ผลรวมคอส อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรและที่มา

เรายังคงสนทนาเกี่ยวกับสูตรที่ใช้มากที่สุดในตรีโกณมิติ ที่สำคัญที่สุดคือสูตรการบวก

คำจำกัดความ 1

สูตรบวกช่วยให้คุณแสดงฟังก์ชันของส่วนต่างหรือผลรวมของมุมสองมุมได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้

ในการเริ่มต้นเราจะนำเสนอ รายการทั้งหมดเพิ่มสูตรแล้วเราจะพิสูจน์พวกเขาและวิเคราะห์ตัวอย่างบางส่วน

Yandex.RTB R-A-339285-1

สูตรบวกพื้นฐานในตรีโกณมิติ

มีแปดสูตรพื้นฐาน: ไซน์ของผลรวมและไซน์ของผลต่างของมุมสองมุม โคไซน์ของผลรวมและผลต่าง แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและผลต่างตามลำดับ ด้านล่างนี้คือสูตรและการคำนวณมาตรฐาน

1. ค่าไซน์ของผลบวกของมุมทั้งสองหาได้ดังนี้

เราคำนวณผลคูณของไซน์ของมุมแรกด้วยโคไซน์ของวินาที

คูณโคไซน์ของมุมแรกด้วยไซน์ของมุมแรก

เพิ่มค่าผลลัพธ์

การเขียนสูตรแบบกราฟิกจะมีลักษณะดังนี้: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. ค่าไซน์ของผลต่างนั้นคำนวณในลักษณะเดียวกัน จะต้องไม่บวกเฉพาะผลลัพธ์ที่ได้ แต่ต้องลบออกจากกัน ดังนั้นเราจึงคำนวณผลคูณของไซน์ของมุมแรกด้วยโคไซน์ของวินาทีและโคไซน์ของมุมแรกด้วยไซน์ของวินาทีและหาความแตกต่าง สูตรเขียนดังนี้: บาป (α - β) = บาป α cos β + บาป α บาป β

3. โคไซน์ของผลรวม สำหรับมัน เราพบผลคูณของโคไซน์ของมุมแรกโดยโคไซน์ของมุมที่สองและไซน์ของมุมแรกด้วยไซน์ของมุมที่สองตามลำดับ และพบความแตกต่าง: cos (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β

4. ความแตกต่างของโคไซน์: เราคำนวณผลคูณของไซน์และโคไซน์ของมุมที่กำหนดเหมือนเมื่อก่อนแล้วบวกเข้าด้วยกัน สูตร: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. แทนเจนต์ของผลรวม สูตรนี้แสดงเป็นเศษส่วน ในตัวเศษซึ่งเป็นผลรวมของแทนเจนต์ของมุมที่ต้องการ และในตัวส่วนคือหน่วยที่ผลคูณของแทนเจนต์ของมุมที่ต้องการถูกลบออก ทุกอย่างชัดเจนจากสัญกรณ์กราฟิกของเธอ: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. แทนเจนต์ของความแตกต่าง เราคำนวณค่าความแตกต่างและผลคูณของแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้และจัดการกับมันในลักษณะเดียวกัน ในตัวส่วน เราบวกหนึ่ง และไม่ใช่ในทางกลับกัน: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. โคแทนเจนต์ของผลรวม สำหรับการคำนวณโดยใช้สูตรนี้ เราต้องการผลคูณและผลรวมของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ ซึ่งเราดำเนินการดังนี้: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. โคแทนเจนต์ของความแตกต่าง . สูตรนี้คล้ายกับสูตรก่อนหน้า แต่ในตัวเศษและส่วน - ลบและไม่บวก c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

คุณอาจสังเกตเห็นว่าสูตรเหล่านี้มีความคล้ายคลึงกันเป็นคู่ การใช้เครื่องหมาย ± (บวก-ลบ) และ ∓ (ลบ-บวก) เราสามารถจัดกลุ่มพวกมันเพื่อให้ง่ายต่อการสังเกต:

บาป (α ± β) = บาป α cos β ± cos α บาป β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ บาป α บาป β t g (α ± β) = t ก. α ± t ก. β 1 ∓ t ก. α t ก. β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

ดังนั้น เรามีสูตรการบันทึกหนึ่งสูตรสำหรับผลรวมและส่วนต่างของแต่ละค่า ในกรณีหนึ่งเราให้ความสนใจกับเครื่องหมายบน ในอีกกรณีหนึ่ง - ไปที่ค่าที่ต่ำกว่า

คำจำกัดความ 2

เราสามารถหามุมใดก็ได้ α และ β และสูตรการบวกสำหรับโคไซน์และไซน์จะใช้ได้สำหรับพวกมัน หากเราสามารถกำหนดค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ได้อย่างถูกต้อง สูตรการบวกสำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ก็จะใช้ได้สำหรับพวกมัน

เช่นเดียวกับแนวคิดส่วนใหญ่ในพีชคณิต สูตรการบวกสามารถพิสูจน์ได้ สูตรแรกที่เราจะพิสูจน์คือสูตรโคไซน์ส่วนต่าง จากนั้นคุณสามารถอนุมานหลักฐานที่เหลือได้อย่างง่ายดาย

ให้เราชี้แจงแนวคิดพื้นฐาน เราต้องการวงกลมหนึ่งหน่วย ปรากฎว่าถ้าเราใช้จุด A หนึ่งแล้วหมุนรอบจุดศูนย์กลาง (จุด O) มุม α และ β จากนั้นมุมระหว่างเวกเตอร์ O A 1 → และ O A → 2 จะเท่ากับ (α - β) + 2 π z หรือ 2 π - (α - β) + 2 π z (z เป็นจำนวนเต็มใดๆ) เวกเตอร์ที่ได้จะสร้างมุมที่เท่ากับ α - β หรือ 2 π - (α - β) หรืออาจแตกต่างจากค่าเหล่านี้ด้วยจำนวนเต็มของการหมุนรอบที่สมบูรณ์ ลองดูที่ภาพ:

เราใช้สูตรลดและได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

บรรทัดล่าง: โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ O A 1 → และ O A 2 → เท่ากับโคไซน์ของมุม α - β ดังนั้น cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

จำคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ได้: ไซน์เป็นฟังก์ชันของมุมเท่ากับอัตราส่วนของขาของมุมตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คือไซน์ของมุมเพิ่มเติม ดังนั้น จุด A 1และ A2มีพิกัด (cos α , sin α) และ (cos β , sin β)

เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

O A 1 → = (cos α , บาป α) และ O A 2 → = (cos β , บาป β)

หากไม่ชัดเจน ให้ดูพิกัดของจุดที่อยู่ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับ 1 เพราะ เรามีวงกลมเดียว

ตอนนี้ให้เราวิเคราะห์ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ O A 1 → และ O A 2 → . ในพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + บาป α บาป β

จากนี้เราสามารถอนุมานความเท่าเทียมกัน:

cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β

ดังนั้นสูตรสำหรับโคไซน์ของผลต่างจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตอนนี้เราจะพิสูจน์สูตรต่อไปนี้ - โคไซน์ของผลรวม สิ่งนี้ง่ายกว่าเพราะเราสามารถใช้การคำนวณก่อนหน้านี้ได้ ใช้การแทนค่า α + β = α - (- β) เรามี:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + บาป α บาป (- β) = = cos α cos β + บาป α บาป β

นี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรสำหรับโคไซน์ของผลรวม บรรทัดสุดท้ายใช้คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์ของมุมตรงข้าม

สูตรสำหรับไซน์ของผลรวมสามารถได้มาจากสูตรสำหรับโคไซน์ของผลต่าง ลองใช้สูตรการลดสำหรับสิ่งนี้:

ของรูปแบบ บาป (α + β) = cos (π 2 (α + β)) ดังนั้น
บาป (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + บาป (π 2 - α) บาป β = = บาป α cos β + cos α บาป β

และนี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรสำหรับผลต่างไซน์:

บาป (α - β) = บาป (α + (- β)) = บาป α cos (- β) + cos α บาป (- β) = = บาป α cos β - cos α บาป β
สังเกตการใช้คุณสมบัติไซน์และโคไซน์ของมุมตรงข้ามในการคำนวณครั้งสุดท้าย

ต่อไป เราต้องการหลักฐานการบวกสูตรสำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ขอให้เราระลึกถึงคำจำกัดความพื้นฐาน (แทนเจนต์คืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ และโคแทนเจนต์เป็นในทางกลับกัน) และใช้สูตรที่ได้รับล่วงหน้า เราทำได้:

t g (α + β) = บาป (α + β) cos (α + β) = บาป α cos β + cos α บาป β cos α cos β - บาป α บาป β

เรามีเศษส่วนเชิงซ้อน ต่อไป เราต้องแบ่งตัวเศษและตัวส่วนด้วย cos α cos β โดยที่ cos α ≠ 0 และ cos β ≠ 0 เราจะได้:
บาป α cos β + cos α บาป β cos α cos β cos α cos β - บาป α บาป β cos α cos β = บาป α cos β cos α cos β + cos α บาป β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - บาป α บาป β cos α cos β

ตอนนี้เราลดเศษส่วนและรับสูตรของรูปแบบต่อไปนี้: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β
เราได้ t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . นี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรการเติมแทนเจนต์

สูตรต่อไปที่เราจะพิสูจน์คือสูตรแทนเจนต์ส่วนต่าง ทุกอย่างแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในการคำนวณ:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

สูตรสำหรับโคแทนเจนต์ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน:
c t g (α + β) = cos (α + β) บาป (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β บาป α cos β + cos α บาป β = = cos α cos β - บาป α บาป β บาป α บาป β บาป α cos β + cos α บาป β บาป α บาป β = cos α cos β บาป α บาป β - 1 บาป α cos β บาป α บาป β + cos α บาป β บาป α บาป β = = - 1 + c t ก. α c t g β c t g α + c t g β
ไกลออกไป:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g g β - c t

- แน่นอนว่าจะมีงานในวิชาตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติมักไม่ชอบเพราะต้องอัดสูตรยากจำนวนมากที่เต็มไปด้วยไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เว็บไซต์นี้เคยให้คำแนะนำเกี่ยวกับการจำสูตรที่ลืมไปแล้ว โดยใช้ตัวอย่างของสูตรออยเลอร์และพีล

และในบทความนี้เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าเพียงพอที่จะรู้สูตรตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดเพียงห้าสูตรและส่วนที่เหลือ ความคิดทั่วไปและนำพวกเขาออกไปในขณะที่คุณไป มันเหมือนกับ DNA: พวกมันไม่ถูกเก็บไว้ในโมเลกุล ภาพวาดที่สมบูรณ์เสร็จสิ้นการดำรงอยู่ ประกอบด้วยคำแนะนำในการประกอบจากกรดอะมิโนที่มีอยู่ จึงอยู่ในตรีโกณมิติรู้บ้าง หลักการทั่วไป,เราจะได้ทุกอย่าง สูตรที่จำเป็นจากชุดเล็ก ๆ ที่ต้องเก็บไว้ในใจ

เราจะพึ่งพาสูตรต่อไปนี้:

จากสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของผลรวม โดยรู้ว่าฟังก์ชันโคไซน์เป็นคู่และฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ โดยแทนที่ -b สำหรับ b เราจะได้สูตรสำหรับผลต่าง:

1. ไซน์ของความแตกต่าง: บาป(a-b) = บาปเอcos(-ข)+cosเอบาป(-ข) = บาปเอcosข-cosเอบาปข
2. ความแตกต่างของโคไซน์: cos(a-b) = cosเอcos(-ข)-บาปเอบาป(-ข) = cosเอcosข+บาปเอบาปข

เมื่อใส่ a \u003d b ลงในสูตรเดียวกัน เราได้สูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของมุมคู่:

1. ไซน์ของมุมสองเท่า: บาป2a = บาป(a+a) = บาปเอcosเอ+cosเอบาปเอ = 2บาปเอcosเอ
2. โคไซน์ของมุมคู่: cos2a = cos(a+a) = cosเอcosเอ-บาปเอบาปเอ = cos2a-บาป2a

สูตรสำหรับมุมหลายมุมอื่นๆ ได้มาในทำนองเดียวกัน:

1. ไซน์ของมุมสามมุม: บาป3a = บาป(2a+a) = บาป2acosเอ+cos2aบาปเอ = (2บาปเอcosเอ)cosเอ+(cos2a-บาป2a)บาปเอ = 2บาปเอcos2a+บาปเอcos2a-บาป 3a = 3 บาปเอcos2a-บาป 3a = 3 บาปเอ(1-บาป2a)-บาป 3a = 3 บาปเอ-4บาป 3a
2. โคไซน์ของมุมสามมุม: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosเอ-บาป2aบาปเอ = (cos2a-บาป2a)cosเอ-(2บาปเอcosเอ)บาปเอ = cos 3a- บาป2acosเอ-2บาป2acosเอ = cos 3a-3 บาป2acosเอ = cos 3a-3(1- cos2a)cosเอ = 4cos 3a-3 cosเอ

ก่อนจะไปต่อ ลองพิจารณาปัญหาหนึ่งข้อ
ให้ไว้: มุมแหลม
หาโคไซน์ของมัน if
วิธีแก้ปัญหาโดยนักเรียนคนหนึ่ง:
เพราะ , แล้ว บาปเอ= 3,a cosเอ = 4.
(จากอารมณ์ขันทางคณิตศาสตร์)

ดังนั้น นิยามของแทนเจนต์เชื่อมฟังก์ชันนี้กับทั้งไซน์และโคไซน์ แต่คุณสามารถหาสูตรที่ให้การเชื่อมต่อของแทนเจนต์กับโคไซน์เท่านั้น เพื่อให้ได้มาเราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน: บาป 2 เอ+cos 2 เอ= 1 แล้วหารด้วย cos 2 เอ. เราได้รับ:

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหานี้คือ:

(เนื่องจากเป็นมุมแหลม จึงใช้เครื่องหมาย + เมื่อทำการถอนราก)

สูตรแทนเจนต์ของผลรวมเป็นอีกสูตรหนึ่งที่จำยาก ออกมาเป็นดังนี้:

ออกทันทีและ

จากสูตรโคไซน์สำหรับมุมสองเท่า คุณจะได้สูตรไซน์และโคไซน์สำหรับครึ่งมุม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ทางด้านซ้ายของสูตรโคไซน์สองมุม:
cos2 เอ = cos 2 เอ-บาป 2 เอ
เราเพิ่มหน่วยและทางด้านขวา - หน่วยตรีโกณมิติเช่น ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์
cos2a+1 = cos2a-บาป2a+cos2a+บาป2a
2cos 2 เอ = cos2 เอ+1
การแสดงออก cosเอผ่าน cos2 เอและทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เราได้รับ:

เครื่องหมายถูกถ่ายขึ้นอยู่กับจตุภาค

ในทำนองเดียวกัน การลบหนึ่งอันจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์จากด้านขวา เราได้:
cos2a-1 = cos2a-บาป2a-cos2a-บาป2a
2บาป 2 เอ = 1-cos2 เอ

และสุดท้าย ในการแปลงผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลิตภัณฑ์ เราใช้เคล็ดลับต่อไปนี้ สมมติว่าเราต้องแสดงผลรวมของไซน์เป็นผลคูณ บาปเอ+บาปข. เรามาแนะนำตัวแปร x และ y เพื่อให้ a = x+y, b+x-y แล้ว
บาปเอ+บาปข = บาป(x+y)+ บาป(x-y) = บาป x cos y+ cos x บาป y+ บาป x cosย- cos x บาป y=2 บาป x cosย. ตอนนี้ให้เราแสดง x และ y ในรูปของ a และ b

เนื่องจาก a = x+y, b = x-y ดังนั้น นั่นเป็นเหตุผลที่

ถอนได้ทันที

1. สูตรพาร์ทิชัน ผลิตภัณฑ์ของไซน์และโคไซน์ใน จำนวน: บาปเอcosข = 0.5(บาป(a+ข)+บาป(a-b))

เราขอแนะนำให้คุณฝึกฝนและหาสูตรสำหรับแปลงผลคูณของผลต่างของไซน์และผลรวมและผลต่างของโคไซน์เป็นผลิตภัณฑ์ เช่นเดียวกับการแยกผลคูณของไซน์และโคไซน์เป็นผลรวม เมื่อทำแบบฝึกหัดเหล่านี้แล้ว คุณจะฝึกฝนทักษะในการหาสูตรตรีโกณมิติได้อย่างละเอียดถี่ถ้วน และจะไม่หลงทางแม้ในการควบคุมที่ยากที่สุด โอลิมปิก หรือการทดสอบ

หนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เด็กนักเรียนสามารถรับมือกับปัญหาที่ใหญ่ที่สุดคือตรีโกณมิติ ไม่น่าแปลกใจ: เพื่อที่จะเชี่ยวชาญด้านความรู้นี้อย่างอิสระ คุณต้องมีความคิดเชิงพื้นที่ ความสามารถในการค้นหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์โดยใช้สูตร ลดความซับซ้อนของนิพจน์ และสามารถใช้ตัวเลข pi ในการคำนวณได้ นอกจากนี้ คุณต้องสามารถใช้ตรีโกณมิติในการพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ และต้องใช้หน่วยความจำทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแล้วหรือความสามารถในการอนุมานโซ่ตรวนเชิงตรรกะที่ซับซ้อน

ที่มาของตรีโกณมิติ

ความคุ้นเคยกับวิทยาศาสตร์นี้ควรเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม แต่ก่อนอื่น คุณต้องคิดก่อนว่าตรีโกณมิติทำอะไรโดยทั่วไป

ในอดีต สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ การมีมุม 90 องศาทำให้สามารถดำเนินการต่างๆ ที่อนุญาตให้กำหนดค่าของพารามิเตอร์ทั้งหมดของรูปที่พิจารณาโดยใช้สองด้านและหนึ่งมุมหรือสองมุมและด้านเดียว ในอดีต ผู้คนสังเกตเห็นรูปแบบนี้และเริ่มใช้มันอย่างแข็งขันในการก่อสร้างอาคาร การนำทาง ดาราศาสตร์ และแม้แต่งานศิลปะ

ระยะแรก

ในขั้นต้น ผู้คนพูดถึงความสัมพันธ์ของมุมและด้านในตัวอย่างเท่านั้น สามเหลี่ยมมุมฉาก. จากนั้นจึงค้นพบสูตรพิเศษที่ทำให้สามารถขยายขอบเขตการใช้งานใน ชีวิตประจำวันสาขาคณิตศาสตร์นี้

การศึกษาตรีโกณมิติที่โรงเรียนในวันนี้เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หลังจากนั้นนักเรียนจะใช้ความรู้ที่ได้รับในวิชาฟิสิกส์และการแก้สมการตรีโกณมิตินามธรรม ซึ่งเริ่มทำงานในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย

ตรีโกณมิติทรงกลม

ต่อมา เมื่อวิทยาศาสตร์ไปถึงการพัฒนาในระดับต่อไป สูตรที่มีไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์เริ่มถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งใช้กฎอื่น และผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมมักจะมากกว่า 180 องศาเสมอ ส่วนนี้ไม่ได้เรียนที่โรงเรียน แต่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน อย่างน้อยก็เพราะ พื้นผิวโลกและพื้นผิวของดาวเคราะห์ดวงอื่นจะนูน ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายใดๆ ของพื้นผิวจะเป็น "รูปโค้ง" ในพื้นที่สามมิติ

