Z przeciwległego wierzchołka) i podziel wynikowy iloczyn przez dwa. W formie wygląda to tak:

S = ½ * a * h,

gdzie:
S to obszar trójkąta,
a to długość jego boku,
h to wysokość obniżona w tę stronę.

Długość i wysokość boku należy podawać w tych samych jednostkach. W takim przypadku obszar trójkąta okaże się w odpowiednich jednostkach „”.

Przykład.
Na jednym z boków trójkąta łuskowego o długości 20 cm obniżona jest prostopadła z przeciwległego wierzchołka o długości 10 cm.
Obszar trójkąta jest wymagany.
Rozwiązanie.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jeśli znasz długości dowolnych dwóch boków trójkąta policzkowego i kąt między nimi, użyj wzoru:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdzie: a, b to długości dwóch dowolnych boków, a γ to kąt między nimi.

W praktyce np. przy pomiarach działki, zastosowanie powyższych wzorów bywa trudne, gdyż wymaga dodatkowych konstrukcji i pomiaru kątów.

Jeśli znasz długości wszystkich trzech boków trójkąta łuskowego, użyj wzoru Herona:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c to długości boków trójkąta,
р – półobwód: p = (a+b+c)/2.

Jeśli oprócz długości wszystkich boków znany jest promień okręgu wpisanego w trójkąt, zastosuj następujący zwarty wzór:

gdzie: r jest promieniem okręgu wpisanego (p jest półobwodem).

Aby obliczyć powierzchnię trójkąta łuskowego opisanego koła i długość jego boków, użyj wzoru:

gdzie: R jest promieniem opisanego okręgu.

Jeśli znana jest długość jednego z boków trójkąta i trzech kątów (w zasadzie wystarczą dwa - wartość trzeciego oblicza się z równości sumy trzech kątów trójkąta - 180º), użyj Formuła:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdzie α jest wartością kąta przeciwnego do boku a;
β, γ to wartości pozostałych dwóch kątów trójkąta.

Konieczność znalezienia różnych elementów, w tym powierzchni trójkąt pojawił się wiele wieków przed naszą erą wśród astronomów Starożytna Grecja. Kwadrat trójkąt można obliczyć różne sposoby przy użyciu różnych formuł. Metoda obliczania zależy od tego, które elementy trójkąt znany.

Instrukcja

Jeżeli z warunku znamy wartości dwóch boków b, c oraz kąt przez nie utworzony?, to pole trójkąt ABC znajduje się według wzoru:
S = (bcsin?)/2.

Jeżeli z warunku znamy wartości dwóch boków a, b oraz kąt przez nie nie utworzony?, to pole trójkąt ABC znajduje się w następujący sposób:
Znalezienie kąta?, grzech? = bsin?/a, dalej w tabeli ustalamy sam kąt.
Znalezienie kąta? = 180°-?-?.
Znajdź sam obszar S = (absin?)/2.

Jeśli z warunku znamy wartości tylko trzech stron trójkąt a, b i c, a następnie obszar trójkąt ABC znajduje się według wzoru:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , gdzie p jest półobwodem p = (a+b+c)/2

Jeśli z warunku problemu znamy wysokość trójkąt h i stronę, do której ta wysokość jest obniżona, to obszar trójkąt ABC według wzoru:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Jeśli znamy wartości boków trójkąt a, b, c i promień opisanego w pobliżu danego trójkąt R, to obszar tego trójkąt ABC określa wzór:
S = abc/4R.
Jeśli znane są trzy boki a, b, c oraz promień wpisanego, to obszar trójkąt ABC znajduje się według wzoru:
S = pr, gdzie p jest półobwodem, p = (a+b+c)/2.

Jeżeli ABC jest równoboczne, to pole wyznaczamy wzorem:
S = (a^2v3)/4.
Jeśli trójkąt ABC jest równoramienny, to obszar jest określony wzorem:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdzie c to trójkąt.
Jeżeli trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, to pole powierzchni określa wzór:
S = ab/2, gdzie a i b to nogi trójkąt.
Jeżeli trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, to pole powierzchni określa wzór:
S = c^2/4 = a^2/2, gdzie c jest przeciwprostokątną trójkąt, a=b - noga.

