Düzgün altıgen piramidin hacmi 6 kenarlıdır. Düzenli bir altıgen piramidin hacmi

Mekansal figürlerin hacimlerinin hesaplanması, stereometrinin önemli görevlerinden biridir. Bu yazıda, piramit gibi bir polihedronun hacmini belirleme konusunu ele alacağız ve ayrıca düzenli bir altıgen vereceğiz.

Piramit altıgen

Başlamak için, makalede tartışılacak olan rakamın ne olduğunu düşünelim.

Kenarları mutlaka birbirine eşit olmayan keyfi bir altıgenimiz olsun. Ayrıca uzayda altıgenin düzleminde olmayan bir nokta seçtiğimizi varsayalım. İkincisinin tüm köşelerini seçilen nokta ile birleştirerek bir piramit elde ederiz. Aşağıdaki şekilde altıgen tabanlı iki farklı piramit gösterilmiştir.

Altıgenin yanı sıra, şeklin bağlantı noktası tepe noktası olarak adlandırılan altı üçgenden oluştuğu görülebilir. Gösterilen piramitler arasındaki fark, sağdaki h yüksekliğinin altıgen tabanı geometrik merkezinde kesmemesi, soldaki figürün yüksekliğinin ise tam olarak bu merkeze düşmesidir. Bu kriter sayesinde sol piramit düz ve sağa eğimli olarak adlandırıldı.

Şekilde soldaki şeklin tabanı, kenarları ve açıları eşit olan bir altıgenden oluştuğu için doğru denir. Makalede ayrıca sadece bu piramit hakkında konuşacağız.

Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için aşağıdaki formül geçerlidir:

Burada h, şeklin yüksekliğinin uzunluğudur, S o, tabanının alanıdır. Düzgün bir altıgen piramidin hacmini belirlemek için bu ifadeyi kullanalım.

Söz konusu şekil bir eşkenar altıgene dayalı olduğundan, alanını hesaplamak için bir n-gon için aşağıdaki genel ifade kullanılabilir:

S n = n/4 * bir 2 * ctg(pi/n)

Burada n, çokgenin kenar (köşe) sayısına eşit bir tamsayıdır, a, kenarının uzunluğudur, kotanjant işlevi uygun tablolar kullanılarak hesaplanır.

n = 6 için ifadeyi uygulayarak şunu elde ederiz:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Şimdi bu ifadeyi yerine koymak için kalır Genel formül hacim V için:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * bir 2

Bu nedenle, söz konusu piramidin hacmini hesaplamak için iki doğrusal parametresini bilmek gerekir: tabanın kenarının uzunluğu ve şeklin yüksekliği.

Sorun çözümü örneği

V 6 için elde edilen ifadenin aşağıdaki problemi çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösterelim.

Doğru hacmin 100 cm3 olduğu bilinmektedir. Aşağıdaki eşitlikle birbirleriyle ilişkili olduğu biliniyorsa, tabanın kenarını ve şeklin yüksekliğini belirlemek gerekir:

Hacim formülüne yalnızca a ve h dahil edildiğinden, bu parametrelerden herhangi biri, diğeri aracılığıyla ifade edilerek onun içine ikame edilebilir. Örneğin, a yerine koyarız, şunu elde ederiz:

V 6 \u003d √3 / 2 * s * (2 * s) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Şeklin yükseklik değerini bulmak için, hacimden uzunluk boyutuna karşılık gelen üçüncü derecenin kökünü almak gerekir. Piramidin V 6 hacim değerini problemin durumundan değiştiriyoruz, yüksekliği alıyoruz:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Tabanın kenarı, sorunun durumuna göre bulunan değerin iki katı olduğundan, onun değerini elde ederiz:

a = 2*h = 2*3.0676 = 6.1352 cm

Ses altıgen piramit sadece şeklin yüksekliği ve tabanının kenarının değeri ile bulunabilir. Bunu hesaplamak için piramidin iki farklı lineer parametresini bilmek yeterlidir, örneğin özet ve yan kenarın uzunluğu.

Piramitlerle ilgili sorunlar. Bu yazıda piramitlerle ilgili sorunları ele almaya devam edeceğiz. Herhangi bir sınıfa veya görev türüne atfedilemezler ve çözüm için genel (algoritmalar) önerilerde bulunurlar. Sadece daha önce düşünülmeyen görevlerin geri kalanı burada toplanıyor.

