Wartość pochodnej funkcji w punkcie jest równa. Znajdź wartość pochodnej funkcji w punkcie x0

11.10.2019

Absolutnie niemożliwe jest rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów w matematyce bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć analizy matematycznej. Dzisiejszy artykuł postanowiliśmy poświęcić temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej fizyczne i geometryczne znaczenie, jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja f(x) , podany w pewnym przedziale (a,b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Gdy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica jego wartości x-x0 . Ta różnica jest zapisana jako delta x i nazywa się przyrostem argumentów. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie to granica stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to napisać tak:

Jaki jest sens w znajdowaniu takiej granicy? Ale który:

pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kąta między osią OX i stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

fizyczne znaczenie pochodna: pochodna czasu toru jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to prywatna ścieżka. x=f(t) i czas t . Średnia prędkość przez pewien okres czasu:

Aby dowiedzieć się, jaka jest prędkość ruchu na raz t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: usuń stałą

Stałą można wyprowadzić ze znaku pochodnej. Co więcej, trzeba to zrobić. Rozwiązując przykłady w matematyce, przyjmuj z reguły - jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się według wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Decyzja:

Tutaj ważne jest, aby powiedzieć o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy wyrażenie:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw rozważamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji:

O derywatach dla manekinów staraliśmy się rozmawiać od podstaw. Ten temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: w przykładach często pojawiają się pułapki, więc bądź ostrożny przy obliczaniu instrumentów pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań dotyczących tego i innych tematów możesz skontaktować się z obsługą studentów. Za krótkoterminowy pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejszy test i poradzić sobie z zadaniami, nawet jeśli nigdy wcześniej nie zajmowałeś się obliczaniem pochodnych.

Operacja znajdowania pochodnej nazywana jest różniczkowaniem.

W wyniku rozwiązania problemów znajdowania pochodnych najprostszych (i niezbyt prostych) funkcji poprzez zdefiniowanie pochodnej jako granicy stosunku przyrostu do przyrostu argumentu powstała tablica pochodnych oraz precyzyjnie określone reguły różniczkowania . Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) jako pierwsi pracowali w dziedzinie wyszukiwania pochodnych.

Dlatego w naszych czasach, aby znaleźć pochodną dowolnej funkcji, nie jest konieczne obliczanie wspomnianej wyżej granicy stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, wystarczy skorzystać z tabeli pochodnych i zasady różniczkowania. Poniższy algorytm jest odpowiedni do znalezienia pochodnej.

Aby znaleźć pochodną, potrzebujesz wyrażenia pod znakiem obrysu rozbić proste funkcje i określ jakie działania (iloczyn, suma, iloraz) te funkcje są ze sobą powiązane. Dalej znajdujemy pochodne funkcji elementarnych w tablicy pochodnych, a wzory na pochodne iloczynu, sumy i ilorazu - w regułach różniczkowania. Tablicę instrumentów pochodnych i reguły różniczkowania podano po pierwszych dwóch przykładach.

Przykład 1 Znajdź pochodną funkcji

Decyzja. Z reguł różniczkowania dowiadujemy się, że pochodną sumy funkcji jest suma pochodnych funkcji, tj.

Z tabeli pochodnych dowiadujemy się, że pochodna „X” jest równa jeden, a pochodną sinusa jest cosinus. Podstawiamy te wartości do sumy pochodnych i znajdujemy pochodną wymaganą przez warunek problemu:

Przykład 2 Znajdź pochodną funkcji

Decyzja. Różniczkowanie jako pochodną sumy, w której drugi wyraz o stałym współczynniku, można wyciągnąć ze znaku pochodnej:

Jeśli nadal pojawiają się pytania o to, skąd coś się bierze, to z reguły stają się one jasne po przeczytaniu tabeli pochodnych i najprostszych zasad różniczkowania. Jedziemy do nich właśnie teraz.

