อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ ณ จุดใด อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ปัญหา B9 ให้กราฟของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ซึ่งจำเป็นต้องกำหนดหนึ่งในปริมาณต่อไปนี้:

1. ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง x 0
2. จุดสูงหรือจุดต่ำ (จุดสุดขั้ว)
3. ช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชัน (ช่วงของความซ้ำซากจำเจ)

ฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่นำเสนอในปัญหานี้มีความต่อเนื่องอยู่เสมอ ซึ่งช่วยลดความยุ่งยากในการแก้ปัญหาอย่างมาก แม้ว่างานจะเป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่ก็อยู่ในอำนาจของแม้แต่นักเรียนที่อ่อนแอที่สุดเนื่องจากไม่มีความลึก ความรู้เชิงทฤษฎีไม่จำเป็นที่นี่

ในการหาค่าของอนุพันธ์ จุดสุดขั้ว และช่วงความซ้ำซากจำเจ มีวิธีง่ายๆ และ อัลกอริธึมสากล- ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อ่านเงื่อนไขของปัญหา B9 อย่างระมัดระวังเพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดที่โง่เขลา: บางครั้งอาจมีข้อความที่ค่อนข้างใหญ่โต แต่มีเงื่อนไขสำคัญบางประการที่ส่งผลต่อแนวทางแก้ไข

การคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ วิธีสองจุด

หากปัญหาได้รับกราฟของฟังก์ชัน f(x) แทนเจนต์ของกราฟนี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0 และจำเป็นต้องหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนี้ อัลกอริทึมต่อไปนี้จะถูกนำมาใช้:

1. ค้นหาจุดที่ "เพียงพอ" สองจุดบนกราฟแทนเจนต์: พิกัดของจุดเหล่านั้นต้องเป็นจำนวนเต็ม ลองแทนจุดเหล่านี้เป็น A (x 1 ; y 1) และ B (x 2 ; y 2) เขียนพิกัดให้ถูกต้อง - นี่คือประเด็นสำคัญของการแก้ปัญหา และความผิดพลาดใดๆ ก็ตามที่นำไปสู่คำตอบที่ผิด
2. เมื่อทราบพิกัดแล้ว จะคำนวณการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ได้ง่าย Δx = x 2 − x 1 และการเพิ่มฟังก์ชัน Δy = y 2 − y 1
3. สุดท้าย เราพบค่าของอนุพันธ์ D = Δy/Δx กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องแบ่งการเพิ่มฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ - และนี่จะเป็นคำตอบ

ขอย้ำอีกครั้งว่า: จุด A และ B จะต้องค้นหาอย่างแม่นยำบนแทนเจนต์ ไม่ใช่บนกราฟของฟังก์ชัน f(x) อย่างที่มักจะเป็น แทนเจนต์จำเป็นต้องมีจุดดังกล่าวอย่างน้อยสองจุด มิฉะนั้น ปัญหาจะถูกกำหนดอย่างไม่ถูกต้อง

พิจารณาจุด A (-3; 2) และ B (-1; 6) และหาการเพิ่มขึ้น:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4

มาหาค่าของอนุพันธ์กัน: D = Δy/Δx = 4/2 = 2

งาน. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) และแทนเจนต์ที่จุดที่มี abscissa x 0 หาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0

พิจารณาจุด A (0; 3) และ B (3; 0) ค้นหาการเพิ่มขึ้น:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3

ตอนนี้เราพบค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = −3/3 = -1

งาน. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) และแทนเจนต์ที่จุดที่มี abscissa x 0 หาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0

พิจารณาจุด A (0; 2) และ B (5; 2) และค้นหาการเพิ่มขึ้น:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0

ยังคงต้องหาค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = 0/5 = 0

จากตัวอย่างที่แล้ว เราสามารถกำหนดกฎได้: ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน OX อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดสัมผัสจะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณอะไรเลย แค่ดูที่กราฟ

การคำนวณคะแนนสูงและต่ำ

บางครั้งแทนที่จะใช้กราฟของฟังก์ชันในปัญหา B9 กราฟอนุพันธ์จะได้รับและจำเป็นต้องหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ในสถานการณ์สมมตินี้ วิธีแบบสองจุดไม่มีประโยชน์ แต่มีอัลกอริทึมอื่นที่ง่ายกว่า ขั้นแรก มากำหนดคำศัพท์กันก่อน:

1. จุด x 0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หากอสมการต่อไปนี้อยู่ในละแวกใกล้เคียงของจุดนี้: f(x 0) ≥ f(x)
2. จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) หากอสมการต่อไปนี้อยู่ในละแวกใกล้เคียงของจุดนี้: f(x 0) ≤ f(x)

ในการหาจุดสูงสุดและต่ำสุดบนกราฟของอนุพันธ์ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. วาดกราฟของอนุพันธ์ใหม่โดยลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นทั้งหมด จากการปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าข้อมูลเพิ่มเติมรบกวนการตัดสินใจเท่านั้น ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์บนแกนพิกัด - และนั่นก็คือ
2. หาสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ ถ้าสำหรับบางจุด x 0 เป็นที่รู้กันว่า f'(x 0) ≠ 0 เป็นไปได้เพียงสองตัวเลือก: f'(x 0) ≥ 0 หรือ f'(x 0) ≤ 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์คือ ง่ายต่อการตรวจสอบจากรูปวาดต้นฉบับ: ถ้ากราฟอนุพันธ์อยู่เหนือแกน OX แล้ว f'(x) ≥ 0 ในทางกลับกัน ถ้ากราฟอนุพันธ์อยู่ใต้แกน OX แล้ว f'(x) ≤ 0
3. เราตรวจสอบศูนย์และสัญญาณของอนุพันธ์อีกครั้ง ที่เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวกมีจุดต่ำสุด ในทางกลับกัน หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่คือจุดสูงสุด การนับจะทำจากซ้ายไปขวาเสมอ

