Stereometride dışbükey şekiller için formüller. Kesik piramidin hacmi Koninin yan ve tam yüzeylerinin hacmi ve alanı

"A Alın" video kursu, matematik sınavını 60-65 puanla başarılı bir şekilde geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil KULLANIMI'nın 1-13 arasındaki tüm görevleri tamamlayın. Matematikte Temel KULLANIM'ı geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazladır ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir hümanist onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Sınavın hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Bankası görevlerinden 1. bölümün tüm ilgili görevleri analiz edilmiştir. Kurs, USE-2018 gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilir.

Yüzlerce sınav görevi. Metin problemleri ve olasılık teorisi. Basit ve hatırlaması kolay problem çözme algoritmaları. Geometri. Teori, referans materyal, her türlü KULLANIM görevinin analizi. Stereometri. Çözmek için kurnaz hileler, faydalı hile sayfaları, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan trigonometri - görev 13'e. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Sınavın 2. bölümünün karmaşık problemlerini çözmek için temel.

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 1. Paralel çizgiler hakkında)))\)
\(\bullet\) Uzayda iki doğru aynı düzlemdeyse ve kesişmiyorsa paraleldir.
\(\bullet\) İki paralel çizgiden geçen tek bir düzlem vardır.
\(\bullet\) İki paralel doğrudan biri bir düzlemi keserse, diğer doğru da bu düzlemi keser.
\(\bullet\) \(a\) doğrusu \(b\) doğrusuna paralelse, bu da \(c\) doğrusuna paralelse, o zaman \(a\parallel c\) .
\(\bullet\) \(\alpha\) ve \(\beta\) düzleminin \(a\) doğrusu boyunca kesişmesine, \(\beta\) ve \(\pi\) düzlemlerinin \(b \) doğrusu , \(\pi\) ve \(\alpha\) düzlemleri \(p\) doğrusu boyunca kesişir. O zaman \(a\parallel b\) ise, o zaman \(p\parallel a\) (veya \(p\parallel b\) ):

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 2. Bir doğrunun ve bir düzlemin paralelliği hakkında)))\)
\(\bullet\) Bir doğrunun ve bir düzlemin üç tür karşılıklı düzenlemesi vardır:
1. doğrunun düzlemle iki ortak noktası vardır (yani, düzlemin içindedir);
2. doğrunun düzlemle tam olarak bir ortak noktası vardır (yani, düzlemi keser);
3. Doğrunun düzlemle hiçbir ortak noktası yoktur (yani düzleme paraleldir).
\(\bullet\) \(\pi\) düzleminde olmayan bir \(a\) doğrusu \(\pi\) düzleminde bulunan bir \(p\) doğrusuna paralelse, o zaman paraleldir verilen düzleme.

\(\bullet\) \(p\) doğrusu \(\mu\) düzlemine paralel olsun. \(\pi\) düzlemi \(p\) çizgisinden geçer ve \(\mu\) düzlemiyle kesişirse, o zaman \(\pi\) ve \(\mu\) düzlemlerinin kesişme çizgisi \(m\) doğrusudur - \(p\) doğrusuna paraleldir.

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 3. Paralel düzlemler hakkında)))\)
\(\bullet\) İki düzlemin ortak noktaları yoksa, bunlara paralel düzlemler denir.
\(\bullet\) Bir düzlemden kesişen iki doğru, başka bir düzlemden gelen iki kesişen doğruya sırasıyla paralelse, bu tür düzlemler paralel olacaktır.

\(\bullet\) İki paralel düzlem \(\alpha\) ve \(\beta\) üçüncü bir düzlemle \(\gamma\) kesişiyorsa, düzlemlerin kesişme çizgileri de paraleldir: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Paralel düzlemler arasında çevrelenmiş paralel doğruların parçaları şuna eşittir: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 4. Kesişen çizgiler hakkında)))\)
\(\bullet\) Aynı düzlemde yer almıyorlarsa, uzaydaki iki düz çizgi kesişen olarak adlandırılır.
\(\bullet\) İşareti:
\(l\) doğrusu \(\lambda\) düzleminde olsun. \(s\) doğrusu \(\lambda\) düzlemini \(S\) \(l\) doğrusu üzerinde olmayan bir noktada keserse, o zaman \(l\) ve \(s\) doğruları kesişir.

\(\mermi\) \(a\) ve \(b\) eğri çizgileri arasındaki açıyı bulmak için algoritma:

Adım 2. \(\pi\) düzleminde \(a\) ve \(p\) (\(p\parallel b\) ) arasındaki açıyı bulun. Aralarındaki açı, \(a\) ve \(b\) eğri çizgileri arasındaki açıya eşit olacaktır.

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 5. Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği hakkında)))\)
\(\bullet\) Bir doğrunun, o düzlemdeki herhangi bir doğruya dik olması durumunda, bir düzleme dik olduğu söylenir.
\(\bullet\) İki doğru bir düzleme dik ise, bunlar paraleldir.
\(\bullet\) İşareti: Bir doğru, belirli bir düzlemde bulunan kesişen iki doğruya dik ise, o zaman bu düzleme diktir.

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 6. Mesafeler hakkında)))\)
\(\bullet\) Paralel doğrular arasındaki uzaklığı bulmak için, bir doğrunun herhangi bir noktasından diğerine bir dik düşmeniz gerekir. Dikeyin uzunluğu bu çizgiler arasındaki mesafedir.
\(\bullet\) Bir düzlem ile ona paralel bir doğru arasındaki uzaklığı bulmak için, doğrunun herhangi bir noktasından bu düzleme bir dik düşmeniz gerekir. Dikeyin uzunluğu, bu çizgi ile düzlem arasındaki mesafedir.
\(\bullet\) Paralel düzlemler arasındaki mesafeyi bulmak için, bir düzlemin herhangi bir noktasından diğer düzleme dik olanı indirmeniz gerekir. Bu dikeyin uzunluğu paralel düzlemler arasındaki mesafedir.
\(\mermi\) \(a\) ve \(b\) eğri çizgileri arasındaki mesafeyi bulmak için algoritma:
Adım 1. Kesişen iki çizgiden biri \(a\) boyunca, diğer \(b\) doğrusuna paralel bir \(\pi\) düzlemi çizin. Nasıl yapılır: \(\beta\) düzlemini \(b\) doğrusu boyunca çizin, böylece \(a\) doğrusuyla \(P\) noktasında kesişsin; \(P\) \(p\parallel b\) noktasından bir çizgi çizin ; o zaman \(a\) ve \(p\) noktalarından geçen uçak \(\pi\) düzlemidir.
Adım 2. \(b\) çizgisinin herhangi bir noktasından \(\pi\) düzlemine olan mesafeyi bulun. Bu mesafe, \(a\) ve \(b\) eğri çizgileri arasındaki mesafedir.

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 7. Üç Dik Teorem Hakkında (TTP))))\)
\(\bullet\) \(AH\) \(\beta\) düzlemine dik olsun. \(AB, BH\) bir eğik ve onun \(\beta\) düzlemine izdüşümü olsun. O zaman \(\beta\) düzlemindeki \(x\) doğrusu, eğer ve sadece projeksiyona dikse eğikliğe dik olacaktır: \[\başlangıç(hizalanmış) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\dört BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(hizalı)\]

\(x\) doğrusunun \(B\) noktasından geçmesi gerekmediğine dikkat edin. \(B\) noktasından geçmiyorsa, \(B\) noktasından geçen ve \(x\)'e paralel bir \(x"\) doğrusu oluşturulur. x"\perp BH\ ) ), o zaman \(x\perp BH\) da öyle.

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 8. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı ve ayrıca düzlemler arasındaki açı hakkında)))\)
\(\bullet\) Eğik bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı, bu doğru ile verilen düzleme izdüşümü arasındaki açıdır. Böylece bu açı \((0^\circ;90^\circ)\) aralığından değerler alır.
Doğru bir düzlemde bulunuyorsa, aralarındaki açının \(0^\circ\) değerine eşit olduğu kabul edilir. Doğru düzleme dik ise, tanıma göre, aralarındaki açı \(90^\circ\) olur.
\(\bullet\) Eğik bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulmak için, bu doğru üzerinde bir \(A\) noktasını işaretlemek ve düzleme bir dik \(AH\) çizmek gerekir. Doğrunun düzlemle kesiştiği nokta \(B\) ise, o zaman \(\açı ABH\) istenen açıdır.

\(\bullet\) \(\alpha\) ve \(\beta\) düzlemleri arasındaki açıyı bulmak için aşağıdaki algoritmayı kullanabilirsiniz:
\(\alpha\) düzleminde rastgele bir \(A\) noktası işaretleyin.
\(AH\perp h\) çizin, burada \(h\) düzlemlerin kesişim çizgisidir.
\(AB\) \(\beta\) düzlemine dik çizin.
O zaman \(AB\) \(\beta\) düzlemine bir diktir, \(AH\) eğiktir, dolayısıyla \(HB\) bir izdüşümdür. Ardından TTP \(HB\perp h\) tarafından.
Bu nedenle, \(\angle AHB\) düzlemler arasındaki dihedral açının lineer açısıdır. Bu açının derece ölçüsü, düzlemler arasındaki açının derece ölçüsüdür.

Bir dik üçgenimiz olduğuna dikkat edin \(\triangle AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Kural olarak, ondan \(\angle AHB\) bulmak uygundur.

\((\color(red)(\textbf(Gerçek 9. Düzlemlerin dikliği hakkında)))\)
\(\bullet\) İşareti: Bir düzlem başka bir düzleme dik olan bir çizgiden geçiyorsa, bu düzleme diktir. \

\(\bullet\) \(a\) doğrusu boyunca sonsuz sayıda düzlem çizilebileceğinden, \(\beta\)'ya dik (ve \(a\) noktasından geçen) sonsuz sayıda düzlem olduğuna dikkat edin. ).