Çözmeden önce hafızada tazelenmesi gereken teorileri sıralayacağım: piramitler, şekil ve cisimlerin benzerlik özellikleri, düzgün piramitlerin özellikleri, Pisagor teoremi, üçgen alan formülü (ikincisidir). Görevleri düşünün:

İtibaren Üçgen piramit Hacmi 80 olan üçgen piramit, piramidin tepesinden ve tabanın orta hattından geçen bir düzlem tarafından kesilir. Kesilen üçgen piramidin hacmini bulun.

Bir piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir:

Bu piramitler (orijinal ve kırpılmış) ortak bir yüksekliğe sahiptir, bu nedenle hacimleri tabanlarının alanları ile ilişkilidir. orta hat orijinal üçgenden, alanı dört kat daha küçük olan bir üçgeni keser, yani:

Bununla ilgili daha fazla bilgiyi burada görebilirsiniz.

Bu, kesme piramidinin hacminin dört kat daha küçük olacağı anlamına gelir.

Yani 20 olacak.

Cevap: 20

* Benzer bir problem, bir üçgenin alan formülü kullanılır.

Üçgen bir piramidin hacmi 15'tir. Düzlem bu piramidin tabanının yanından geçer ve karşı yan kenarı piramidin tepesinden sayarak 1: 2 oranında bölen bir noktada keser. Düzlemin orijinal piramidi böldüğü piramitlerin hacimlerinin en büyüğünü bulun.

Bir piramit yapalım, köşeleri işaretleyelim.AE'nin ES'nin iki katı büyüklüğünde olması için AS kenarında bir E noktası işaretleyin (ES'nin AE ile 1'den 2'ye kadar ilişkili olduğu söylenirse) ve AC kenarı ile E noktasından geçen belirtilen düzlemi oluşturun:

Hangi piramidin hacmini analiz edelim: EABC veya SEBC?

* Bir piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir:

Ortaya çıkan iki piramidi göz önünde bulundurursak ve EBC yüzünü her ikisinde de taban olarak alırsak, AEBC piramidinin hacminin SEBC piramidinin hacminden daha büyük olacağı açık hale gelir. Niye ya?

A noktasından EBC düzlemine olan mesafe, S noktasına olan mesafeden daha büyüktür. Ve bu mesafe bizim için yükseklik rolünü oynar.

Öyleyse, EABC piramidinin hacmini bulalım.

İlk piramidin hacmi bize verilir, SABC ve EABC piramitlerinin tabanı ortaktır. Yükseklik oranını kurarsak, hacmi kolayca belirleyebiliriz.

ES ve AE segmentlerinin oranından, AE'nin ES'nin üçte ikisine eşit olduğu sonucu çıkar. SABC ve EABC piramitlerinin yükseklikleri aynı ilişki içindedir -EABC piramidinin yüksekliği SABC piramidinin yüksekliğinin 2/3'üne eşit olacaktır.

Böylece, eğer

O

Cevap: 10

Düzgün altıgen piramidin hacmi 6'dır. Tabanın kenarı 1'dir. Yan kenarı bulun.

Normal bir piramitte, üst kısım tabanın merkezine yansıtılır.Ek yapılar gerçekleştirelim:

Yan kenarı bulabiliriz sağ üçgen SOC. Bunu yapmak için, SO ve OS'yi bilmeniz gerekir.

SO piramidin yüksekliğidir, bunu hacim formülünü kullanarak hesaplayabiliriz:

Tabanın alanını hesaplayın. bu, bir kenarı 1'e eşit olan normal bir altıgendir. Düzenli bir altıgenin alanı, aynı kenarı olan altı eşkenar üçgenin alanına eşittir, bununla ilgili daha fazla bilgi (madde 6), yani:

Anlamına geliyor

OS \u003d BC \u003d 1, çünkü normal bir altıgende merkezini tepe noktasına bağlayan segment bu altıgenin kenarına eşittir.

Böylece, Pisagor teoremine göre:

Cevap: 7

SesBir tetrahedronun boyutu 200'dür. Köşeleri bu tetrahedronun kenarlarının orta noktaları olan bir polihedronun hacmini bulun.

Belirtilen polihedronun hacmi farka eşittir her biri ortak bir tepe noktasına sahip kenarların orta noktalarından geçen bir düzlem tarafından kesilerek elde edilen ilk dört yüzlü V 0 ve dört eşit dört yüzlünün hacimleri:

ne tanımlayalım hacme eşittir tetrahedron'u kesin.

