Sinus är positivt. trigonometrisk cirkel. Grundläggande värden för trigonometriska funktioner

På 500-talet f.Kr. formulerade den antika grekiske filosofen Zeno av Elea sina berömda aporier, varav den mest kända är aporian "Akilles och sköldpaddan". Så här låter det:

Låt oss säga att Akilles springer tio gånger snabbare än sköldpaddan och är tusen steg bakom den. Under tiden som Akilles springer denna sträcka, kryper sköldpaddan hundra steg åt samma håll. När Akilles har sprungit hundra steg kommer sköldpaddan att krypa ytterligare tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta på obestämd tid, Achilles kommer aldrig ikapp sköldpaddan.

Detta resonemang blev en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alla ansåg de, på ett eller annat sätt, Zenons aporier. Chocken var så stark att " ... diskussionerna fortsätter för närvarande för att komma fram till en gemensam uppfattning om paradoxernas väsen vetenskapliga samfundet hittills har det inte varit möjligt ... matematisk analys, mängdlära, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt var inblandade i studiet av frågan; ingen av dem blev en universellt accepterad lösning på problemet ..."[Wikipedia," Zenos Aporias "]. Alla förstår att de blir lurade, men ingen förstår vad bedrägeriet är.

Ur matematikens synvinkel visade Zeno i sin aporia tydligt övergången från värdet till. Denna övergång innebär att tillämpa istället för konstanter. Såvitt jag förstår har den matematiska apparaten för att tillämpa variabla måttenheter antingen inte utvecklats ännu, eller så har den inte tillämpats på Zenons aporia. Tillämpningen av vår vanliga logik leder oss in i en fälla. Vi, genom tänkandets tröghet, tillämpar konstanta tidsenheter på det ömsesidiga. Ur fysisk synvinkel ser det ut som att tiden saktar ner till helt stopp i det ögonblick då Akilles kommer ikapp sköldpaddan. Om tiden stannar kan Akilles inte längre köra om sköldpaddan.

Vänder vi på logiken vi är vana vid faller allt på plats. Akilles springer i konstant hastighet. Varje efterföljande segment av dess väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen är tiden för att övervinna det tio gånger mindre än den föregående. Om vi ​​tillämpar begreppet "oändlighet" i den här situationen, så skulle det vara korrekt att säga "Akilles kommer oändligt snabbt att gå om sköldpaddan."

Hur undviker man denna logiska fälla? Förbli i konstanta tidsenheter och byt inte till ömsesidiga värden. På Zenos språk ser det ut så här:

På den tid det tar Akilles att springa tusen steg, kryper sköldpaddan hundra steg åt samma håll. Under nästa tidsintervall, lika med det första, kommer Akilles att springa ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att krypa hundra steg. Nu är Akilles åttahundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver på ett adekvat sätt verkligheten utan några logiska paradoxer. Men det är det inte komplett lösning Problem. Einsteins uttalande om ljusets hastighets oöverstiglighet är mycket lik Zenons aporia "Akilles och sköldpaddan". Vi har ännu inte studerat, omprövat och löst detta problem. Och lösningen måste sökas inte i oändligt stora antal, utan i måttenheter.

En annan intressant aporia av Zeno berättar om en flygande pil:

En flygande pil är orörlig, eftersom den vid varje tidpunkt är i vila, och eftersom den är i vila vid varje tidpunkt, är den alltid i vila.

I denna aporia logisk paradox det övervinns väldigt enkelt - det räcker för att klargöra att den flygande pilen vid varje ögonblick vilar på olika punkter i rymden, vilket i själva verket är rörelse. Det finns en annan punkt att notera här. Från ett fotografi av en bil på vägen är det omöjligt att avgöra vare sig rörelsen eller avståndet till den. För att fastställa faktumet av bilens rörelse behövs två fotografier tagna från samma punkt vid olika tidpunkter, men de kan inte användas för att bestämma avståndet. För att bestämma avståndet till bilen behöver du två fotografier tagna från olika punkter i rymden samtidigt, men du kan inte bestämma rörelsen från dem (naturligtvis behöver du fortfarande ytterligare data för beräkningar, trigonometri hjälper dig). Vad vill jag fokusera på Särskild uppmärksamhet, är att två punkter i tid och två punkter i rymden är olika saker som inte bör förväxlas, eftersom de ger olika möjligheter till utforskning.

Onsdagen den 4 juli 2018

Mycket bra beskrivs skillnaderna mellan set och multiset i Wikipedia. Vi kollar.

Som du kan se kan "uppsättningen inte ha två identiska element", men om det finns identiska element i uppsättningen kallas en sådan uppsättning "multiset". Liknande absurditetslogik kännande varelser aldrig förstå. Detta är nivån av pratande papegojor och tränade apor, där sinnet är frånvarande från ordet "helt". Matematiker fungerar som vanliga tränare och predikar sina absurda idéer för oss.

