När är derivatan av en funktion negativ? Funktionsderivata. Betydelsen av derivatan av en funktion

I uppgift B9 ges en graf av en funktion eller derivata, från vilken det krävs för att bestämma en av följande storheter:

1. Värdet av derivatan vid någon punkt x 0,
2. Höga eller låga poäng (extrema poäng),
3. Intervaller för ökande och minskande funktioner (intervall av monotoni).

Funktionerna och derivatorna som presenteras i detta problem är alltid kontinuerliga, vilket avsevärt förenklar lösningen. Trots att uppgiften tillhör sektionen av matematisk analys ligger den helt inom makten för även de svagaste eleverna, eftersom det inte finns några djupa teoretisk kunskap krävs inte här.

För att hitta värdet på derivatan, extrema punkter och monotonisitetsintervall finns det enkla och universella algoritmer- alla kommer att diskuteras nedan.

Läs noggrant igenom villkoret för problem B9 för att inte göra dumma misstag: ibland uppstår ganska omfattande texter, men det finns få viktiga förhållanden som påverkar lösningens gång.

Beräkning av värdet på derivatan. Tvåpunktsmetod

Om problemet ges en graf av funktionen f(x), som tangerar denna graf vid någon punkt x 0 , och det krävs för att hitta värdet på derivatan vid denna punkt, tillämpas följande algoritm:

1. Hitta två "tillräckliga" punkter på tangentgrafen: deras koordinater måste vara heltal. Låt oss beteckna dessa punkter som A (x 1 ; y 1) och B (x 2 ; y 2). Skriv ner koordinaterna korrekt - detta är nyckelpunkten i lösningen, och alla misstag här leder till fel svar.
2. Genom att känna till koordinaterna är det lätt att beräkna ökningen av argumentet Δx = x 2 − x 1 och ökningen av funktionen Δy = y 2 − y 1 .
3. Slutligen finner vi värdet av derivatan D = Δy/Δx. Med andra ord måste du dividera funktionen inkrement med argumentet inkrement - och detta kommer att vara svaret.

Återigen noterar vi: punkterna A och B måste sökas exakt på tangenten, och inte på grafen för funktionen f(x), som ofta är fallet. Tangenten kommer nödvändigtvis att innehålla minst två sådana punkter, annars är problemet felaktigt formulerat.

Betrakta punkterna A (−3; 2) och B (−1; 6) och hitta stegen:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Låt oss hitta värdet på derivatan: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Uppgift. Figuren visar grafen för funktionen y \u003d f (x) och tangenten till den vid punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 .

Tänk på punkterna A (0; 3) och B (3; 0), hitta steg:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Nu hittar vi värdet på derivatan: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Uppgift. Figuren visar grafen för funktionen y \u003d f (x) och tangenten till den vid punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 .

Tänk på punkterna A (0; 2) och B (5; 2) och hitta stegen:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Det återstår att hitta värdet på derivatan: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Från det sista exemplet kan vi formulera regeln: om tangenten är parallell med OX-axeln är derivatan av funktionen vid tangentpunkten lika med noll. I det här fallet behöver du inte ens beräkna någonting - titta bara på grafen.

Beräknar höga och låga punkter

Ibland ges istället för en graf av en funktion i uppgift B9 en graf av derivatan och det krävs för att hitta max- eller minimumpunkten för funktionen. I det här scenariot är tvåpunktsmetoden värdelös, men det finns en annan, ännu enklare algoritm. Låt oss först definiera terminologin:

1. Punkten x 0 kallas maximipunkten för funktionen f(x) om följande olikhet gäller i någon omgivning av denna punkt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkten x 0 kallas minimipunkten för funktionen f(x) om följande olikhet gäller i någon omgivning av denna punkt: f(x 0) ≤ f(x).