แบบแผนนี้ใช้ได้เฉพาะกับฟังก์ชันต่อเนื่อง - ไม่มีปัญหาอื่นใน B9

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในช่วง [-5; 5]. หาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) ในส่วนนี้

กำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกไป - เราจะปล่อยให้มีขอบเขตเท่านั้น [-5; 5] และเลขศูนย์ของอนุพันธ์ x = −3 และ x = 2.5 ยังสังเกตสัญญาณ:

เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = −3 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก นี่คือจุดต่ำสุด

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในช่วง [-3; 7]. หาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ในส่วนนี้

ลองวาดกราฟใหม่โดยเหลือเพียงขอบเขต [−3; 7] และเลขศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.7 และ x = 5 สังเกตสัญญาณของอนุพันธ์บนกราฟผลลัพธ์ เรามี:

เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = 5 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ - นี่คือจุดสูงสุด

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในช่วง [-6; สี่]. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่เป็นของช่วง [-4; 3].

จากเงื่อนไขของปัญหาถือว่าเพียงพอแล้วที่จะพิจารณาเฉพาะส่วนของกราฟที่ล้อมรอบด้วยส่วน [-4; 3]. ดังนั้นเราจึงกำลังสร้าง กำหนดการใหม่ซึ่งเราทำเครื่องหมายเฉพาะขอบเขต [-4; 3] และศูนย์ของอนุพันธ์ภายในนั้น กล่าวคือ คะแนน x = −3.5 และ x = 2 เราได้รับ:

บนกราฟนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว x = 2 โดยอยู่ที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ

หมายเหตุเล็กน้อยเกี่ยวกับจุดที่มีพิกัดที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในปัญหาที่แล้ว พิจารณาจุด x = −3.5 แต่ด้วยความสำเร็จเดียวกัน เราสามารถหา x = −3.4 ได้ หากเขียนปัญหาถูกต้อง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะไม่ส่งผลต่อคำตอบ เนื่องจากประเด็น "ไม่มี บางสถานที่ที่อยู่อาศัย” ไม่ได้มีส่วนร่วมโดยตรงในการแก้ปัญหา แน่นอน ด้วยจุดจำนวนเต็ม เคล็ดลับดังกล่าวจะไม่ทำงาน

การหาช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

ในปัญหาดังกล่าว เช่น จุดสูงสุดและต่ำสุด เสนอให้ค้นหาพื้นที่ที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงจากกราฟของอนุพันธ์ ขั้นแรก ให้กำหนดว่าการขึ้นและลงคืออะไร:

1. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ หากจุดสองจุด x 1 และ x 2 จากส่วนนี้ ข้อความนั้นเป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มาก ค่าของฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้น
2. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าการลดลงบนเซ็กเมนต์ หากจุดสองจุด x 1 และ x 2 จากส่วนนี้ ข้อความนั้นเป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) เหล่านั้น. คุ้มค่ากว่าอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

เรากำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลง:

1. สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ที่เพิ่มขึ้นบนเซกเมนต์ ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในเซกเมนต์เป็นค่าบวก กล่าวคือ f'(x) ≥ 0
2. สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) จะลดลงบนเซกเมนต์ ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในเซกเมนต์เป็นค่าลบ กล่าวคือ f'(x) ≤ 0

เรายอมรับคำยืนยันเหล่านี้โดยไม่มีการพิสูจน์ ดังนั้นเราจึงได้โครงร่างสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลง ซึ่งในหลาย ๆ ทางคล้ายกับอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณจุดสุดขั้ว:

1. ลบข้อมูลที่ซ้ำซ้อนทั้งหมด บนกราฟเดิมของอนุพันธ์ เราสนใจเลขศูนย์ของฟังก์ชันเป็นหลัก เราจึงปล่อยไว้เพียงค่าเหล่านี้
2. ทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ โดยที่ f'(x) ≥ 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ f'(x) ≤ 0 ฟังก์ชันจะลดลง หากปัญหามีข้อ จำกัด เกี่ยวกับตัวแปร x เราจะทำเครื่องหมายเพิ่มเติมในแผนภูมิใหม่
3. ตอนนี้เราทราบพฤติกรรมของฟังก์ชันและข้อจำกัดแล้ว ยังคงต้องคำนวณค่าที่ต้องการในปัญหา

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในช่วง [-3; 7.5]. ค้นหาช่วงเวลาของการลดฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้เขียนผลรวมของจำนวนเต็มในช่วงเวลาเหล่านี้

ตามปกติ เราจะวาดกราฟใหม่และทำเครื่องหมายขอบเขต [-3; 7.5] เช่นเดียวกับศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.5 และ x = 5.3 จากนั้นเราทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ เรามี:

เนื่องจากอนุพันธ์เป็นลบในช่วงเวลา (− 1.5) นี่คือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงรวมจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลานี้:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในส่วนนี้ [-10; สี่]. หาช่วงของการเพิ่มฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้เขียนความยาวของความยาวมากที่สุด

มากำจัดข้อมูลที่ซ้ำซ้อนกัน เราปล่อยให้ขอบเขตเท่านั้น [-10; 4] และศูนย์ของอนุพันธ์ซึ่งคราวนี้กลายเป็นสี่: x = −8, x = −6, x = −3 และ x = 2 สังเกตสัญญาณของอนุพันธ์และรับภาพต่อไปนี้:

เราสนใจช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น กล่าวคือ โดยที่ f'(x) ≥ 0 มีช่วงเวลาดังกล่าวสองช่วงบนกราฟ: (−8; −6) และ (−3; 2) มาคำนวณความยาวกัน:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
ล. 2 = 2 − (−3) = 5.