Sınavı matematikte yeterince çözmek için, her şeyden önce, çok sayıda teorem, formül, algoritma vb. Tanıtan teorik materyali incelemek gerekir. İlk bakışta, bunun oldukça basit olduğu görünebilir. Bununla birlikte, matematikte Birleşik Devlet Sınavı teorisinin herhangi bir eğitim seviyesindeki öğrenciler için kolay ve anlaşılır bir şekilde sunulduğu bir kaynak bulmak aslında oldukça zor bir iştir. Okul ders kitapları her zaman el altında tutulamaz. Ve matematikte sınav için temel formülleri bulmak internette bile zor olabilir.

Sadece sınava girenler için değil de matematikte teori çalışmak neden bu kadar önemli?

1. Ufkunuzu genişlettiği için. Matematikte teorik materyalin incelenmesi, dünya bilgisi ile ilgili çok çeşitli sorulara cevap almak isteyen herkes için yararlıdır. Doğada her şey düzenlidir ve açık bir mantığı vardır. Bu, dünyayı anlamanın mümkün olduğu bilime tam olarak yansıyan şeydir.
2. Çünkü zekayı geliştirir.. Matematikte sınav için referans materyallerini incelemek ve çeşitli problemleri çözmenin yanı sıra, bir kişi mantıklı düşünmeyi ve akıl yürütmeyi, düşünceleri doğru ve net bir şekilde formüle etmeyi öğrenir. Analiz etme, genelleme yapma, sonuç çıkarma yeteneğini geliştirir.

Sizi eğitim materyallerinin sistemleştirilmesi ve sunumuna yönelik yaklaşımımızın tüm avantajlarını kişisel olarak değerlendirmeye davet ediyoruz.

Bazı tanımlar:

1. çokyüzlü Sonlu sayıda yassı çokgenle sınırlanmış, herhangi ikisi ortak bir kenara sahip olan ve aynı düzlemde yer almayan geometrik bir cisimdir. Bu durumda, çokgenlerin kendilerine yüzler denir, kenarları polihedronun kenarlarıdır ve köşeleri polihedronun köşeleridir.
2. Bir polihedronun tüm yüzlerinin oluşturduğu şekle yüzeyi denir ( tam yüzey) ve tüm yüzlerinin alanlarının toplamı (tam) yüzey alanı.
3. eşit kareler olan altı yüzü olan bir çokyüzlüdür. Karelerin kenarlarına küpün kenarları, köşelere de küpün köşeleri denir.
4. altı yüzü olan ve her biri bir paralelkenar olan bir çokyüzlüdür. Paralelkenarların kenarlarına paralel yüzün kenarları, köşelerine de paralel yüzün köşeleri denir. Paralel yüzün iki kenarına denir zıt, ortak bir kenarı yoksa ve ortak bir kenarı olana denir. ilişkili. Bazen paralel yüzün herhangi iki zıt yüzü ayırt edilir ve denir. zemin, sonra yüzlerin geri kalanı yan yüzler ve paralel borunun tabanlarının köşelerini birleştiren yanları, onun yan kaburgalar.
5. Sağ paralelyüz- bu, yan yüzleri dikdörtgen olan bir paralelyüzdür. tüm yüzleri dikdörtgen olan bir paralelyüzdür. Her küboidin bir küboid olduğunu, ancak her küboidin bir küboid olmadığını unutmayın.
6. zıt. Paralel yüzün zıt köşelerini birleştiren doğru parçasına denir. diyagonal paralelyüzlü. Bir paralelyüzün sadece dört köşegeni vardır.
7. prizma ( n-kömür) iki yüzü birbirine eşit olan çokyüzlüdür n-gonlar ve diğerleri n yüzler paralelkenarlardır. Eşit n-gonlar denir zemin ve paralelkenarlar prizmanın yan yüzleri- bu, yan yüzlerin dikdörtgen olduğu bir prizmadır. doğru n- karbon prizması- bu, tüm yan yüzleri dikdörtgen ve tabanları düzgün olan bir prizmadır. n-gonlar.
8. Prizmanın yan yüzlerinin alanlarının toplamına denir. yanal yüzey alanı(belirtilen S yan). Prizmanın tüm yüzlerinin alanlarının toplamına denir. prizma yüzey alanı(belirtilen S tam dolu).
9. piramit ( n-kömür)- bu bir yüzü olan bir çokyüzlüdür - bazıları n-gon ve diğerleri n yüzler - ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler; n-gon denir temel; Köşeleri ortak olan üçgenlere denir yan yüzler, ve onların ortak tepe noktası denir piramidin tepesi. Piramidin yüzlerinin kenarlarına piramidin adı verilir. pirzola ve bir tepe noktasında buluşan kenarlara denir yanal.
10. Piramidin yan yüzlerinin alanlarının toplamına denir. piramidin yan yüzey alanı(belirtilen S yan). Piramidin tüm yüzlerinin alanlarının toplamına denir. piramit yüzey alanı(yüzey alanı gösterilir S tam dolu).
11. doğrun- kömür piramidi- bu, tabanı doğru olan bir piramittir. n-gon ve tüm yan kenarlar birbirine eşittir. Normal bir piramidin yan yüzleri birbirine eşit ikizkenar üçgenlerdir.
12. üçgen piramit denir tetrahedron tüm yüzleri eş düzgün üçgenler ise. Dörtyüzlü, düzenli üçgen piramidin özel bir durumudur (yani, her düzenli üçgen piramit bir dört yüzlü olmayacaktır).

Stereometri aksiyomları:

1. Aynı doğru üzerinde olmayan herhangi üç noktadan geçen tek bir düzlem vardır.
2. Bir doğrunun iki noktası bir düzlemde yer alıyorsa, o zaman doğrunun tüm noktaları o düzlemdedir.
3. İki düzlemin ortak bir noktası varsa, bu düzlemlerin tüm ortak noktalarının üzerinde bulunduğu ortak bir çizgileri vardır.

Stereometri aksiyomlarının sonuçları:

• Teorem 1. Bir doğrunun içinden geçen tek bir düzlem vardır ve üzerinde olmayan bir nokta vardır.
• Teorem 2. Kesişen iki doğru boyunca yalnızca bir düzlem vardır.
• Teorem 3.İki paralel doğru boyunca sadece bir düzlem vardır.

Stereometride bölümlerin inşası

Stereometrideki sorunları çözmek için, çizimde belirli bir düzlemde çokyüzlü bölümleri (örneğin, bir piramit, paralel uçlu, küp, prizma) oluşturabilmek acilen gereklidir. Bir bölümün ne olduğunu açıklayan birkaç tanım verelim:

• kesme düzlemi Bir piramit (prizma, paralel yüzlü, küp), her iki tarafında bu piramidin noktalarının (prizma, paralel yüzlü, küp) olduğu bir düzlemdir.
• bir piramidin kesiti(prizma, paralelyüz, küp) piramit (prizma, paralelyüz, küp) ve kesme düzlemi için ortak olan tüm noktalardan oluşan bir şekildir.
• Kesme düzlemi, segmentler boyunca piramidin yüzlerini (paralel boru, prizma, küp) keser, bu nedenle bölüm yanları belirtilen segmentler olan, kesen düzlemde uzanan bir çokgendir.

Bir piramidin bir bölümünü (prizma, paralelyüz, küp) oluşturmak için, kesen düzlemin kesişme noktalarını piramidin kenarlarıyla (prizma, paralelyüz, küp) oluşturmak ve her ikisini birbirine bağlamak mümkün ve gereklidir. tek yüz. Bölümün köşelerini ve kenarlarını oluşturma sırasının önemli olmadığını unutmayın. Çokyüzlü bölümlerin inşası, inşaat için iki göreve dayanmaktadır:

1. İki düzlemin kesişme çizgileri.

Bazı iki düzlemin kesiştiği bir çizgi oluşturmak için α ve β (örneğin, kesen düzlem ve çokyüzlü yüzünün düzlemi), bunların iki ortak noktasını oluşturmanız gerekir, daha sonra bu noktalardan geçen çizgi, düzlemlerin kesişme çizgisidir. α ve β .

1. Bir doğrunun ve bir düzlemin kesişme noktaları.

Bir doğrunun kesişme noktası oluşturmak için ben ve uçak α çizginin kesişme noktasını çiz ben ve doğrudan ben 1 , düzlemin kesiştiği α ve bir çizgi içeren herhangi bir düzlem ben.

Stereometride düz çizgilerin ve düzlemlerin karşılıklı düzenlenmesi

Tanım: Stereometride problem çözme sürecinde uzayda iki düz çizgiye denir. paralel aynı düzlemde yatarlarsa ve kesişmezlerse. düz ise a ve b, veya AB ve CD paralel, biz yazıyoruz:

Birkaç teorem:

• Teorem 1. Uzayda belirli bir doğru üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen doğruya paralel sadece bir doğru vardır.
• Teorem 2.İki paralel çizgiden biri belirli bir düzlemi keserse, diğer çizgi bu düzlemi keser.
• teorem 3(paralel çizgilerin işareti). İki doğru üçüncü bir doğruya paralel ise, bunlar birbirine paraleldir.
• teorem 4(paralel borunun köşegenlerinin kesişme noktasında). Paralel yüzün köşegenleri bir noktada kesişir ve bu noktayı ikiye böler.

Stereometride düz bir çizginin ve bir düzlemin karşılıklı düzenlenmesi için üç durum vardır:

• Çizgi düzlemdedir (çizginin her noktası düzlemdedir).
• Doğru ve düzlem kesişir (tek bir ortak noktaya sahiptir).
• Doğru ve düzlemin tek bir ortak noktası yoktur.

Tanım: Doğru ve düzlem denir paralel ortak noktaları yoksa. düz ise a düzleme paralel β , sonra şunu yazarlar:

teoremler:

• teorem 1(düz bir çizgi ve bir düzlemin paralellik işareti). Belirli bir düzlemde yer almayan bir doğru, bu düzlemde bulunan bir doğruya paralel ise, o zaman verilen düzleme paraleldir.
• Teorem 2. Eğer uçak (şekilde - α ) düz bir çizgiden geçer (şekilde - ile), başka bir düzleme paralel (şekilde - β ) ve bu düzlemle kesişir, ardından düzlemlerin kesişme çizgisi (şekilde - d) verilen çizgiye paraleldir:

Aynı düzlemde iki farklı doğru varsa, bunlar ya kesişir ya da paraleldir. Bununla birlikte, uzayda (yani stereometride), iki doğrunun uzandığı bir düzlem olmadığında üçüncü bir durum da mümkündür (bu durumda, bunlar ne kesişir ne de paraleldir).

Tanım: iki satır denir melezleme, eğer ikisinin de yattığı bir uçak yoksa.

teoremler:

• teorem 1(kesişen çizgilerin işareti). İki doğrudan biri belirli bir düzlemde yer alıyorsa ve diğer doğru bu düzlemi ilk doğruya ait olmayan bir noktada kesiyorsa, bu doğrular çarpıktır.
• Teorem 2. Kesişen iki doğrunun her biri boyunca diğer doğruya paralel tek bir düzlem vardır.

Şimdi eğri çizgiler arasındaki açı kavramını tanıtıyoruz. İzin vermek a ve b Ö uzayda ve içinden düz çizgiler çizin. a 1 ve b 1 düz çizgilere paralel a ve b sırasıyla. eğik çizgiler arasındaki açı a ve b kesişen çizgiler arasındaki açıya denir a 1 ve b 1 .

Ancak pratikte asıl nokta Ö daha sık, düz çizgilerden birine ait olacak şekilde seçin. Bu genellikle sadece basit değil, aynı zamanda bir çizim oluşturma ve bir problem çözme açısından daha rasyonel ve doğrudur. Bu nedenle, eğri çizgiler arasındaki açı için aşağıdaki tanımı veriyoruz:

Tanım:İzin vermek a ve b kesişen iki çizgidir. Keyfi bir nokta alın Ö bunlardan birinde (bizim durumumuzda düz bir çizgide b) ve içinden diğerine paralel bir çizgi çizin (bizim durumumuzda a 1 paralel a). eğik çizgiler arasındaki açı a ve b oluşturulan doğru ile noktayı içeren doğru arasındaki açıdır. Ö(bizim durumumuzda, bu açı β düz çizgiler arasında a 1 ve b).

Tanım: iki satır denir karşılıklı olarak dik(dik) aralarındaki açı 90° ise. Kesişen çizgiler dik olabileceği gibi, aynı düzlemde uzanan ve kesişen çizgiler de olabilir. düz ise açizgiye dik b, sonra şunu yazarlar:

Tanım:İki uçak denir paralel, kesişmezlerse, yani. ortak noktaları yoktur. eğer iki uçak α ve β paralel, sonra her zamanki gibi şunu yazın:

teoremler:

• teorem 1(paralel düzlemlerin işareti). Bir düzlemin kesişen iki çizgisi, başka bir düzlemin iki çizgisine sırasıyla paralel ise, bu düzlemler paraleldir.
• Teorem 2(paralel yüzün zıt yüzlerinin özelliği üzerinde). Paralel yüzün karşılıklı yüzleri paralel düzlemlerde uzanır.
• teorem 3(üçüncü bir düzlem tarafından iki paralel düzlemin kesişme çizgileri üzerinde). İki paralel düzlem üçte biri ile kesişiyorsa, kesişme çizgileri birbirine paraleldir.
• Teorem 4. Paralel düzlemler arasında bulunan paralel doğruların bölümleri eşittir.
• teorem 5(belirli bir düzleme paralel ve onun dışındaki bir noktadan geçen benzersiz bir düzlemin varlığı üzerine). Belirli bir düzlemde yer almayan bir noktadan geçene paralel sadece bir düzlem vardır.

Tanım: Bir düzlemi kesen bir çizgi, o düzlemdeki her çizgiye dik ise, düzleme dik olduğu söylenir. düz ise a düzleme dik β , sonra her zamanki gibi yazın:

teoremler:

• Teorem 1.İki paralel çizgiden biri üçüncü bir çizgiye dik ise, diğer çizgi de bu çizgiye diktir.
• Teorem 2.İki paralel çizgiden biri bir düzleme dik ise, diğer çizgi de o düzleme diktir.
• teorem 3(düze dik doğruların paralelliği üzerine). İki doğru aynı düzleme dik ise paraleldir.
• teorem 4(düz bir çizginin ve bir düzlemin dikliğinin bir işareti). Bir doğru, bir düzlemde bulunan kesişen iki doğruya dik ise, o düzleme de diktir.
• teorem 5(belirli bir noktadan geçen ve belirli bir doğruya dik olan bir düzlem hakkında). Uzayda herhangi bir noktadan geçen doğruya dik olan tek bir düzlem vardır.
• Teorem 6(belirli bir noktadan geçen ve belirli bir düzleme dik olan düz bir çizgi hakkında). Uzayda herhangi bir noktadan geçen düzleme dik olan sadece bir doğru vardır.
• Teorem 7(dikdörtgen paralel borunun köşegen özelliği üzerinde). Dikdörtgen paralel yüzün köşegen uzunluğunun karesi, ortak bir tepe noktasına sahip üç kenarının uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir:

Sonuç: Dikdörtgen paralel borunun dört köşegeni de birbirine eşittir.

Üç dik teoremi

nokta olsun ANCAK düz yatmaz α . noktayı geçelim ANCAK düzleme dik doğru α , ve harf ile belirtmek Ö bu doğrunun düzlemle kesiştiği nokta α . Bir noktadan çizilen dik ANCAK uçağa α , segment denir JSC, nokta Ö dikin tabanı denir. Eğer bir JSC- düzleme dik α , a M noktasından farklı, bu düzlemin keyfi bir noktasıdır. Ö, ardından segment AM bir noktadan çizilen eğime denir ANCAK uçağa α , ve nokta M- eğimli taban. Çizgi segmenti OM- dik izdüşüm (veya kısaca izdüşüm) eğik AM uçağa α . Şimdi birçok problemin çözümünde önemli rol oynayan bir teorem sunuyoruz.

Teorem 1 (yaklaşık üç dik): Bir düzlemde çizilen ve eğik bir düzlemin bu düzleme izdüşümüne dik olan düz bir çizgi, eğik düzlemin kendisine de diktir. Bunun tersi de doğrudur:

Teorem 2 (yaklaşık üç dik): Bir düzlemde çizilen ve eğik olana dik olan bir doğru, bu düzlemdeki izdüşümüne de diktir. Yukarıdaki çizimdeki gösterim için bu teoremler kısaca aşağıdaki gibi formüle edilebilir:

teorem: Düzlemin dışından alınan bir noktadan bu düzleme bir dik ve iki eğik çizgi çizilirse, o zaman:

• eşit çıkıntılara sahip iki eğik eşittir;
• iki eğik olandan çıkıntısı daha büyük olan daha büyüktür.

Uzaydaki nesnelere göre mesafe tanımları:

• Bir noktadan bir düzleme olan uzaklık, o noktadan o düzleme çizilen dikmenin uzunluğudur.
• Paralel düzlemler arasındaki mesafe, paralel düzlemlerden birinin keyfi bir noktasından diğerine olan mesafedir.
• Bir doğru ile ona paralel olan bir düzlem arasındaki uzaklık, doğru üzerindeki herhangi bir noktadan düzleme olan uzaklıktır.
• Çarpık çizgiler arasındaki mesafe, eğri çizgilerden birinin diğer çizgiden geçen ve birinci çizgiye paralel olan bir düzleme olan mesafesidir.

Tanım: Stereometride, düz bir çizginin dikey izdüşümü a uçağa α bu doğrunun bir düzleme izdüşümü denir α tasarım yönünü tanımlayan düz çizgi düzleme dik ise α .

Yorum:Önceki tanımdan da görebileceğiniz gibi, birçok projeksiyon var. Düz bir çizginin bir düzlem üzerindeki diğer (ortogonal hariç) izdüşümleri, izdüşüm yönünü belirleyen düz çizgi düzleme dik değilse oluşturulabilir. Ancak, ileride karşılaşacağımız problemlerde düz bir çizginin bir düzlem üzerine dik izdüşümüdür. Ve ortogonal izdüşümü basitçe bir izdüşüm olarak adlandıracağız (çizimde olduğu gibi).

Tanım: Bir düzleme dik olmayan düz bir çizgi ile bu düzlem arasındaki açı, düz bir çizgi ile belirli bir düzleme dik izdüşümü arasındaki açıdır (açı AOA' yukarıdaki çizimde).

teorem: Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı, verilen bir düzlemde uzanan ve doğru ile düzlemin kesişme noktasından geçen doğrularla oluşturduğu tüm açıların en küçüğüdür.

Tanımlar:

• Dihedral açı Bir şekil, ortak bir sınır çizgisine sahip iki yarım düzlem ve bu yarım düzlemlerin sınır olarak hizmet ettiği uzayın bir parçası tarafından oluşturulan bir şekil olarak adlandırılır.
• Doğrusal dihedral açı Dihedral açının kenarında ortak bir orijine sahip ışınlar olan ve kenarlarına dik olarak çizilen açılara açı denir.

Böylece, bir dihedral açının lineer açısı, dihedral açının kenarına dik bir düzlemle kesişmesiyle oluşan açıdır. Bir dihedral açının tüm lineer açıları birbirine eşittir. Bir dihedral açının derece ölçüsü, doğrusal açısının derece ölçüsüdür.

Derece ölçüsü 90° ise (90°'den küçük, 90°'den fazla) bir dihedral açıya sağ (dar, geniş) denir. Gelecekte, stereometri problemlerini dihedral bir açıyla çözerken, derece ölçüsü koşulu karşılayan o lineer açıyı her zaman anlayacağız:

Tanımlar:

• Bir polihedronun bir kenarındaki dihedral açı, kenarı polihedronun kenarını içeren bir dihedral açıdır ve dihedral açının yüzleri, çokhedronun verilen kenarı boyunca kesişen polihedronun yüzlerini içerir.
• Kesişen düzlemler arasındaki açı, bazı noktalarından geçen kesişme çizgilerine dik olan bu düzlemlerde sırasıyla çizilen düz çizgiler arasındaki açıdır.
• Aralarındaki açı 90° olan iki düzleme dik denir.

teoremler:

• teorem 1(uçakların dikliğinin bir işareti). İki düzlemden biri diğer düzleme dik bir çizgiden geçiyorsa, bu düzlemler diktir.
• Teorem 2. Birbirine dik iki düzlemden birinde bulunan ve bunların kesiştiği doğruya dik olan doğru, diğer düzleme de diktir.

Şekillerin simetrisi

Tanımlar:

1. puan M ve M 1 denir bir nokta etrafında simetrik Ö , Eğer Ö segmentin orta noktasıdır AA 1 .
2. puan M ve M 1 denir düz bir çizgi etrafında simetrik ben eğer düz ben AA 1 ve ona dik.
3. puan M ve M 1 denir düzlem etrafında simetrik α eğer uçak α segmentin ortasından geçer AA 1 ve bu segmente dik.
4. Nokta Ö(Düz ben, uçak α ) denir simetri merkezi (eksen, düzlem)şekil, şeklin her noktası bir nokta etrafında simetrik ise Ö(Düz ben, uçak α ) aynı rakamın bir noktasına.
5. Dışbükey çokyüzlü denir doğru, eğer tüm yüzleri birbirine eşit düzgün çokgenlerse ve her köşede aynı sayıda kenar birleşir.

Prizma

Tanımlar:

1. Prizma- iki yüzü paralel düzlemlerde uzanan eşit çokgenler olan bir çokyüzlü ve kalan yüzler bu çokgenlerle ortak kenarları olan paralelkenarlardır.
2. zemin - bunlar paralel düzlemlerde uzanan eşit çokgenler olan iki yüzdür. Çizimde şöyle: ABCDE ve KLMNP.
3. yan yüzler- tabanlar hariç tüm yüzler. Her bir yan yüz mutlaka bir paralelkenardır. Çizimde şöyle: ABLK, BCML, CDNM, DEPN ve EAKP.
4. yan yüzey- yan yüzlerin birliği.
5. Tam yüzey- tabanların ve yan yüzeyin birleşimi.
6. yan kaburgalar yan yüzlerin ortak yanlarıdır. Çizimde şöyle: AK, BL, SANTİMETRE, DN ve EP.
7. Yükseklik- prizmanın tabanlarını birbirine bağlayan ve onlara dik olan bir segment. Örneğin çizimde, KR.
8. Diyagonal- bir prizmanın aynı yüze ait olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçası. Örneğin çizimde, BP.
9. çapraz düzlem prizmanın yan kenarından ve tabanın köşegeninden geçen düzlemdir. Diğer tanım: çapraz düzlem- prizmanın aynı yüze ait olmayan iki yan kenarından geçen bir düzlem.
10. diyagonal bölüm- prizmanın ve çapraz düzlemin kesişimi. Bölümde, bazen özel durumları da dahil olmak üzere bir paralelkenar oluşur - bir eşkenar dörtgen, bir dikdörtgen, bir kare. Örneğin çizimde, EBLP.
11. Dik (dik) bölüm- prizmanın kesişimi ve yan kenarına dik olan düzlem.

Bir prizmanın özellikleri ve formülleri:

• Prizmanın tabanları eşit çokgenlerdir.
• Prizmanın yan yüzleri paralelkenarlardır.
• Prizmanın yan kenarları paralel ve eşittir.
• prizma hacmi yüksekliğinin ürününe ve taban alanına eşit:

nerede: S taban - tabanın alanı (örneğin çizimde, ABCDE), h- yükseklik (çizimde MN).

• Prizmanın toplam yüzey alanı yan yüzeyinin alanının toplamına ve taban alanının iki katına eşittir:

• Dikey bölüm prizmanın tüm yan kenarlarına diktir (aşağıdaki çizimde dik bölüm A 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
• Bir dik bölümün açıları, karşılık gelen yan kenarlardaki dihedral açıların doğrusal açılarıdır.
• Dikey (ortogonal) bir bölüm, tüm yan yüzlere diktir.
• Eğik prizmanın hacmi dik bölümün alanının ürününe ve yan nervürün uzunluğuna eşittir:

nerede: S sn - dik bölümün alanı, ben- yan nervürün uzunluğu (örneğin aşağıdaki çizimde, AA 1 veya BB 1 ve benzeri).

• yanal yüzey alanı keyfi bir prizmanın değeri, dik bölümün çevresi ile yan kenarın uzunluğunun çarpımına eşittir:

nerede: P sn - dik bir bölümün çevresi, ben yan kenarın uzunluğudur.

Stereometride prizma türleri:

• Yan kenarlar tabana dik değilse, böyle bir prizma denir. eğik(yukarıdaki resimde). Böyle bir prizmanın tabanları, her zamanki gibi paralel düzlemlerde bulunur, yan kenarlar bu düzlemlere dik değil, birbirine paraleldir. Yan yüzler paralelkenarlardır.
• - tüm yan kenarları tabana dik olan bir prizma. Sağ prizmada yan kenarlar yüksekliklerdir. Düz prizmanın yan yüzleri dikdörtgendir. Ve tabanın alanı ve çevresi, sırasıyla, dik bölümün alanına ve çevresine eşittir (düz bir prizma için, genel olarak konuşursak, dikey bölümün tamamı tabanla aynı şekildedir). Bu nedenle, düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ürününe ve yan kenarın uzunluğuna (veya bu durumda prizmanın yüksekliğine) eşittir:

nerede: P taban - düz bir prizmanın tabanının çevresi, ben- düz bir prizmada yüksekliğe eşit yan kenarın uzunluğu ( h). Düz bir prizmanın hacmi genel formülle bulunur: V = S ana ∙ h = S ana ∙ ben.

• doğru prizma- tabanında düzenli bir çokgen bulunan (yani, tüm kenarların ve tüm açıların birbirine eşit olduğu bir prizma) ve yan kenarları taban düzlemlerine dik olan bir prizma. Doğru prizma örnekleri:

Doğru prizmanın özellikleri:

1. Düzgün prizmanın tabanları düzgün çokgenlerdir.
2. Düzgün prizmanın yan yüzleri birbirine eşit dikdörtgenlerdir.
3. Düzgün prizmanın yan kenarları birbirine eşittir.
4. Doğru prizma düzdür.

Tanım: Paralel boru - Tabanları paralelkenar olan bir prizmadır. Bu tanımda anahtar kelime "prizma"dır. Bu nedenle, paralel uçlu bir prizmanın özel bir durumudur; bu, genel durumdan yalnızca tabanının keyfi bir çokgen değil, bir paralelkenar olması bakımından farklıdır. Bu nedenle, prizma ile ilgili yukarıdaki tüm özellikler, formüller ve tanımlar paralelyüz için geçerliliğini korumaktadır. Bununla birlikte, paralel borunun karakteristik birkaç ek özelliği vardır.

Diğer özellikler ve tanımlar:

• Bir paralel yüzün ortak bir kenarı olmayan iki yüzüne denir. zıt, ve ortak bir kenara sahip olmak - ilişkili.
• Paralel yüzün aynı yüze ait olmayan iki köşesine denir. zıt.
• Zıt köşeleri birleştiren doğru parçasına denir diyagonal paralelyüzlü.
• Paralel yüzün altı yüzü vardır ve hepsi paralelkenardır.
• Paralel yüzün karşılıklı yüzleri çiftler halinde eşit ve paraleldir.
• Paralel yüzün dört köşegeni vardır; hepsi bir noktada kesişir ve her biri o nokta tarafından ikiye bölünür.
• Paralel yüzün dört yan yüzü dikdörtgen ise (ve tabanlar rastgele paralelkenarlarsa), buna denir. doğrudan(bu durumda, düz bir prizmada olduğu gibi, tüm yan kenarlar tabanlara diktir). Düz bir prizmanın tüm özellikleri ve formülleri, sağ paralelyüz için geçerlidir.
• Paralel uçlu denir eğik tüm yan yüzleri dikdörtgen değilse.
• Düz veya eğik bir kutunun hacmi bir prizmanın hacmi için genel formülle hesaplanır, yani. paralel borunun taban alanının ürününe ve yüksekliğine eşittir ( V = S ana ∙ h).
• Altı yüzün hepsinin dikdörtgen olduğu (yani, yan yüzlere ek olarak tabanların da dikdörtgen olduğu) bir dik paralelyüze denir. dikdörtgen. Bir küboid için, bir küboidin tüm özellikleri, ayrıca:
  • d ve kaburgaları a, b, c oran ile ilgili:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

• • Bir prizmanın hacmi için genel formülden, aşağıdaki formül elde edilebilir: bir küboidin hacmi:

• Tüm yüzleri eşit kareler olan dikdörtgen paralelyüze denir. küp. Diğer şeylerin yanı sıra, küp düzenli bir dörtgen prizma ve genel olarak düzenli bir çokyüzlüdür. Bir küp için, dikdörtgen paralel yüzün tüm özellikleri ve düzenli prizmaların özellikleri geçerlidir, ayrıca:
  • Kesinlikle bir küpün tüm kenarları birbirine eşittir.
  • küp diyagonal d ve kenarının uzunluğu a oran ile ilgili:

• Dikdörtgen paralel yüzün hacmi formülünden aşağıdaki formül elde edilebilir: küp hacmi:

Piramit

Tanımlar:

• Piramit tabanı bir çokgen olan ve kalan yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olan bir çokyüzlüdür. Tabanın köşe sayısına göre piramitler üçgen, dörtgen vb. Şekil örnekleri göstermektedir: dörtgen ve altıgen piramitler.

