Derivatan av produkten av två differentierbara funktioner definieras av en formel. Formler för derivat. Skydd av personlig information

11.11.2020

Med korrekturläsning av material om ämnet "derivat". Grundskolenivå.
Teoretisk information för elever, lärare och handledare i matematik. För att hjälpa till med lektionerna.

Definition: derivatan av en funktion i en punkt kallas gränsen för förhållandet mellan funktionens inkrement och variabelns inkrement, dvs.

Tabell över derivator av grundläggande matematiska funktioner:

Regler för beräkning av derivat

Derivat av summa av två valfria uttryck är lika med summan av derivatorna av dessa uttryck (derivatan av summan är lika med summan av derivatorna)

Skillnadsderivat av två valfria uttryck är lika med skillnaden mellan derivaten av dessa termer (derivatan av skillnaden är lika med skillnaden mellan derivaten).

Derivat av produkten två faktorer är lika med produkten av derivatan av den första faktorn med den andra plus produkten av den första faktorn med derivatan av den andra (summan av derivatorna av faktorerna i tur och ordning).
Matematiklärarens kommentar: när jag påminner studenten i korta fraser om regeln för att beräkna derivatan av en produkt, säger jag detta: derivatan av den första faktorn med andra plus slagutbyte!

Derivat av kvot av två uttryck är lika med kvoten av skillnaden mellan växelvis tagna derivator av faktorerna och kvadraten på nämnaren.

Derivat av produkten av ett tal och en funktion. För att hitta derivatan av produkten av ett tal och ett bokstavligt uttryck (en funktion), måste du multiplicera detta tal med derivatan av detta bokstavliga uttryck.

Derivat av en komplex funktion:

För att beräkna derivatan av en komplex funktion måste du hitta derivatan av den yttre funktionen och multiplicera den med derivatan av den inre funktionen.

Dina kommentarer och feedback på sidan med derivator:
Alexander S.
Jag behövde verkligen ett bord. En av de mest på internet. Tack så mycket för förklaringarna och reglerna. Åtminstone ett exempel till för dem och i allmänhet skulle det vara bra. Tack igen.

Kolpakov A.N., lärare i matematik: ok, jag ska försöka uppdatera sidan med exempel snart.

Virtuell matematisk uppslagsbok.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, lärare i matematik.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta denne.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att genomföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och förse dig med rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Avslöjande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

I händelse av att det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och / eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ på Ryska federationens territorium - avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Operationen att hitta derivatan kallas differentiering.

Som ett resultat av att lösa problem med att hitta derivator av de enklaste (och inte särskilt enkla) funktionerna genom att definiera derivatan som gränsen för förhållandet mellan ökningen och ökningen av argumentet, dök en tabell över derivator och exakt definierade regler för differentiering upp . Isaac Newton (1643-1727) och Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) var de första som arbetade med att hitta derivator.

Därför, i vår tid, för att hitta derivatan av någon funktion, är det inte nödvändigt att beräkna den ovan nämnda gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, utan behöver bara använda tabellen av derivat och reglerna för differentiering. Följande algoritm är lämplig för att hitta derivatan.

För att hitta derivatan, behöver du ett uttryck under strecktecknet bryta ner enkla funktioner och bestämma vilka åtgärder (produkt, summa, kvot) dessa funktioner är relaterade. Vidare hittar vi derivator av elementära funktioner i tabellen över derivator, och formlerna för derivator av produkten, summan och kvoten - i reglerna för differentiering. Tabellen över derivat och differentieringsregler ges efter de två första exemplen.

Exempel 1 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Från reglerna för differentiering får vi reda på att derivatan av summan av funktioner är summan av derivator av funktioner, d.v.s.

Från tabellen med derivator får vi reda på att derivatan av "X" är lika med ett, och derivatan av sinus är lika med cosinus. Vi ersätter dessa värden i summan av derivator och hittar den derivata som krävs av problemets tillstånd:

Exempel 2 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Vi differentierar som en derivata av summan, där den andra termen med en konstant faktor kan tas ur derivatans tecken:

Om det fortfarande finns frågor om var något kommer ifrån blir de som regel tydliga efter att ha läst derivattabellen och de enklaste reglerna för differentiering. Vi ska till dem just nu.