Orijinal tetrahedron ve "kesilmiş" tetrahedronun benzer gövdeler olduğuna dikkat edin. Benzer cisimlerin hacimlerinin oranının k 3 olduğu bilinmektedir, burada k benzerlik katsayısıdır. Bu durumda, 2'ye eşittir (çünkü orijinal tetrahedronun tüm doğrusal boyutları, kesilenin karşılık gelen boyutlarının iki katıdır):

Kesme tetrahedronun hacmini hesaplayın:

Böylece, istenen hacim şuna eşit olacaktır:

Cevap: 100

Bir tetrahedronun yüzey alanı 120'dir. Köşeleri bu tetrahedronun kenarlarının orta noktaları olan bir polihedronun yüzey alanını bulun.

İlk yol:

İstenen yüzey, bir tarafı orijinal tetrahedronun kenarının yarısı olan 8 eşkenar üçgenden oluşur. Orijinal tetrahedronun yüzeyi, bu tür 16 üçgenden (tetrahedronun 4 yüzünün her birinde 4 üçgen) oluşur, bu nedenle gerekli alan bu tetrahedronun yüzey alanının yarısına eşittir ve 60'a eşittir.

İkinci yol:

Tetrahedronun yüzey alanı bilindiği için kenarını bulabilir, sonra polihedronun kenarının uzunluğunu belirleyebilir ve ardından yüzey alanını hesaplayabiliriz.

Piramitler: tabanın ne olduğuna bağlı olarak üçgen, dörtgen vb. - üçgen, dörtgen vb.
Piramit doğru denir ( şek.286,b) ilk olarak, tabanı düzgün bir çokgen ise ve ikincisi, yükseklik bu çokgenin merkezinden geçerse.
Aksi takdirde, piramit düzensiz olarak adlandırılır ( Şekil 286, içinde). Düzenli bir piramitte, tüm yan kenarlar birbirine eşittir (eşit çıkıntılarla eğimli olarak). Bu nedenle, tüm yan yüzler doğru piramit eşit ikizkenar üçgenlerdir.
Düzenli bir altıgen piramidin elemanlarının analizi ve bunların karmaşık bir çizimde temsili ( şek.287) .

a) Düzgün altıgen piramidin karmaşık çizimi. Piramidin tabanı P1 düzleminde bulunur; piramidin tabanının iki tarafı, П 2 projeksiyon düzlemine paraleldir.
b) ABCDEF tabanı - çıkıntılar düzleminde bulunan bir altıgen П 1 .
c) Yan yüz ASF - genel pozisyonda bir düzlemde bulunan bir üçgen.
d) Yan yüz FSE - profilde bulunan bir üçgen - çıkıntı yapan düzlem.
e) SE kenarı genel konumda bir segmenttir.
f) Kenar SA - ön segment.
g) Piramidin tepesi S uzayda bir noktadır.
Üzerinde ( şek.288 ve şek.289) piramitlerin karmaşık bir çizimi ve görsel görüntüleri (aksonometri) yapılırken sıralı grafik işlemlerinin örnekleri verilir.