เนื่องจากจำเป็นต้องหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด เราจึงเขียนค่า l 2 = 5 ในการตอบกลับ

การวิจัยฟังก์ชัน ในบทความนี้เราจะพูดถึงงานที่มีการพิจารณาหน้าที่และมีคำถามเกี่ยวกับการศึกษาในเงื่อนไข พิจารณาประเด็นทางทฤษฎีหลักที่คุณต้องรู้และเข้าใจเพื่อแก้ปัญหา

มัน ทั้งกลุ่มงานที่รวมอยู่ในการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ มักจะมีคำถามเกี่ยวกับการหาจุดสูงสุด (ต่ำสุด) หรือการกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนดที่พิจารณา:

— ฟังก์ชันกำลังและอตรรกยะ

— ฟังก์ชันเหตุผล

— ศึกษาดูงานและเอกชน.

— ฟังก์ชันลอการิทึม

— ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากคุณเข้าใจทฤษฎีลิมิต แนวคิดของอนุพันธ์ คุณสมบัติของอนุพันธ์เพื่อศึกษากราฟของฟังก์ชัน และมัน ปัญหาดังกล่าวจะไม่ทำให้คุณมีปัญหาใดๆ และคุณจะแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดาย

ข้อมูลด้านล่างเป็นประเด็นทางทฤษฎี ความเข้าใจในสิ่งนี้จะทำให้สามารถทราบวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวได้ ฉันจะพยายามพูดในลักษณะที่แม้แต่ผู้ที่พลาดหัวข้อนี้หรือศึกษาได้ไม่ดีก็สามารถแก้ปัญหาดังกล่าวได้โดยไม่ยาก

ในปัญหาของกลุ่มนี้ ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว จำเป็นต้องค้นหาจุดต่ำสุด (สูงสุด) ของฟังก์ชัน หรือค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลา

คะแนนต่ำสุดและสูงสุดคุณสมบัติอนุพันธ์

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน:

จุด A คือจุดสูงสุด ในช่วงเวลาจาก O ถึง A ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ในช่วงเวลาจาก A ถึง B จะลดลง

จุด B เป็นจุดต่ำสุด ในช่วงเวลาจาก A ถึง B ฟังก์ชันจะลดลง ในช่วงเวลาจาก B ถึง C จะเพิ่มขึ้น

ณ จุดเหล่านี้ (A และ B) อนุพันธ์จะหายไป (เท่ากับศูนย์)

แทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้ขนานกับแกน วัว.

ฉันจะเพิ่มว่าจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลง (และในทางกลับกันจากการลดลงเป็นเพิ่มขึ้น) เรียกว่า extrema

จุดสำคัญ:

1. อนุพันธ์ของช่วงการเพิ่มขึ้นมีสัญญาณบวก (nเมื่อแทนค่าจากช่วงเป็นอนุพันธ์ จะได้จำนวนบวก)

ซึ่งหมายความว่าหากอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งจากช่วงใดช่วงหนึ่งมี ค่าบวกจากนั้นกราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะเพิ่มขึ้น

2. ในช่วงเวลาของการลดลง อนุพันธ์มีเครื่องหมายลบ (เมื่อแทนที่ค่าจากช่วงเป็นนิพจน์อนุพันธ์ จะได้จำนวนลบ)

ดังนั้น หากอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งจากช่วงหนึ่งมีค่าลบ กราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะลดลง

เรื่องนี้ต้องเคลียร์!

ดังนั้น โดยการคำนวณอนุพันธ์และหาค่าเท่ากับศูนย์ คุณจะพบจุดที่แบ่งแกนจริงออกเป็นช่วงๆในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ คุณสามารถกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์แล้วสรุปเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้

* ควรพูดแยกกันเกี่ยวกับจุดที่ไม่มีอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาอนุพันธ์ที่ตัวส่วนหายไปที่ค่า x ที่แน่นอน เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับ x ดังกล่าวไม่มีอนุพันธ์ ดังนั้นต้องคำนึงถึงจุดนี้ด้วยเมื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น (ลดลง)

ฟังก์ชัน ณ จุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเสมอไป นี้จะเป็น บทความแยกต่างหาก. จะไม่มีงานดังกล่าวที่ USE เอง

คุณสมบัติข้างต้นมีความจำเป็นต่อการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง

มีอะไรอีกบ้างที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ปัญหาที่ระบุ: ตารางอนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง ไม่มีอะไรโดยนี้ มัน ความรู้พื้นฐานในหัวข้ออนุพันธ์ คุณควรรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานเป็นอย่างดี

การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนฉ(g(x)), จินตนาการถึงฟังก์ชันg(x) เป็นตัวแปรแล้วคำนวณอนุพันธ์ฉ’(g(x)) โดยสูตรตารางเป็นอนุพันธ์สามัญของตัวแปร จากนั้นคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันg(x) .

