Logaritmanın ters formülü. Logaritmik denklem: temel formüller ve teknikler

(Yunanca λόγος - "kelime", "ilişki" ve ἀριθμός - "sayı" dan) sayılar b Sebeple a(log α b) böyle bir sayı denir c, ve b= AC, yani, log α b=c ve b=ac eşdeğerdir. a > 0, a ≠ 1, b > 0 ise logaritma anlamlıdır.

Başka bir deyişle logaritma sayılar b Sebeple a bir sayının yükseltilmesi gereken bir üs olarak formüle edilmiştir a numarayı almak için b(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).

Bu formülasyondan, x= log α hesaplamasının b, a x =b denklemini çözmeye eşdeğerdir.

Örneğin:

log 2 8 = 3 çünkü 8=2 3 .

Logaritmanın belirtilen formülasyonunun hemen belirlemeyi mümkün kıldığını not ediyoruz. logaritma değeri logaritmanın işaretinin altındaki sayı, tabanın belirli bir gücü olduğunda. Gerçekten de, logaritmanın formülasyonu, eğer varsa, bunu doğrulamayı mümkün kılar. b=bir c, ardından sayının logaritması b Sebeple a eşittir ile. Logaritma konusunun konuyla yakından ilgili olduğu da açıktır. sayı derecesi.

Logaritmanın hesaplanmasına atıfta bulunulur. logaritma. Logaritma, logaritma almanın matematiksel işlemidir. Logaritma alırken, faktörlerin ürünleri terimlerin toplamına dönüştürülür.

potansiyalizasyon logaritmanın tersi matematiksel işlemdir. Güçlendirme yapılırken, verilen taban, üzerinde güçlendirmenin gerçekleştirildiği ifadenin gücüne yükseltilir. Bu durumda, terimlerin toplamları, faktörlerin ürününe dönüştürülür.

Oldukça sık, 2 (ikili), e Euler sayısı e ≈ 2.718 (doğal logaritma) ve 10 (ondalık) tabanlı gerçek logaritmalar kullanılır.

Bu aşamada dikkate değer logaritma örnekleri günlük 7 2 , içinde √ 5, lg0.0001.

Ve lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 girişleri mantıklı değil, çünkü bunlardan ilkinde logaritmanın işaretinin altına negatif bir sayı, ikincisinde - negatif bir sayı taban ve üçüncü - ve tabandaki logaritma ve birimin işaretinin altında negatif bir sayı.

Logaritmayı belirleme koşulları.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 koşullarını ayrı ayrı ele almaya değer. logaritma tanımı. Bu kısıtlamaların neden alındığını düşünelim. Bu, x = log α biçiminde bir eşitlik bulmamıza yardımcı olacaktır. b, doğrudan yukarıda verilen logaritmanın tanımından çıkan temel logaritmik kimlik olarak adlandırılır.

durumu al a≠1. Bir, bire herhangi bir kuvvete eşit olduğundan, x=log α eşitliği b sadece ne zaman var olabilir b=1, ancak log 1 1 herhangi bir gerçek sayı olacaktır. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, a≠1.

koşulun gerekliliğini ispatlayalım. a>0. saat a=0 logaritmanın formülasyonuna göre, yalnızca şu durumlarda var olabilir: b=0. Ve sonra buna göre 0 0 günlüğü sıfırdan sıfır olmayan herhangi bir güce sıfır olduğundan, sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için koşul a≠0. Ve ne zaman a<0 rasyonel ve irrasyonel üslü üs sadece negatif olmayan tabanlar için tanımlandığından, logaritmanın rasyonel ve irrasyonel değerlerinin analizini reddetmek zorunda kalacağız. Bu sebepledir ki koşul a>0.

ve son şart b>0 eşitsizliği takip eder a>0, x=log α olduğundan b ve derecenin pozitif bir tabana sahip değeri a herzaman pozitif.

Logaritmaların özellikleri.

Logaritmalar ayırt edici özelliği olan özellikleri Bu, özenli hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırmak için yaygın olarak kullanılmasına yol açtı. Logaritma dünyasına geçişte çarpma işlemi çok daha kolay toplamaya, bölme çıkarma işlemine, bir kuvvete çıkarma ve kök alma işlemi üslü çarpmaya, bölme işlemine dönüştürülür.

Logaritmaların formülasyonu ve değerlerinin bir tablosu (için trigonometrik fonksiyonlar) ilk olarak 1614'te İskoç matematikçi John Napier tarafından yayınlandı. Diğer bilim adamları tarafından büyütülen ve detaylandırılan logaritmik tablolar, bilimsel ve mühendislik hesaplamalarında yaygın olarak kullanıldı ve elektronik hesap makineleri ve bilgisayarlar kullanılmaya başlayana kadar ilgili kaldı.

Bu video ile logaritmik denklemler hakkında uzun bir ders serisine başlıyorum. Şimdi, aynı anda en çok çözmeyi öğreneceğimiz üç örneğiniz var. basit görevler, denilen protozoa.

günlük 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Size en basit logaritmik denklemin şu olduğunu hatırlatmama izin verin:

a f(x) = b'yi günlüğe kaydet

x değişkeninin yalnızca bağımsız değişkenin içinde, yani yalnızca f(x) işlevinde bulunması önemlidir. Ve a ve b sayıları sadece sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenini içeren fonksiyonlar değildir.