En gång i tiden befann sig ingenjörerna som byggde bron i en båt under bron under testerna av bron. Om bron kollapsade, dog den mediokra ingenjören under spillrorna av sin skapelse. Om bron kunde stå emot belastningen byggde den begåvade ingenjören andra broar.

Oavsett hur matematiker gömmer sig bakom frasen "mind me, I'm in the house", eller snarare "matematiken studerar abstrakta begrepp", så finns det en navelsträng som oupplösligt förbinder dem med verkligheten. Den här navelsträngen är pengar. Låt oss tillämpa matematisk mängdlära på matematikerna själva.

Vi studerade matematik väldigt bra och nu sitter vi vid kassan och betalar löner. Här kommer en matematiker till oss för sina pengar. Vi räknar hela beloppet till honom och lägger ut det på vårt bord i olika högar, i vilka vi lägger sedlar av samma valör. Sedan tar vi en sedel från varje hög och ger matematikern hans "matematiska löneuppsättning". Vi förklarar matematiken att han kommer att få resten av räkningarna först när han bevisar att mängden utan identiska element inte är lika med mängden med identiska element. Det är här det roliga börjar.

Först och främst kommer ställföreträdarnas logik att fungera: "du kan tillämpa det på andra, men inte på mig!" Vidare börjar försäkringar att det finns olika sedelnummer på sedlar med samma valör, vilket innebär att de inte kan anses vara identiska element. Jo, vi räknar lönen i mynt – det finns inga siffror på mynten. Här kommer matematikern att krampaktigt börja återkalla fysik: olika mynt tillgängliga olika mängd smuts, kristallstruktur och atomarrangemang för varje mynt är unik...

Och nu har jag mest intresse Fråga: var går gränsen bortom vilken element i en multiset förvandlas till element i en mängd och vice versa? En sådan linje finns inte - allt bestäms av shamaner, vetenskapen här är inte ens nära.

Titta här. Vi väljer fotbollsarenor med samma planyta. Arean av fälten är densamma, vilket betyder att vi har en multiset. Men om vi tänker på namnen på samma arenor får vi mycket, eftersom namnen är olika. Som du kan se är samma uppsättning element både en uppsättning och en multiuppsättning på samma gång. Hur rätt? Och här tar matematiker-shaman-shuller fram ett trumfess ur ärmen och börjar berätta antingen om en set eller en multiset. Han kommer i alla fall att övertyga oss om att han har rätt.

För att förstå hur moderna shamaner arbetar med mängdteori och binder den till verkligheten räcker det med att svara på en fråga: hur skiljer sig elementen i en uppsättning från elementen i en annan uppsättning? Jag ska visa dig, utan någon "tänkbar som inte en enda helhet" eller "inte tänkbar som en enda helhet."

Söndagen den 18 mars 2018

Summan av siffrorna i ett nummer är en dans av shamaner med en tamburin, som inte har något med matematik att göra. Ja, på matematiklektionerna lär vi oss att hitta summan av siffrorna i ett tal och använda den, men de är shamaner för det, för att lära sina ättlingar deras färdigheter och visdom, annars kommer shamaner helt enkelt att dö ut.

Behöver du bevis? Öppna Wikipedia och försök hitta sidan "Summan av siffror för ett tal". Hon finns inte. Det finns ingen formel i matematik med vilken du kan hitta summan av siffrorna i vilket tal som helst. Siffror är trots allt grafiska symboler som vi skriver siffror med, och på matematikens språk låter uppgiften så här: "Hitta summan av grafiska symboler som representerar vilket tal som helst." Matematiker kan inte lösa detta problem, men shamaner kan göra det elementärt.

Låt oss ta reda på vad och hur vi gör för att hitta summan av siffrorna i ett givet tal. Och så, låt oss säga att vi har numret 12345. Vad behöver göras för att hitta summan av siffrorna i detta nummer? Låt oss överväga alla steg i ordning.

1. Skriv ner numret på ett papper. Vad har vi gjort? Vi har konverterat numret till en grafisk nummersymbol. Detta är inte en matematisk operation.

2. Vi klippte en mottagen bild i flera bilder med separata nummer. Att klippa en bild är inte en matematisk operation.

3. Konvertera enskilda grafiska tecken till siffror. Detta är inte en matematisk operation.

4. Lägg ihop de resulterande siffrorna. Nu är det matematik.

Summan av siffrorna för numret 12345 är 15. Dessa är "klipp- och sykurserna" från shamaner som används av matematiker. Men det är inte allt.

Ur matematikens synvinkel spelar det ingen roll i vilket talsystem vi skriver talet. Så i olika talsystem kommer summan av siffrorna i samma nummer att vara olika. Inom matematiken anges siffersystemet som en sänkning till höger om numret. Med ett stort antal 12345 Jag vill inte lura mitt huvud, tänk på siffran 26 från artikeln om. Låt oss skriva detta tal i binära, oktala, decimala och hexadecimala talsystem. Vi kommer inte att överväga varje steg under ett mikroskop, det har vi redan gjort. Låt oss titta på resultatet.