Tabela pochodnych funkcji prostych

1. Pochodna stałej (liczby). Dowolna liczba (1, 2, 5, 200...), która znajduje się w wyrażeniu funkcji. Zawsze zero. Jest to bardzo ważne, aby pamiętać, ponieważ jest to wymagane bardzo często
2. Pochodna zmiennej niezależnej. Najczęściej „x”. Zawsze równy jeden. Należy o tym również pamiętać
3. Pochodna stopnia. Rozwiązując problemy, musisz zamienić pierwiastki niekwadratowe na potęgę.
4. Pochodna zmiennej do potęgi -1
5. Pochodna pierwiastek kwadratowy
6. Pochodna sinusoidalna
7. Pochodna cosinusa
8. Pochodna styczna
9. Pochodna cotangensa
10. Pochodna arcus sinus
11. Pochodna arcus cosinus
12. Pochodna arcus tangens
13. Pochodna tangensa odwrotnego
14. Pochodna logarytmu naturalnego
15. Pochodna funkcji logarytmicznej
16. Pochodna wykładnika
17. Pochodna funkcji wykładniczej

Zasady różnicowania

1. Pochodna sumy lub różnicy
2. Pochodna produktu
2a. Pochodna wyrażenia pomnożona przez stały czynnik
3. Pochodna ilorazu
4. Pochodna funkcji zespolonej

Zasada nr 1Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym momencie, a następnie w tym samym punkcie funkcje

oraz

tych. pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji.

Konsekwencja. Jeżeli dwie funkcje różniczkowalne różnią się o stałą, to ich pochodnymi są, tj.

Zasada 2Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym momencie, to ich produkt jest również różniczkowalny w tym samym punkcie

oraz

tych. pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej.

Konsekwencja 1. Stałą można wyprowadzić ze znaku pochodnej:

Konsekwencja 2. Pochodna iloczynu kilku funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pochodnej każdego z czynników i wszystkich pozostałych.

Na przykład dla trzech mnożników:

Zasada 3Jeśli funkcje

w pewnym momencie różniczkowalna oraz , wtedy w tym momencie ich iloraz jest również różniczkowalny.u/v , i

tych. pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika i pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownika, a mianownikiem jest kwadrat poprzedniego licznika .

Gdzie szukać na innych stronach

Przy znajdowaniu pochodnej iloczynu i ilorazu w rzeczywistych problemach zawsze konieczne jest zastosowanie kilku reguł różniczkowania naraz, więc więcej przykładów dotyczących tych pochodnych znajduje się w artykule.„Pochodna iloczynu i iloraz”.

Komentarz. Nie należy mylić stałej (czyli liczby) jako terminu w sumie i jako czynnika stałego! W przypadku wyrazu jego pochodna jest równa zeru, a w przypadku stałego czynnika jest on wyjęty ze znaku pochodnych. To jest typowy błąd, który występuje w dniu etap początkowy uczenia się pochodnych, ale rozwiązując kilka jedno-dwuskładnikowych przykładów, przeciętny uczeń nie popełnia już tego błędu.

A jeśli, rozróżniając produkt lub iloraz, masz termin ty"v, w której ty- liczba np. 2 lub 5, czyli stała, to pochodna tej liczby będzie równa zero, a więc cały wyraz będzie równy zero (taki przypadek analizujemy w przykładzie 10) .

Innym częstym błędem jest mechaniczne rozwiązanie pochodnej funkcji zespolonej jako pochodnej funkcji prostej. Więc pochodna funkcji zespolonej jest oddany osobny artykuł. Ale najpierw nauczymy się znajdować pochodne prostych funkcji.

Po drodze nie można obejść się bez przekształceń wyrażeń. Aby to zrobić, może być konieczne otwarcie nowych podręczników systemu Windows Działania z mocami i korzeniami oraz Akcje z ułamkami .

Jeśli szukasz rozwiązań dla pochodnych z potęgami i pierwiastkami, czyli gdy funkcja wygląda tak , a następnie postępuj zgodnie z lekcją „ Pochodna sumy ułamków z potęgami i pierwiastkami”.