Powiązane wideo

Źródła:

• jak zmierzyć pole trójkąta

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar trójkąta, jeśli znasz kąt

Znajomość tylko jednego parametru (wartości kąta) nie wystarczy, aby znaleźć powierzchnię tre kwadrat . Jeśli są jakieś dodatkowe wymiary, to do określenia obszaru można wybrać jedną z formuł, w której wartość kąta jest również używana jako jedna ze znanych zmiennych. Poniżej wymieniono kilka najczęściej używanych formuł.

Instrukcja

Jeżeli oprócz kąta (γ) utworzonego przez obie strony tre kwadrat , znane są również długości tych boków (A i B), to kwadrat(S) liczby można zdefiniować jako połowę iloczynu długości boków i sinusa tego znanego kąta: S=½×A×B×sin(γ).

Obszar trójkąta - wzory i przykłady rozwiązywania problemów

Poniżej są wzory na znalezienie pola dowolnego trójkąta które nadają się do znalezienia pola dowolnego trójkąta, niezależnie od jego właściwości, kątów czy wymiarów. Wzory przedstawione są w formie obrazkowej, oto wyjaśnienia dotyczące zastosowania lub uzasadnienie ich poprawności. Również osobny rysunek pokazuje zgodność symboli literowych we wzorach i symboli graficznych na rysunku.

Notatka . Jeśli trójkąt ma specjalne właściwości (równoramienny, prostokątny, równoboczny), możesz użyć poniższych wzorów, a także dodatkowo specjalnych wzorów, które są prawdziwe tylko dla trójkątów o tych właściwościach:

• „Wzory na obszar trójkąta równobocznego”

Formuły obszaru trójkąta

Wyjaśnienia do formuł:
a, b, c- długości boków trójkąta, których pole chcemy znaleźć
r- promień okręgu wpisanego w trójkąt
R- promień okręgu opisanego wokół trójkąta
h- wysokość trójkąta obniżona na bok
p- półobwód trójkąta, 1/2 sumy jego boków (obwód)
α - kąt po przeciwnej stronie a trójkąta
β - kąt przeciwnej strony b trójkąta
γ - kąt przeciwnej strony c trójkąta
h a, h b , h c- wysokość trójkąta opuszczonego na bok a, b, c

Zwróć uwagę, że powyższa notacja odpowiada powyższemu rysunkowi, więc przy rozwiązywaniu rzeczywistego problemu z geometrią łatwiej byłoby Ci wizualnie zastąpić w właściwe miejsca formuły poprawne wartości.