Som du kan se, i olika talsystem är summan av siffrorna i samma nummer olika. Detta resultat har ingenting med matematik att göra. Det är samma sak som om du skulle få helt andra resultat när du bestämmer arean av en rektangel i meter och centimeter.

Noll i alla talsystem ser likadant ut och har ingen siffror. Detta är ytterligare ett argument för det faktum att . En fråga till matematiker: hur betecknas det i matematiken det som inte är ett tal? Vad, för matematiker, finns inget annat än siffror? För shamaner kan jag tillåta detta, men för vetenskapsmän, nej. Verkligheten handlar inte bara om siffror.

Det erhållna resultatet bör betraktas som ett bevis på att talsystem är måttenheter för tal. Vi kan trots allt inte jämföra siffror med olika måttenheter. Om samma handlingar med olika måttenheter av samma kvantitet leder till olika resultat efter att ha jämfört dem, så har det inget med matematik att göra.

Vad är riktig matematik? Detta är när resultatet av en matematisk åtgärd inte beror på värdet på talet, den använda måttenheten och på vem som utför denna åtgärd.

Skylt på dörren Öppnar dörren och säger:

aj! Är inte det här damtoaletten?
- Ung kvinna! Detta är ett laboratorium för att studera själarnas obestämda helighet vid uppstigning till himlen! Nimbus på toppen och pil upp. Vilken annan toalett?

Hona... En gloria på toppen och en pil ner är hane.

Om du har ett sådant designkonstverk som blinkar framför dina ögon flera gånger om dagen,

Då är det inte förvånande att du plötsligt hittar en konstig ikon i din bil:

Själv anstränger jag mig för att se minus fyra grader hos en bajsande person (en bild) (sammansättning av flera bilder: minustecken, nummer fyra, gradersbeteckning). Och jag anser inte att den här tjejen är en dåre som inte kan fysik. Hon har bara en bågestereotyp av uppfattning om grafiska bilder. Och matematiker lär oss detta hela tiden. Här är ett exempel.

1A är inte "minus fyra grader" eller "ett a". Det här är en "bajsande man" eller siffran "tjugosex" in hexadecimalt system beräkning. De människor som ständigt arbetar i detta nummersystem uppfattar automatiskt siffran och bokstaven som en grafisk symbol.

Låter dig fastställa ett antal karakteristiska resultat - egenskaper hos sinus, cosinus, tangent och cotangens. I den här artikeln kommer vi att titta på tre huvudegenskaper. Den första av dem indikerar tecknen för sinus, cosinus, tangent och cotangens för vinkeln α, beroende på vilken koordinatkvartsvinkel som är α. Därefter överväger vi periodicitetsegenskapen, som fastställer invariansen av värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för vinkeln α när denna vinkel ändras med ett heltal av varv. Den tredje egenskapen uttrycker förhållandet mellan värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för motsatta vinklar α och −α.

Om du är intresserad av egenskaperna hos funktionerna sinus, cosinus, tangent och cotangens, kan de studeras i motsvarande avsnitt av artikeln.

Sidnavigering.

Tecken på sinus, cosinus, tangent och cotangens i fjärdedelar

Nedan i detta stycke återfinns frasen "vinkel I, II, III och IV för koordinatkvartalet". Låt oss förklara vad dessa hörn är.

Låt oss ta en enhetscirkel, markera startpunkten A(1, 0) på den och rotera den runt punkten O med en vinkel α, medan vi antar att vi kommer till punkten A 1 (x, y) .

Det säger de vinkeln α är vinkeln I , II , III , IV för koordinatfjärdedelen om punkt A 1 ligger i I, II, III, IV respektive fjärdedelar; om vinkeln α är sådan att punkten A 1 ligger på någon av koordinatlinjerna Ox eller Oy , så hör denna vinkel inte till någon av de fyra fjärdedelarna.

För tydlighetens skull presenterar vi en grafisk illustration. Ritningarna nedan visar rotationsvinklar på 30 , -210 , 585 och -45 grader, vilka är vinklarna I , II , III respektive IV för koordinatfjärdelarna.

hörn 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grader hör inte till något av koordinatkvarteren.

Låt oss nu ta reda på vilka tecken som har värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för rotationsvinkeln α, beroende på vilken kvartsvinkel som är α.

För sinus och cosinus är detta enkelt att göra.

Per definition är sinus för vinkeln α ordinatan för punkten A 1 . Det är uppenbart att i I- och II-koordinatkvarteren är det positivt, och i III- och IV-kvarteren är det negativt. Således har sinus för vinkeln α ett plustecken i I- och II-fjärdedelar och ett minustecken i III- och VI-fjärdedelar.

