ระดับกลาง

สามเหลี่ยมมุมฉาก. คู่มือภาพประกอบฉบับสมบูรณ์ (2019)

สามเหลี่ยมมุมฉาก. ระดับแรก

ในปัญหาต่างๆ มุมฉากไม่จำเป็นเลย - มุมล่างซ้าย ดังนั้นคุณต้องเรียนรู้วิธีจดจำสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปแบบนี้

และในสิ่งนั้น

และในสิ่งนั้น

สามเหลี่ยมมุมฉากดีอย่างไร? ก็...ก่อนอื่นมีความพิเศษ ชื่อที่สวยงามสำหรับด้านข้างของเขา

ให้ความสนใจกับการวาดภาพ!

จำและอย่าสับสน: ขา - สองและด้านตรงข้ามมุมฉาก - เพียงหนึ่ง(ตัวเดียว ไม่ซ้ำใคร และยาวที่สุด)!

เราคุยกันเรื่องชื่อแล้ว สิ่งที่สำคัญที่สุดคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้เป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับ สามเหลี่ยมมุมฉาก. พีทาโกรัสพิสูจน์แล้วว่าสมบูรณ์แบบ กาลเวลาและตั้งแต่นั้นมาเธอก็ได้นำประโยชน์มากมายมาสู่ผู้ที่รู้จักเธอ และสิ่งที่ดีที่สุดเกี่ยวกับเธอคือเธอเรียบง่าย

ดังนั้น, ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

คุณจำเรื่องตลกที่: "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน!"?

ลองวาดกางเกงพีทาโกรัสเหล่านี้แล้วมองดู

มันดูเหมือนกางเกงขาสั้นจริงๆเหรอ? แล้วด้านไหนเท่ากัน? เรื่องตลกมาจากไหนและทำไม? และเรื่องตลกนี้เชื่อมโยงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างแม่นยำ แม่นยำยิ่งขึ้นกับวิธีที่พีทาโกรัสกำหนดทฤษฎีบทของเขาเอง และท่านได้กำหนดไว้ดังนี้

"ซำ พื้นที่สี่เหลี่ยมสร้างขึ้นบนขาเท่ากับ พื้นที่สี่เหลี่ยมสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ฟังดูไม่ต่างกันไปหน่อยเหรอ? ดังนั้น เมื่อพีทาโกรัสเขียนข้อความของทฤษฎีบทของเขา ภาพดังกล่าวก็ปรากฎขึ้น

ในภาพนี้ ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ๆ เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ และเพื่อให้เด็ก ๆ จำไว้ดีกว่าว่าผลรวมของกำลังสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก มีคนที่มีไหวพริบประดิษฐ์มุกตลกนี้เกี่ยวกับกางเกงปีทาโกรัส

เหตุใดเราจึงกำหนดทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พีทาโกรัสทนทุกข์และพูดคุยเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมหรือไม่?

คุณเห็นไหมว่าในสมัยโบราณไม่มี ... พีชคณิต! ก็ไม่มีวี่แววเป็นต้น. ไม่มีจารึก คุณลองนึกดูสิว่าการที่นักเรียนโบราณที่น่าสงสารนั้นต้องจำทุกอย่างด้วยคำพูดนั้นแย่มากขนาดไหน?! และเราดีใจที่เรามีสูตรง่ายๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส มาทำซ้ำอีกครั้งเพื่อให้จำได้ดีขึ้น:

ตอนนี้ควรจะง่าย:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมขา

ได้มีการพูดถึงทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว หากคุณสนใจว่ามันได้รับการพิสูจน์อย่างไร ให้อ่านทฤษฎีระดับถัดไป แล้วไปต่อ ... ในป่ามืด ... ของตรีโกณมิติกัน! ถึง คำพูดที่น่ากลัวไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

อันที่จริงทุกอย่างไม่ได้น่ากลัวเลย แน่นอน คำจำกัดความ "ของจริง" ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ควรได้รับการพิจารณาในบทความ แต่คุณไม่ต้องการจริงๆ ใช่ไหม เราสามารถชื่นชมยินดี: ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถกรอกข้อมูลง่ายๆ ต่อไปนี้:

ทำไมมันเกี่ยวกับมุม? มุมไหน? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ว่าข้อความที่ 1 - 4 นั้นเขียนด้วยคำพูดอย่างไร ดูเข้าใจและจำ!

1.
จริงๆแล้วดูเหมือนว่านี้:

แล้วมุมล่ะ? มีขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมนั่นคือขาตรงข้าม (สำหรับมุม) หรือไม่? มีแน่นอน! นี่คือสายสวน!