• Obszar trójkąta to połowa iloczynu wysokości trójkąta i długości boku, na którym ta wysokość jest obniżona(Formuła 1). Poprawność tego wzoru można zrozumieć logicznie. Wysokość obniżona do podstawy podzieli dowolny trójkąt na dwa prostokątne. Jeśli uzupełnimy każdy z nich do prostokąta o wymiarach b i h, to oczywiście powierzchnia tych trójkątów będzie równa dokładnie połowie powierzchni prostokąta (Spr = bh)
• Obszar trójkąta to połowa iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi(Formuła 2) (patrz przykład rozwiązywania problemu za pomocą tego wzoru poniżej). Pomimo tego, że wydaje się inny od poprzedniego, łatwo można go w niego przekształcić. Jeśli obniżymy wysokość z kąta B na bok b, to okaże się, że iloczyn boku a i sinusa kąta γ, zgodnie z własnościami sinusa w trójkącie prostokątnym, jest równy wysokości trójkąta narysowanego przez nam, co da nam poprzedni wzór
• Można znaleźć obszar dowolnego trójkąta poprzez praca połowa promienia okręgu wpisanego w nią przez sumę długości wszystkich jego boków(Formuła 3), czyli trzeba pomnożyć półobwód trójkąta przez promień okręgu wpisanego (łatwiej to zapamiętać)
• Obszar dowolnego trójkąta można znaleźć, dzieląc iloczyn wszystkich jego boków przez 4 promienie okręgu opisanego wokół niego (wzór 4)
• Formuła 5 to znalezienie pola trójkąta pod względem długości jego boków i półobwodu (połowa sumy wszystkich jego boków)
• Formuła Herona(6) jest reprezentacją tego samego wzoru bez użycia pojęcia półobwodu, tylko poprzez długości boków
• Pole dowolnego trójkąta jest równe iloczynowi kwadratu boku trójkąta i sinusów kątów sąsiadujących z tym bokiem podzielonego przez podwójny sinus kąta przeciwnego do tego boku (wzór 7)
• Pole dowolnego trójkąta można znaleźć jako iloczyn dwóch kwadratów koła opisanego wokół niego i sinusów każdego z jego kątów. (Formuła 8)
• Jeśli znana jest długość jednego boku i wielkość dwóch sąsiadujących z nim kątów, wówczas obszar trójkąta można znaleźć jako kwadrat tego boku, podzielony przez podwójną sumę ich cotangensów kąty (wzór 9)
• Jeśli znana jest tylko długość każdej z wysokości trójkąta (Wzór 10), to powierzchnia takiego trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do długości tych wysokości, jak według Formuły Herona
• Formuła 11 pozwala obliczyć obszar trójkąta według współrzędnych jego wierzchołków, które podane są jako wartości (x;y) dla każdego z wierzchołków. Należy pamiętać, że otrzymaną wartość należy przyjąć modulo, ponieważ współrzędne poszczególnych (lub nawet wszystkich) wierzchołków mogą znajdować się w obszarze wartości ujemnych

Notatka. Poniżej znajdują się przykłady rozwiązywania problemów z geometrii w celu znalezienia obszaru trójkąta. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, podobnego do tego, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. W rozwiązaniach zamiast symbolu „ Pierwiastek kwadratowy" można użyć funkcji sqrt(), w której sqrt jest symbolem pierwiastka kwadratowego, a wyrażenie radykalne jest wskazane w nawiasach.Czasami symbol może być używany do prostych wyrażeń radykalnych √

Zadanie. Znajdź obszar podany z dwóch stron i kąt między nimi

Boki trójkąta mają 5 i 6 cm, a kąt między nimi wynosi 60 stopni. Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, posługujemy się wzorem numer dwa z teoretycznej części lekcji.
Pole trójkąta można znaleźć przez długości dwóch boków i sinus kąta między nimi i będzie równy
S=1/2 odb sin γ

Ponieważ mamy wszystkie niezbędne dane do rozwiązania (zgodnie ze wzorem), możemy jedynie podstawić wartości z warunku problemu do wzoru:
S=1/2*5*6*sin60

W tabeli wartości funkcje trygonometryczne znajdź i zastąp w wyrażeniu wartość sinusa 60 stopni. Będzie równy pierwiastkowi trzy na dwa.
S = 15 √3 / 2

Odpowiadać: 7,5 √3 (w zależności od wymagań nauczyciela, prawdopodobnie można zostawić 15 √3/2)

Zadanie. Znajdź obszar trójkąta równobocznego

Znajdź obszar trójkąta równobocznego o boku 3cm.

Rozwiązanie .

Pole trójkąta można znaleźć za pomocą wzoru Herona:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Ponieważ a \u003d b \u003d c, wzór na obszar trójkąta równobocznego przyjmie postać:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odpowiadać: 9 √3 / 4.

Zadanie. Zmiana obszaru przy zmianie długości boków

Ile razy zwiększy się powierzchnia trójkąta, jeśli boki będą czterokrotnie większe?

Rozwiązanie.

Ponieważ nie znamy wymiarów boków trójkąta, aby rozwiązać problem, przyjmiemy, że długości boków są odpowiednio równe dowolnym liczbom a, b, c. Następnie, aby odpowiedzieć na pytanie problemu, znajdujemy pole tego trójkąta, a następnie znajdujemy pole trójkąta, którego boki są czterokrotnie większe. Stosunek pól tych trójkątów da nam odpowiedź na problem.

Następnie podajemy tekstowe wyjaśnienie rozwiązania problemu w krokach. Jednak na samym końcu to samo rozwiązanie przedstawione jest w wygodniejszej do percepcji formie graficznej. Ci, którzy chcą, mogą natychmiast upuścić rozwiązanie.

