Imperator Avstriya bannerlarini, do'stona va noto'g'ri bannerlarni tashqaridan topib yuboradi. haqiqiy yo'l.] terisini bo'shatib Bilibinni tugatdi.
- Jozibali, jozibali, [Maftunkor, maftunkor,] - dedi shahzoda Vasiliy.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Bu Varshava yo‘lidir, balki.] - dedi baland ovozda va kutilmaganda shahzoda Gippolit. Hamma bu bilan nima demoqchi ekanligini tushunmay, unga qaradi. Shahzoda Gippolit ham atrofga qaradi. atrofida quvnoq ajablanib.U ham boshqalar kabi aytgan so‘zlari nimani anglatishini tushunmasdi.Diplomatik faoliyati davomida to‘satdan shu tarzda aytilgan so‘zlar juda hazilkash bo‘lib qolganini bir necha bor payqagan va har ehtimolga qarshi Bu so'zlarni aytdi: "Balki, bu juda yaxshi chiqadi, agar chiqmasa, ular o'sha erda tartibga solishlari mumkin" - deb o'yladi u. Anna Pavlovna va u jilmayib, barmog'ini Ippolitga silkitib, knyaz Vasiliyni stolga taklif qildi va unga ikkita sham va qo'lyozma olib kelib, undan boshlashni iltimos qildi.

Bu darsda hamma “To‘rtburchak quti” mavzusini o‘rganishi mumkin. Darsning boshida biz ixtiyoriy va to'g'ri parallelepipedlar nima ekanligini takrorlaymiz, ularning qarama-qarshi yuzlari va parallelepiped diagonallarining xususiyatlarini eslaymiz. Keyin kuboid nima ekanligini ko'rib chiqamiz va uning asosiy xususiyatlarini muhokama qilamiz.

Mavzu: Chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligi

Dars: kuboid

Ikkita teng ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 parallelogrammasi va to‘rtta ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 parallelogrammalaridan tashkil topgan sirt deyiladi. parallelepiped(1-rasm).

Guruch. 1 Parallelepiped

Ya'ni: bizda ikkita teng parallelogramma ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 (asos) bor, ular parallel tekisliklarda yotadi, shunda AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 yon qirralari parallel bo'ladi. Shunday qilib, parallelogrammalardan tashkil topgan sirt deyiladi parallelepiped.

Shunday qilib, parallelepipedning yuzasi parallelepipedni tashkil etuvchi barcha parallelogrammalarning yig'indisidir.

1. Parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir.

(raqamlar teng, ya'ni ularni qoplama orqali birlashtirish mumkin)

Masalan:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (ta'rifi bo'yicha teng parallelogrammalar),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (chunki AA 1 B 1 B va DD 1 C 1 C parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (chunki AA 1 D 1 D va BB 1 C 1 C parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari).

2. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va bu nuqtani ikkiga bo'ladi.

AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B parallelepipedning diagonallari bir O nuqtada kesishadi va har bir diagonal shu nuqta bilan yarmiga bo'linadi (2-rasm).

Guruch. 2 Parallelepipedning diagonallari kesishish nuqtasini kesib, ikkiga bo'ladi.

3. Parallelepipedning teng va parallel qirralarining uchta to'rtligi bor: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Ta'rif. Parallelepiped, agar uning lateral qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lsa, to'g'ri deyiladi.

Yon qirrasi AA 1 asosga perpendikulyar bo'lsin (3-rasm). Demak, AA 1 chiziq asos tekisligida yotgan AD va AB chiziqlarga perpendikulyar. Va shuning uchun to'rtburchaklar yon tomonlarda yotadi. Va asoslar ixtiyoriy parallelogrammlardir. Belgilang, ∠BAD = ph, burchak ph har qanday bo'lishi mumkin.

Guruch. 3 O'ng quti

Shunday qilib, o'ng quti yon qirralari qutining asoslariga perpendikulyar bo'lgan qutidir.

Ta'rif. Parallelepiped to'rtburchaklar deb ataladi, uning lateral qirralari asosga perpendikulyar bo'lsa. Asoslari to'rtburchaklardir.

AVSDA 1 V 1 S 1 D 1 parallelepiped to‘g‘ri burchakli (4-rasm), agar:

1. AA 1 ⊥ ABCD (lateral qirrasi asos tekisligiga perpendikulyar, ya'ni to'g'ri parallelepiped).

2. ∠BAD = 90 °, ya'ni asos to'rtburchakdir.

Guruch. 4 kuboid

To'rtburchaklar quti ixtiyoriy qutining barcha xususiyatlariga ega. Ammo kuboidning ta'rifidan kelib chiqadigan qo'shimcha xususiyatlar mavjud.

Shunday qilib, kubsimon lateral qirralari asosga perpendikulyar boʻlgan parallelepipeddir. Kuboidning asosi to'rtburchakdir.

1. Kuboidda oltita yuzning hammasi to'rtburchaklardir.

ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 ta'rifiga ko'ra to'rtburchaklardir.

2. Yanal qovurg'alar asosga perpendikulyar. Bu kuboidning barcha yon yuzlari to'rtburchaklar ekanligini anglatadi.

3. Kuboidning barcha ikki burchakli burchaklari to'g'ri burchaklardir.

Masalan, qirrasi AB bo'lgan to'rtburchak parallelepipedning ikki burchakli burchagini, ya'ni ABB 1 va ABC tekisliklar orasidagi ikki burchakli burchakni ko'rib chiqaylik.

AB - chekka, A 1 nuqta bir tekislikda - ABB 1 tekislikda, D nuqta ikkinchisida - A 1 B 1 C 1 D 1 tekislikda yotadi. U holda ko'rib chiqilayotgan ikki burchakli burchakni ham quyidagicha belgilash mumkin: ∠A 1 AVD.

AB chetidagi A nuqtani oling. AA 1 ABB-1 tekisligida AB chetiga perpendikulyar, AD ABC tekisligida AB chetiga perpendikulyar. Demak, ∠A 1 AD berilgan ikki burchakli burchakning chiziqli burchagidir. ∠A 1 AD \u003d 90 °, ya'ni AB chetidagi dihedral burchak 90 ° ni tashkil qiladi.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

To'g'ri burchakli parallelepipedning har qanday ikki burchakli burchaklari to'g'ri ekanligi xuddi shunday isbotlangan.

Kuboid diagonalining kvadrati uning uch o'lchamining kvadratlari yig'indisiga teng.

Eslatma. Kuboidning bir xil cho'qqisidan chiqadigan uchta qirraning uzunligi kuboidning o'lchovidir. Ular ba'zan uzunlik, kenglik, balandlik deb ataladi.

Berilgan: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - to'g'ri burchakli parallelepiped (5-rasm).

isbotlang: .

Guruch. 5 kuboid

Isbot:

CC 1 toʻgʻri chiziq ABC tekisligiga, demak, AC toʻgʻrisiga perpendikulyar. Shunday qilib, CC 1 A uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir. Pifagor teoremasiga ko'ra:

O'ylab ko'ring to'g'ri uchburchak ABC. Pifagor teoremasiga ko'ra:

Ammo BC va AD to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari. Shunday qilib, BC = AD. Keyin:

Chunki , a , keyin. CC 1 = AA 1 bo'lgani uchun, isbotlash uchun nima talab qilingan.

To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonallari teng.

ABC parallelepipedining o'lchamlarini a, b, c deb belgilaymiz (6-rasmga qarang), keyin AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =