För originalbilden har alltså originalet formen

Detta resultat sammanfaller med (23).

3. Hitta en lösning på differentialekvationen
, som uppfyller initialvillkoren y(0) = y"(0) = 0.

För att lösa detta problem använder vi Duhamel-integralen. Låt oss hitta en lösning först
differentialekvation
. Motsvarande operatorekvation för bilden
har formen

eller
. Härifrån finner vi

. Vi representerar det resulterande bråket som summan av enkla bråk
. Låt oss hitta koefficienterna
. För att göra detta reducerar vi bråken på höger sida till en gemensam nämnare och får täljarnas likhet

För att hitta koefficienterna använder vi först metoden för partiella värden. Låt oss sätta
. Då får vi
. Låt oss sätta
. Då får vi
. För att bestämma värdet likställa koefficienterna vid graden vänster och höger i (24):
. Därav,
. Därför ser bilden ut
. Enligt tabellen finner vi motsvarande original
.. härifrån

. (25)

I enlighet med formel (13), lösningen av den ursprungliga differentialekvationen
är en integral

, (26)

- (27)

den högra sidan av den ursprungliga ekvationen. Observera att i (26) används symmetriegenskapen för faltningen av två funktioner.

Genom att ersätta (25) och (27) i (26) får vi

Därav,

. (28)

Låt oss lösa det här problemet med Mathcad

Beteckna
genom
(kom ihåg att i Mathcad den komplexa variabeln betecknas med )

Låt oss hitta originalet
, sen Lägg
och hitta derivatan med avseende på från funktion

Beräkna
, var
är den högra sidan av den ursprungliga ekvationen.

Den högra sidan kan förenklas

Detta resultat sammanfaller med uttryck (28) som erhållits tidigare.

Med tanke på att faltningen av två funktioner inte beror på deras ordning, kan vi också beräkna
enligt formel (26) i formuläret

Resultatet är ett ganska krångligt uttryck. Vi presenterar liknande termer i detta uttryck och förenklar resultatet

Detta resultat reduceras också till formen (28)

4. Lös Cauchy-problemet med den operativa metoden:

(29)

(30)

Beslut. Givet att,

,

vi får operatorekvationen i formen

Härifrån bilden

(31)

Polynom
har rötter
,
, och därför uttrycket för
efter att ha förenklat summan av de första och sista bråken, omvandlas den till formen

(32)

För att få originalet
för bild
, måste du dekomponera bråken som ingår i (32) till enkla. Låt oss hitta denna expansion med Mathcad

I många problem med matematisk analys betraktas situationer där varje punkt i ett utrymme är tilldelat någon punkt i ett annat (eller samma) utrymme. Rum kan vara abstrakta, där "punkter" faktiskt är funktioner. Överensstämmelsen mellan två punkter upprättas med hjälp av en transformation eller operator. Operatörsteoriuppgiften omfattar en detaljerad beskrivning och klassificering av olika typer av transformationer och deras egenskaper, samt utveckling av symboliska metoder som möjliggör minimering och förenkling av beräkningar. Vanligtvis tillämpas operatorteori på utrymmen där addition eller multiplikation av poäng är tillåten, d.v.s. linjära utrymmen, grupper, ringar, fält osv.

Problem och applikationer.

Låt vara D och Rär verkliga linjära eller vektorrum, inte nödvändigtvis distinkta. Deras element är vektorer, så summan av två element och produkten av ett element med en skalär definieras och uppfyller de vanliga villkoren för vektorer. Förekomsten av ändliga baser i D och R inte nödvändigt. Låt vara r, en vektor av R, motsvarar vektorn d från D. Vi betecknar denna korrespondens T(d) = r eller Td = r. Sedan T kallas en domänoperator D och räckvidd R. Operatör Tär distribuerande om

var λ och λ" är några reella tal, och d och d"- eventuella element från D. Om en D och Rär topologiska vektorrum där λd och d+d"är kontinuerliga operationer, då kallas en distributiv kontinuerlig operator en linjär operator. Om en F innehåller D och R, då T 2 (d) är definierad som T(T(d)) och definieras på liknande sätt T n(d) om alla dessa operationer är vettiga.