Temel çözüm yöntemleri

Bu tür yapıları çözmenin birçok yolu vardır. Örneğin, okuldaki öğretmenlerin çoğu şu şekilde önermektedir: Formülü kullanarak f ( x ) fonksiyonunu hemen ifade edin. f( x ) = bir b. Yani en basit yapı ile karşılaştığınızda, ek işlemlere ve yapılara gerek kalmadan hemen çözüme geçebilirsiniz.

Evet, elbette, karar doğru çıkacak. Ancak, bu formülle ilgili sorun, çoğu öğrencinin anlamadım, nereden geliyor ve neden tam olarak a harfini b harfine yükseltiyoruz.

Sonuç olarak, örneğin bu harfler değiştirildiğinde, genellikle çok rahatsız edici hatalar gözlemliyorum. Bu formül ya anlaşılmalı ya da ezberlenmelidir ve ikinci yöntem en uygunsuz ve en önemli anlarda hatalara yol açar: sınavlarda, testlerde vb.

Bu yüzden tüm öğrencilerime standart okul formülünü terk etmelerini ve adından da anlaşılacağı gibi logaritmik denklemleri çözmek için ikinci yaklaşımı kullanmalarını öneriyorum. kanonik biçim.

Kanonik form fikri basittir. Görevimize tekrar bakalım: sol tarafta log a varken, a harfi tam olarak sayı anlamına gelir ve hiçbir durumda x değişkenini içeren fonksiyon değildir. Bu nedenle, bu mektup, logaritma temelinde uygulanan tüm kısıtlamalara tabidir. yani:

1 ≠ bir > 0

Öte yandan, aynı denklemden logaritmanın olması gerektiğini görüyoruz. sayıya eşittir b , ve bu mektuba herhangi bir kısıtlama getirilmez, çünkü hem olumlu hem de olumsuz herhangi bir değer alabilir. Her şey f(x) fonksiyonunun hangi değerleri aldığına bağlıdır.

Ve burada, herhangi bir b sayısının a tabanında a'dan b'nin kuvvetine kadar bir logaritma olarak temsil edilebileceğine dair harika kuralımızı hatırlıyoruz:

b = a a b'yi günlüğe kaydet

Bu formül nasıl hatırlanır? Evet, çok basit. Aşağıdaki yapıyı yazalım:

b = b 1 = b log a a

Tabii bu durumda başta yazdığımız tüm kısıtlamalar ortaya çıkıyor. Şimdi logaritmanın temel özelliğini kullanalım ve a'nın kuvveti olarak b faktörünü girelim. Alırız:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Sonuç olarak, orijinal denklem aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Bu kadar. Yeni fonksiyon artık bir logaritma içermiyor ve standart cebirsel tekniklerle çözülüyor.

Tabii ki, şimdi birisi itiraz edecek: neden bir tür kanonik formül bulmak gerekliydi, neden orijinal yapıdan nihai formüle hemen gitmek mümkün olsaydı, neden iki gereksiz ek adım daha uyguladınız? Evet, eğer çoğu öğrenci bu formülün nereden geldiğini anlamadığı ve sonuç olarak uygularken düzenli olarak hatalar yaptığı için.

Ancak, üç adımdan oluşan böyle bir eylem dizisi, bu son formülün nereden geldiğini anlamasanız bile, orijinal logaritmik denklemi çözmenize izin verir. Bu arada, bu girdi kurallı formül olarak adlandırılır:

log a f(x) = log a a b

Kanonik formun uygunluğu, aynı zamanda, sadece bugün düşündüğümüz en basit olanları değil, çok geniş bir logaritmik denklem sınıfını çözmek için kullanılabilmesi gerçeğinde yatmaktadır.

Çözüm örnekleri

Ve şimdi düşünelim gerçek örnekler. O halde karar verelim:

günlük 0,5 (3x - 1) = -3

Bunu şu şekilde yeniden yazalım:

günlük 0,5 (3x − 1) = günlük 0,5 0,5 −3

Birçok öğrencinin acelesi var ve 0,5 sayısını hemen orijinal problemden bize gelen güce yükseltmeye çalışıyor. Ve gerçekten de, bu tür sorunları çözme konusunda zaten iyi bir eğitim aldığınızda, bu adımı hemen gerçekleştirebilirsiniz.

Ancak, şimdi bu konuyu incelemeye yeni başlıyorsanız, saldırgan hatalar yapmamak için hiçbir yere acele etmemek daha iyidir. Yani kanonik forma sahibiz. Sahibiz:

3x - 1 = 0,5 -3

Bu artık logaritmik bir denklem değil, x değişkenine göre lineer bir denklemdir. Bunu çözmek için önce 0,5 üzeri -3'ün kuvvetiyle ilgilenelim. 0,5'in 1/2 olduğunu unutmayın.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Herşey ondalık sayılar logaritmik bir denklemi çözdüğünüzde normale dönüştürün.

Yeniden yazıyoruz ve şunu alıyoruz:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Hepsi cevabını aldık. İlk görev çözüldü.

İkinci görev

Gelelim ikinci göreve:

Gördüğünüz gibi, bu denklem artık en basiti değil. Sadece fark solda olduğu ve bir tabanda tek bir logaritma olmadığı için.

