Vidējais līmenis

Aplis un ierakstītais leņķis. vizuālais ceļvedis (2019)

Pamatnosacījumi.

Cik labi jūs atceraties visus vārdus, kas saistīti ar loku? Katram gadījumam atgādinām - paskatieties bildēs - atsvaidziniet savas zināšanas.

Pirmkārt - Apļa centrs ir punkts, no kura visi apļa punkti atrodas vienādā attālumā.

Otrkārt - rādiuss - līnijas segments, kas savieno centru un punktu uz apļa.

Ir daudz rādiusu (tik daudz, cik punktu uz apļa), bet visiem rādiusiem ir vienāds garums.

Dažreiz īsumā rādiuss viņi to sauc segmenta garums"centrs ir apļa punkts", nevis pats segments.

Un lūk, kas notiek ja savieno divus punktus uz apļa? Arī griezums?

Tātad šo segmentu sauc "akords".

Tāpat kā rādiusa gadījumā, diametru bieži sauc par segmenta garumu, kas savieno divus riņķa punktus un iet caur centru. Starp citu, kā diametrs un rādiuss ir saistīti? Paskaties cieši. Protams, rādiuss puse diametrs.

Papildus akordiem ir arī sekants.

Vai atceries vienkāršāko?

Centrālais leņķis ir leņķis starp diviem rādiusiem.

Un tagad ierakstītais leņķis

Ierakstītais leņķis ir leņķis starp divām hordām, kas krustojas apļa punktā.

Šajā gadījumā viņi saka, ka ierakstītais leņķis balstās uz loku (vai akordu).

Skaties uz bildi:

Loku un leņķu mērīšana.

Apkārtmērs. Lokus un leņķus mēra grādos un radiānos. Pirmkārt, par grādiem. Leņķiem nav problēmu - jums jāiemācās izmērīt loku grādos.

Grāda mērs (loka vērtība) ir atbilstošā centrālā leņķa vērtība (grādos).

Ko šeit nozīmē vārds "atbilstošs"? Paskatīsimies uzmanīgi:

Vai redzat divus lokus un divus centrālos leņķus? Nu, lielāks loks atbilst lielākam leņķim (un tas ir labi, ka tas ir lielāks), un mazāks loks atbilst mazākam leņķim.

Tātad, mēs vienojāmies: loka satur tādu pašu grādu skaitu kā atbilstošais centrālais leņķis.

Un tagad par briesmīgo - par radiāniem!

Kāds dzīvnieks ir šis "radiāns"?

Iedomājieties šo: radiāni ir leņķa mērīšanas veids... rādiusos!

Radiāna leņķis ir centrālais leņķis, kura loka garums ir vienāds ar apļa rādiusu.

Tad rodas jautājums – cik radiānu ir iztaisnotā leņķī?

Citiem vārdiem sakot: cik rādiusu "ietilpst" pusaplī? Vai citā veidā: cik reizes pusapļa garums ir lielāks par rādiusu?

Šo jautājumu uzdeva zinātnieki Senajā Grieķijā.

Un tā pēc ilgas meklēšanas viņi atklāja, ka apkārtmēra attiecība pret rādiusu nevēlas izpausties "cilvēka" skaitļos, piemēram, utt.

Un šo attieksmi pat nav iespējams izteikt caur saknēm. Tas ir, izrādās, ka nevar teikt, ka puse no apļa ir divas vai reizes lielāka par rādiusu! Vai varat iedomāties, cik pārsteidzoši bija pirmo reizi atklāt cilvēkus?! Pusapļa garuma attiecībai pret rādiusu pietika ar “parastajiem” skaitļiem. Man bija jāievada vēstule.

Tātad, ir skaitlis, kas izsaka attiecību starp pusloka garumu un rādiusu.

Tagad mēs varam atbildēt uz jautājumu: cik radiānu ir taisnā leņķī? Tam ir radiāns. Tieši tāpēc, ka puse no apļa ir divreiz lielāka par rādiusu.

Senie (un ne tik) cilvēki cauri laikiem (!) viņi mēģināja šo noslēpumaino skaitli precīzāk aprēķināt, labāk (vismaz aptuveni) izteikt caur "parastajiem" skaitļiem. Un tagad esam neiespējami slinki - mums pietiek ar divām zīmēm pēc aizņemtības, esam pieraduši

Padomājiet par to, tas nozīmē, piemēram, ka apļa y ar rādiusu viens ir aptuveni vienāds garumā, un šo garumu vienkārši nav iespējams pierakstīt ar “cilvēka” skaitli - jums ir nepieciešams burts. Un tad šis apkārtmērs būs vienāds. Un, protams, rādiusa apkārtmērs ir vienāds.

Atgriezīsimies pie radiāniem.

Mēs jau esam noskaidrojuši, ka taisnā leņķī ir radiāns.

Kas mums ir:

Prieks, prieks. Tādā pašā veidā tiek iegūta plāksne ar populārākajiem leņķiem.

Attiecība starp ierakstītā un centrālā leņķa vērtībām.

Ir pārsteidzošs fakts:

Ierakstītā leņķa vērtība ir puse no atbilstošā centrālā leņķa.

Skatiet, kā šis apgalvojums izskatās attēlā. "Atbilstošs" centrālais leņķis ir tāds, kurā gali sakrīt ar ierakstītā leņķa galiem, un virsotne atrodas centrā. Un tajā pašā laikā “atbilstošajam” centrālajam leņķim “jāskatās” tajā pašā hordā () kā ierakstītajam leņķim.

Kāpēc tā? Vispirms apskatīsim vienkāršu gadījumu. Ļaujiet vienam no akordiem iziet cauri centram. Galu galā tas dažreiz notiek, vai ne?

Kas te notiek? Apsveriet. Galu galā tas ir vienādsānu un ir rādiusi. Tātad, (apzīmēja tos).

Tagad paskatīsimies. Šis ir ārējais stūris! Mēs atgādinām, ka ārējais leņķis ir vienāds ar divu iekšējo leņķu summu, kas nav tam blakus, un rakstiet:

T.i.! Negaidīts efekts. Bet ir arī centrālais leņķis ierakstītajam.

Tātad šajā gadījumā mēs pierādījām, ka centrālais leņķis ir divreiz lielāks par ierakstīto leņķi. Bet tas ir sāpīgi īpašs gadījums: vai tā ir taisnība, ka akords ne vienmēr iet taisni caur centru? Bet nekas, tagad šis īpašais gadījums mums ļoti palīdzēs. Skatīt: otrais gadījums: ļaujiet centram atrasties iekšā.

Darīsim tā: uzzīmējiet diametru. Un tad ... mēs redzam divus attēlus, kas jau ir analizēti pirmajā gadījumā. Tāpēc mums jau ir

Tātad (uz zīmējuma a)

Nu, paliek pēdējais gadījums: centrs atrodas ārpus stūra.

Mēs darām to pašu: izvelciet diametru caur punktu. Viss ir tas pats, bet summas vietā - atšķirība.

Tas ir viss!

Tagad izveidosim divas galvenās un ļoti svarīgas sekas apgalvojumam, ka ierakstītais leņķis ir puse no centrālā.

Secinājums 1

Visi ierakstītie leņķi, kas krustojas ar vienu loku, ir vienādi.

Mēs ilustrējam:

Ir neskaitāmi ierakstīti leņķi, kuru pamatā ir viena un tā pati loka (mums ir šis loks), tie var izskatīties pilnīgi atšķirīgi, taču tiem visiem ir vienāds centrālais leņķis (), kas nozīmē, ka visi šie ierakstītie leņķi savā starpā ir vienādi.

Sekas 2

Leņķis, pamatojoties uz diametru, ir taisns leņķis.

Paskaties: kurš stūris atrodas centrā?

Noteikti,. Bet viņš ir līdzvērtīgs! Nu, tāpēc (kā arī daudz ierakstīto leņķu, pamatojoties uz) un ir vienāds ar.

Leņķis starp diviem akordiem un sekantiem

Bet ja nu leņķis, kas mūs interesē, NAV ierakstīts un NAV centrālais, bet, piemēram, šāds:

vai šādi?

Vai ir iespējams to kaut kā izteikt caur kādiem centrāliem leņķiem? Izrādās, ka var. Paskaties, mēs esam ieinteresēti.

a) (kā ārējais stūris). Bet - ierakstīts, pamatojoties uz loku - . - ierakstīts, pamatojoties uz loka - .