För att hitta maximi- och minimumpunkterna på grafen för derivatan räcker det att utföra följande steg:

1. Rita om grafen för derivatan och ta bort all onödig information. Som praxis visar stör extra data bara beslutet. Därför markerar vi nollorna för derivatan på koordinataxeln - och det är allt.
2. Ta reda på tecknen för derivatan på intervallen mellan nollor. Om det för någon punkt x 0 är känt att f'(x 0) ≠ 0, så är bara två alternativ möjliga: f'(x 0) ≥ 0 eller f'(x 0) ≤ 0. Tecknet för derivatan är lätt att avgöra från den ursprungliga ritningen: om derivationsgrafen ligger ovanför OX-axeln, då f'(x) ≥ 0. Omvänt, om derivationsgrafen ligger under OX-axeln, då f'(x) ≤ 0.
3. Vi kontrollerar återigen nollorna och tecknen för derivatan. Där tecknet ändras från minus till plus finns en minimipunkt. Omvänt, om tecknet för derivatan ändras från plus till minus, är detta maxpunkten. Räkningen görs alltid från vänster till höger.

Detta schema fungerar endast för kontinuerliga funktioner - det finns inga andra i problem B9.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på segmentet [−5; 5]. Hitta minimipunkten för funktionen f(x) på detta segment.

Låt oss bli av med onödig information - vi lämnar bara gränserna [−5; 5] och nollorna för derivatan x = −3 och x = 2,5. Notera också tecknen:

Uppenbarligen, vid punkten x = −3, ändras derivatans tecken från minus till plus. Detta är minimipunkten.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på segmentet [−3; 7]. Hitta maxpunkten för funktionen f(x) på detta segment.

Låt oss rita om grafen och lämna bara gränserna [−3; 7] och nollorna för derivatan x = −1,7 och x = 5. Notera derivatans tecken på den resulterande grafen. Vi har:

Uppenbarligen, vid punkten x = 5, ändras tecknet för derivatan från plus till minus - detta är maxpunkten.

Uppgift. Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−6; 4]. Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) som hör till segmentet [−4; 3].

Det följer av villkoren för problemet att det är tillräckligt att endast beakta den del av grafen som begränsas av segmentet [−4; 3]. Därför bygger vi nytt schema, där vi bara markerar gränserna [−4; 3] och nollorna för derivatan inuti den. Nämligen punkterna x = −3,5 och x = 2. Vi får:

På den här grafen finns det bara en maxpunkt x = 2. Det är i den som derivatans tecken ändras från plus till minus.

En liten anteckning om punkter med icke-heltalskoordinater. Till exempel, i det sista problemet, övervägdes punkten x = −3,5, men med samma framgång kan vi ta x = −3,4. Om problemet är korrekt skrivet bör sådana ändringar inte påverka svaret, eftersom punkterna "utan särskild plats bostad” inte tar direkt del i att lösa problemet. Naturligtvis, med heltalspunkter kommer ett sådant trick inte att fungera.

Att hitta intervall för ökning och minskning av en funktion

I ett sådant problem, som punkterna för maximum och minimum, föreslås det att hitta områden där själva funktionen ökar eller minskar från grafen för derivatan. Låt oss först definiera vad stigande och fallande är:

1. En funktion f(x) kallas ökande på ett segment om för två punkter x 1 och x 2 från detta segment påståendet är sant: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Med andra ord, ju större värdet på argumentet, desto större värdet på funktionen.
2. En funktion f(x) kallas minskande på ett segment om för två punkter x 1 och x 2 från detta segment påståendet är sant: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). De där. större värde argumentet motsvarar det mindre värdet av funktionen.

Vi formulerar tillräckliga förutsättningar för att öka och minska:

1. För att en kontinuerlig funktion f(x) ska öka på segmentet räcker det att dess derivata inuti segmentet är positiv, d.v.s. f'(x) ≥ 0.
2. För att en kontinuerlig funktion f(x) ska minska på segmentet räcker det att dess derivata inuti segmentet är negativ, d.v.s. f'(x) ≤ 0.

Vi accepterar dessa påståenden utan bevis. Således får vi ett schema för att hitta intervall för ökning och minskning, som på många sätt liknar algoritmen för att beräkna extremumpunkter:

1. Ta bort all överflödig information. På den ursprungliga grafen för derivatan är vi främst intresserade av funktionens nollor, så vi lämnar bara dem.
2. Markera derivatans tecken med intervallen mellan nollor. Där f'(x) ≥ 0 ökar funktionen och där f'(x) ≤ 0 minskar den. Om problemet har begränsningar för variabeln x, markerar vi dem dessutom på det nya diagrammet.
3. Nu när vi känner till funktionens beteende och begränsningen återstår det att beräkna det erforderliga värdet i problemet.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på segmentet [−3; 7,5]. Hitta intervallen för minskande funktion f(x). I ditt svar skriver du summan av heltal som ingår i dessa intervall.