ดูวิดีโอแนะนำโดย Maxim Semenikhin เกี่ยวกับฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

ปัญหาในการหาคะแนนสูงสุดและต่ำสุด

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ’(x).

2. หาเลขศูนย์ของอนุพันธ์ (โดยให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ ฉ’(x)=0 และแก้สมการผลลัพธ์) นอกจากนี้เรายังพบจุดที่อนุพันธ์ไม่มีอยู่(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ)

3. เราทำเครื่องหมายค่าที่ได้รับบนเส้นจำนวนและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาเหล่านี้โดยการแทนที่ค่าจากช่วงเวลาลงในนิพจน์อนุพันธ์

ผลลัพธ์จะเป็นหนึ่งในสอง:

1. จุดสูงสุดคือจุดซึ่งอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ

2. จุดต่ำสุดคือจุดซึ่งอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก

ปัญหาในการหาค่ามากหรือน้อย

ฟังก์ชั่นในช่วงเวลา

ในปัญหาประเภทอื่นจะต้องค้นหาที่ใหญ่ที่สุดหรือ ค่าที่น้อยที่สุดทำงานในช่วงเวลาที่กำหนด

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด):

1. ตรวจสอบว่ามีคะแนนสูงสุด (ต่ำสุด) หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ ฉ’(x) แล้วแก้ ฉ’(x)=0 (จุดที่ 1 และ 2 จากอัลกอริทึมก่อนหน้า)

2. เราพิจารณาว่าคะแนนที่ได้รับนั้นอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดหรือไม่และเขียนคะแนนที่อยู่ในนั้น

3. เราแทนที่ขอบเขตของช่วงที่กำหนดและจุด (สูงสุด-ต่ำสุด) ที่อยู่ในช่วง (ข้อ 2) ลงในฟังก์ชันดั้งเดิม (ไม่ใช่อนุพันธ์ แต่เป็นฟังก์ชันที่กำหนดในเงื่อนไข)

4. เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน

5. เราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) จากค่าที่ได้รับขึ้นอยู่กับคำถามที่ถูกโพสต์ในงานแล้วจดคำตอบ

คำถาม: เหตุใดในงานค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน จึงจำเป็นต้องค้นหาคะแนนสูงสุด (ต่ำสุด)

คำตอบมีภาพประกอบที่ดีที่สุด ดูการแสดงแผนผังของกราฟที่กำหนดโดยฟังก์ชัน:

กรณีที่ 1 และ 2 แทนที่ขอบเขตของช่วงเวลาเพื่อกำหนดค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว กรณีที่ 3 และ 4 จำเป็นต้องค้นหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน (คะแนนสูงสุด-ต่ำสุด) หากเราแทนที่ขอบเขตของช่วงเวลา (โดยไม่หาศูนย์ของฟังก์ชัน) เราจะได้คำตอบที่ผิด ซึ่งจะเห็นได้จากกราฟ

และประเด็นก็คือเราไม่สามารถเห็นว่าแผนภูมิมีลักษณะอย่างไรในช่วงเวลา (ไม่ว่าจะมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดภายในช่วงเวลา) โดยใช้ฟังก์ชันที่กำหนด ดังนั้น จงหาเลขศูนย์ของฟังก์ชันโดยไม่ล้มเหลว!!!

ถ้าสมการ ฉ'(x)=0 จะไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าไม่มีจุดต่ำสุดสูงสุด (รูปที่ 1.2) และเพื่อค้นหางานที่ตั้งค่าไว้ เฉพาะขอบเขตของช่วงเวลาเท่านั้นที่จะถูกแทนที่ในฟังก์ชันนี้

อื่น จุดสำคัญ. จำไว้ว่าคำตอบต้องเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจำกัด ทศนิยม. เมื่อคำนวณค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณจะได้รับนิพจน์ที่มีตัวเลข e และ pi รวมถึงนิพจน์ที่มีรูท จำไว้ว่าคุณไม่จำเป็นต้องคำนวณมันจนจบ และเป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์ของนิพจน์ดังกล่าวจะไม่ใช่คำตอบ หากมีความปรารถนาที่จะคำนวณค่าดังกล่าว ให้ทำ (ตัวเลข: e ≈ 2.71 Pi ≈ 3.14)

ฉันเขียนมากอาจจะสับสน? จากตัวอย่างเฉพาะ คุณจะเห็นว่าทุกอย่างเรียบง่าย

ต่อไปฉันอยากจะบอกคุณเป็นความลับเล็กน้อย ความจริงก็คืองานจำนวนมากสามารถแก้ไขได้โดยไม่รู้คุณสมบัติของอนุพันธ์และแม้ไม่มีกฎแห่งความแตกต่าง ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับความแตกต่างเหล่านี้อย่างแน่นอนและแสดงให้คุณเห็นว่ามันทำอย่างไร? ไม่ควรพลาด!