Verilen:
1. Taban, P 1 düzleminde bulunur.
2. Tabanın kenarlarından biri x 12 eksenine paraleldir.
I. Entegre çizim.
ben, bir. Piramidin tabanını tasarlıyoruz - bu koşula göre, П 1 düzleminde yatan bir çokgen.
Bir köşe tasarlıyoruz - uzayda bulunan bir nokta. S noktasının yüksekliği piramidin yüksekliğine eşittir. S noktasının yatay izdüşümü Sı, piramidin tabanının izdüşümünün merkezinde olacaktır (koşulla).
ben, b. Piramidin kenarlarını tasarlıyoruz - segmentler; Bunu yapmak için, ABCDE taban köşelerinin doğrudan izdüşümlerini, S piramidinin tepesinin karşılık gelen izdüşümleriyle birleştiririz. Piramidin kenarlarının önden çıkıntıları S 2 C 2 ve S 2 D 2 kesikli çizgilerle, görünmez olarak, piramidin yüzleri (SBA ve SAE) tarafından kapatılmıştır.
ben, c. SBA yan yüzündeki K noktasının yatay izdüşümü K 1 verilmiş, ön izdüşümünü bulması gerekmektedir. Bunu yapmak için, S 1 ve K 1 noktalarından S 1 F 1 yardımcı bir düz çizgi çizeriz, ön projeksiyonunu buluruz ve üzerinde dikey bir iletişim hattı kullanarak, K noktasının istenen ön projeksiyonunun K 2 yerini belirleriz. .
II. Piramidin yüzeyinin gelişimi, yan yüzlerden oluşan düz bir şekildir - bir tarafı tabanın kenarına eşit olan aynı ikizkenar üçgenler ve diğer ikisi - yan kenarlara ve normal bir çokgenden - baz.
Kaidenin yanlarının doğal boyutları, yatay izdüşümünde ortaya çıkar. Çıkıntılardaki kaburgaların doğal boyutları ortaya çıkmadı.
Hipotenüs S 2 ¯A 2 ( şek.288, 1 , b) dik üçgenin S 2 O 2 ¯A 2, burada büyük bacağın piramidin S 2 O 2 yüksekliğine eşit olduğu ve küçük olanın S 1 A 1 kenarının yatay izdüşümüne eşit olduğu piramidin kenarının doğal boyutu. Süpürme aşağıdaki sırayla oluşturulmalıdır:
a) keyfi bir S noktasından (köşe) piramidin kenarına eşit R yarıçaplı bir yay çizeriz;
b) çizilmiş yay üzerinde, tabanın kenarına eşit R 1 boyutunda beş akoru ayırın;
c) D, C, B, A, E, D noktalarını birbirine seri olarak ve S noktası ile düz çizgilerle bağlayın, beş ikizkenar elde ederiz. eşit üçgenler Bu piramidin yan yüzeyinin gelişimini oluşturan, SD kenarı boyunca kesilmiş;
d) Piramidin tabanını herhangi bir yüze tutturuyoruz - örneğin üçgenleme yöntemini kullanarak bir beşgen, örneğin DSE yüzüne.
K noktası, yatay izdüşümde alınan B 1 F 1 boyutu ve nervürün gerçek boyutunda alınan A 2 K 2 boyutu kullanılarak yardımcı bir düz çizgi kullanılarak taramaya aktarılır.
III. İzometride piramidin görsel temsili.
III, bir. Koordinatları kullanarak piramidin tabanını tasvir ediyoruz ( şek.288, 1 , a).
Koordinatlarını kullanarak piramidin tepesini tasvir ediyoruz ( şek.288, 1 , a).
III, b. Piramidin yan kenarlarını, tepeyi tabanın üstleriyle birleştiriyoruz. S"D" kenarı ve C"D" ve D"E" tabanının kenarları kesikli çizgilerle, görünmez olarak, C"S"B", B"S"A" piramidinin yüzleri tarafından kapatılmıştır. ve A"S"E".
III, e. K piramidinin yüzeyindeki noktayı, y F ve x K boyutlarını kullanarak belirliyoruz. Piramidin dimetrik görüntüsü için aynı sıra izlenmelidir.
Düzensiz üçgen piramidin görüntüsü.

Verilen:
1. Taban, P 1 düzleminde bulunur.
2. Tabanın BC tarafı X eksenine diktir.
I. Entegre çizim
ben, bir. Piramidin tabanını tasarlıyoruz - P 1 düzleminde yatan bir ikizkenar üçgen ve üst S - uzayda bulunan, yüksekliği piramidin yüksekliğine eşit olan bir nokta.
ben, b. Piramidin kenarlarını tasarlıyoruz - tabanın köşelerinin aynı adlı çıkıntılarını düz çizgilerle piramidin tepesinin aynı adlı çıkıntılarına bağladığımız bölümler. Uçağın tabanının yan tarafının yatay izdüşümünü, ABS, ACS piramidinin iki yüzü ile kapatılmış, görünmez bir çizgi ile gösteriyoruz.
ben, c. Yan yüzün önden A 2 C 2 S 2 izdüşümünde D noktasının D 2 izdüşümü verilmiştir. Yatay izdüşümünü bulması gerekiyor. Bunu yapmak için, D 2 noktasından x 12 eksenine paralel bir yardımcı düz çizgi çizeriz - yatayın önden izdüşümü, sonra yatay izdüşümünü buluruz ve üzerinde dikey bir iletişim hattı kullanarak konumunu belirleriz. D noktasının istenen yatay izdüşümü D 1.
II. Bir piramit süpürme inşaatı.
Kaidenin kenarlarının doğal boyutları yatay izdüşümde ortaya çıkar. Önden projeksiyonda kaburga AS'nin doğal boyutu ortaya çıkar; çıkıntılarda BS ve CS nervürlerinin doğal boyutu yoktur, bu nervürlerin boyutu, S piramidinin tepesinden geçen P1 düzlemine dik olan i ekseni etrafında döndürülerek ortaya çıkar. Yeni önden projeksiyon ¯C 2 S 2, CS kenarının doğal değeridir.
Piramidin yüzeyinin gelişimini oluşturma sırası:
a) tabanı CB piramidinin tabanının kenarına eşit olan bir ikizkenar üçgen - CSB yüzü çizin ve taraf- kaburga SC'nin doğal boyutu ;
b) inşa edilmiş üçgenin SC ve SB kenarlarına - CSA ve BSA piramidinin yüzleri ve inşa üçgenin CB tabanına - CBA piramidinin tabanına iki üçgen ekleriz, sonuç olarak tam bir elde ederiz bu piramidin yüzeyinin açılması.
D noktasının gelişime aktarımı aşağıdaki sırayla gerçekleştirilir: önce, R 1 boyutunu kullanarak ASC yan yüz geliştirmesine yatay bir çizgi çizin ve ardından R'yi kullanarak yatay çizgi üzerindeki D noktasının konumunu belirleyin. 2 boyut.
III. Piramidin görsel bir temsili ve önden dimetrik projeksiyon
III, bir. (