Som vanligt ritar vi om grafen och markerar gränserna [−3; 7,5], samt nollorna för derivatan x = −1,5 och x = 5,3. Sedan markerar vi derivatans tecken. Vi har:

Eftersom derivatan är negativ på intervallet (− 1,5), är detta intervallet för minskande funktion. Det återstår att summera alla heltal som finns inom detta intervall:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på segmentet [−10; 4]. Hitta intervallen för ökande funktion f(x). I ditt svar skriver du längden på den största av dem.

Låt oss bli av med överflödig information. Vi lämnar bara gränserna [−10; 4] och nollor på derivatan, som denna gång visade sig vara fyra: x = −8, x = −6, x = −3 och x = 2. Notera derivatans tecken och få följande bild:

Vi är intresserade av intervallerna för ökande funktion, d.v.s. där f'(x) ≥ 0. Det finns två sådana intervall på grafen: (−8; −6) och (−3; 2). Låt oss beräkna deras längder:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Eftersom det krävs att hitta längden på det största av intervallen, skriver vi värdet l 2 = 5 som svar.

Funktionsforskning. I den här artikeln kommer vi att prata om uppgifter där funktioner övervägs och i tillståndet finns det frågor relaterade till deras studie. Tänk på de viktigaste teoretiska punkterna som du behöver känna till och förstå för att lösa dem.

Detta är hela gruppen uppgifter som ingår i provet i matematik. Vanligtvis ställs frågan om att hitta de maximala (minsta) poängen eller att bestämma det största (minsta) värdet på en funktion på ett givet intervall.Anses vara:

— Makt och irrationella funktioner.

— Rationella funktioner.

— Studie av verk och privat.

— Logaritmiska funktioner.

— Trigonometriska funktioner.

Om du förstår teorin om gränser, begreppet en derivata, egenskaperna hos en derivata för att studera grafer av funktioner och dess , kommer sådana problem inte att orsaka dig några svårigheter och du kommer att lösa dem med lätthet.

Informationen nedan är teoretiska punkter, vars förståelse kommer att göra det möjligt att inse hur man löser sådana problem. Jag kommer att försöka uttrycka dem på ett sådant sätt att även de som missade detta ämne eller studerade det dåligt kunde lösa sådana problem utan större svårighet.

I denna grupps problem krävs det, som redan nämnts, att antingen hitta funktionens lägsta (högsta) punkt eller funktionens största (minsta) värde på intervallet.

Minsta och högsta poäng.Derivategenskaper.

Betrakta grafen för funktionen:

Punkt A är maxpunkten, på intervallet från O till A ökar funktionen, på intervallet från A till B minskar den.

Punkt B är en minimipunkt, på intervallet från A till B minskar funktionen, på intervallet från B till C ökar den.

Vid dessa punkter (A och B) försvinner derivatan (lika med noll).

Tangenterna vid dessa punkter är parallella med axeln oxe.

Jag kommer att tillägga att de punkter där funktionen ändrar sitt beteende från att öka till att minska (och vice versa, från att minska till att öka) kallas extrema.

Viktig poäng:

1. Derivatan på ökande intervall har ett positivt tecken (nNär ett värde från intervallet ersätts med derivatan erhålls ett positivt tal).

Detta innebär att om derivatan vid en viss punkt från ett visst intervall har positivt värde, då ökar grafen för funktionen på detta intervall.

2. På intervallen av minskande har derivatan ett negativt tecken (när värdet från intervallet ersätts med derivatuttrycket erhålls ett negativt tal).

Så om derivatan vid en viss punkt från något intervall har ett negativt värde, så minskar grafen för funktionen på detta intervall.

Detta måste klargöras!

Genom att beräkna derivatan och likställa den med noll kan du alltså hitta punkter som delar upp den reella axeln i intervall.På vart och ett av dessa intervall kan du bestämma tecknet för derivatan och sedan dra en slutsats om dess ökning eller minskning.

