Vienmērīgi paātrinātas kustības analītisks apraksts. Formulas atvasinājums kustībai ar vienmērīgi paātrinātu kustību. Trajektorija

Mums svarīgākais ir spēt aprēķināt ķermeņa pārvietojumu, jo, zinot pārvietojumu, varam atrast arī ķermeņa koordinātas, un tas ir mehānikas galvenais uzdevums. Kā aprēķināt pārvietojumu vienmērīgi paātrināta kustība?

Nobīdes noteikšanas formulu ir visvieglāk iegūt, ja izmantojat grafisko metodi.

9. paragrāfā mēs redzējām, ka ar taisnu vienmērīgu kustību ķermeņa nobīde ir skaitliski vienāda ar figūras (taisnstūra) laukumu, kas atrodas zem ātruma grafika. Vai tas attiecas uz vienmērīgi paātrinātu kustību?

Ar vienmērīgi paātrinātu ķermeņa kustību pa koordinātu asi X ātrums nepaliek nemainīgs laika gaitā, bet mainās ar laiku saskaņā ar formulām:

Tāpēc ātruma grafikiem ir tāda forma, kā parādīts 40. attēlā. 1. līnija šajā attēlā atbilst kustībai ar "pozitīvu" paātrinājumu (ātrums palielinās), 2. līnija atbilst kustībai ar "negatīvu" paātrinājumu (ātrums samazinās). Abi grafiki attiecas uz gadījumu, kad tajā brīdī ķermenim bija ātrums

Vienmērīgi paātrinātas kustības ātruma grafikā izvēlamies nelielu posmu (41. att.) un zemāk no punktiem a un perpendikulāri asij Nogriežņa garums uz ass ir skaitliski vienāds ar mazo laika intervālu, kura laikā ātrums mainīts no tās vērtības punktā a uz vērtību punktā Zem sadaļas grafika izrādījās šaura josla

Ja laika intervāls, kas skaitliski vienāds ar segmentu, ir pietiekami mazs, tad šajā laikā arī ātruma izmaiņas ir nelielas. Kustību šajā laika periodā var uzskatīt par viendabīgu, un tad sloksne maz atšķirsies no taisnstūra. Tāpēc sloksnes laukums ir skaitliski vienāds ar ķermeņa pārvietojumu segmentam atbilstošā laikā

Bet ir iespējams sadalīt visu attēla laukumu, kas atrodas zem ātruma grafika, šādās šaurās sloksnēs. Līdz ar to nobīde uz visu laiku ir skaitliski vienāda ar trapeces laukumu. Trapeces laukums, kā zināms no ģeometrijas, ir vienāds ar pusi no tās pamatu un augstuma summas reizinājumu. Mūsu gadījumā vienas trapeces pamatnes garums ir skaitliski vienāds ar otras - V. Tā augstums ir skaitliski vienāds. No tā izriet, ka pārvietojums ir vienāds ar:

Tā vietā mēs šajā formulā aizstājam izteiksmi (1a).

Dalot terminu ar terminu skaitītāju ar saucēju, mēs iegūstam:

Aizvietojot izteiksmi (16) formulā (2), iegūstam (skat. 42. att.):

Formulu (2a) izmanto, ja paātrinājuma vektors ir vērsts tajā pašā virzienā kā koordinātu asi, un formulu (26), kad paātrinājuma vektora virziens ir pretējs šīs ass virzienam.

Ja sākotnējais ātrums ir nulle (43. att.) un paātrinājuma vektors ir vērsts pa koordinātu asi, tad no formulas (2a) izriet, ka

Ja paātrinājuma vektora virziens ir pretējs koordinātu ass virzienam, tad no formulas (26) izriet, ka

(“-” zīme šeit nozīmē, ka nobīdes vektors, kā arī paātrinājuma vektors ir vērsts pretī izvēlētajai koordinātu asij).

Atgādiniet, ka formulās (2a) un (26) lielumi un var būt gan pozitīvi, gan negatīvi - tās ir vektoru un

Tagad, kad esam saņēmuši formulas pārvietojuma aprēķināšanai, mums ir viegli iegūt ķermeņa koordinātu aprēķināšanas formulu. Mēs esam redzējuši (sk. 8. §), ka, lai atrastu ķermeņa koordinātas kādā brīdī, ir nepieciešams pievienot sākotnējo koordinātu ķermeņa pārvietojuma vektora projekcijai uz koordinātu asi:

(For), ja paātrinājuma vektors ir vērsts tajā pašā virzienā kā koordinātu ass, un

ja paātrinājuma vektora virziens ir pretējs koordinātu ass virzienam.

