Piramit. kesik piramit

Piramit yüzlerinden biri çokgen olan çokyüzlü olarak adlandırılır ( temel ) ve diğer tüm yüzler ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir ( yan yüzler ) (Şek. 15). piramit denir doğru , tabanı düzenli bir çokgen ise ve piramidin tepesi tabanın merkezine yansıtılırsa (Şek. 16). Tüm kenarları eşit olan üçgen piramit denir tetrahedron .

yan kaburga piramit, yan yüzün tabana ait olmayan tarafına denir. Yükseklik piramit, tepesinden taban düzlemine olan mesafedir. Tüm yan kaburgalar doğru piramit birbirine eşittir, tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Köşeden çizilen düzgün bir piramidin yan yüzünün yüksekliğine denir. özlü söz . diyagonal bölüm Piramidin bir bölümüne, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzlem denir.

Yan yüzey alanı piramit, tüm yan yüzlerin alanlarının toplamı olarak adlandırılır. alan tam yüzey tüm yan yüzlerin ve tabanın alanlarının toplamıdır.

teoremler

1. Bir piramitte tüm yan kenarlar taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, piramidin tepesi, tabanın yakınındaki çevrelenmiş dairenin merkezine yansıtılır.

2. Bir piramitte tüm yan kenarların uzunlukları eşitse, piramidin tepesi, tabanın yakınında çevrelenmiş dairenin merkezine yansıtılır.

3. Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, piramidin tepesi tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılır.

Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için formül doğrudur:

nerede V- Ses;

S ana- taban alanı;

H piramidin yüksekliğidir.

Düzenli bir piramit için aşağıdaki formüller doğrudur:

nerede p- tabanın çevresi;

bir- özlü söz;

H- yükseklik;

S dolu

S tarafı

S ana- taban alanı;

V düzgün bir piramidin hacmidir.

kesik piramit taban ile piramidin tabanına paralel olan kesme düzlemi arasında kalan piramidin parçası olarak adlandırılır (Şekil 17). Doğru kesilmiş piramit Taban ile piramidin tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında kalan, düzgün piramidin parçası olarak adlandırılır.

Vakıflar kesik piramit - benzer çokgenler. yan yüzler - yamuk. Yükseklik kesik piramit, tabanları arasındaki mesafe olarak adlandırılır. Diyagonal Kesik bir piramit, aynı yüzde yer almayan köşelerini birleştiren bir segmenttir. diyagonal bölüm Kesik bir piramidin bir bölümüne, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlem denir.

Kesik bir piramit için formüller geçerlidir:

(4)

nerede S 1 , S 2 - üst ve alt tabanların alanları;

S dolu toplam yüzey alanıdır;

S tarafı yan yüzey alanıdır;

H- yükseklik;

V kesik piramidin hacmidir.

Düzenli bir kesik piramit için aşağıdaki formül doğrudur:

nerede p 1 , p 2 - taban çevreleri;

bir- düzenli bir kesik piramidin özü.

örnek 1 Sağda Üçgen piramit tabandaki dihedral açı 60º'dir. Yan kenarın taban düzlemine eğim açısının tanjantını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 18).

Piramit düzenlidir, bu, tabanın bir eşkenar üçgen olduğu ve tüm yan yüzlerin eşit ikizkenar üçgenler olduğu anlamına gelir. Tabandaki dihedral açı, piramidin yan yüzünün taban düzlemine olan eğim açısıdır. Doğrusal açı açı olacaktır a iki dikme arasında: yani. Piramidin tepesi üçgenin merkezine yansıtılır (sınırlandırılmış dairenin merkezi ve üçgendeki yazılı daire ABC). Yan nervürün eğim açısı (örneğin SB) kenarın kendisi ile taban düzlemine izdüşümü arasındaki açıdır. kaburga için SB bu açı açı olacak SBD. Teğeti bulmak için bacakları bilmeniz gerekir. BÖYLE ve OB. Segmentin uzunluğu olsun BD 3 a. nokta Öçizgi segmenti BD parçalara ayrılır: ve BÖYLE: Bulduğumuz:

Cevap:

Örnek 2 Tabanlarının köşegenleri cm ve cm ve yüksekliği 4 cm ise düzgün bir kesik dörtgen piramidin hacmini bulun.

Çözüm. Kesik bir piramidin hacmini bulmak için formül (4)'ü kullanırız. Tabanların alanlarını bulmak için köşegenlerini bilerek taban karelerinin kenarlarını bulmanız gerekir. Tabanların kenarları sırasıyla 2 cm ve 8 cm'dir Bu, tabanların alanları anlamına gelir ve Tüm verileri formüle koyarak, kesilmiş piramidin hacmini hesaplarız:

Cevap: 112 cm3.

Örnek 3 Tabanlarının kenarları 10 cm ve 4 cm olan ve piramidin yüksekliği 2 cm olan düzgün bir üçgen kesik piramidin yan yüzünün alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 19).

Bu piramidin yan yüzü bir ikizkenar yamuktur. Bir yamuğun alanını hesaplamak için tabanları ve yüksekliği bilmeniz gerekir. Bazlar duruma göre verilmiştir, sadece yükseklik bilinmemektedir. Nereden bul ANCAK 1 E bir noktadan dik ANCAK 1 alt tabanın düzleminde, A 1 D- dik ANCAK 1 AC. ANCAK 1 E\u003d 2 cm, çünkü bu piramidin yüksekliğidir. Bulmak için DEüstten görünümü tasvir edeceğimiz ek bir çizim yapacağız (Şek. 20). Nokta Ö- üst ve alt tabanların merkezlerinin izdüşümü. beri (bkz. Şekil 20) ve Öte yandan TAMAM yazılı dairenin yarıçapı ve OM yazılı dairenin yarıçapı:

MK=DE.

Pisagor teoremine göre

Yan yüz alanı:

Cevap:

Örnek 4 Piramidin tabanında, tabanları olan bir ikizkenar yamuk bulunur. a ve b (a> b). Her bir yan yüz, piramidin tabanının düzlemine eşit bir açı oluşturur. j. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 21). Piramidin toplam yüzey alanı SABCD alanların toplamına ve yamuğun alanına eşittir ABCD.

Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, tepe noktası tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılır ifadesini kullanırız. Nokta Ö- köşe projeksiyonu S piramidin tabanında. Üçgen SODüçgenin ortogonal izdüşümüdür CSD taban düzlemine. Düz bir figürün ortogonal izdüşümü alanındaki teoreme göre şunları elde ederiz:

Benzer şekilde, şu anlama gelir Böylece sorun yamuğun alanını bulmaya indirgendi. ABCD. Bir yamuk çiz ABCD ayrı olarak (Şek. 22). Nokta Ö yamukta yazılı bir dairenin merkezidir.

Bir daire bir yamuğun içine yazılabileceğinden, o zaman veya Pisagor teoremine göre

Tanım

Piramit bir çokgen, \(A_1A_2...A_n\) ve \(n\) ortak bir köşesi \(P\) (çokgenin düzleminde yer almayan) ve karşılıklı kenarların kenarlarıyla çakışan \(n\) üçgenlerinden oluşan bir çokyüzlüdür. çokgen.
Tanımlama: \(PA_1A_2...A_n\) .
Örnek: beşgen piramit \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Üçgenler \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) vb. aranan yan yüzler piramitler, segmentler \(PA_1, PA_2\), vb. - yan kaburgalar, çokgen \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – temel, nokta \(P\) – toplantı.

Yükseklik Piramitler, piramidin tepesinden taban düzlemine indirilen bir dikeydir.

Tabanında üçgen bulunan piramit denir tetrahedron.

piramit denir doğru, tabanı normal bir çokgen ise ve aşağıdaki koşullardan biri karşılanıyorsa:

\((a)\) piramidin yan kenarları eşittir;

\((b)\) piramidin yüksekliği, tabana yakın çevrelenmiş dairenin merkezinden geçer;

\((c)\) yan nervürler taban düzlemine aynı açıda eğimlidir.

\((d)\) yan yüzler taban düzlemine aynı açıda eğimlidir.

düzenli tetrahedron tüm yüzleri eşit eşkenar üçgen olan üçgen bir piramittir.

teorem

\((a), (b), (c), (d)\) koşulları eşdeğerdir.

Kanıt

Piramidin yüksekliğini \(PH\) çizin. \(\alpha\) piramidin tabanının düzlemi olsun.

1) \((a)\) ifadesinin \((b)\) anlamına geldiğini ispatlayalım. \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) olsun.

Çünkü \(PH\perp \alpha\) , o zaman \(PH\) bu düzlemde uzanan herhangi bir doğruya diktir, dolayısıyla üçgenler dik açılıdır. Dolayısıyla bu üçgenler ortak bacak \(PH\) ve hipotenüs \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) açısından eşittir. Yani \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Bu, \(A_1, A_2, ..., A_n\) noktalarının \(H\) noktasından aynı uzaklıkta olduğu anlamına gelir, bu nedenle, yarıçapı \(A_1H\) olan aynı daire üzerinde bulunurlar. Bu daire, tanımı gereği, \(A_1A_2...A_n\) poligonu ile çevrelenmiştir.

2) \((b)\) ifadesinin \((c)\) anlamına geldiğini ispatlayalım.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dikdörtgen ve iki ayakla eşittir. Bu nedenle, açıları da eşittir, bu nedenle, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) \((c)\) ifadesinin \((a)\) anlamına geldiğini ispatlayalım.

İlk noktaya benzer şekilde, üçgenler \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dikdörtgen ve bacak boyunca ve keskin köşe. Bu onların hipotenüslerinin de eşit olduğu anlamına gelir, yani \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) \((b)\) ifadesinin \((d)\) anlamına geldiğini ispatlayalım.

Çünkü düzgün bir çokgende, çevrelenmiş ve işaretli dairelerin merkezleri çakışır (genel olarak, bu noktaya düzgün çokgenin merkezi denir), o zaman \(H\) yazılı dairenin merkezidir. \(H\) noktasından tabanın kenarlarına dikler çizelim: \(HK_1, HK_2\), vb. Bunlar, yazılı dairenin yarıçaplarıdır (tanım gereği). O zaman, TTP'ye göre, (\(PH\) düzleme diktir, \(HK_1, HK_2\), vb. yanlara dik çıkıntılardır) eğik \(PK_1, PK_2\), vb. kenarlara dik \(A_1A_2, A_2A_3\), vb. sırasıyla. Yani, tanım gereği \(\açı PK_1H, \açı PK_2H\) yan yüzler ile taban arasındaki açılara eşittir. Çünkü üçgenler \(PK_1H, PK_2H, ...\) eşittir (iki ayakta dik açılı olarak), sonra açılar \(\açı PK_1H, \açı PK_2H, ...\) eşittir.

5) \((d)\) ifadesinin \((b)\) anlamına geldiğini ispatlayalım.

Dördüncü noktaya benzer şekilde, \(PK_1H, PK_2H, ...\) üçgenleri eşittir (bacak ve dar açı boyunca dikdörtgen olarak), bu da segmentlerin \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) olduğu anlamına gelir. eşittir. Bu nedenle, tanımı gereği, \(H\) tabanda yazılı bir dairenin merkezidir. Ama o zamandan beri düzgün çokgenler için, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri çakışır, o zaman \(H\) çevrelenmiş dairenin merkezidir. Chtd.

Sonuçlar

Düzenli bir piramidin yan yüzleri eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Tanım

Düzgün bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliğine denir. özlü söz.
Düzenli bir piramidin tüm yan yüzlerinin özleri birbirine eşittir ve ayrıca medyanlar ve bisektörlerdir.