• Temel piramidin tepe noktasının ait olmadığı bir çokgendir. Çizimde, taban BCDE.
• Taban dışındaki yüzlere denir yanal. Çizimde şöyle: ABC, AKD, ADE ve AEB.
• Yan yüzlerin ortak köşesine denir. piramidin tepesi(tam olarak tüm piramidin tepesi ve diğer tüm tepeler gibi sadece bir tepe değil). çizimin üzerine A.
• Piramidin tepesini tabanın tepesine bağlayan kenarlara denir. yanal. Çizimde şöyle: AB, AC, AD ve AE.
• Piramidi ifade ederek, önce tepesini, sonra da tabanın üstlerini çağırırlar. Bir çizimden bir piramit için atama aşağıdaki gibi olacaktır: ABCDE.

• Yükseklikpiramitler piramidin tepesinden tabanına çizilen dikme denir. Bu dikmenin uzunluğu harf ile gösterilir. H. Çizimde, yükseklik AG. Not: sadece piramit düzenli bir dörtgen piramit ise (çizimdeki gibi), piramidin yüksekliği tabanın köşegenine düşer. Diğer durumlarda, durum böyle değildir. Genel durumda, keyfi bir piramit için yükseklik ve tabanın kesişme noktası herhangi bir yerde olabilir.
• özlü söz - yan kenar yüksekliği doğru tepesinden çizilen piramit. Örneğin çizimde, AF.
• Piramidin çapraz kesiti- piramidin tepesinden ve tabanın köşegeninden geçen piramidin bölümü. Örneğin çizimde, ACE.

Daha iyi ezberlemek için sembollerle başka bir stereometrik çizim(şekilde doğru üçgen piramit):

Tüm yan kenarlar ise ( SA, SB, SC, SD aşağıdaki çizimde) piramitler eşittir, o zaman:

• Piramidin tabanının yakınında bir daire tanımlanabilir ve piramidin tepesi merkezine yansıtılır (nokta Ö). Başka bir deyişle, yükseklik (çizgi BÖYLE), böyle bir piramidin tepesinden tabana indirildi ( ABCD), tabanın etrafındaki sınırlandırılmış dairenin merkezine düşer, yani. tabanın dikey orta noktalarının kesişme noktasında.
• Yan nervürler taban düzlemi ile eşit açılar oluşturur (aşağıdaki çizimde bunlar açılardır. SAO, SBO, SCO, SDO).

Önemli: Bunun tersi de doğrudur, yani yan kenarlar taban düzlemi ile eşit açılar oluşturuyorsa veya piramidin tabanının yakınında bir daire tanımlanabiliyorsa ve piramidin tepesi merkezine yansıtılıyorsa, o zaman tüm kenarlar Piramidin kenarları eşittir.

Yan yüzler taban düzlemine bir açıyla eğimliyse (köşeler DMN, DKN, DLN aşağıdaki çizimde eşittir), o zaman:

• Piramidin tabanına bir daire yazılabilir ve piramidin tepesi merkezine yansıtılır (nokta N). Başka bir deyişle, yükseklik (çizgi DN), böyle bir piramidin tepesinden tabana indirilen, tabanda yazılı dairenin merkezine düşer, yani. tabanın açıortaylarının kesişme noktasına.
• Yan yüzlerin (özdeyişler) yükseklikleri eşittir. Aşağıdaki çizimde tamam, DL, DM- eşit özlü sözler.
• Böyle bir piramidin yan yüzey alanı tabanın çevresinin çarpımının yarısına ve yan yüzün yüksekliğine eşittir (apothem).

nerede: P- tabanın çevresi, a- özlü uzunluk.

Önemli: Bunun tersi de doğrudur, yani, piramidin tabanına bir daire çizilebiliyorsa ve piramidin tepesi merkezine yansıtılıyorsa, o zaman tüm yan yüzler taban düzlemine aynı açıda eğimlidir ve yan yüzlerin (apothem) yükseklikleri eşittir.

doğru piramit

Tanım: piramit denir doğru, tabanı düzenli bir çokgen ise ve tepe noktası tabanın merkezine yansıtılırsa. Daha sonra aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları eşittir.
• Düzenli bir piramidin tüm yan yüzleri, taban düzlemine bir açıyla eğimlidir.

Önemli Not: Gördüğünüz gibi, normal piramitler, hemen yukarıda açıklanan özellikleri içeren piramitlerden biridir. Gerçekten de, düzgün bir piramidin tabanı düzgün bir çokgen ise, o zaman onun yazılı ve çevrelenmiş dairelerinin merkezi çakışır ve düzgün bir piramidin tepesi (tanım gereği) tam olarak bu merkeze yansıtılır. Ancak şunu anlamak önemlidir sadece doğru değil piramitler yukarıda belirtilen özelliklere sahip olabilir.

• Düzenli bir piramitte, tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir.
• Herhangi bir normal piramitte, hem bir küre yazabilir hem de onun etrafındaki bir küreyi tanımlayabilirsiniz.
• Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ve özdeyişin çarpımının yarısına eşittir.

Bir piramidin hacmi ve alanı için formüller

teorem(eşit yüksekliklere ve eşit taban alanlarına sahip piramitlerin hacmi hakkında). Eşit yüksekliklere ve eşit taban alanlarına sahip iki piramidin hacimleri eşittir (elbette, muhtemelen bir piramidin hacminin formülünü zaten biliyorsunuzdur, ya da birkaç satır aşağıda görüyorsunuz ve bu ifade size açık görünüyor, ama aslında, "göze" bakılırsa, o zaman bu teorem o kadar açık değildir (aşağıdaki şekle bakın) Bu arada, bu diğer çokyüzlüler ve geometrik şekiller için de geçerlidir: görünüşleri aldatıcıdır, bu nedenle, gerçekten - matematikte yalnızca formüllere ve doğru hesaplamalara güvenmeniz gerekir).

• piramit hacmi formül kullanılarak hesaplanabilir:

nerede: S taban, piramidin tabanının alanıdır, h piramidin yüksekliğidir.

• Piramidin yan yüzeyi yan yüzlerin alanlarının toplamına eşittir. Piramidin yan yüzeyinin alanı için, aşağıdaki stereometrik formül resmi olarak yazılabilir:

nerede: S yan - yan yüzey alanı, S 1 , S 2 , S 3 - yan yüzlerin alanları.

• Piramidin tam yüzeyi yan yüzey alanı ile taban alanının toplamına eşit:

Tanımlar:

• - yüzleri dört üçgen olan en basit çokyüzlü, başka bir deyişle üçgen piramit. Bir tetrahedron için, yüzlerinden herhangi biri bir taban görevi görebilir. Toplamda, bir tetrahedron 4 yüze, 4 köşeye ve 6 kenara sahiptir.
• tetrahedron denir doğru tüm yüzleri eşkenar üçgen ise. Düzenli bir tetrahedron için:
  1. Düzenli bir tetrahedronun tüm kenarları eşittir.
  2. Düzenli bir tetrahedronun tüm yüzleri birbirine eşittir.
  3. Tüm yüzlerin çevreleri, alanları, yükseklikleri ve diğer tüm öğeleri sırasıyla birbirine eşittir.

Çizim düzenli bir tetrahedronu gösterirken, üçgenler ABC, ADC, MİA, kötü eşittir. Piramidin hacmi ve alanları için genel formüllerden ve ayrıca planimetri bilgisinden formüller elde etmek zor değildir. düzenli bir tetrahedronun hacmi ve alanı(a- kaburga uzunluğu):

Tanım: Stereometrideki problemleri çözerken piramit denir. dikdörtgen, piramidin yan kenarlarından biri tabana dik ise. Bu durumda, bu kenar piramidin yüksekliğidir. Aşağıda üçgen ve beşgen dikdörtgen piramit örnekleri verilmiştir. Soldaki resim SA aynı zamanda bir yükseklik olan bir kenardır.

kesik piramit

Tanımlar ve özellikler:

• kesik piramit Piramidin tabanı ile tabanına paralel bir kesme düzlemi arasına yerleştirilmiş çokyüzlü denir.
• Kesme düzlemi ile orijinal piramidin kesiştiği noktada elde edilen şekle de denir. temel kesik piramit. Bu nedenle, çizimdeki kesik piramidin iki tabanı vardır: ABC ve A 1 B 1 C 1 .
• Kesik piramidin yan yüzleri yamuktur. Örneğin çizimde, AA 1 B1B.
• Kesik bir piramidin yan kenarlarına, orijinal piramidin kenarlarının, tabanlar arasına alınmış bölümleri denir. Örneğin çizimde, AA 1 .
• Kesik bir piramidin yüksekliği, bir taban düzlemindeki bir noktadan diğer tabanın düzlemine çizilen bir diktir (veya bu dikmenin uzunluğu).
• Kesik piramit denir doğru, tabana paralel bir düzlem tarafından kesilen bir çokyüzlü ise doğru piramitler.
• Düzenli bir kesik piramidin tabanları düzgün çokgenlerdir.
• Düzenli bir kesik piramidin yan yüzleri ikizkenar yamuklardır.
• özlü söz düzenli bir kesik piramit, yan yüzünün yüksekliği olarak adlandırılır.
• Kesik bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamıdır.