Tabell över derivator av enkla funktioner

1. Derivata av en konstant (tal). Valfritt tal (1, 2, 5, 200...) som finns i funktionsuttrycket. Alltid noll. Detta är mycket viktigt att komma ihåg, eftersom det krävs väldigt ofta
2. Derivata av den oberoende variabeln. Oftast "x". Alltid lika med ett. Detta är också viktigt att komma ihåg
3. Derivat av examen. När du löser problem måste du konvertera icke-kvadratrötter till en potens.
4. Derivata av en variabel i potensen -1
5. Derivata av kvadratroten
6. Sinusderivat
7. Cosinusderivat
8. Tangentderivat
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av bågekosinus
12. Derivata av bågtangens
13. Derivata av den inversa tangenten
14. Derivata av naturlig logaritm
15. Derivata av en logaritmisk funktion
16. Exponentens derivata
17. Derivata av exponentialfunktion

Differentieringsregler

1. Derivata av summan eller skillnaden
2. Derivat av en produkt
2a. Derivat av ett uttryck multiplicerat med en konstant faktor
3. Derivat av kvoten
4. Derivata av en komplex funktion

Regel 1Om funktioner

är differentierbara vid något tillfälle, sedan vid samma punkt funktionerna

och

de där. derivatan av den algebraiska summan av funktioner är lika med den algebraiska summan av derivatorna av dessa funktioner.

Följd. Om två differentierbara funktioner skiljer sig åt med en konstant, är deras derivator det, dvs.

Regel 2Om funktioner

är differentierbara någon gång, då är deras produkt också differentierbar vid samma punkt

och

de där. derivatan av produkten av två funktioner är lika med summan av produkterna av var och en av dessa funktioner och derivatan av den andra.

Konsekvens 1. Den konstanta faktorn kan tas ur derivatans tecken:

Konsekvens 2. Derivatan av produkten av flera differentierbara funktioner är lika med summan av produkterna av derivatan av var och en av faktorerna och alla de andra.

Till exempel, för tre multiplikatorer:

Regel 3Om funktioner

differentierbar någon gång och , då är deras kvot vid denna tidpunkt också differentierbar.u/v, och

de där. derivatan av en kvot av två funktioner är lika med en bråkdel vars täljare är skillnaden mellan produkterna av nämnaren och derivatan av täljaren och täljaren och derivatan av nämnaren, och nämnaren är kvadraten på den tidigare täljaren .

Var man kan leta på andra sidor

När man hittar produktens derivata och kvoten i verkliga problem är det alltid nödvändigt att tillämpa flera differentieringsregler samtidigt, så fler exempel på dessa derivat finns i artikeln."Derivatet av en produkt och en kvot".

Kommentar. Du ska inte blanda ihop en konstant (det vill säga ett tal) som en term i summan och som en konstant faktor! När det gäller en term är dess derivata lika med noll, och i fallet med en konstant faktor tas den ur derivatans tecken. Detta är ett typiskt misstag som inträffar i det inledande skedet av att studera derivat, men eftersom den genomsnittliga studenten löser flera en-tvåkomponentsexempel gör detta misstag inte längre.

Och om du, när du särskiljer en produkt eller en kvot, har en term u"v, vart i u- ett tal, till exempel 2 eller 5, det vill säga en konstant, då kommer derivatan av detta tal att vara lika med noll och därför kommer hela termen att vara lika med noll (ett sådant fall analyseras i exempel 10) .

Ett annat vanligt misstag är den mekaniska lösningen av derivatan av en komplex funktion som derivatan av en enkel funktion. Så derivata av en komplex funktionägnas åt en separat artikel. Men först ska vi lära oss att hitta derivator av enkla funktioner.

Längs vägen kan du inte klara dig utan omvandlingar av uttryck. För att göra detta kan du behöva öppna i nya Windows-manualer Handlingar med krafter och rötter och Åtgärder med bråk .

Om du letar efter lösningar på derivator med potenser och rötter, det vill säga när funktionen ser ut som , följ sedan lektionen "Derivat av summan av bråk med potenser och rötter".

Om du har en uppgift som , då är du inne på lektionen "Derivater av enkla trigonometriska funktioner".