* Separat bör det sägas om de punkter där derivatan inte existerar. Till exempel kan vi få en derivata vars nämnare försvinner vid ett visst x. Det är tydligt att för ett sådant x existerar inte derivatan. Så denna punkt måste också beaktas när man bestämmer intervallen för ökning (minskning).

Funktionen vid punkter där derivatan är lika med noll ändrar inte alltid sitt tecken. Detta kommer att vara separat artikel. Det kommer inte att finnas några sådana uppgifter på själva USE.

Ovanstående egenskaper är nödvändiga för att studera beteendet hos en funktion när den ökar och minskar.

Vad mer du behöver veta för att lösa de specificerade problemen: tabellen över derivat och reglerna för differentiering. Ingenting utan detta. Detta är grundläggande kunskap, i ämnet för derivatan. Du bör känna till derivatorna av elementära funktioner mycket väl.

Beräkna derivatan av en komplex funktionf(g(x)), föreställ dig funktioneng(x) är en variabel och beräkna sedan derivatanf’(g(x)) med tabellformler som en vanlig derivata av en variabel. Multiplicera sedan resultatet med derivatan av funktioneng(x) .

Se en videohandledning av Maxim Semenikhin om en komplex funktion:

Problem med att hitta högsta och lägsta poäng

Algoritmen för att hitta de maximala (minsta) punkterna för funktionen:

1. Hitta derivatan av funktionen f’(x).

2. Hitta nollorna för derivatan (genom att likställa derivatan med noll f’(x)=0 och lös den resulterande ekvationen). Vi hittar också punkter där derivatan inte finns(i synnerhet gäller detta bråk-rationella funktioner).

3. Vi markerar de erhållna värdena på tallinjen och bestämmer tecknen för derivatan på dessa intervall genom att ersätta värdena från intervallen i derivatuttrycket.

Utgången kommer att vara en av två:

1. Maxpunkten är punktendär derivatan ändras från positiv till negativ.

2. Minsta poäng är poängendär derivatan ändras från negativ till positiv.

Problem med att hitta det största eller minsta värdet

fungerar på intervallet.

I en annan typ av problem krävs det att man hittar den största eller minsta värde fungerar på ett givet intervall.

Algoritmen för att hitta det största (minsta) funktionsvärdet:

1. Bestäm om det finns maximala (minsta) poäng. För att göra detta hittar vi derivatan f’(x) , lös sedan f’(x)=0 (punkt 1 och 2 från föregående algoritm).

2. Vi avgör om de erhållna poängen tillhör ett givet intervall och skriver ner de som ligger inom det.

3. Vi ersätter i den ursprungliga funktionen (inte i derivatan, utan till den givna i villkoret) gränserna för det givna intervallet och punkterna (maximum-minimum) som ligger inom intervallet (punkt 2).

4. Vi beräknar funktionens värden.

5. Vi väljer det största (minsta) värdet från de erhållna, beroende på vilken fråga som ställdes i uppgiften, och skriver sedan ner svaret.

Fråga: Varför är det nödvändigt att leta efter maximala (minsta) poäng i problem med att hitta det största (minsta) värdet på en funktion?

Svaret illustreras bäst, se en schematisk representation av graferna som ges av funktionerna:

I fall 1 och 2 är det tillräckligt att ersätta gränserna för intervallet för att bestämma funktionens maximala eller lägsta värde. I fall 3 och 4 är det nödvändigt att hitta funktionens nollor (maximum-minimumpoäng). Om vi ​​ersätter gränserna för intervallet (utan att hitta funktionens nollor) får vi fel svar, detta kan ses av graferna.

Och grejen är att vi inte kan se hur diagrammet ser ut på intervallet (om det har ett maximum eller ett minimum inom intervallet) med en given funktion. Hitta därför nollorna för funktionen utan att misslyckas!!!

Om ekvationen f'(x)=0 inte kommer att ha en lösning, betyder det att det inte finns några max-minimumpunkter (Figur 1.2), och för att hitta den inställda uppgiften ersätts endast gränserna för intervallet i denna funktion.