I sin tur är cosinus för vinkeln α abskissan för punkten A 1 . I I och IV kvartal är det positivt, och i II och III kvartal är det negativt. Därför är värdena för cosinus för vinkeln α i I- och IV-fjärdelarna positiva, och i II- och III-fjärdelarna är de negativa.

För att bestämma tecknen med fjärdedelar av tangent och cotangens, måste du komma ihåg deras definitioner: tangent är förhållandet mellan ordinatan för punkt A 1 och abskissan, och cotangens är förhållandet mellan abskissan för punkt A 1 och ordinatan. Sedan från nummerdelningsregler med samma och olika tecken, följer att tangenten och cotangensen har ett plustecken när abskissan och ordinattecken för punkt A 1 är lika, och har ett minustecken när abskissan och ordinatan för punkt A 1 är olika. Därför har vinkelns tangent och cotangens ett +-tecken i I- och III-koordinatfjärdelarna och ett minustecken i II- och IV-fjärdelarna.

Faktum är att till exempel i första kvartalet är både abskissan x och ordinatan y för punkt A 1 positiva, då är både kvoten x/y och kvoten y/x positiva, därför har tangenten och cotangensen +-tecken . Och i andra kvartalet är abskissan x negativ, och ordinatan y är positiv, därför är både x / y och y / x negativa, varav tangenten och cotangensen har ett minustecken.

Låt oss gå vidare till nästa egenskap av sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Periodicitetsegenskap

Nu ska vi analysera, kanske, den mest uppenbara egenskapen hos sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel. Den består av följande: när vinkeln ändras med ett heltal av hela varv, ändras inte värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för denna vinkel.

Detta är förståeligt: ​​när vinkeln ändras med ett heltal av varv kommer vi alltid att komma från startpunkten A till punkten A 1 på enhetscirkeln, därför förblir värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens oförändrade, eftersom koordinaterna för punkten A 1 är oförändrade.

Med hjälp av formler kan den betraktade egenskapen för sinus, cosinus, tangens och cotangens skrivas på följande sätt: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , där α är vridningsvinkeln i radianer, z är vilken som helst , vars absolutvärde anger antalet hela varv med vilka vinkeln α ändras, och tecknet för siffran z anger riktningssvängen.

Om rotationsvinkeln α anges i grader, kommer dessa formler att skrivas om som sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(a+360° z)=ctga.

Låt oss ge exempel på användningen av denna fastighet. Till exempel, , som , a . Här är ett annat exempel: eller .

Denna egenskap, tillsammans med reduktionsformler, används mycket ofta när man beräknar värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för "stora" vinklar.

Den betraktade egenskapen för sinus, cosinus, tangent och cotangens kallas ibland för periodicitetsegenskapen.

Egenskaper för sinus, cosinus, tangenter och cotangenter för motsatta vinklar

Låt А 1 vara den punkt som erhålls som ett resultat av rotationen av initialpunkten А(1, 0) runt punkten O med vinkeln α , och punkten А 2 är resultatet av rotationen av punkten А med vinkeln −α motsatt vinkeln α .

Egenskapen för sinus, cosinus, tangenter och cotangenter av motsatta vinklar är baserad på ett ganska uppenbart faktum: punkterna A 1 och A 2 som nämnts ovan antingen sammanfaller (at) eller är placerade symmetriskt kring axeln Ox. Det vill säga, om punkt A 1 har koordinater (x, y) så kommer punkt A 2 att ha koordinater (x, −y) . Härifrån, enligt definitionerna av sinus, cosinus, tangent och cotangens, skriver vi likheterna och .
Genom att jämföra dem kommer vi fram till relationer mellan sinus, cosinus, tangenter och cotangenter av motsatta vinklar α och −α av formen .
Detta är den betraktade egenskapen i form av formler.

Låt oss ge exempel på användningen av denna fastighet. Till exempel jämställdheterna och .

Det återstår bara att notera att egenskapen för sinus, cosinus, tangenter och cotangens av motsatta vinklar, som den tidigare egenskapen, ofta används vid beräkning av värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens, och låter dig komma helt undan. från negativa vinklar.

Bibliografi.

• Algebra: Proc. för 9 celler. snitt skola / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Upplysning, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 celler. Allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14:e uppl.- M.: Upplysning, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M.I. Algebra och början av analys: Proc. för 10-11 celler. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Upplysningen, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Olika. Några av dem handlar om i vilka kvartal cosinus är positivt och negativt, i vilka kvartal är sinus positivt och negativt. Allt visar sig vara enkelt om du vet hur man beräknar värdet av dessa funktioner i olika vinklar och är bekant med principen att plotta funktioner på en graf.

Vilka är värdena för cosinus

Om vi ​​tänker på så har vi följande bildförhållande, som bestämmer det: vinkelns cosinus aär förhållandet mellan det intilliggande benet BC och hypotenusan AB (Fig. 1): cos a= BC/AB.