ใช้โลกและด้าย ติดด้ายกับจุดสองจุดใดๆ ในโลกเพื่อให้ตึง ให้ความสนใจ - ได้รับรูปร่างของส่วนโค้ง ด้วยรูปแบบดังกล่าวที่เรขาคณิตทรงกลมซึ่งใช้ใน geodesy ดาราศาสตร์และสาขาทฤษฎีและประยุกต์อื่น ๆ ข้อตกลง

สามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อได้เรียนรู้เล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการใช้ตรีโกณมิติแล้ว ให้กลับไปที่ตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์คืออะไร การคำนวณใดที่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ และต้องใช้สูตรใด

ขั้นตอนแรกคือการทำความเข้าใจแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก อย่างแรก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุม 90 องศา เธอเป็นคนที่ยาวที่สุด เราจำได้ว่า ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค่าตัวเลขของมันเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น ถ้าสองด้านเป็น 3 และ 4 เซนติเมตรตามลำดับ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็น 5 เซนติเมตร อย่างไรก็ตาม ชาวอียิปต์โบราณรู้เรื่องนี้เมื่อสี่พันห้าพันปีก่อน

อีกสองด้านที่เหลือที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา นอกจากนี้ เราต้องจำไว้ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคือ 180 องศา

คำนิยาม

สุดท้าย ด้วยความเข้าใจอย่างถ่องแท้ของฐานเรขาคณิต เราสามารถเปลี่ยนนิยามของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมได้

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (กล่าวคือ ด้านตรงข้ามมุมที่ต้องการ) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

จำไว้ว่าทั้งไซน์และโคไซน์ไม่สามารถมากกว่าหนึ่งได้! ทำไม เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นค่าเริ่มต้นที่ยาวที่สุดไม่ว่าขาจะยาวแค่ไหนก็จะสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนจะเป็นเสมอ น้อยกว่าหนึ่ง. ดังนั้น หากคุณได้ไซน์หรือโคไซน์ที่มีค่ามากกว่า 1 ในคำตอบของปัญหา ให้มองหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการใช้เหตุผล คำตอบนี้ผิดอย่างชัดเจน

สุดท้าย แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ผลลัพธ์เดียวกันจะให้การหารไซน์ด้วยโคไซน์ ดู: ตามสูตร เราหารความยาวของด้านด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก หลังจากนั้นเราหารด้วยความยาวของด้านที่สองแล้วคูณด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นเราจึงได้อัตราส่วนเดียวกับในนิยามแทนเจนต์

โคแทนเจนต์ตามลำดับคืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับมุมกับด้านตรงข้าม เราได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยหารหน่วยด้วยแทนเจนต์

ดังนั้น เราได้พิจารณาคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ และเราสามารถจัดการกับสูตรได้

สูตรที่ง่ายที่สุด

ในตรีโกณมิติเราไม่สามารถทำโดยไม่มีสูตรได้ - จะหาไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ได้อย่างไรหากไม่มีพวกมัน? และนี่คือสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหา

สูตรแรกที่คุณต้องรู้เมื่อเริ่มศึกษาตรีโกณมิติกล่าวว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่ง สูตรนี้เป็นผลโดยตรงของทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่จะช่วยประหยัดเวลาหากคุณต้องการทราบค่าของมุม ไม่ใช่ด้าน

นักเรียนหลายคนจำสูตรที่สองไม่ได้ ซึ่งเป็นที่นิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาของโรงเรียน: ผลรวมของหนึ่งกับกำลังสองของแทนเจนต์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่งหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ของมุม พิจารณาให้ละเอียดยิ่งขึ้น: ท้ายที่สุด นี่เป็นข้อความเดียวกับในสูตรแรก เฉพาะทั้งสองด้านของเอกลักษณ์เท่านั้นที่ถูกหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ ปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายทำให้ไม่สามารถจดจำสูตรตรีโกณมิติได้อย่างสมบูรณ์ จำไว้ว่า: การรู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออะไร กฎการแปลงและจำนวนเล็กน้อย สูตรพื้นฐานคุณสามารถแสดงสูตรที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นที่ต้องการบนกระดาษได้ตลอดเวลา

สูตรมุมคู่และการเพิ่มอาร์กิวเมนต์

อีกสองสูตรที่คุณต้องเรียนรู้เกี่ยวข้องกับค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและความแตกต่างของมุม แสดงในรูปด้านล่าง โปรดทราบว่าในกรณีแรก ไซน์และโคไซน์จะถูกคูณทั้งสองครั้ง และในกรณีที่สอง ผลคูณคู่ของไซน์และโคไซน์จะถูกเพิ่มเข้าไป

นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์แบบมุมคู่ พวกมันได้มาจากอันที่แล้วทั้งหมด - ในทางปฏิบัติ พยายามหามุมอัลฟ่าด้วยตัวเอง เท่ากับมุมเบต้า