Par skaistumu viņi saka:

Leņķis starp hordām ir vienāds ar pusi no šajā leņķī iekļauto loku leņķisko vērtību summas.

Tas ir uzrakstīts īsuma dēļ, bet, protams, izmantojot šo formulu, jums jāpatur prātā centrālie leņķi

b) Un tagad - "ārā"! Kā būt? Jā, gandrīz tas pats! Tikai tagad (atkal piemērot ārējā stūra īpašumu). Tas ir tagad.

Un tas nozīmē. Ienesīsim ierakstos un formulējumos skaistumu un īsumu:

Leņķis starp sekantiem ir vienāds ar pusi no šajā leņķī ietverto loku leņķisko vērtību starpības.

Nu, tagad jūs esat bruņojies ar visām pamatzināšanām par leņķiem, kas saistīti ar apli. Uz priekšu, uzdevumu uzbrukumā!

APLIS UN IEKĻAUTS LEĶIS. VIDĒJS LĪMENIS

Kas ir aplis, pat piecus gadus vecs bērns zina, vai ne? Matemātiķiem, kā vienmēr, ir neskaidra definīcija par šo tēmu, taču mēs to nesniegsim (skatīsim), bet gan atcerēsimies, kā sauc punktus, līnijas un leņķus, kas saistīti ar apli.

Svarīgi noteikumi

Pirmkārt:

apļa centrs- punkts, no kura attālumi līdz visiem riņķa punktiem ir vienādi.

Otrkārt:

Šeit ir vēl viens pieņemts izteiciens: "akords sarauj loku". Šeit, šeit, attēlā, piemēram, horda saraujas lokā. Un, ja akords pēkšņi iet caur centru, tad tam ir īpašs nosaukums: "diametrs".

Starp citu, kā diametrs un rādiuss ir saistīti? Paskaties cieši. Protams,

Un tagad - stūru nosaukumi.

Dabiski, vai ne? Stūra malas iziet no centra, kas nozīmē, ka stūris ir centrālais.

Šeit dažreiz rodas grūtības. Pievērs uzmanību - NEVIENS leņķis apļa iekšpusē nav ierakstīts, bet tikai tāds, kura virsotne "sēž" uz paša apļa.

Apskatīsim atšķirību attēlos:

Viņi arī saka savādāk:

Šeit ir viens sarežģīts punkts. Kas ir “atbilstošs” vai “savs” centrālais leņķis? Tikai leņķis ar virsotni apļa centrā un beidzas loka galos? Noteikti ne tādā veidā. Skaties uz bildi.

Viens no tiem gan pat neizskatās pēc stūra – tas ir lielāks. Bet trīsstūrī nevar būt vairāk leņķu, bet aplī - var labi! Tātad: mazāks loks AB atbilst mazākam leņķim (oranžs), bet lielāks - lielākam. Tāpat kā, vai ne?

Attiecības starp ierakstītajiem un centrālajiem leņķiem

Atcerieties ļoti svarīgu paziņojumu:

Mācību grāmatās viņiem patīk rakstīt to pašu faktu šādi:

Tiesa, ar centrālo leņķi formulējums ir vienkāršāks?

Bet tomēr, atradīsim atbilstību starp abiem formulējumiem un tajā pašā laikā uzzināsim, kā atrast “atbilstošo” centrālo leņķi un loku, uz kura ierakstītais leņķis “balstās” uz figūrām.

Paskaties, šeit ir aplis un ierakstīts leņķis:

Kur ir tā "atbilstošais" centrālais leņķis?

Paskatīsimies vēlreiz:

Kāds ir noteikums?

Bet! Šajā gadījumā ir svarīgi, lai ierakstītais un centrālais leņķis "skatītos" vienā loka pusē. Piemēram:

Savādi, zils! Jo loks ir garš, garāks par pusi apļa! Tāpēc nekad nemulsiniet!

Kādas sekas var secināt no ierakstītā leņķa "pusības"?

Un šeit, piemēram:

Leņķis, pamatojoties uz diametru

Jūs jau pamanījāt, ka matemātiķiem ļoti patīk runāt par vienu un to pašu. dažādi vārdi? Kāpēc tas viņiem? Redziet, lai gan matemātikas valoda ir formāla, tā ir dzīva, un tāpēc, tāpat kā parastā valodā, katru reizi, kad vēlaties to pateikt tā, kā jums ir ērtāk. Nu, mēs jau esam redzējuši, kas ir “leņķis balstās uz loka”. Un iedomājieties, to pašu attēlu sauc par "leņķis balstās uz akordu". Uz ko? Jā, protams, uz to, kas velk šo loku!