Operationell kalkyl gör det möjligt att utföra abstrakta problemformuleringar och att generalisera sådana grenar av matematisk analys som teorin om differentialekvationer och integralekvationer. Moderna problem med kvantteorin har blivit en kraftfull stimulans för utvecklingen av operatorteorin. De mest fullständiga resultaten har erhållits för distributionsoperatörer i den sk. Hilbert utrymme. Intresset för detta område är till stor del förknippat med representationen av sådana operatörer genom integrerade transformationer.

Två viktiga distributionsoperatörer är differentieringsoperatörerna sid och integration sid-ett . Element av linjära utrymmen D och R i detta fall kommer det att finnas funktioner av variabeln x. Vi har

var m och när icke-negativa heltal. Eftersom integration leder till uppkomsten av en godtycklig konstant, sid –1 sidär inte nödvändigtvis samma operation sid 0 . De formella reglerna för att kombinera sådana operatörer går tillbaka till J. Boole (1815–1864); Till exempel,

I Heaviside-kalkylen, utvecklad av O. Heaviside (1850–1925), rymden D begränsad till omfattningen av funktioner f(x), identiskt lika med noll för negativ x. Huvudrollen spelas av funktionen 1( x), lika med 0 för negativ x och 1 för icke-negativa x. Här är några "regler" för Heaviside-kalkylen:

Om en n! byt ut gammafunktionen Г( n+ 1), så förblir den första av reglerna giltig för icke-heltal n(definition av gammafunktionen centimeter. FUNGERA).

Huvudresultatet av operationskalkylen anses vara satsen om sammansättning, eller faltning, enligt vilken, om F 1 (sid)1(x) = f 1 (x) och F 2 (sid)1(x) = f 2 (x), då

Att tillämpa faltningssatsen på p a på a≠ 0, –1, –2,..., man kan definiera bråkordningsintegration eller differentiering. Tänk till exempel på uttrycket

var är funktionen y(x) och dess första n– 1 derivat försvinner när x= 0. Låt y(x) = Y(sid)1(x), g(x) = G(sid)1(x). Acceptera

Låt oss låtsas som det f(x) = F(sid) –1 1(x). Sedan

Standardreglerna inkluderar olika algoritmer relaterade till elementär bråkexpansion av rationella funktioner i asymptotiska serier, etc. På praktiken y(x) = Y(sid)1(x) skrivs ofta som y(x) ~ Y(sid) eller .

Teorin om funktioner för en sluten cykel av W. Volterra (1860–1940) leder till samma allmänna resultat. Liknande teorier har konstruerats för andra operatörer, till exempel för x(d/dx) och för mer generella situationer med flera operationer, Volterra, Pinkerle och andra. För tillämpade matematiker är den största fördelen med Heavisides operationella kalkyl minskningen av transcendentala problem med en oberoende variabel x till algebraiska problem för funktioner beroende på sid. Oftast används Heaviside-metoden för att lösa differentialekvationer med konstanta koefficienter, differensekvationer och integralekvationer med en kärna K(x, t) = K(x – t). I det allmänna fallet, när metoderna för operationskalkyl utvidgas till mer komplexa ekvationer, går karaktären av "ren algebraisering" förlorad.

Rigorös motivering av förhållandet F(sid)1(x) = f (x) har givits i termer av Laplace- eller Fourier-integraltransformerna, eller abstrakt, i termer av operatorer på vissa linjära topologiska utrymmen, såsom Hilbert-rummet. Detta tillvägagångssätt gjorde det möjligt att fastställa villkoren för tillämpligheten av heuristiska regler.

Hur man löser en differentialekvation
operativ kalkyl?

I den här lektionen kommer en typisk och utbredd uppgift med komplex analys att analyseras i detalj - hitta en speciell lösning av DE av andra ordningen med konstanta koefficienter med metoden för operationskalkyl. Om och om igen befriar jag dig från fördomen att materialet är otänkbart komplext och otillgängligt. Det är roligt, men för att bemästra exemplen kanske du inte kan särskilja, integrera och ens inte veta vad komplexa tal. Kräver applikationsskicklighet metod för obestämda koefficienter, som diskuteras i detalj i artikeln Integration av rationella bråkfunktioner. Faktum är att hörnstenen i uppdraget är de vanliga algebraiska operationerna, och jag är säker på att materialet är tillgängligt även för en skolbarn.

