Ten artykuł kontynuuje temat równania linii prostej na płaszczyźnie: rozważ ten typ równania, jako ogólne równanie prosty. Zdefiniujmy twierdzenie i podajmy jego dowód; Zastanówmy się, czym jest niepełne równanie ogólne linii prostej i jak dokonać przejść od równania ogólnego do innych typów równań linii prostej. Całą teorię skonsolidujemy z ilustracjami i rozwiązywaniem praktycznych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Niech na płaszczyźnie będzie podany prostokątny układ współrzędnych O x y.

Twierdzenie 1

Każde równanie pierwszego stopnia, mające postać A x + B y + C \u003d 0, gdzie A, B, C to niektóre liczby rzeczywiste (A i B nie są jednocześnie równe zeru) definiuje linię prostą w prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie. Z kolei dowolna linia w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie jest określona równaniem, które ma postać A x + B y + C = 0 dla pewnego zestawu wartości A, B, C.

Dowód

Twierdzenie to składa się z dwóch punktów, każdy z nich udowodnimy.

1. Udowodnijmy, że równanie A x + B y + C = 0 definiuje prostą na płaszczyźnie.

Niech będzie jakiś punkt M 0 (x 0 , y 0), którego współrzędne odpowiadają równaniu A x + B y + C = 0 . Zatem: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odejmij od lewej i prawej strony równań A x + B y + C \u003d 0 lewą i prawą stronę równania A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, otrzymujemy nowe równanie, które wygląda jak A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Jest to równoważne A x + B y + C = 0 .

Wynikowe równanie A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla prostopadłości wektorów n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, r - r 0 ) . Zatem zbiór punktów M (x, y) definiuje w prostokątnym układzie współrzędnych linię prostą prostopadłą do kierunku wektora n → = (A, B) . Możemy założyć, że tak nie jest, ale wtedy wektory n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nie byłyby prostopadłe, a równość A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nie byłoby prawdą.

Dlatego równanie A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definiuje pewną linię w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie, a zatem równoważne równanie A x + B y + C \u003d 0 definiuje tę samą linię. W ten sposób udowodniliśmy pierwszą część twierdzenia.

1. Udowodnijmy, że dowolną prostą w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie można podać równaniem pierwszego stopnia A x + B y + C = 0 .

Ustawmy linię prostą a w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie; punkt M 0 (x 0 , y 0), przez który przechodzi ta linia, a także wektor normalny tej linii n → = (A , B) .

Niech będzie też jakiś punkt M (x , y) - punkt zmiennoprzecinkowy prostej. W tym przypadku wektory n → = (A , B) i M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) są prostopadłe do siebie, a ich iloczyn skalarny wynosi zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Przepiszmy równanie A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , zdefiniujmy C: C = - A x 0 - B y 0 i na koniec uzyskajmy równanie A x + B y + C = 0 .

Udowodniliśmy więc drugą część twierdzenia i udowodniliśmy całe twierdzenie jako całość.

Definicja 1

Równanie, które wygląda jak A x + B y + C = 0 - Ten ogólne równanie prostej na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnychO x y .

Na podstawie udowodnionego twierdzenia możemy stwierdzić, że prosta podana na płaszczyźnie w ustalonym prostokątnym układzie współrzędnych i jej równanie ogólne są ze sobą nierozerwalnie związane. Innymi słowy, oryginalna linia odpowiada jej ogólnemu równaniu; danej linii prostej odpowiada ogólne równanie prostej.

Z dowodu twierdzenia wynika również, że współczynniki A i B dla zmiennych x i y są współrzędnymi wektora normalnego prostej, który jest podany przez ogólne równanie prostej A x + B y + C = 0 .

Rozważ konkretny przykład ogólnego równania linii prostej.

Niech dane będzie równanie 2 x + 3 y - 2 = 0, które odpowiada prostej w danym prostokątnym układzie współrzędnych. Wektor normalny tej linii to wektor n → = (2 , 3) ​​​​. Narysuj daną linię prostą na rysunku.

Można również argumentować, co następuje: linia prosta, którą widzimy na rysunku, jest wyznaczona przez ogólne równanie 2 x + 3 y - 2 = 0, ponieważ współrzędne wszystkich punktów danej linii prostej odpowiadają temu równaniu.

Możemy otrzymać równanie λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 przez pomnożenie obu stron ogólnego równania prostej przez niezerową liczbę λ. Wynikowe równanie jest równoważne pierwotnemu równaniu ogólnemu, dlatego będzie opisywać tę samą linię na płaszczyźnie.

Definicja 2

Uzupełnij równanie ogólne prostej- takie ogólne równanie linii A x + B y + C \u003d 0, w którym liczby A, B, C są niezerowe. W przeciwnym razie równanie to niekompletny.

Przeanalizujmy wszystkie odmiany niepełnego ogólnego równania prostej.

1. Gdy A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, równanie ogólne staje się B y + C \u003d 0. Takie niepełne równanie ogólne definiuje prostą w prostokątnym układzie współrzędnych O x y, która jest równoległa do osi O x, ponieważ dla każdej rzeczywistej wartości x zmienna y przyjmie wartość - C B . Innymi słowy, ogólne równanie linii A x + B y + C \u003d 0, gdy A \u003d 0, B ≠ 0, określa położenie punktów (x, y), których współrzędne są równe tej samej liczbie - C B .
2. Jeśli A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, równanie ogólne staje się y \u003d 0. Takie niepełne równanie definiuje oś x O x .
3. Gdy A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, otrzymujemy niepełne ogólne równanie A x + C \u003d 0, definiujące linię prostą równoległą do osi y.
4. Niech A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, wtedy niekompletne równanie ogólne przyjmie postać x \u003d 0 i jest to równanie linii współrzędnych O y.
5. Wreszcie, gdy A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, niekompletne równanie ogólne przyjmuje postać A x + B y \u003d 0. A to równanie opisuje linię prostą, która przechodzi przez początek. Rzeczywiście, para liczb (0 , 0) odpowiada równości A x + B y = 0 , ponieważ A · 0 + B · 0 = 0 .

Zilustrujmy graficznie wszystkie powyższe typy niepełnego ogólnego równania prostej.

Przykład 1

Wiadomo, że dana prosta jest równoległa do osi y i przechodzi przez punkt 2 7 , - 11 . Konieczne jest spisanie ogólnego równania danej prostej.

Decyzja

Linia prosta równoległa do osi y jest określona równaniem o postaci A x + C \u003d 0, w którym A ≠ 0. Warunek określa również współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta, a współrzędne tego punktu odpowiadają warunkom niepełnego równania ogólnego A x + C = 0 , tj. równość jest poprawna:

A 2 7 + C = 0

Można z niego wyznaczyć C, podając A pewną niezerową wartość, na przykład A = 7 . W takim przypadku otrzymujemy: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Znamy oba współczynniki A i C, podstawiamy je do równania A x + C = 0 i otrzymujemy wymagane równanie prostej: 7 x - 2 = 0

Odpowiedź: 7 x - 2 = 0

Przykład 2

Rysunek przedstawia linię prostą, należy zapisać jej równanie.

Decyzja

Podany rysunek pozwala nam w łatwy sposób pobrać wstępne dane do rozwiązania problemu. Na rysunku widzimy, że dana linia jest równoległa do osi O x i przechodzi przez punkt (0 , 3) ​​​​.

Linia prosta, równoległa do odciętej, jest określona przez niepełne ogólne równanie B y + С = 0. Znajdź wartości B i C . Współrzędne punktu (0, 3), ponieważ przechodzi przez niego dana linia prosta, spełnią równanie linii prostej B y + С = 0, wtedy równość jest ważna: В · 3 + С = 0. Ustawmy B na wartość inną niż zero. Powiedzmy, że B \u003d 1, w tym przypadku z równości B · 3 + C \u003d 0 możemy znaleźć C: C \u003d - 3. Używamy znane wartości B i C, otrzymujemy wymagane równanie linii: y - 3 = 0.

Odpowiedź: y - 3 = 0 .

Ogólne równanie prostej przechodzącej przez dany punkt na płaszczyźnie

Niech dana linia przechodzi przez punkt M 0 (x 0, y 0), wtedy jej współrzędne odpowiadają ogólnemu równaniu linii, tj. równość jest prawdziwa: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odejmij lewą i prawą stronę tego równania od lewej i prawej strony generała pełne równanie prosty. Otrzymujemy: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, to równanie jest równoważne pierwotnemu ogólnemu, przechodzi przez punkt M 0 (x 0, y 0) i ma wektor normalny n → \u003d (A, B) .

Otrzymany wynik pozwala na zapisanie ogólnego równania prostej dla znanych współrzędnych wektora normalnego prostej oraz współrzędnych pewnego punktu tej prostej.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę punkt M 0 (- 3, 4), przez który przechodzi prosta, oraz wektor normalny tej prostej n → = (1 , - 2) . Konieczne jest spisanie równania danej prostej.

Decyzja

Warunki początkowe pozwalają nam uzyskać niezbędne dane do skompilowania równania: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Następnie:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problem można było rozwiązać inaczej. Ogólne równanie prostej ma postać A x + B y + C = 0 . Podany wektor normalny pozwala uzyskać wartości współczynników A i B , wtedy:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Teraz znajdź wartość C za pomocą podane przez warunek punkt problemowy M 0 (- 3 , 4) przez który przechodzi prosta. Współrzędne tego punktu odpowiadają równaniu x - 2 · y + C = 0 , czyli - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Stąd C = 11. Wymagane równanie linii prostej ma postać: x - 2 · y + 11 = 0 .

Odpowiedź: x - 2 r + 11 = 0 .

Przykład 4

Dana prosta 2 3 x - y - 1 2 = 0 i punkt M 0 leżący na tej prostej. Znana jest tylko odcięta tego punktu i jest ona równa - 3. Konieczne jest wyznaczenie rzędnej danego punktu.

Decyzja

Ustawmy oznaczenie współrzędnych punktu M 0 jako x 0 i y 0 . Wstępne dane wskazują, że x 0 \u003d - 3. Ponieważ punkt należy do danej prostej, to jego współrzędne odpowiadają ogólnemu równaniu tej prostej. Wtedy prawdziwa będzie następująca równość:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Zdefiniuj y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Odpowiedź: - 5 2

Przejście od ogólnego równania prostej do innych typów równań prostej i odwrotnie

Jak wiemy, na płaszczyźnie istnieje kilka rodzajów równań tej samej prostej. Wybór typu równania zależy od warunków problemu; możliwe jest wybranie tego, który jest wygodniejszy dla jego rozwiązania. W tym miejscu bardzo przydatna jest umiejętność zamiany równania jednego rodzaju na równanie innego rodzaju.

