Tutaj jest moment pędu względem osi obrotu, czyli rzut na oś momentu pędu, określony względem pewnego punktu należącego do osi (patrz wykład 2). - jest to moment sił zewnętrznych względem osi obrotu, czyli rzut na oś wypadkowego momentu sił zewnętrznych, określony względem pewnego punktu należącego do osi i wybór tego punktu na osi , podobnie jak w przypadku c, nie ma znaczenia. Rzeczywiście (ryc. 3.4), gdzie jest składową siły przyłożonej do ciała sztywnego, prostopadłą do osi obrotu, jest ramieniem siły względem osi.

Ryż. 3.4.

Ponieważ ( jest momentem bezwładności ciała względem osi obrotu), to zamiast możemy napisać

(3.8)

Wektor jest zawsze skierowany wzdłuż osi obrotu i jest składową wektora momentu siły wzdłuż osi.

W przypadku otrzymujemy odpowiednio, a moment pędu wokół osi jest zachowany. Jednocześnie sam wektor L, określone względem pewnego punktu na osi obrotu, mogą się różnić. Przykład takiego ruchu pokazano na ryc. 3.5.

Ryż. 3.5.

Pręt AB, zamocowany zawiasowo w punkcie A, obraca się bezwładnie wokół osi pionowej w taki sposób, że kąt między osią a prętem pozostaje stały. Wektor pędu L, względem punktu A porusza się po powierzchni stożkowej o kącie półotwartym, jednak rzut L na osi pionowej pozostaje stała, ponieważ moment ciężkości wokół tej osi wynosi zero.

Energia kinetyczna wirującego ciała i praca sił zewnętrznych (oś obrotu jest nieruchoma).

Prędkość i-tej cząstki ciała

(3.11)

gdzie jest odległość cząstki od osi obrotu Energia kinetyczna

(3.12)

jak prędkość kątowa obrót dla wszystkich punktów jest taki sam.

Zgodnie z prawo zmiany energii mechanicznej elementarna praca wszystkich sił zewnętrznych jest równa przyrostowi energii kinetycznej ciała:

pomińmy, że tarcza szlifierska obraca się bezwładnie z prędkością kątową i zatrzymujemy ją dociskając przedmiot do krawędzi tarczy ze stałą siłą. W takim przypadku na dysk działa siła o stałej wielkości skierowana prostopadle do jego osi. Praca tej siły

gdzie jest moment bezwładności dysku zaostrzonego wraz z twornikiem silnika elektrycznego.

Komentarz. Jeśli siły są takie, że nie wytwarzają pracy.

wolne osie. Stabilność swobodnego obrotu.

Kiedy ciało obraca się wokół stałej osi, ta oś jest utrzymywana w stałej pozycji przez łożyska. Kiedy niezrównoważone części mechanizmów obracają się, osie (wały) podlegają pewnemu obciążeniu dynamicznemu, pojawiają się wibracje, drgania, a mechanizmy mogą się zawalić.

Jeśli sztywny korpus zostanie obrócony wokół dowolnej osi, sztywno połączonej z korpusem, a oś zostanie zwolniona z łożysk, to jego kierunek w przestrzeni, ogólnie rzecz biorąc, ulegnie zmianie. Aby dowolna oś obrotu ciała nie zmieniła kierunku, należy do niej przyłożyć pewne siły. Powstałe sytuacje pokazano na ryc. 3.6.

Ryż. 3.6.

Masywny jednorodny pręt AB jest tutaj używany jako obracający się korpus, przymocowany do wystarczająco elastycznej osi (przedstawionej podwójną linią przerywaną). Elastyczność osi umożliwia wizualizację obciążeń dynamicznych, jakich doświadcza. We wszystkich przypadkach oś obrotu jest pionowa, sztywno połączona z prętem i osadzona w łożyskach; pręt jest wirowany wokół tej osi i pozostawiony sam sobie.

W przypadku pokazanym na ryc. 3.6a, oś obrotu jest główną osią dla punktu B pręta, ale nie środkową, oś wygina się, od strony osi na pręt działa siła zapewniająca jej obrót (w NISO związanej z prętem siła ta równoważy siłę odśrodkową bezwładności). Od strony pręta na oś działa siła zrównoważona siłami od strony łożysk.

W przypadku ryc. 3.6b oś obrotu przechodzi przez środek masy pręta i jest dla niego centralna, ale nie główna. Moment pędu wokół środka masy O nie jest zachowany i opisuje powierzchnię stożkową. Oś odkształca się (łamie) w sposób złożony, na pręt działają siły od strony osi, których moment zapewnia przyrost (w NISO związanym z prętem moment sił sprężystych kompensuje moment siły odśrodkowe bezwładności działające na jedną i drugą połowę pręta). Od strony pręta siły działają na oś i są skierowane przeciwnie do sił i momentu sił i są równoważone przez moment sił i powstające w łożyskach.

I tylko w przypadku, gdy oś obrotu pokrywa się z główną centralną osią bezwładności korpusu (rys. 3.6c), pręt odkręcony i pozostawiony sam sobie nie ma żadnego wpływu na łożyska. Takie osie nazywane są osiami swobodnymi, ponieważ jeśli łożyska zostaną usunięte, zachowają niezmieniony kierunek w przestrzeni.