Först, kortfattad teoretisk information om det avsnitt av matematisk analys som övervägs. Huvudpoäng operativ kalkyl består av följande: funktion giltig variabel med hjälp av den så kallade Laplace förvandlas visas i fungera integrerad variabel :

Terminologi och notation:
funktionen kallas original-;
funktionen kallas bild;
stor bokstav betecknar Laplace transformation.

Enkelt uttryckt, enligt vissa regler, måste en verklig funktion (original) omvandlas till en komplex funktion (bild). Pilen indikerar denna transformation. Och de "vissa reglerna" i sig är det Laplace transformation, som vi bara kommer att överväga formellt, vilket kommer att räcka för att lösa problem.

Den omvända Laplace-transformen är också möjlig när bilden konverteras till originalet:

Varför är allt detta nödvändigt? I ett antal problem med högre matematik kan det vara mycket fördelaktigt att byta från original till bilder, eftersom i det här fallet är lösningen på problemet avsevärt förenklad (bara skojar). Och bara ett av dessa problem kommer vi att överväga. Om du har levt för att se den operativa kalkylen, bör formuleringen vara bekant för dig:

Hitta en speciell lösning av en inhomogen andra ordningens ekvation med konstanta koefficienter för givna initiala villkor.

Notera: ibland kan differentialekvationen vara homogen: , för det i ovanstående formulering är metoden för operationell kalkyl också tillämplig. Dock i praktiska exempel homogen DE av andra ordningenär extremt sällsynt, och vidare kommer vi att prata om icke-homogena ekvationer.

Och nu kommer den tredje metoden att analyseras - lösningen av DE med hjälp av operationskalkyl. Än en gång betonar jag det faktum att det handlar om att hitta en speciell lösning, Förutom, de initiala villkoren har strikt formen("X:n" är lika med noll).

Förresten, om "Xet". Ekvationen kan skrivas om i följande form:
, där "x" är en oberoende variabel och "y" är en funktion. Jag talar inte om detta av en slump, eftersom andra bokstäver oftast används i det aktuella problemet:

Det vill säga, rollen för den oberoende variabeln spelas av variabeln "te" (istället för "x"), och rollen för funktionen spelas av variabeln "x" (istället för "y")

Jag förstår att det är obekvämt, naturligtvis, men det är bättre att hålla sig till notationen som finns i de flesta problemböcker och manualer.

Så vår uppgift med andra bokstäver är skriven enligt följande:

Hitta en speciell lösning av en inhomogen andra ordningens ekvation med konstanta koefficienter för givna initiala villkor .

Innebörden av uppgiften har inte förändrats alls, bara bokstäverna har ändrats.

Hur löser man detta problem med metoden för operationell kalkyl?

Först och främst behöver du tabell över original och bilder. Detta är ett viktigt beslutsverktyg, och du kan inte klara dig utan det. Försök därför om möjligt att skriva ut det angivna referensmaterialet. Jag kommer omedelbart att förklara vad bokstaven "pe" betyder: en komplex variabel (istället för den vanliga "ze"). Även om detta faktum inte är särskilt viktigt för att lösa problem, är "pe" så "pe".

Med hjälp av tabellen måste originalen förvandlas till några bilder. Detta följs av en serie typiska åtgärder, och den omvända Laplace-transformen används (även i tabellen). Således kommer den önskade specifika lösningen att hittas.

Alla uppgifter, vilket är trevligt, löses enligt en ganska stel algoritm.

Exempel 1

, ,

Beslut: I det första steget kommer vi att flytta från originalen till motsvarande bilder. Låt oss använda vänster sida.

Låt oss först ta itu med den vänstra sidan av den ursprungliga ekvationen. För Laplace-förvandlingen, linjäritetsregler, så vi ignorerar alla konstanter och arbetar separat med funktionen och dess derivator.