Annan viktig poäng. Kom ihåg att svaret måste vara ett heltal eller ett ändligt decimal-. När du beräknar det största och minsta värdet på en funktion får du uttryck med talet e och pi, samt uttryck med en rot. Kom ihåg att du inte behöver beräkna dem till slutet, och det är klart att resultatet av sådana uttryck inte kommer att vara svaret. Om det finns en önskan att beräkna ett sådant värde, gör det då (siffror: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Jag skrev mycket, förmodligen förvirrad? Genom specifika exempel kommer du att se att allt är enkelt.

Därefter vill jag berätta en liten hemlighet. Faktum är att många uppgifter kan lösas utan att känna till egenskaperna hos derivatan och till och med utan reglerna för differentiering. Jag kommer definitivt att berätta om dessa nyanser och visa dig hur det går till? missa inte!

Men varför angav jag då teorin överhuvudtaget och sa också att den måste vara känd utan att misslyckas. Det stämmer - du måste veta. Om du förstår det, kommer ingen uppgift i detta ämne att förvirra dig.

Dessa "tricks" som du kommer att lära dig om kommer att hjälpa dig att lösa specifika (vissa) prototypproblem. TillSom ett extra verktyg är dessa tekniker naturligtvis bekväma att använda. Problemet kan lösas 2-3 gånger snabbare och spara tid för att lösa del C.

Med vänliga hälsningar!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om webbplatsen på sociala nätverk.

Det har skrivits mycket teori om geometrisk betydelse. Jag kommer inte att gå in på härledningen av funktionsökningen, jag kommer att påminna dig om det viktigaste för att slutföra uppgifter:

Derivatan vid x är vinkelkoefficient tangent till grafen för funktionen y \u003d f (x) vid denna punkt, det vill säga det är tangenten för lutningsvinkeln mot X-axeln.

Låt oss omedelbart ta uppgiften från provet och börja förstå den:

Uppgift nummer 1. Bilden visar funktionsgraf y = f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) vid punkten x0.
Vem har bråttom och inte vill förstå förklaringarna: bygg upp till vilken triangel som helst (som visas nedan) och dividera den stående sidan (vertikal) med den liggande (horisontella) så blir du glad om du inte glömmer tecknet (om linjen minskar (→ ↓), då svaret ska vara med ett minus, om linjen ökar (→), måste svaret vara positivt!)

Du måste hitta vinkeln mellan tangenten och X-axeln, låt oss kalla det α: dra en rät linje parallell med X-axeln var som helst genom tangenten till grafen, vi får samma vinkel.

Det är bättre att inte ta poängen x0, eftersom du behöver ett stort förstoringsglas för att bestämma de exakta koordinaterna.

Om vi ​​tar vilken rätvinklig triangel som helst (3 alternativ föreslås i figuren), finner vi tgα (vinklarna är lika, som motsvarande), d.v.s. vi får derivatan av funktionen f(x) i punkten x0. Varför då?

Om vi ​​ritar tangenter vid andra punkter x2, x1 osv. tangenterna kommer att vara annorlunda.

Låt oss gå tillbaka till 7:e klass för att bygga en rak linje!

Ekvationen för en rät linje ges av ekvationen y = kx + b , där

k - lutning i förhållande till X-axeln.

b är avståndet mellan skärningspunkten med Y-axeln och origo.

Derivatan av en rät linje är alltid densamma: y" = k.

Vid vilken punkt på linjen vi än tar derivatan kommer den att vara oförändrad.

Därför återstår bara att hitta tgα (som nämnts ovan: vi delar den stående sidan med den liggande sidan). Vi delar det motsatta benet med det intilliggande, vi får det k \u003d 0,5. Men om grafen minskar är koefficienten negativ: k = −0,5.

Jag råder dig att kolla andra sättet:
Två punkter kan användas för att definiera en rät linje. Hitta koordinaterna för två valfria punkter. Till exempel, (-2;-2) och (2;-4):

Ersätt i ekvationen y = kx + b istället för y och x punkternas koordinater:

-2 = -2k + b

När vi löser detta system får vi b = −3, k = −0,5

Slutsats: Den andra metoden är längre, men i den kommer du inte att glömma skylten.

Svar: - 0,5

Uppgift nummer 2. Bilden visar derivata graf funktioner f(x). Åtta punkter är markerade på x-axeln: x1, x2, x3, ..., x8. Hur många av dessa punkter ligger på intervallen för ökande funktion f(x)?