Inną sprawą jest to, czy rotacja ta będzie stabilna w stosunku do małych perturbacji, które zawsze mają miejsce w warunkach rzeczywistych. Doświadczenia pokazują, że obrót wokół głównych osi centralnych z największymi i najmniejszymi momentami bezwładności jest stabilny, a obrót wokół osi o pośredniej wartości momentu bezwładności jest niestabilny. Można to zweryfikować, podrzucając ciało w postaci równoległościanu, nieskręconego wokół jednej z trzech wzajemnie prostopadłych głównych osi centralnych (ryc. 3.7). Oś AA" odpowiada największej, oś BB" - średniej, a oś CC" - najmniejszemu momentowi bezwładności równoległościanu. dość stabilna. Próby obracania ciała wokół osi BB "nie prowadzą do sukcesu - ciało porusza się w sposób złożony, przewracając się w locie.

- sztywny korpus - kąty Eulera

Zobacz też:

Praca i moc podczas obrotu ciała sztywnego.

Znajdźmy wyrażenie na pracę podczas rotacji ciała. Niech siła zostanie przyłożona w punkcie znajdującym się w pewnej odległości od osi - kąt między kierunkiem siły a wektorem promienia . Ponieważ ciało jest absolutnie sztywne, praca tej siły jest równa pracy włożonej w obracanie całego ciała. Gdy korpus obraca się o nieskończenie mały kąt, punkt przyłożenia przechodzi przez tor, a praca jest równa iloczynowi rzutu siły na kierunek przemieszczenia przez wielkość przemieszczenia:

Moduł momentu siły jest równy:

wtedy otrzymujemy następujący wzór na obliczenie pracy:

Zatem praca podczas obrotu bryły sztywnej jest równa iloczynowi momentu działającej siły i kąta obrotu.

Energia kinetyczna wirującego ciała.

Moment bezwładności mat. nazywa fizyczny wartość jest liczbowo równa iloczynowi masy mat.t. przez kwadrat odległości tego punktu od osi obrotu W ki \u003d m i V 2 i / 2 V i -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i moment bezwładności ciała sztywnego jest równy sumie wszystkich mat.t I=S i m i r 2 i nazywamy moment bezwładności ciała sztywnego. wartość fizyczna równa sumie produktów mat.t. przez kwadraty odległości od tych punktów do osi. W i -I ja W 2 /2 W k \u003d IW 2 /2

W k \u003d S i W ki moment bezwładności podczas ruchu obrotowego yavl. analog masy w ruchu postępowym. I=mR 2 /2

21. Nieinercyjne układy odniesienia. Siły bezwładności. Zasada równoważności. Równanie ruchu w nieinercjalnych układach odniesienia.

Nieinercyjny układ odniesienia- arbitralny system odniesienia, który nie jest inercyjny. Przykłady nieinercyjnych układów odniesienia: rama poruszająca się po linii prostej ze stałym przyspieszeniem oraz rama obracająca się.

Rozpatrując równania ruchu ciała w nieinercjalnym układzie odniesienia, należy uwzględnić dodatkowe siły bezwładności. Prawa Newtona obowiązują tylko w inercjalnych układach odniesienia. Aby znaleźć równanie ruchu w nieinercjalnym układzie odniesienia, konieczne jest poznanie praw transformacji sił i przyspieszeń w przejściu z układu inercjalnego w dowolny układ nieinercjalny.

Mechanika klasyczna postuluje następujące dwie zasady:

czas jest bezwzględny, to znaczy odstępy czasu między dowolnymi dwoma zdarzeniami są takie same we wszystkich dowolnie poruszających się układach odniesienia;

przestrzeń jest absolutna, to znaczy odległość między dowolnymi dwoma punktami materialnymi jest taka sama we wszystkich dowolnie poruszających się układach odniesienia.

Te dwie zasady umożliwiają zapisanie równania ruchu punktu materialnego względem dowolnego nieinercjalnego układu odniesienia, w którym nie obowiązuje pierwsze prawo Newtona.

Podstawowe równanie dynamiki ruchu względnego punktu materialnego ma postać:

gdzie jest masa ciała, jest przyspieszeniem ciała względem nieinercjalnego układu odniesienia, jest sumą wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało, jest przyspieszeniem przenośnym ciała, jest przyspieszeniem Coriolisa ciało.

Równanie to można zapisać w znanej postaci drugiego prawa Newtona, wprowadzając fikcyjne siły bezwładności:

Przenośna siła bezwładności

Siła Coriolisa

siła bezwładności- fikcyjna siła, którą można wprowadzić do nieinercjalnego układu odniesienia tak, aby zawarte w nim prawa mechaniki pokrywały się z prawami układów inercjalnych.

W obliczeniach matematycznych wprowadzenie tej siły następuje poprzez przekształcenie równania

F 1 +F 2 +…F n = ma do postaci

F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 gdzie F i jest rzeczywistą siłą, a –ma jest „siłą bezwładności”.