Bu nedenle, bir şekilde bu farktan kurtulmanız gerekir. Bu durumda, her şey çok basittir. Üslere daha yakından bakalım: solda kökün altındaki sayı:

Genel öneri: tüm logaritmik denklemlerde, radikallerden kurtulmaya çalışın, yani kökleri olan kayıtlardan ve güç işlevlerine geçin, çünkü bu güçlerin üsleri kolayca logaritmanın işaretinden çıkarılır ve nihayetinde böyle bir gösterim, hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir ve hızlandırır. Bunu şöyle yazalım:

Şimdi logaritmanın dikkate değer özelliğini hatırlıyoruz: hem argümandan hem de tabandan dereceler çıkarabilirsiniz. Bazlar durumunda, aşağıdakiler olur:

log a k b = 1/k loga b

Yani taban derecesinde duran sayı öne çıkarılır ve aynı zamanda ters çevrilir, yani sayının tersi olur. Bizim durumumuzda 1/2 göstergeli bir baz derecesi vardı. Bu nedenle 2/1 olarak çıkarabiliriz. Alırız:

5 2 günlük 5 x − günlük 5 x = 18
10 günlük 5 x − günlük 5 x = 18

Lütfen dikkat: hiçbir durumda bu adımda logaritmalardan kurtulmamalısınız. 4-5. sınıf matematiğini ve işlem sırasını düşünün: önce çarpma yapılır ve ancak bundan sonra toplama ve çıkarma yapılır. Bu durumda, aynı öğelerden birini 10 öğeden çıkarırız:

9 günlük 5 x = 18
günlük 5 x = 2

Şimdi denklemimiz olması gerektiği gibi görünüyor. Bu en basit tasarım, ve bunu kanonik formla çözüyoruz:

günlük 5 x = günlük 5 5 2
x = 5 2
x=25

Bu kadar. İkinci sorun çözüldü.

Üçüncü örnek

Üçüncü göreve geçelim:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Aşağıdaki formülü hatırlayın:

günlük b = günlük 10 b

Herhangi bir nedenle lg b yazarak kafanız karıştıysa, tüm hesaplamaları yaparken basitçe log 10 b yazabilirsiniz. Ondalık logaritmalarla diğerleriyle aynı şekilde çalışabilirsiniz: güçleri çıkarın, herhangi bir sayıyı ekleyin ve lg 10 olarak temsil edin.

Dersimizin en başında yazdığımız en basit şey olmadığından, sorunu çözmek için tam olarak bu özellikleri kullanacağız.

Başlangıç ​​olarak, lg 5'ten önceki faktör 2'nin eklenebileceğini ve taban 5'in bir kuvveti haline gelebileceğini unutmayın. Ek olarak, 3 serbest terimi de bir logaritma olarak gösterilebilir - bunu bizim notasyonumuzdan gözlemlemek çok kolaydır.

Kendiniz karar verin: Herhangi bir sayı, 10 tabanına göre log olarak gösterilebilir:

3 = günlük 10 10 3 = günlük 10 3

Alınan değişiklikleri dikkate alarak orijinal sorunu yeniden yazalım:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Önümüzde yine kanonik form ve dönüşüm aşamasını atlayarak elde ettik, yani en basit logaritmik denklem bizimle hiçbir yerde ortaya çıkmadı.

Dersin başında bahsettiğim şey buydu. Kanonik form, standart olandan daha geniş bir problem sınıfını çözmeye izin verir. okul formülüçoğu okul öğretmeni tarafından verilir.

Hepsi bu, ondalık logaritmanın işaretinden kurtuluyoruz ve basit bir doğrusal yapı elde ediyoruz:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Herşey! Sorun çözüldü.

Kapsam hakkında bir not

Burada tanım alanı hakkında önemli bir açıklama yapmak istiyorum. Elbette artık “Logaritmalı ifadeleri çözdüğümüzde f (x) argümanının sıfırdan büyük olması gerektiğini unutmamak gerekir!” diyecek öğrenci ve öğretmenler olacaktır. Bu bağlamda, mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: neden ele alınan sorunların hiçbirinde bu eşitsizliğin sağlanmasını talep etmedik?

Endişelenme. Bu durumlarda ekstra kökler görünmeyecektir. Ve bu, çözümü hızlandırmanıza izin veren başka bir harika numara. Sadece bilin ki, problemde x değişkeni yalnızca bir yerde (veya daha doğrusu, tek ve tek logaritmanın tek ve tek argümanında) ortaya çıkıyorsa ve bizim durumumuzda x değişkeni başka hiçbir yerde yoksa, o zaman etki alanını yazın. gerekli değilçünkü otomatik olarak çalışacaktır.

Kendiniz karar verin: İlk denklemde 3x - 1'i bulduk, yani argüman 8'e eşit olmalıdır. Bu otomatik olarak 3x - 1'in sıfırdan büyük olacağı anlamına gelir.

Aynı başarı ile ikinci durumda x'in 5 2'ye eşit olması gerektiğini yani kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu yazabiliriz. Ve üçüncü durumda, x + 3 = 25.000, yani yine, açıkça sıfırdan büyük. Başka bir deyişle, kapsam otomatiktir, ancak yalnızca x yalnızca bir logaritmanın argümanında ortaya çıkarsa.

Basit problemleri çözmek için bilmeniz gereken tek şey bu. Bu kural tek başına, dönüşüm kurallarıyla birlikte, çok geniş bir problem sınıfını çözmenize izin verecektir.

Ama dürüst olalım: Bu tekniği nihayet anlamak için, logaritmik denklemin kanonik formunun nasıl uygulanacağını öğrenmek için sadece bir video dersi izlemek yeterli değil. Bu nedenle, hemen şimdi, bu eğitim videosuna eklenmiş bağımsız bir çözüm seçeneklerini indirin ve bu iki bağımsız çalışmadan en az birini çözmeye başlayın.