Šīs ir formulas, kas ļauj jebkurā laikā atrast ķermeņa stāvokli taisnā, vienmērīgi paātrinātā kustībā. Lai to izdarītu, jums jāzina ķermeņa sākotnējā koordināte, tā sākotnējais ātrums un paātrinājums a.

Uzdevums 1. Automašīnas vadītājs, kurš brauca ar ātrumu 72 km/h, ieraudzīja sarkano luksoforu un iedarbināja bremzes. Pēc tam automašīna sāka samazināt ātrumu, pārvietojoties ar paātrinājumu

Kāds ir automašīnas nobrauktais attālums laika sekundē pēc bremzēšanas sākuma? Cik tālu automašīna nobrauks, pirms tā pilnībā apstāsies?

Risinājums. Koordinātu izcelsmei mēs izvēlamies ceļa punktu, kurā automašīna sāka palēnināties. Virzīsim koordinātu asi automašīnas kustības virzienā (44. att.), un laika atskaiti attiecināsim uz brīdi, kurā vadītājs nospieda bremzi. Automašīnas ātrums ir vērsts tajā pašā virzienā kā X ass, un automašīnas paātrinājums ir pretējs šīs ass virzienam. Tāpēc ātruma projekcija uz X ass ir pozitīva, un paātrinājuma projekcija ir negatīva, un transportlīdzekļa koordināte ir jāatrod, izmantojot formulu (36):

Šajā formulā vērtības aizstājot

Tagad noskaidrosim, cik tālu automašīna nobrauks, pirms tā pilnībā apstāsies. Lai to izdarītu, mums jāzina kustības laiks. To var atrast, izmantojot formulu

Tā kā brīdī, kad mašīna apstājas, tās ātrums ir nulle, tad

Attālums, ko automašīna veiks līdz pilnīgai apstāšanās brīdim, ir vienāds ar automašīnas koordinātām attiecīgajā brīdī

2. uzdevums. Noteikt ķermeņa pārvietojumu, kura ātruma grafiks parādīts 45. attēlā. Ķermeņa paātrinājums ir a.

Risinājums. Tā kā sākumā ķermeņa ātruma modulis ar laiku samazinās, paātrinājuma vektors ir vērsts pretēji virzienam . Lai aprēķinātu pārvietojumu, mēs varam izmantot formulu

No grafika var redzēt, ka kustības laiks tāpēc ir:

Iegūtā atbilde parāda, ka 45. attēlā redzamais grafiks atbilst ķermeņa kustībai vispirms vienā virzienā, bet pēc tam tādam pašam attālumam pretējā virzienā, kā rezultātā ķermenis atrodas sākuma punktā. Šāds grafiks var, piemēram, attiekties uz vertikāli uz augšu izmesta ķermeņa kustību.

3. uzdevums. Ķermenis pārvietojas pa taisnu līniju ar vienmērīgu paātrinājumu a. Atrodiet ķermeņa veikto attālumu atšķirību divos secīgos vienādos laika periodos, t.i.

Risinājums. Ņemsim taisni, pa kuru ķermenis kustas par X asi Ja punktā A (46. att.) ķermeņa ātrums bija vienāds, tad tā kustība laikā ir vienāda ar:

Punktā B ķermenim bija ātrums, un tā pārvietojums nākamajā laika periodā ir:

2. 47. attēlā parādīti trīs ķermeņu kustības ātruma grafiki? Kāda ir šo ķermeņu kustības būtība? Ko var teikt par ķermeņu ātrumiem tajos laika momentos, kas atbilst punktiem A un B? Nosakiet šo ķermeņu paātrinājumus un uzrakstiet kustības vienādojumus (ātruma un pārvietojuma formulas).

3. Izmantojot 48. attēlā redzamos trīs ķermeņu ātrumu grafikus, veiciet šādus uzdevumus: a) Nosakiet šo ķermeņu paātrinājumus; b) komponēt priekš

katra ķermeņa ātruma atkarības no laika formula: c) kā līdzīgas un ar ko atšķiras 2. un 3. grafikam atbilstošās kustības?

4. 49. attēlā parādīti trīs ķermeņu kustības ātruma grafiki. Pēc šiem grafikiem: a) nosaka, kam atbilst nogriežņi OA, OB un OS uz koordinātu asīm; 6) atrodiet paātrinājumus, ar kādiem ķermeņi pārvietojas: c) uzrakstiet katra ķermeņa kustības vienādojumus.

5. Lidmašīna pacelšanās laikā skrejceļu šķērso 15 sekundēs un pacelšanās brīdī no nosēšanās ir ātrums 100 m/s. Cik ātri pārvietojās lidmašīna un cik garš bija skrejceļš?

6. Automašīna apstājās pie luksofora. Pēc tam, kad iedegas zaļais signāls, tas sāk kustēties ar paātrinājumu un pārvietojas šādi, līdz tā ātrums kļūst vienāds ar 16 m/s, pēc tam tas turpina kustēties nemainīgā ātrumā. Cik tālu no luksofora automašīna atradīsies 15 sekundes pēc zaļā signāla parādīšanās?

7. Lādiņš ar ātrumu 1000 m/s izlaužas cauri zemnīcas sienai 10 minūtēs un pēc tam ar ātrumu 200 m/s. Ņemot vērā, ka šāviņa kustība sienas biezumā ir vienmērīgi paātrināta, atrodiet sienas biezumu.

8. Raķete kustas ar paātrinājumu un kādā brīdī sasniedz ātrumu 900 m/sek. Kuru ceļu viņa izvēlēsies turpmāk

9. Cik tālu no Zemes būtu kosmosa kuģis 30 minūtes pēc starta, ja viņš visu laiku virzījās taisni uz priekšu ar paātrinājumu

Vienota kustība- tā ir kustība ar nemainīgu ātrumu, tas ir, kad ātrums nemainās (v \u003d const) un nav paātrinājuma vai palēninājuma (a \u003d 0).

Taisnvirziena kustība ir kustība taisnā līnijā, tas ir, trajektorija taisnvirziena kustība ir taisna līnija.

ir kustība, kurā ķermenis veic vienas un tās pašas kustības jebkuros vienādos laika intervālos. Piemēram, ja mēs sadalām kādu laika intervālu vienas sekundes segmentos, tad ar vienmērīgu kustību ķermenis katram no šiem laika segmentiem pārvietos vienādu attālumu.

Vienmērīgas taisnvirziena kustības ātrums nav atkarīgs no laika un katrā trajektorijas punktā tiek virzīts tāpat kā ķermeņa kustība. Tas ir, pārvietojuma vektors sakrīt virzienā ar ātruma vektoru. Kurā Vidējais ātrums jebkuram laika periodam ir vienāds ar momentāno ātrumu:

Vienmērīgas taisnas kustības ātrums ir fiziska vektora lielums, kas vienāds ar ķermeņa pārvietošanās attiecību jebkurā laika periodā un šī intervāla vērtību t:

V(vektors) = s(vektors) / t

Tādējādi vienmērīgas taisnvirziena kustības ātrums parāda, kādu kustību materiāla punkts veic laika vienībā.

pārvietojas ar vienmērīgu taisnu kustību nosaka pēc formulas:

s(vektors) = V(vektors) t

Nobrauktais attālums taisnā kustībā ir vienāds ar pārvietojuma moduli. Ja OX ass pozitīvais virziens sakrīt ar kustības virzienu, tad ātruma projekcija uz OX asi ir vienāda ar ātrumu un ir pozitīva:

v x = v, t.i., v > 0

Nobīdes projekcija uz OX asi ir vienāda ar:

s \u003d vt \u003d x - x 0

kur x 0 ir ķermeņa sākotnējā koordināta, x ir ķermeņa galīgā koordināta (vai ķermeņa koordināte jebkurā laikā)

Kustības vienādojums, tas ir, ķermeņa koordinātas atkarība no laika x = x(t), izpaužas šādā formā:

Ja OX ass pozitīvais virziens ir pretējs ķermeņa kustības virzienam, tad ķermeņa ātruma projekcija uz OX asi ir negatīva, ātrums ir mazāks par nulli (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

4. Vienlīdz mainīga kustība.

Vienmērīga taisnvirziena kustībaŠis ir īpašs nevienmērīgas kustības gadījums.

Nevienmērīga kustība- šī ir kustība, kurā ķermenis (materiāls punkts) veic nevienlīdzīgas kustības vienādos laika intervālos. Piemēram, pilsētas autobuss pārvietojas nevienmērīgi, jo tā kustība galvenokārt sastāv no paātrinājuma un palēninājuma.

Vienlīdz mainīga kustība- tā ir kustība, kurā ķermeņa (materiālā punkta) ātrums jebkurā vienādos laika intervālos mainās vienādi.

Ķermeņa paātrinājums vienmērīgā kustībā paliek nemainīgs lielumā un virzienā (a = const).

Vienmērīgu kustību var vienmērīgi paātrināt vai vienmērīgi palēnināt.

Vienmērīgi paātrināta kustība- tā ir ķermeņa (materiālā punkta) kustība ar pozitīvu paātrinājumu, tas ir, ar šādu kustību ķermenis paātrinās ar pastāvīgu paātrinājumu. Vienmērīgi paātrinātas kustības gadījumā ķermeņa ātruma modulis ar laiku palielinās, paātrinājuma virziens sakrīt ar kustības ātruma virzienu.

Vienmērīga lēna kustība- tā ir ķermeņa (materiālā punkta) kustība ar negatīvu paātrinājumu, tas ir, ar šādu kustību ķermenis vienmērīgi palēninās. Ar vienmērīgu lēnu kustību ātruma un paātrinājuma vektori ir pretēji, un ātruma modulis ar laiku samazinās.

Mehānikā jebkura taisnvirziena kustība tiek paātrināta, tāpēc palēnināta kustība atšķiras no paātrinātas kustības tikai ar paātrinājuma vektora projekcijas zīmi uz izvēlēto koordinātu sistēmas asi.

Vidējais mainīgas kustības ātrums tiek noteikts, dalot ķermeņa kustību ar laiku, kurā šī kustība tika veikta. Vidējā ātruma mērvienība ir m/s.

Tūlītējs ātrums ir ķermeņa (materiālā punkta) ātrums Šis brīdis laikā vai noteiktā trajektorijas punktā, tas ir, robeža, līdz kurai vidējam ātrumam ir tendence ar bezgalīgu laika intervāla Δt samazināšanos:

V=lim(^t-0) ^s/^t

Momentānā ātruma vektors vienmērīgu kustību var atrast kā pirmo nobīdes vektora atvasinājumu attiecībā pret laiku:

V(vektors) = s'(vektors)

Ātruma vektora projekcija uz OX ass:

tas ir koordinātas atvasinājums attiecībā pret laiku (ātruma vektora projekcijas uz citām koordinātu asīm tiek iegūtas līdzīgi).

Paātrinājums- šī ir vērtība, kas nosaka ķermeņa ātruma izmaiņu ātrumu, tas ir, robežu, līdz kurai ātruma izmaiņas tiecas ar bezgalīgu laika intervāla Δt samazināšanos:

a(vektors) = lim(t-0) ^v(vektors)/^t

Vienmērīgas kustības paātrinājuma vektors var atrast kā ātruma vektora pirmo atvasinājumu attiecībā pret laiku vai kā otro atvasinājumu nobīdes vektoram attiecībā pret laiku:

a(vektors) = v(vektors)" = s(vektors)"

Ņemot vērā, ka 0 ir ķermeņa ātrums sākotnējā laika momentā (sākotnējais ātrums), ir ķermeņa ātrums noteiktā laika momentā (galīgais ātrums), t ir laika intervāls, kurā notika ātruma izmaiņas, paātrinājuma formula būs šādi:

a(vektors) = v(vektors)-v0(vektors)/t

No šejienes vienota ātruma formula jebkurā laikā:

v(vektors) = v 0 (vektors) + a(vektors)t

Ja ķermenis virzās taisni pa taisnvirziena Dekarta koordinātu sistēmas OX asi, kas sakrīt virzienā ar ķermeņa trajektoriju, tad ātruma vektora projekciju uz šo asi nosaka pēc formulas:

v x = v 0x ± a x t

"-" (mīnus) zīme paātrinājuma vektora projekcijas priekšā attiecas uz vienmērīgi lēnu kustību. Līdzīgi tiek uzrakstīti ātruma vektora projekciju vienādojumi uz citām koordinātu asīm.

Tā kā paātrinājums ir nemainīgs (a \u003d const) ar vienmērīgi mainīgu kustību, paātrinājuma grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla 0t asij (laika ass, 1.15. att.).

Rīsi. 1.15. Ķermeņa paātrinājuma atkarība no laika.

Ātrums pret laiku ir lineāra funkcija, kuras grafiks ir taisne (1.16. att.).

Rīsi. 1.16. Ķermeņa ātruma atkarība no laika.

Ātruma un laika grafiks(1.16. att.) liecina, ka

Šajā gadījumā pārvietojums ir skaitliski vienāds ar skaitļa 0abc laukumu (1.16. attēls).

Trapeces laukums ir puse no tās pamatu garumu summas, kas reizināta ar augstumu. Trapeces 0abc pamati ir skaitliski vienādi:

Trapeces augstums ir t. Tādējādi trapeces laukums un līdz ar to nobīdes projekcija uz OX asi ir vienāda ar:

Vienmērīgi lēnas kustības gadījumā paātrinājuma projekcija ir negatīva, un nobīdes projekcijas formulā paātrinājumam priekšā ir novietota zīme “–” (mīnus).

Vispārīgā formula pārvietojuma projekcijas noteikšanai ir:

Ķermeņa ātruma atkarības no laika grafiks pie dažādiem paātrinājumiem parādīts att. 1.17. Nobīdes atkarības no laika grafiks pie v0 = 0 parādīts att. 1.18.

Rīsi. 1.17. Ķermeņa ātruma atkarība no laika dažādas nozīmes paātrinājums.

Rīsi. 1.18. Ķermeņa pārvietošanās atkarība no laika.

Ķermeņa ātrums noteiktā laikā t 1 ir vienāds ar slīpuma leņķa tangensu starp grafika pieskari un laika asi v \u003d tg α, un kustību nosaka pēc formulas:

Ja ķermeņa kustības laiks nav zināms, varat izmantot citu nobīdes formulu, atrisinot divu vienādojumu sistēmu:

Kvadrātu starpības saīsinātās reizināšanas formula palīdzēs mums iegūt pārvietošanās projekcijas formulu:

Tā kā ķermeņa koordinātu jebkurā laika momentā nosaka sākotnējās koordinātas un nobīdes projekcijas summa, tad ķermeņa kustības vienādojums izskatīsies šādi:

Arī x(t) koordinātas grafiks ir parabola (tāpat kā nobīdes grafiks), bet parabolas virsotne parasti nesakrīt ar izcelsmi. Par x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Atvasināsim formulu, ar kuras palīdzību var aprēķināt nobīdes vektora projekciju ķermenim, kas kustas pa taisnu līniju un vienmērīgi paātrinās jebkurā laika periodā. Lai to izdarītu, pievērsīsimies 14. attēlam. Gan 14. attēlā, a, gan 14. attēlā b segments AC ir tāda ķermeņa ātruma vektora projekcijas grafiks, kas pārvietojas ar nemainīgu paātrinājumu a (ar sākuma ātrumu). v 0).

Rīsi. 14. Taisnā un vienmērīgi paātrinātā ķermeņa pārvietojuma vektora projekcija ir skaitliski vienāda ar laukumu S zem grafa.

Atgādinām, ka ar taisnu, vienmērīgu ķermeņa kustību šī ķermeņa izveidotā nobīdes vektora projekciju nosaka pēc tādas pašas formulas kā zem ātruma vektora projekcijas grafika ietvertā taisnstūra laukumu (sk. 6. att.). Tāpēc nobīdes vektora projekcija ir skaitliski vienāda ar šī taisnstūra laukumu.

Pierādīsim, ka taisnas, vienmērīgi paātrinātas kustības gadījumā nobīdes vektora s x projekciju var noteikt pēc tādas pašas formulas kā attēla laukums, kas atrodas starp grafiku AC, asi Ot un segmentiem OA un BC, t.i., ka šajā gadījumā nobīdes vektora projekcija ir skaitliski vienāda ar figūras laukumu zem ātruma grafika. Lai to izdarītu, uz O ass (skat. 14. att., a) izvēlamies nelielu laika intervālu db. No punktiem d un b velkam perpendikulus Ot asij, ldz tie krustojas ar truma vektora projekcijas grafiku punktos a un c.

Tādējādi laika periodā, kas atbilst segmentam db, ķermeņa ātrums mainās no v ax uz v cx.

Pietiekami īsā laika periodā ātruma vektora projekcija mainās ļoti nedaudz. Tāpēc ķermeņa kustība šajā laika periodā maz atšķiras no vienveidīgas, tas ir, no kustības ar nemainīgu ātrumu.

Šādās sloksnēs ir iespējams sadalīt visu OASV figūras laukumu, kas ir trapecveida forma. Tāpēc nobīdes vektora sx projekcija laika intervālam, kas atbilst segmentam OB, ir skaitliski vienāda ar trapeces OASV laukumu S un tiek noteikta pēc tādas pašas formulas kā šis laukums.

Saskaņā ar noteikumu in skolas kursiģeometrijā trapeces laukums ir vienāds ar pusi no tās pamatu un augstuma summas reizinājumu. Attēlā 14, b redzams, ka trapeces OASV pamati ir segmenti OA = v 0x un BC = v x, un augstums ir segments OB = t. Sekojoši,

Tā kā v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, tad mēs varam rakstīt:

Tādējādi esam ieguvuši formulu pārvietošanās vektora projekcijas aprēķināšanai vienmērīgi paātrinātas kustības laikā.

Izmantojot šo pašu formulu, tiek aprēķināta arī pārvietojuma vektora projekcija, kad ķermenis pārvietojas ar dilstošu ātruma moduli, tikai šajā gadījumā ātruma un paātrinājuma vektori būs vērsti pretējos virzienos, tāpēc to projekcijām būs dažādas zīmes.

Jautājumi

1. Izmantojot 14. attēlu, pierādiet, ka nobīdes vektora projekcija vienmērīgi paātrinātas kustības laikā ir skaitliski vienāda ar OASV figūras laukumu.
2. Pierakstiet vienādojumu, lai noteiktu ķermeņa pārvietošanās vektora projekciju tā taisnvirziena vienmērīgi paātrinātas kustības laikā.

7. vingrinājums

Mēģināsim atvasināt formulu, kā atrast nobīdes vektora projekciju ķermenim, kas kustas pa taisnu līniju un vienmērīgi paātrināts jebkurā laika periodā.

Lai to izdarītu, pievērsīsimies grafikam par taisnvirziena vienmērīgi paātrinātas kustības ātruma projekcijas atkarību no laika.

Taisnvirziena vienmērīgi paātrinātas kustības ātruma projekcijas grafiks laikā

Zemāk esošajā attēlā ir parādīts grafiks, kas parāda kāda ķermeņa, kas kustas, ātruma projekciju sākotnējais ātrums V0 un pastāvīgs paātrinājums a.

Ja mums būtu vienmērīga taisnvirziena kustība, tad, lai aprēķinātu nobīdes vektora projekciju, būtu jāaprēķina figūras laukums zem ātruma vektora projekcijas grafika.

Tagad pierādām, ka vienmērīgi paātrinātas taisnvirziena kustības gadījumā nobīdes vektora Sx projekcija tiks noteikta tāpat. Tas ir, nobīdes vektora projekcija būs vienāda ar attēla laukumu zem ātruma vektora projekcijas grafika.

Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo ot ass, segmenti AO un BC, kā arī segments AC.

Uz ot ass piešķirsim nelielu laika intervālu db. Caur šiem punktiem zīmēsim perpendikulus laika asij, līdz tie krustojas ar ātruma projekcijas grafiku. Ievērojiet krustošanās punktus a un c. Šajā laika periodā ķermeņa ātrums mainīsies no Vax uz Vbx.

Ja ņemam šo intervālu pietiekami mazu, tad varam pieņemt, ka ātrums praktiski nemainās, un tāpēc šajā intervālā mēs nodarbosimies ar vienmērīgu taisnvirziena kustību.

Tad segmentu ac varam uzskatīt par horizontālu un abcd par taisnstūri. Laukums abcd būs skaitliski vienāds ar nobīdes vektora projekciju laika intervālā db. Mēs varam sadalīt visu OACB figūras laukumu tik mazos laika intervālos.

Tas ir, esam ieguvuši, ka nobīdes vektora Sx projekcija laika intervālam, kas atbilst segmentam OB, skaitliski būs vienāda ar OACB trapeces laukumu S, un tiks noteikta pēc tādas pašas formulas kā šis laukums.

Sekojoši,

• S=((V0x+Vx)/2)*t.

Tā kā Vx=V0x+ax*t un S=Sx, iegūtā formula būs šāda:

• Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2.

Esam ieguvuši formulu, ar kuras palīdzību varam aprēķināt nobīdes vektora projekciju vienmērīgi paātrinātas kustības laikā.

Vienmērīgi lēnas kustības gadījumā formulai būs šāda forma.

Trajektorija(no vēlīnām latīņu trajektorijām - attiecas uz kustību) - tā ir līnija, pa kuru pārvietojas ķermenis (materiālais punkts). Kustības trajektorija var būt taisna (ķermenis pārvietojas vienā virzienā) un izliekta, tas ir mehāniskā kustība var būt taisns vai izliekts.

Taisnvirziena trajektorijašajā koordinātu sistēmā ir taisna līnija. Piemēram, mēs varam pieņemt, ka automašīnas trajektorija uz līdzena ceļa bez pagriezieniem ir taisna līnija.

Līklīnijas kustība- tā ir ķermeņu kustība pa apli, elipsi, parabolu vai hiperbolu. Līklīnijas kustības piemērs ir kāda punkta kustība uz braucošas automašīnas riteņa vai automašīnas kustība pagriezienā.

Kustība var būt sarežģīta. Piemēram, ķermeņa kustības trajektorija ceļa sākumā var būt taisnleņķa, pēc tam izliekta. Piemēram, automašīna brauciena sākumā pārvietojas pa taisnu ceļu, un pēc tam ceļš sāk "vīties" un automašīna sāk līkumu.

Ceļš

Ceļš ir ceļa garums. Ceļš ir skalārs un iekšā starptautiskā sistēma SI mērvienības mēra metros (m). Ceļa aprēķins tiek veikts daudzos fizikas uzdevumos. Daži piemēri tiks apspriesti vēlāk šajā apmācībā.

Nobīdes vektors

Nobīdes vektors(vai vienkārši pārvietojas) ir virzīta līnija, kas savieno ķermeņa sākotnējo stāvokli ar tā turpmāko stāvokli (1.1. att.). Nobīde ir vektora lielums. Nobīdes vektors ir vērsts no kustības sākuma punkta uz beigu punktu.

Nobīdes vektora modulis(tas ir, segmenta garums, kas savieno kustības sākuma un beigu punktu) var būt vienāds ar nobraukto attālumu vai mazāks par nobraukto attālumu. Bet nekad nobīdes vektora modulis nevar būt lielāks par nobraukto attālumu.

Nobīdes vektora modulis ir vienāds ar nobraukto attālumu, kad ceļš sakrīt ar trajektoriju (skat. un sadaļas), piemēram, ja automašīna pārvietojas no punkta A uz punktu B pa taisnu ceļu. Nobīdes vektora modulis ir mazāks par noieto attālumu, materiālam punktam pārvietojoties pa izliektu ceļu (1.1. att.).

Rīsi. 1.1. Nobīdes vektors un nobrauktais attālums.

Uz att. 1.1:

Vēl viens piemērs. Ja automašīna vienu reizi pabrauks pa apli, tad izrādās, ka kustības sākuma punkts sakritīs ar kustības beigu punktu, un tad pārvietojuma vektors būs nulle, un nobrauktais attālums būs vienāds ar apļa apkārtmēru. Tādējādi ceļš un kustība ir divi dažādi jēdzieni.

Vektoru pievienošanas noteikums

Nobīdes vektori tiek saskaitīti ģeometriski saskaņā ar vektoru saskaitīšanas likumu (trijstūra noteikums vai paralelograma noteikums, sk. 1.2. att.).

Rīsi. 1.2. Nobīdes vektoru pievienošana.

1.2. attēlā parādīti vektoru S1 un S2 pievienošanas noteikumi:

a) Saskaitīšana pēc trijstūra likuma
b) Saskaitīšana pēc paralelograma likuma

Nobīdes vektoru projekcijas

Risinot fizikas uzdevumus, bieži tiek izmantotas nobīdes vektora projekcijas uz koordinātu asīm. Nobīdes vektora projekcijas uz koordinātu asīm var izteikt ar starpību starp tā beigu un sākuma koordinātām. Piemēram, ja materiāls punkts ir pārvietojies no punkta A uz punktu B, tad nobīdes vektors (skat. 1.3. att.).

Mēs izvēlamies OX asi tā, lai vektors atrastos ar šo asi vienā plaknē. Nolaidīsim perpendikulus no punktiem A un B (no pārvietošanās vektora sākuma un beigu punkta) līdz krustpunktam ar OX asi. Tādējādi iegūstam punktu A un B projekcijas uz ass X. Apzīmēsim punktu A un B projekcijas attiecīgi A x un B x. Segmenta A x B x garums uz OX ass - tas ir nobīdes vektora projekcija uz x ass, tas ir

S x = A x B x

SVARĪGS!
Atgādinājums tiem, kas matemātiku neprot ļoti labi: nejaukt vektoru ar vektora projekciju uz kādas ass (piemēram, S x). Vektoru vienmēr apzīmē ar burtu vai vairākiem burtiem ar bultiņu virs tā. Dažos elektroniskajos dokumentos bultiņa nav ievietota, jo tas var radīt grūtības, veidojot elektroniskais dokuments. Šādos gadījumos vadieties pēc raksta satura, kur blakus burtam var rakstīt vārdu “vektors” vai kā citādi norādīt, ka tas ir vektors, nevis tikai segments.

Rīsi. 1.3. Nobīdes vektora projekcija.

Nobīdes vektora projekcija uz OX asi ir vienāda ar starpību starp vektora beigu un sākuma koordinātām, tas ir

S x \u003d x - x 0

Nobīdes vektora projekcijas uz OY un OZ asīm tiek definētas un uzrakstītas tādā pašā veidā:

S y = y – y 0 S z = z – z 0

Šeit x 0 , y 0 , z 0 ir sākotnējās koordinātas jeb ķermeņa (materiālā punkta) sākotnējās pozīcijas koordinātas; x, y, z - gala koordinātas jeb ķermeņa (materiāla punkta) nākamā stāvokļa koordinātas.

Nobīdes vektora projekciju uzskata par pozitīvu, ja vektora virziens un koordinātu ass virziens sakrīt (kā 1.3. attēlā). Ja vektora virziens un koordinātu ass virziens nesakrīt (pretēji), tad vektora projekcija ir negatīva (1.4. att.).

Ja nobīdes vektors ir paralēls asij, tad tā projekcijas modulis ir vienāds ar paša Vektora moduli. Ja nobīdes vektors ir perpendikulārs asij, tad tā projekcijas modulis ir nulle (1.4. att.).

Rīsi. 1.4. Nobīdes vektora projekcijas moduļi.

Atšķirību starp daudzuma turpmākajām un sākotnējām vērtībām sauc par šī daudzuma izmaiņām. Tas ir, nobīdes vektora projekcija uz koordinātu asi ir vienāda ar attiecīgās koordinātas izmaiņām. Piemēram, gadījumam, kad ķermenis pārvietojas perpendikulāri X asij (1.4. att.), izrādās, ka ķermenis NE KUSTĪBĀ attiecībā pret X asi. Tas ir, ķermeņa nobīde pa X asi ir nulle.

Apsveriet piemēru ķermeņa kustībai plaknē. Ķermeņa sākotnējā pozīcija ir punkts A ar koordinātām x 0 un y 0, tas ir, A (x 0, y 0). Ķermeņa gala pozīcija ir punkts B ar koordinātām x un y, tas ir, B (x, y). Atrodiet ķermeņa pārvietošanās moduli.

No punktiem A un B nolaižam perpendikulus uz koordinātu asīm OX un OY (1.5. att.).

Rīsi. 1.5. Ķermeņa kustība plaknē.

Definēsim nobīdes vektora projekcijas uz asīm OX un OY:

S x = x – x 0 S y = y – y 0

Uz att. 1.5 redzams, ka trijstūris ABC ir taisnleņķa trijstūris. No tā izriet, ka, risinot problēmu, var izmantot Pitagora teorēma, ar kuru var atrast nobīdes vektora moduli, kopš

AC = s x CB = s y

Saskaņā ar Pitagora teorēmu

S 2 \u003d S x 2 + S y 2

Kur var atrast nobīdes vektora moduli, tas ir, ķermeņa ceļa garumu no punkta A līdz punktam B:

Un visbeidzot, es iesaku jums nostiprināt savas zināšanas un pēc saviem ieskatiem aprēķināt dažus piemērus. Lai to izdarītu, ievadiet jebkurus skaitļus koordinātu laukos un noklikšķiniet uz pogas APRĒĶINĀT. Jūsu pārlūkprogrammai ir jāatbalsta skriptu (skriptu) izpilde JavaScript un pārlūkprogrammas iestatījumos ir jāatļauj skriptu izpilde, pretējā gadījumā aprēķins netiks veikts. Reālos skaitļos veselā skaitļa un daļskaitļu daļas ir jāatdala ar punktu, piemēram, 10,5.