Kad ir ērtāk paļauties uz akordu, nevis uz loku?

Nu, jo īpaši, ja šis akords ir diametrs.

Šādai situācijai ir apbrīnojami vienkāršs, skaists un noderīgs paziņojums!

Paskaties: šeit ir aplis, diametrs un leņķis, kas uz tā balstās.

APLIS UN IEKĻAUTS LEĶIS. ĪSUMĀ PAR GALVENO

1. Pamatjēdzieni.

3. Loku un leņķu mērījumi.

Radiāna leņķis ir centrālais leņķis, kura loka garums ir vienāds ar apļa rādiusu.

Šis ir skaitlis, kas izsaka pusloka garuma attiecību pret rādiusu.

Rādiusa apkārtmērs ir vienāds ar.

4. Attiecība starp ierakstītā un centrālā leņķa vērtībām.

Ierakstītā un centrālā leņķa jēdziens

Vispirms iepazīstināsim ar centrālā leņķa jēdzienu.

1. piezīme

Pieraksti to pakāpes mērs centrālais leņķis ir vienāds ar loka pakāpes mēru, uz kura tas balstās.

Tagad mēs ieviešam ierakstītā leņķa jēdzienu.

2. definīcija

Leņķi, kura virsotne atrodas uz apļa un kura malas krustojas ar vienu un to pašu apli, sauc par ierakstīto leņķi (2. att.).

2. attēls. Ierakstītais leņķis

Ierakstītā leņķa teorēma

1. teorēma

Ierakstītā leņķa mērs ir puse no loka, ko tas pārtver.

Pierādījums.

Dosim mums apli, kura centrs ir punktā $O$. Apzīmē ierakstīto leņķi $ACB$ (2. att.). Ir iespējami šādi trīs gadījumi:

• Stars $CO$ sakrīt ar kādu leņķa pusi. Ļaujiet tai būt $CB$ pusei (3. att.).

3. attēls

Šajā gadījumā loka $AB$ ir mazāka par $(180)^(()^\circ )$, tātad centrālais leņķis $AOB$ ir vienāds ar loku $AB$. Tā kā $AO=OC=r$, trijstūris $AOC$ ir vienādsānu. Tādējādi pamata leņķi $CAO$ un $ACO$ ir vienādi. Saskaņā ar teorēmu par trijstūra ārējo leņķi mums ir:

• Stars $CO$ sadala iekšējo leņķi divos leņķos. Ļaujiet tai krustot apli punktā $D$ (4. att.).

4. attēls

Mēs saņemam

• Stars $CO$ nesadala iekšējo leņķi divos leņķos un nesakrīt ne ar vienu no tā malām (5. att.).

5. attēls

Apsveriet atsevišķi leņķus $ACD$ un $DCB$. Ar to, kas tika pierādīts 1. punktā, mēs iegūstam

Mēs saņemam

Teorēma ir pierādīta.

Atvedīsim sekas no šīs teorēmas.

Secinājums 1: Ierakstītie leņķi, kas krusto vienu un to pašu loku, ir vienādi.

Secinājums 2: Ierakstīts leņķis, kas pārtver diametru, ir taisns leņķis.

Visbiežāk gatavošanās matemātikas eksāmenam sākas ar pamata definīciju, formulu un teorēmu atkārtošanu, ieskaitot tēmu "Centrālais un apļa leņķī ierakstīts". Parasti šī planimetrijas sadaļa tiek pētīta vidusskola. Nav pārsteidzoši, ka daudzi studenti saskaras ar nepieciešamību atkārtot pamatjēdzienus un teorēmas par tēmu "Apļa centrālais leņķis". Izprotot šādu problēmu risināšanas algoritmu, skolēni varēs rēķināties ar konkursa punktu iegūšanu, pamatojoties uz vienotā valsts eksāmena nokārtošanas rezultātiem.

Kā viegli un efektīvi sagatavoties sertifikācijas pārbaudei?