Enligt tabellformeln nr 1 transformerar vi funktionen:

Enligt formel nr 2 , med hänsyn till det initiala villkoret , vänder vi derivatan:

Enligt formel nr 3, givet de initiala förhållandena, vänder vi den andra derivatan:

Bli inte förvirrad av tecken!

Jag erkänner att det är mer korrekt att inte säga "formler", utan "omvandlingar", men för enkelhetens skull kommer jag då och då att kalla fyllningen av tabellformler.

Låt oss nu ta itu med den högra sidan, som innehåller polynomet. På grund av detsamma linjäritetsregler Laplace transformerar, vi arbetar med varje term för sig.

Vi tittar på den första termen: - detta är den oberoende variabeln "te", multiplicerad med en konstant. Ignorera konstanten och, med hjälp av punkt nr 4 i tabellen, utför omvandlingen:

Vi tittar på den andra terminen: -5. När en konstant hittas ensam är det inte längre möjligt att hoppa över den. Med en enda konstant gör de detta: för tydlighetens skull kan den representeras som en produkt: , och en transformation tillämpas på enheten:

Således, för alla element (original) i differentialekvationen, med hjälp av tabellen, hittas motsvarande bilder:

Ersätt de hittade bilderna i den ursprungliga ekvationen:

Nästa uppgift är att uttrycka operatörens beslut genom allt annat, nämligen genom en bråkdel. I det här fallet är det lämpligt att följa följande procedur:

Öppna först fästena på vänster sida:

Vi ger liknande termer på vänster sida (om några). Lägg i så fall till siffrorna -2 och -3. Dummies rekommenderar starkt att inte hoppa över detta steg:

Till vänster lämnar vi termerna som är närvarande, vi överför de återstående termerna till höger med ett teckenbyte:

På vänster sida tar vi ut operatörslösningen, på höger sida tar vi uttrycket till en gemensam nämnare:

Polynomet till vänster bör faktoriseras (om möjligt). Vi löser andragradsekvationen:

Således:

Vi återställer till nämnaren på höger sida:

Målet är uppnått - operatörslösningen uttrycks i termer av en bråkdel.

Åtgärd två. Använder sig av metod för obestämda koefficienter, operatorlösningen av ekvationen bör expanderas till en summa av elementära bråk:

Jämför koefficienterna vid motsvarande potenser och lös systemet:

Om det finns några svårigheter med snälla ta reda på artiklarna Integration av en bråk-rationell funktion och Hur löser man ett ekvationssystem? Detta är mycket viktigt eftersom fraktionering är i huvudsak den viktigaste delen av problemet.

Så, koefficienterna hittas: , och operatörslösningen visas framför oss i demonterad form:

Observera att konstanterna inte skrivs i täljare av bråk. Denna form av skrivande är bättre än . Och det är mer lönsamt, eftersom den slutliga åtgärden kommer att ske utan förvirring och fel:

Det sista steget i uppgiften är att använda den omvända Laplace-transformen från bilderna till motsvarande original. Använd den högra kolumnen tabeller med original och bilder.

Kanske inte alla förstår förvandlingen. Här används formeln i punkt nr 5 i tabellen:. Om mer detaljerat: . För liknande fall kan formeln faktiskt ändras: . Ja, och alla tabellformlerna i stycke nr 5 är mycket lätta att skriva om på liknande sätt.

Efter den omvända övergången erhålls den önskade specifika lösningen av DE på ett silverfat med en blå kant:

Det var:

Det blev:

Svar: privat lösning:

När tiden tillåter är det alltid lämpligt att utföra en kontroll. Kontrollen utförs enligt standardschemat, som redan har beaktats i lektionen. Inhomogena differentialekvationer av 2:a ordningen. Låt oss upprepa:

Låt oss kontrollera uppfyllandet av det ursprungliga villkoret:
- Gjort.

Låt oss hitta den första derivatan:

Låt oss kontrollera uppfyllandet av det andra initiala villkoret:
- Gjort.

Låt oss hitta den andra derivatan:

Ersättning , och till vänster om den ursprungliga ekvationen:

Den högra sidan av den ursprungliga ekvationen erhålls.