Steg för steg exempel - hur man hittar derivatan

Exempel 3 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Vi bestämmer delarna av funktionens uttryck: hela uttrycket representerar produkten, och dess faktorer är summor, i den andra av vilka en av termerna innehåller en konstant faktor. Vi tillämpar produktdifferentieringsregeln: derivatan av produkten av två funktioner är lika med summan av produkterna för var och en av dessa funktioner och derivatan av den andra:

Därefter tillämpar vi regeln om differentiering av summan: derivatan av den algebraiska summan av funktioner är lika med den algebraiska summan av derivatorna av dessa funktioner. I vårt fall, i varje summa, den andra termen med ett minustecken. I varje summa ser vi både en oberoende variabel, vars derivata är lika med en, och en konstant (tal), vars derivata är lika med noll. Så, "x" förvandlas till ett och minus 5 - till noll. I det andra uttrycket multipliceras "x" med 2, så vi multiplicerar två med samma enhet som derivatan av "x". Vi får följande värden på derivat:

Vi ersätter de hittade derivatorna i summan av produkter och erhåller derivatan av hela funktionen som krävs av problemets tillstånd:

Exempel 4 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Vi måste hitta derivatan av kvoten. Vi tillämpar formeln för att differentiera en kvot: derivatan av en kvot av två funktioner är lika med en bråkdel vars täljare är skillnaden mellan produkterna av nämnaren och derivatan av täljaren och täljaren och derivatan av nämnaren, och nämnaren är kvadraten på den tidigare täljaren. Vi får:

Vi har redan hittat derivatan av faktorerna i täljaren i exempel 2. Låt oss inte heller glömma att produkten, som är den andra faktorn i täljaren, tas med ett minustecken i det aktuella exemplet:

Om du letar efter lösningar på sådana problem där du behöver hitta derivatan av en funktion, där det finns en kontinuerlig hög med rötter och grader, som t.ex. då välkommen till klassen "Derivatan av summan av bråk med potenser och rötter" .

Om du behöver lära dig mer om derivatorna av sinus, cosinus, tangenter och andra trigonometriska funktioner, det vill säga när funktionen ser ut som , då har du en lektion "Derivater av enkla trigonometriska funktioner" .

Exempel 5 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. I denna funktion ser vi en produkt, vars en av faktorerna är kvadratroten av den oberoende variabeln, med den derivata som vi bekantade oss med i tabellen över derivator. Enligt produktdifferentieringsregeln och tabellvärdet för derivatan av kvadratroten får vi:

Exempel 6 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. I denna funktion ser vi kvoten, vars utdelning är kvadratroten av den oberoende variabeln. Enligt regeln om differentiering av kvoten, som vi upprepade och tillämpade i exempel 4, och tabellvärdet för derivatan av kvadratroten, får vi:

För att bli av med bråket i täljaren, multiplicera täljaren och nämnaren med .

Vad är en derivativ funktion - detta är det huvudsakliga matematiska konceptet, är på samma nivå med integraler, i analysen. Denna funktion ger vid en viss punkt en egenskap av funktionens förändringshastighet vid en given punkt.
Sådana begrepp som differentiering och integration, den första står för handlingen att hitta en derivata, den andra, tvärtom, återställer funktionen från denna derivata.
Derivatberäkningar spelar en viktig roll i differentialberäkningar.
För ett illustrativt exempel kommer vi att avbilda derivatan på koordinatplanet.

i funktionen y \u003d f (x), fixar vi punkterna M där (x0; f (X0)) och Nf (x0 +? x) till varje abskissa finns ett steg i formen? x. Ett inkrement är processen när abskissan ändras, då ändras även ordinatan. Betecknad som?
Låt oss hitta tangenten för vinkeln i triangeln MPN med hjälp av punkterna M och N för detta.

tg? = NP/MP = ?y/?x.