Panākšana pirms padošanās vienam valsts eksāmens, daudzi vidusskolēni saskaras ar atrašanas problēmu nepieciešamo informāciju par tēmu "Centrālie un ierakstītie leņķi aplī". Ne vienmēr skolas mācību grāmata ir pa rokai. Un formulu meklēšana internetā dažkārt aizņem daudz laika.

Lai "izsūknētu" prasmes un pilnveidotu zināšanas tik sarežģītā ģeometrijas sadaļā kā planimetrija, izglītības portāls. Shkolkovo aicina vidusskolēnus un viņu skolotājus vienotā valsts eksāmena sagatavošanas procesu veidot jaunā veidā. Visus pamatmateriālus mūsu eksperti piedāvā vispieejamākajā veidā. Pārskatot informāciju sadaļā "Teorētiskā uzziņa", skolēni uzzinās, kādas īpašības piemīt riņķa centrālajam leņķim, kā atrast tā vērtību u.c.

Pēc tam, lai nostiprinātu iegūtās zināšanas un attīstītu prasmes, iesakām veikt atbilstošus vingrinājumus. Liela izvēle uzdevumi riņķī ierakstītā leņķa vērtības atrašanai un citi parametri ir parādīti sadaļā "Katalogs". Katram uzdevumam mūsu eksperti pierakstīja detalizētu risinājuma gaitu un norādīja pareizo atbildi. Vietnes uzdevumu saraksts tiek pastāvīgi papildināts un atjaunināts.

Vidusskolēni var sagatavoties eksāmenam, praktizējot vingrinājumus, piemēram, centrālā leņķa vērtības un apļa loka garuma atrašanu tiešsaistē, atrodoties jebkurā Krievijas reģionā.

Ja nepieciešams, izpildīto uzdevumu var saglabāt sadaļā "Izlase", lai vēlāk pie tā atgrieztos un vēlreiz analizētu tā risinājuma principu.

Šis ir leņķis, ko veido divi akordi kas sākas vienā apļa punktā. Tiek teikts, ka ierakstīts leņķis ir paļaujas uz loka, kas noslēgts starp tā malām.

Ierakstītais leņķis vienāds ar pusi no loka, uz kura tas balstās.

Citiem vārdiem sakot, ierakstītais leņķis ietver tik daudz grādu, minūšu un sekunžu, cik loka grādi, minūtes un sekundes ir ietvertas pusē no loka, uz kuru tas balstās. Pamatojumam mēs analizējam trīs gadījumus:

Pirmais gadījums:

Centrs O atrodas sānos ierakstītais leņķis ABS. Uzzīmējot rādiusu AO, iegūstam ΔABO, kurā OA = OB (kā rādiusu) un attiecīgi ∠ABO = ∠BAO. Saistībā ar šo trīsstūris, leņķis AOC ir ārējs. Un tas nozīmē, ka viņš ir vienāda ar summu leņķi ABO un BAO vai vienādi ar dubultleņķi ABO. Tātad ∠ABO ir puse centrālais stūris AOC. Bet šo leņķi mēra ar maiņstrāvas loku. Tas ir, ierakstīto leņķi ABC mēra ar pusi no loka AC.

Otrais gadījums:

Centrs O atrodas starp malām ierakstītais leņķis ABC Nozīmējot diametru BD, leņķi ABC sadalīsim divos leņķos, no kuriem, saskaņā ar pirmajā gadījumā noteikto, vienu mēra uz pusi loki AD, un loka kompaktdiska otra puse. Un attiecīgi leņķi ABC mēra ar (AD + DC) / 2, t.i. 1/2 maiņstrāvas.

Trešais gadījums:

Centrs O atrodas ārpusē ierakstītais leņķis ABS. Nozīmējot diametru BD, mēs iegūsim: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Bet leņķi ABD un CBD tiek mērīti, pamatojoties uz iepriekš pamatotajām pusēm loki AD un CD. Un tā kā ∠ABС mēra ar (AD-CD)/2, tas ir, pusi no maiņstrāvas loka.

Sekas 1. Jebkuri , pamatojoties uz to pašu loku, ir vienādi, tas ir, tie ir vienādi viens ar otru. Tā kā katrs no tiem tiek mērīts ar pusi no tā paša loki .

Sekas 2. Ierakstītais leņķis, pamatojoties uz diametru - pareizā leņķī. Tā kā katrs šāds leņķis tiek mērīts ar pusloku un attiecīgi satur 90 °.