Sadece birkaç dakikanızı alacaktır. Ancak bu eğitimin etkisi, bu eğitim videosunu yeni izlemiş olmanıza kıyasla çok daha yüksek olacaktır.

Umarım bu ders logaritmik denklemleri anlamanıza yardımcı olur. Kanonik formu uygulayın, logaritmalarla çalışma kurallarını kullanarak ifadeleri basitleştirin - ve herhangi bir görevden korkmayacaksınız. Ve bugünlük elimde olan tek şey bu.

Kapsam değerlendirmesi

Şimdi logaritmik fonksiyonun tanım kümesinden ve bunun logaritmik denklemlerin çözümünü nasıl etkilediğinden bahsedelim. Formun bir yapısını düşünün

a f(x) = b'yi günlüğe kaydet

Böyle bir ifadeye en basit denir - yalnızca bir işlevi vardır ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenine bağlı bir işlev değildir. Çok basit bir şekilde çözülür. Sadece formülü kullanmanız gerekir:

b = a a b'yi günlüğe kaydet

Bu formül, logaritmanın temel özelliklerinden biridir ve orijinal ifademizi değiştirirken aşağıdakileri elde ederiz:

log a f(x) = log a a b

f(x) = bir b

Bu zaten okul ders kitaplarından tanıdık bir formül. Birçok öğrencinin muhtemelen bir sorusu olacaktır: Orijinal ifadedeki f ( x ) işlevi log işaretinin altında olduğundan, buna aşağıdaki kısıtlamalar uygulanır:

f(x) > 0

Bu sınırlama geçerlidir çünkü logaritması negatif sayılar bulunmuyor. Yani, belki de bu sınırlama nedeniyle, cevaplar için bir kontrol getirmelisiniz? Belki de kaynakta değiştirilmeleri gerekir?

Hayır, en basit logaritmik denklemlerde ek bir kontrol gerekli değildir. Ve bu yüzden. Son formülümüze bir göz atın:

f(x) = bir b

Gerçek şu ki, a sayısı her durumda 0'dan büyüktür - bu gereklilik logaritma tarafından da uygulanır. A sayısı tabandır. Bu durumda, b sayısına herhangi bir kısıtlama getirilmez. Ancak bunun bir önemi yok, çünkü pozitif bir sayıyı ne kadar yükseltirsek yükseltelim, çıktıda yine de pozitif bir sayı alacağız. Böylece f(x) > 0 şartı otomatik olarak yerine getirilmiş olur.

Gerçekten kontrol etmeye değer olan şey, günlük işaretinin altındaki işlevin kapsamıdır. Oldukça karmaşık tasarımlar olabilir ve bunları çözme sürecinde kesinlikle takip etmelisiniz. Bir bakalım.

İlk görev:

İlk adım: sağdaki kesri dönüştürün. Alırız:

Logaritmanın işaretinden kurtulur ve olağan irrasyonel denklemi elde ederiz:

Elde edilen köklerden sadece birincisi bize uygundur, çünkü ikinci kök sıfırdan küçüktür. Tek cevap 9 sayısı olacak. İşte bu, sorun çözüldü. Logaritma işaretinin altındaki ifadenin 0'dan büyük olduğuna dair ek kontroller gerekli değildir, çünkü sadece 0'dan büyük değil, denklemin koşuluna göre 2'ye eşittir. Bu nedenle, "sıfırdan büyük" gerekliliği otomatik olarak gerçekleşir. yerine getirilmiştir.

Gelelim ikinci göreve:

Burada her şey aynı. Üçlü yerine yapıyı yeniden yazıyoruz:

Logaritmanın işaretlerinden kurtulur ve irrasyonel bir denklem elde ederiz:

Kısıtlamaları dikkate alarak her iki parçayı da kareleriz ve şunu elde ederiz:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Ortaya çıkan denklemi diskriminant aracılığıyla çözüyoruz:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Ama x = −6 bize uymaz, çünkü bu sayıyı eşitsizliğimizin yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

−6 + 4 = −2 < 0

Bizim durumumuzda 0'dan büyük veya aşırı durumlarda eşit olması gerekir. Ama x = -1 bize uyar:

−1 + 4 = 3 > 0

Bizim durumumuzdaki tek cevap x = -1'dir. Bütün çözüm bu. Hesaplarımızın en başına dönelim.

Bu dersten çıkan ana sonuç, en basit logaritmik denklemlerde bir fonksiyonun limitlerini kontrol etmenin gerekli olmadığıdır. Çünkü tüm kısıtlamaları çözme sürecinde otomatik olarak yürütülür.

Ancak, bu hiçbir şekilde doğrulamayı tamamen unutabileceğiniz anlamına gelmez. Logaritmik bir denklem üzerinde çalışma sürecinde, bugün iki farklı örnekte gördüğümüz sağ taraf için kendi sınırlamaları ve gereksinimleri olacak olan irrasyonel bir denkleme dönüşebilir.

Bu tür sorunları çözmekten çekinmeyin ve argümanda bir kök varsa özellikle dikkatli olun.