Med samma triangel kan du hitta sinus för vinkeln, tangenten och cotangens. Sinus kommer att vara förhållandet mellan den motsatta benvinkeln AC och hypotenusan AB. Tangensen för en vinkel hittas om sinus för den önskade vinkeln divideras med cosinus för samma vinkel; genom att ersätta motsvarande formler för att hitta sinus och cosinus, får vi att tg a\u003d AC / BC. Cotangensen, som en funktion invers till tangenten, kommer att hittas så här: ctg a= BC/AC.

Det vill säga, för samma värden på vinkeln fann man att i en rätvinklig triangel är bildförhållandet alltid detsamma. Det verkar som att det blev tydligt var dessa värden kommer ifrån, men varför erhålls negativa siffror?

För att göra detta måste du överväga triangeln i det kartesiska koordinatsystemet, där det finns både positiva och negativa värden.

Klart om kvarteren, var är vilken

Vad är kartesiska koordinater? Om vi ​​pratar om tvådimensionellt rum har vi två riktade linjer som skär varandra i punkten O - detta är abskissaxeln (Ox) och ordinataaxeln (Oy). Från punkten O i den räta linjens riktning finns positiva tal, och in baksidan- negativ. I slutändan beror det direkt på detta i vilka kvartal cosinus är positiv respektive i vilka den är negativ.

Första kvarten

Om placerad rät triangel under det första kvartalet (från 0 o till 90 o), där x- och y-axlarna har positiva värden(segment AO och VO ligger på axlarna där värdena har ett "+"-tecken), då kommer både sinus och cosinus också att ha positiva värden, och de tilldelas ett värde med ett plustecken. Men vad händer om du flyttar triangeln till andra kvartalet (från 90 o till 180 o)?

Andra kvarten

Vi ser att längs y-axeln fick AO-benet negativ betydelse. Cosinus av en vinkel a har nu denna sida i förhållande till minus, och därför blir dess slutvärde negativt. Det visar sig att i vilken fjärdedel cosinus är positiv beror på placeringen av triangeln i det kartesiska koordinatsystemet. Och i det här fallet får vinkelns cosinus ett negativt värde. Men för sinus har ingenting förändrats, eftersom för att bestämma dess tecken behövs sidan av OB, som i det här fallet förblev med ett plustecken. Låt oss sammanfatta de två första kvartalen.

För att ta reda på i vilka fjärdedelar cosinus är positivt och i vilket det är negativt (liksom sinus och andra trigonometriska funktioner), är det nödvändigt att titta på vilket tecken som tilldelas ett eller annat ben. För cosinus av en vinkel a AO-benet är viktigt, för sinus - OB.

Det första kvartalet har hittills blivit det enda som svarar på frågan: "I vilka kvartal är sinus och cosinus positiva samtidigt?". Låt oss se vidare om det kommer att finnas fler sammanträffanden i dessa två funktioners tecken.

Under andra kvartalet började AO-benet ha ett negativt värde, vilket gör att cosinus blev negativ. Ett positivt värde lagras för sinus.

tredje kvartalet

Nu har båda benen AO och OB blivit negativa. Kom ihåg förhållandena för cosinus och sinus:

Cos a \u003d AO / AB;

Synda en \u003d BO / AB.

AB har alltid ett positivt tecken i ett givet koordinatsystem, eftersom det inte är riktat till någon av de två sidorna som definieras av axlarna. Men benen har blivit negativa, vilket betyder att resultatet för båda funktionerna också är negativt, för om du utför multiplikation eller division med tal, bland vilka en och bara en har ett minustecken, så blir resultatet också med detta tecken .

Resultat i detta skede:

1) I vilket kvartal är cosinus positiv? I den första av tre.

2) I vilket kvartal är sinus positiv? I första och andra av tre.

Fjärde kvartalet (från 270 o till 360 o)

Här får AO-benet igen plustecknet, och därmed även cosinus.

För sinus är saker fortfarande "negativa", eftersom benet OB förblev under startpunkten O.

fynd

För att förstå i vilka fjärdedelar cosinus är positiv, negativ, etc., måste du komma ihåg förhållandet för att beräkna cosinus: benet intill vinkeln, dividerat med hypotenusan. Vissa lärare föreslår att komma ihåg detta: k (osine) \u003d (k) hörn. Om du kommer ihåg detta "fusk" så förstår du automatiskt att sinus är förhållandet mellan motsatsen och vinkeln på benet till hypotenusan.

Att komma ihåg i vilka kvartal cosinus är positivt och vilket som är negativt är ganska svårt. Det finns många trigonometriska funktioner, och de har alla sina egna värden. Men ändå, som ett resultat: positiva värden för sinus - 1, 2 fjärdedelar (från 0 o till 180 o); för cosinus 1, 4 fjärdedelar (från 0 o till 90 o och från 270 o till 360 o). I de återstående kvartalen har funktionerna värden med minus.

Kanske blir det lättare för någon att komma ihåg var är vilket tecken, enligt bilden av funktionen.