Jeśli masz takie zadanie jak , jesteś na lekcji "Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych".

Przykłady krok po kroku - jak znaleźć pochodną

Przykład 3 Znajdź pochodną funkcji

Decyzja. Określamy części wyrażenia funkcyjnego: całe wyrażenie reprezentuje iloczyn, a jego czynniki są sumami, w drugim z których jedno z wyrażeń zawiera czynnik stały. Stosujemy zasadę różniczkowania iloczynu: pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej:

Następnie stosujemy zasadę różniczkowania sumy: pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji. W naszym przypadku w każdej sumie drugi wyraz ze znakiem minus. W każdej sumie widzimy zarówno zmienną niezależną, której pochodna jest równa jeden, jak i stałą (liczbę), której pochodna jest równa zero. Tak więc „x” zamienia się w jeden, a minus 5 - w zero. W drugim wyrażeniu „x” mnożymy przez 2, więc mnożymy dwa przez tę samą jednostkę, co pochodna „x”. Otrzymujemy następujące wartości instrumentów pochodnych:

Znalezione pochodne podstawiamy do sumy iloczynów i otrzymujemy pochodną całej funkcji wymaganej przez warunek zadania:

Przykład 4 Znajdź pochodną funkcji

Decyzja. Musimy znaleźć pochodną ilorazu. Stosujemy wzór na różniczkowanie ilorazu: pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznik jest różnicą między iloczynem mianownika a pochodną licznika i licznika i pochodną mianownika, oraz mianownik to kwadrat poprzedniego licznika. Otrzymujemy:

Znaleźliśmy już pochodną czynników w liczniku w przykładzie 2. Nie zapominajmy również, że iloczyn, który jest drugim czynnikiem w liczniku w obecnym przykładzie, jest przyjmowany ze znakiem minus:

Jeśli szukasz rozwiązań takich problemów, w których musisz znaleźć pochodną funkcji, gdzie istnieje ciągła sterta pierwiastków i stopni, jak np. to witaj na zajęciach „Pochodna sumy ułamków z potęgami i pierwiastkami” .

Jeśli potrzebujesz dowiedzieć się więcej o pochodnych sinusów, cosinusów, tangensów i innych funkcje trygonometryczne, czyli kiedy funkcja wygląda tak: , to masz lekcję "Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych" .

Przykład 5 Znajdź pochodną funkcji

Decyzja. W tej funkcji widzimy iloczyn, którego jednym z czynników jest pierwiastek kwadratowy zmiennej niezależnej, którego pochodną poznaliśmy w tabeli pochodnych. Zgodnie z regułą różniczkowania iloczynu i tabelaryczną wartością pochodnej pierwiastka kwadratowego otrzymujemy:

Przykład 6 Znajdź pochodną funkcji

Decyzja. W tej funkcji widzimy iloraz, którego dywidenda jest pierwiastkiem kwadratowym zmiennej niezależnej. Zgodnie z regułą różniczkowania ilorazu, którą powtórzyliśmy i zastosowaliśmy w przykładzie 4, oraz wartości tabelarycznej pochodnej pierwiastka kwadratowego otrzymujemy:

Aby pozbyć się ułamka w liczniku, pomnóż licznik i mianownik przez .

Przykład 1

Odniesienie: Następujące sposoby zapisu funkcji są równoważne: W niektórych zadaniach wygodne może być wyznaczenie funkcji jako „gracza”, aw niektórych jako „ef od x”.

Najpierw znajdujemy pochodną:

Przykład 2

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

, , pełne badanie funkcji itd.

Przykład 3

Oblicz pochodną funkcji w punkcie . Najpierw znajdźmy pochodną:

Cóż, to zupełnie inna sprawa. Oblicz wartość pochodnej w punkcie :

W przypadku, gdy nie rozumiesz, jak znaleziono pochodną, wróć do pierwszych dwóch lekcji tematu. Jeśli są trudności (niezrozumienie) z arc tangens i jego znaczeniami, koniecznie nauka materiał metodyczny Wykresy i własności funkcji elementarnych- ostatni akapit. Ponieważ jest jeszcze wystarczająco dużo arcus tangensów dla wieku studenckiego.