Farklı tabanlı logaritmik denklemler

Logaritmik denklemleri incelemeye ve daha karmaşık yapıları çözmenin moda olduğu oldukça ilginç iki numarayı analiz etmeye devam ediyoruz. Ama önce, en basit görevlerin nasıl çözüldüğünü hatırlayalım:

a f(x) = b'yi günlüğe kaydet

Bu gösterimde, a ve b sadece sayılardır ve f(x) fonksiyonunda x değişkeni mevcut olmalıdır ve sadece orada, yani x sadece argümanda olmalıdır. Bu tür logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak dönüştüreceğiz. Bunun için not ediyoruz

b = a a b'yi günlüğe kaydet

Ve a b sadece bir argümandır. Bu ifadeyi aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

log a f(x) = log a a b

Bu tam olarak başarmaya çalıştığımız şeydir, böylece hem solda hem de sağda a tabanına göre bir logaritma olur. Bu durumda, mecazi olarak, kütüğün işaretlerini çizebiliriz ve matematik açısından, argümanları basitçe eşitlediğimizi söyleyebiliriz:

f(x) = bir b

Sonuç olarak, çok daha kolay çözülecek yeni bir ifade elde ediyoruz. Bu kuralı bugün görevlerimize uygulayalım.

Yani ilk tasarım:

Öncelikle sağda paydası log olan bir kesir olduğunu belirtelim. Bunun gibi bir ifade gördüğünüzde, logaritmaların harika özelliğini hatırlamaya değer:

Rusça'ya çevrildiğinde, bu, herhangi bir logaritmanın, herhangi bir c tabanlı iki logaritmanın bir bölümü olarak temsil edilebileceği anlamına gelir. tabiki 0< с ≠ 1.

Yani: c değişkeni değişkene eşit olduğunda bu formülün harika bir özel durumu vardır. b. Bu durumda, formun bir yapısını elde ederiz:

Denklemimizde sağdaki işaretten gözlemlediğimiz bu yapıdır. Bu yapıyı log a b ile değiştirelim, şunu elde ederiz:

Başka bir deyişle, orijinal görevle karşılaştırıldığında, logaritmanın argümanını ve tabanını değiştirdik. Bunun yerine, kesri çevirmek zorunda kaldık.

Aşağıdaki kurala göre herhangi bir derecenin tabandan alınabileceğini hatırlıyoruz:

Başka bir deyişle, tabanın derecesi olan k katsayısı, ters çevrilmiş bir kesir olarak alınır. Bunu ters çevrilmiş bir kesir olarak çıkaralım:

Kesirli faktör önde bırakılamaz, çünkü bu durumda bu girişi kanonik bir form olarak temsil edemeyiz (sonuçta kanonik formda ikinci logaritmanın önünde ek bir faktör yoktur). Bu nedenle, argümandaki 1/4 kesirini bir güç olarak koyalım:

Şimdi temelleri aynı olan (ve gerçekten aynı temellere sahip olan) argümanları eşitliyoruz ve şunu yazıyoruz:

x + 5 = 1

x = -4

Bu kadar. İlk logaritmik denklemin cevabını aldık. Dikkat edin: orijinal problemde, x değişkeni yalnızca bir günlükte bulunur ve argümanındadır. Bu nedenle, etki alanını kontrol etmeye gerek yoktur ve x = -4 sayımız gerçekten de cevaptır.

Şimdi ikinci ifadeye geçelim:

günlük 56 = günlük 2 günlük 2 7 − 3 günlük (x + 4)

Burada normal logaritmalara ek olarak lg f(x) ile çalışmamız gerekecek. Böyle bir denklem nasıl çözülür? Hazırlıksız bir öğrenciye bunun bir tür teneke gibi görünebilir, ancak aslında her şey temel olarak çözülür.

lg 2 log 2 7 terimine yakından bakın. Bu konuda ne söyleyebiliriz? log ve lg'nin temelleri ve argümanları aynıdır ve bu bazı ipuçları vermelidir. Logaritma işaretinin altından derecelerin nasıl çıkarıldığını bir kez daha hatırlayalım:

günlük bir b n = n günlük bir b

Başka bir deyişle, argümandaki b sayısının gücü, log'un kendisinin önünde bir faktör haline gelir. Bu formülü lg 2 log 2 7 ifadesine uygulayalım. lg 2'den korkmayın - bu en yaygın ifadedir. Bunu şu şekilde yeniden yazabilirsiniz:

Onun için diğer logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir. Özellikle öne çıkan faktör, argümanın gücüne dahil edilebilir. Hadi yaz:

Çoğu zaman, öğrenciler boş işaretle bu eylemi görmezler, çünkü bir günlüğü diğerinin işaretiyle girmek iyi değildir. Aslında, bunda suç olan bir şey yok. Ayrıca, önemli bir kuralı hatırlarsanız hesaplaması kolay bir formül elde ederiz:

Bu formül hem bir tanım hem de özelliklerinden biri olarak kabul edilebilir. Her durumda, bir logaritmik denklemi dönüştürürseniz, bu formülü, herhangi bir sayının log biçimindeki temsili ile aynı şekilde bilmelisiniz.

Görevimize dönüyoruz. Eşittir işaretinin sağındaki ilk terimin basitçe lg 7'ye eşit olacağı gerçeğini dikkate alarak yeniden yazıyoruz.

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

lg 7'yi sola kaydıralım, şunu elde ederiz:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Soldaki ifadeleri tabanları aynı olduğu için çıkarıyoruz:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Şimdi elimizdeki denkleme daha yakından bakalım. Pratikte kurallı formdur, ancak sağda -3 faktörü vardır. Doğru lg argümanına koyalım:

lg 8 = lg (x + 4) -3

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden lg'nin işaretlerini çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Bu kadar! İkinci logaritmik denklemi çözdük. Bu durumda, ek kontrol gerekli değildir, çünkü orijinal problemde x sadece bir argümanda mevcuttu.