För sinus kan man se att från noll till 180 o ligger krönet över linjen för sin (x) värden, vilket betyder att funktionen är positiv här. För cosinus är det samma: i vilken fjärdedel cosinus är positiv (foto 7), och i vilken den är negativ, kan det ses genom att flytta linjen över och under cos (x)-axeln. Som ett resultat kan vi komma ihåg två sätt att bestämma tecknet för sinus, cosinusfunktioner:

1. Enligt en tänkt cirkel med en radie lika med ett (även om det faktiskt inte spelar någon roll vad cirkelns radie är, men i läroböcker ges detta exempel oftast; detta gör det lättare att uppfatta, men samtidigt, om du inte anger att detta inte spelar någon roll, kan barn bli förvirrade).

2. Enligt bilden av funktionens beroende av (x) av själva argumentet x, som i den sista figuren.

Med den första metoden kan du FÖRSTÅ vad exakt tecknet beror på, och vi förklarade detta i detalj ovan. Figur 7, byggd på dessa data, visualiserar den resulterande funktionen och dess teckenmedlemskap på bästa möjliga sätt.

Den här artikeln kommer att täcka tre huvudegenskaper trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Den första egenskapen är funktionens tecken, beroende på vilken fjärdedel av enhetscirkeln vinkeln α tillhör. Den andra egenskapen är periodicitet. Enligt denna egenskap ändrar inte den tigonometriska funktionen sitt värde när vinkeln ändras med ett heltal av varv. Den tredje egenskapen bestämmer hur värdena för funktionerna sin, cos, tg, ctg ändras vid motsatta vinklar α och - α .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ofta i en matematisk text eller i samband med ett problem kan du hitta frasen: "vinkeln för den första, andra, tredje eller fjärde koordinatkvarten." Vad det är?

Låt oss titta på enhetscirkeln. Den är uppdelad i fyra kvarter. Vi markerar startpunkten A 0 (1, 0) på cirkeln och vrider den runt punkten O med en vinkel α kommer vi till punkten A 1 (x, y) . Beroende på vilken fjärdedel punkten A 1 (x, y) kommer att ligga i, kommer vinkeln α att kallas vinkeln för den första, andra, tredje respektive fjärde kvadranten.

För tydlighetens skull ger vi en illustration.

Vinkeln α = 30° ligger i den första kvadranten. Vinkel - 210° är den andra fjärdedels vinkeln. Vinkel 585° är vinkeln för den tredje fjärdedelen. Vinkel - 45° är vinkeln för fjärde kvartalet.

I detta fall hör vinklarna ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° inte till någon fjärdedel, eftersom de ligger på koordinataxlarna.

Tänk nu på tecknen som tar sinus, cosinus, tangent och cotangens, beroende på vilken fjärdedel vinkeln ligger i.

För att bestämma tecknen på sinus i fjärdedelar, kom ihåg definitionen. Sinus är ordinatan för punkten A 1 (x , y) . Figuren visar att under första och andra kvartalet är det positivt, och i det tredje och fyrdubbla är det negativt.

Cosinus är abskissan för punkten A 1 (x, y) . I enlighet med detta bestämmer vi tecknen för cosinus på cirkeln. Cosinus är positivt under första och fjärde kvartalet och negativt under andra och tredje kvartalet.

För att bestämma tecknen för tangenten och kotangensen med fjärdedelar, minns vi också definitionerna av dessa trigonometriska funktioner. Tangent - förhållandet mellan ordinatan för punkten och abskissan. Det betyder att enligt regeln för att dividera tal med olika tecken, när ordinatan och abskissan har samma tecken, blir tecknet för tangenten på cirkeln positivt, och när ordinatan och abskissan har olika tecken- negativ. På liknande sätt bestäms tecknen på cotangenten i fjärdedelar.

Viktigt att komma ihåg!

1. Vinkelns αs sinus har ett plustecken i 1:a och 2:a kvarteren, ett minustecken i 3:e och 4:e kvarteren.
2. Vinkelns α cosinus har ett plustecken i 1:a och 4:e kvarteren, ett minustecken i 2:a och 3:e kvarteren.
3. Tangensen för vinkeln α har ett plustecken i 1:a och 3:e fjärdedelen, ett minustecken i 2:a och 4:e fjärdedelen.
4. Cotangensen för vinkeln α har ett plustecken i 1:a och 3:e kvarteren, ett minustecken i 2:a och 4:e kvarteren.

Periodicitetsegenskap

Periodicitetsegenskapen är en av de mest uppenbara egenskaperna hos trigonometriska funktioner.

Periodicitetsegenskap

När vinkeln ändras med ett heltal av hela varv förblir värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för den givna vinkeln oförändrade.

Faktum är att när vi ändrar vinkeln med ett heltal av varv, kommer vi alltid från startpunkten A på enhetscirkeln till punkten A 1 med samma koordinater. Följaktligen kommer värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens inte att ändras.

Matematiskt given egendom skrivs så här:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Vad är den praktiska tillämpningen av denna fastighet? Periodicitetsegenskapen, liksom reduktionsformlerna, används ofta för att beräkna värdena för sinus, cosinus, tangenter och cotangens för stora vinklar.

Låt oss ge exempel.

sin 13 π 5 \u003d sin 3 π 5 + 2 π \u003d sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Låt oss titta på enhetscirkeln igen.

Punkt A 1 (x, y) är resultatet av att man vrider startpunkten A 0 (1, 0) runt cirkelns centrum med en vinkel α. Punkt A 2 (x, - y) är resultatet av att vrida startpunkten med en vinkel - α.

Punkterna A 1 och A 2 är symmetriska kring x-axeln. I det fall då α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° punkter A 1 och A 2 sammanfaller. Låt en punkt ha koordinater (x , y) , och den andra - (x , - y) . Kom ihåg definitionerna av sinus, cosinus, tangens, cotangens och skriv:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Detta innebär egenskapen för sinus, cosinus, tangenter och cotangenter av motsatta vinklar.

Egenskapen för sinus, cosinus, tangenter och cotangenter av motsatta vinklar

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Enligt denna fastighet är jämlikheterna

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Den övervägda egenskapen används ofta för att lösa praktiska problem i fall där det är nödvändigt att bli av med de negativa tecknen på vinklar i argumenten för trigonometriska funktioner.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Räkna vinklar på en trigonometrisk cirkel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Det är nästan samma som i föregående lektion. Det finns yxor, en cirkel, en vinkel, allt är chin-kina. Lägg till antal fjärdedelar (i hörnen av en stor kvadrat) - från den första till den fjärde. Och så plötsligt vem vet inte? Som du kan se, quarters (de kallas också vackert ord"kvadranter") numreras mot draget medurs. Tillagda vinkelvärden på axlar. Allt är klart, inga krusiduller.

Och lade till en grön pil. Med ett plus. Vad menar hon? Låt mig påminna dig om att den fasta sidan av hörnet alltid spikad till den positiva axeln OH. Så, om vi vrider den rörliga sidan av hörnet plus pil, dvs. i stigande kvartalsnummer, vinkeln kommer att betraktas som positiv. Till exempel visar bilden en positiv vinkel på +60°.

Om vi ​​skjuter upp hörnen i motsatt riktning, medurs, vinkeln kommer att betraktas som negativ. Håll muspekaren över bilden (eller tryck på bilden på surfplattan), du kommer att se en blå pil med ett minus. Detta är riktningen för den negativa avläsningen av vinklarna. En negativ vinkel (-60°) visas som ett exempel. Och du kommer också att se hur siffrorna på axlarna har förändrats ... Jag har också översatt dem till negativa vinklar. Numreringen av kvadranter ändras inte.

Här börjar oftast de första missförstånden. Hur så!? Och om den negativa vinkeln på cirkeln sammanfaller med den positiva!? Och i allmänhet visar det sig att samma position för den rörliga sidan (eller en punkt på den numeriska cirkeln) kan kallas både en negativ vinkel och en positiv!?

Ja. Exakt. Låt oss säga att en positiv vinkel på 90 grader tar en cirkel exakt samma position som en negativ vinkel på minus 270 grader. En positiv vinkel, till exempel +110° grader, tar exakt samma läge eftersom den negativa vinkeln är -250°.

Inga problem. Allt är korrekt.) Valet av en positiv eller negativ beräkning av vinkeln beror på tillståndet för uppdraget. Om tillståndet inte säger något oformatterad text om vinkelns tecken, (som "bestäm den minsta positiv vinkel", etc.), då arbetar vi med värden som är bekväma för oss.

Ett undantag (och hur utan dem?!) är trigonometriska ojämlikheter, men där kommer vi att bemästra detta trick.

Och nu en fråga till dig. Hur vet jag att positionen för 110°-vinkeln är densamma som positionen för -250°-vinkeln?
Jag kommer att antyda att detta beror på den fulla omsättningen. I 360°... Inte klart? Sedan ritar vi en cirkel. Vi ritar på papper. Markering av hörnet handla om 110°. Och tro hur mycket som återstår till en hel tur. Bara 250° kvar...

Jag fattar? Och nu - uppmärksamhet! Om vinklarna 110° och -250° upptar cirkeln samma position, vad då? Ja, det faktum att vinklarna är 110 ° och -250 ° exakt samma sinus, cosinus, tangent och cotangens!
De där. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) och så vidare. Nu är detta verkligen viktigt! Och i sig - det finns många uppgifter där det är nödvändigt att förenkla uttryck, och som en grund för den efterföljande utvecklingen av reduktionsformler och andra krångligheter av trigonometri.