Om grafen för funktionen minskar - derivatan är negativ (och vice versa).

Om grafen för funktionen ökar är derivatan positiv (och vice versa).

Dessa två fraser hjälper dig att bestämma dig mest uppgifter.

Titta noga en ritning av en derivata eller en funktion ges till dig, och välj sedan en av två fraser.

Vi konstruerar en schematisk graf över funktionen. Därför att vi får en graf över derivatan, sedan där den är negativ minskar grafen för funktionen, där den är positiv ökar den!

Det visar sig att 3 punkter ligger på ökningsområdena: x4; x5; x6.

Svar: 3

Uppgift nummer 3. Funktionen f(x) definieras på intervallet (-6; 4). Bilden visar graf över dess derivata. Hitta abskissan för den punkt där funktionen får det största värdet.

Jag råder dig att alltid bygga hur funktionsgrafen går, med sådana pilar eller schematiskt med tecken (som i nr 4 och nr 5):

Uppenbarligen, om grafen ökar till -2, är maxpunkten -2.

Svar: -2

Uppgift nummer 4. Figuren visar en graf över funktionen f(x) och tolv punkter på x-axeln: x1, x2, ..., x12. Vid hur många av dessa punkter är derivatan av funktionen negativ?

Uppgiften är omvänd, med tanke på grafen för funktionen måste du schematiskt bygga hur grafen för funktionens derivata kommer att se ut, och beräkna hur många punkter som kommer att ligga i det negativa området.

Positivt: x1, x6, x7, x12.

Negativt: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Svar: 7

En annan typ av uppgift, på frågan om några fruktansvärda "ytterligheter"? Det kommer inte att vara svårt för dig att hitta vad det är, men jag kommer att förklara för graferna.

Uppgift nummer 5. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-16; 6). Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(x) på segmentet [-11; 5].

Notera intervallet från -11 till 5!

Låt oss vända våra ljusa ögon mot plattan: grafen för funktionens derivata är given => då är extremvärdena skärningspunkterna med X-axeln.

Svar: 3

Uppgift nummer 6. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f (x), definierad på intervallet (-13; 9). Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) på intervallet [-12; 5].

Notera intervallet från -12 till 5!

Du kan titta på plattan med ett öga, maxpunkten är ett extremum, så att innan den är derivatan positiv (funktionen ökar), och efter den är derivatan negativ (funktionen minskar). Dessa punkter är inringade.

Pilarna visar hur grafen för funktionen beter sig.

Svar: 3

Uppgift nummer 7. Figuren visar en graf över funktionen f(x) definierad på intervallet (-7; 5). Hitta antalet punkter där derivatan av funktionen f(x) är lika med 0.

Du kan titta på tabellen ovan (derivatan är noll, vilket betyder att dessa är extrema punkter). Och i det här problemet är grafen för funktionen given, vilket betyder att du måste hitta antal böjningspunkter!

Och du kan som vanligt: ​​vi bygger en schematisk graf av derivatan.

Derivatan är noll när grafen över funktioner ändrar riktning (från ökande till minskande och vice versa)

Svar: 8

Uppgift nummer 8. Bilden visar derivata graf funktion f(x) definierad på intervallet (-2; 10). Hitta intervallen för ökande funktion f(x). I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Låt oss bygga en schematisk graf över funktionen:

Där den ökar får vi 4 heltalspunkter: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Svar: 22

Uppgift nummer 9. Bilden visar derivata graf funktion f(x) definierad på intervallet (-6; 6). Hitta antalet punkter f(x) där tangenten till funktionens graf är parallell med eller sammanfaller med linjen y = 2x + 13.

Vi får en graf över derivatan! Det betyder att vår tangent också måste "översättas" till en derivata.

Tangentderivata: y" = 2.

Låt oss nu bygga båda derivaten:

Tangenterna skär varandra i tre punkter, så vårt svar är 3.

Svar: 3

Uppgift nummer 10. Figuren visar grafen för funktionen f (x), och punkterna -2, 1, 2, 3 är markerade. Vid vilken av dessa punkter är värdet på derivatan minst? Ange denna punkt i ditt svar.