Ierakstītais leņķis, problēmu teorija. Draugi! Šajā rakstā mēs runāsim par uzdevumiem, kuru risināšanai ir jāzina ierakstītā leņķa īpašības. Tas ir visa grupa uzdevumi, tie tiek iekļauti eksāmenā. Lielākā daļa no tām tiek atrisinātas ļoti vienkārši, vienā solī.

Ir sarežģītāki uzdevumi, taču tie jums nesagādās lielas grūtības, jums jāzina ierakstītā leņķa īpašības. Pamazām mēs analizēsim visus uzdevumu prototipus, aicinu jūs uz emuāru!

Tagad nepieciešamā teorija. Atcerieties, kāds ir centrālais un ierakstītais leņķis, horda, loks, uz kuru balstās šie leņķi:

Centrālo leņķi aplī sauc par plakanu leņķi arvirsotne tās centrā.

Apļa daļa, kas atrodas plakana stūra iekšpusēsauc par apļa loku.

Apļa loka pakāpes mērs ir pakāpes mērsatbilstošs centrālais leņķis.

Leņķi sauc par ierakstītu aplī, ja leņķa virsotne atrodasuz apļa, un leņķa malas krustojas ar šo apli.

Tiek saukts līnijas segments, kas savieno divus riņķa punktusakords. Garākais akords iet cauri apļa centram un tiek sauktsdiametrs.

Lai atrisinātu uzdevumus aplī ierakstītiem leņķiem,jums jāzina šādas īpašības:

1. Ierakstītais leņķis ir vienāds ar pusi no centrālā leņķa, pamatojoties uz to pašu loku.

2. Visi ierakstītie leņķi, kuru pamatā ir viens un tas pats loks, ir vienādi.

3. Visi ierakstītie leņķi, kuru pamatā ir viena horda, kuru virsotnes atrodas vienā šīs hordas pusē, ir vienādi.

4. Jebkurš leņķu pāris, kura pamatā ir viena un tā pati horda, kura virsotnes atrodas pretējās hordas pusēs, kopā veido 180°.

Secinājums: aplī ierakstīta četrstūra pretējie leņķi kopā veido 180 grādus.

5. Visi ierakstītie leņķi, pamatojoties uz diametru, ir taisni.

Kopumā šis īpašums ir īpašuma (1) sekas, tas ir tā konkrētais gadījums. Paskatieties - centrālais leņķis ir vienāds ar 180 grādiem (un šis izstrādātais leņķis nav nekas cits kā diametrs), kas nozīmē, ka saskaņā ar pirmo īpašību ierakstītais leņķis C ir vienāds ar tā pusi, tas ir, 90 grādiem.

Zināšanas dotais īpašums palīdz atrisināt daudzas problēmas un bieži vien ļauj izvairīties no liekiem aprēķiniem. Labi apgūstot, vairāk nekā pusi no šāda veida problēmām varēsiet atrisināt mutiski. Var rasties divas sekas:

Secinājums 1: ja trijstūris ir ierakstīts aplī un viena no tā malām sakrīt ar šī apļa diametru, tad trijstūris ir taisnleņķa (virsotne pareizā leņķī atrodas uz apļa).

Secinājums 2: centrs aprakstīto par taisnleņķa trīsstūris aplis sakrīt ar tā hipotenūzas viduspunktu.

Izmantojot šo īpašību un šīs sekas, tiek atrisināti arī daudzi stereometrisko problēmu prototipi. Atcerieties pašu faktu: ja apļa diametrs ir ierakstīta trīsstūra mala, tad šis trīsstūris ir taisnleņķis (leņķis, kas ir pretējs diametram, ir 90 grādi). Visus pārējos secinājumus un sekas vari izdarīt pats, nevajag tos mācīt.

Parasti puse no ierakstītā leņķa uzdevumiem ir dota ar skici, bet bez apzīmējumiem. Lai saprastu spriešanas procesu, risinot problēmas (raksta zemāk), tiek ieviesti virsotņu (stūru) apzīmējumi. Eksāmenā jūs to nevarat izdarīt.Apsveriet uzdevumus:

Kas ir akūts ierakstīts leņķis, kas pārtver hordu, kas vienāda ar apļa rādiusu? Sniedziet atbildi grādos.

Izveidosim centrālo leņķi dotajam ierakstītajam leņķim, apzīmēsim virsotnes:

Saskaņā ar aplī ierakstīta leņķa īpašībām:

Leņķis AOB ir vienāds ar 60 0, jo trīsstūris AOB ir vienādmalu, un vienādmalu trijstūrī visi leņķi ir vienādi ar 60 0 . Trijstūra malas ir vienādas, jo nosacījums saka, ka horda ir vienāda ar rādiusu.

Tādējādi ierakstītais leņķis DIA ir 30 0 .

Atbilde: 30

Atrodiet hordu, uz kuras balstās leņķis 30 0, kas ierakstīts aplī ar rādiusu 3.

Šī būtībā ir apgrieztā problēma (iepriekšējai problēmai). Uzbūvēsim centrālo stūri.

Tas ir divreiz lielāks par ierakstīto, tas ir, leņķis AOB ir 60 0 . No tā mēs varam secināt, ka trīsstūris AOB ir vienādmalu. Tādējādi horda ir vienāda ar rādiusu, tas ir, trīs.

Atbilde: 3

Apļa rādiuss ir 1. Atrodiet strupa leņķa vērtību, pamatojoties uz hordu, kas vienāda ar divu sakni. Sniedziet atbildi grādos.

Izveidosim centrālo leņķi:

Zinot rādiusu un hordu, mēs varam atrast centrālo leņķi DIA. To var izdarīt, izmantojot kosinusu likumu. Zinot centrālo leņķi, mēs varam viegli atrast ierakstīto leņķi ACB.

Kosinusa teorēma: trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, nedublojot šo malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām.

Tāpēc otrais centrālais leņķis ir 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Saskaņā ar ierakstītā leņķa īpašību leņķis DIA ir vienāds ar tā pusi, tas ir, 135 grādi.

Atbilde: 135

Atrodiet hordu, uz kuras rādiusa aplī ir ierakstīts 120 grādu leņķis, trīs sakne.

Savienojiet punktus A un B ar apļa centru. Sauksim to par O:

Mēs zinām rādiusu un ierakstīto leņķi DIA. Mēs varam atrast centrālo leņķi AOB (lielāku par 180 grādiem), pēc tam atrast leņķi AOB trīsstūrī AOB. Un tad, izmantojot kosinusa teorēmu, aprēķiniet AB.

Pēc ierakstītā leņķa īpašību centrālais leņķis AOB (kas ir lielāks par 180 grādiem) būs vienāds ar divreiz ierakstīto leņķi, tas ir, 240 grādiem. Tas nozīmē, ka leņķis AOB trijstūrī AOB ir 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Saskaņā ar kosinusu likumu:

Atbilde: 3

Atrodiet ierakstīto leņķi, pamatojoties uz loku, kas ir 20% no apļa. Sniedziet atbildi grādos.

Pēc ierakstītā leņķa īpašības tas ir uz pusi mazāks no centrālā leņķa, pamatojoties uz to pašu loku, šajā gadījumā mēs runājam par loku AB.

Ir teikts, ka loka AB ir 20 procenti no apkārtmēra. Tas nozīmē, ka centrālais leņķis AOB arī ir 20 procenti no 360 0 .* Aplis ir 360 grādu leņķis. nozīmē,

Tādējādi ierakstītais leņķis ACB ir 36 grādi.

Atbilde: 36

apļa loka AC, kas nesatur punktus B, ir 200 grādi. Un apļa BC loks, kas nesatur punktus A, ir 80 grādi. Atrodiet ierakstīto leņķi ACB. Sniedziet atbildi grādos.

Skaidrības labad apzīmēsim lokus, kuru leņķiskie mēri ir doti. Loka, kas atbilst 200 grādiem - zila krāsa, loka, kas atbilst 80 grādiem, ir sarkana, pārējā apļa daļa ir dzeltens.

Tādējādi loka AB pakāpes mērs (dzeltens) un līdz ar to arī centrālais leņķis AOB ir: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Ierakstītais leņķis DAB ir puse no centrālā leņķa AOB, tas ir, vienāds ar 40 grādiem.

Atbilde: 40

Kāds ir ierakstītais leņķis, pamatojoties uz apļa diametru? Sniedziet atbildi grādos.