Wśród sił bezwładności są:

jedyny siła bezwładności;

siła odśrodkowa, która wyjaśnia tendencję ciał do oddalania się od środka w obracających się układach odniesienia;

siła Coriolisa, która wyjaśnia tendencję ciał do odchylania się od promienia podczas ruchu promieniowego w obracających się układach odniesienia;

Z punktu widzenia ogólnej teorii względności siły grawitacyjne w dowolnym punkcie są siłami bezwładności w danym punkcie zakrzywionej przestrzeni Einsteina

Siła odśrodkowa- siła bezwładności, która jest wprowadzana w wirującym (nieinercjalnym) układzie odniesienia (w celu zastosowania praw Newtona, obliczona tylko dla inercyjnych FR) i która jest skierowana od osi obrotu (stąd nazwa).

Zasada równoważności sił grawitacji i bezwładności- heurystyczna zasada stosowana przez Alberta Einsteina przy wyprowadzaniu ogólnej teorii względności. Jedna z opcji jego prezentacji: „Siły oddziaływania grawitacyjnego są proporcjonalne do masy grawitacyjnej ciała, natomiast siły bezwładności są proporcjonalne do masy bezwładności ciała. Jeżeli masy bezwładności i grawitacji są sobie równe, to nie można rozróżnić, jaka siła działa na dane ciało - grawitacyjna czy bezwładna.

Sformułowanie Einsteina

Historycznie zasada względności została sformułowana przez Einsteina w następujący sposób:

Wszystkie zjawiska w polu grawitacyjnym zachodzą dokładnie tak samo, jak w odpowiednim polu sił bezwładności, jeśli siły tych pól są zbieżne i warunki początkowe ciał układu są takie same.

22. Zasada względności Galileusza. Transformacje Galileusza. Klasyczne twierdzenie o dodawaniu prędkości. Niezmienność praw Newtona w inercjalnych układach odniesienia.

Zasada względności Galileusza- jest to zasada fizycznej równości bezwładnościowych układów odniesienia w mechanice klasycznej, która objawia się tym, że prawa mechaniki są takie same we wszystkich tego rodzaju układach.

Matematycznie zasada względności Galileusza wyraża niezmienność (stałość) równań mechaniki względem transformacji współrzędnych poruszających się punktów (i czasu) w przejściu z jednego układu inercjalnego do drugiego - transformacje Galileusza.
Niech będą dwa inercjalne układy odniesienia, z których jeden, S, zgodzimy się uznać za spoczynkowy; drugi układ, S”, porusza się względem S ze stałą prędkością u, jak pokazano na rysunku. Wtedy transformacje Galileusza dla współrzędnych punktu materialnego w układach S i S” będą miały postać:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(Ilości podstawowe odnoszą się do układu S, ilości niepierwotne odnoszą się do układu S) Tak więc czas w mechanice klasycznej, jak również odległość między dowolnymi stałymi punktami, są uważane za takie same we wszystkich układach odniesienia.
Z transformacji Galileusza można uzyskać zależność między prędkościami punktu a jego przyspieszeniami w obu układach:
v" = v - u, (2)
a" = a.
W mechanice klasycznej ruch punktu materialnego określa drugie prawo Newtona:
F = ma, (3)
gdzie m jest masą punktu, a F jest wypadkową wszystkich przyłożonych do niego sił.
W tym przypadku siły (i masy) są niezmiennikami w mechanice klasycznej, tj. wielkościami, które nie zmieniają się podczas przechodzenia z jednego układu odniesienia do drugiego.
Dlatego pod transformacjami Galileusza równanie (3) się nie zmienia.
Jest to matematyczne wyrażenie zasady względności Galileusza.

PRZEMIANY GALILEO.

W kinematyce wszystkie układy odniesienia są sobie równe iw każdym z nich można opisać ruch. W badaniu ruchów czasami konieczne jest przejście z jednego układu odniesienia (z układem współrzędnych OXYZ) do innego - (О`Х`У`Z`). Rozważmy przypadek, w którym druga rama odniesienia porusza się względem pierwszej jednostajnie i prostoliniowo z prędkością V=const.

Dla ułatwienia opisu matematycznego zakładamy, że odpowiadające im osie współrzędnych są do siebie równoległe, że prędkość jest skierowana wzdłuż osi X oraz że w początkowym czasie (t=0) początki obu układów pokrywają się ze sobą. Wykorzystując sprawiedliwe w fizyce klasycznej założenie o tym samym upływie czasu w obu układach, można zapisać relacje łączące współrzędne jakiegoś punktu A(x,y,z) i A(x`,y `, z`) w obu systemach. Takie przejście z jednego układu odniesienia do drugiego nazywa się transformacją Galileusza:

OXYZ O`X`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Przyspieszenie w obu systemach jest takie samo (V=const). Głęboki sens przemian Galileusza zostanie wyjaśniony w dynamice. Transformacja prędkości Galileusza odzwierciedla zasadę niezależności przemieszczeń, która ma miejsce w fizyce klasycznej.