สุดท้าย โปรดทราบว่าสูตรมุมคู่สามารถแปลงเพื่อลดระดับของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์อัลฟา

ทฤษฎีบท

สองทฤษฎีบทหลักในตรีโกณมิติพื้นฐานคือทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทเหล่านี้ คุณสามารถเข้าใจวิธีหาไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ได้อย่างง่ายดาย ดังนั้น พื้นที่ของรูปและขนาดของแต่ละด้าน เป็นต้น

ทฤษฎีบทไซน์ระบุว่าจากการหารความยาวของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้วยค่าของมุมตรงข้าม เราได้จำนวนเท่ากัน ยิ่งกว่านั้น ตัวเลขนี้จะเท่ากับรัศมีสองรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ นั่นคือ วงกลมที่มีจุดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมที่ให้มา

ทฤษฎีบทโคไซน์สรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยฉายลงบนสามเหลี่ยมใดๆ ปรากฎว่าจากผลรวมของกำลังสองของทั้งสองข้าง ลบผลคูณของมันคูณด้วยโคไซน์คู่ของมุมที่อยู่ติดกับพวกมัน - ค่าที่ได้จะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงกลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์

ผิดพลาดเพราะไม่ตั้งใจ

แม้จะรู้ว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร ก็ยังง่ายที่จะทำผิดพลาดเนื่องจากขาดสมาธิหรือข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ง่ายที่สุด เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดลองทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

ประการแรกคุณไม่ควรแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมจนกว่าจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย - คุณสามารถทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์ม เศษส่วนร่วมเว้นแต่เงื่อนไขจะระบุไว้เป็นอย่างอื่น การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นความผิดพลาด แต่ควรจำไว้ว่าในแต่ละขั้นตอนของปัญหาอาจมีรากใหม่ปรากฏขึ้นซึ่งตามความคิดของผู้เขียนควรลดลง ในกรณีนี้คุณจะเสียเวลาโดยไม่จำเป็น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์. โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าต่างๆ เช่น รากของสามหรือสอง เพราะมันเกิดขึ้นในงานทุกขั้นตอน เช่นเดียวกับการปัดเศษตัวเลข "น่าเกลียด"

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าทฤษฎีบทโคไซน์ใช้กับสามเหลี่ยมใดๆ แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! หากคุณลืมลบผลคูณของด้านคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างกันโดยไม่ได้ตั้งใจ คุณจะไม่เพียงแค่ได้ผลลัพธ์ที่ผิดทั้งหมด แต่ยังแสดงให้เห็นถึงความเข้าใจผิดทั้งหมดเกี่ยวกับตัวแบบด้วย นี้เลวร้ายยิ่งกว่าความผิดพลาดประมาท

ประการที่สาม อย่าสับสนค่าของมุม 30 และ 60 องศาสำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ จำค่าเหล่านี้ไว้ เพราะไซน์ของ 30 องศา เท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน มันง่ายที่จะผสมเข้าด้วยกันซึ่งเป็นผลมาจากการที่คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

แอปพลิเคชัน

นักเรียนหลายคนไม่รีบร้อนที่จะเริ่มเรียนตรีโกณมิติเพราะพวกเขาไม่เข้าใจความหมายที่ประยุกต์ใช้ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์สำหรับวิศวกรหรือนักดาราศาสตร์คืออะไร? สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่ทำให้คุณสามารถคำนวณระยะทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกล ทำนายการตกของอุกกาบาต ส่งยานสำรวจไปยังดาวเคราะห์ดวงอื่นได้ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างอาคาร ออกแบบรถยนต์ คำนวณน้ำหนักบนพื้นผิวหรือวิถีของวัตถุ และนี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุด! ท้ายที่สุดแล้วตรีโกณมิติในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งถูกใช้ทุกที่ตั้งแต่ดนตรีไปจนถึงการแพทย์

ในที่สุด

คุณก็คือไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ คุณสามารถใช้มันในการคำนวณและแก้ปัญหาของโรงเรียนได้สำเร็จ

สาระสำคัญทั้งหมดของตรีโกณมิติทำให้ต้องคำนวณพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักจากพารามิเตอร์ที่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม มีพารามิเตอร์ทั้งหมดหกตัว: ความยาวของสามด้านและขนาดของสามมุม ความแตกต่างทั้งหมดในงานอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่ามีการให้ข้อมูลอินพุตที่แตกต่างกัน

วิธีหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์จากความยาวของขาหรือด้านตรงข้ามมุมฉากที่ทราบ ตอนนี้คุณรู้แล้ว เนื่องจากเทอมเหล่านี้ไม่ได้มีความหมายอะไรมากไปกว่าอัตราส่วน และอัตราส่วนเป็นเศษส่วน เป้าหมายหลักการหารากของสมการธรรมดาหรือระบบสมการกลายเป็นปัญหาตรีโกณมิติ และที่นี่คุณจะได้รับความช่วยเหลือจากคณิตศาสตร์ของโรงเรียนทั่วไป