Do rozwiązania używamy wzoru Czapla (patrz wyżej w części teoretycznej lekcji). To wygląda tak:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz pierwsza linia na poniższym obrazku)

Długości boków dowolnego trójkąta są określone przez zmienne a, b, c.
Jeśli boki zostaną zwiększone 4 razy, obszar nowego trójkąta c będzie wynosił:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(patrz druga linia na poniższym obrazku)

Jak widać, 4 to wspólny czynnik, który można wyjąć z nawiasów ze wszystkich czterech wyrażeń według Główne zasady matematyka.
Następnie

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - w trzecim wierszu obrazu
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - czwarta linia

Z liczby 256 pierwiastek kwadratowy jest idealnie wyodrębniony, więc wyciągniemy go spod pierwiastka
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz piąty wiersz rysunku poniżej)

Aby odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu, wystarczy podzielić obszar powstałego trójkąta przez obszar pierwotnego.
Stosunki powierzchni określamy dzieląc wyrażenia na siebie i redukując wynikowy ułamek.

Instrukcja

Imprezy i narożniki są uważane za elementy podstawowe a. Trójkąt jest całkowicie zdefiniowany przez dowolny z następujących podstawowych elementów: albo trzy boki, albo jeden bok i dwa kąty, albo dwa boki i kąt między nimi. O istnienie trójkąt zdefiniowane przez trzy strony a, b, c, konieczne i wystarczające jest, aby nierówności, zwane nierównościami trójkąt:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Do budowy trójkąt z trzech stron a, b, c należy z punktu C odcinka CB=a narysować okrąg o promieniu b za pomocą cyrkla. Następnie analogicznie narysuj okrąg z punktu B o promieniu równym boku c. Ich punkt przecięcia A jest trzecim wierzchołkiem pożądanego trójkąt ABC, gdzie AB=c, CB=a, CA=b - boki trójkąt. Problem polega na tym, że jeśli strony a, b, c spełniają nierówności trójkąt określone w kroku 1.

Tak zbudowana powierzchnia S trójkąt ABC z znane strony a, b, c, oblicza się według wzoru Herona:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdzie a, b, c są bokami trójkąt, p jest półobwodem.
p = (a+b+c)/2

Jeśli trójkąt jest równoboczny, to znaczy, że wszystkie jego boki są równe (a=b=c). trójkąt obliczona według wzoru:
S=(a^2 v3)/4

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to znaczy jeden z jego kątów wynosi 90 °, a tworzące go boki są nogami, trzecią stroną jest przeciwprostokątna. W tym przypadku kwadrat równa się iloczynowi nóg podzielonemu przez dwa.
S=ab/2

Znaleźć kwadrat trójkąt, możesz użyć jednej z wielu formuł. Wybierz formułę w zależności od tego, jakie dane są już znane.

Będziesz potrzebować

• znajomość wzorów na znalezienie pola trójkąta

Instrukcja

Jeśli znasz wartość jednego z boków i wartość wysokości opuszczonej na tę stronę z przeciwległego narożnika, możesz znaleźć pole za pomocą następującego wzoru: S = a*h/2, gdzie S jest polem ​trójkąt, a to jeden z boków trójkąta, a h - wysokość do boku a.

Znany jest sposób określenia pola trójkąta, jeśli znane są trzy jego boki. Ona jest formułą Herona. Aby uprościć jego rejestrację, wprowadza się wartość pośrednią - półobwód: p \u003d (a + b + c) / 2, gdzie a, b, c - . Wtedy wzór Herona wygląda następująco: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ potęga.

Załóżmy, że znasz jeden z boków trójkąta i trzy kąty. Wtedy łatwo jest wyznaczyć pole trójkąta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdzie β to kąt przeciwny do boku a, a α i γ to kąty sąsiadujące z bokiem.

Powiązane wideo

Notatka

Najbardziej ogólną formułą odpowiednią dla wszystkich przypadków jest formuła Herona.

Źródła:

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar trójkąta o trzech bokach?