แต่แล้วมุมล่ะ? ดูใกล้ ๆ. ขาข้างไหนติดกับมุม? แน่นอนว่าแมว ดังนั้น สำหรับมุม ขาอยู่ชิดกัน และ

และตอนนี้ให้ความสนใจ! ดูสิ่งที่เราได้รับ:

ดูว่ามันยอดเยี่ยมแค่ไหน:

ทีนี้มาดูแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กัน

ตอนนี้จะเขียนเป็นคำพูดได้อย่างไร? ขาเทียบกับมุมคืออะไร? ตรงข้ามแน่นอน - มัน "โกหก" ตรงข้ามกับมุม และสายสวน? ติดตรงหัวมุม. แล้วเราได้อะไร?

ดูว่าตัวเศษและตัวส่วนกลับกันอย่างไร?

และตอนนี้มุมและทำการแลกเปลี่ยนอีกครั้ง:

สรุป

มาเขียนสิ่งที่เราได้เรียนรู้โดยสังเขปกัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากหลักคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อ้อ ยังจำได้ไหมว่าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร? ถ้าไม่เช่นนั้นดูภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

เป็นไปได้ว่าคุณเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาหลายครั้งแล้ว แต่คุณเคยสงสัยไหมว่าทำไมทฤษฎีบทดังกล่าวถึงเป็นจริง คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไร? มาทำเหมือนชาวกรีกโบราณกันเถอะ ลองวาดสี่เหลี่ยมที่มีด้าน

คุณเห็นว่าเราแบ่งด้านของมันออกเป็นส่วน ๆ ของความยาวได้อย่างไรและ!

ตอนนี้มาเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

อย่างไรก็ตามที่นี่เราสังเกตเห็นอย่างอื่น แต่คุณดูภาพและคิดว่าทำไม

สี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่มีพื้นที่เท่าไร? ถูกต้อง, . แล้วพื้นที่ที่เล็กกว่าล่ะ? แน่นอน, . พื้นที่ทั้งหมดของมุมทั้งสี่ยังคงอยู่ ลองนึกภาพว่าเราเอาสองตัวมาพิงกันด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก เกิดอะไรขึ้น สองสี่เหลี่ยม ดังนั้นพื้นที่ของ "การตัด" จึงเท่ากัน

มารวมกันตอนนี้เลย

มาแปลงร่างกันเถอะ:

ดังนั้นเราจึงไปเยี่ยมชมพีทาโกรัส - เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในสมัยโบราณ

สามเหลี่ยมมุมฉากกับตรีโกณมิติ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็น:

ไซนัส มุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม

และอีกครั้ง ทั้งหมดนี้อยู่ในรูปของจาน:

มันสบายมาก!

เครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. สองขา

ครั้งที่สอง ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

สาม. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

IV. ตามขาและมุมแหลม

ก)

ข)

ความสนใจ! นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ขาจะ "สอดคล้อง" ตัวอย่างเช่น ถ้ามันขึ้นแบบนี้:

แล้วสามเหลี่ยมก็ไม่เท่ากันแม้ว่าจะมีมุมแหลมที่เหมือนกันเพียงมุมเดียว

จำเป็นต้อง ในรูปสามเหลี่ยมทั้งสองขาอยู่ติดกันหรือทั้งสอง - ตรงข้าม.

คุณสังเกตหรือไม่ว่าเครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากแตกต่างจากเครื่องหมายปกติของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมหรือไม่? ดูหัวข้อ "และให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม "ธรรมดา" คุณต้องมีความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบทั้งสาม: สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา สองมุมและด้านระหว่างพวกเขาหรือสามด้าน แต่เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีเพียงสององค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว มันเยี่ยมมากใช่มั้ย?

ประมาณสถานการณ์เดียวกันกับสัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สัญญาณความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. มุมเฉียบพลัน

ครั้งที่สอง สองขา

สาม. ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?

พิจารณาสี่เหลี่ยมทั้งหมดแทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ลองวาดเส้นทแยงมุมแล้วพิจารณาจุด - จุดตัดของเส้นทแยงมุม คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบ้าง?

และจากนี้ไปจะเป็นอย่างไร

มันเลยเกิดขึ้นว่า

1. - ค่ามัธยฐาน:

จำข้อเท็จจริงนี้ไว้! ช่วยได้เยอะ!