แต่แล้วทำไมฉันถึงพูดถึงทฤษฎีนี้เลยและยังบอกว่ามันต้องรู้โดยไม่ล้มเหลว ถูกต้อง - คุณจำเป็นต้องรู้ หากคุณเข้าใจ จะไม่มีงานใดในหัวข้อนี้ที่จะทำให้คุณสับสน

"เคล็ดลับ" เหล่านั้นที่คุณจะได้เรียนรู้จะช่วยคุณในการแก้ปัญหาเฉพาะ (บางส่วน) ต้นแบบ ถึงในฐานะเครื่องมือเพิ่มเติม แน่นอนว่าเทคนิคเหล่านี้สะดวกต่อการใช้งาน ปัญหาสามารถแก้ไขได้เร็วขึ้น 2-3 เท่า และประหยัดเวลาในการแก้ปัญหาส่วน C

ดีที่สุด!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับไซต์บนเครือข่ายสังคมออนไลน์

มีการเขียนทฤษฎีมากมายเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะไม่พูดถึงการเพิ่มฟังก์ชันฉันจะเตือนคุณถึงสิ่งสำคัญในการทำงานให้เสร็จ:

อนุพันธ์ที่ x คือ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ณ จุดนี้ นั่นคือ แทนเจนต์ของมุมเอียงไปยังแกน X

มาเริ่มงานจากการสอบทันทีและเริ่มทำความเข้าใจ:

งานหมายเลข 1 รูปแสดงกราฟฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ที่จุดด้วย abscissa x0 จงหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0
ใครรีบร้อนและไม่ต้องการเข้าใจคำอธิบาย:สร้างสามเหลี่ยมดังกล่าว (ดังแสดงด้านล่าง) และแบ่งด้านที่ยืน (แนวตั้ง) ด้วยการนอน (แนวนอน) และคุณจะมีความสุขถ้าคุณไม่ลืมเครื่องหมาย (ถ้าเส้นตรงลดลง (→ ↓) คำตอบควรเป็นเครื่องหมายลบ หากเส้นตรงเพิ่มขึ้น (→) คำตอบจะต้องเป็นบวก!)

คุณต้องหามุมระหว่างแทนเจนต์กับแกน X ให้เรียกว่า α: เราวาดเส้นตรงขนานกับแกน X ที่ใดก็ได้ผ่านเส้นสัมผัสของกราฟ เราจะได้มุมเท่ากัน

เป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้จุด x0 เพราะ คุณจะต้องใช้แว่นขยายขนาดใหญ่เพื่อกำหนดพิกัดที่แน่นอน

การถ่ายภาพสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ (แนะนำ 3 ตัวเลือกในรูป) เราจะพบ tgα (มุมเท่ากัน ตามความสอดคล้อง) กล่าวคือ เราได้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0 ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?

หากเราวาดแทนเจนต์ที่จุดอื่น x2, x1 เป็นต้น แทนเจนต์จะแตกต่างกัน

กลับไปที่ชั้น 7 เพื่อสร้างเส้นตรง!

สมการของเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ y = kx + b โดยที่

k - เอียงสัมพันธ์กับแกน X

b คือระยะห่างระหว่างจุดตัดกับแกน Y และจุดกำเนิด

อนุพันธ์ของเส้นตรงจะเท่ากันเสมอ: y" = k

ที่จุดใดก็ตามบนเส้นตรงที่เราหาอนุพันธ์ มันจะไม่เปลี่ยนแปลง

ดังนั้นจึงเหลือเพียงการหาtgα (ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น: เราแบ่งด้านที่ยืนอยู่โดยด้านที่โกหก) เราหารขาตรงข้ามด้วยขาข้างเคียง เราได้ k \u003d 0.5 อย่างไรก็ตาม หากกราฟลดลง สัมประสิทธิ์จะเป็นลบ: k = −0.5

ฉันแนะนำให้คุณตรวจสอบ วิธีที่สอง:
สามารถใช้จุดสองจุดเพื่อกำหนดเส้นตรงได้ หาพิกัดของจุดสองจุดใดๆ ตัวอย่างเช่น (-2;-2) และ (2;-4):

แทนที่ในสมการ y = kx + b แทน y และ x พิกัดของจุด:

-2 = -2k + b

การแก้ระบบนี้ เราจะได้ b = −3, k = −0.5

สรุป: วิธีที่สองนั้นยาวกว่า แต่ในนั้นคุณจะไม่ลืมเครื่องหมาย

คำตอบ: - 0.5

งานหมายเลข 2 รูปแสดง กราฟอนุพันธ์ฟังก์ชัน f(x) แปดจุดถูกทำเครื่องหมายบนแกน x: x1, x2, x3, ..., x8 มีจุดเหล่านี้กี่จุดในช่วงเวลาของการเพิ่มฟังก์ชัน f(x) ?

หากกราฟของฟังก์ชันลดลง - อนุพันธ์เป็นลบ (และในทางกลับกัน)

หากกราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นบวก (และในทางกลับกัน)

สองวลีนี้จะช่วยคุณตัดสินใจ ที่สุดงาน

ดูอย่างระมัดระวัง คุณจะได้รับการวาดอนุพันธ์หรือฟังก์ชัน แล้วเลือกวลีใดวลีหนึ่งจากสองวลี

เราสร้างกราฟแผนผังของฟังก์ชัน เพราะ เราได้รับกราฟของอนุพันธ์ จากนั้นเมื่อเป็นลบ กราฟของฟังก์ชันจะลดลง เมื่อเป็นบวก จะเพิ่มขึ้น!

ปรากฎว่า 3 จุดอยู่บนพื้นที่ของการเพิ่มขึ้น: x4; x5; x6.