Kesik bir piramit için formüller

Kesik piramidin hacmi:

nerede: S 1 ve S 2 - üs alanları, h kesik piramidin yüksekliğidir. Bununla birlikte, pratikte, kesilmiş bir piramidin hacmini aşağıdaki gibi aramak daha uygundur: Kesilmiş piramidi piramide tamamlayabilir, yan kenarları kesişmeye kadar uzatabilirsiniz. Daha sonra, kesilmiş piramidin hacmi, tüm piramidin hacmi ile tamamlanmış kısmı arasındaki fark olarak bulunabilir. Yanal yüzey alanı, tüm piramidin yan yüzey alanları ile tamamlanmış kısım arasındaki fark olarak da bulunabilir. Düzenli bir kesik piramidin yanal yüzey alanı tabanlarının ve özdeyişinin çevrelerinin toplamının yarı ürününe eşittir:

nerede: P 1 ve P 2 - taban çevreleri doğru kesik piramit, a- özlü uzunluk. Herhangi bir kesik piramidin toplam yüzey alanı, açıkça, taban ve yan yüzey alanlarının toplamı olarak bulunur:

Piramit ve top (küre)

teorem: piramidin etrafında kapsamı tanımla piramidin tabanında yazılı bir çokgen bulunduğunda (yani, çevresinde bir kürenin tanımlanabileceği bir çokgen). Bu şart gerekli ve yeterlidir. Kürenin merkezi, onlara dik olan piramidin kenarlarının orta noktalarından geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır.

Açıklama: Bu teoremden, bir kürenin hem herhangi bir üçgenin etrafında hem de herhangi bir düzenli piramidin etrafında tanımlanabileceği sonucu çıkar. Bununla birlikte, bir kürenin tanımlanabileceği piramitlerin listesi, bu tür piramitlerle sınırlı değildir. Sağdaki çizimde, yükseklikte SH bir nokta seçmem gerekiyor Ö, piramidin tüm köşelerinden eşit uzaklıkta: BÖYLE = OB = işletim sistemi = OD = AE. O zaman nokta Ö sınırlı kürenin merkezidir.

teorem: piramidin içinde yapabilirsin bir küre yazmak piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesiştiğinde (gerekli ve yeterli bir koşul). Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.

Yorum: Belli ki yukarıdaki satırı okuduğunuzu anlamamışsınız. Ancak şunu hatırlamak önemlidir. herhangi bir düzenli piramit, içine bir kürenin yazılabileceği bir piramittir.. Aynı zamanda, içine bir kürenin yazılabileceği piramitlerin listesi doğru olanlar tarafından tüketilmez.

Tanım: Bisektör düzlemi dihedral açıyı ikiye böler ve açıortay düzleminin her noktası dihedral açıyı oluşturan yüzlerden eşit uzaklıktadır. Sağ düzlemdeki şekil γ düzlemler tarafından oluşturulan dihedral açının açıortay düzlemidir α ve β .

Aşağıdaki stereometrik çizim, bir piramidin (veya topun yanında tanımlanan bir piramidin) içine kazınmış bir topu gösterirken, nokta Ö yazılı kürenin merkezidir. Bu nokta Ö topun tüm yüzlerinden eşit uzaklıkta, örneğin:

OM = OO 1

piramit ve koni

stereometride bir koniye piramit içinde yazılı denir, köşeleri çakışırsa ve tabanı piramidin tabanına yazılır. Ayrıca, bir piramidin içine bir koni yazmak, ancak piramidin özleri birbirine eşit olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul) mümkündür.

Koniye piramidin yanında yazılı denir köşeleri çakıştığında ve tabanı piramidin tabanına yakın olarak tanımlanır. Ayrıca, piramidin yakınındaki bir koniyi ancak piramidin tüm yan kenarları birbirine eşit olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul) tanımlamak mümkündür.

Önemli özellik:

piramit ve silindir

Silindirin bir piramit içinde yazılı olduğu söylenir., tabanlarından biri, piramidin tabana paralel bölümünde yazılı bir düzlemin dairesi ile çakışıyorsa ve diğer taban piramidin tabanına aitse.

Silindirin piramidin yanında çevrelendiği söylenir., piramidin tepesi tabanlarından birine aitse ve diğer tabanı piramidin tabanına yakın olarak tanımlanırsa. Ayrıca, piramidin yakınında bir silindiri ancak piramidin tabanında yazılı bir çokgen olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul) tanımlamak mümkündür.

Küre ve top

Tanımlar:

1. küre- uzayda belirli bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olarak adlandırılan kapalı bir yüzey kürenin merkezi. Bir küre aynı zamanda bir yarım dairenin çapı etrafında dönmesiyle oluşan bir dönüş gövdesidir. küre yarıçapı kürenin merkezini kürenin herhangi bir noktasına bağlayan doğru parçasına denir.
2. akordiyon küre, küre üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası.
3. çap küreye merkezinden geçen kiriş denir. Bir kürenin merkezi, çaplarından herhangi birini iki eşit parçaya böler. Yarıçaplı herhangi bir küre çapı R 2 R.
4. Top- geometrik gövde; bir merkezden belirli bir mesafeden daha büyük olmayan bir mesafede olan uzaydaki tüm noktaların kümesi. Bu mesafe denir top yarıçapı. Sabit çapı etrafında bir yarım daire döndürülerek bir top oluşturulur. Not: bir kürenin yüzeyine (veya sınırına) küre denir. Topun tanımını şu şekilde yapmak mümkündür: Bir küre ve bu kürenin sınırladığı uzayın bir kısmından oluşan geometrik bir cisme top denir.
5. yarıçap, akor ve çap top, bu topun sınırı olan kürenin yarıçapı, kirişi ve çapı olarak adlandırılır.
6. Top ile küre arasındaki fark, daire ile daire arasındaki farka benzer. Bir daire bir çizgidir ve bir daire de bu çizginin içindeki tüm noktalardır. Bir küre bir kabuktur ve bir top da bu kabuğun içindeki tüm noktalardır.
7. Kürenin (top) merkezinden geçen düzleme denir. çapsal düzlem.
8. Bir kürenin (top) çapsal bir düzlem tarafından bir bölümüne denir. Harika daire (büyük daire).

teoremler:

• teorem 1(bir kürenin bir düzlem tarafından kesitinde). Bir kürenin bir düzlem tarafından kesiti bir dairedir. Düzlem kürenin merkezinden geçse bile teoremin iddiasının doğru kalacağına dikkat edin.
• Teorem 2(bir kürenin bir düzlem tarafından kesitinde). Bir topun bir düzlem tarafından kesiti bir dairedir ve topun merkezinden kesit düzlemine çizilen dikmenin tabanı, kesitte elde edilen dairenin merkezidir.

Belirli bir topun bir bölümünde bir düzlem tarafından elde edilebilenler arasında en büyük daire, topun merkezinden geçen bir bölümde yer alır. Ö. Büyük daire denir. Yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir. Herhangi iki büyük daire topun çapında kesişir AB. Bu çap aynı zamanda kesişen büyük dairelerin çapıdır. Aynı çapın uçlarında bulunan küresel bir yüzeyin iki noktasından (Şek. A ve B), sonsuz sayıda büyük daire çizebilirsiniz. Örneğin, Dünya'nın kutuplarından sonsuz sayıda meridyen çizilebilir.

Tanımlar:

1. Küreye teğet düzlem küre ile tek ortak noktası olan düzleme, ortak noktasına da düzlem ile kürenin temas noktası denir.
2. Topa teğet düzlem Bu topun sınırı olan küreye teğet düzlem denir.
3. Kürenin (top) teğet düzleminde uzanan ve temas noktasından geçen herhangi bir çizgiye denir. bir küreye düz bir çizgiye teğet (top). Tanım olarak, teğet düzlemin küre ile yalnızca bir ortak noktası vardır, bu nedenle, teğet çizginin de küre ile yalnızca bir ortak noktası vardır - temas noktası.

teoremler:

• teorem 1(küreye teğet düzlemin işareti). Kürenin yarıçapına dik olan ve küre üzerinde uzanan ucundan geçen bir düzlem küreye dokunur.
• Teorem 2(küreye teğet düzlemin özelliği üzerinde). Küreye teğet düzlem, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.

Çokyüzlü ve küre

Tanım: Stereometride, bir polihedron (piramit veya prizma gibi) denir. kapsamda yazılı tüm köşeleri bir küre üzerinde bulunuyorsa. Bu durumda, küre bir polihedron (piramitler, prizmalar) yakınında çevrelenmiş olarak adlandırılır. Benzer şekilde: çokyüzlü denir bir topun içine yazılmış tüm köşeleri bu topun sınırındaysa. Bu durumda topun çokyüzlüye yakın yazılı olduğu söylenir.

Önemli özellik: Çokyüzlü ile çevrelenen kürenin merkezi, yarıçapa eşit uzaklıkta R polihedronun her bir köşesinden küreler.İşte küre içine yazılan çokyüzlü örnekleri:

Tanım: polihedron denir küre (top) hakkında anlatılan, küre (top) temas ederse Tümüçokyüzlü yüzler. Bu durumda, küre ve top çokyüzlüde yazılı olarak adlandırılır.

Önemli: Çokyüzlü bir kürenin merkezi, yarıçapa eşit uzaklıkta rçokyüzlülerin yüzlerini içeren düzlemlerin her birinden küreler. Kürenin yakınında açıklanan çokyüzlülere örnekler:

Bir kürenin hacmi ve yüzey alanı

teoremler:

• teorem 1(kürenin alanı hakkında). Bir kürenin alanı:

nerede: R kürenin yarıçapıdır.