Dodawanie prędkości w SRT

Klasyczne prawo dodawania prędkości nie może być ważne, ponieważ przeczy twierdzeniu o stałości prędkości światła w próżni. Jeśli pociąg porusza się z dużą prędkością v a fala świetlna rozchodzi się w wagonie w kierunku pociągu, to jej prędkość względem Ziemi jest nieruchoma c, ale nie v+c.

Rozważmy dwa systemy odniesienia.

W systemie K 0 ciało porusza się z prędkością v jeden . Jeśli chodzi o system K porusza się z prędkością v 2. Zgodnie z prawem dodawania prędkości w SRT:

Jeśli v<<c oraz v 1 << c, wtedy ten wyraz można pominąć, a wtedy otrzymujemy klasyczne prawo dodawania prędkości: v 2 = v 1 + v.

Na v 1 = c prędkość v 2 równe c, jak wymaga drugi postulat teorii względności:

Na v 1 = c i w v = c prędkość v 2 ponownie równa się prędkości c.

Niezwykłą właściwością prawa dodawania jest to, że przy każdej prędkości v 1 i v(nie więcej c), wynikowa prędkość v 2 nie przekracza c. Prędkość ruchu ciał rzeczywistych jest większa od prędkości światła, to niemożliwe.

Dodawanie prędkości

Rozważając ruch złożony (to znaczy, gdy punkt lub ciało porusza się w jednym układzie odniesienia, a porusza się względem drugiego), pojawia się pytanie o relację prędkości w 2 układach odniesienia.

Mechanika klasyczna

W mechanice klasycznej prędkość bezwzględna punktu jest równa sumie wektorowej jego prędkości względnych i translacyjnych:

Prostym językiem: Prędkość ciała względem ustalonej ramki odniesienia jest równa sumie wektorowej prędkości tego ciała względem ruchomej ramki odniesienia oraz prędkości najbardziej ruchomej ramki odniesienia względem ustalonej ramki.

Energia kinetyczna- wartość jest addytywna. Dlatego energia kinetyczna ciała poruszającego się w dowolny sposób jest równa sumie energii kinetycznych wszystkich P punkty materialne, na które można mentalnie podzielić to ciało: Jeśli ciało obraca się wokół stałej osi z z prędkością kątową 1 m I 1 ...
(FIZYKA. MECHANIKA)

Energia kinetyczna wirującego ciała sztywnego

Energia kinetyczna ciała poruszającego się w dowolny sposób jest równa sumie energii kinetycznej wszystkich P punkty materialne (cząstki), na które można mentalnie podzielić to ciało (ryc. 6.8) Jeśli ciało obraca się wokół stałej osi Oz z prędkością kątową ω, to prędkość liniowa dowolnej /-tej cząstki, ...
(MECHANIKA KLASYCZNA I RELATYWISTYCZNA)

Ryż. 6,4 Taki ruch ciała, w którym dowolne dwa jego punkty (ALE oraz W na ryc. 6.4) pozostawanie w bezruchu nazywamy obrotem wokół stałej osi. Można wykazać, że w tym przypadku dowolny punkt ciała leżący na prostej łączącej punkty Aw W. Oś,...
(MECHANIKA TEORETYCZNA.)

Obrót ciała wokół stałej osi

Niech ciało stałe na czas Sk wykonał nieskończenie mały obrót o kąt s/f względem stałej osi w danym układzie odniesienia. Ten kąt obrotu c/cp jest miarą zmiany położenia ciała obracającego się wokół ustalonej osi. Przez analogię do c/r nazwiemy przemieszczenie kątowe c/f....
(FIZYKA: MECHANIKA, ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM)

Analogia między ruchem postępowym a obrotowym

Analogia ta została omówiona powyżej i wynika z podobieństwa podstawowych równań ruchu postępowego i obrotowego. Tak jak przyspieszenie jest pochodną czasu i drugiej pochodnej przemieszczenia, tak przyspieszenie kątowe jest pochodną czasu i drugą pochodną przemieszczenia kątowego....
(FIZYKA)

Ruch postępowy i obrotowy

Ruch postępowy Ruch postępowy to taki ruch ciała sztywnego, w którym każda linia prosta narysowana w tym ciele porusza się, pozostając równolegle do swojego pierwotnego położenia. Własności ruchu translacyjnego określa następujące twierdzenie: w ruchu translacyjnym ciała ...
(ZASTOSOWANA MECHANIKA)

Rozważmy ciało sztywne, które może obracać się wokół osi obrotu ustalonej w przestrzeni.

Załóżmy, że F i jest siłą zewnętrzną przyłożoną do pewnej masy elementarnej ja jestem sztywny korpus i powodujący obrót. W krótkim czasie masa elementarna przesunie się, a zatem praca zostanie wykonana siłą

gdzie a jest kątem między kierunkiem siły a przemieszczeniem. Ale równa się F t są rzutami siły na styczną do trajektorii ruchu masy i wartością . Stąd

Łatwo zauważyć, że iloczynem jest moment siły wokół danej osi obrotu z i działając na element ciała D ja. Dlatego praca wykonana przez siłę będzie

Podsumowując pracę momentów sił przyłożonych do wszystkich elementów ciała, otrzymujemy dla elementarnie małą energię wydatkowaną na elementarnie mały obrót ciała d j:

, (2.4.27)

gdzie jest wypadkowy moment wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało sztywne względem danej osi obrotu z.