Najpierw rozważ przejście od ogólnego równania postaci A x + B y + C = 0 do równania kanonicznego x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jeżeli A ≠ 0, to przenosimy wyraz B y na prawą stronę równania ogólnego. Po lewej stronie wyjmujemy A z nawiasów. W rezultacie otrzymujemy: A x + C A = - B y .

Równość tę można zapisać jako proporcję: x + C A - B = y A .

Jeśli B ≠ 0, zostawiamy tylko wyraz A x po lewej stronie równania ogólnego, pozostałe przenosimy na prawą stronę, otrzymujemy: A x \u003d - B y - C. Wyciągamy - B z nawiasów, a następnie: A x \u003d - B y + C B.

Zapiszmy równość jako proporcję: x - B = y + C B A .

Oczywiście nie ma potrzeby zapamiętywania powstałych formuł. Wystarczy znać algorytm działań podczas przejścia z równania ogólnego do kanonicznego.

Przykład 5

Podano ogólne równanie linii 3 y - 4 = 0. Musi zostać przekształcony w równanie kanoniczne.

Decyzja

Piszemy oryginalne równanie jako 3 y - 4 = 0 . Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem: wyraz 0 x pozostaje po lewej stronie; a po prawej stronie wyjmujemy - 3 z nawiasów; otrzymujemy: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Zapiszmy wynikową równość jako proporcję: x - 3 = y - 4 3 0 . W ten sposób otrzymaliśmy równanie postaci kanonicznej.

Odpowiedź: x - 3 = y - 4 3 0.

Aby przekształcić ogólne równanie prostej na równania parametryczne, najpierw przechodzi się do Forma kanoniczna, a następnie przejście od równania kanonicznego prostej do równań parametrycznych.

Przykład 6

Linia prosta jest równa równaniu 2 x - 5 y - 1 = 0 . Zapisz równania parametryczne tego wiersza.

Decyzja

Zróbmy przejście od równania ogólnego do równania kanonicznego:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Przyjmijmy teraz obie części wynikowego równania kanonicznego równe λ, a następnie:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Odpowiedź:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ogólne równanie można przekształcić w równanie linii prostej z współczynnik nachylenia y \u003d k x + b, ale tylko wtedy, gdy B ≠ 0. Dla przejścia po lewej stronie zostawiamy wyraz B y , reszta jest przenoszona w prawo. Otrzymujemy: B y = - A x - C . Podzielmy obie części wynikowej równości przez B , które jest różne od zera: y = - A B x - C B .

Przykład 7

Podano ogólne równanie prostej: 2 x + 7 y = 0 . Musisz przekonwertować to równanie na równanie nachylenia.

Decyzja

Wykonajmy niezbędne czynności zgodnie z algorytmem:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Odpowiedź: y = - 2 7 x .

Z ogólnego równania linii prostej wystarczy po prostu uzyskać równanie w segmentach postaci x a + y b \u003d 1. Aby dokonać takiego przejścia, przenosimy liczbę C na prawą stronę równości, dzielimy obie części wynikowej równości przez - С i na koniec przenosimy współczynniki dla zmiennych x i y do mianowników:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Przykład 8

Konieczne jest przekształcenie ogólnego równania linii prostej x - 7 y + 1 2 = 0 na równanie linii prostej w odcinkach.

Decyzja

Przesuńmy 1 2 na prawą stronę: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Podziel przez -1/2 obie strony równania: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Odpowiedź: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ogólnie rzecz biorąc, przejście odwrotne również jest łatwe: od innych typów równań do równań ogólnych.

Równanie prostej w odcinkach i równanie ze spadkiem można łatwo przekształcić w ogólne, po prostu zbierając wszystkie wyrazy po lewej stronie równania:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Równanie kanoniczne jest konwertowane na ogólne zgodnie z następującym schematem:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Aby przejść od parametrycznego, najpierw dokonuje się przejścia do kanonicznego, a następnie do ogólnego:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Przykład 9

Podano równania parametryczne prostej x = - 1 + 2 · λ y = 4. Konieczne jest spisanie ogólnego równania tego wiersza.

Decyzja

Przejdźmy od równań parametrycznych do kanonicznych:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Przejdźmy od kanonicznego do ogólnego:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Odpowiedź: y - 4 = 0

Przykład 10

Podano równanie linii prostej w odcinkach x 3 + y 1 2 = 1. Konieczne jest przejście do ogólny widok równania.

Decyzja:

Po prostu przepiszmy równanie w wymaganej postaci:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Odpowiedź: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sporządzanie ogólnego równania linii prostej

Powyżej powiedzieliśmy, że ogólne równanie można zapisać ze znanymi współrzędnymi wektora normalnego i współrzędnymi punktu, przez który przechodzi prosta. Taką linię prostą definiuje równanie A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . W tym samym miejscu przeanalizowaliśmy odpowiedni przykład.

Przyjrzyjmy się teraz bardziej złożonym przykładom, w których najpierw trzeba określić współrzędne wektora normalnego.

Przykład 11

Dana prosta równoległa do prostej 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Znany jest również punkt M 0 (4 , 1), przez który przechodzi dana prosta. Konieczne jest spisanie równania danej prostej.

Decyzja

Warunki początkowe mówią nam, że proste są równoległe, więc jako wektor normalny prostej, której równanie należy zapisać, przyjmujemy wektor kierunkowy prostej n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Teraz znamy wszystkie dane niezbędne do skomponowania ogólnego równania linii prostej:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Odpowiedź: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Przykład 12

Dana linia przechodzi przez początek prostopadły do ​​linii x-2 3 = y + 4 5 . Konieczne jest napisanie ogólnego równania danej prostej.

Decyzja

Wektor normalny danej linii będzie wektorem kierunkowym prostej x - 2 3 = y + 4 5 .

Wtedy n → = (3 , 5) . Linia prosta przechodzi przez początek, tj. przez punkt O (0, 0) . Skomponujmy ogólne równanie danej prostej:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odpowiedź: 3 x + 5 y = 0 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Niech zostaną podane dwa punkty M 1 (x 1, y 1) oraz M 2 (x 2, r 2). Piszemy równanie prostej w postaci (5), gdzie k dotychczas nieznany współczynnik:

Od punktu M 2 należy do danej prostej, to jej współrzędne spełniają równanie (5): . Wyrażając stąd i podstawiając do równania (5), otrzymujemy pożądane równanie:

Jeśli To równanie można przepisać w postaci łatwiejszej do zapamiętania:

(6)

Przykład. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)

Decyzja. . Korzystając z właściwości proporcji i wykonując niezbędne przekształcenia, otrzymujemy ogólne równanie linii prostej:

Kąt między dwiema liniami

Rozważ dwie linie l 1 oraz l 2:

l 1: , , oraz

l 2: , ,

φ to kąt między nimi (). Rysunek 4 przedstawia: .

Stąd , lub

Za pomocą wzoru (7) można wyznaczyć jeden z kątów między liniami. Drugi kąt to .

Przykład. Dwie proste dane są równaniami y=2x+3 i y=-3x+2. znajdź kąt między tymi liniami.

Decyzja. Z równań widać, że k 1 \u003d 2 i k 2 \u003d-3. podstawiając te wartości do wzoru (7), znajdujemy

. Więc kąt między tymi liniami wynosi .

Warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych

Jeśli prosto l 1 oraz l 2 są równoległe, więc φ=0 oraz tgφ=0. ze wzoru (7) wynika, że ​​, skąd k 2 \u003d k 1. Zatem warunkiem równoległości dwóch linii jest równość ich nachylenia.

Jeśli prosto l 1 oraz l 2 prostopadle, to φ=π/2, α2 = π/2+ α1. . Zatem warunkiem, aby dwie linie proste były prostopadłe, jest to, że ich nachylenia są odwrotne pod względem wielkości i przeciwne pod względem znaku.

Odległość od punktu do linii

Twierdzenie. Jeśli podano punkt M(x 0, y 0), to odległość do linii Ax + Vy + C \u003d 0 jest zdefiniowana jako

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej opuszczonej z punktu M do danej prostej. Wtedy odległość między punktami M i M 1:

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu to równanie przechodzącej przez linię prostą dany punkt M 0 jest prostopadły do ​​danej linii.

Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie, rozwiązując, otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 są prostopadłe.

Znajdujemy: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, dlatego linie są prostopadłe.

Przykład. Podano wierzchołki trójkąta A(0;1), B(6;5)), C(12;-1). Znajdź równanie na wysokość narysowaną z wierzchołka C.

Znajdujemy równanie boku AB: ; 4x = 6 lat - 6;

2x - 3 lata + 3 = 0;

Pożądane równanie wysokości to: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b.

k= . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, to jego współrzędne spełniają to równanie: skąd b = 17. Razem: .

Odpowiedź: 3x + 2 lata - 34 = 0.

Odległość od punktu do prostej jest określona przez długość prostopadłej opuszczonej z punktu do prostej.

Jeśli linia jest równoległa do płaszczyzny rzutowania (h | | P 1), a następnie w celu określenia odległości od punktu ALE prosto h konieczne jest opuszczenie z punktu prostopadłego ALE do poziomu h.

Rozważ więcej złożony przykład kiedy linia jest zajęta stanowisko ogólne. Niech będzie konieczne określenie odległości od punktu M prosto a ogólne stanowisko.

Zadanie definicji odległości między liniami równoległymi rozwiązany podobnie jak poprzedni. Na jednej linii pobierany jest punkt, a od niego do innej linii narysowana jest prostopadła. Długość prostopadłej jest równa odległości między liniami równoległymi.

Krzywa drugiego rzędu jest linią określoną równaniem drugiego stopnia w odniesieniu do aktualnych współrzędnych kartezjańskich. W ogólnym przypadku Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

gdzie A, B, C, D, E, F to liczby rzeczywiste i przynajmniej jedna z liczb A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Koło

Centrum koła- jest to położenie punktów w płaszczyźnie równoodległej od punktu płaszczyzny C (a, b).

Okrąg jest określony następującym równaniem:

Gdzie x, y są współrzędnymi dowolnego punktu na okręgu, R jest promieniem okręgu.

Znak równania okręgu

1. Nie ma wyrazu z x, y

2. Współczynniki przy x 2 i y 2 są równe

Elipsa

Elipsa nazywamy położenie punktów na płaszczyźnie, suma odległości każdego z nich od dwóch danych punktów tej płaszczyzny nazywamy foci (wartość stała).