คำตอบ: 3

งานหมายเลข 3 ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดไว้บนช่วงเวลา (-6; 4) ภาพแสดงให้เห็น กราฟของอนุพันธ์. ค้นหา abscissa ของจุดที่ฟังก์ชันรับค่าที่มากที่สุด

ฉันแนะนำให้คุณสร้างกราฟฟังก์ชันเสมอ โดยใช้ลูกศรหรือแผนผังที่มีเครื่องหมาย (ดังในข้อ 4 และข้อ 5):

แน่นอน หากกราฟเพิ่มเป็น -2 แสดงว่าจุดสูงสุดคือ -2

คำตอบ: -2

งานหมายเลข 4 รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน f(x) และจุดสิบสองจุดบนแกน x: x1, x2, ..., x12 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบมีจุดเหล่านี้กี่จุด?

งานเป็นแบบผกผัน เมื่อพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชัน คุณต้องสร้างแผนผังว่ากราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะหน้าตาเป็นอย่างไร และคำนวณว่าจะมีจุดอยู่ในช่วงเชิงลบจำนวนเท่าใด

บวก: x1, x6, x7, x12

เชิงลบ: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11

คำตอบ: 7

งานประเภทอื่นเมื่อถูกถามเกี่ยวกับ "สุดขั้ว" ที่น่ากลัวบางอย่าง? มันจะไม่ยากสำหรับคุณที่จะค้นหาว่ามันคืออะไร แต่ฉันจะอธิบายสำหรับกราฟ

งานหมายเลข 5 รูปแสดงกราฟอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้บนช่วง (-16; 6) ค้นหาจำนวนจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน f(x) บนเซ็กเมนต์ [-11; 5].

สังเกตช่วงจาก -11 ถึง 5!

หันดวงตาที่สดใสของเราไปที่จาน: กราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะได้รับ => จากนั้นสุดขั้วคือจุดตัดกับแกน X

คำตอบ: 3

งานหมายเลข 6 รูปแสดงกราฟอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ซึ่งกำหนดไว้บนช่วง (-13; 9) ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ในส่วน [-12; 5].

สังเกตช่วงจาก -12 ถึง 5!

คุณสามารถมองจานด้วยตาข้างเดียว จุดสูงสุดคือปลายสุด ก่อนที่อนุพันธ์จะเป็นบวก (ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น) และหลังจากนั้น อนุพันธ์จะเป็นลบ (ฟังก์ชันลดลง) จุดเหล่านี้ถูกวงกลม

ลูกศรแสดงลักษณะการทำงานของกราฟของฟังก์ชัน

คำตอบ: 3

งานหมายเลข 7 รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา (-7; 5) หาจำนวนจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับ 0

คุณสามารถดูตารางด้านบนได้ (อนุพันธ์คือศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเป็นจุดสุดขั้ว) และในปัญหานี้ จะได้กราฟของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าคุณต้องหา จำนวนจุดเปลี่ยน!

และคุณก็ทำได้ตามปกติ: เราสร้างกราฟแผนผังของอนุพันธ์

อนุพันธ์จะเป็นศูนย์เมื่อกราฟของฟังก์ชันเปลี่ยนทิศทาง (จากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงและกลับกัน)

คำตอบ: 8

งานหมายเลข 8 ภาพแสดงให้เห็น กราฟอนุพันธ์ฟังก์ชัน f(x) กำหนดไว้บนช่วงเวลา (-2; 10) หาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นฉ(x). ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจุดจำนวนเต็มที่รวมอยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

มาสร้างแผนผังของฟังก์ชันกัน:

ที่มันเพิ่มขึ้นเราได้รับ 4 คะแนนจำนวนเต็ม: 4 + 5 + 6 + 7 = 22

คำตอบ: 22

งานหมายเลข 9 ภาพแสดงให้เห็น กราฟอนุพันธ์ฟังก์ชัน f(x) กำหนดไว้บนช่วงเวลา (-6; 6) หาจำนวนจุด f(x) โดยที่แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันขนานหรือตรงกับเส้น y = 2x + 13

เราได้รับกราฟของอนุพันธ์! ซึ่งหมายความว่าแทนเจนต์ของเราจะต้อง "แปล" เป็นอนุพันธ์

อนุพันธ์แทนเจนต์: y" = 2

ทีนี้มาสร้างอนุพันธ์ทั้งสองกัน:

แทนเจนต์ตัดกันที่จุดสามจุด ดังนั้นคำตอบของเราคือ 3

คำตอบ: 3

งานหมายเลข 10 รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน f (x) และทำเครื่องหมายจุด -2, 1, 2, 3 จุดใดต่อไปนี้เป็นค่าของอนุพันธ์ที่น้อยที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

งานค่อนข้างคล้ายกับงานแรก: ในการหาค่าของอนุพันธ์ คุณต้องสร้างแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่จุดหนึ่งและหาค่าสัมประสิทธิ์ k

ถ้าเส้นลดลง k< 0.