ที่น่าประหลาดใจไปกว่านั้นก็คือ บทสนทนานั้นก็เป็นความจริงเช่นกัน

ได้อะไรที่ดีจากการที่ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก? มาดูรูปกันจ้า

ดูใกล้ ๆ. เรามี: นั่นคือระยะทางจากจุดถึงทั้งหมด สามยอดสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน แต่ในรูปสามเหลี่ยมมีจุดเดียว ระยะทางจากจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของวงจรที่อธิบายไว้ แล้วเกิดอะไรขึ้น?

เริ่มจาก "นอกจาก..." นี้ก่อน

ลองดูที่ไอ

แต่ในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทุกมุมเท่ากัน!

เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับและ

ทีนี้มาวาดกัน:

สามารถใช้อะไรได้บ้างจากความคล้ายคลึงกัน "สามประการ" นี้

ตัวอย่างเช่น - สองสูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้อง:

ในการหาความสูง ให้แก้สัดส่วนแล้วได้ สูตรแรก "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

ลองใช้ความคล้ายคลึงกัน:

จะเกิดอะไรขึ้นตอนนี้?

อีกครั้งเราแก้สัดส่วนและรับสูตรที่สอง:

ทั้งสองสูตรนี้ต้องจำไว้ให้ดีและสูตรไหนสะดวกกว่ากัน มาเขียนมันลงไปอีกครั้ง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:.

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• บนสองขา:
• ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ
• ตามขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน: หรือ
• ตามขาและมุมแหลมตรงข้าม: หรือ
• โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: หรือ.

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• มุมคมหนึ่ง: หรือ
• จากสัดส่วนของขาทั้งสองข้าง:
• จากสัดส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

• ไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• แทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน:
• โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม:

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก: หรือ

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานดึงจากจุดยอด มุมฉาก, เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก: .

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ผ่านสายสวน:

ไซนัสมุมแหลม α ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วน ตรงข้ามสายสวนไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันแสดงดังนี้: บาป α.

โคไซน์มุมแหลม α ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันแสดงดังนี้: cos α

แทนเจนต์มุมแหลม α คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน
มันแสดงดังต่อไปนี้: tg α

โคแทนเจนต์มุมแหลม α คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม
ถูกกำหนดดังนี้: ctg α.

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

กฎ:

หลัก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก:

(α - มุมแหลมตรงข้ามขา ข และติดกับขา เอ . ด้านข้าง กับ - ด้านตรงข้ามมุมฉาก β - มุมแหลมที่สอง)

ข บาปα = - ค	บาป 2 α + cos 2 α = 1
เอ cosα = - ค	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
ข tgα = - เอ	1 1 + ctg 2 α = -- บาป2α
เอ ctgα = - ข	1 1 1 + -- = -- tg 2 α บาป 2 α
บาป tgα = -- cosα

เมื่อมุมแหลมเพิ่มขึ้นบาปและtg α เพิ่มขึ้นและcos α ลดลง

สำหรับมุมแหลมใดๆ α:

บาป (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = บาป α

ตัวอย่างอธิบาย:

ให้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
AB = 6,
BC = 3,
มุม A = 30º

จงหาไซน์ของมุม A และโคไซน์ของมุม B

การตัดสินใจ .

1) อันดับแรก เราพบค่าของมุม B ทุกอย่างง่ายที่นี่ เนื่องจากในสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของมุมแหลมคือ 90º จากนั้นมุม B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º

2) คำนวณ sin A. เรารู้ว่าไซน์เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม A ขาตรงข้ามคือด้าน BC ดังนั้น:

BC 3 1
บาป A = -- = - = -
AB 6 2

3) ตอนนี้เราคำนวณ cos B เรารู้ว่าโคไซน์เท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม B ขาที่อยู่ติดกันคือด้านเดียวกัน BC ซึ่งหมายความว่าเราต้องแบ่ง BC เป็น AB อีกครั้ง นั่นคือ ทำแบบเดียวกันกับเมื่อคำนวณไซน์ของมุม A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

ผลลัพธ์คือ:
บาป A = cos B = 1/2

บาป 30º = cos 60º = 1/2

จากนี้ไปในสามเหลี่ยมมุมฉาก ไซน์ของมุมแหลมหนึ่งมุมจะเท่ากับโคไซน์ของมุมแหลมอีกมุมหนึ่ง - และในทางกลับกัน นี่คือสิ่งที่ทั้งสองสูตรของเราหมายถึง:
บาป (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = บาป α

มาลองดูกันอีกครั้ง:

1) ให้ α = 60º แทนที่ค่าของ α ลงในสูตรไซน์ เราได้:
บาป (90º - 60º) = cos 60º
บาป 30º = cos 60º