Önemli notlar

1. Düzenli bir üçgen piramidin yüksekliği, tabanın yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya medyanlarının) kesişme noktasına düşer (taban normal bir üçgendir).

2. Düzenli bir dörtgen piramidin yüksekliği, tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına düşer (taban bir karedir).

3. Yükseklik doğru altıgen piramit tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına düşer (taban normal bir altıgendir).

4. Piramidin yüksekliği, tabanda uzanan herhangi bir düz çizgiye diktir.

Tanım

piramit denir dikdörtgen yan kenarlarından biri taban düzlemine dik ise.

Önemli notlar

1. Dikdörtgen bir piramit için tabana dik olan kenar piramidin yüksekliğidir. Yani, \(SR\) yüksekliktir.

2. Çünkü \(SR\) tabandan herhangi bir doğruya dik, sonra \(\üçgen SRM, \üçgen SRP\) dik üçgenlerdir.

3. Üçgenler \(\üçgen SRN, \üçgen SRK\) ayrıca dikdörtgendir.
Yani bu kenarın oluşturduğu herhangi bir üçgen ve bu kenarın tabanda bulunan köşesinden çıkan köşegen dik açılı olacaktır.

\[(\Large(\text(Piramidin hacmi ve yüzey alanı)))\]

teorem

Bir piramidin hacmi, taban alanı ve piramidin yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir: \

Sonuçlar

\(a\) tabanın kenarı, \(h\) piramidin yüksekliği olsun.

1. Düzenli bir üçgen piramidin hacmi \(V_(\text(dik üçgen pay.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Düzenli bir dörtgen piramidin hacmi \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Düzenli bir altıgen piramidin hacmi \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Düzenli bir tetrahedronun hacmi \(V_(\text(sağ tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

teorem

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ve özdeyişin çarpımının yarısına eşittir.

\[(\Büyük(\text(Kesilmiş piramit)))\]

Tanım

Rastgele bir piramit \(PA_1A_2A_3...A_n\) düşünün. Piramidin yan kenarında bulunan belirli bir noktadan piramidin tabanına paralel bir düzlem çizelim. Bu düzlem, piramidi, biri piramit (\(PB_1B_2...B_n\) ), diğeri ise kesik piramit(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Kesik piramidin iki tabanı vardır - birbirine benzeyen çokgenler \(A_1A_2...A_n\) ve \(B_1B_2...B_n\) .

Kesik bir piramidin yüksekliği, üst tabanın bir noktasından alt tabanın düzlemine çizilen bir diktir.

Önemli notlar

1. Kesik bir piramidin tüm yan yüzleri yamuktur.

2. Düzgün bir kesik piramidin (yani, düzgün bir piramidin bir bölümünden elde edilen bir piramit) tabanlarının merkezlerini birleştiren parça yüksekliktir.

Burada piramitler ve ilgili formüller ve kavramlar hakkında temel bilgiler toplanmıştır. Hepsi sınava hazırlanırken bir matematik öğretmeni ile çalışılır.

Bir düzlem, bir çokgen düşünün içinde yatan ve içinde olmayan bir S noktası. S'yi çokgenin tüm köşelerine bağlayın. Ortaya çıkan çokyüzlüye piramit denir. Segmentlere yan kenarlar denir. Çokgene taban, S noktasına piramidin tepesi denir. Piramit n sayısına bağlı olarak üçgen (n=3), dörtgen (n=4), beşgen (n=5) vb. alternatif başlıkÜçgen piramit - tetrahedron. Bir piramidin yüksekliği, tepesinden taban düzlemine çizilen dikeydir.

Bir piramit eğer doğru denir düzenli bir çokgen ve piramidin yüksekliğinin tabanı (dikeyin tabanı) merkezidir.