เราเริ่มศึกษาตรีโกณมิติด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก มานิยามกันว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร รวมทั้งแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ มุมแหลม. เหล่านี้เป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ

จำได้ว่า มุมฉากเป็นมุมเท่ากับ 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือครึ่งหนึ่งของมุมที่กางออก

มุมแหลม- น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน- มากกว่า 90 องศา ในความสัมพันธ์กับมุมดังกล่าว "ทื่อ" ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์ :-)

ลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มุมฉากมักจะแสดง โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมนั้นเขียนแทนด้วยตัวอักษรตัวเดียวกัน มีขนาดเล็กเท่านั้น ดังนั้นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม A จึงแสดงไว้

มุมเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีกที่สอดคล้องกัน

ด้านตรงข้ามมุมฉากสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ขา- ด้านตรงข้ามมุมแหลมคม

ขาตรงข้ามมุมเรียกว่า ตรงข้าม(เทียบกับมุม). ขาอีกข้างหนึ่งนอนตะแคงข้างหนึ่งเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาตรงข้ามกับที่อยู่ติดกัน:

คำจำกัดความอื่น (เทียบเท่า): แทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมหนึ่งต่อโคไซน์ของมัน:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม (หรืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์เท่ากัน):

ให้ความสนใจกับอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ซึ่งแสดงไว้ด้านล่าง จะเป็นประโยชน์ต่อเราในการแก้ปัญหา

มาพิสูจน์กันสักหน่อย

เอาล่ะเราได้ให้คำจำกัดความและสูตรที่เป็นลายลักษณ์อักษรแล้ว แต่ทำไมเราถึงต้องการไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์?

เรารู้ว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ คือ.

เรารู้ความสัมพันธ์ระหว่าง ปาร์ตี้สามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ปรากฎว่ารู้สองมุมในรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถหามุมที่สามได้ เมื่อรู้สองด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถหาด้านที่สามได้ ดังนั้น สำหรับมุม - อัตราส่วน สำหรับด้าน - ของมันเอง แต่จะทำอย่างไรถ้ารู้มุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ยกเว้นมุมขวา) และด้านใดด้านหนึ่ง แต่คุณต้องหาด้านอื่น

นี่คือสิ่งที่ผู้คนเผชิญในอดีต ทำแผนที่ของพื้นที่และท้องฟ้าเต็มไปด้วยดวงดาว ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถวัดทุกด้านของสามเหลี่ยมได้โดยตรงเสมอไป

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม- ให้อัตราส่วนระหว่าง ปาร์ตี้และ มุมสามเหลี่ยม. รู้มุมก็หาได้หมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติตามตารางพิเศษ และเมื่อรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่ง คุณสามารถหาส่วนที่เหลือได้

เราจะวาดตารางค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จาก ถึง

สังเกตเครื่องหมายขีดสีแดงสองอันในตาราง สำหรับค่าที่สอดคล้องกันของมุม ไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

มาวิเคราะห์ปัญหาตรีโกณมิติจากงาน Bank of FIPI กัน

1. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ , . หา .

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสี่วินาที

เพราะว่า , .

2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ , , . หา .

มาหาทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน

แก้ไขปัญหา.

บ่อยครั้งในปัญหามีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม และ หรือ กับมุม และ . จดจำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขาด้วยใจ!

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามมุมที่เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและเป็นหน้าจั่ว ด้านตรงข้ามมุมฉากมีขนาดใหญ่กว่าขาหลายเท่า

เราพิจารณาปัญหาในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ การหาด้านหรือมุมที่ไม่รู้จัก แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ที่ ใช้ตัวเลือกในวิชาคณิตศาสตร์ มีปัญหามากมายที่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์ของมุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป

คำถามที่พบบ่อย

เป็นไปได้ไหมที่จะทำตราประทับบนเอกสารตามตัวอย่างที่ให้มา? ตอบ ใช่มันเป็นไปได้ ส่งสำเนาหรือภาพถ่ายที่สแกนไปยังที่อยู่อีเมลของเรา อย่างดีและเราจะทำสำเนาที่จำเป็น

คุณยอมรับการชำระเงินประเภทใด? ตอบ คุณสามารถชำระเงินค่าเอกสาร ณ เวลาที่ได้รับโดยผู้จัดส่ง หลังจากที่คุณตรวจสอบความถูกต้องของการกรอกและคุณภาพของประกาศนียบัตรแล้ว สามารถทำได้ที่สำนักงานของ บริษัท ไปรษณีย์ที่ให้บริการเก็บเงินปลายทาง
เงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินของเอกสารทั้งหมดได้อธิบายไว้ในส่วน "การชำระเงินและการจัดส่ง" นอกจากนี้เรายังพร้อมรับฟังข้อเสนอแนะของคุณเกี่ยวกับเงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินค่าเอกสาร