När x går till 0. Skärande MN närmar sig tangenten MT och vinkeln? kommer?. Därför tg? maximalt värde för tg ?.

tg? = lim från?x-0 tg ? = lim från ?x-0 ?y/?x

Derivattabell

Om du uttalar ordalydelsen av varje derivatformler. Tabellen blir lättare att komma ihåg.
1) Derivatan av ett konstant värde är 0.
2) X med ett slag är lika med ett.
3) Om det finns en konstant faktor tar vi helt enkelt ut eo för derivatan.
4) För att hitta den derivata potensen måste du multiplicera exponenten för denna grad med exponenten med samma bas, där exponenten är 1 mindre.
5) Att hitta en rot är en dividerad med 2 av dessa rötter.
6) Derivatan av en dividerad med X är lika med en dividerad med X i kvadrat, med ett minustecken.
7) P sinus är lika med cosinus
8) P cosinus är lika med sinus med ett minustecken.
9) P-tangens är lika med en dividerad med kvadratisk cosinus.
10) P cotangens är lika med en med ett minustecken, dividerat med sinus i kvadrat.

I differentiering finns det också regler som också är lättare att lära sig genom att uttala dem högt.

1) Mycket enkelt är antalet termer lika med deras summa.
2) Derivatan i multiplikation är lika med multiplikationen av det första värdet med det andra, och adderar till sig själv multiplikationen av det andra värdet med det första.
3) Derivatan i division är lika med multiplikationen av det första värdet med det andra, subtraherar från sig själv multiplikationen av det andra värdet med det första. Bråket dividerat med det andra värdet i kvadrat.
4) Formuleringen är ett specialfall av den tredje formeln.

I den här lektionen fortsätter vi att studera funktioners derivator och går vidare till ett mer komplext ämne, nämligen produktens derivator och kvoten. Om du tittade på föregående lektion insåg du förmodligen att vi bara övervägde de enklaste konstruktionerna, nämligen derivatan av en potensfunktion, summor och skillnader. I synnerhet lärde vi oss att derivatan av summan är lika med deras summa, och derivatan av skillnaden är lika med deras skillnad. Tyvärr, när det gäller derivat av kvoten och produkten, kommer formlerna att vara mycket mer komplicerade. Låt oss börja med formeln för derivatan av en produkt av funktioner.

Derivater av trigonometriska funktioner

Till att börja med ska jag tillåta mig en liten lyrisk utvikning. Faktum är att förutom standardeffektfunktionen - $y=((x)^(n))$, kommer det i denna lektion att finnas andra funktioner, nämligen $y=\sin x$, såväl som $y =\ cos x$ och annan trigonometri - $y=tgx$ och, naturligtvis, $y=ctgx$.

Om vi alla mycket väl känner till derivatan av en potensfunktion, nämligen $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, då, som för trigonometriska funktioner måste nämnas separat. Låt oss skriva:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Men du känner till dessa formler mycket väl, låt oss gå längre.

Vad är ett derivat av en produkt?

Först, det viktigaste: om en funktion är en produkt av två andra funktioner, till exempel $f\cdot g$, så kommer derivatan av denna konstruktion att vara lika med följande uttryck:

Som du kan se är denna formel betydligt annorlunda och mer komplex än formlerna som vi övervägde tidigare. Till exempel anses derivatan av summan vara elementär — $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, eller derivatan av skillnaden, vilket också anses vara elementärt — $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Låt oss försöka tillämpa den första formeln för att beräkna derivatan av två funktioner som vi får i problemet. Låt oss börja med det första exemplet:

Det är uppenbart att följande konstruktion fungerar som en produkt, mer exakt, som en faktor: $((x)^(3))$, vi kan betrakta som $f$, och $\left(x-5 \right) $ kan vi betrakta som $g$. Då kommer deras produkt bara att vara produkten av två funktioner. Vi bestämmer:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ höger))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Låt oss nu titta närmare på var och en av våra termer. Vi ser att både den första och andra termen innehåller potensen $x$: i det första fallet är det $((x)^(2))$, och i det andra är det $((x)^(3) )$. Låt oss ta den minsta graden ur parentes, den kommer att förbli inom parentes:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15) \\\end(align)\]

Allt vi hittade svaret.

Vi återgår till våra uppgifter och försöker lösa:

Så låt oss skriva om:

Återigen noterar vi att vi talar om produkten av produkten av två funktioner: $x$, som kan betecknas med $f$, och $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, som kan betecknas med $g$.

Således har vi återigen produkten av två funktioner. För att hitta derivatan av funktionen $f\left(x \right)$ använder vi återigen vår formel. Vi får:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Svar hittat.