Uppgiften är lite lik den första: för att hitta värdet på derivatan måste du bygga en tangent till denna graf vid en punkt och hitta koefficienten k.

Om linjen minskar, k< 0.

Om linjen ökar, k > 0.

Låt oss tänka på hur värdet på koefficienten kommer att påverka den raka linjens lutning:

Med k = 1 eller k = − 1 kommer grafen att ligga i mitten mellan x- och y-axlarna.

Ju närmare den räta linjen X-axeln är, desto närmare koefficienten k till noll.

Ju närmare linjen är Y-axeln, desto närmare koefficienten k är oändligheten.

Vid punkt -2 och 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>det är där det minsta värdet av derivatet kommer att vara

Svar: 1

Uppgift nummer 11. Linjen tangerar y = 3x + 9 till grafen för funktionen y = x³ + x² + 2x + 8 . Hitta abskissan för kontaktpunkten.

Linjen kommer att tangera grafen när graferna har gemensam punkt, såväl som deras derivat. Jämför ekvationerna för graferna och deras derivator:

När vi löser den andra ekvationen får vi 2 poäng. För att kontrollera vilken som är lämplig, byter vi ut vart och ett av x:en i den första ekvationen. Bara en klarar sig.

Jag vill inte lösa en kubikekvation alls, utan en kvadratisk för en söt själ.

Det är bara vad man ska skriva ner som svar, om man får två "normala" svar?

När du byter ut x (x) i de ursprungliga graferna y \u003d 3x + 9 och y \u003d x³ + x² + 2x + 8, bör du få samma Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Rätt! Så x=1 blir svaret

Uppgift nummer 12. Linjen y = − 5x − 6 tangerar grafen för funktionen ax² + 5x − 5 . Hitta en .

På liknande sätt likställer vi funktionerna och deras derivator:

Låt oss lösa detta system med avseende på variablerna a och x:

Svar: 25

Uppgiften med derivat anses vara en av de svåraste i den första delen av provet, men med en liten mängd uppmärksamhet och förståelse för frågan kommer du att lyckas, och du kommer att höja procentandelen av slutförandet av denna uppgift!

Examensarbete i ANVÄND formulär för 11-klassare innehåller det nödvändigtvis uppgifter för att beräkna gränser, intervaller för att minska och öka derivatan av en funktion, hitta extrema punkter och rita grafer. En god kunskap om detta ämne gör att du kan svara korrekt på flera frågor i provet och inte uppleva svårigheter med vidare yrkesutbildning.

Grunderna differentialkalkyl ett av matematikens huvudteman modern skola. Hon studerar användningen av derivatan för att studera beroenden av variabler – det är genom derivatan som man kan analysera ökningen och minskningen av en funktion utan att hänvisa till ritningen.

Omfattande förberedelse av akademiker för klara provet på utbildningsportal"Shkolkovo" kommer att hjälpa till att djupt förstå principerna för differentiering - att förstå teorin i detalj, att studera exempel på lösningar typiska uppgifter och prova på självständigt arbete. Vi hjälper dig att eliminera kunskapsluckor - för att förtydliga din förståelse av ämnets lexikaliska begrepp och beroenden av kvantiteter. Eleverna kommer att kunna upprepa hur man hittar intervall av monotoni, vilket innebär att derivatan av en funktion stiger eller faller på ett visst intervall, när gränspunkterna är inkluderade och inte inkluderade i de hittade intervallen.

Innan du börjar med den direkta lösningen av tematiska problem rekommenderar vi att du först går till avsnittet "Teoretisk referens" och upprepar definitionerna av begrepp, regler och tabellformler. Här kan du också läsa hur du hittar och registrerar varje intervall av ökande och minskande funktioner på derivatagrafen.

All information som erbjuds presenteras i den mest tillgängliga formen för att förstå praktiskt taget från grunden. Sajten tillhandahåller material för perception och assimilering i flera olika former– läsning, videotittande och direktutbildning under ledning av erfarna lärare. Professionella pedagoger de kommer att berätta i detalj hur du hittar intervallen för ökning och minskning av derivatan av en funktion med hjälp av analytiska och grafiska metoder. Under webinarierna kommer det att vara möjligt att ställa alla frågor av intresse både i teorin och för att lösa specifika problem.

