Tek değişkenli doğrusal eşitsizlikler. Tek değişkenli denklemler ve eşitsizlikler. denklik teoremleri
Tek değişkenli: eşdeğer eşitsizlikler nelerdir; eşitsizliklerin hangi dönüşümleri eşdeğerdir ve hangileri değildir. Bu soruları 8. sınıftan başlayarak cebir dersinde tartıştık ve bu ders kitabında örneğin üstel ve logaritmik eşitsizlikleri çözerken tartışıldı. Bu sorulara tekrar dönüyoruz çünkü çalışmayı tamamladığımız için okul kursu cebir, olduğu gibi yeniden düşünmek tavsiye edilir genel fikirler ve yöntemler.
1. Eşitsizliklerin denkliği
a(x) > n(x) eşitsizliğinin çözümünün herhangi bir değer olduğunu hatırlayın. değişken Bir değişkenle verilen eşitsizliği geçerli bir sayısal eşitsizliğe dönüştüren x. Kısmi çözüm terimi bazen kullanılır. Bir eşitsizliğin tüm özel çözümlerinin kümesine genel çözüm denir, ancak çözüm terimi daha yaygın olarak kullanılır. Bu nedenle, karar terimi üç anlamda kullanılır: hem genel bir karar hem de belirli bir karar olarak ve bir süreç olarak, ancak genellikle anlamından neyin tehlikede olduğu açıktır.
Tanım 1. Bir değişkeni f(x)>g(x) ve p(x)>h(x) olan iki eşitsizlik, çözümleri (yani belirli çözüm kümeleri) çakışıyorsa eşdeğer olarak adlandırılır.
Elbette, tanımda > işaretinin kullanılmasının ilkesiz olduğunu anlıyorsunuz. Hem bu tanımda hem de bu bölümdeki tüm ifadelerde hem katı hem de katı olmayan başka herhangi bir eşitsizlik işareti kullanmak mümkündür.
Tanım 2. eşitsizliğin çözümü ise
eşitsizliğin çözümünde bulunur
o zaman eşitsizliğe (2) eşitsizliğin (1) bir sonucu denir
Örneğin, x 2 >9 eşitsizliği, 2x>6 eşitsizliğinin bir sonucudur. Gerçekten de, birinci eşitsizliği x 2 -9 > 0 biçimine ve daha sonra (x-3) (x + 3) > 0 biçimine dönüştürerek ve aralık yöntemini uygulayarak (Şekil 245), aşağıdaki çözümü buluruz: eşitsizlik iki açık ışının birleşimidir: 
İkinci eşitsizlik 2x>6'nın çözümü x>3 biçimindedir, yani. açık ışındır İkinci eşitsizliğin çözümü, birinci eşitsizliğin çözümünün bir parçasıdır ve bu nedenle birinci eşitsizlik ikincinin sonucudur.
İlginçtir ki, her iki eşitsizlikte de eşitsizlik işareti değiştirilirse durum kökten değişir. eşitsizlik 2x< 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
değişken değer X birçoktan X eşitsizliğin gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştüğü, karar. Bir eşitsizliği çözmek, çözüm kümesini bulmak anlamına gelir.
Eşitlik kavramı, eşitsizliklerin tek değişkenli çözümünün temelini oluşturur.
İki eşitsizlik denir eşdeğer çözüm kümeleri eşit ise
Eşitsizliklerin denkliği ve sonuçları ile ilgili teoremler, denklemlerin denkliği ile ilgili karşılık gelen teoremlere benzer. Bunları ispatlarken, gerçek sayısal eşitsizliklerin özellikleri kullanılır.
Teorem 1. eşitsizlik olsun f(x) > g(x) sette tanımlanır X ve h(x) aynı kümede tanımlanmış bir ifadedir. Daha sonra eşitsizlikler f(x) > g(x) ve f(x) + h(x) > g(x)+ h(x) sette eşdeğerdir X.
Bu teoremden aşağıdaki sonuçlar, eşitsizlikleri çözerken sıklıkla kullanılan:
1) Eşitsizliğin her iki parçası da f(x) > g(x) aynı numarayı ekleyin d, o zaman eşitsizliği elde ederiz f(x) + d > g(x)+d, orijinaline eşdeğerdir.
2) Herhangi bir terim (veya değişkenli ifade), eşitsizliğin bir bölümünden diğerine, terimin işaretini tersiyle değiştirerek aktarılırsa, verilen eşitsizliği elde ederiz.
Teorem 2. eşitsizlik olsun f(x) > g(x) sette tanımlanır X ve h(x X birçoktan X ifade h(x) alır pozitif değerler. Daha sonra eşitsizlikler f(x) > g(x) ve f(x) × h(x) > g(x) ×h(x) sette eşdeğerdir X.
Bu teoremin doğal sonucu şudur: eşitsizliğin her iki tarafı da f(x) > g(x) aynı pozitif sayı ile çarp d, o zaman eşitsizliği elde ederiz f(x) × d > g(x) × gün, verilene eşdeğerdir.
Teorem 3. eşitsizlik olsun f(x) > g(x) sette tanımlanır X ve h(x) aynı kümede tanımlanmış bir ifadedir ve tümü için X birçoktan X ifade h(x) alır negatif değerler. Daha sonra eşitsizlikler f(x) > g(x) ve f(x) × h(x) < g(x) ×h(x) sette eşdeğerdir X.