Bu dersin kilit noktalarını özetlememe izin verin.

Logaritmik denklemleri çözmeye ayrılmış bu sayfadaki tüm derslerde çalışılan ana formül kanonik formdur. Ve çoğu okul ders kitabının size bu tür sorunları farklı bir şekilde nasıl çözeceğinizi öğretmesi gerçeği sizi yanıltmasın. Bu araç çok verimli çalışır ve dersimizin en başında incelediğimiz en basit problemlerden çok daha geniş bir problem sınıfını çözmenize izin verir.

Ayrıca logaritmik denklemleri çözmek için temel özellikleri bilmek faydalı olacaktır. Yani:

1. Bir üsse geçme formülü ve günlüğü çevirdiğimizde özel bir durum (bu bizim için ilk görevde çok yararlı oldu);
2. Logaritma işaretinin altından güç alma ve alma formülü. Burada birçok öğrenci takılıp kalıyor ve alınan ve getirilen gücün kendisinin log f(x) içerebileceğini tam anlamıyla göremiyor. Bunda yanlış bir şey yok. Bir kütüğü diğerinin işaretine göre tanıtabilir ve aynı zamanda ikinci durumda gözlemlediğimiz sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirebiliriz.

Sonuç olarak, bu durumların her birinde kapsamı kontrol etmenin gerekli olmadığını eklemek isterim, çünkü x değişkeni her yerde yalnızca bir log işaretinde bulunur ve aynı zamanda argümanındadır. Sonuç olarak, tüm alan gereksinimleri otomatik olarak karşılanır.

Değişken tabanla ilgili sorunlar

Bugün, tamamen çözülemez olmasa da birçok öğrenci için standart dışı görünen logaritmik denklemleri ele alacağız. Hakkında sayılara değil, değişkenlere ve hatta fonksiyonlara dayalı ifadeler hakkında. Bu tür yapıları standart tekniğimizi, yani kanonik form aracılığıyla çözeceğiz.

Başlamak için, sıradan sayılara dayanan en basit problemlerin nasıl çözüldüğünü hatırlayalım. Yani, en basit yapı denir

a f(x) = b'yi günlüğe kaydet

Bu tür sorunları çözmek için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

b = a a b'yi günlüğe kaydet

Orijinal ifademizi yeniden yazıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

log a f(x) = log a a b

Sonra argümanları eşitleriz, yani şunu yazarız:

f(x) = bir b

Böylece log işaretinden kurtulur ve olağan sorunu çözeriz. Bu durumda, çözümde elde edilen kökler, orijinal logaritmik denklemin kökleri olacaktır. Ayrıca, hem sol hem de sağın aynı tabana sahip aynı logaritma üzerinde olduğu kayda kanonik form denir. Bugünün inşaatlarını azaltmaya çalışacağımız şey bu kayıttır. O zaman hadi gidelim.

İlk görev:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1'i log x − 2 (x − 2) 1 ile değiştirin. Argümanda gözlemlediğimiz derece aslında eşittir işaretinin sağındaki b sayısıdır. Öyleyse ifademizi yeniden yazalım. Alırız:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ne görüyoruz? Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, böylece argümanları güvenle eşitleyebiliriz. Alırız:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü verilen denklem orijinaline eşdeğer değil. Sonuçta ortaya çıkan yapı, tüm sayı doğrusunda tanımlanan fonksiyonlardan oluşur ve orijinal logaritmalarımız her yerde ve her zaman tanımlanmaz.

Bu nedenle, tanım alanını ayrı ayrı yazmalıyız. Daha akıllı olmayalım ve önce tüm gereksinimleri yazalım:

İlk olarak, logaritmaların her birinin argümanı 0'dan büyük olmalıdır:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

İkinci olarak, taban yalnızca 0'dan büyük değil, aynı zamanda 1'den de farklı olmalıdır:

x − 2 ≠ 1

Sonuç olarak, sistemi elde ederiz:

Ancak paniğe kapılmayın: logaritmik denklemleri işlerken, böyle bir sistem büyük ölçüde basitleştirilebilir.

Kendiniz karar verin: Bir yandan ikinci dereceden fonksiyonun sıfırdan büyük olması gerekiyor ve diğer yandan bu ikinci dereceden fonksiyon, sıfırdan büyük olması gereken belirli bir doğrusal ifadeye eşittir.

Bu durumda, x − 2 > 0 olmasını istiyorsak, 2x 2 − 13x + 18 > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanacaktır.Bu nedenle, ikinci dereceden bir fonksiyon içeren eşitsizliği güvenle çizebiliriz. Böylece sistemimizde yer alan ifade sayısı üçe indirilmiş olacaktır.

Tabii ki, biz de geçebilirdik doğrusal eşitsizlik, yani x − 2 > 0'ın üzerini çizin ve 2x 2 − 13x + 18 > 0'ı gerektirir. Ancak, aynı kökleri elde ettiğimiz bu sistemden en basit doğrusal eşitsizliği çözmenin çok daha hızlı ve daha kolay olduğunu kabul etmelisiniz.

Genel olarak, mümkün olduğunda hesaplamaları optimize etmeye çalışın. Logaritmik denklemler söz konusu olduğunda, en zor eşitsizliklerin üzerini çizin.