Varför faktorisera derivat?

Vi har precis använt några mycket viktiga matematiska fakta, som i sig inte är relaterade till derivator, men utan deras vetskap är all ytterligare studie av detta ämne helt enkelt inte meningsfull.

För det första, genom att lösa det allra första problemet och redan ha blivit av med alla tecken på derivaten, började vi av någon anledning faktorisera detta uttryck.

För det andra, när vi löste följande problem, gick vi flera gånger från roten till graden med en rationell exponent och vice versa, medan vi använde formeln för 8:e-9:e klass, som bör upprepas separat.

Angående faktorisering – varför behöver vi alla dessa ytterligare ansträngningar och transformationer? Faktum är att om problemet bara säger "hitta derivatan av en funktion", så krävs inte dessa ytterligare steg. Men i verkliga problem som väntar dig vid olika tentor och prov, räcker det ofta inte att bara hitta derivatan. Faktum är att derivatan bara är ett verktyg med vilket du kan ta reda på till exempel en ökning eller minskning av en funktion, och för detta måste du lösa ekvationen, faktorisera den. Och här kommer denna teknik att vara mycket lämplig. Och generellt sett, med en funktion uppdelad i faktorer, är det mycket bekvämare och trevligare att arbeta i framtiden om några transformationer krävs. Därför regel nummer 1: om derivatan kan faktoriseras är det precis vad du ska göra. Och omedelbart regel nummer 2 (i själva verket är detta materialet i 8:e-9:e klass): om roten uppstår i problemet n-te graden, dessutom är roten klart större än två, då kan denna rot ersättas av en vanlig grad med en rationell exponent, och ett bråk kommer att dyka upp i exponenten, där n- samma grad - kommer att vara i nämnaren för denna bråkdel.

Naturligtvis, om det finns någon grad under roten (i vårt fall är detta graden k), så går den ingenstans, utan visas helt enkelt i täljaren för just denna grad.

Och nu när du förstår allt detta, låt oss gå tillbaka till produktens derivator och beräkna ytterligare några ekvationer.

Men innan jag går vidare direkt till beräkningarna skulle jag vilja komma ihåg följande mönster:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Tänk på det första exemplet:

Vi har återigen en produkt av två funktioner: den första är $f$, den andra är $g$. Låt mig påminna dig om formeln:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Låt oss bestämma:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Låt oss gå vidare till den andra funktionen:

Återigen, $\left(3x-2 \right)$ är en funktion av $f$, $\cos x$ är en funktion av $g$. Den totala derivatan av produkten av två funktioner kommer att vara lika med:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime))\]

Låt oss skriva separat:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Vi räknar inte in detta uttryck i faktorer, eftersom detta ännu inte är det slutgiltiga svaret. Nu måste vi lösa den andra delen. Låt oss skriva ut det:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Och nu återgår vi till vår ursprungliga uppgift och samlar allt i en enda struktur:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Det är allt, det här är det sista svaret.

Låt oss gå vidare till det sista exemplet - det kommer att vara det mest komplexa och det mest omfattande när det gäller beräkningar. Så ett exempel:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Vi räknar varje del för sig:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

För att återgå till den ursprungliga funktionen, beräknar vi dess derivata som helhet:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2))))((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Det var faktiskt allt jag ville berätta om verkets härledningar. Som du kan se är huvudproblemet med formeln inte att memorera den, utan att en ganska stor mängd beräkningar erhålls. Men det är okej, för nu går vi vidare till derivatan av kvoten, där vi måste jobba väldigt hårt.

Vad är derivatan av en kvot?