Przykład 4

Oblicz pochodną funkcji w punkcie .

Równanie stycznej do wykresu funkcji

Aby skonsolidować poprzedni akapit, rozważ problem znalezienia stycznej do grafika funkcji w tym momencie. Sprostaliśmy temu zadaniu w szkole, spotyka się je również w toku matematyki wyższej.

Rozważmy elementarny przykład „demonstracji”.

Napisz równanie na styczną do wykresu funkcji w punkcie z odciętą. Od razu podam gotowe graficzne rozwiązanie problemu (w praktyce w większości przypadków nie jest to konieczne):

Ścisła definicja stycznej jest podana przez definicje pochodnej funkcji, ale dopóki nie opanujemy część techniczna pytanie. Z pewnością prawie każdy intuicyjnie rozumie, czym jest styczna. Jeśli wyjaśnisz „na palcach”, to styczna do wykresu funkcji to prosty, który dotyczy wykresu funkcji w jedyny punkt. W tym przypadku wszystkie pobliskie punkty linii prostej znajdują się jak najbliżej wykresu funkcji.

W naszym przypadku: w , styczna (notacja standardowa) dotyka wykresu funkcji w jednym punkcie.

A naszym zadaniem jest znalezienie równania linii prostej.

Pochodna funkcji w punkcie

Jak znaleźć pochodną funkcji w punkcie? Z jego sformułowania wynikają dwa oczywiste punkty tego zadania:

1) Konieczne jest znalezienie pochodnej.

2) Konieczne jest obliczenie wartości pochodnej w danym punkcie.

Przykład 1

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

Pomoc: Następujące sposoby zapisu funkcji są równoważne:

W niektórych zadaniach wygodne może być wyznaczenie funkcji jako „gracza”, aw niektórych jako „ef od x”.

Najpierw znajdujemy pochodną:

Mam nadzieję, że wielu już przystosowało się do ustnego znajdowania takich pochodnych.

W drugim kroku obliczamy wartość pochodnej w punkcie :

Mały przykład rozgrzewki dla samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Konieczność znalezienia pochodnej w punkcie pojawia się w następujących zadaniach: konstruowanie stycznej do wykresu funkcji (następny akapit), badanie funkcji ekstremum , badanie funkcji przegięcia grafu , pełne badanie funkcji itd.

Ale zadanie, o którym mowa, pojawia się w praca kontrolna i sam. I z reguły w takich przypadkach funkcja jest dość złożona. W związku z tym rozważ jeszcze dwa przykłady.

Przykład 3

Oblicz pochodną funkcji W punkcie .
Najpierw znajdźmy pochodną:

W zasadzie pochodna jest znaleziona i wymagana wartość może zostać podstawiona. Ale tak naprawdę nie chcę nic robić. Wyrażenie jest bardzo długie, a wartość „x” jest ułamkowa. Dlatego staramy się maksymalnie uprościć naszą pochodną. W takim przypadku spróbujmy zredukować ostatnie trzy wyrazy do wspólnego mianownika: W punkcie .

To jest przykład zrób to sam.

Jak znaleźć wartość pochodnej funkcji F(x) w punkcie Ho? Jak to ogólnie rozwiązać?

Jeśli wzór jest podany, znajdź pochodną i podstaw X-zero zamiast X. liczyć
Jeśli rozmawiamy o b-8 UŻYJ, wykres, następnie musisz znaleźć styczną kąta (ostrą lub rozwartą), która tworzy styczną do osi X (używając konstrukcji myślowej trójkąta prostokątnego i wyznaczając styczną kąta)

Timur Adilchodzhajew

Najpierw musisz zdecydować się na znak. Jeśli punkt x0 znajduje się w dolnej części płaszczyzny współrzędnych, to znakiem w odpowiedzi będzie minus, a jeśli jest wyższy, to +.
Po drugie, musisz wiedzieć, czym jest tanga w prostokątnym prostokącie. I to jest stosunek strony przeciwnej (nogi) do strony sąsiedniej (również nogi). Na obrazie jest zwykle kilka czarnych śladów. Z tych znaków, które robisz trójkąt prostokątny i znajdź tanga.