öğretmenin yorumu:
"Düzenli piramit" ve "düzenli tetrahedron" kavramını karıştırmayın. Düzenli bir piramitte, yan kenarlar mutlaka tabanın kenarlarına eşit değildir, ancak düzenli bir dörtyüzlüde kenarların 6 kenarı da eşittir. Bu onun tanımı. Eşitliğin, çokgenin merkezinin P olduğunu ima ettiğini kanıtlamak kolaydır. bir yükseklik tabanı ile, yani düzenli bir tetrahedron düzenli bir piramittir.

apothem nedir?
Bir piramidin özü, yan yüzünün yüksekliğidir. Piramit düzenliyse, tüm özdeyişleri eşittir. Tersi doğru değil.

Matematik öğretmeni terminolojisi hakkında: piramitlerle çalışmak, %80'i iki tür üçgenden oluşur:
1) Özdeyiş SK ve yükseklik SP içerir
2) SA yan kenarını ve PA çıkıntısını içeren

Bu üçgenlere referansları basitleştirmek için, bir matematik öğretmeninin bunlardan ilkini adlandırması daha uygundur. apotemik, ve ikinci kıyı. Ne yazık ki, bu terminolojiyi hiçbir ders kitabında bulamazsınız ve öğretmenin bunu tek taraflı olarak tanıtması gerekir.

Piramit hacim formülü:
1) , piramidin tabanının alanı nerede ve piramidin yüksekliği
2) , yazılı kürenin yarıçapı nerede ve piramidin toplam yüzey alanı.
3) , burada MN, herhangi iki kesişen kenarın mesafesidir ve kalan dört kenarın orta noktaları tarafından oluşturulan paralelkenarın alanıdır.

Piramit Yükseklik Taban Özelliği:

Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa, P noktası (şekle bakın), piramidin tabanındaki yazılı dairenin merkeziyle çakışır:
1) Bütün apotemler eşittir
2) Tüm yan yüzler tabana doğru eşit şekilde eğimlidir.
3) Tüm özdeyişler, piramidin yüksekliğine eşit derecede eğimlidir.
4) Piramidin yüksekliği tüm yan yüzlere eşit eğimlidir.

Matematik öğretmeninin yorumu: tüm öğelerin tek tek birleştirildiğini unutmayın ortak mülk: öyle ya da böyle, yan yüzler her yere katılır (özneler onların unsurlarıdır). Bu nedenle, öğretmen ezberleme için daha az kesin, ancak daha uygun bir formülasyon sunabilir: P noktası, yan yüzleri hakkında eşit bilgi varsa, yazılı dairenin merkezi, piramidin tabanı ile çakışır. Bunu kanıtlamak için tüm apothemik üçgenlerin eşit olduğunu göstermek yeterlidir.

Üç koşuldan biri doğruysa, P noktası, piramidin tabanına yakın çevrelenmiş dairenin merkeziyle çakışır:
1) Tüm yan kenarlar eşittir
2) Tüm yan nervürler tabana doğru eşit şekilde eğimlidir.
3) Tüm yan kaburgalar yüksekliğe eşit eğimlidir

Matematikte sınavda yer alan görevleri dikkate almaya devam ediyoruz. Durumun verildiği ve verilen iki nokta veya açı arasındaki mesafeyi bulmanın gerekli olduğu problemleri zaten inceledik.

Piramit, tabanı çokgen, diğer yüzleri üçgen olan ve ortak bir tepe noktasına sahip olan bir çokyüzlüdür.

Düzenli bir piramit, tabanında düzenli bir çokgen bulunan ve tepesi tabanın merkezine yansıtılan bir piramittir.

Düzenli bir dörtgen piramit - taban bir karedir Piramidin üstü, tabanın köşegenlerinin (kare) kesişme noktasında yansıtılır.

ML - özlü söz
∠MLO - piramidin tabanındaki dihedral açı
∠MCO - yan kenar ile piramidin tabanının düzlemi arasındaki açı

Bu yazıda doğru piramidi çözme görevlerini ele alacağız. Herhangi bir elemanı, yan yüzey alanını, hacmini, yüksekliğini bulmak gerekir. Tabii ki, Pisagor teoremini, piramidin yan yüzeyinin alan formülünü, piramidin hacmini bulma formülünü bilmeniz gerekir.