2) ให้ α = 30º แทนที่ค่าของ α ลงในสูตรโคไซน์ เราได้:
cos (90° - 30º) = บาป 30º
cos 60° = บาป 30º

(สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับตรีโกณมิติ ดูส่วนพีชคณิต)

การบรรยาย: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมใดๆ

ไซน์ โคไซน์ของมุมใดๆ

ให้เข้าใจว่าคืออะไร ฟังก์ชันตรีโกณมิติเราเปลี่ยนเป็นวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย ให้วงกลมมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดในระนาบพิกัด ในการกำหนดฟังก์ชันที่กำหนด เราจะใช้เวกเตอร์รัศมี หรือซึ่งเริ่มต้นที่จุดศูนย์กลางของวงกลมและจุด Rเป็นจุดบนวงกลม เวกเตอร์รัศมีนี้สร้างมุมอัลฟากับแกน โอ้. เนื่องจากวงกลมมีรัศมีเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น หรือ = R = 1.

ถ้าจากจุด Rวางตั้งฉากบนแกน โอ้แล้วเราจะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับหนึ่ง

ถ้าเวกเตอร์รัศมีเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา ทิศทางนี้จะเรียกว่า เชิงลบแต่ถ้าหมุนทวนเข็มนาฬิกา - เชิงบวก.

ค่าไซน์ของมุม หรือ, เป็นพิกัดของจุด Rเวกเตอร์บนวงกลม

นั่นคือเพื่อให้ได้ค่าไซน์ของมุมอัลฟาที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดพิกัด ที่บนพื้นผิว

อย่างไร ค่าที่กำหนดได้รับแล้ว? เนื่องจากเรารู้ว่าไซน์ของมุมใดๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจึงได้ค่านั้น

และตั้งแต่ R=1, แล้ว บาป (α) = y 0 .

ในวงกลมหน่วย ค่าพิกัดต้องไม่น้อยกว่า -1 และมากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า

ไซนัสยอมรับ ค่าบวกในไตรมาสที่หนึ่งและสองของวงกลมหนึ่งหน่วย และค่าลบในไตรมาสที่สามและสี่

โคไซน์ของมุมวงกลมที่กำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี หรือ, เป็น abscissa ของจุด Rเวกเตอร์บนวงกลม

นั่นคือเพื่อให้ได้ค่าโคไซน์ของมุมอัลฟาที่กำหนด จำเป็นต้องกำหนดพิกัด Xบนพื้นผิว

โคไซน์ของมุมใดก็ได้ในสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก, เราได้ค่านั้น

และตั้งแต่ R=1, แล้ว cos(α) = x 0 .

ในวงกลมหน่วย ค่าของ abscissa ต้องไม่น้อยกว่า -1 และมากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า

โคไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่หนึ่งและสี่ของวงกลมหนึ่งหน่วย และเป็นลบในจตุภาคที่สองและสาม

แทนเจนต์มุมโดยพลการคำนวณอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์

หากเราพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน ถ้า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับวงกลมหน่วย แล้วนี่คืออัตราส่วนของพิกัดต่อ abscissa

เมื่อพิจารณาจากความสัมพันธ์เหล่านี้ เราสามารถเข้าใจได้ว่าแทนเจนต์ไม่สามารถมีอยู่ได้หากค่าของ abscissa เป็นศูนย์ นั่นคือ ที่มุม 90 องศา แทนเจนต์สามารถรับค่าอื่นทั้งหมดได้

แทนเจนต์เป็นบวกในไตรมาสที่หนึ่งและสามของวงกลมหนึ่งหน่วย และเป็นค่าลบในไตรมาสที่สองและสี่

ข้อมูลอ้างอิงสำหรับแทนเจนต์ (tg x) และโคแทนเจนต์ (ctg x) ความหมายทางเรขาคณิต คุณสมบัติ กราฟ สูตร ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อนุพันธ์ ปริพันธ์ การขยายอนุกรม นิพจน์ผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ความหมายทางเรขาคณิต

|BD| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( tgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้าม |BC| ถึงความยาวของขาข้างเคียง |AB| .