Pracuj przez określony czas t

. (2.4.28)

Prawo zachowania momentu pędu i izotropii przestrzeni

Prawo zachowania momentu pędu jest konsekwencją podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego. W systemie od P oddziałujące cząstki (ciała), suma wektorowa wszystkich sił wewnętrznych, a więc momentów sił, jest równa zeru, a równanie różniczkowe momentów ma postać

gdzie – całkowity moment pędu całego układu jest wypadkowym momentem sił zewnętrznych.

Jeśli system jest zamknięty

skąd to wynika

co jest możliwe z

Prawo zachowania momentu pędu: Moment pędu zamkniętego układu cząstek (ciał) pozostaje stały.

Prawo zachowania momentu pędu jest konsekwencją własności izotropii przestrzeni, która przejawia się tym, że fizyczne własności i prawa ruchu układu zamkniętego nie zależą od wyboru kierunków osi współrzędnych układu. inercyjne układy odniesienia.

W systemie zamkniętym występują trzy wielkości fizyczne: energia, pęd oraz moment pędu(które są funkcjami współrzędnych i prędkości) są zachowane. Takie funkcje nazywają się całki ruchu. W systemie od P jest 6 cząstek n–1 całki ruchu, ale tylko trzy z nich mają własność addytywności – energia, pęd i moment pędu.

Efekt żyroskopowy

Nazywa się masywne symetryczne ciało obracające się z dużą prędkością kątową wokół osi symetrii żyroskop.

Wprawiany w ruch obrotowy żyroskop ma tendencję do utrzymywania niezmienionego kierunku swojej osi w przestrzeni, co jest przejawem prawo zachowania momentu pędu. Żyroskop jest tym stabilniejszy, im większa prędkość kątowa obrotu i większy moment bezwładności żyroskopu względem osi obrotu.

Jeśli jednak na obracający się żyroskop przyłoży się kilka sił, które będą obracać go wokół osi prostopadłej do osi obrotu żyroskopu, wówczas zacznie się on obracać, ale tylko wokół trzeciej osi, prostopadłej do pierwszej. dwa (ryc. 21). Ten efekt nazywa się efekt żyroskopowy. Powstały ruch nazywa się ruchem precesyjnym lub precesja.

Każde ciało obracające się wokół jakiejś osi precesje, jeśli działa na nie moment sił prostopadłych do osi obrotu.

Przykładem ruchu precesyjnego jest zachowanie dziecięcej zabawki zwanej bączkiem lub bączkiem. Ziemia również precesuje pod wpływem pola grawitacyjnego Księżyca. Moment sił działających na Ziemię od strony Księżyca jest zdeterminowany geometrycznym kształtem Ziemi - brakiem symetrii sferycznej, tj. z jej „spłaszczeniem”.

Żyroskop*

Rozważmy bardziej szczegółowo ruch precesyjny. Taki ruch realizuje nabity na masywny dysk pionowy oś, wokół której się obraca. Tarcza posiada moment pędu skierowany wzdłuż osi obrotu tarczy (rys. 22).

Na żyroskopie, którego głównym elementem jest dysk D, obracając się z prędkością dookoła poziomy osie OO"będzie moment obrotowy wokół punktu C a moment pędu jest skierowany wzdłuż osi obrotu dysku D.

Oś żyroskopu jest odchylona w punkcie C. Urządzenie wyposażone jest w przeciwwagę K. Jeżeli przeciwwaga jest zamontowana tak, aby punkt C jest środkiem masy układu ( m to masa żyroskopu; m 0 - masa przeciwwagi W celu; masa pręta jest znikoma), następnie bez tarcia piszemy:

czyli wypadkowy moment sił działających na układ wynosi zero.

Wtedy obowiązuje prawo zachowania momentu pędu:

Innymi słowy, w tym przypadku const; gdzie J jest momentem bezwładności żyroskopu, jest rzeczywistą prędkością kątową żyroskopu.

Ponieważ moment bezwładności dysku wokół jego osi symetrii jest wartością stałą, wektor prędkości kątowej również pozostaje stały zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku.

Wektor skierowany jest wzdłuż osi obrotu zgodnie z zasadą prawej śruby. W ten sposób oś swobodnego żyroskopu zachowuje swoją pozycję w przestrzeni bez zmian.