Kanoniczne równanie elipsy:

X i y należą do elipsy.

a jest główną półosią elipsy

b jest małą półosią elipsy

Elipsa ma 2 osie symetrii OX i OY. Osie symetrii elipsy są jej osiami, punktem ich przecięcia jest środek elipsy. Nazywa się oś, na której znajdują się ogniska oś ogniskowa. Punktem przecięcia elipsy z osiami jest wierzchołek elipsy.

Współczynnik kompresji (rozciągania): ε = c/a- ekscentryczność (charakteryzuje kształt elipsy), im jest mniejsza, tym elipsa jest słabiej rozciągnięta wzdłuż osi ogniskowej.

Jeżeli środki elipsy nie znajdują się w środku С(α, β)

Hiperbola

Hiperbola nazywana lokalizacją punktów na płaszczyźnie, bezwzględna wartość różnicy odległości, z których każdy od dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwany foci, jest wartością stałą różną od zera.

Kanoniczne równanie hiperboli

Hiperbola ma 2 osie symetrii:

a - rzeczywista półoś symetrii

b - urojona półoś symetrii

Asymptoty hiperboli:

Parabola

parabola to miejsce punktów w płaszczyźnie równoodległej od danego punktu F, zwanego ogniskiem, i danej linii, zwanej kierownicą.

Kanoniczne równanie paraboli:

Y 2 \u003d 2px, gdzie p jest odległością od ogniska do kierownicy (parametr paraboli)

Jeśli wierzchołek paraboli to C (α, β), wówczas równanie paraboli (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Jeśli oś ogniskowa zostanie przyjęta jako oś y, równanie paraboli przyjmie postać: x 2 \u003d 2qy

Niech prosta przechodzi przez punkty M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Równanie linii prostej przechodzącej przez punkt M 1 ma postać y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

gdzie k - wciąż nieznany współczynnik.

Ponieważ linia prosta przechodzi przez punkt M 2 (x 2 y 2), współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie (10,6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Stąd znajdujemy Podstawianie znalezionej wartości k do równania (10.6) otrzymujemy równanie prostej przechodzącej przez punkty M 1 i M 2:

Zakłada się, że w tym równaniu x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jeśli x 1 \u003d x 2, to linia prosta przechodząca przez punkty M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) jest równoległa do osi y. Jego równanie to x = x 1 .

Jeśli y 2 \u003d y I, to równanie linii prostej można zapisać jako y \u003d y 1, linia prosta M 1 M 2 jest równoległa do osi x.

Równanie prostej w odcinkach

Niech linia prosta przecina oś Ox w punkcie M 1 (a; 0), a oś Oy - w punkcie M 2 (0; b). Równanie przyjmie postać:
tych.
. To równanie nazywa się równanie prostej w odcinkach, ponieważ liczby a i b wskazują, które odcinki odcina linia prosta na osiach współrzędnych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danego wektora

Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt Mo (x O; y o) prostopadle do danego niezerowego wektora n = (A; B).

Weź dowolny punkt M(x; y) na linii prostej i rozważ wektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (patrz rys. 1). Ponieważ wektory n i M o M są prostopadłe, ich iloczyn skalarny jest równy zero: to znaczy

A(x-xo) + B(y-yo) = 0. (10.8)

Równanie (10.8) nazywa się równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danego wektora .

Wektor n = (A; B) prostopadły do ​​prostej nazywamy normalnym wektor normalny tej linii .

Równanie (10.8) można przepisać jako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdzie A i B są współrzędnymi wektora normalnego, C \u003d -Ax o - Vu o - wolny członek. Równanie (10.9) jest ogólnym równaniem linii prostej(patrz rys.2).

Rys.1 Rys.2

Równania kanoniczne linii prostej

,

Gdzie
są współrzędnymi punktu, przez który przechodzi linia, oraz
- wektor kierunku.

Krzywe drugiego rzędu Circle

Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od danego punktu, który nazywamy środkiem.

Równanie kanoniczne okręgu o promieniu R wyśrodkowany na punkcie
:

W szczególności, jeśli środek stawki pokrywa się z początkiem, wówczas równanie będzie wyglądać tak:

Elipsa

Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, suma odległości od każdego z nich do dwóch danych punktów oraz , które nazywane są ogniskami, jest wartością stałą
, większa niż odległość między ogniskami
.

Równanie kanoniczne elipsy, której ogniska leżą na osi Wołu i której początek znajduje się pośrodku pomiędzy ogniskami, ma postać
G de a długość wielkiej półosi; b to długość małej półosi (ryc. 2).

Równania kanoniczne linii prostej w przestrzeni to równania definiujące linię prostą przechodzącą przez dany punkt współliniowo z wektorem kierunkowym.

Niech dany będzie punkt i wektor kierunkowy. Dowolny punkt leży na linii ja tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe, tj. spełniają warunek:

.

Powyższe równania są kanonicznymi równaniami linii.

Liczby m , n oraz p są rzutami wektora kierunku na osie współrzędnych. Ponieważ wektor jest niezerowy, to wszystkie liczby m , n oraz p nie może być jednocześnie zerem. Ale jeden lub dwa z nich mogą wynosić zero. W geometria analityczna Na przykład dozwolony jest następujący wpis:

,

co oznacza, że ​​rzuty wektora na osie Oy oraz Oz są równe zeru. Dlatego zarówno wektor, jak i linia prosta podane przez równania kanoniczne są prostopadłe do osi Oy oraz Oz czyli samoloty yOz .

Przykład 1 Ułóż równania linii prostej w przestrzeni prostopadłej do płaszczyzny i przechodząc przez punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz .

Decyzja. Znajdź punkt przecięcia danej płaszczyzny z osią Oz. Od dowolnego punktu na osi Oz, ma więc współrzędne , przy założeniu w danym równaniu płaszczyzny x=y= 0 , otrzymujemy 4 z- 8 = 0 lub z= 2 . Dlatego punkt przecięcia danej płaszczyzny z osią Oz ma współrzędne (0; 0; 2) . Ponieważ pożądana linia jest prostopadła do płaszczyzny, jest równoległa do jej wektora normalnego. Dlatego wektor normalny może służyć jako wektor kierujący prostej podany samolot.

Teraz piszemy żądane równania prostej przechodzącej przez punkt A= (0; 0; 2) w kierunku wektora :

Równania prostej przechodzącej przez dwa podane punkty

Linia prosta może być zdefiniowana przez dwa leżące na niej punkty oraz W tym przypadku wektorem kierującym prostej może być wektor . Wtedy równania kanoniczne linii przybierają postać

.

Powyższe równania definiują linię prostą przechodzącą przez dwa podane punkty.

Przykład 2 Napisz równanie prostej w przestrzeni przechodzącej przez punkty i .

Decyzja. Pożądane równania linii prostej zapisujemy w postaci podanej powyżej w referencji teoretycznej:

.

Ponieważ , wtedy żądana linia jest prostopadła do osi Oy .

Prosta jak linia przecięcia płaszczyzn

Prostą w przestrzeni można zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn, czyli jako zbiór punktów, które spełniają układ dwóch równań liniowych

Równania układu nazywane są również ogólnymi równaniami prostej w przestrzeni.

Przykład 3 Ułóż równania kanoniczne prostej w przestrzeni określonej przez równania ogólne

Decyzja. Aby zapisać równania kanoniczne prostej lub, co jest tym samym, równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, musisz znaleźć współrzędne dowolnych dwóch punktów na linii prostej. Mogą to być na przykład punkty przecięcia linii prostej z dowolnymi dwoma płaszczyznami współrzędnych yOz oraz xOz .

Punkt przecięcia prostej z płaszczyzną yOz ma odciętą x= 0 . Dlatego zakładając w tym układzie równań x= 0 , otrzymujemy system z dwiema zmiennymi:

Jej decyzja tak = 2 , z= 6 razem z x= 0 definiuje punkt A(0; 2; 6) żądanej linii. Zakładając wtedy w danym układzie równań tak= 0 , otrzymujemy system

Jej decyzja x = -2 , z= 0 razem z tak= 0 definiuje punkt B(-2; 0; 0) przecięcie prostej z płaszczyzną xOz .

Teraz piszemy równania prostej przechodzącej przez punkty A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

lub po podzieleniu mianowników przez -2:

,

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Wektor normalny

Linia prosta na płaszczyźnie to jeden z najprostszych kształtów geometrycznych, znany Wam od czasów elementarnych, a dziś nauczymy się sobie z nią radzić metodami geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, trzeba umieć zbudować linię prostą; wiedzieć, które równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek i linie proste równoległe do osi współrzędnych. Te informacje można znaleźć w instrukcji. Wykresy i własności funkcji elementarnych, stworzyłem go dla matana, ale sekcja dotycząca funkcji liniowej okazała się bardzo udana i szczegółowa. Dlatego drodzy czajniczki najpierw się tam rozgrzej. Dodatkowo musisz mieć podstawowa wiedza o wektory w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

W tej lekcji przyjrzymy się sposobom napisania równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydaje się to bardzo proste), ponieważ dostarczymy im elementarne i ważne fakty, metody techniczne, które będą wymagane w przyszłości, w tym w innych działach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze spadkiem?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunkowy z ogólnego równania prostej?
• Jak napisać równanie prostej dla punktu i wektora normalnego?

i zaczynamy:

Równanie linii z nachyleniem

Dobrze znana „szkolna” forma równania linii prostej nazywa się równanie prostej ze spadkiem. Na przykład, jeśli równanie podaje linię prostą, to jej nachylenie: . Rozważać zmysł geometryczny podany współczynnik i jak jego wartość wpływa na położenie linii:

W toku geometrii udowodniono, że nachylenie linii prostej wynosi styczna do kąta między dodatnim kierunkiem osii podana linia: , a róg jest „odkręcany” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch linii prostych. Rozważ „czerwoną” linię prostą i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). W przypadku „niebieskiej” linii ze spadkiem równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli tangens kąta jest znany, to w razie potrzeby łatwo go znaleźć i róg za pomocą funkcji odwrotnej - arc tangens. Jak mówią, stół trygonometryczny lub kalkulator w ręku. Zatem, nachylenie charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi x.

W takim przypadku możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: , to linia, mówiąc z grubsza, biegnie od góry do dołu. Przykładami są na rysunku „niebieskie” i „karmazynowe” linie proste.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: , to linia biegnie od dołu do góry. Przykładami są „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeśli nachylenie zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu linia prosta jest równoległa do osi . Przykładem jest „żółta” linia.

4) Dla rodziny linii prostych równoległych do osi (nie ma przykładu na rysunku poza samą osią) nachylenie nie istnieje (tangens 90 stopni niezdefiniowany).

Im większe nachylenie modulo, tym bardziej stromy wykres liniowy.

Rozważmy na przykład dwie proste linie. Tutaj, więc linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, nas tylko interesuje Wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste. .

I odwrotnie: im mniejsze nachylenie modulo, tym linia prosta jest bardziej płaska.

Dla linii prostych nierówność jest prawdziwa, więc linia prosta to coś więcej niż baldachim. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie sadzić siniaków i guzków.

Dlaczego jest to potrzebne?

Przedłuż swoją udrękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu zobaczyć swoje błędy, w szczególności błędy podczas kreślenia wykresów - jeśli rysunek okazał się „wyraźnie coś jest nie tak”. Pożądane jest, abyś od razu było jasne, że na przykład linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, więc wygodnie jest je jakoś oznaczyć.

Notacja: linie proste są oznaczone małymi z literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczenie tej samej litery z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie rozważyliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, może być oznaczona następującymi punktami: itp. Notacja dość wyraźnie sugeruje, że punkty należą do prostej.

Czas się trochę rozluźnić:

Jak napisać równanie prostej ze spadkiem?

Jeżeli znany jest punkt należący do pewnej linii i nachylenie tej linii, to równanie tej linii wyraża się wzorem:

Przykład 1

Ułóż równanie prostej ze spadkiem, jeśli wiadomo, że punkt należy do tej prostej.

Decyzja: Ułożymy równanie prostej według wzoru . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie wykonywane elementarnie. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać podane równanie. Podłączmy je do równania:

Uzyskuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie znalezione poprawnie.

Trudniejszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

Jeśli masz problemy, przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, brakuje mi wielu dowodów.

dzwonił ostatnie połączenie, bal ucichł, a poza bramami Nauczanie domowe w rzeczywistości czekamy na geometrię analityczną. Żarty się skończyły... Może dopiero się zaczyna =)

Z nostalgią machamy rączką do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej używa się właśnie tego:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i zawiążmy równanie ze spadkiem. Najpierw przenosimy wszystkie terminy na lewą stronę:

Termin ze znakiem „x” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego członu (w tym przypadku ) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Pamiętaj to funkcja techniczna! Czynimy pierwszy współczynnik (najczęściej ) dodatnim!

W geometrii analitycznej równanie linii prostej prawie zawsze będzie podane w ogólna forma. Cóż, w razie potrzeby łatwo jest doprowadzić go do formy „szkolnej” ze spadkiem (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi y).

Zadajmy sobie pytanie, co dość wiesz, jak zbudować linię prostą? Dwa punkty. Ale o tym przypadku z dzieciństwa później, teraz trzyma się zasada strzałek. Każda linia prosta ma dobrze zdefiniowane nachylenie, do którego łatwo się „dostosować” wektor.

Wektor równoległy do ​​linii nazywany jest wektorem kierunkowym tej linii.. Oczywiście każda linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie - to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunku w następujący sposób: .

Ale jeden wektor nie wystarczy do zbudowania linii prostej, wektor jest swobodny i nie jest dołączony do żadnego punktu płaszczyzny. Dlatego dodatkowo konieczne jest poznanie jakiegoś punktu, który należy do linii.

Jak napisać równanie prostej podając punkt i wektor kierunkowy?

Jeśli znany jest pewien punkt należący do linii i wektor kierunkowy tej linii, to równanie tej linii można skompilować za pomocą wzoru:

Czasami nazywa się to kanoniczne równanie linii .

Co robić, kiedy jedna ze współrzędnych wynosi zero, poniżej przyjrzymy się praktycznym przykładom. Przy okazji, zauważ - oba na raz współrzędne nie mogą wynosić zero, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej o podanym punkcie i wektorze kierunkowym

Decyzja: Skomponujemy równanie prostej zgodnie ze wzorem. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji, pozbywamy się ułamków:

I sprowadzamy równanie do ogólnej postaci:

Odpowiedź:

Rysowanie w takich przykładach z reguły nie jest konieczne, ale w celu zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go przesunąć z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz zbudowaną linię. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach budowę linii prostej najwygodniej przeprowadza się za pomocą równania nachylenia. Nasze równanie jest łatwe do przekształcenia do postaci i bez problemu wybieramy jeszcze jeden punkt, aby zbudować linię prostą.

Jak zauważono na początku sekcji, linia ma nieskończenie wiele wektorów kierunku i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, który wektor kierunku wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Skomponujmy równanie prostej przez punkt i wektor kierujący:

Podział proporcji:

Podziel obie strony przez -2 i uzyskaj znane równanie:

Ci, którzy chcą, mogą podobnie testować wektory lub dowolny inny wektor kolinearny.

Rozwiążmy teraz problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunkowy z ogólnego równania prostej?

Bardzo prosta:

Jeśli linia prosta jest podana przez ogólne równanie w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

Stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy ze zbioru nieskończonego, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą, która jest równoległa do osi, a współrzędne wynikowego wektora sterującego są wygodnie dzielone przez -2, otrzymując dokładnie wektor bazowy jako wektor sterujący. Logicznie.

Podobnie, równanie definiuje linię prostą równoległą do osi, a dzieląc współrzędne wektora przez 5 otrzymujemy ort jako wektor kierunkowy.

Teraz wykonajmy sprawdź przykład 3. Przykład poszedł w górę, więc przypominam, że ułożyliśmy w nim równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunkowego

Po pierwsze, zgodnie z równaniem prostej przywracamy jej wektor kierunkowy: - wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy oryginalny wektor (w niektórych przypadkach może się okazać, że jest współliniowy z oryginalnym wektorem, co zwykle jest łatwe do zobaczenia dzięki proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie współrzędne punktu muszą spełniać równanie . Podstawiamy je do równania:

Uzyskano poprawną równość, z której jesteśmy bardzo zadowoleni.

Wniosek: Zadanie ukończone poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej o podanym punkcie i wektorze kierunkowym

To jest przykład zrób to sam. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Bardzo pożądane jest wykonanie sprawdzenia zgodnie z rozważanym algorytmem. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzić wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów tam, gdzie można ich w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, bardzo łatwo to zrobić:

Przykład 5

Decyzja: Formuła jest nieprawidłowa, ponieważ mianownik po prawej stronie to zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji przepisujemy wzór w postaci , a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii prostej:
– wynikowy wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Zastąp współrzędne punktu w równaniu:

Uzyskuje się prawidłową równość

Wniosek: praca zakończona poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która i tak zadziała? Są dwa powody. Najpierw formuła ułamkowa dużo lepiej do zapamiętania. Po drugie, wadą uniwersalnej formuły jest to, że znacznie zwiększone ryzyko pomyłki podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Skomponuj równanie linii prostej podanej w punkcie i wektorze kierunkowym.

To jest przykład zrób to sam.

Wróćmy do dwóch wszechobecnych punktów:

Jak napisać równanie prostej dla dwóch punktów?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można skompilować ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru, a oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunkowym tej prostej. Na lekcji Wektory dla manekinów rozważyliśmy najprostszy problem - jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku:

Notatka : punkty można „zamienić” i użyć wzoru . Taka decyzja byłaby równa.

Przykład 7

Napisz równanie prostej z dwóch punktów .

Decyzja: Użyj wzoru:

Przeczesujemy mianowniki:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby się go pozbyć liczby ułamkowe. W takim przypadku musisz pomnożyć obie części przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie jest oczywiste - współrzędne punktów początkowych muszą odpowiadać wynikowemu równaniu:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: równanie prostej jest poprawne.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zauważyć, że weryfikacja graficzna w tym przypadku jest trudna, bo zbudować linię i sprawdzić, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na kilka technicznych punktów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej korzystne jest zastosowanie formuły lustrzanej i dla tych samych punktów zrób równanie:

Jest mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz dokończyć rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugi punkt to przyjrzenie się ostatecznej odpowiedzi i sprawdzenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymamy równanie, zaleca się zmniejszenie go o dwa: - równanie ustawi tę samą linię prostą. Jest to jednak już temat rozmów wzajemne ułożenie linii prostych.

Po otrzymaniu odpowiedzi w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takie redukcje są dokonywane podczas rozwiązywania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty .

Jest to przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli Ci tylko lepiej zrozumieć i opracować technikę obliczeniową.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze znika jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku), następnie zapisujemy go jako . I znowu zauważ, jak niezręcznie i zdezorientowana zaczęła wyglądać. Nie widzę większego sensu w podawaniu praktycznych przykładów, ponieważ faktycznie rozwiązaliśmy już taki problem (patrz nr 5, 6).

Prosty wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? W prostych słowach, normalna jest prostopadła. Oznacza to, że wektor normalny prostej jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywistym jest, że każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (podobnie jak wektory kierunkowe), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie - to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami kierunku:

Jeżeli linia prosta jest podana przez równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej linii prostej.

Jeśli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, to współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Zweryfikujemy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z takimi samymi równaniami jak dla wektora kierunku:

Czy można napisać równanie prostej, znając jeden punkt i wektor normalny? Wydaje się, że to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek najprostszej linii jest również jednoznacznie określony - jest to „struktura sztywna” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej dla punktu i wektora normalnego?

Jeżeli znany jest jakiś punkt należący do prostej i wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko poszło bez ułamków i innych niespodzianek. Taki jest nasz wektor normalny. Kocham to. I szacunek =)

Przykład 9

Skomponuj równanie linii prostej z punktem i wektorem normalnym. Znajdź wektor kierunkowy linii prostej.

Decyzja: Użyj wzoru:

Otrzymano ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: - tak, rzeczywiście, oryginalny wektor jest uzyskiwany z warunku (lub wektor powinien być współliniowy z oryginalnym wektorem).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawne, wykonamy drugą, łatwiejszą część zadania. Wyciągamy wektor kierunkowy prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

Na potrzeby szkolenia podobne zadanie dla samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Skomponuj równanie linii prostej z punktem i wektorem normalnym. Znajdź wektor kierunkowy linii prostej.

Ostatnia część lekcji poświęcona będzie mniej powszechnym, ale również ważnym typom równań prostej w płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektóre typy równań nie mogą być reprezentowane w tej postaci, na przykład proporcjonalność bezpośrednia (ponieważ człon wolny wynosi zero i nie ma możliwości uzyskania go po prawej stronie).

Mówiąc w przenośni, jest to „techniczny” typ równania. Zwykłym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania linii prostej jako równania linii prostej w odcinkach. Dlaczego jest to wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala na szybkie znalezienie punktów przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co jest bardzo ważne w niektórych zagadnieniach wyższej matematyki.

Znajdź punkt przecięcia linii z osią. Zerujemy „y”, a równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt uzyskiwane automatycznie: .

To samo z osią to punkt, w którym linia przecina oś y.