Naturligtvis tog jag 110° och -250° på måfå, rent till exempel. Alla dessa likheter fungerar för alla vinklar som upptar samma position på cirkeln. 60° och -300°, -75° och 285° och så vidare. Jag noterar direkt att hörnen i dessa par - olika. Men de har trigonometriska funktioner - det samma.

Jag tror att du förstår vad negativa vinklar är. Det är ganska enkelt. Moturs är en positiv räkning. Längs vägen är det negativt. Överväg vinkeln positiv eller negativ beror på oss. Från vår önskan. Nåväl, och mer från uppgiften, förstås... Jag hoppas att du förstår hur man rör sig i trigonometriska funktioner från negativa till positiva vinklar och vice versa. Rita en cirkel, en ungefärlig vinkel, och se hur mycket som saknas innan ett helt varv, d.v.s. upp till 360°.

Vinklar större än 360°.

Låt oss ta itu med vinklar som är större än 360 °. Och händer sådana saker? Det finns förstås. Hur man ritar dem på en cirkel? Inget problem! Anta att vi måste förstå i vilken fjärdedel en vinkel på 1000° kommer att falla? Lätt! Vi gör ett helt varv moturs (vinkeln gavs oss positiv!). Spola tillbaka 360°. Nåväl, låt oss gå vidare! En annan tur - det har redan visat sig 720 °. Hur mycket är kvar? 280°. Det räcker inte för ett helt varv ... Men vinkeln är mer än 270 ° - och det här är gränsen mellan tredje och fjärde kvartalet. Så vår vinkel på 1000° faller in i fjärde kvartalet. Allt.

Som du kan se är det ganska enkelt. Låt mig återigen påminna er om att vinkeln på 1000° och vinkeln på 280°, som vi fick genom att kassera de "extra" hela varven, strikt sett är, olika hörn. Men de trigonometriska funktionerna för dessa vinklar exakt samma! De där. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° osv. Om jag var en sinus skulle jag inte märka skillnaden mellan dessa två vinklar...

Varför är allt detta nödvändigt? Varför måste vi översätta vinklar från en till en annan? Ja, allt för samma sak.) För att förenkla uttryck. Förenkling av uttryck är faktiskt skolmatematikens huvuduppgift. Tja, på vägen tränar huvudet.)

Tja, ska vi träna?)

Vi svarar på frågor. Enkelt till en början.

1. I vilken fjärdedel faller vinkeln -325°?

2. I vilken fjärdedel faller vinkeln 3000°?

3. I vilken fjärdedel faller vinkeln -3000°?

Det finns ett problem? Eller osäkerhet? Vi går till Sektion 555, Praktiskt arbete med en trigonometrisk cirkel. Där, i den första lektionen av just denna " praktiskt arbete..." allt är detaljerat ... In sådan frågor om osäkerhet borde inte!

4. Vad är tecknet på synd555°?

5. Vad är tecknet på tg555°?

Fast besluten? Bra! Tvivel? Det är nödvändigt att avsnitt 555 ... Förresten, där kommer du att lära dig hur man ritar tangent och cotangens på en trigonometrisk cirkel. En mycket användbar sak.

Och nu de smartare frågorna.

6. För uttrycket sin777° till sinus för den minsta positiva vinkeln.

7. Ta uttrycket cos777° till cosinus för den största negativa vinkeln.

8. Konvertera uttrycket cos(-777°) till cosinus för den minsta positiva vinkeln.

9. För uttrycket sin777° till sinus för den största negativa vinkeln.

Vad, frågor 6-9 förbryllade? Vänj dig, det finns inte sådana formuleringar på provet ... Så var det, jag kommer att översätta det. Bara för dig!

Orden "reducera uttrycket till ..." betyder att omvandla uttrycket så att dess värde har inte förändrats a utseendeändras i enlighet med uppgiften. Så i uppgifterna 6 och 9 bör vi få en sinus, inom vilken är den minsta positiva vinkeln. Allt annat spelar ingen roll.

Jag kommer att ge svaren i ordning (i strid med våra regler). Men vad du ska göra, det finns bara två tecken, och bara fyra fjärdedelar ... Du kommer inte att sprida i alternativ.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Jag antar att svaren på frågorna 6-9 förvirrade vissa människor. Framförallt -sin(-57°), eller hur?) Ja, i de elementära reglerna för att räkna vinklar finns det utrymme för fel ... Det var därför jag var tvungen att göra en lektion: "Hur man bestämmer tecknen på funktioner och ger vinklar på en trigonometrisk cirkel?" I avsnitt 555. Där är uppgifterna 4 - 9 sorterade. Bra sorterat, med alla fallgropar. Och de är här.)

I nästa lektion kommer vi att ta itu med de mystiska radianerna och numret "Pi". Lär dig hur du enkelt och korrekt konverterar grader till radianer och vice versa. Och vi kommer att bli förvånade över att finna att denna elementära information på webbplatsen redan tillräckligt för att lösa några icke-standardiserade trigonometripussel!

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.