Znalezienie obszaru trójkąta to jedno z najczęstszych zadań planimetria szkoły. Znajomość trzech boków trójkąta wystarczy, aby określić obszar dowolnego trójkąta. W szczególnych przypadkach i trójkątach równobocznych wystarczy znać długości odpowiednio dwóch i jednego boku.

Będziesz potrzebować

• długości boków trójkątów, wzór Herona, twierdzenie cosinus

Instrukcja

Wzór Herona na pole trójkąta jest następujący: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jeśli namalujesz półobwód p, otrzymasz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Możesz również wyprowadzić wzór na pole trójkąta z rozważań, na przykład stosując twierdzenie cosinus.

Z prawa cosinusów AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Używając wprowadzonej notacji, mogą one mieć również postać: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Stąd cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Pole trójkąta znajduje się również według wzoru S = a*c*sin(ABC)/2 przez dwa boki i kąt między nimi. Sinus kąta ABC można wyrazić za pomocą funkcji basic tożsamość trygonometryczna: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Podstawiając sinus do wzoru na pole i malując go, możemy otrzymać wzór na pole trójkąta ABC.

Powiązane wideo

Do prace naprawcze może wymagać pomiaru kwadratściany. Łatwiej jest obliczyć wymaganą ilość farby lub tapety. Do pomiarów najlepiej użyć taśmy mierniczej lub centymetrowej. Pomiary należy wykonać po ściany zostały wyrównane.

Będziesz potrzebować

• -ruletka;
• -drabina.

Instrukcja

Liczyć kwadratściany, musisz wiedzieć dokładna wysokość sufity, a także zmierzyć długość wzdłuż podłogi. Odbywa się to w następujący sposób: weź centymetr, połóż go na cokole. Zwykle centymetr nie wystarcza na całą długość, więc przymocuj go w rogu, a następnie rozwiń do maksymalnej długości. W tym momencie należy zaznaczyć ołówkiem, wynik zapisać i w ten sam sposób przeprowadzić dalsze pomiary, zaczynając od ostatni punkt pomiar.

Standardowe sufity w typowym - 2 metry 80 centymetrów, 3 metry i 3 metry 20 centymetrów, w zależności od domu. Jeśli dom został zbudowany przed latami 50., najprawdopodobniej rzeczywista wysokość jest nieco niższa niż wskazana. Jeśli kalkulujesz kwadrat w przypadku prac naprawczych niewielki margines nie zaszkodzi - rozważ w oparciu o standard. Jeśli nadal potrzebujesz znać rzeczywisty wzrost - wykonaj pomiary. Zasada jest podobna do pomiaru długości, ale będziesz potrzebować drabiny.

Pomnóż otrzymane liczby - to jest kwadrat twój ściany. To prawda, do prac malarskich lub do odjęcia kwadrat otwory drzwiowe i okienne. Aby to zrobić, połóż centymetr wzdłuż otworu. Jeśli rozmawiamy o drzwiach, które później zamierzasz wymienić, a następnie wykonaj przy zdjętej ościeżnicy, biorąc pod uwagę tylko kwadrat samo otwarcie. Powierzchnia okna jest obliczana na obwodzie jego ramy. Później kwadrat obliczone okna i drzwi, odejmij wynik od całkowitej powierzchni uzyskanego pomieszczenia.

Należy pamiętać, że pomiary długości i szerokości pomieszczenia są przeprowadzane razem, łatwiej jest ustalić centymetr lub taśmę mierniczą i odpowiednio uzyskać dokładniejszy wynik. Wykonaj ten sam pomiar kilka razy, aby upewnić się, że otrzymane liczby są dokładne.

Powiązane wideo

Znalezienie objętości trójkąta jest rzeczywiście nietrywialnym zadaniem. Faktem jest, że trójkąt to figura dwuwymiarowa, tj. leży całkowicie w jednej płaszczyźnie, co oznacza, że ​​po prostu nie ma objętości. Oczywiście nie możesz znaleźć czegoś, co nie istnieje. Ale nie poddawajmy się! Możemy przyjąć następujące założenie - objętość dwuwymiarowej figury, to jest jej powierzchnia. Poszukujemy obszaru trójkąta.