โคแทนเจนต์ ( ctgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ที่ วรรณคดีตะวันตกแทนเจนต์ถูกกำหนดดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tg x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
สัญกรณ์ต่อไปนี้ยังถูกนำมาใช้:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

เป็นระยะ

ฟังก์ชัน y= tg xและ y= ctg xเป็นคาบที่มีคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นค่าคี่

โดเมนของความหมายและค่า จากน้อยไปมาก จากมากไปน้อย

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ (ดูการพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงในตาราง ( น- จำนวนเต็ม)

	y= tg x	y= ctg x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
จากน้อยไปมาก		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y= 0
จุดตัดกับแกน y, x = 0	y= 0	-

สูตร

นิพจน์ในแง่ของไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและส่วนต่าง

สูตรที่เหลือหาได้ง่ายเช่น

ผลิตภัณฑ์ของแทนเจนต์

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าบางค่าของการโต้แย้ง

นิพจน์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน :
.
ที่มาของสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

ขยายเป็นซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในยกกำลังของ x คุณต้องพิจารณาเงื่อนไขการขยายตัวใน ชุดพลังสำหรับฟังก์ชั่น บาป xและ cos xและแบ่งพหุนามเหล่านี้ออกจากกัน , . ซึ่งส่งผลในสูตรต่อไปนี้

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีน- เบอร์นูลลี พวกเขาจะถูกกำหนดอย่างใดอย่างหนึ่งจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์คแทนเจนต์ arctg

, ที่ไหน น- ทั้งหมด.

อาร์คแทนเจนต์ arcctg

, ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2555.

ในบทความนี้ เราจะมาดูภาพรวมของ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานคือความเท่าเทียมกันที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง และช่วยให้คุณค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้ผ่านฟังก์ชันอื่นๆ ที่รู้จัก

เราแสดงรายการข้อมูลประจำตัวเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติหลักทันที ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในบทความนี้ เราเขียนมันลงในตาราง และด้านล่างเราให้ที่มาของสูตรเหล่านี้และให้คำอธิบายที่จำเป็น

การนำทางหน้า

ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์กับโคไซน์ของมุมเดียว

บางครั้งพวกเขาไม่ได้พูดถึงอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่ระบุไว้ในตารางด้านบน แต่เกี่ยวกับหนึ่งเดียว เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานใจดี . คำอธิบายสำหรับข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างง่าย: ความเท่าเทียมกันได้มาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานหลังจากหารทั้งสองส่วนด้วยและตามลำดับ และความเท่าเทียมกัน และ ตามมาจากนิยามของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เราจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในย่อหน้าต่อไปนี้

นั่นคือมันเป็นความเท่าเทียมกันที่น่าสนใจเป็นพิเศษซึ่งได้รับชื่อของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก.

ก่อนพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เราให้สูตรของมัน: ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่งเท่ากัน ทีนี้มาพิสูจน์กัน

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานมักใช้ใน การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ. อนุญาตให้แทนที่ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งด้วยมุมเดียว ไม่บ่อยนักที่เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานถูกใช้ในลำดับที่กลับกัน: หน่วยจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมใดๆ

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ผ่านไซน์และโคไซน์

อัตลักษณ์ที่เชื่อมแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กับไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งของรูปแบบและ ตามด้วยคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ทันที ตามคำจำกัดความ ไซน์คือพิกัดของ y โคไซน์คือ abscissa ของ x แทนเจนต์คืออัตราส่วนของพิกัดต่อ abscissa นั่นคือ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของ abscissa ต่อพิกัดนั่นคือ .

เนื่องจากความชัดเจนของอัตลักษณ์และ บ่อยครั้งคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่ได้ให้ผ่านอัตราส่วนของ abscissa และพิกัด แต่ผ่านอัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ ดังนั้น แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ของมุมนี้ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์

ในการสรุปส่วนนี้ควรสังเกตว่าอัตลักษณ์และ ถือมุมดังกล่าวทั้งหมดที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติในนั้นเหมาะสม ดังนั้นสูตรจึงใช้ได้สำหรับส่วนอื่นที่ไม่ใช่ (มิฉะนั้น ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ และเราไม่ได้กำหนดการหารด้วยศูนย์) และสูตร - สำหรับทุกคน แตกต่างจาก โดยที่ z เป็นใดๆ

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ชัดเจนยิ่งกว่าสองอันก่อนหน้านี้คือตัวตนที่เชื่อมต่อแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่งของแบบฟอร์ม . เป็นที่ชัดเจนว่าจะเกิดขึ้นสำหรับมุมอื่นๆ นอกเหนือจาก มิฉะนั้น จะไม่มีการกำหนดแทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์

หลักฐานของสูตร ง่ายมาก. ตามคำจำกัดความและจากที่ไหน . การพิสูจน์สามารถดำเนินการได้ในลักษณะที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ตั้งแต่และ , แล้ว .

ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง ซึ่งมันสมเหตุสมผลคือ