• Teorem 2(topun hacmi hakkında). Yarıçapı olan bir kürenin hacmi R formülle hesaplanır:

Top segmenti, katman, sektör

stereometride top segmenti topun kesme düzlemi tarafından kesilen kısmına denir. Bu durumda, yükseklik, segment tabanının yarıçapı ve topun yarıçapı arasındaki oran:

nerede: h- segment yüksekliği, r- segment taban yarıçapı, R- top yarıçapı. Küresel segmentin tabanının alanı:

Küresel segmentin dış yüzeyinin alanı:

Top segmentinin tam yüzey alanı:

Top segmenti hacmi:

stereometride küresel katman Kürenin iki paralel düzlem arasında kalan kısmına denir. Küresel tabakanın dış yüzeyinin alanı:

nerede: h küresel tabakanın yüksekliğidir, R- top yarıçapı. Küresel tabakanın tam yüzey alanı:

nerede: h küresel tabakanın yüksekliğidir, R- top yarıçapı, r 1 , r 2, küresel tabakanın tabanlarının yarıçaplarıdır, S 1 , S 2 bu üslerin alanlarıdır. Küresel bir katmanın hacmi en basit şekilde iki küresel parçanın hacimleri arasındaki fark olarak bulunur.

stereometride top sektörü topun merkezinde bir tepe noktası olan bir küresel parça ve bir koni ve küresel parçanın tabanına denk gelen bir tabandan oluşan topun parçası olarak adlandırılır. Burada top parçasının topun yarısından daha az olduğu varsayılır. Küresel sektörün tam yüzey alanı:

nerede: h karşılık gelen küresel parçanın yüksekliğidir, r küresel segmentin (veya koninin) tabanının yarıçapıdır, R- top yarıçapı. Küresel sektörün hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Tanımlar:

1. Bazı düzlemlerde, merkezi olan bir daire düşünün Ö ve yarıçap R. Dairenin her noktasından dairenin düzlemine dik bir çizgi çiziyoruz. silindirik yüzey bu çizgilerin oluşturduğu şekil denir ve çizgilerin kendilerine denir silindirik bir yüzey oluşturan. Silindirik yüzeyin tüm jeneratörleri, daire düzlemine dik oldukları için birbirine paraleldir.

1. Düz dairesel silindir ya da sadece silindir silindirik bir yüzey ve silindirik yüzeyin jeneratörlerine dik olan iki paralel düzlem ile sınırlanan geometrik bir gövde olarak adlandırılır. Gayri resmi olarak, bir silindiri, tabanında bir daire bulunan düz bir prizma olarak düşünebilirsiniz. Bu, silindirin yan yüzeyinin hacmi ve alanı için kolayca anlaşılmasına ve gerekirse formüllerin türetilmesine yardımcı olacaktır.
2. Silindirin yan yüzeyi Silindirik yüzeyin, kesme düzlemleri arasında bulunan ve kendi generatrisine dik olan kısmına, paralel düzlemlerde silindirik yüzey tarafından kesilen parçalara (daireler) denir. silindir tabanları. Silindirin tabanları iki eşit dairedir.
3. silindir generatrix silindir tabanlarının bulunduğu paralel düzlemler arasında yer alan silindirik bir yüzeyin generatrisinin bir segmenti (veya bu segmentin uzunluğu) olarak adlandırılır. Silindirin tüm jeneratörleri birbirine paralel ve eşittir ve ayrıca tabanlara diktir.
4. Silindir ekseni silindirin tabanı olan dairelerin merkezlerini birleştiren doğru parçasına denir.
5. silindir yüksekliği silindirin bir tabanının düzlemindeki bir noktadan diğer tabanın düzlemine çizilen bir dikey (veya bu dikeyin uzunluğu) denir. Bir silindirde, yükseklik generatrix'e eşittir.
6. silindir yarıçapı tabanlarının yarıçapı denir.
7. silindir denir eşkenar yüksekliği tabanın çapına eşitse.
8. Bir dikdörtgenin bir kenarının etrafında 360° döndürülerek bir silindir elde edilebilir.
9. Kesme düzlemi silindirin eksenine paralel ise, silindirin kesiti, iki tarafı jeneratör ve diğer ikisi silindirin tabanlarının kirişleri olan bir dikdörtgendir.
10. eksenel bölüm Silindir, ekseninden geçen bir düzlem tarafından bir silindirin kesitidir. Silindirin eksenel bölümü, iki tarafı silindirin jeneratörleri ve diğer ikisi tabanlarının çapları olan bir dikdörtgendir.
11. Kesme düzlemi silindirin eksenine dik ise, tabanlara eşit bölümde bir daire oluşur. Aşağıdaki çizimde: solda - eksenel bölüm; merkezde - silindirin eksenine paralel bir bölüm; sağda - silindirin tabanına paralel bir bölüm.

Silindir ve prizma

Bir silindirin içine bir prizmanın yazılı olduğu söylenir. tabanları silindirin tabanlarında yazılıysa. Bu durumda silindirin bir prizma ile çevrelendiği söylenir. Bu durumda prizmanın yüksekliği ve silindirin yüksekliği eşit olacaktır. Prizmanın tüm yan kenarları silindirin yan yüzeyine ait olacak ve jeneratörleriyle çakışacaktır. Silindir ile sadece düz bir silindiri kastettiğimiz için, böyle bir silindire sadece düz bir prizma da yazılabilir. Örnekler:

Bir prizmanın bir silindir etrafında çevrelendiği söylenir., tabanları silindirin tabanlarının yakınında açıklanmışsa. Bu durumda silindirin bir prizma içinde yazılı olduğu söylenir. Bu durumda prizmanın yüksekliği ve silindirin yüksekliği de eşit olacaktır. Prizmanın tüm yan kenarları silindirin generatrisine paralel olacaktır. Silindir ile sadece düz bir silindiri kastettiğimiz için, böyle bir silindir sadece düz bir prizma içine yazılabilir. Örnekler:

Silindir ve küre

Bir silindire yazılı bir küre (top) denir silindirin tabanlarına ve jeneratörlerinin her birine dokunursa. Bu durumda, silindire bir küre (top) etrafında çevrelenmiş denir. Bir küre, ancak bir eşkenar silindir ise, yani bir silindire yazılabilir. taban çapı ve yüksekliği eşittir. Yazılı kürenin merkezi, silindir ekseninin ortası olacak ve bu kürenin yarıçapı, silindirin yarıçapı ile çakışacaktır. Misal:

Silindirin bir küre içinde yazılı olduğu söylenir., silindirin tabanlarının daireleri kürenin bölümleriyse. Silindirin tabanları kürenin bölümleriyse, silindirin bir küre içinde yazılı olduğu söylenir. Bu durumda top (küre) silindirin yanında yazılı olarak adlandırılır. Herhangi bir silindirin etrafında bir küre tanımlanabilir. Tarif edilen kürenin merkezi aynı zamanda silindirin ekseninin ortası olacaktır. Misal:

Pisagor teoremine dayanarak, çevrelenmiş kürenin yarıçapı ile ilgili aşağıdaki formülü kanıtlamak kolaydır ( R), silindir yüksekliği ( h) ve silindirin yarıçapı ( r):

Silindirin yan ve tam yüzeylerinin hacmi ve alanı

teorem 1(bir silindirin yan yüzeyinin alanı hakkında): Bir silindirin yan yüzeyinin alanı, tabanının çevresinin ürününe ve yüksekliğine eşittir:

nerede: R silindirin tabanının yarıçapıdır, h- onun yüksek. Bu formül, düz bir prizmanın yanal yüzey alanı formülüne dayalı olarak kolayca türetilir (veya kanıtlanır).

Silindirin tam yüzey alanı, stereometride her zamanki gibi, yan yüzey ve iki tabanın alanlarının toplamıdır. Silindirin her tabanının alanı (yani sadece bir dairenin alanı) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Bu nedenle silindirin toplam yüzey alanı S tam dolu silindir şu formülle hesaplanır:

Teorem 2(bir silindirin hacmi hakkında): Bir silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir:

nerede: R ve h sırasıyla silindirin yarıçapı ve yüksekliğidir. Bu formül ayrıca bir prizmanın hacmi formülüne dayalı olarak kolayca türetilebilir (kanıtlanmıştır).

teorem 3(Arşimet): Bir kürenin hacmi, çevresinde açıklanan silindirin hacminden bir buçuk kat daha azdır ve böyle bir topun yüzey alanı, kürenin toplam yüzey alanından bir buçuk kat daha azdır. aynı silindir:

koni

Tanımlar:

1. Bir koni (daha doğrusu dairesel bir koni) bir daireden oluşan gövde denir (denilen koni tabanı), bu dairenin düzleminde yer almayan bir nokta (denilen koninin üst kısmı) ve koninin tepesini tabanın noktalarına bağlayan tüm olası bölümler. Gayri resmi olarak, koniyi, tabanında bir daire bulunan normal bir piramit olarak algılayabilirsiniz. Bu, koninin yan yüzeyinin hacmi ve alanı için formülleri kolayca anlamaya ve gerekirse türetmeye yardımcı olacaktır.

1. Koninin tepesini taban çemberinin noktalarına bağlayan parçalara (veya uzunluklarına) denir. bir koni oluşturmak. Bir dik dairesel koninin tüm üreteçleri birbirine eşittir.
2. Bir koninin yüzeyi, koninin tabanından (daire) ve yan yüzeyden (olası tüm jeneratörlerden oluşur) oluşur.
3. Bir koninin jeneratörlerinin birleşimine denir. koninin generatrix (veya yan) yüzeyi. Bir koninin generatrisi konik bir yüzeydir.
4. koni denir doğrudan koninin tepe noktasını tabanın merkezine bağlayan çizgi, tabanın düzlemine dik ise. Bundan sonra, sadece doğru koniyi ele alacağız ve onu kısaca koni olarak adlandıracağız.
5. Görsel olarak, düz dairesel bir koni, bir dik üçgenin bacağı etrafında bir eksen olarak döndürülmesiyle elde edilen bir gövde olarak hayal edilebilir. Bu durumda koninin yan yüzeyi hipotenüsün dönmesiyle, taban ise bir eksen olmayan bacağın dönmesiyle oluşur.
6. koni yarıçapı tabanının yarıçapı denir.
7. koni yüksekliği dik (veya uzunluğu) olarak adlandırılır, tepesinden taban düzlemine indirilir. Bir dik koni için yüksekliğin tabanı tabanın merkeziyle çakışır. Dik dairesel bir koninin ekseni, yüksekliğini içeren düz bir çizgidir, yani. tabanın ortasından ve tepesinden geçen düz bir çizgi.
8. Kesme düzlemi koninin ekseninden geçerse, kesit, tabanı koninin tabanının çapı olan ve yanları koninin generatrisi olan bir ikizkenar üçgendir. Böyle bir kesim denir eksenel.