Tarih: 2015-01-19

Eğer ihtiyacın varsa adım adım talimat piramit taraması nasıl yapılır, o zaman dersimizi soruyorum. Her şeyden önce, piramidinizin Şekil 1'deki gibi açılıp açılmadığını değerlendirin.

90 derece döndürdüyseniz, sizin durumunuzda şekilde "bilinen gerçek değerler" olarak işaretlenen kenar, oluşturmanız gereken profil projeksiyonunda bulunabilir. Benim durumumda bu gerekli değil, zaten inşaat için gerekli tüm miktarlara sahibiz. Bu çizimde sadece önden projeksiyondaki SA ve SD kenarlarının tam boyutta görüntülendiğini unutmamak önemlidir. Diğerleri uzunluk distorsiyonu ile yansıtılır. Ayrıca üstten görünümde altıgenin tüm kenarları da tam boy olarak yansıtılmıştır. Buna dayanarak, başlayalım.

1. Daha fazla güzellik için ilk çizgiyi yatay olarak çizelim (Şekil 1). Ardından, R=a yarıçaplı geniş bir yay çizeceğiz, yani. piramidin yan kenarının uzunluğuna eşit bir yarıçap ile. A noktasını alıyoruz. Ondan, r \u003d b (piramidin tabanının kenarının uzunluğu) yarıçaplı bir pusula ile yay üzerinde bir çentik yapıyoruz. B noktasını alalım. Piramidin ilk yüzüne zaten sahibiz!

2. B noktasından aynı yarıçapa sahip başka bir çentik yaparız - C noktasını alırız ve onu B ve S noktalarıyla birleştirerek piramidin ikinci yan yüzünü alırız (Şekil 2).

3. Bu adımları gerekli sayıda tekrarlayarak (hepsi piramidinizin kaç yüzü olduğuna bağlıdır) böyle bir yelpaze elde edeceğiz (Şekil 3). Doğru yapı ile üssün tüm puanlarını almalı, uç noktalar tekrarlanmalıdır.

4. Bu her zaman gerekli değildir, ancak yine de gereklidir: Piramidin tabanını yan yüzeyin gelişimine ekleyin. Buraya kadar okuyan herkesin altı-sekiz-beşgen çizmeyi bildiğine inanıyorum (bir beşgen nasıl çizilir derste ayrıntılı olarak anlatılmaktadır) Zorluk, rakamın çizilmesi gerektiği gerçeğinde yatmaktadır. Doğru yer ve doğru açıda. Herhangi bir yüzün ortasından bir eksen çizin. Taban çizgisiyle kesişme noktasından m mesafesini Şekil 4'te gösterildiği gibi çiziyoruz.


Bu noktadan bir dik çizerek, gelecekteki altıgenin eksenlerini elde ederiz. Ortaya çıkan merkezden, üstten görünüm oluştururken yaptığınız gibi bir daire çiziyoruz. Lütfen dairenin yan yüzün iki noktasından geçmesi gerektiğini unutmayın (benim durumumda bunlar F ve A'dır)

5. Şekil 5, altıgen prizmanın nihai katlanmamış görünümünü göstermektedir.


Bu, piramit taramasının yapımını tamamlar. Taramalarınızı yapın, çözümler bulmayı öğrenin, aşındırıcı olun ve asla pes etmeyin. Uğradığınız için teşekkürler. Bizi arkadaşlarınıza tavsiye etmeyi unutmayın :) İyi seyirler!

veya telefon numaramızı yazın ve arkadaşlarınıza bizden bahsedin - biri muhtemelen çizim yapmanın bir yolunu arıyor

veya sayfanızda veya blogunuzda derslerimiz hakkında bir not oluşturun - ve başka biri çizimde ustalaşabilir.