Kom ihåg huvudpunkterna i ämnet, titta på exemplen på att öka derivatan av en funktion, liknande uppgifterna för examensalternativen. För att konsolidera det du har lärt dig, titta på "Katalogen" - här hittar du praktiska övningar för självständigt arbete. Uppgifter i avsnittet är valda olika nivåer svårighet när det gäller kompetensutveckling. Till var och en av dem bifogas till exempel lösningsalgoritmer och korrekta svar.

Genom att välja avsnittet "Konstruktör" kommer eleverna att kunna träna på att studera ökningen och minskningen av derivatan av en funktion på verklig ANVÄND alternativ, ständigt uppdaterad med hänsyn tagen senaste ändringarna och innovation.

På ett givet intervall har funktionen 2 maximum och 2 minimum, för totalt 4 ytterligheter. Uppgift Figuren visar en graf över derivatan av en funktion definierad på ett intervall. Lösning På ett givet intervall är derivatan av funktionen positiv, så funktionen ökar på detta intervall. Lösning Om derivatan vid något tillfälle är lika med noll, och i dess grannskap byter tecken, så är detta en extrempunkt.

Beräkning av värdet på derivatan. Tvåpunktsmetod

1. Utforska funktionen med hjälp av grafen för derivatan. Funktionen y=f(x) minskar med intervallen (x1;x2) och (x3;x4). Med hjälp av grafen för derivatan y=f ‘(x) kan du också jämföra värdena för funktionen y=f(x).

Låt oss beteckna dessa punkter som A (x1; y1) och B (x2; y2). Skriv ner koordinaterna korrekt - detta är nyckelpunkten i lösningen, och alla misstag här leder till fel svar.

PÅ fysiskt sinne derivat är förändringshastigheten för en process. Materialpunkten rör sig rätlinjigt enligt lagen x(t) = t²-13t+23, där x är avståndet från referenspunkten i meter, t är tiden i sekunder mätt från början av rörelsen.

Tangent till en cirkel, ellips, hyperbel, parabel.

Låt mig påminna dig om att det låter så här: en funktion kallas att öka/minska på intervallet om funktionens större argument motsvarar ett större/mindre värde på funktionen. Men titta, snälla, på din lösning på problem 7089. Där, när du anger ökningsintervall, ingår inte gränserna. Observera att grafen för derivatan är given. Som vanligt: ​​den punkterade punkten ligger inte på diagrammet, värdena i den finns inte och beaktas inte. Välförberedda barn skiljer mellan begreppen "derivata" och "andra derivata". Du förvirrar: om derivatan vändes till 0, kan funktionen vid den punkten ha ett minimum eller maximum. Negativa värden derivatan motsvarar de intervall på vilka funktionen f(x) minskar.

Fram till denna punkt har vi varit engagerade i att hitta ekvationerna för tangenter till grafer envärdiga funktioner av formen y = f(x) vid olika punkter.

Figuren nedan visar tre faktiskt olika sekanter (punkterna A och B är olika), men de sammanfaller och ges av en ekvation. Men ändå, om vi utgår från definitionen, så sammanfaller linjen och dess sekantlinje. Låt oss börja hitta koordinaterna för beröringspunkterna. Var uppmärksam på det, för senare kommer vi att använda det när vi beräknar ordinaterna för beröringspunkterna. En hyperbel med ett centrum i en punkt och hörn och ges av likhet (figuren nedan till vänster), och med hörn och - likhet (figuren nedan till höger). En logisk fråga uppstår, hur man avgör vilken av funktionerna en punkt tillhör. För att svara på det sätter vi in ​​koordinaterna i varje ekvation och ser vilken av likheterna som blir till en identitet.

Ibland frågar eleverna vad som är tangenten till grafen för en funktion. Detta är en rät linje som har den enda gemensamma punkten med grafen i detta avsnitt, dessutom, som visas i vår figur. Det ser ut som en tangent till en cirkel. Låt oss hitta. Vi minns att tangenten spetsig vinkel i rät triangel lika med förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande. På grafen motsvarar detta ett skarpt brott, när det är omöjligt att rita en tangent vid en given punkt. Men hur hittar man derivatan om funktionen inte ges av en graf, utan av en formel?