Bu teoremden aşağıdaki sonuçlar: eşitsizliğin her iki tarafı ise f(x) > g(x) aynı ile çarpmak negatif bir sayı d ve eşitsizlik işaretini ters çevirin, eşitsizliği elde ederiz f(x) × d < g(x) × gün, verilene eşdeğerdir.
Bir görev. sayı X= 5 eşitsizliğin çözümü 2 X+ 7 > 10 - x, xО R? Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm. Sayı X= 5 eşitsizliğin bir çözümüdür
2X + 7 > 10 - X, çünkü 2×5 + 7 > 10 - 5 gerçek bir sayısal eşitsizliktir. Ve çözüm kümesi, 2 eşitsizliğinin dönüşümünü gerçekleştirerek bulunan (1; ¥) aralığıdır. X+ 7 > 10 - XÞ
3X> 3 Þ X > 1.
Bir görev. eşitsizliği çöz 5 X- 5 < 2X+ 16 ve çözüm sürecinde gerçekleştirilecek tüm dönüşümleri gerekçelendirin.
Çözüm.
Dönüşümler | Dönüşümlerin gerekçesi |
1. 2. ifadeyi taşıyalım X sola ve -5 sayısı sağa, işaretlerini tersine değiştirerek: 5 X- 2X < 16 + 5. | Teorem 3'ten Sonuç 2'yi kullandık ve orijinal eşitsizliği elde ettik. |
2. Eşitsizliğin sol ve sağ taraflarında benzer terimler sunuyoruz: 3 X < 21. | Eşitsizliğin sol ve sağ kısımlarında özdeş ifade dönüşümleri gerçekleştirdiler - eşitsizliklerin eşdeğerliğini ihlal etmediler: verilen ve orijinal. |
3. Eşitsizliğin her iki tarafını da 3'e bölün: X < 7. | Teorem 4'ün sonucunu kullandık ve orijinal eşitsizliği elde ettik. |
Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi ya da onunla bağlantı.
Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Sitede bir başvuru gönderdiğinizde, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vb.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize izin verir benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Üçüncü şahıslara açıklama
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, yargı usulüne uygun olarak, dava ve/veya genel istek veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.
DERS: "EŞİTSİZLİKLERİ TEK DEĞİŞKENLE ÇÖZME"
Ders: Cebir
Başlık: Eşitsizlikleri tek değişkenle çözme
Dersin Hedefleri:
eğitici:
eşitsizlikleri tek değişkenli çözme, eşdeğer eşitsizlik, eşitsizlikleri çözme gibi kavramların algılanması, kavranması ve birincil konsolidasyonunda öğrencilerin etkinliklerini düzenler; öğrencilerin önceki derslerde edindikleri bilgi ve becerileri bu dersteki görevleri çözmek için uygulama becerilerini kontrol etmek.
eğitici:
uygulamada BİT kullanımı yoluyla matematiğe ilgi geliştirmek; öğrencilerin bilişsel ihtiyaçlarını eğitmek; sorumluluk, hedeflere ulaşmada azim, bağımsızlık gibi kişisel nitelikleri oluşturmak.
Dersler sırasında
I. Organizasyonel an
II. muayene ev ödevi(Temel bilgilerin güncellenmesi)
1. Koordinat çizgisini kullanarak boşlukların kesişimini bulun: a) (1;8) ve (5;10); b) (-4;4) ve [-6;6]; c) (5;+∞) ve [-∞;4]
Cevap: a) (1; 5); b) (-4; 4); c) kavşak yok
2. Şekilde gösterilen boşlukları yazın:
2) 
3) 
Cevap: 1) (2; 6); b) (-1; 7]; c) .
Örnek3, 3(x-1) eşitsizliğini çöz<-4+3х.
Eşitsizliğin solundaki parantezleri açalım: 3x-3<-4+3х.
Zıt işaretli 3x terimini sağdan sola, -3 terimini soldan sağa aktarıyoruz ve benzer terimleri veriyoruz: 3x-3x<-4+3,
Gördüğünüz gibi, bu sayısal eşitsizlik, x'in hiçbir değeri için doğru değildir. Bu, tek değişkenli eşitsizliğimizin çözümü olmadığı anlamına gelir.
Eğitim aparatı
Eşitsizliği çözün ve çözümünü işaretleyin:
f) 7x-2.4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Cevap: a) (-8; +∞); b) [-1.5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0.25); f) (-∞; 0.4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. sonuçlar
Tek değişkenli bir eşitsizliğin çözümü, onu gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştüren değişkenin değeridir. Bir eşitsizliği çözmek, tüm çözümlerini bulmak veya çözüm olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Çözümleri aynı olan eşitsizliklere eşdeğer denir. Çözümü olmayan eşitsizlikler de eşdeğer kabul edilir. Eşitsizliğin her iki kısmı da aynı negatif sayı ile çarpılır veya bölünürse, eşitsizliğin işareti tam tersi olarak değiştirilir. Diğer durumlarda, aynı kalır.
V. Son test
1) Tek değişkenli bir eşitsizliğin çözümüne ... denir.
a) onu gerçek bir eşitsizliğe dönüştüren değişkenin değeri;
b) onu geçerli bir sayıya dönüştüren bir değişkenin değeri
eşitsizlik;
c) onu gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştüren bir değişken.
2) 8+5y>21+6y eşitsizliğinin çözümü aşağıdaki sayılardan hangisidir?
a) 2 ve 5 b) -1 ve 8 c) -12 ve 1 d) -15 ve -30?
3) 4(x+1)>20 eşitsizliğinin çözüm kümesini belirtin:
a) (-∞; 4); b) (4; +∞); içinde) )