Jak znaleźć wartość pochodnej funkcji f x w punkcie x0?

nie ma konkretnego pytania - 3 lata temu

W ogólnym przypadku, aby w dowolnym momencie znaleźć wartość pochodnej funkcji względem jakiejś zmiennej, konieczne jest zróżnicowanie danej funkcji względem tej zmiennej. W twoim przypadku przez zmienną X. W wyrażeniu wynikowym zamiast X wpisz wartość x w punkcie, dla którego musisz znaleźć wartość pochodnej, tj. w twoim przypadku podstaw zero X i oblicz wynikowe wyrażenie.

Otóż chęć zrozumienia tej kwestii moim zdaniem bez wątpienia zasługuje na +, który stawiam z czystym sumieniem.

Takie sformułowanie problemu znalezienia pochodnej jest często postawione w celu ustalenia materiału na geometrycznym znaczeniu pochodnej. Proponowany jest wykres pewnej funkcji, całkowicie dowolny i nie podany przez równanie, i wymagane jest znalezienie wartości pochodnej (nie samej pochodnej!) w określonym punkcie X0. W tym celu konstruowana jest styczna do danej funkcji i znajdowane są punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych. Następnie sporządzono równanie tej stycznej w postaci y=kx+b.

W tym równaniu współczynnik k i będzie wartością pochodnej. pozostaje tylko znaleźć wartość współczynnika b. Aby to zrobić, znajdujemy wartość y przy x \u003d o, niech będzie równa 3 - jest to wartość współczynnika b. Podstawiamy wartości X0 i Y0 do pierwotnego równania i znajdujemy k - naszą wartość pochodnej w tym punkcie.

Jeśli zastosujemy się do definicji, to pochodną funkcji w punkcie jest granica współczynnika przyrostu funkcji Δ tak do przyrostu argumentu Δ x:

Wszystko wydaje się jasne. Ale spróbuj obliczyć za pomocą tego wzoru, powiedzmy, pochodną funkcji f(x) = x 2 + (2x+ 3) · mi x grzech x. Jeśli robisz wszystko z definicji, to po kilku stronach obliczeń po prostu zaśniesz. Dlatego istnieją prostsze i skuteczniejsze sposoby.

Na początek zauważamy, że tak zwane funkcje elementarne można odróżnić od całej różnorodności funkcji. Są to stosunkowo proste wyrażenia, których pochodne od dawna są obliczane i wprowadzane do tabeli. Takie funkcje są dość łatwe do zapamiętania wraz z ich pochodnymi.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcje podstawowe to wszystkie wymienione poniżej. Pochodne tych funkcji muszą być znane na pamięć. Co więcej, zapamiętanie ich nie jest trudne - dlatego są elementarne.

Tak więc pochodne funkcji elementarnych:

Nazwać	Funkcjonować	Pochodna
Stały	f(x) = C, C ∈ R	0 (tak, tak, zero!)
Stopień z wykładnikiem wymiernym	f(x) = x n	n · x n − 1
Zatoka	f(x) = grzech x	sałata x
Cosinus	f(x) = cos x	− grzech x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturalny logarytm	f(x) = log x	1/x
Logarytm arbitralny	f(x) = log a x	1/(x ja a)
Funkcja wykładnicza	f(x) = mi x	mi x(nic się nie zmieniło)

Jeżeli funkcja elementarna jest mnożona przez dowolną stałą, to łatwo jest również obliczyć pochodną nowej funkcji:

(C · f)’ = C · f ’.