1. Kesme düzlemi, koninin yüksekliğinin iç noktasından geçer ve ona dik ise, koninin kesiti, merkezi yükseklik ile bu düzlemin kesişme noktası olan bir dairedir.
2. Yükseklik ( h), yarıçap ( R) ve generatrix'in uzunluğu ( ben) bir dik dairesel koni bariz ilişkiyi sağlar:

Koninin yan ve tam yüzeylerinin hacmi ve alanı

teorem 1(koninin yan yüzeyinin alanı üzerinde). Koninin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin yarısının ve generatrix'in ürününe eşittir:

nerede: R koninin tabanının yarıçapıdır, ben koninin generatrisinin uzunluğudur. Bu formül, düzenli bir piramidin yanal yüzey alanı formülüne dayalı olarak kolayca türetilir (veya kanıtlanır).

Koninin tam yüzey alanı yan yüzey alanı ile taban alanının toplamıdır. Koninin tabanının alanı (yani sadece dairenin alanı): S taban = πR 2. Bu nedenle, koninin toplam yüzey alanı S tam dolu koni aşağıdaki formülle hesaplanır:

Teorem 2(bir koninin hacminde). Bir koninin hacmi, taban alanının yükseklikle çarpımının üçte birine eşittir:

nerede: R koninin tabanının yarıçapıdır, h- onun yüksek. Bu formül aynı zamanda piramidin hacmi formülüne dayalı olarak kolayca türetilebilir (kanıtlanmıştır).

Tanımlar:

1. Bir koninin tabanına paralel olan ve koniyi kesen bir düzlem, ondan daha küçük bir koniyi keser. Gerisi denir kesik koni.

1. Orijinal koninin tabanına ve bu koninin bir düzlemle kesitinde elde edilen daireye denir. zemin ve merkezlerini birbirine bağlayan segment - kesik koni yüksekliği.
2. Kesik koninin yüksekliğinden (yani tabanlarının merkezinden geçen) geçen düz çizgi, onun eksen.
3. Koninin yan yüzeyinin kesik koniyi sınırlayan kısmına denir. yan yüzey ve kesik koninin tabanları arasında yer alan koninin generatrisinin bölümlerine onun adı verilir. üreten.
4. Kesik bir koninin tüm jeneratörleri birbirine eşittir.
5. Kesik bir koni, dikdörtgen bir yamuk, tabanlara dik olan kenarı etrafında 360 ° döndürülerek elde edilebilir.

Kesik bir koni için formüller:

Kesik bir koninin hacmi, tam bir koni ile koninin tabanına paralel bir düzlem tarafından kesilmiş bir koninin hacimleri arasındaki farka eşittir. Kesik bir koninin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

nerede: S 1 = π r 1 2 ve S 2 = π r 2 2 - üs alanları, h kesik koninin yüksekliğidir, r 1 ve r 2 - kesik koninin üst ve alt tabanlarının yarıçapları. Bununla birlikte, pratikte, orijinal koninin hacimleri ile kesilmiş kısım arasındaki fark olarak, kesik bir koninin hacmini aramak hala daha uygundur. Kesik bir koninin yan yüzey alanı, orijinal koninin yan yüzey alanları ile kesilen kısım arasındaki fark olarak da bulunabilir.

Gerçekten de, kesik bir koninin yan yüzeyinin alanı, tam bir koninin yan yüzeylerinin alanları ile koninin tabanına paralel bir düzlem tarafından kesilen bir koninin arasındaki farka eşittir. Kesik bir koninin yanal yüzey alanı formülle hesaplanır:

nerede: P 1 = 2π r 1 ve P 2 = 2π r 2 - kesilmiş bir koninin tabanlarının çevreleri, ben- generatrix'in uzunluğu. Kesik bir koninin toplam yüzey alanı, açıkçası, taban ve yan yüzey alanlarının toplamı olarak bulunur:

Kesik bir koninin yan yüzeyinin hacmi ve alanı için formüllerin, düzenli bir kesik piramidin benzer özellikleri için formüllerden türetildiğini lütfen unutmayın.

Koni ve küre

Bir koninin bir küre içinde yazılı olduğu söylenir.(top), tepe noktası küreye (topun sınırı) aitse ve tabanın çevresi (tabanın kendisi) kürenin (top) bir bölümüdür. Bu durumda, küre (top) koninin yakınında çevrelenmiş olarak adlandırılır. Bir küre her zaman dik dairesel bir koninin etrafında tanımlanabilir. Sınırlandırılmış kürenin merkezi, koninin yüksekliğini içeren düz bir çizgi üzerinde uzanacak ve bu kürenin yarıçapı, koninin eksenel bölümü etrafında çevrelenen dairenin yarıçapına eşit olacaktır (bu bölüm bir ikizkenar üçgendir) . Örnekler:

Bir koni içinde yazılı bir küre (top) denir, küre (top) koninin tabanına ve jeneratörlerinin her birine dokunursa. Bu durumda, koniye kürenin (top) yakınında yazılı denir. Bir küre her zaman dik dairesel bir koniye yazılabilir. Merkezi koninin yüksekliğinde olacak ve yazılı kürenin yarıçapı, koninin eksenel bölümünde yazılı dairenin yarıçapına eşit olacaktır (bu bölüm bir ikizkenar üçgendir). Örnekler:

Koni ve piramit

• Koninin tabanı piramidin tabanına yazılmışsa ve koninin ve piramidin köşeleri çakışırsa, bir koniye piramidin içinde yazılı denir (bir koninin yanında bir piramit tanımlanır).
• Tabanı koninin tabanında yazılıysa ve yan kenarlar koninin jeneratörleriyse, bir piramit koni içinde yazılı olarak adlandırılır (bir koni bir piramidin yanında tanımlanır).
• Bu tür koni ve piramitlerin yükseklikleri birbirine eşittir.

Not: Katı geometride bir koninin bir piramite nasıl sığdığı veya bir piramidin yanında nasıl tanımlandığı hakkında daha fazla ayrıntı, daha önce şurada tartışılmıştır.

Fizik ve Matematikte CT'ye nasıl başarılı bir şekilde hazırlanır?

Başarılı olmak için BT için hazırlanın fizik ve matematikte, diğer şeylerin yanı sıra, üç temel koşulun karşılanması gerekir:

1. Tüm konuları inceleyin ve verilen tüm testleri ve görevleri tamamlayın. Eğitim malzemeleri o web sitesinde. Bunu yapmak için hiçbir şeye ihtiyacınız yok, yani: her gün üç ila dört saatinizi fizik ve matematikte CT'ye hazırlanmak, teori çalışmak ve problem çözmek için ayırmak. Gerçek şu ki, CT sadece fizik veya matematik bilmenin yeterli olmadığı bir sınavdır, aynı zamanda çeşitli konularda ve değişen karmaşıklıkta çok sayıda problemi hızlı ve hatasız çözebilmeniz gerekir. İkincisi ancak binlerce problem çözülerek öğrenilebilir.
2. öğrenmek fizikteki tüm formüller ve yasalar ve matematikteki formüller ve yöntemler. Aslında bunu yapmak da çok basit, fizikte sadece 200 kadar gerekli formül var, hatta matematikte biraz daha az. Bu konuların her birinde, temel düzeyde karmaşıklıktaki sorunları çözmek için de öğrenilebilen yaklaşık bir düzine standart yöntem vardır ve bu nedenle, dijital dönüşümün çoğunu doğru zamanda tamamen otomatik ve zorlanmadan çözer. Bundan sonra, sadece en zor görevleri düşünmeniz gerekecek.
3. Üç aşamayı da ziyaret edin prova testi fizik ve matematikte. Her iki seçeneği de çözmek için her RT iki kez ziyaret edilebilir. Yine DT'de, problemleri hızlı ve verimli bir şekilde çözebilme yeteneği, formül ve yöntem bilgisinin yanı sıra, zamanı doğru planlayabilme, kuvvetleri dağıtabilme ve en önemlisi cevap formunu doğru doldurabilme, cevapların ve sorunların sayısını veya kendi adınızı karıştırmadan. Ayrıca, RT sırasında, DT'deki hazırlıksız bir kişi için çok sıra dışı görünebilecek görevlerde soru sorma tarzına alışmak önemlidir.

Bu üç noktanın başarılı, özenli ve sorumlu bir şekilde uygulanması, CT'de yapabileceğinizin maksimumu olan mükemmel bir sonuç göstermenize izin verecektir.

Bir hata mı buldunuz?

Size göründüğü gibi, eğitim materyallerinde bir hata bulduysanız, lütfen posta ile yazın. Ayrıca sosyal ağdaki () hata hakkında da yazabilirsiniz. Mektupta konuyu (fizik veya matematik), konunun veya testin adını veya numarasını, görevin numarasını veya metindeki (sayfa) yeri, sizce bir hata olduğunu belirtin. Ayrıca iddia edilen hatanın ne olduğunu da açıklayın. Mektubunuz gözden kaçmayacak, ya hata düzeltilecek ya da neden yanlış olmadığı size anlatılacaktır.