Będziesz potrzebować

• kartka papieru, ołówek, linijka, kalkulator

Instrukcja

Narysuj na kartce papieru linijką i ołówkiem. Uważnie badając trójkąt, możesz upewnić się, że tak naprawdę nie ma, ponieważ jest narysowany na płaszczyźnie. Oznacz boki trójkąta: niech jeden bok będzie bokiem „a”, drugi bok „b”, a trzeci bok „c”. Oznacz wierzchołki trójkąta literami „A”, „B” i „C”.

Zmierz dowolny bok trójkąta linijką i zapisz wynik. Następnie przywróć prostopadłość do mierzonej strony z przeciwległego wierzchołka, taka prostopadła będzie wysokość trójkąta. W przypadku pokazanym na rysunku, prostopadła „h” jest przywrócona do boku „c” od wierzchołka „A”. Zmierz uzyskaną wysokość linijką i zapisz wynik pomiaru.

Może się zdarzyć, że trudno będzie przywrócić dokładną prostopadłość. W takim przypadku powinieneś użyć innej formuły. Zmierz wszystkie boki trójkąta linijką. Następnie oblicz połowę obwodu trójkąta „p”, dodając otrzymane długości boków i dzieląc ich sumę na pół. Mając do dyspozycji wartość półobwodu, możesz użyć wzoru Czapla. Aby to zrobić, musisz wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z następującego: p(p-a)(p-b)(p-c).

Uzyskałeś pożądany obszar trójkąta. Problem znalezienia objętości trójkąta nie został rozwiązany, ale jak wspomniano powyżej, objętość nie jest . Możesz znaleźć objętość, która jest zasadniczo trójkątem w świecie 3D. Jeśli wyobrazimy sobie, że nasz pierwotny trójkąt stał się trójwymiarową piramidą, to objętość takiej piramidy będzie iloczynem długości jej podstawy i pola otrzymanego trójkąta.

Notatka

Obliczenia będą tym dokładniejsze, im dokładniej wykonasz pomiary.

Źródła:

• Kalkulator „wszystko do wszystkich” — portal referencyjny
• wielkość trójkąta w 2019 r.

Trzy punkty, które jednoznacznie definiują trójkąt w kartezjańskim układzie współrzędnych, to jego wierzchołki. Znając ich położenie względem każdej z osi współrzędnych, możesz obliczyć dowolne parametry tej płaskiej figury, w tym ograniczonej jej obwodem kwadrat. Można to zrobić na kilka sposobów.

Instrukcja

Użyj wzoru Herona, aby obliczyć powierzchnię trójkąt. Obejmuje wymiary trzech boków figury, więc zacznij obliczenia od. Długość każdego boku musi być równa pierwiastkowi sumy kwadratów długości jego rzutów na osiach współrzędnych. Jeśli oznaczymy współrzędne A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), to długości ich boków można wyrazić następująco: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Aby uprościć obliczenia, wprowadź zmienną pomocniczą - półobwód (P). Z tego jest to połowa sumy długości wszystkich boków: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Jak być może pamiętasz ze szkolnego programu nauczania geometrii, trójkąt to figura utworzona z trzech segmentów połączonych trzema punktami, które nie leżą na jednej linii prostej. Trójkąt tworzy trzy kąty, stąd nazwa figury. Definicja może być inna. Trójkąt można również nazwać wielokątem z trzema rogami, odpowiedź będzie równie prawdziwa. Trójkąty są podzielone według liczby równych boków i wielkości kątów na rysunkach. Rozróżnij więc takie trójkąty jak równoramienne, równoboczne i pochyłe, a także odpowiednio prostokątne, ostrokątne i rozwarte.

Istnieje wiele formuł obliczania pola trójkąta. Wybierz, jak znaleźć obszar trójkąta, tj. której formuły użyć, tylko Ty. Warto jednak zwrócić uwagę tylko na niektóre zapisy używane w wielu formułach do obliczania pola trójkąta. Więc pamiętaj:

S to obszar trójkąta,

a, b, c to boki trójkąta,

h to wysokość trójkąta,

R jest promieniem opisanego okręgu,

p to półobwód.