Ogólnie ze znaku pochodnej można pobrać stałe. Na przykład:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Oczywiście podstawowe funkcje można dodawać do siebie, mnożyć, dzielić i wiele więcej. W ten sposób pojawią się nowe funkcje, już nie bardzo elementarne, ale też różniczkowalne według określonych reguł. Zasady te omówiono poniżej.

Pochodna sumy i różnicy

Niech funkcje f(x) oraz g(x), których pochodne są nam znane. Na przykład możesz wziąć podstawowe funkcje omówione powyżej. Następnie możesz znaleźć pochodną sumy i różnicy tych funkcji:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Tak więc pochodna sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych. Terminów może być więcej. Na przykład, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Ściśle mówiąc, w algebrze nie istnieje pojęcie „odejmowania”. Istnieje pojęcie „elementu negatywnego”. Dlatego różnica f − g można przepisać jako sumę f+ (−1) g, a następnie pozostaje tylko jedna formuła - pochodna sumy.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcjonować f(x) jest sumą dwóch funkcji elementarnych, a więc:

f ’(x) = (x 2+ grzech x)’ = (x 2)' + (grzech x)’ = 2x+ cosx;

Podobnie argumentujemy dla funkcji g(x). Tylko są już trzy wyrazy (z punktu widzenia algebry):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odpowiedź:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Pochodna produktu

Matematyka jest nauką logiczną, więc wiele osób uważa, że jeśli pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, to pochodna iloczynu strajk"\u003e równe iloczynowi pochodnych. Ale figi do ciebie! Pochodna produktu jest obliczana przy użyciu zupełnie innej formuły. Mianowicie:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formuła jest prosta, ale często zapominana. I nie tylko uczniowie, ale także studenci. Rezultatem są niepoprawnie rozwiązane problemy.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: f(x) = x 3 cox; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · mi x .

Funkcjonować f(x) jest iloczynem dwóch funkcji elementarnych, więc wszystko jest proste:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grzech x)

Funkcjonować g(x) pierwszy mnożnik jest nieco bardziej skomplikowany, ale ogólny schemat to się nie zmienia. Oczywiście pierwszy mnożnik funkcji g(x) jest wielomianem, a jego pochodna jest pochodną sumy. Mamy:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · mi x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · mi x + (x 2 + 7x− 7) ( mi x)’ = (2x+ 7) · mi x + (x 2 + 7x− 7) · mi x = mi x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · mi x = x(x+ 9) · mi x .

Odpowiedź:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grzech x);
g ’(x) = x(x+ 9) · mi x .

Zauważ, że w ostatnim kroku pochodna jest faktoryzowana. Formalnie nie jest to konieczne, ale większość pochodnych nie jest obliczana samodzielnie, ale w celu zbadania funkcji. Oznacza to, że dalej pochodna będzie równa zeru, jej znaki zostaną znalezione i tak dalej. W takim przypadku lepiej jest rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Jeśli istnieją dwie funkcje f(x) oraz g(x), oraz g(x) ≠ 0 na interesującym nas zbiorze możemy zdefiniować nową funkcję h(x) = f(x)/g(x). Dla takiej funkcji możesz również znaleźć pochodną:

Nie słaby, prawda? Skąd wziął się minus? Czemu g 2? Ale tak! To jedna z najbardziej skomplikowanych formuł – nie da się tego rozgryźć bez butelki. Dlatego lepiej przestudiować to na konkretnych przykładach.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji:

W liczniku i mianowniku każdego ułamka są funkcje elementarne, więc wystarczy nam wzór na pochodną ilorazu:

Tradycyjnie dzielimy licznik na czynniki - to znacznie uprości odpowiedź:

Funkcja złożona niekoniecznie musi być formułą o długości pół kilometra. Na przykład wystarczy przyjąć funkcję f(x) = grzech x i zastąp zmienną x, powiedzmy, wł. x 2+ln x. Okazuje się f(x) = grzech ( x 2+ln x) jest funkcją złożoną. Ma też pochodną, ale nie uda się jej znaleźć zgodnie z zasadami omówionymi powyżej.