ฉันสามารถแน่ใจได้ว่าหลังจากทำการสั่งซื้อ คุณจะไม่หายไปพร้อมกับเงินของฉัน? ตอบ เรามีประสบการณ์ค่อนข้างยาวนานในด้านการผลิตประกาศนียบัตร เรามีเว็บไซต์หลายแห่งที่มีการปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง ผู้เชี่ยวชาญของเราทำงานในส่วนต่างๆ ของประเทศ โดยผลิตเอกสารมากกว่า 10 ฉบับต่อวัน ตลอดหลายปีที่ผ่านมา เอกสารของเราได้ช่วยเหลือผู้คนจำนวนมากในการแก้ปัญหาการจ้างงานหรือย้ายไปยังงานที่ได้ค่าตอบแทนที่สูงขึ้น เราได้รับความไว้วางใจและการยอมรับจากลูกค้า ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่เราจะทำเช่นนี้อย่างแน่นอน ยิ่งกว่านั้นมันเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำมันทางกายภาพ: คุณชำระเงินสำหรับการสั่งซื้อของคุณในขณะที่ได้รับมันในมือของคุณไม่มีการชำระเงินล่วงหน้า

ฉันสามารถสั่งซื้อประกาศนียบัตรจากมหาวิทยาลัยใด ๆ ได้หรือไม่? ตอบ โดยทั่วไปใช่ เราทำงานในพื้นที่นี้มาเกือบ 12 ปีแล้ว ในช่วงเวลานี้ มีการสร้างฐานข้อมูลเอกสารที่ออกโดยมหาวิทยาลัยเกือบทั้งหมดในประเทศและต่างประเทศเกือบทั้งหมด ปีต่าง ๆการออก เพียงคุณเลือกมหาวิทยาลัย สาขาพิเศษ เอกสาร และกรอกแบบฟอร์มสั่งซื้อ

ฉันควรทำอย่างไรหากพบการพิมพ์ผิดและข้อผิดพลาดในเอกสาร ตอบ เมื่อได้รับเอกสารจากบริษัทจัดส่งหรือบริษัทไปรษณีย์ของเรา เราขอแนะนำให้คุณตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมดอย่างรอบคอบ หากพบการพิมพ์ผิด ข้อผิดพลาด หรือความไม่ถูกต้อง คุณมีสิทธิ์ที่จะไม่รับประกาศนียบัตร และคุณต้องระบุข้อบกพร่องที่พบเป็นการส่วนตัวต่อผู้จัดส่งหรือเป็นลายลักษณ์อักษรโดยส่งจดหมายไปที่ อีเมล.
ที่ โดยเร็วที่สุดเราจะแก้ไขเอกสารและส่งใหม่ไปยังที่อยู่ที่ระบุ แน่นอน ค่าขนส่งจะจ่ายโดยบริษัทของเรา
เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดดังกล่าว ก่อนกรอกแบบฟอร์มต้นฉบับ เราจะส่งเค้าโครงของเอกสารในอนาคตไปยังอีเมลของลูกค้าเพื่อตรวจสอบและอนุมัติเวอร์ชันสุดท้าย ก่อนส่งเอกสารทางไปรษณีย์หรือทางไปรษณีย์ เรายังถ่ายภาพและวิดีโอเพิ่มเติม (รวมถึงแสงอัลตราไวโอเลตด้วย) เพื่อให้คุณเห็นภาพว่าคุณจะได้อะไรในที่สุด

คุณต้องทำอย่างไรเพื่อสั่งซื้อประกาศนียบัตรจากบริษัทของคุณ? ตอบ ในการสั่งซื้อเอกสาร (ใบรับรอง อนุปริญญา ใบรับรองการศึกษา ฯลฯ) คุณต้องกรอกแบบฟอร์มการสั่งซื้อออนไลน์บนเว็บไซต์ของเราหรือให้อีเมลของคุณ เพื่อที่เราจะส่งแบบฟอร์มแบบสอบถามซึ่งคุณต้องกรอกและส่ง กลับมาหาเรา
หากคุณไม่ทราบว่าต้องระบุอะไรในช่องใดๆ ของแบบฟอร์มคำสั่งซื้อ/แบบสอบถาม ให้เว้นว่างไว้ ดังนั้นเราจะชี้แจงข้อมูลที่ขาดหายไปทั้งหมดทางโทรศัพท์

บทวิจารณ์ล่าสุด

อเล็กซี่:

ฉันจำเป็นต้องได้รับประกาศนียบัตรเพื่อจะได้งานเป็นผู้จัดการ และที่สำคัญ ผมมีทั้งประสบการณ์และทักษะ แต่ไม่มีเอกสารที่ทำไม่ได้ ผมก็จะได้งานทำ เมื่ออยู่บนไซต์ของคุณ ฉันยังตัดสินใจซื้อประกาศนียบัตร ประกาศนียบัตรเสร็จใน 2 วัน! ตอนนี้มีงานที่ไม่คาดฝันมาก่อนแล้ว!! ขอขอบคุณ!