Oto podstawowe zapisy, które mogą się przydać, jeśli zupełnie zapomniałeś o geometrii. Najbardziej zrozumiałe i niezbyt skomplikowane opcje obliczania nieznanego i tajemniczego obszaru trójkąta zostaną podane poniżej. Nie jest to trudne i przyda się zarówno dla potrzeb domowych, jak i dla pomocy dzieciom. Pamiętajmy, jak obliczyć powierzchnię trójkąta tak łatwo, jak łuskanie gruszek:

W naszym przypadku pole trójkąta to: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Pamiętaj, że powierzchnia jest mierzona w centymetrach kwadratowych (cm2).

Trójkąt prostokątny i jego powierzchnia.

Trójkąt prostokątny to trójkąt o jednym kącie równym 90 stopni (stąd nazwany trójkątem prostokątnym). Kąt prosty tworzą dwie prostopadłe linie (w przypadku trójkąta dwa prostopadłe segmenty). W trójkącie prostokątnym może być tylko jeden kąt prosty, ponieważ suma wszystkich kątów jednego trójkąta wynosi 180 stopni. Okazuje się, że 2 inne kąty powinny dzielić między sobą pozostałe 90 stopni, na przykład 70 i 20, 45 i 45 itd. Więc zapamiętałeś najważniejsze, pozostaje dowiedzieć się, jak znaleźć obszar trójkąt prostokątny. Wyobraź sobie, że mamy przed sobą taki trójkąt prostokątny i musimy znaleźć jego obszar S.

1. Najłatwiejszy sposób wyznaczenia pola trójkąta prostokątnego oblicza się za pomocą następującego wzoru:

W naszym przypadku pole trójkąta prostokątnego to: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.

W zasadzie nie ma już potrzeby weryfikacji pola trójkąta innymi sposobami, ponieważ w życiu codziennym przyda się i tylko ten pomoże. Ale są też opcje pomiaru powierzchni trójkąta pod kątem ostrym.

2. W przypadku innych metod obliczeniowych musisz mieć tabelę cosinusów, sinusów i tangensów. Oceń sam, oto kilka opcji obliczania obszarów trójkąta prostokątnego, których nadal możesz użyć:

Postanowiliśmy użyć pierwszej formuły i małymi kleksami (narysowaliśmy w zeszycie i użyliśmy stary władca i kątomierz), ale otrzymaliśmy prawidłowe obliczenie:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Otrzymaliśmy takie wyniki 3,6=3,7, ale biorąc pod uwagę przesunięcie komórki, możemy wybaczyć ten niuans.

Trójkąt równoramienny i jego powierzchnia.

Jeśli staniesz przed zadaniem obliczenia wzoru trójkąta równoramiennego, najłatwiej jest użyć głównego i, jak uważa się, klasycznej formuły dla obszaru trójkąta.

Ale najpierw, zanim znajdziemy obszar trójkąta równoramiennego, dowiemy się, jaki to jest kształt. Trójkąt równoramienny to trójkąt, którego dwa boki są tej samej długości. Te dwie strony nazywane są bokami, trzecia strona nazywana jest podstawą. Nie myl trójkąta równoramiennego z równobocznym, tj. trójkąt równoboczny o równych wszystkich trzech bokach. W takim trójkącie nie ma szczególnych tendencji do kątów, a raczej do ich wielkości. Jednak kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równe, ale różnią się od kąta między równymi bokami. Znasz już pierwszą i główną formułę, pozostaje dowiedzieć się, jakie inne wzory na określenie pola trójkąta równoramiennego są znane:

Trójkąt to taka figura geometryczna, która składa się z trzech linii prostych łączących się w punktach, które nie leżą na jednej linii prostej. Punktami połączenia linii są wierzchołki trójkąta, które są oznaczone z literami łacińskimi(na przykład A, B, C). Łączące proste linie trójkąta nazywane są segmentami, które są również zwykle oznaczane literami łacińskimi. Istnieją następujące rodzaje trójkątów:

• Prostokątny.
• rozwarty.
• Ostre pod kątem.
• Wszechstronny.
• Równoboczny.
• Równoramienny.