Jak być? W takich przypadkach zastąpienie zmiennej i wzór na pochodną funkcji zespolonej pomaga:

f ’(x) = f ’(t) · t', jeśli x jest zastąpiony przez t(x).

Z reguły sytuacja przy zrozumieniu tego wzoru jest jeszcze bardziej smutna niż przy pochodnej ilorazu. Dlatego lepiej też wyjaśnić to konkretnymi przykładami, z szczegółowy opis każdy krok.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: f(x) = mi 2x + 3 ; g(x) = grzech ( x 2+ln x)

Zwróć uwagę, że jeśli w funkcji f(x) zamiast wyrażenia 2 x+ 3 będzie łatwe x, to otrzymujemy funkcję elementarną f(x) = mi x. Dlatego dokonujemy podstawienia: niech 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = mi t. Szukamy pochodnej funkcji zespolonej według wzoru:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

A teraz - uwaga! Wykonywanie zamiany odwrotnej: t = 2x+ 3. Otrzymujemy:

f ’(x) = mi t · t ’ = mi 2x+ 3 (2 x + 3)’ = mi 2x+ 3 2 = 2 mi 2x + 3

Spójrzmy teraz na funkcję g(x). Oczywiście wymaga wymiany. x 2+ln x = t. Mamy:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grzech t)’ · t' = cos t · t ’

Wymiana odwrotna: t = x 2+ln x. Następnie:

g ’(x) = bo ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To wszystko! Jak widać z ostatniego wyrażenia, cały problem sprowadza się do obliczenia pochodnej sumy.

Odpowiedź:
f ’(x) = 2 mi 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) bo ( x 2+ln x).

Bardzo często na moich lekcjach zamiast terminu „pochodna” używam słowa „udar”. Na przykład uderzenie z sumy jest równa sumie uderzeń. Czy to jest jaśniejsze? Cóż, to dobrze.

Zatem obliczenie pochodnej sprowadza się do pozbycia się tych samych uderzeń zgodnie z omówionymi powyżej regułami. Jako ostatni przykład wróćmy do potęgi pochodnej z wykładnikiem wymiernym:

(x n)’ = n · x n − 1

Niewielu o tym wie w roli n może dobrze działać liczba ułamkowa. Na przykład korzeń to x 0,5 . Ale co, jeśli pod korzeniem jest coś podstępnego? Znowu okaże się złożona funkcja - lubią dawać takie konstrukcje w testach i egzaminach.

Zadanie. Znajdź pochodną funkcji:

Najpierw przepiszmy pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Teraz dokonujemy podstawienia: niech x 2 + 8x − 7 = t. Znajdujemy pochodną według wzoru:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Dokonujemy zamiany odwrotnej: t = x 2 + 8x− 7. Mamy:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Na koniec wróćmy do korzeni:

Pochodna funkcji jednej zmiennej.

Wstęp.

Prawdziwy rozwój metodologiczny przeznaczony dla studentów Wydziału Inżynierii Przemysłowej i Lądowej. Są one zestawiane w odniesieniu do programu kursu matematyki w rozdziale „Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej”.

Zmiany stanowią jeden przewodnik metodologiczny, który zawiera: krótkie informacje teoretyczne; „typowe” zadania i ćwiczenia ze szczegółowymi rozwiązaniami i objaśnieniami tych rozwiązań; opcje sterowania.

Dodatkowe ćwiczenia na końcu każdego akapitu. Taka struktura opracowań sprawia, że nadają się one do samodzielnego opanowania sekcji przy minimalnej pomocy nauczyciela.

§jeden. Definicja pochodnej.

Znaczenie mechaniczne i geometryczne

pochodna.

Pojęcie pochodnej jest jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej, powstało już w XVII wieku. Powstanie pojęcia pochodnej historycznie wiąże się z dwoma problemami: problemem prędkości ruchu zmiennego oraz problemem stycznej do krzywej.