Jeśli zrównoważyć? W celu dodać jeszcze jeden z masą m 1 , wtedy środek masy układu przesunie się i pojawi się moment obrotowy względem punktu C. Zgodnie z równaniem momentu . Pod działaniem tego momentu wektor momentu pędu otrzyma przyrost zgodny z kierunkiem wektora:

Wektory grawitacyjne i są skierowane pionowo w dół. Dlatego wektory i leżą w płaszczyźnie poziomej. Po chwili moment pędu żyroskopu zmieni się o wartość i stanie się równy

W ten sposób wektor zmienia swój kierunek w przestrzeni, cały czas pozostając w płaszczyźnie poziomej. Biorąc pod uwagę, że żyroskopowy wektor momentu pędu jest skierowany wzdłuż osi obrotu, obrót wektora o pewien kąt da w trakcie dt oznacza obracanie osi obrotu o ten sam kąt. W rezultacie oś symetrii żyroskopu zacznie się obracać wokół ustalonej osi pionowej nocleg ze śniadaniem" z prędkością kątową:

Taki ruch nazywa się regularna precesja, a wartością jest prędkość kątowa precesji. Jeśli w początkowym momencie oś OO„Żyroskop nie jest montowany poziomo, wtedy podczas precesji będzie opisywał stożek w przestrzeni w stosunku do osi pionowej. Obecność sił tarcia prowadzi do tego, że kąt nachylenia osi żyroskopu będzie się stale zmieniał. Ten ruch nazywa się nutacja.

Znajdźmy zależność prędkości kątowej precesji żyroskopu od głównych parametrów układu. Rzutujmy równość (123) na oś poziomą prostopadłą do OO"

Z rozważań geometrycznych (patrz rys. 22) przy małych kątach obrotu , a prędkość kątowa precesji jest wyrażona:

Oznacza to, że jeśli do żyroskopu zostanie przyłożona stała siła zewnętrzna, to zacznie się on obracać wokół trzeciej osi, która nie pokrywa się z główną osią obrotu wirnika.

Precesja, której wielkość jest proporcjonalna do wielkości działającej siły, utrzymuje urządzenie zorientowane w kierunku pionowym i można zmierzyć kąt nachylenia względem powierzchni nośnej. Po obrocie urządzenie ma tendencję do opierania się zmianom orientacji spowodowanym momentem pędu. Efekt ten jest również znany w fizyce jako bezwładność żyroskopowa. W przypadku zakończenia wpływu zewnętrznego, precesja kończy się natychmiast, ale wirnik nadal się obraca.

Na dysk działa grawitacja, powodując moment siły wokół punktu podparcia O. Ta chwila jest skierowana prostopadle do osi obrotu dysku i jest równy

gdzie l 0- odległość od środka ciężkości dysku do punktu podparcia O.

W oparciu o podstawową zasadę dynamiki ruchu obrotowego moment siły wywoła w przedziale czasowym dt zmiana momentu pędu

Wektory i są skierowane wzdłuż jednej prostej i są prostopadłe do osi obrotu.

Z ryc. 22 pokazuje, że koniec wektora w czasie dt przejdź do rogu

Podstawiając w tej relacji wartości L, dL oraz M, dostajemy

. (2.4.43)

Zatem, prędkość kątowa przemieszczenia końca wektora :

a górny koniec osi obrotu dysku opisze okrąg w płaszczyźnie poziomej (ryc. 21). Taki ruch ciała nazywa się precesyjny i sam efekt efekt żyroskopowy.

ODKSZTAŁCENIA CIAŁA SOLIDNEGO

Rzeczywiste ciała nie są absolutnie sprężyste, dlatego przy rozpatrywaniu rzeczywistych problemów należy brać pod uwagę możliwość zmiany ich kształtu w trakcie ruchu, czyli uwzględniać odkształcenia. Odkształcenie- jest to zmiana kształtu i wielkości ciał stałych pod wpływem sił zewnętrznych.

Odkształcenia plastyczne- jest to deformacja, która utrzymuje się w ciele po zakończeniu działania sił zewnętrznych. Odkształcenie nazywa się elastyczny, jeśli po zakończeniu działania sił zewnętrznych ciało powraca do swoich pierwotnych rozmiarów i kształtu.

Wszystkie rodzaje odkształceń (rozciąganie, ściskanie, zginanie, skręcanie, ścinanie) można sprowadzić do występujących jednocześnie odkształceń rozciągających (lub ściskających) i ścinających.

Napięcieσ jest wielkością fizyczną liczbowo równą sile sprężystości na jednostkę powierzchni przekroju ciała (mierzoną w Pa):

Jeśli siła jest skierowana wzdłuż normalnej do powierzchni, to naprężenie normalna, jeśli - stycznie, to napięcie styczny.

Odkształcenie względne- miara ilościowa, która charakteryzuje stopień odkształcenia i jest określona przez stosunek odkształcenia bezwzględnego Δ x do pierwotnej wartości x charakteryzujące kształt lub wielkość ciała: .

- względna zmiana długościja pręt(odkształcenie wzdłużne) ε:

- względne napięcie poprzeczne (ściskanie)ε”, gdzie d- średnica pręta.

Odkształcenia ε i ε' zawsze mają różne znaki: ε' = −με gdzie μ jest dodatnim współczynnikiem zależnym od właściwości materiału i jest nazywany Współczynnik Poissona.

Dla małych odkształceń odkształcenie względne ε jest proporcjonalne do naprężenia σ:

gdzie mi- współczynnik proporcjonalności (moduł sprężystości), liczbowo równy naprężeniu występującemu przy odkształceniu względnym równym jedności.

W przypadku jednostronnego rozciągania (ściskania) moduł sprężystości nazywa się Moduł Younga. Moduł Younga jest mierzony w Pa.