Så formeln för derivatan av en kvot. Kanske är detta den svåraste formeln i skolans derivatkurs. Anta att vi har en funktion av formen $\frac(f)(g)$, där $f$ och $g$ också är funktioner som också kan vara ofullbordade. Sedan kommer det att beräknas enligt följande formel:

Täljaren påminner en del om formeln för produktens derivata, men det finns ett minustecken mellan termerna och kvadraten på den ursprungliga nämnaren har också lagts till nämnaren. Låt oss se hur detta fungerar i praktiken:

Låt oss försöka lösa:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \höger))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \höger)-\left(((x)^(2))-1 \höger )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Jag föreslår att skriva ut varje del separat och skriva ner:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2))) \ höger))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Vi skriver om vårt uttryck:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\vänster(x+2 \höger))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\vänster(x+2 \höger))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\vänster(x+2 \höger) ))^(2))) \\\end(align)\]

Vi har hittat svaret. Låt oss gå vidare till den andra funktionen:

Att döma av det faktum att dess täljare bara är en, här blir beräkningarna lite enklare. Så låt oss skriva:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\vänster(((x)^(2))+4 \höger))^(2)))\]

Låt oss räkna varje del av exemplet separat:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Vi skriver om vårt uttryck:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \höger)-1\cdot 2x)((\left(((x)^(2) )+4 \höger))^(2)))=-\frac(2x)(((\vänster(((x)^(2))+4 \höger))^(2)))\]

Vi har hittat svaret. Som väntat visade sig mängden beräkningar vara betydligt mindre än för den första funktionen.

Vad är skillnaden mellan notationerna?

Uppmärksamma elever har förmodligen redan en fråga: varför vi i vissa fall betecknar funktionen som $f\left(x \right)$, medan vi i andra fall bara skriver $y$? Faktum är att ur matematikens synvinkel är det absolut ingen skillnad - du har rätt att använda både den första beteckningen och den andra, och det kommer inte att finnas några påföljder för tentor och prov. För de som fortfarande är intresserade kommer jag att förklara varför författarna till läroböcker och problem i vissa fall skriver $f\left(x \right)$, och i andra (mycket oftare) bara $y$. Saken är den att genom att skriva en funktion i formen \ antyder vi implicit till den som ska läsa våra beräkningar att vi talar om den algebraiska tolkningen av det funktionella beroendet. Det vill säga att det finns någon variabel $x$, vi betraktar beroendet av denna variabel och betecknar den $f\left(x \right)$. Samtidigt, efter att ha sett en sådan beteckning, kommer den som läser dina beräkningar, till exempel verifieraren, omedvetet att förvänta sig att i framtiden endast algebraiska transformationer väntar honom - inga grafer och ingen geometri.

Å andra sidan, genom att använda notationen av formen \, dvs. beteckna variabeln med en enda bokstav, gör vi det omedelbart klart att vi i framtiden är intresserade av just den geometriska tolkningen av funktionen, det vill säga vi är i första hand intresserade i sin graf. Följaktligen, inför en registrering av formen \, har läsaren rätt att förvänta sig grafiska beräkningar, d.v.s. grafer, konstruktioner etc., men i inget fall inte analytiska transformationer.

Jag skulle också vilja uppmärksamma er på en del av utformningen av de uppgifter som vi överväger idag. Många elever tycker att jag ger för detaljerade beräkningar, och många av dem skulle kunna hoppa över eller helt enkelt lösas i mitt huvud. Men det är just en sådan detaljerad post som gör att du kan bli av med stötande misstag och avsevärt öka andelen korrekt lösta problem, till exempel när det gäller självförberedelser för tester eller tentor. Därför, om du fortfarande är osäker på dina förmågor, om du precis har börjat studera detta ämne, skynda dig inte - beskriv i detalj varje steg, skriv ner varje multiplikator, varje slag, och mycket snart kommer du att lära dig hur du löser sådana exempel bättre än många skollärare. Jag hoppas att detta är förståeligt. Låt oss räkna några fler exempel.

Flera intressanta utmaningar

Denna gång, som vi ser, är trigonometri närvarande i sammansättningen av de beräknade derivatorna. Så låt mig påminna dig om följande:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Naturligtvis kan vi inte klara oss utan derivatan av kvoten, nämligen:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Tänk på den första funktionen:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Så vi har hittat lösningen på detta uttryck.

Låt oss gå vidare till det andra exemplet:

Det är uppenbart att dess derivata kommer att vara mer komplex om så bara för att trigonometri finns i både täljaren och nämnaren för denna funktion. Vi bestämmer:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Observera att vi har ett derivat av produkten. I det här fallet kommer det att vara lika med:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ höger))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Vi återgår till våra beräkningar. Vi skriver ner:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \höger))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\end(align)\]

Det är allt! Vi räknade.