Makalede Stereometri problemlerini çözmek için gerekli olan « » formüller sunulmaktadır. Yani görevler:

SABCD nokta Ö- temel merkezS köşe, BÖYLE = 51, AC= 136. Yan kenarı bulunSC.

Bu durumda, taban bir karedir. Bu, AC ve BD köşegenlerinin eşit olduğu, kesiştikleri ve kesişme noktasında ortaladıkları anlamına gelir. Normal bir piramitte, tepesinden indirilen yüksekliğin piramidin tabanının merkezinden geçtiğine dikkat edin. Yani yükseklik ve üçgen SOSOCdikdörtgen. Sonra Pisagor teoremi ile:

Büyük bir sayının kökü nasıl alınır.

Cevap: 85

Kendin için karar ver:

Sağda dörtgen piramit SABCD nokta Ö- temel merkez S köşe, BÖYLE = 4, AC= 6. Bir yan kenar bulun SC.

Düzenli bir dörtgen piramit içinde SABCD nokta Ö- temel merkez S köşe, SC = 5, AC= 6. Parçanın uzunluğunu bulun BÖYLE.

Düzenli bir dörtgen piramit içinde SABCD nokta Ö- temel merkez S köşe, BÖYLE = 4, SC= 5. Parçanın uzunluğunu bulun AC.

SABC R- kaburganın ortası M.Ö, S- tepe. Biliniyor ki AB= 7 ve SR= 16. Yan yüzey alanını bulun.

Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ve özdeyişin çarpımının yarısına eşittir (öz, üstten çizilen normal bir piramidin yan yüzünün yüksekliğidir):

Veya şunu söyleyebilirsiniz: Piramidin yan yüzeyinin alanı, üç yan yüzün alanlarının toplamına eşittir. Düzgün bir üçgen piramidin yan yüzleri eşit alana sahip üçgenlerdir. Bu durumda:

Cevap: 168

Kendin için karar ver:

Düzenli bir üçgen piramidin içinde SABC R- kaburganın ortası M.Ö, S- tepe. Biliniyor ki AB= 1 ve SR= 2. Yan yüzeyin alanını bulun.

Düzenli bir üçgen piramidin içinde SABC R- kaburganın ortası M.Ö, S- tepe. Biliniyor ki AB= 1 ve yan yüzey alanı 3'tür. Parçanın uzunluğunu bulun. SR.

Düzenli bir üçgen piramidin içinde SABC L- kaburganın ortası M.Ö, S- tepe. Biliniyor ki SL= 2 ve yan yüzey alanı 3'tür. Parçanın uzunluğunu bulun. AB.

Düzenli bir üçgen piramidin içinde SABC M. Bir üçgenin alanı ABC 25, piramidin hacmi 100'dür. Parçanın uzunluğunu bulun HANIM.

Piramidin tabanı eşkenar üçgendir. Bu yüzden Mtabanın merkezidir veHANIM- düzenli bir piramidin yüksekliğiSABC. Piramit Hacmi SABC eşittir: çözümü incele

Düzenli bir üçgen piramidin içinde SABC taban medyanları bir noktada kesişir M. Bir üçgenin alanı ABC 3, HANIM= 1. Piramidin hacmini bulun.

Düzenli bir üçgen piramidin içinde SABC taban medyanları bir noktada kesişir M. Piramidin hacmi 1, HANIM= 1. Üçgenin alanını bulun ABC.

Bununla bitirelim. Gördüğünüz gibi, görevler bir veya iki adımda çözülür. Gelecekte, devrim bedenlerinin verildiği bu bölümden başka sorunları da sizinle birlikte ele alacağız, kaçırmayın!

Sana başarılar diliyorum!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.