Sistemimizi yeniden yazalım:

İşte, aslında ikisini zaten anladığımız üç ifadeden oluşan bir sistem. İkinci dereceden denklemi ayrı ayrı yazalım ve çözelim:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Önümüzde indirgenmiş bir kare üç terim var ve bu nedenle Vieta formüllerini kullanabiliriz. Alırız:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Şimdi sistemimize dönersek, x = 2'nin bize uymadığını görüyoruz çünkü x'in kesinlikle 2'den büyük olması gerekiyor.

Ancak x \u003d 5 bize oldukça iyi uyuyor: 5 sayısı 2'den büyük ve aynı zamanda 5, 3'e eşit değil. tek çözüm bu sistemin x = 5 olacaktır.

ODZ'yi hesaba katmak da dahil olmak üzere her şey, görev çözüldü. Gelelim ikinci denkleme. Burada daha ilginç ve anlamlı hesaplamalar bekliyoruz:

İlk adım: Geçen sefer olduğu gibi, tüm bu işi kanonik bir forma getiriyoruz. Bunun için 9 sayısını şu şekilde yazabiliriz:

Köklü tabana dokunulamaz, ancak argümanı dönüştürmek daha iyidir. Kökten kuvvete rasyonel bir üsle geçelim. Hadi yaz:

Tüm büyük logaritmik denklemimizi yeniden yazmama izin verin, sadece argümanları hemen eşitleyin:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Önümüzde yine indirgenmiş kare üç terimli, Vieta formüllerini kullanacağız ve şunu yazacağız:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Böylece kökleri bulduk ama kimse bize onların orijinal logaritmik denkleme uyacağını garanti etmedi. Sonuçta, log işaretleri ek kısıtlamalar getiriyor (burada sistemi yazmamız gerekecek, ancak tüm yapının hantallığı nedeniyle tanım alanını ayrı olarak hesaplamaya karar verdim).

Her şeyden önce, argümanların 0'dan büyük olması gerektiğini unutmayın, yani:

Bunlar, tanım alanının dayattığı gereksinimlerdir.

Hemen not edelim ki, sistemin ilk iki ifadesini birbirine eşitlediğimiz için herhangi birinin üzerini çizebiliriz. İlkini geçelim çünkü ikincisinden daha tehditkar görünüyor.

Ek olarak, ikinci ve üçüncü eşitsizliklerin çözümlerinin aynı kümeler olacağına dikkat edin (bu sayının kendisi sıfırdan büyükse, bir sayının küpü sıfırdan büyüktür; üçüncü derecenin köküne benzer şekilde - bu eşitsizlikler tamamen benzer, bu yüzden bir tanesini geçebiliriz).

Ancak üçüncü eşitsizlikle bu işe yaramaz. Her iki parçayı da bir küp haline getirdiğimiz soldaki radikalin işaretinden kurtulalım. Alırız:

Böylece aşağıdaki gereksinimleri elde ederiz:

-2 ≠ x > -3

Köklerimizden hangisi: x 1 = -3 veya x 2 = -1 bu gereksinimleri karşılıyor? Açıkçası, yalnızca x = −1, çünkü x = −3 birinci eşitsizliği sağlamaz (çünkü eşitsizliğimiz katıdır). Toplamda, problemimize dönersek, bir kök elde ederiz: x = -1. İşte bu, sorun çözüldü.

Bir kez daha, bu görevin kilit noktaları:

1. Kanonik formu kullanarak logaritmik denklemleri uygulamaktan ve çözmekten çekinmeyin. Böyle bir kayıt yapan ve asıl problemden doğrudan log a f ( x ) = b gibi bir yapıya geçmeyen öğrenciler, bir yerde acelesi olan, hesaplamaların ara adımlarını atlayanlara göre çok daha az hata yaparlar;
2. Logaritmada değişken bir taban göründüğünde, problem en basit olmaktan çıkar. Bu nedenle, onu çözerken, tanım alanını hesaba katmak gerekir: argümanlar sıfırdan büyük olmalı ve tabanlar sadece 0'dan büyük olmamalı, aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır.

Son gereksinimleri, nihai yanıtlara farklı şekillerde dayatabilirsiniz. Örneğin, tüm etki alanı gereksinimlerini içeren bütün bir sistemi çözmek mümkündür. Öte yandan, önce sorunun kendisini çözebilir ve sonra tanım alanını hatırlayabilir, bir sistem şeklinde ayrı ayrı çalıştırabilir ve elde edilen köklere uygulayabilirsiniz.

Belirli bir logaritmik denklemi çözerken hangi yolu seçeceğiniz size kalmış. Her durumda, cevap aynı olacaktır.

Doğal logaritmanın temel özellikleri, graf, tanım alanı, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, bir kuvvet serilerinde açılım ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılarla temsili verilir.

Tanım

doğal logaritma fonksiyon y = lnx, üssün tersi, x \u003d e y ve e sayısının tabanının logaritması olan: ln x = günlük e x.

Doğal logaritma, türevinin en basit biçimine sahip olduğu için matematikte yaygın olarak kullanılmaktadır: (ln x)′ = 1/ x.

Temelli tanımlar, doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e 2.718281828459045...;
.

y = fonksiyonunun grafiği lnx.

Doğal logaritmanın grafiği (y fonksiyonu = lnx) , y = x düz çizgisi etrafında ayna yansıması ile üssün grafiğinden elde edilir.