Hur reducerar man derivatan av en kvot till en enkel formel för derivatan av en produkt?

Och här skulle jag vilja göra en mycket viktig anmärkning angående specifikt trigonometriska funktioner. Poängen är att vår ursprungliga konstruktion innehåller ett uttryck av formen $\frac(\sin x)(\cos x)$, som enkelt kan ersättas med bara $tgx$. Således kommer vi att reducera derivatan av kvoten till en enklare formel för produktens derivata. Låt oss räkna ut det här exemplet igen och jämföra resultaten.

Så nu måste vi överväga följande:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Låt oss skriva om vår ursprungliga funktion $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ med detta faktum i åtanke. Vi får:

Låt oss räkna:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Om vi nu jämför resultatet med det vi fick tidigare, när vi räknade på ett annat sätt, så ser vi till att vi fick samma uttryck. Således, oavsett vilken väg vi går när vi beräknar derivatan, om allt beräknas korrekt, så kommer svaret att vara detsamma.

Viktiga nyanser för att lösa problem

Avslutningsvis skulle jag vilja berätta ytterligare en subtilitet relaterad till beräkningen av derivatan av en kvot. Det jag ska berätta nu fanns inte i det ursprungliga manuset till videohandledningen. Men ett par timmar före inspelningen studerade jag med en av mina elever, och vi höll precis på att reda ut ämnet derivator av kvoten. Och, som det visade sig, förstår många studenter inte denna punkt. Så låt oss säga att vi måste räkna unprime för följande funktion:

I princip finns det inget övernaturligt i det vid första anblicken. Men i beräkningsprocessen kan vi göra många dumma och offensiva misstag, som jag skulle vilja analysera nu.

Så vi överväger denna derivata. Först av allt, notera att vi har termen $3((x)^(2))$, så det är lämpligt att komma ihåg följande formel:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Dessutom har vi termen $\frac(48)(x)$ — vi kommer att hantera det genom derivatan av kvoten, nämligen:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Så låt oss bestämma:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Det är inga problem med den första termen, se:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Men med den första termen, $\frac(48)(x)$, måste du arbeta separat. Faktum är att många elever förvirrar situationen när du behöver hitta $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ och när du behöver hitta $((\left) (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Det vill säga att de blir förvirrade när konstanten finns i nämnaren respektive när konstanten finns i täljaren, när variabeln finns i täljaren eller i nämnaren.

Låt oss börja med det första alternativet:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Å andra sidan, om vi försöker göra samma sak med den andra bråkdelen får vi följande:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48) )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Men samma exempel kan beräknas annorlunda: i det skede där vi gick över till derivatan av kvoten, kan vi betrakta $\frac(1)(x)$ som en potens med en negativ exponent, dvs. vi får följande :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Och så, och så fick vi samma svar.

Därmed är vi återigen övertygade om två viktiga fakta. För det första kan samma derivata beräknas på helt olika sätt. Till exempel kan $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ betraktas både som en derivata av en kvot och som en derivata av en potensfunktion. Dessutom, om alla beräkningar utförs korrekt, kommer svaret alltid att vara detsamma. För det andra, när man beräknar derivator som innehåller både en variabel och en konstant, är det fundamentalt viktigt var variabeln finns - i täljaren eller i nämnaren. I det första fallet, när variabeln finns i täljaren, får vi en enkel linjär funktion som helt enkelt räknas. Och om variabeln finns i nämnaren, så får vi ett mer komplext uttryck med de tillhörande beräkningarna som givits tidigare.

Den här lektionen kan anses vara komplett, så om du inte förstår något om derivaten av en privat eller produkt, och faktiskt, om du har några frågor om detta ämne, tveka inte - besök min hemsida, skriv, ring och jag ska definitivt försöka kan jag hjälpa dig.

Derivat i sig är inte på något sätt ett svårt ämne, utan väldigt omfattande, och det vi studerar nu kommer att användas i framtiden för att lösa mer komplexa problem. Det är därför det är bättre att identifiera alla missförstånd relaterade till beräkningar av derivat av en kvot eller en produkt omedelbart, just nu. Inte när de är en enorm snöboll av missförstånd, utan när de är en liten tennisboll som är lätt att ha att göra med.