Po spisaniu , dostajemy - Prawo Hooke'a:

wydłużenie pręta przy odkształceniu sprężystym jest proporcjonalne do siły działającej na pręt(tutaj k- współczynnik elastyczności). Prawo Hooke'a obowiązuje tylko dla małych odkształceń.

W przeciwieństwie do współczynnika twardości k, który jest własnością tylko ciała, moduł Younga charakteryzuje właściwości materii.

Dla każdego ciała, począwszy od pewnej wartości, odkształcenie przestaje być elastyczne, stając się plastyczne. Materiały plastyczne to materiały, które nie zapadają się pod naprężeniem znacznie przekraczającym granicę sprężystości. Ze względu na właściwość plastyczności, metale (aluminium, miedź, stal) mogą być poddawane różnej obróbce mechanicznej: tłoczeniu, kuciu, gięciu, rozciąganiu. Wraz z dalszym wzrostem deformacji materiał ulega zniszczeniu.

Wytrzymałość na rozciąganie - maksymalne naprężenie, które występuje w ciele przed jego zniszczeniem.

Różnicę w granicach wytrzymałości na ściskanie i rozciąganie tłumaczy się różnicą w procesach interakcji cząsteczek i atomów w ciałach stałych podczas tych procesów.

Moduł Younga i współczynnik Poissona w pełni charakteryzują właściwości sprężyste materiału izotropowego. Wszystkie inne stałe sprężystości można wyrazić jako mi i μ.

Liczne eksperymenty pokazują, że przy małych odkształceniach naprężenie jest wprost proporcjonalne do wydłużenia względnego ε (przekrój OA diagramy) - Prawo Hooke'a jest spełnione.

Doświadczenie pokazuje, że małe odkształcenia całkowicie znikają po usunięciu obciążenia (obserwuje się odkształcenie sprężyste). Dla małych odkształceń spełnione jest prawo Hooke'a. Maksymalne napięcie, przy którym nadal utrzymuje się prawo Hooke'a, nazywa się granica proporcjonalności σ p. Odpowiada punktowi ALE schematy.

W przypadku dalszego zwiększania obciążenia rozciągającego i przekraczania granicy proporcjonalności odkształcenie staje się nieliniowe (linia ABCDEK). Jednak przy niewielkich odkształceniach nieliniowych po usunięciu obciążenia kształt i wymiary nadwozia są praktycznie przywracane (przekrój AB grafiki). Nazywa się maksymalne naprężenie, przy którym nie ma zauważalnych odkształceń szczątkowych elastyczny limit Pakiet σ. Odpowiada to punktowi W schematy. Granica elastyczna przekracza granicę proporcjonalności o nie więcej niż 0,33%. W większości przypadków można je uznać za równe.

Jeżeli obciążenie zewnętrzne jest takie, że w ciele pojawiają się naprężenia przekraczające granicę sprężystości, to zmienia się charakter odkształcenia (przekrój BCDEK). Po usunięciu obciążenia próbka nie wraca do swoich poprzednich wymiarów, lecz pozostaje odkształcona, choć z mniejszym wydłużeniem niż pod obciążeniem (odkształcenie plastyczne).

Poza granicą sprężystości przy określonej wartości naprężenia odpowiadającej punktowi Z wykresów wydłużenie wzrasta prawie bez zwiększania obciążenia (przekrój płyta CD schematy są prawie poziome). Zjawisko to nazywa się przepływ materiału.

Wraz z dalszym wzrostem obciążenia wzrasta napięcie (od punktu D), po czym w najmniej trwałej części próby pojawia się zwężenie („szyjka”). Ze względu na zmniejszenie pola przekroju (punkt mi) dla dalszego wydłużenia potrzebne są mniejsze naprężenia, ale w końcu następuje zniszczenie próbki (punkt W celu). Maksymalne naprężenie, jakie próbka może wytrzymać bez pękania, nazywa się wytrzymałość na rozciąganie - σ pc (odpowiada punktowi mi schematy). Jego wartość jest silnie uzależniona od rodzaju materiału i jego obróbki.

Rozważać odkształcenie ścinające. W tym celu bierzemy jednorodny korpus o kształcie prostokątnego równoległościanu i przykładamy do jego przeciwległych ścian siły skierowane równolegle do tych ścian. Jeżeli działanie sił jest równomiernie rozłożone na całej powierzchni odpowiedniej powierzchni S, wtedy w dowolnym odcinku równoległym do tych ścian powstanie naprężenie styczne

Przy małych deformacjach objętość ciała praktycznie się nie zmieni, a deformacja polega na tym, że „warstwy” równoległościanu są przesunięte względem siebie. Dlatego ta deformacja nazywa się odkształcenie ścinające.

Pod wpływem odkształcenia ścinającego każda linia prosta, początkowo prostopadła do warstw poziomych, obróci się o pewien kąt. To zadowoli relację

,

gdzie - moduł ścinania, który zależy tylko od właściwości materiału korpusu.

Odkształcenie ścinające odnosi się do odkształceń jednorodnych, tj. gdy wszystkie elementy ciała o nieskończenie małej objętości są odkształcone tak samo.