หากเส้นเพิ่มขึ้น k > 0

ลองคิดดูว่าค่าสัมประสิทธิ์จะส่งผลต่อความชันของเส้นตรงอย่างไร:

ด้วย k = 1 หรือ k = − 1 กราฟจะอยู่ตรงกลางระหว่างแกน x และ y

ยิ่งเส้นตรงเข้าใกล้แกน X มากเท่าไร สัมประสิทธิ์ k ถึงศูนย์ยิ่งใกล้มากขึ้น

ยิ่งเส้นอยู่ใกล้แกน Y มากเท่าไร สัมประสิทธิ์ k ก็จะยิ่งใกล้อนันต์มากขึ้นเท่านั้น

ที่จุด -2 และ 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>นั่นคือที่ที่ค่าที่น้อยที่สุดของอนุพันธ์จะเป็น

คำตอบ: 1

งานหมายเลข 11 เส้นสัมผัสกัน y = 3x + 9 ของกราฟของฟังก์ชัน y = x³ + x² + 2x + 8 . ค้นหา abscissa ของจุดติดต่อ

เส้นจะสัมผัสกับกราฟเมื่อกราฟมี จุดร่วมรวมทั้งอนุพันธ์ของพวกมันด้วย ให้สมการของกราฟเท่ากับและอนุพันธ์:

การแก้สมการที่สอง เราได้ 2 คะแนน ในการตรวจสอบว่าอันไหนเหมาะสม เราแทนที่ x แต่ละตัวลงในสมการแรก คนเดียวเท่านั้นที่จะทำ

ฉันไม่ต้องการแก้สมการกำลังสามเลย แต่ให้แก้สมการกำลังสองเพื่อชีวิตที่หวานชื่น

นั่นเป็นเพียงสิ่งที่ต้องเขียนตอบกลับหากคุณได้รับคำตอบ "ปกติ" สองคำตอบ

เมื่อแทนที่ x (x) ลงในกราฟดั้งเดิม y \u003d 3x + 9 และ y \u003d x³ + x² + 2x + 8 คุณควรได้ค่า Y เท่ากัน

y= 1³+1²+2×1+8=12

ถูกต้อง! ดังนั้น x=1 จะเป็นคำตอบ

งานหมายเลข 12 เส้น y = − 5x − 6 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ax² + 5x − 5 หา

ในทำนองเดียวกัน เราเทียบฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:

มาแก้ระบบนี้กับตัวแปร a และ x :

คำตอบ: 25

งานที่มีอนุพันธ์ถือเป็นส่วนที่ยากที่สุดในส่วนแรกของการสอบ อย่างไรก็ตาม ด้วยความเอาใจใส่และความเข้าใจในปัญหาเพียงเล็กน้อย คุณจะประสบความสำเร็จ และคุณจะเพิ่มเปอร์เซ็นต์ของความสำเร็จของงานนี้!

งานรับปริญญาใน ใช้แบบฟอร์มสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 จำเป็นต้องมีงานในการคำนวณขีดจำกัด ช่วงเวลาของการลดและเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การค้นหาจุดสุดโต่งและการพล็อตกราฟ ความรู้ที่ดีในหัวข้อนี้ช่วยให้คุณตอบคำถามหลายข้อได้อย่างถูกต้องและไม่ประสบปัญหาในการฝึกอบรมวิชาชีพเพิ่มเติม

พื้นฐาน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์หนึ่งในหัวข้อหลักของคณิตศาสตร์ โรงเรียนสมัยใหม่. เธอศึกษาการใช้อนุพันธ์เพื่อศึกษาการพึ่งพาของตัวแปร - โดยใช้อนุพันธ์นี้เพื่อวิเคราะห์การเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงรูปวาด

การเตรียมความพร้อมอย่างครอบคลุมของผู้สำเร็จการศึกษาสำหรับ สอบผ่านบน พอร์ทัลการศึกษา"Shkolkovo" จะช่วยให้เข้าใจหลักการของความแตกต่างอย่างลึกซึ้ง - เพื่อทำความเข้าใจทฤษฎีอย่างละเอียดเพื่อศึกษาตัวอย่างการแก้ปัญหา งานทั่วไปและลองทำงานอิสระ เราจะช่วยคุณขจัดช่องว่างในความรู้ - เพื่อชี้แจงความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับแนวคิดคำศัพท์ของหัวข้อและการขึ้นต่อกันของปริมาณ นักเรียนจะสามารถทำซ้ำวิธีการหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจซึ่งหมายถึงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งเมื่อรวมจุดขอบเขตและไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาที่พบ

ก่อนเริ่มการแก้ปัญหาเฉพาะเรื่อง เราขอแนะนำให้คุณไปที่ส่วน "การอ้างอิงเชิงทฤษฎี" ก่อน และทำซ้ำคำจำกัดความของแนวคิด กฎ และสูตรตาราง ที่นี่ คุณยังสามารถอ่านวิธีค้นหาและบันทึกแต่ละช่วงของฟังก์ชันเพิ่มและลดในกราฟอนุพันธ์ได้อีกด้วย

ข้อมูลทั้งหมดที่นำเสนอในรูปแบบที่เข้าถึงได้มากที่สุดเพื่อความเข้าใจในทางปฏิบัติตั้งแต่เริ่มต้น เว็บไซต์ให้วัสดุสำหรับการรับรู้และการดูดซึมในหลาย ๆ หลากหลายรูปแบบ– การอ่าน การดูวีดิทัศน์ และการฝึกอบรมโดยตรงภายใต้การแนะนำของครูผู้มีประสบการณ์ นักการศึกษามืออาชีพพวกเขาจะบอกคุณอย่างละเอียดถึงวิธีการหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้วิธีการวิเคราะห์และกราฟิก ระหว่างการสัมมนาผ่านเว็บ เป็นไปได้ที่จะถามคำถามที่สนใจทั้งในเชิงทฤษฎีและในการแก้ปัญหาเฉพาะ