Slutsats: uppgiften genomfördes korrekt.

Ett litet exempel att lösa på egen hand:

Exempel 2

Använd operationskalkyl för att hitta en speciell lösning av en differentialekvation för givna initiala förhållanden.

Ett exempel på en avslutande uppgift i slutet av lektionen.

Den vanligaste gästen i differentialekvationer, som många länge har märkt, är exponenter, så låt oss titta på några exempel med dem, släktingar:

Exempel 3

, ,

Beslut: Med hjälp av Laplace transformeringstabellen (vänster sida av bordet) kommer vi att gå från originalen till motsvarande bilder.

Låt oss först titta på vänster sida av ekvationen. Det finns ingen första derivata. Tja, så vad? Bra. Mindre jobb. Med tanke på de initiala förhållandena, enligt tabellformler nr 1,3 hittar vi bilder:

Nu tittar vi på höger sida: - produkten av två funktioner. För att kunna utnyttja linjäritetsegenskaper Laplace transform, du måste öppna fästena: . Eftersom konstanterna finns i produkter, poängsätter vi dem, och med hjälp av grupp nr 5 av tabellformler hittar vi bilder:

Ersätt de hittade bilderna i den ursprungliga ekvationen:

Jag påminner dig om att nästa uppgift är att uttrycka operatörslösningen i termer av en enstaka bråkdel.

På vänster sida lämnar vi termerna som är närvarande, vi överför de återstående termerna till höger sida. Samtidigt, på höger sida, börjar vi sakta föra bråken till en gemensam nämnare:

Vi sätter det inom parentes till vänster, till höger tar vi uttrycket till en gemensam nämnare:

På vänster sida erhålls ett oupplösligt polynom. Om polynomet inte faktoriseras, måste han, den stackars, omedelbart kastas till botten av höger sida, efter att ha betonat sina ben i en bassäng. Och i täljaren, öppna parenteserna och ge liknande termer:

Det mest mödosamma skedet har kommit: metod för osäkra koefficienter vi expanderar operatorlösningen av ekvationen till en summa av elementära bråk:


Således:

Var uppmärksam på hur fraktionen sönderdelas: Jag ska snart förklara varför det är så.

Slutför: flytta från bilderna till motsvarande original, använd den högra kolumnen i tabellen:

I de två lägre transformationerna användes formlerna nr 6 och 7 i tabellen, och fraktionen utökades preliminärt bara för "justering" till tabelltransformationer.

Som ett resultat, en speciell lösning:

Svar:önskad speciell lösning:

Ett liknande exempel för en gör-det-själv-lösning:

Exempel 4

Hitta en speciell lösning av differentialekvationen med hjälp av operationskalkylmetoden.

Kort lösning och svar i slutet av lektionen.

I exempel 4 är ett av initialvillkoren noll. Detta förenklar verkligen lösningen, och det mest idealiska alternativet är när båda initiala villkoren är noll: . I det här fallet konverteras derivaten till bilder utan svansar:

Som redan nämnts är den svåraste tekniska aspekten av problemet expansionen av fraktionen metod för osäkra koefficienter, och jag har ganska tidskrävande exempel till mitt förfogande. Ändå kommer jag inte att skrämma någon med monster, låt oss överväga ett par mer typiska varianter av ekvationen:

Exempel 5

Använd metoden för operationskalkyl för att hitta en speciell lösning av differentialekvationen som uppfyller de givna initialvillkoren.
, ,

Beslut: Med hjälp av Laplace-transformeringstabellen, låt oss gå från originalen till motsvarande bilder. Med tanke på de ursprungliga förutsättningarna :

Det är inga problem med höger sida heller:

(Jag påminner dig om att multiplikatorkonstanter ignoreras)

Låt oss ersätta de resulterande bilderna i den ursprungliga ekvationen och utföra standardåtgärderna, som jag hoppas att du redan har fungerat bra:

Vi tar ut konstanten i nämnaren utanför bråket, viktigast av allt, glöm inte det:

Jag funderade på om jag skulle ta ut en extra deuce från täljaren, men efter att ha uppskattat kom jag till slutsatsen att detta steg praktiskt taget inte skulle förenkla det ytterligare beslutet.