Te zadania, pomimo ich różne treści, prowadzą do tej samej operacji matematycznej, która musi być wykonana na funkcji. Operacja ta otrzymała specjalną nazwę w matematyce. Nazywa się to operacją różniczkowania funkcji. Wynik operacji różniczkowania nazywamy pochodną.

Zatem pochodna funkcji y=f(x) w punkcie x0 jest granicą (jeśli istnieje) stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu
w
.

Pochodna jest zwykle oznaczana w następujący sposób:
.

Więc z definicji

Symbole są również używane do oznaczenia pochodnej
.

Mechaniczne znaczenie pochodnej.

Jeżeli s=s(t) jest prawem ruchu prostoliniowego punktu materialnego, to
to prędkość tego punktu w czasie t.

Geometryczne znaczenie pochodnej.

Jeśli funkcja y=f(x) ma pochodną w punkcie , następnie nachylenie styczna do wykresu funkcji w punkcie
równa się
.

Przykład.

Znajdź pochodną funkcji
w punkcie =2:

1) Dajmy punkt =2 przyrost
. Zauważ, że.

2) Znajdź przyrost funkcji w punkcie =2:

3) Skomponuj stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu:

Znajdźmy granicę relacji przy
:

Zatem,
.

§ 2. Pochodne niektórych

najprostsze funkcje.

Student musi nauczyć się obliczać pochodne poszczególnych funkcji: y=x,y= i ogólnie y= .

Znajdź pochodną funkcji y=x.

tych. (x)′=1.

Znajdźmy pochodną funkcji

Pochodna

Zostawiać
następnie

Łatwo zauważyć wzór w wyrażeniach na pochodne funkcji potęgowej
przy n=1,2,3.

Stąd,

. (1)

Ten wzór jest ważny dla każdego rzeczywistego n.

W szczególności, korzystając ze wzoru (1), mamy:

;

Przykład.

Znajdź pochodną funkcji

Ta funkcja jest szczególnym przypadkiem funkcji postaci

w
.

Korzystając ze wzoru (1), mamy

Pochodne funkcji y=sin x i y=cos x.

Niech y=sinx.

Podziel przez ∆x, otrzymamy

Przechodząc do granicy jako ∆x→0, mamy

Niech y=cosx .

Przechodząc do granicy jako ∆x→0, otrzymujemy

;
. (2)

§3. Podstawowe zasady różnicowania.

Rozważ zasady różnicowania.

Twierdzenie1 . Jeżeli funkcje u=u(x) i v=v(x) są różniczkowalne w danym punkcie x, to ich suma jest również różniczkowalna w tym punkcie, a pochodna sumy jest równa sumie wyrazów pochodnych: (u+v)"=u"+v".(3 )

Dowód: rozważ funkcję y=f(x)=u(x)+v(x).

Przyrost ∆x argumentu x odpowiada przyrostom ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) funkcji u i v. Wtedy funkcja y zostanie zwiększona

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Stąd,

A więc (u+v)”=u”+v”.

Twierdzenie2. Jeżeli funkcje u=u(x) i v=v(x) są różniczkowalne w danym punkcie x, to ich iloczyn również jest różniczkowalny w tym samym punkcie. W tym przypadku pochodną iloczynu wyznacza się wzorem : (uv) "=u" v + uv ". (4)

Dowód: Niech y=uv, gdzie u i v są różnymi funkcjami x. Niech x będzie zwiększane o ∆x; wtedy u będzie zwiększane o ∆u, v będzie zwiększane o ∆v, a y będzie zwiększane o ∆y.

Mamy y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), lub

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Zatem ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Stąd

Przechodząc do granicy jako ∆x→0 i biorąc pod uwagę, że u i v nie zależą od ∆x, mamy

Twierdzenie 3. Pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego mianownik jest równy kwadratowi dzielnika, a licznik jest różnicą między iloczynem pochodnej dzielnika przez dzielnik a iloczynem dywidenda przez pochodną dzielnika, tj.

Jeśli
następnie
(5)