Ogólne wzory do obliczania pola trójkąta

Wzór na obszar trójkąta dla długości i wysokości

S=a*h/2,
gdzie a jest długością boku trójkąta, którego pole ma zostać znalezione, h jest długością wysokości narysowanej do podstawy.

Formuła Herona

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
gdzie √ to pierwiastek kwadratowy, p to półobwód trójkąta, a,b,c to długość każdego boku trójkąta. Półobwód trójkąta można obliczyć ze wzoru p=(a+b+c)/2.

Wzór na pole trójkąta pod względem kąta i długości odcinka

S = (a*b*sin(α))/2,
gdzie b, c to długość boków trójkąta, sin (α) jest sinusem kąta między dwoma bokami.

Wzór na pole trójkąta z uwzględnieniem promienia okręgu wpisanego i trzech boków

S=p*r,
gdzie p jest półobwodem trójkąta, którego pole ma zostać znalezione, r jest promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wzór na pole trójkąta o trzech bokach i promieniu okręgu opisanego wokół niego

S= (a*b*c)/4*R,
gdzie a,b,c to długość każdego boku trójkąta, R to promień okręgu opisanego wokół trójkąta.

Wzór na pole trójkąta we współrzędnych kartezjańskich punktów

Współrzędne kartezjańskie punktów są współrzędnymi w układzie xOy, gdzie x to odcięta, a y to rzędna. Kartezjański układ współrzędnych xOy na płaszczyźnie nazywamy wzajemnie prostopadłymi osiami liczbowymi Ox i Oy ze wspólnym punktem odniesienia w punkcie O. Jeżeli współrzędne punktów na tej płaszczyźnie podane są w postaci A (x1, y1), B (x2 , y2) i C (x3, y3 ), możesz obliczyć pole trójkąta za pomocą następującego wzoru, który otrzymuje się z iloczynu krzyżowego dwóch wektorów.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdzie || oznacza moduł.

Jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego

Trójkąt prostokątny to trójkąt, który ma jeden kąt 90 stopni. Trójkąt może mieć tylko jeden taki kąt.

Wzór na obszar trójkąta prostokątnego na dwóch nogach

S=a*b/2,
gdzie a,b to długość nóg. Nogi nazywane są bokami przylegającymi do kąta prostego.

Wzór na obszar trójkąta prostokątnego z uwzględnieniem przeciwprostokątnej i kąta ostrego

S = a*b*sin(α)/2,
gdzie a, b są ramionami trójkąta, a sin(α) jest sinusem kąta, pod którym przecinają się proste a, b.

Wzór na pole trójkąta prostokątnego według nogi i kąta przeciwnego

S = a*b/2*tg(β),
gdzie a, b są ramionami trójkąta, tg(β) jest styczną kąta, pod którym ramiona a, b są połączone.

Jak obliczyć powierzchnię trójkąta równoramiennego?

Trójkąt równoramienny to taki, który ma dwa równe boki. Te strony nazywane są bokami, a druga strona to podstawa. Możesz użyć jednego z poniższych wzorów, aby obliczyć powierzchnię trójkąta równoramiennego.

Podstawowy wzór do obliczania pola trójkąta równoramiennego

S=h*c/2,
gdzie c jest podstawą trójkąta, h jest wysokością trójkąta opuszczonego do podstawy.

Wzór trójkąta równoramiennego na boku i podstawie

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdzie c jest podstawą trójkąta, a jest wartością jednego z boków trójkąta równoramiennego.

Jak znaleźć obszar trójkąta równobocznego

Trójkąt równoboczny to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe. Aby obliczyć powierzchnię trójkąta równobocznego, możesz użyć następującego wzoru:
S = (√3*a*a)/4,
gdzie a jest długością boku trójkąta równobocznego.

Powyższe wzory pozwolą ci obliczyć wymagany obszar trójkąta. Należy pamiętać, że aby obliczyć rozstaw trójkątów, należy wziąć pod uwagę rodzaj trójkąta i dostępne dane, które można wykorzystać do obliczeń.