En egenskap hos uppgiften är den resulterande bråkdelen. Det verkar som att dess nedbrytning kommer att bli lång och svår, men intrycket är vilseledande. Naturligtvis finns det svåra saker, men fortsätt i alla fall utan rädsla och tvivel:

Det faktum att vissa koefficienter visade sig vara bråkdelar borde inte vara pinsamt, denna situation är inte ovanlig. Om bara datortekniken inte misslyckades. Dessutom går det alltid att kontrollera svaret.

Som ett resultat, operatörslösningen:

Låt oss gå från bilderna till motsvarande original:

Så en privat lösning:

DRIFTSKALKULUS- en uppsättning metoder för tillämpad matematisk analys, som möjliggör ekonomisk och direkt leder till målet att erhålla lösningar på linjära differentialekvationer, såväl som differens och vissa typer av integralekvationer. I detta avseende används metoderna för operationskalkyl i stor utsträckning inom mekanik, elektroteknik, automation och i andra mycket olika grenar av vetenskap och teknik. Operationell kalkyl är baserad på idén om en funktionell transformation: en funktion av en reell variabel t, definierad för positiva värden av argumentet, kallad initialfunktion eller original, är associerad med en funktion av en annan variabel p, kallad bilden med hjälp av en linjär integrerad transformation. En liknande transformation "original - bild" kan utföras så att operationerna för differentiering och integration av de initiala funktionerna motsvarar algebraiska operationer i bildområdet. Detta gör det möjligt att, med hjälp av de enklaste algebraiska operationerna, hitta bilder av lösningar till de ursprungliga differentialekvationerna och sedan söka efter motsvarande initialfunktion, dvs lösningen utförs med hjälp av några enkla regler och en "katalog" över de mest ofta förekommande bilder. I mer komplexa uppgifter måste man ta till den omvända funktionella transformationen: bilden är originalet. De första verken ägnade åt operationskalkyl dök upp i mitten av förra seklet. Den ryske matematikern M. E. Vashchenko-Zakharchenko i monografin "Symbolic Calculus and its Application to the Integration of Linear Differential Equations", publicerad i Kiev 1862, satte och löste delvis huvudproblemen med metoden, som senare blev känd som den operativa. . Den systematiska tillämpningen av operationskalkyl för att lösa fysiska och tekniska problem började med uppkomsten 1892 av den engelska vetenskapsmannen O. Heavisides arbete. Kärnan i den operativa kalkylen kan illustreras med ett exempel med klassen av initiala bitvis-kontinuerliga funktioner f(t) av en reell variabel t, som oftast påträffas i tillämpade problem, definierade vid tt<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)|< Ме s o t , где М и s o är tal oberoende av t. Om p=s+iσ är något komplext tal, då under de angivna begränsningarna som åläggs funktionen f(t), integralen

existerar och representerar en reguljär funktion av p i halvplanet Re p>s o, kallad Laplace-integralen av funktionen f(t).
Funktionen F (p) införd av lagen:

kallas bilden av den initiala funktionen eller originalet f(t). Ett antal bildegenskaper (**), till exempel bilden av derivatan f' (t):

och bilder av integralen

göra det uppenbart att transformationen (*) översätter operationerna differentiering och integration till operationer av multiplikation och division med den komplexa variabeln p. Med hjälp av bildens grundläggande egenskaper sammanställs bilder av några av de enklaste funktionerna - en "katalog" av bilder. "Katalogen" av bilder av de enklaste funktionerna och Heavisides nedbrytningssatser, som gör det möjligt att hitta den initiala funktionen när bilden F (p) är ett polynom eller ett förhållande mellan två polynom, möjliggör det enklaste sättet att hitta en lösning på en stor grupp vanliga linjära differential- och differensekvationer med konstanta koefficienter. Men många uppgifter leder till bilder som inte kan reduceras till de i "katalogen". Det finns ett allmänt sätt att konstruera en initial funktion från dess bild - den så kallade Riemann-Mellin-inversionsformeln.