จดจำประเด็นหลักของหัวข้อ ดูตัวอย่างของการเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คล้ายกับงานของตัวเลือกการสอบ เพื่อรวมสิ่งที่คุณได้เรียนรู้ ดูที่ "แคตตาล็อก" - ที่นี่คุณจะพบ แบบฝึกหัดสำหรับ งานอิสระ. งานในส่วนที่ถูกเลือก ระดับต่างๆความยากลำบากในแง่ของการพัฒนาทักษะ สำหรับแต่ละวิธี เช่น อัลกอริธึมโซลูชันและคำตอบที่ถูกต้องจะแนบมาด้วย

โดยการเลือกส่วน "ตัวสร้าง" นักศึกษาจะสามารถฝึกศึกษาการเพิ่มและลดอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนของจริงได้ ใช้ตัวเลือก, ปรับปรุงอย่างต่อเนื่องโดยคำนึงถึง การเปลี่ยนแปลงล่าสุดและนวัตกรรม

ในช่วงเวลาที่กำหนด ฟังก์ชันมี 2 ค่าสูงสุดและ 2 ค่าต่ำสุด รวมเป็น 4 ค่าสุดขั้ว งาน รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา สารละลาย บนเซ็กเมนต์ที่กำหนด อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นค่าบวก ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นในส่วนนี้ วิธีแก้ไข หากอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ และในละแวกใกล้เคียงเปลี่ยนเครื่องหมาย นี่คือจุดสุดโต่ง

การคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ วิธีสองจุด

1. สำรวจฟังก์ชันโดยใช้กราฟของอนุพันธ์ ฟังก์ชัน y=f(x) ลดลงตามช่วงเวลา (x1;x2) และ (x3;x4) การใช้กราฟของอนุพันธ์ y=f '(x) คุณสามารถเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชัน y=f(x) ได้

ลองแทนจุดเหล่านี้เป็น A (x1; y1) และ B (x2; y2) เขียนพิกัดให้ถูกต้อง - นี่คือประเด็นสำคัญของการแก้ปัญหา และความผิดพลาดใดๆ ก็ตามที่นำไปสู่คำตอบที่ผิด

ที่ ความรู้สึกทางกายภาพอนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการใดๆ จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x(t) = t²-13t+23 โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t คือเวลาในหน่วยวินาทีที่วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว

แทนเจนต์กับวงกลม, วงรี, ไฮเปอร์โบลา, พาราโบลา

ฉันขอเตือนคุณว่าฟังดูเหมือน: ฟังก์ชันเรียกว่าการเพิ่มขึ้น/ลดลงในช่วงเวลา หากอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่กว่าของฟังก์ชันสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้น/น้อยลงของฟังก์ชัน แต่โปรดดูวิธีแก้ปัญหาของคุณสำหรับปัญหา 7089 ที่นั่น เมื่อระบุช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น ขอบเขตจะไม่รวมอยู่ด้วย โปรดทราบว่ากราฟของอนุพันธ์จะได้รับ ตามปกติ: จุดที่เจาะไม่ได้อยู่บนกราฟไม่มีค่าในนั้นและไม่ได้รับการพิจารณา เด็กที่เตรียมตัวมาอย่างดีแยกแยะระหว่างแนวคิดเรื่อง "อนุพันธ์" และ "อนุพันธ์อันดับสอง" คุณสับสน: ถ้าอนุพันธ์เปลี่ยนเป็น 0 เมื่อถึงจุดนั้น ฟังก์ชันอาจมีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ค่าลบอนุพันธ์สอดคล้องกับช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน f(x) ลดลง

ถึงจุดนี้ เราได้มีส่วนร่วมในการหาสมการของแทนเจนต์ต่อกราฟ ฟังก์ชันค่าเดียวของรูปแบบ y = f(x) ที่จุดต่างๆ

รูปด้านล่างแสดงสามซีแคนต์ที่ต่างกันจริง ๆ (จุด A และ B ต่างกัน) แต่พวกมันตรงกันและกำหนดโดยสมการเดียว แต่ถ้าเราเริ่มจากคำจำกัดความ เส้นตรงและเส้นซีแคนต์ของมันจะตรงกัน มาเริ่มค้นหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน โปรดให้ความสนใจกับมันเพราะในภายหลังเราจะใช้มันในการคำนวณพิกัดของจุดสัมผัส ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่งและจุดยอด และถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน (รูปด้านล่างทางซ้าย) และด้วยจุดยอดและ - ความเท่าเทียมกัน (รูปด้านล่างทางด้านขวา) มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น จะทราบได้อย่างไรว่าจุดนั้นเป็นของหน้าที่ใด ในการตอบคำถามนั้น เราแทนที่พิกัดลงในสมการแต่ละสมการและดูว่าความเท่าเทียมกันใดที่กลายเป็นเอกลักษณ์

บางครั้งนักเรียนถามว่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่เป็นเส้นตรงที่มีจุดร่วมกับกราฟในส่วนนี้เท่านั้น ยิ่งกว่านั้น ดังที่แสดงในรูปของเรา ดูเหมือนแทนเจนต์ของวงกลม มาหากัน เราจำได้ว่าแทนเจนต์ มุมแหลมใน สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน บนกราฟ ค่านี้จะสัมพันธ์กับการแตกหักอย่างแหลมคม เมื่อไม่สามารถวาดแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดได้ แต่จะค้นหาอนุพันธ์ได้อย่างไรหากฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่กำหนดโดยสูตร