Doğal logaritma şurada tanımlanır: pozitif değerler değişken x . Kendi tanım alanında monoton bir şekilde artar.

x olarak → 0 doğal logaritmanın limiti eksi sonsuzdur ( - ∞ ).

x → + ∞ olarak, doğal logaritmanın limiti artı sonsuzdur ( + ∞ ). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Hiç güç fonksiyonu x a pozitif üslü a logaritmasından daha hızlı büyür.

Doğal logaritmanın özellikleri

Tanım alanı, değerler seti, aşırılık, artış, azalma

Doğal logaritma tekdüze artan bir fonksiyondur, dolayısıyla ekstremumu yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.

ln x değerleri

günlük 1 = 0

Doğal logaritmalar için temel formüller

Ters fonksiyonun tanımından kaynaklanan formüller:

Logaritmaların ana özelliği ve sonuçları

Baz değiştirme formülü

Herhangi bir logaritma, temel değişim formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:

Bu formüllerin ispatları "Logaritma" bölümünde sunulmuştur.

Ters fonksiyon

Doğal logaritmanın tersi üsdür.

eğer , o zaman

Eğer öyleyse .

türev ln x

Doğal logaritmanın türevi:
.
Modulo x'in doğal logaritmasının türevi:
.
n. mertebenin türevi:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

integral

İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
.
Böyle,

Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler

Karmaşık bir değişken z fonksiyonunu düşünün:
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla r ve argüman φ :
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunları elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. eğer koyarsak
, burada n bir tam sayıdır,
o zaman farklı n için aynı sayı olacaktır.

Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli fonksiyon.

Güç serisi genişletme

için, genişleme gerçekleşir:

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.

Cebir öğelerinden biri ilkel seviye logaritmadır. isim geldi Yunan"sayı" veya "kuvvet" kelimesinden gelir ve son sayıyı bulmak için tabandaki sayıyı yükseltmenin gerekli olduğu güç anlamına gelir.

Logaritma türleri

• log a b, b sayısının a tabanına göre logaritmasıdır (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - ondalık logaritma (logaritma tabanı 10, a = 10);
• ln b - doğal logaritma (logaritma tabanı e, a = e).

Logaritma nasıl çözülür?

b sayısının a tabanına göre logaritması, a tabanının b sayısına yükseltilmesini gerektiren bir üsdür. Sonuç şu şekilde telaffuz edilir: "b'nin a'nın tabanına göre logaritması". Logaritmik problemlerin çözümü, verilen dereceyi belirtilen sayılarla sayılarla belirlemeniz gerektiğidir. Notasyonun kendisini dönüştürmenin yanı sıra logaritmayı belirlemek veya çözmek için bazı temel kurallar vardır. Bunları kullanarak logaritmik denklemler çözülür, türevler bulunur, integraller çözülür ve diğer birçok işlem gerçekleştirilir. Temel olarak, logaritmanın kendisinin çözümü basitleştirilmiş gösterimidir. Aşağıda ana formüller ve özellikler verilmiştir:

Herhangi bir a için; a > 0; a ≠ 1 ve herhangi bir x için; y > 0.

• a log a b = b temel logaritmik kimliktir
• 1 = 0 günlüğe kaydet
• a = 1'i günlüğe kaydet
• log a (x y ) = log a x + log a y
• a x/ y = log a x – bir y log
• 1/x'i günlüğe kaydet = -x'i günlüğe kaydet
• a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 için
• a x'i günlüğe kaydet = bir c x c'yi günlüğe kaydet
• log a x \u003d log b x / log b a - yeni bir tabana geçiş formülü
• log a x = 1/log x a

Logaritma nasıl çözülür - çözmek için adım adım talimatlar

• İlk önce, gerekli denklemi yazın.

Lütfen dikkat: temel logaritma 10 ise, kayıt kısaltılır, ondalık logaritma elde edilir. Doğal bir e sayısı varsa, doğal logaritmaya indirgeyerek yazarız. Bu, tüm logaritmaların sonucunun, b sayısını elde etmek için taban sayısının yükseltildiği güç olduğu anlamına gelir.

Çözüm doğrudan bu derecenin hesaplanmasında yatmaktadır. Logaritma ile bir ifadeyi çözmeden önce, kurala göre, yani formüller kullanılarak basitleştirilmesi gerekir. Makalede biraz geriye giderek ana kimlikleri bulabilirsiniz.

İki farklı sayıyla, ancak aşağıdakilerle logaritma toplama ve çıkarma aynı gerekçeler, sırasıyla b ve c sayılarının çarpımı veya bölümü ile bir logaritma ile değiştirin. Bu durumda, geçiş formülünü başka bir tabana uygulayabilirsiniz (yukarıya bakın).

Logaritmayı basitleştirmek için ifadeler kullanıyorsanız, dikkate alınması gereken bazı sınırlamalar vardır. Yani: a logaritmasının tabanı yalnızca pozitif bir sayıdır, ancak bire eşit değildir. b sayısı, a gibi, sıfırdan büyük olmalıdır.

İfadeyi basitleştirdikten sonra, logaritmayı sayısal biçimde hesaplayamayacağınız durumlar vardır. Böyle bir ifadenin anlamsız olduğu görülür, çünkü birçok derece irrasyonel sayılardır. Bu koşul altında, sayının gücünü logaritma olarak bırakın.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi ya da onunla bağlantı.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir başvuru gönderdiğinizde, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize izin verir benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, yargı usulüne uygun olarak, dava ve/veya genel istek veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.