Istnieją jednak deformacje niejednorodne - zginanie i skręcanie.

Weźmy jednorodny drut, przymocujmy jego górny koniec i przyłóżmy siłę skręcającą do dolnego końca, tworząc moment obrotowy M względem osi podłużnej drutu. Drut będzie się obracał - każdy promień jego dolnej podstawy będzie się obracał wokół osi podłużnej o kąt. Ta deformacja nazywa się skręcaniem. Prawo Hooke'a dla odkształcenia skrętnego jest zapisane jako

gdzie jest stałą wartością dla danego przewodu, zwaną its moduł skręcania. W przeciwieństwie do poprzednich modułów zależy to nie tylko od materiału, ale także od wymiarów geometrycznych drutu.

Praca rotacyjna. Moment mocy

Rozważmy pracę wykonaną podczas obrotu punktu materialnego wokół okręgu pod działaniem rzutu działającej siły na przemieszczenie (styczna składowa siły). Zgodnie z (3.1) i rys. 4.4, przejście od parametrów ruchu postępowego do parametrów ruchu obrotowego (dS = Rdcp)

W tym miejscu wprowadzono pojęcie momentu siły wokół osi obrotu OOi jako iloczynu siły F s na ramieniu siły R:

Jak widać z relacji (4.8), moment siły w ruchu obrotowym jest analogiczny do siły w ruchu postępowym, ponieważ oba parametry pomnożone przez analogi dcp oraz dS dać pracę. Oczywiście moment siły musi być również określony wektorowo, a w odniesieniu do punktu O jego definicja podawana jest poprzez iloczyn wektorowy i ma postać

Wreszcie: praca w ruchu obrotowym jest równa iloczynowi skalarnemu momentu siły i przemieszczenia kątowego:

Energia kinetyczna podczas ruchu obrotowego. Moment bezwładności

Rozważmy absolutnie sztywne ciało obracające się wokół stałej osi. Podzielmy w myślach to ciało na nieskończenie małe kawałki o nieskończenie małych rozmiarach i masach mi, m2, Shz..., położone w odległości R b R 2 , R3 ... od osi. Energia kinetyczna wirującego ciała jest sumą energii kinetycznych jego małych części

gdzie Y jest momentem bezwładności bryły sztywnej względem danej osi OOj.

Z porównania wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego i obrotowego widać, że moment bezwładności w ruchu obrotowym jest analogiczny do masy w ruchu postępowym. Wzór (4.12) jest wygodny do obliczania momentu bezwładności układów składających się z poszczególnych punktów materialnych. Aby obliczyć moment bezwładności ciał stałych, korzystając z definicji całki, możemy przekształcić (4.12) do postaci

Łatwo zauważyć, że moment bezwładności zależy od wyboru osi i zmienia się wraz z jej równoległym przesunięciem i obrotem. Przedstawiamy wartości momentów bezwładności dla niektórych ciał jednorodnych.

Z (4.12) widać, że moment bezwładności punktu materialnego równa się

gdzie t- masa punktowa;

R- odległość do osi obrotu.

Łatwo jest obliczyć moment bezwładności dla pusty cylinder cienkościenny(lub specjalny przypadek cylindra o małej wysokości - cienki pierścień) promień R wokół osi symetrii. Odległość do osi obrotu wszystkich punktów takiego ciała jest taka sama, równa promieniowi i może być wyjęta spod znaku sumy (4.12):

pełny cylinder(lub specjalny przypadek cylindra o małej wysokości - dysk) promień R do obliczenia momentu bezwładności względem osi symetrii wymaga obliczenia całki (4.13). Masa w tym przypadku jest średnio skoncentrowana nieco bliżej niż w przypadku pustego cylindra, a wzór będzie podobny do (4,15), ale pojawi się w nim współczynnik mniejszy niż jeden. Znajdźmy ten współczynnik.

Niech pełny cylinder ma gęstość R i wzrost h. Podzielmy to na

wydrążone cylindry (cienkie cylindryczne powierzchnie) o grubości dr(ryc. 4.5) przedstawia rzut prostopadły do ​​osi symetrii). Objętość takiego pustego cylindra o promieniu G równa się polu powierzchni pomnożonemu przez grubość: waga: i chwila

bezwładność zgodnie z (4.15): Moment całkowity

bezwładności cylindra pełnego uzyskuje się przez całkowanie (sumowanie) momentów bezwładności cylindrów wydrążonych:

. Biorąc pod uwagę, że masa pełnego cylindra jest związana z

formuła gęstości t = 7iR 2 KM mamy wreszcie moment bezwładności pełnego cylindra:

Podobnie wyszukiwane moment bezwładności cienkiego pręta długość L i masy t, jeśli oś obrotu jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego środek. Podzielmy taki pręt zgodnie z ryc. 4,6

na grube kawałki dl. Masa takiego kawałka to dm=m dl/l, i moment bezwładności według Pawła

Nowy moment bezwładności cienkiego pręta uzyskuje się przez całkowanie (sumowanie) momentów bezwładności elementów: