Formulas izliektām figūrām stereometrijā. Nošķeltas piramīdas tilpums ir Konusa sānu un pilno virsmu apjoms un laukums

Videokursā "Saņem A" iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas matemātikas eksāmena sekmīgai nokārtošanai par 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila uzdevumi 1-13 USE matemātikā. Piemērots arī matemātikas pamata USE nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Eksāmena ātrie risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risināšanai, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstīšana. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Eksāmena 2.daļas sarežģītu uzdevumu risināšanas bāze.

\((\color(red)(\textbf(1. fakts. Par paralēlām līnijām)))\)
\(\bullet\) Divas taisnes telpā ir paralēlas, ja tās atrodas vienā plaknē un nekrustojas.
\(\bullet\) Ir tikai viena plakne, kas iet caur divām paralēlām līnijām.
\(\bullet\) Ja viena no divām paralēlām taisnēm krusto plakni, tad arī otra taisne šķērso šo plakni.
\(\bullet\) Ja taisne \(a\) ir paralēla taisnei \(b\) , kas savukārt ir paralēla taisnei \(c\) , tad \(a\parallel c\) .
\(\bullet\) Ļaujiet plaknei \(\alpha\) un \(\beta\) krustoties pa taisni \(a\) , plaknēm \(\beta\) un \(\pi\) krustoties pa līniju līnija \(b \) , plaknes \(\pi\) un \(\alpha\) krustojas pa taisni \(p\) . Tad, ja \(a\parallel b\) , tad \(p\parallel a\) (vai \(p\parallel b\) ):

\((\color(red)(\textbf(2. fakts. Par taisnes un plaknes paralēlismu)))\)
\(\bullet\) Pastāv trīs līnijas un plaknes savstarpējās izkārtojuma veidi:
1. taisnei ir divi kopīgi punkti ar plakni (tas ir, tā atrodas plaknē);
2. taisnei ir tieši viens kopīgs punkts ar plakni (tas ir, tā šķērso plakni);
3. taisnei nav kopīgu punktu ar plakni (tas ir, tā ir paralēla plaknei).
\(\bullet\) Ja taisne \(a\), kas neatrodas plaknē \(\pi\), ir paralēla kādai taisnei \(p\), kas atrodas plaknē \(\pi\), tad tā ir paralēla uz doto plakni.

\(\bullet\) Lai taisne \(p\) ir paralēla plaknei \(\mu\) . Ja plakne \(\pi\) iet caur taisni \(p\) un šķērso plakni \(\mu\), tad plakņu \(\pi\) un \(\mu\) krustošanās līnija ir līnija \(m\) - paralēla līnijai \(p\) .

\((\color(red)(\textbf(3. fakts. Par paralēlām plaknēm)))\)
\(\bullet\) Ja divām plaknēm nav kopīgu punktu, tad tās sauc par paralēlām plaknēm.
\(\bullet\) Ja divas krustojošās taisnes no vienas plaknes ir attiecīgi paralēlas divām krustojošām taisnēm no citas plaknes, tad šādas plaknes būs paralēlas.

\(\bullet\) Ja divas paralēlas plaknes \(\alpha\) un \(\beta\) krusto trešā plakne \(\gamma\) , tad arī plakņu krustošanās taisnes ir paralēlas: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Paralēlu līniju segmenti, kas ietverti starp paralēlām plaknēm, ir vienādi ar: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(4. fakts. Par krustojošām līnijām)))\)
\(\bullet\) Divas taisnes telpā sauc par krustojošām, ja tās neatrodas vienā plaknē.
\(\bullet\) Zīme:
Ļaujiet līnijai \(l\) atrasties plaknē \(\lambda\) . Ja taisne \(s\) krustojas ar plakni \(\lambda\) punktā \(S\), kas neatrodas uz taisnes \(l\) , tad taisnes \(l\) un \(s\) krustojas.

\(\lode\) algoritms leņķa atrašanai starp šķībajām līnijām \(a\) un \(b\):

2. darbība. Plaknē \(\pi\) atrodiet leņķi starp līnijām \(a\) un \(p\) (\(p\parallel b\) ). Leņķis starp tiem būs vienāds ar leņķi starp šķībajām līnijām \(a\) un \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(5. fakts. Par taisnes un plaknes perpendikularitāti)))\)
\(\bullet\) Tiek uzskatīts, ka taisne ir perpendikulāra plaknei, ja tā ir perpendikulāra jebkurai līnijai šajā plaknē.
\(\bullet\) Ja divas taisnes ir perpendikulāras plaknei, tad tās ir paralēlas.
\(\bullet\) Zīme: ja taisne ir perpendikulāra divām krustojošām taisnēm, kas atrodas dotajā plaknē, tad tā ir perpendikulāra šai plaknei.

\((\color(sarkans)(\textbf(6. fakts. Par attālumiem)))\)
\(\bullet\) Lai atrastu attālumu starp paralēlām līnijām, ir jānomet perpendikuls no jebkura vienas taisnes punkta uz citu taisni. Perpendikula garums ir attālums starp šīm līnijām.
\(\bullet\) Lai atrastu attālumu starp plakni un tai paralēlu taisni, no jebkura līnijas punkta ir jānomet perpendikuls šai plaknei. Perpendikula garums ir attālums starp šo līniju un plakni.
\(\bullet\) Lai atrastu attālumu starp paralēlām plaknēm, no jebkura vienas plaknes punkta ir jānolaiž perpendikuls pret otru plakni. Šī perpendikula garums ir attālums starp paralēlajām plaknēm.
\(\lode\) algoritms attāluma noteikšanai starp šķībajām līnijām \(a\) un \(b\):
1. darbība. Caur vienu no divām krustojošām taisnēm \(a\) uzzīmējiet plakni \(\pi\) paralēli otrai taisnei \(b\) . Kā to izdarīt: velciet plakni \(\beta\) caur līniju \(b\) tā, lai tā krustotu līniju \(a\) punktā \(P\) ; novelciet līniju caur punktu \(P\) \(p\parallel b\) ; tad plakne, kas iet caur \(a\) un \(p\), ir plakne \(\pi\) .
2. darbība. Atrodiet attālumu no jebkura līnijas \(b\) punkta līdz plaknei \(\pi\) . Šis attālums ir attālums starp šķībajām līnijām \(a\) un \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(7. fakts. Par trīs perpendikulāru teorēmu (TTP))))\)
\(\bullet\) Pieņemsim, ka \(AH\) ir perpendikuls plaknei \(\beta\) . Ļaujiet \(AB, BH\) būt slīpam un tā projekcijai plaknē \(\beta\) . Tad līnija \(x\) plaknē \(\beta\) būs perpendikulāra slīpai tad un tikai tad, ja tā ir perpendikulāra projekcijai: \[\begin(līdzināts) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(līdzināts)\]

Ņemiet vērā, ka līnijai \(x\) nav jāiet caur punktu \(B\) . Ja tā neiet caur punktu \(B\) , tad tiek konstruēta taisne \(x"\), kas iet caur punktu \(B\) un paralēli \(x\) . Ja, piemēram, \( x"\perp BH\ ) , tad arī \(x\perp BH\) .

\((\color(red)(\textbf(8. fakts. Par leņķi starp līniju un plakni, kā arī leņķi starp plaknēm)))\)
\(\bullet\) Leņķis starp slīpo līniju un plakni ir leņķis starp šo līniju un tās projekciju uz doto plakni. Tādējādi šis leņķis ņem vērtības no intervāla \((0^\circ;90^\circ)\) .
Ja līnija atrodas plaknē, tad leņķis starp tām tiek uzskatīts par vienādu ar \(0^\circ\) . Ja līnija ir perpendikulāra plaknei, tad, pamatojoties uz definīciju, leņķis starp tām ir \(90^\circ\) .
\(\bullet\) Lai atrastu leņķi starp slīpo līniju un plakni, uz šīs taisnes ir jāatzīmē kāds punkts \(A\) un jānovelk plaknei perpendikuls \(AH\). Ja \(B\) ir taisnes krustpunkts ar plakni, tad \(\angle ABH\) ir vēlamais leņķis.

\(\bullet\) Lai atrastu leņķi starp plaknēm \(\alpha\) un \(\beta\) , varat izmantot šādu algoritmu:
Atzīmējiet patvaļīgu punktu \(A\) plaknē \(\alpha\) .
Uzzīmējiet \(AH\perp h\) , kur \(h\) ir plakņu krustošanās līnija.
Uzzīmējiet \(AB\) perpendikulāri plaknei \(\beta\) .
Tad \(AB\) ir perpendikuls plaknei \(\beta\) , \(AH\) ir slīps, tātad \(HB\) ir projekcija. Pēc tam ar TTP \(HB\perp h\) .
Tāpēc \(\angle AHB\) ir divskaldņa leņķa lineārais leņķis starp plaknēm. Šī leņķa pakāpes mērs ir leņķa starp plaknēm pakāpes mērs.

Ņemiet vērā, ka mēs ieguvām taisnleņķa trīsstūri \(\trijstūris AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Parasti no tā ir ērti atrast \(\angle AHB\).

\((\color(red)(\textbf(9. fakts. Par plakņu perpendikularitāti)))\)
\(\bullet\) Zīme: ja plakne iet caur taisni, kas ir perpendikulāra citai plaknei, tad tā ir perpendikulāra šai plaknei. \

\(\bullet\) Ņemiet vērā, ka, tā kā caur \(a\) ir bezgalīgi daudz plakņu, ir bezgalīgi daudz plakņu, kas ir perpendikulāras \(\beta\) (un iet caur \(a\) ).

Lai adekvāti atrisinātu eksāmenu matemātikā, pirmkārt, ir nepieciešams apgūt teorētisko materiālu, kas ievada daudzas teorēmas, formulas, algoritmus utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir diezgan vienkārši. Taču atrast avotu, kurā matemātikas vienotā valsts eksāmena teorija būtu viegli un saprotami izklāstīta jebkura līmeņa sagatavotības skolēniem, patiesībā ir diezgan grūts uzdevums. Skolas mācību grāmatas ne vienmēr var turēt pa rokai. Un matemātikas eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc ir tik svarīgi apgūt teoriju matemātikā, ne tikai tiem, kas kārto eksāmenu?

1. Jo tas paplašina redzesloku. Teorētiskā materiāla apguve matemātikā ir noderīga ikvienam, kurš vēlas iegūt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar pasaules zināšanām. Dabā viss ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams izprast pasauli.
2. Jo tas attīsta intelektu. Apgūstot izziņas materiālus eksāmenam matemātikā, kā arī risinot dažādus uzdevumus, cilvēks mācās domāt un loģiski spriest, pareizi un skaidri formulēt domas. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt, izdarīt secinājumus.

Aicinām personīgi izvērtēt visas priekšrocības, ko sniedz mūsu pieeja izglītības materiālu sistematizēšanai un prezentēšanai.

Dažas definīcijas:

1. Daudzskaldnis ir ģeometrisks ķermenis, ko ierobežo noteikts skaits plakanu daudzstūru, no kuriem divi, kuriem ir kopīga mala, neatrodas vienā plaknē. Šajā gadījumā paši daudzstūri tiek saukti par skaldnēm, to malas ir daudzskaldņa malas, bet virsotnes ir daudzskaldņa virsotnes.
2. Figūru, ko veido visas daudzskaldņa skalas, sauc par tās virsmu ( pilna virsma), un visu tā skaldņu laukumu summa ir (pilna) virsmas laukums.
3. ir daudzskaldnis ar sešām skaldnēm, kas ir vienādi kvadrāti. Kvadrātu malas sauc par kuba malām, bet virsotnes - par kuba virsotnēm.
4. ir daudzskaldnis, kuram ir sešas skaldnes un katra no tām ir paralelograms. Paralelogramu malas sauc par paralēlskaldņa malām, bet to virsotnes par paralēlskaldņa virsotnēm. Tiek sauktas paralēlskaldņa divas malas pretī, ja tiem nav kopīgas malas, un tiek saukti tie, kuriem ir kopīga mala saistīti. Dažreiz tiek atlasītas un izsauktas jebkuras divas paralēlskaldņa pretējās puses pamatojums, tad pārējās sejas sānu sejas, un to malas, kas savieno paralēlskaldņa pamatu virsotnes, ir tās sānu ribas.
5. Labais paralēlskaldnis- tas ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir taisnstūri. ir paralēlskaldnis, kura visas skaldnes ir taisnstūri. Ņemiet vērā, ka katrs kuboīds ir stacionārs, bet ne katrs stacionārs ir kubisks.
6. pretī. Tiek saukts līnijas segments, kas savieno paralēlskaldņa pretējās virsotnes diagonāli paralēlskaldnis. Paralēlstūrim ir tikai četras diagonāles.
7. prizma ( n- ogles) ir daudzskaldnis, kura divas skaldnes ir vienādas n-gons, un pārējais n sejas ir paralelogrami. Vienlīdzīgi n-gons sauc pamatojums, un paralelogramus prizmas sānu virsmas- šī ir tāda prizma, kuras sānu malas ir taisnstūri. pareizi n- oglekļa prizma- šī ir prizma, kurā visas sānu malas ir taisnstūri, un tās pamatnes ir regulāras n-gons.
8. Tiek saukta prizmas sānu virsmu laukumu summa tā sānu virsmas laukums(apzīmēts S pusē). Tiek saukta visu prizmas skalu laukumu summa prizmas virsmas laukums(apzīmēts S pilns).
9. Piramīda ( n- ogles)- tas ir daudzskaldnis, kuram ir viena seja - dažas n-gon, un pārējais n sejas - trīsstūri ar kopīgu virsotni; n-gon sauc pamata; tiek saukti trīsstūri, kuriem ir kopīga virsotne sānu sejas, un to kopējo virsotni sauc piramīdas virsotne. Piramīdas šķautņu malas sauc par tās ribas, un tiek sauktas malas, kas saskaras virsotnē sānu.
10. Tiek saukta piramīdas sānu virsmu laukumu summa piramīdas sānu virsmas laukums(apzīmēts S pusē). Tiek saukta visu piramīdas skaldņu laukumu summa piramīdas virsmas laukums(virsmas laukums ir apzīmēts S pilns).
11. pareizin- ogļu piramīda- šī ir tāda piramīda, kuras pamatne ir pareiza n-gon, un visas sānu malas ir vienādas viena ar otru. Regulāras piramīdas sānu malas ir vienādsānu trīsstūri, kas ir vienādi viens ar otru.
12. Trīsstūrveida piramīdu sauc tetraedrs ja visas tās skaldnes ir kongruenti regulāri trīsstūri. Tetraedrs ir īpašs regulāras trīsstūrveida piramīdas gadījums (t.i., ne katra regulārā trīsstūrveida piramīda būs tetraedrs).

Stereometrijas aksiomas:

1. Caur jebkuriem trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, ir tikai viena plakne.
2. Ja divi taisnes punkti atrodas plaknē, tad visi līnijas punkti atrodas šajā plaknē.
3. Ja divām plaknēm ir kopīgs punkts, tad tām ir kopīga taisne, uz kuras atrodas visi šo plakņu kopīgie punkti.

Sekas no stereometrijas aksiomām:

• 1. teorēma. Ir tikai viena plakne caur līniju un punkts, kas uz tās nav.
• 2. teorēma. Ir tikai viena plakne caur divām krustojošām līnijām.
• 3. teorēma. Ir tikai viena plakne caur divām paralēlām līnijām.

Sadaļu izbūve stereometrijā

Stereometrijas uzdevumu risināšanai steidzami jāspēj zīmējumā pa noteiktu plakni uzbūvēt daudzskaldņu griezumus (piemēram, piramīdu, paralēlskaldni, kubu, prizmu). Sniegsim dažas definīcijas, kas izskaidro, kas ir sadaļa:

• griešanas plakne Piramīda (prizma, paralēlskaldnis, kubs) ir tāda plakne, kuras abās pusēs atrodas šīs piramīdas punkti (prizma, paralēlskaldnis, kubs).
• piramīdas šķērsgriezums(prizma, paralēlskaldnis, kubs) ir figūra, kas sastāv no visiem punktiem, kas ir kopīgi piramīdai (prizmai, paralēlskaldnis, kubs) un griešanas plaknei.
• Griešanas plakne krusto piramīdas skaldnes (paralēlcaurule, prizma, kubs) pa segmentiem, tāpēc sadaļā ir daudzstūris, kas atrodas šķērsplaknē, kura malas ir norādītie segmenti.

Lai uzbūvētu piramīdas posmu (prizmu, paralēlskaldni, kubu), ir iespējams un nepieciešams konstruēt sekantes plaknes krustošanās punktus ar piramīdas malām (prizma, paralēlskaldnis, kubs) un savienot katrus divus no tiem, kas atrodas viena seja. Ņemiet vērā, ka sadaļas virsotņu un malu konstruēšanas secība nav būtiska. Daudzskaldņu sekciju konstrukcija balstās uz diviem būvniecības uzdevumiem:

1. Divu plakņu krustošanās līnijas.

Izveidot taisni, pa kuru krustojas kādas divas plaknes α un β (piemēram, daudzskaldņa šķērsplakne un plakne), jums ir jāizveido to divi kopīgie punkti, tad līnija, kas iet caur šiem punktiem, ir plakņu krustošanās līnija α un β .

1. Taisnes un plaknes krustošanās punkti.

Izveidot taisnes krustpunktu l un lidmašīna α uzzīmējiet līnijas krustošanās punktu l un tieši l 1 , pa kuru plakne krustojas α un jebkura plakne, kurā ir līnija l.

Taisnu līniju un plakņu savstarpējais izvietojums stereometrijā

Definīcija: Stereometrijas uzdevumu risināšanas gaitā tiek izsauktas divas taisnes telpā paralēli ja tie atrodas vienā plaknē un nekrustojas. Ja taisni a un b, vai AB un CD ir paralēli, mēs rakstām:

Vairākas teorēmas:

• 1. teorēma. Caur jebkuru telpas punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, ir tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai taisnei.
• 2. teorēma. Ja viena no divām paralēlām taisnēm krusto doto plakni, tad otra taisne šķērso šo plakni.
• 3. teorēma(paralēlu līniju zīme). Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.
• 4. teorēma(paralēles diagonāļu krustpunktā). Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā un sadala šo punktu uz pusēm.

Stereometrijā ir trīs taisnas līnijas un plaknes savstarpējas izkārtojuma gadījumi:

• Līnija atrodas plaknē (katrs līnijas punkts atrodas plaknē).
• Taisne un plakne krustojas (tam ir viens kopīgs punkts).
• Taisnei un plaknei nav viena kopīga punkta.

Definīcija: Līniju un plakni sauc paralēli ja tiem nav kopīgu punktu. Ja taisni a paralēli plaknei β , tad viņi raksta:

Teorēmas:

• 1. teorēma(taisnes un plaknes paralēlisma zīme). Ja taisne, kas neatrodas dotajā plaknē, ir paralēla kādai taisnei, kas atrodas šajā plaknē, tad tā ir paralēla dotajai plaknei.
• 2. teorēma. Ja plakne (attēlā - α ) iet caur taisnu līniju (attēlā - ar), paralēli citai plaknei (attēlā - β ), un krusto šo plakni, tad plakņu krustošanās līniju (attēlā - d) ir paralēla dotajai taisnei:

Ja divas atšķirīgas līnijas atrodas vienā plaknē, tad tās krustojas vai ir paralēlas. Taču telpā (t.i., stereometrijā) iespējams arī trešais gadījums, kad nav plaknes, kurā atrodas divas taisnes (šajā gadījumā tās ne krustojas, ne ir paralēlas).

Definīcija: Abas līnijas sauc krustošanās, ja nav plaknes, kurā viņi abi guļ.

Teorēmas:

• 1. teorēma(krustojošu līniju zīme). Ja viena no abām taisnēm atrodas noteiktā plaknē, bet otra taisne šķērso šo plakni punktā, kas nepieder pirmajai taisnei, tad šīs taisnes ir šķības.
• 2. teorēma. Caur katru no divām krustojošām taisnēm ir viena plakne, kas ir paralēla otrai taisnei.

Tagad mēs iepazīstinām ar leņķa jēdzienu starp šķībām līnijām. Ļaujiet būt a un b O telpā un caur to velciet taisnas līnijas. a 1 un b 1 paralēli taisnām līnijām a un b attiecīgi. Leņķis starp šķībām līnijām a un b sauc par leņķi starp konstruētajām krustošanās līnijām a 1 un b 1 .

Tomēr praksē punkts O biežāk izvēlieties tā, lai tā piederētu kādai no taisnajām līnijām. Tas parasti ir ne tikai elementāri ērtāk, bet arī racionālāk un pareizāk zīmējuma konstruēšanas un problēmas risināšanas ziņā. Tāpēc leņķim starp šķībajām līnijām mēs sniedzam šādu definīciju:

Definīcija:Ļaujiet būt a un b ir divas krustojošas līnijas. Paņemiet patvaļīgu punktu O uz vienas no tām (mūsu gadījumā uz taisnas līnijas b) un caur to novelciet līniju paralēli citai no tām (mūsu gadījumā a 1 paralēle a). Leņķis starp šķībām līnijām a un b ir leņķis starp konstruēto taisni un līniju, kurā atrodas punkts O(mūsu gadījumā tas ir leņķis β starp taisnām līnijām a 1 un b).

Definīcija: Abas līnijas sauc savstarpēji perpendikulāri(perpendikulāri), ja leņķis starp tiem ir 90°. Šķērsošanas līnijas var būt perpendikulāras, kā arī līnijas, kas atrodas un krustojas vienā plaknē. Ja taisni a perpendikulāri līnijai b, tad viņi raksta:

Definīcija: Abas lidmašīnas sauc paralēli, ja tie nekrustojas, t.i. nav kopīgu punktu. Ja divas lidmašīnas α un β paralēli, pēc tam, kā parasti, rakstiet:

Teorēmas:

• 1. teorēma(paralēlu plakņu zīme). Ja divas vienas plaknes krustošanās taisnes ir attiecīgi paralēlas divām citas plaknes taisnēm, tad šīs plaknes ir paralēlas.
• 2. teorēma(par paralēlskaldņa pretējo virsmu īpašību). Paralēlskaldņa pretējās virsmas atrodas paralēlās plaknēs.
• 3. teorēma(uz taisnēm, kas krustojas divas paralēlas plaknes ar trešo plakni). Ja divas paralēlas plaknes krusto trešā, tad to krustojuma līnijas ir paralēlas viena otrai.
• 4. teorēma. Paralēlo līniju segmenti, kas atrodas starp paralēlām plaknēm, ir vienādi.
• 5. teorēma(par tādas unikālas plaknes esamību, kas ir paralēla noteiktai plaknei un iet caur punktu ārpus tās). Caur punktu, kas neatrodas noteiktā plaknē, ir tikai viena plakne, kas ir paralēla dotajai plaknei.

Definīcija: Tiek uzskatīts, ka taisne, kas krusto plakni, ir perpendikulāra plaknei, ja tā ir perpendikulāra katrai līnijai šajā plaknē. Ja taisni a perpendikulāri plaknei β , pēc tam rakstiet, kā parasti:

Teorēmas:

• 1. teorēma. Ja viena no divām paralēlām taisnēm ir perpendikulāra trešajai taisnei, tad arī otra taisne ir perpendikulāra šai taisnei.
• 2. teorēma. Ja viena no divām paralēlām taisnēm ir perpendikulāra plaknei, tad arī otra taisne ir perpendikulāra šai plaknei.
• 3. teorēma(par plaknei perpendikulāru līniju paralēlismu). Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai un tai pašai plaknei, tad tās ir paralēlas.
• 4. teorēma(taisnes un plaknes perpendikulitātes zīme). Ja taisne ir perpendikulāra divām krustojošām taisnēm, kas atrodas plaknē, tad tā ir perpendikulāra šai plaknei.
• 5. teorēma(par plakni, kas iet caur noteiktu punktu un ir perpendikulāra noteiktai taisnei). Caur jebkuru telpas punktu ir tikai viena plakne, kas ir perpendikulāra dotajai taisnei.
• 6. teorēma(apmēram taisne, kas iet caur noteiktu punktu un ir perpendikulāra noteiktai plaknei). Caur jebkuru telpas punktu ir tikai viena taisne, kas ir perpendikulāra dotajai plaknei.
• 7. teorēma(par taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles īpašību). Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles garuma kvadrāts ir vienāds ar to trīs malu garumu kvadrātu summu, kurām ir kopīga virsotne:

Sekas: Visas četras taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas viena ar otru.

Trīs perpendikulu teorēma

Ļaujiet punktu BET neguļ plakaniski α . Iziesim cauri punktam BET taisna līnija, kas ir perpendikulāra plaknei α , un apzīmējiet ar burtu Ošīs taisnes krustpunkts ar plakni α . Perpendikuls, kas novilkts no punkta BET uz lidmašīnu α , sauc par segmentu AS, punkts O sauc par perpendikula pamatu. Ja AS- perpendikulāri plaknei α , a M ir patvaļīgs šīs plaknes punkts, kas atšķiras no punkta O, pēc tam segmentu AM sauc par slīpumu, kas novilkts no punkta BET uz lidmašīnu α , un punkts M- slīpa pamatne. Līnijas segments OM- ortogonālā projekcija (vai, īsi sakot, projekcija) slīpa AM uz lidmašīnu α . Tagad mēs piedāvājam teorēmu, kurai ir svarīga loma daudzu problēmu risināšanā.

1. teorēma (apmēram trīs perpendikuli): Taisne, kas novilkta plaknē un ir perpendikulāra slīpas plaknes projekcijai uz šo plakni, ir arī perpendikulāra pašai slīpajai plaknei. Arī otrādi ir taisnība:

2. teorēma (apmēram trīs perpendikuli): Taisne, kas novilkta plaknē un ir perpendikulāra slīpai līnijai, ir arī perpendikulāra tās projekcijai šajā plaknē. Šīs teorēmas var īsi formulēt šādi:

Teorēma: Ja no viena punkta, kas ņemts ārpus plaknes, šai plaknei tiek novilkta perpendikula un divas slīpas līnijas, tad:

• divi slīpi, kuriem ir vienādas projekcijas, ir vienādi;
• no diviem slīpajiem lielāka ir tā, kuras projekcija ir lielāka.

Attālumu definīcijas pēc objektiem telpā:

• Attālums no punkta līdz plaknei ir perpendikula garums, kas novilkts no šī punkta uz šo plakni.
• Attālums starp paralēlām plaknēm ir attālums no vienas paralēlās plaknes patvaļīga punkta līdz citai plaknei.
• Attālums starp līniju un tai paralēlu plakni ir attālums no patvaļīga līnijas punkta līdz plaknei.
• Attālums starp šķībajām līnijām ir attālums no vienas no šķībajām līnijām līdz plaknei, kas iet caur otru līniju un ir paralēla pirmajai līnijai.

Definīcija: Stereometrijā taisnas līnijas ortogonālā projekcija a uz lidmašīnu α sauc par šīs taisnes projekciju plaknē α ja projektēšanas virzienu definējošā taisne ir perpendikulāra plaknei α .

komentēt: Kā redzat no iepriekšējās definīcijas, ir daudz prognožu. Citas (izņemot ortogonālās) taisnes projekcijas uz plakni var konstruēt, ja taisne, kas nosaka projekcijas virzienu, nav perpendikulāra plaknei. Tomēr nākotnē mēs saskarsimies ar problēmām ar taisnas līnijas ortogonālu projekciju uz plakni. Un ortogonālo projekciju mēs sauksim vienkārši par projekciju (kā zīmējumā).

Definīcija: Leņķis starp taisni, kas nav perpendikulāra plaknei, un šo plakni ir leņķis starp taisni un tās ortogonālo projekciju uz doto plakni (leņķis AOA' augstāk esošajā zīmējumā).

Teorēma: Leņķis starp taisni un plakni ir mazākais no visiem leņķiem, ko dotā taisne veido ar taisnēm, kas atrodas noteiktā plaknē un iet caur taisnes un plaknes krustošanās punktu.

Definīcijas:

• divšķautņu leņķis Par figūru sauc figūru, ko veido divas pusplaknes ar kopīgu robežlīniju un telpas daļa, kurai šīs pusplaknes kalpo par robežu.
• Lineārs divšķautņu leņķis Tiek saukts leņķis, kura malas ir stari ar kopīgu izcelsmi uz diedrālā leņķa malas, kas ir ievilkti tā skaldnēs perpendikulāri malai.

Tādējādi divskaldņa leņķa lineārais leņķis ir leņķis, ko veido diedrāla leņķa krustošanās ar plakni, kas ir perpendikulāra tā malai. Visi divskaldņa leņķa lineārie leņķi ir vienādi viens ar otru. Divskaldņa leņķa pakāpes mērs ir tā lineārā leņķa pakāpes mērs.

Divskaldņu leņķi sauc par taisnu (akūtu, strupu), ja tā pakāpes mērs ir 90° (mazāks par 90°, lielāks par 90°). Nākotnē, risinot uzdevumus stereometrijā, pēc diedrāla leņķa vienmēr sapratīsim to lineāro leņķi, kura pakāpes mērs apmierina nosacījumu:

Definīcijas:

• Divskaldņa leņķis pie daudzskaldņa malas ir divskaldnis, kura mala satur daudzskaldņa malu, bet divskaldņa leņķa skaldnes satur daudzskaldņa skalas, kas krustojas pa doto daudzskaldņa malu.
• Leņķis starp krustojošām plaknēm ir leņķis starp taisnēm, kas attiecīgi novilktas šajās plaknēs, kas ir perpendikulāras to krustošanās līnijai caur dažiem tās punktiem.
• Tiek uzskatīts, ka divas plaknes ir perpendikulāras, ja leņķis starp tām ir 90°.

Teorēmas:

• 1. teorēma(plakņu perpendikulitātes zīme). Ja viena no divām plaknēm iet caur līniju, kas ir perpendikulāra otrai plaknei, tad šīs plaknes ir perpendikulāras.
• 2. teorēma. Taisne, kas atrodas vienā no divām perpendikulārām plaknēm un ir perpendikulāra līnijai, kurā tās krustojas, ir perpendikulāra otrai plaknei.

Figūru simetrija

Definīcijas:

1. punktus M un M 1 tiek saukti simetriski attiecībā pret punktu O , ja O ir segmenta viduspunkts MM 1 .
2. punktus M un M 1 tiek saukti simetrisks taisnai līnijai l ja taisni l MM 1 un perpendikulāri tai.
3. punktus M un M 1 tiek saukti simetriski attiecībā pret plakni α ja lidmašīna α iet caur segmenta vidu MM 1 un ir perpendikulāra šim segmentam.
4. Punkts O(taisni l, lidmašīna α ) tiek saukts simetrijas centrs (ass, plakne). attēls, ja katrs figūras punkts ir simetrisks attiecībā pret punktu O(taisni l, lidmašīna α ) līdz kādai vietai tajā pašā attēlā.
5. Tiek saukts izliekts daudzskaldnis pareizi, ja visas tās skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri un vienāds skaits malu saplūst katrā virsotnē.

Prizma

Definīcijas:

1. Prizma- daudzskaldnis, kura divas skaldnes ir vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs, bet pārējās skaldnes ir paralelogrami, kuriem ir kopīgas malas ar šiem daudzstūriem.
2. Pamatojums - tās ir divas skaldnes, kas ir vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Uz zīmējuma ir: ABCDE un KLMNP.
3. Sānu sejas- visas sejas, izņemot pamatnes. Katra sānu virsma noteikti ir paralelograms. Uz zīmējuma ir: ABLK, BCML, CDNM, DEPN un EAKP.
4. Sānu virsma- sānu seju savienojums.
5. Pilna virsma- pamatu un sānu virsmas savienojums.
6. Sānu ribas ir sānu virsmu kopīgās puses. Uz zīmējuma ir: AK, BL, CM, DN un EP.
7. Augstums- segments, kas savieno prizmas pamatnes un ir tām perpendikulārs. Piemēram, zīmējumā KR.
8. Diagonāli- segments, kas savieno divas prizmas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsotnei. Piemēram, zīmējumā BP.
9. Diagonālā plakne ir plakne, kas iet caur prizmas sānu malu un pamatnes diagonāli. Cita definīcija: diagonālā plakne- plakne, kas iet caur divām prizmas sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.
10. Diagonālā sadaļa- prizmas un diagonālās plaknes krustpunkts. Nogriezumā tiek veidots paralelograms, iekļaujot dažkārt arī tā īpašos gadījumus - rombu, taisnstūri, kvadrātu. Piemēram, zīmējumā EBLP.
11. Perpendikulārs (ortogonāls) griezums- prizmas un tās sānu malai perpendikulāras plaknes krustpunkts.

Prizmas īpašības un formulas:

• Prizmas pamatnes ir vienādi daudzstūri.
• Prizmas sānu virsmas ir paralelogrami.
• Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.
• Prizmas tilpums vienāds ar tā augstuma un pamatnes laukuma reizinājumu:

kur: S bāze - pamatnes laukums (piemēram, zīmējumā, ABCDE), h- augstums (zīmējumā tas ir MN).

• Prismas kopējais virsmas laukums ir vienāds ar tā sānu virsmas laukuma un divkāršu pamatnes laukuma summu:

• Perpendikulārais griezums ir perpendikulārs visām prizmas sānu malām (zemāk redzamajā zīmējumā perpendikulārais griezums ir A 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
• Perpendikulāra griezuma leņķi ir divskaldņu leņķu lineārie leņķi attiecīgajās sānu malās.
• Perpendikulāra (ortogonāla) sadaļa ir perpendikulāra visām sānu virsmām.
• Slīpas prizmas tilpums ir vienāds ar perpendikulārā sekcijas laukuma un sānu ribas garuma reizinājumu:

kur: S sek - perpendikulārās sekcijas laukums, l- sānu ribas garums (piemēram, zemāk esošajā zīmējumā, AA 1 vai BB 1 un tā tālāk).

• Sānu virsmas laukums patvaļīgas prizmas vērtība ir vienāda ar perpendikulārā griezuma perimetra un sānu malas garuma reizinājumu:

kur: P sek - perpendikulāra griezuma perimetrs, l ir sānu malas garums.

Prizmu veidi stereometrijā:

• Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnei, tad šādu prizmu sauc slīps(attēlā augstāk). Šādas prizmas pamatnes, kā parasti, atrodas paralēlās plaknēs, sānu malas nav perpendikulāras šīm plaknēm, bet paralēlas viena otrai. Sānu virsmas ir paralelogrammas.
• - prizma, kurā visas sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Labajā prizmā sānu malas ir augstumi. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri. Un pamatnes laukums un perimetrs ir attiecīgi vienādi ar perpendikulārā sekcijas laukumu un perimetru (taisnai prizmai, vispārīgi runājot, viss perpendikulārais posms ir tāds pats skaitlis kā pamatne). Tāpēc taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un sānu malas garuma (vai šajā gadījumā prizmas augstuma) reizinājumu:

kur: P pamatne - taisnas prizmas pamatnes perimetrs, l- sānu malas garums, vienāds taisnā prizmā ar augstumu ( h). Taisnas prizmas tilpumu nosaka pēc vispārīgās formulas: V = S galvenais ∙ h = S galvenais ∙ l.

• Pareiza prizma- prizma, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris (tas ir, tāds, kurā visas malas un visi leņķi ir vienādi viens pret otru), un sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm. Pareizu prizmu piemēri:

Pareizās prizmas īpašības:

1. Regulāras prizmas pamatnes ir regulāri daudzstūri.
2. Parastas prizmas sānu malas ir vienādi taisnstūri.
3. Parastās prizmas sānu malas ir vienādas viena ar otru.
4. Pareizā prizma ir taisna.

Definīcija: paralēlskaldnis — Tā ir prizma, kuras pamati ir paralelogrami. Šajā definīcijā atslēgas vārds ir "prizma". Tādējādi paralēlskaldnis ir prizmas speciālais gadījums, kas no vispārējā gadījuma atšķiras tikai ar to, ka tā pamats nav patvaļīgs daudzstūris, bet gan paralelograms. Tāpēc visas iepriekš minētās īpašības, formulas un definīcijas attiecībā uz prizmu paliek aktuālas paralēlskaldnim. Tomēr paralēlskaldnim raksturīgas vairākas papildu īpašības.

Citas īpašības un definīcijas:

• Tiek sauktas divas paralēlskaldņa skaldnes, kurām nav kopīgas malas pretī, un kam ir kopīga šķautne - saistīti.
• Tiek izsauktas divas paralēlskaldņa virsotnes, kas nepieder pie vienas skaldnes pretī.
• Tiek izsaukts līnijas segments, kas savieno pretējās virsotnes diagonāli paralēlskaldnis.
• Paralēlskaldnim ir sešas skaldnes, un tās visas ir paralelogrami.
• Paralēlskaldņa pretējās virsmas ir vienādas un paralēlas pa pāriem.
• Paralēlskaldnim ir četras diagonāles; tie visi krustojas vienā punktā, un katru no tiem šis punkts sadala uz pusēm.
• Ja paralēlskaldņa četras malas ir taisnstūri (un pamatnes ir patvaļīgi paralelogrami), tad to sauc tiešā veidā(šajā gadījumā, tāpat kā ar taisnu prizmu, visas sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm). Visas taisnās prizmas īpašības un formulas attiecas uz taisnstūra paralēlskaldni.
• Paralēlskaldni sauc slīps ja ne visas tā sānu malas ir taisnstūri.
• Taisnas vai slīpas kastes tilpums tiek aprēķināts pēc prizmas tilpuma vispārīgās formulas, t.i. ir vienāds ar paralēlskaldņa pamatnes laukuma un tā augstuma reizinājumu ( V = S galvenais ∙ h).
• Par taisnstūri sauc taisnstūri, kurā visas sešas skaldnes ir taisnstūri (t.i., papildus sānu skaldnēm arī pamatnes ir taisnstūri). taisnstūrveida. Kuboīdam ir svarīgas visas kuboīda īpašības, kā arī:
  • d un viņa ribas a, b, c saistīts ar attiecību:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

• • No prizmas tilpuma vispārīgās formulas var iegūt šādu formulu kuboīda tilpums:

• Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas skaldnes ir vienādi kvadrāti kubs. Cita starpā kubs ir regulāra četrstūra prizma un kopumā regulārs daudzskaldnis. Kubam ir derīgas visas taisnstūra paralēlskaldņa īpašības un parasto prizmu īpašības, kā arī:
  • Pilnīgi visas kuba malas ir vienādas viena ar otru.
  • kuba diagonāli d un tās malas garums a saistīts ar attiecību:

• No taisnstūra paralēlskaldņa tilpuma formulas var iegūt šādu formulu kuba tilpums:

Piramīda

Definīcijas:

• Piramīda ir daudzskaldnis, kura pamatne ir daudzstūris un pārējās skaldnes ir trijstūri ar kopēju virsotni. Atbilstoši pamatnes stūru skaitam piramīdas ir trīsstūrveida, četrstūrveida un tā tālāk. Attēlā parādīti piemēri: četrstūra un sešstūra piramīdas.

• Bāze ir daudzstūris, kuram nepieder piramīdas virsotne. Zīmējumā bāze ir BCDE.
• Tiek sauktas citas sejas, izņemot pamatni sānu. Uz zīmējuma ir: ABC, ACD, ADE un AEB.
• Tiek saukta sānu virsmu kopējā virsotne piramīdas virsotne(precīzi visas piramīdas virsotne, nevis tikai virsotne, tāpat kā visas pārējās virsotnes). Uz tā zīmējuma A.
• Tiek sauktas malas, kas savieno piramīdas augšdaļu ar pamatnes augšdaļu sānu. Uz zīmējuma ir: AB, AC, AD un AE.
• Apzīmējot piramīdu, vispirms viņi sauc tās virsotni, bet pēc tam - pamatnes virsotnes. Piramīdai no zīmējuma apzīmējums būs šāds: ABCDE.

• Augstumspiramīdas sauc par perpendikulu, kas novilkts no piramīdas augšdaļas līdz tās pamatnei. Šī perpendikula garums tiek apzīmēts ar burtu H. Zīmējumā augstums ir AG. Piezīme: tikai tad, ja piramīda ir regulāra četrstūra piramīda (kā zīmējumā), piramīdas augstums krīt uz pamatnes diagonāli. Citos gadījumos tas tā nav. Vispārīgā gadījumā patvaļīgai piramīdai augstuma un pamatnes krustošanās punkts var būt jebkur.
• Apotēms - sānu malas augstums pareizi piramīda, kas novilkta no tās augšas. Piemēram, zīmējumā AF.
• Piramīdas šķērsgriezums pa diagonāli- piramīdas posms, kas iet cauri piramīdas virsotnei un pamatnes diagonāli. Piemēram, zīmējumā ACE.

Vēl viens stereometrisks zīmējums ar simboliem labākai iegaumēšanai(attēlā pareizā trīsstūrveida piramīda):

Ja visas sānu malas ( SA, SB, SC, SD zemāk esošajā zīmējumā) piramīdas ir vienādas, tad:

• Apli var aprakstīt netālu no piramīdas pamatnes, un piramīdas virsotne tiek projicēta tās centrā (punkts O). Citiem vārdiem sakot, augstums (līnija SO), nolaists no šādas piramīdas augšas līdz pamatnei ( ABCD), iekrīt ierobežotā apļa centrā ap pamatni, t.i. pamatnes perpendikulāro viduspunktu krustpunktā.
• Sānu ribas veido vienādus leņķus ar pamatplakni (zemāk redzamajā zīmējumā tie ir leņķi VK, SBO, SCO, SDO).

Svarīgs: Ir arī pretējais, proti, ja sānu malas veido vienādus leņķus ar pamatplakni vai ja apli var aprakstīt netālu no piramīdas pamatnes, un piramīdas virsotne tiek projicēta tās centrā, tad visas piramīdas sānu malas ir vienādas.

Ja sānu virsmas ir slīpi pret pamatplakni vienā leņķī (stūri DMN, DKN, DLN zemāk esošajā zīmējumā ir vienādi), tad:

• Piramīdas pamatnē var ierakstīt apli, un piramīdas virsotne tiek projicēta tās centrā (punktā N). Citiem vārdiem sakot, augstums (līnija DN), nolaists no šādas piramīdas augšas uz pamatni, iekrīt pamatnē ierakstītā apļa centrā, t.i. līdz pamatnes bisektoru krustpunktam.
• Sānu virsmu (apotēmu) augstumi ir vienādi. Zemāk redzamajā zīmējumā DK, DL, DM- vienādi apotēmi.
• Šādas piramīdas sānu virsmas laukums vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un sānu virsmas augstuma reizinājuma (apotēma).

kur: P- pamatnes perimetrs, a- apotēma garums.

Svarīgs: Ir arī pretējais, tas ir, ja piramīdas pamatnē var ierakstīt apli un piramīdas virsotne tiek projicēta tās centrā, tad visas sānu malas ir slīpas pret pamatplakni vienā leņķī un sānu virsmu (apotēma) augstumi ir vienādi.

Pareiza piramīda

Definīcija: Piramīdu sauc pareizi, ja tā pamatne ir regulārs daudzstūris un virsotne tiek projicēta pamatnes centrā. Tad tam ir šādas īpašības:

• Regulāras piramīdas visas sānu malas ir vienādas.
• Visas parastās piramīdas sānu virsmas ir vienā leņķī slīpas pret pamatnes plakni.

Svarīga piezīme: Kā redzat, parastās piramīdas ir viena no tām piramīdām, kas ietver tieši iepriekš aprakstītās īpašības. Patiešām, ja regulāras piramīdas pamatne ir regulārs daudzstūris, tad tās ierakstīto un ierobežoto apļu centrs sakrīt, un regulāras piramīdas virsotne tiek projicēta precīzi šajā centrā (pēc definīcijas). Tomēr ir svarīgi to saprast ne tikai pareizi piramīdām var būt iepriekš minētās īpašības.

• Parastā piramīdā visas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri.
• Jebkurā regulārā piramīdā jūs varat gan ierakstīt sfēru, gan aprakstīt sfēru ap to.
• Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma.

Piramīdas tilpuma un laukuma formulas

Teorēma(par piramīdu tilpumu ar vienādu augstumu un vienādu pamatu laukumu). Divām piramīdām, kurām ir vienādi augstumi un vienādi pamatu laukumi, ir vienādi tilpumi (protams, jūs droši vien jau zināt piramīdas tilpuma formulu, vai arī redzat to dažas rindiņas zemāk, un šis apgalvojums jums šķiet acīmredzams, bet patiesībā, spriežot "uz aci", tad šī teorēma nav tik acīmredzama (skat. attēlu zemāk) Starp citu, tas attiecas arī uz citiem daudzskaldņiem un ģeometriskām formām: to izskats ir mānīgs, tāpēc matemātikā jūs jāuzticas tikai formulām un pareiziem aprēķiniem).

• piramīdas tilpums var aprēķināt, izmantojot formulu:

kur: S bāze ir piramīdas pamatnes laukums, h ir piramīdas augstums.

• Piramīdas sānu virsma ir vienāds ar sānu virsmu laukumu summu. Piramīdas sānu virsmas laukumam formāli var uzrakstīt šādu stereometrisko formulu:

kur: S sānu - sānu virsmas laukums, S 1 , S 2 , S 3 - sānu virsmu apgabali.

• Pilna piramīdas virsma vienāds ar sānu virsmas laukuma un pamatnes laukuma summu:

Definīcijas:

• - vienkāršākais daudzskaldnis, kura skaldnes ir četri trīsstūri, citiem vārdiem sakot, trīsstūrveida piramīda. Tetraedram jebkura tā seja var kalpot par pamatu. Kopumā tetraedram ir 4 skaldnes, 4 virsotnes un 6 malas.
• Tetraedrs tiek saukts pareizi ja visas tās skaldnes ir vienādmalu trijstūri. Parastajam tetraedram:
  1. Regulāra tetraedra visas malas ir vienādas.
  2. Visas regulāra tetraedra skalas ir vienādas viena ar otru.
  3. Perimetri, laukumi, augstumi un visi pārējie visu virsmu elementi ir attiecīgi vienādi.

Zīmējumā parādīts regulārs tetraedrs, savukārt trīsstūri ABC, ADC, CBD, slikti ir vienādi. No piramīdas tilpuma un laukumu vispārīgajām formulām, kā arī no planimetrijas zināšanām nav grūti iegūt formulas regulāra tetraedra tilpums un laukums(a- ribas garums):

Definīcija: Risinot uzdevumus stereometrijā, piramīdu sauc taisnstūrveida, ja viena no piramīdas sānu malām ir perpendikulāra pamatnei. Šajā gadījumā šī mala ir piramīdas augstums. Zemāk ir trīsstūrveida un piecstūra taisnstūra piramīdu piemēri. Attēls pa kreisi SA ir mala, kas ir arī augstums.

Nocirsta piramīda

Definīcijas un īpašības:

• nošķelta piramīda sauc par daudzskaldni, kas atrodas starp piramīdas pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla tās pamatnei.
• Tiek saukta arī figūra, kas iegūta griešanas plaknes un sākotnējās piramīdas krustpunktā pamata nošķelta piramīda. Tātad, nošķeltai piramīdai zīmējumā ir divas bāzes: ABC un A 1 B 1 C 1 .
• Nošķeltas piramīdas sānu malas ir trapecveida formas. Piemēram, zīmējumā AA 1 B1B.
• Nocirstas piramīdas sānu malas sauc par sākotnējās piramīdas malu daļām, kas atrodas starp pamatiem. Piemēram, zīmējumā AA 1 .
• Nocirstas piramīdas augstums ir perpendikuls (vai šī perpendikula garums), kas novilkts no kāda punkta vienas pamatnes plaknē uz otras pamatnes plakni.
• Nošķelto piramīdu sauc pareizi, ja tas ir daudzskaldnis, ko nogriež pamatnei paralēla plakne pareizi piramīdas.
• Regulāras nošķeltas piramīdas pamati ir regulāri daudzstūri.
• Regulāras nošķeltas piramīdas sānu malas ir vienādsānu trapeces.
• apotēms regulāru nošķelto piramīdu sauc par tās sānu malas augstumu.
• Nocirstas piramīdas sānu virsmas laukums ir visu tās sānu virsmu laukumu summa.

Nošķeltas piramīdas formulas

Sadalītās piramīdas tilpums ir:

kur: S 1 un S 2 - bāzes laukumi, h ir nošķeltas piramīdas augstums. Tomēr praksē ērtāk ir meklēt nošķeltas piramīdas tilpumu šādi: jūs varat pabeigt nošķelto piramīdu līdz piramīdai, pagarinot sānu malas līdz krustojumam. Tad nošķeltas piramīdas tilpumu var atrast kā starpību starp visas piramīdas un pabeigtās daļas tilpumiem. Sānu virsmas laukumu var atrast arī kā starpību starp visas piramīdas un pabeigtās daļas sānu virsmas laukumiem. Regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar tā bāzu perimetru un apotēma summas pusreizinājumu:

kur: P 1 un P 2 - bāzes perimetri pareizi nošķelta piramīda, a- apotēma garums. Jebkuras nošķeltas piramīdas kopējais virsmas laukums acīmredzami ir atrodams kā pamatu un sānu virsmas laukumu summa:

Piramīda un bumba (sfēra)

Teorēma: Ap piramīdu aprakstiet darbības jomu kad piramīdas pamatnē atrodas ierakstīts daudzstūris (t.i., daudzstūris, ap kuru var aprakstīt sfēru). Šis nosacījums ir nepieciešams un pietiekams. Sfēras centrs būs to plakņu krustpunkts, kas iet caur tām perpendikulāri piramīdas malu viduspunktiem.

Piezīme: No šīs teorēmas izriet, ka sfēru var aprakstīt gan ap jebkuru trīsstūri, gan ap jebkuru regulāru piramīdu. Tomēr to piramīdu saraksts, kuru tuvumā var aprakstīt sfēru, neaprobežojas tikai ar šāda veida piramīdām. Zīmējumā pa labi, augstumā SH vajag izvēlēties punktu O, vienādā attālumā no visām piramīdas virsotnēm: SO = OB = OS = OD = OA. Tad punkts O ir norobežotās sfēras centrs.

Teorēma: Jūs varat piramīdā ierakstīt sfēru kad piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas vienā punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts būs sfēras centrs.

komentēt: Jūs acīmredzot nesapratāt, ko izlasījāt iepriekš minētajā rindiņā. Tomēr ir svarīgi to atcerēties jebkura regulāra piramīda ir tāda, kurā var ierakstīt sfēru. Tajā pašā laikā to piramīdu saraksts, kurās var ierakstīt sfēru, nav izsmelts ar pareizajām.

Definīcija: Bisektoru plakne sadala divskaldņa leņķi uz pusēm, un katrs bisektora plaknes punkts atrodas vienādā attālumā no skaldnēm, kas veido divskaldņu leņķi. Figūra labajā plaknē γ ir plakņu veidotā divskaldņa leņķa bisektora plakne α un β .

Zemāk esošajā stereometriskajā zīmējumā ir redzama piramīdā ierakstīta bumbiņa (vai bumbiņas tuvumā aprakstīta piramīda), savukārt punkts O ir ierakstītās sfēras centrs. Šis punkts O vienādā attālumā no visām bumbiņas malām, piemēram:

OM = OO 1

piramīda un konuss

Stereometrijā konusu sauc ierakstīts piramīdā, ja to virsotnes sakrīt, un tā pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē. Turklāt piramīdā ir iespējams ierakstīt konusu tikai tad, ja piramīdas apotēmas ir vienādas (nepieciešams un pietiekams nosacījums).

Konusu sauc par ierakstītu pie piramīdas kad to virsotnes sakrīt, un tās pamatne ir aprakstīta netālu no piramīdas pamatnes. Turklāt ir iespējams aprakstīt konusu pie piramīdas tikai tad, ja visas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru (nepieciešams un pietiekams nosacījums).

Svarīgs īpašums:

piramīda un cilindrs

Tiek uzskatīts, ka cilindrs ir ierakstīts piramīdā, ja viena no tās pamatnēm sakrīt ar plaknes apli, kas ierakstīta piramīdas griezumā, paralēli pamatnei, un otra pamatne pieder piramīdas pamatnei.

Tiek uzskatīts, ka cilindrs ir norobežots netālu no piramīdas, ja piramīdas virsotne pieder vienai no tās pamatnēm, bet otra tās pamatne ir aprakstīta piramīdas pamatnes tuvumā. Turklāt ir iespējams aprakstīt cilindru pie piramīdas tikai tad, ja piramīdas pamatnē ir ierakstīts daudzstūris (nepieciešams un pietiekams nosacījums).

Sfēra un bumba

Definīcijas:

1. Sfēra- slēgta virsma, punktu atrašanās vieta telpā vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc sfēras centrs. Sfēra ir arī apgriezienu ķermenis, ko veido pusloka rotācija ap tā diametru. sfēras rādiuss sauc par segmentu, kas savieno sfēras centru ar jebkuru sfēras punktu.
2. Chordojs sfēra ir segments, kas savieno divus sfēras punktus.
3. diametrs sfēru sauc par akordu, kas iet caur tās centru. Sfēras centrs sadala jebkuru no tās diametriem divos vienādos segmentos. Jebkurš sfēras diametrs ar rādiusu R ir 2 R.
4. Bumba- ģeometrisks korpuss; visu telpas punktu kopa, kas atrodas attālumā, kas nav lielāks par noteiktu attālumu no noteikta centra. Šo attālumu sauc lodītes rādiuss. Bumbu veido, griežot pusloku ap tās fiksēto diametru. Piezīme: sfēras virsmu (vai robežu) sauc par sfēru. Var dot šādu bumbiņas definīciju: ģeometrisku ķermeni sauc par lodi, kas sastāv no sfēras un šīs sfēras norobežotās telpas daļas.
5. Rādiuss, akords un diametrs bumbiņu sauc par sfēras rādiusu, hordu un diametru, kas ir šīs lodes robeža.
6. Atšķirība starp lodi un sfēru ir līdzīga atšķirībai starp apli un apli. Aplis ir līnija, un aplis ir arī visi punkti šīs līnijas iekšpusē. Sfēra ir apvalks, un bumba ir arī visi punkti šajā apvalkā.
7. Plakni, kas iet caur sfēras (lodes) centru, sauc diametrālā plakne.
8. Tiek saukts lodes (bumbiņas) griezums pa diametrālo plakni lielisks aplis (lielais aplis).

Teorēmas:

• 1. teorēma(uz sfēras griezuma pa plakni). Sfēras šķērsgriezums pēc plaknes ir aplis. Ņemiet vērā, ka teorēmas apgalvojums paliek patiess pat tad, ja plakne iet caur sfēras centru.
• 2. teorēma(uz sfēras griezuma pa plakni). Lodes griezums pa plakni ir aplis, un perpendikula, kas novilkts no lodītes centra uz griezuma plakni, pamats ir griezumā iegūtā apļa centrs.

Lielākais aplis no tiem, ko var iegūt noteiktās lodītes daļā ar plakni, atrodas sadaļā, kas iet caur lodītes centru O. To sauc par lielo apli. Tās rādiuss ir vienāds ar sfēras rādiusu. Jebkuri divi lieli apļi krustojas bumbiņas diametrā AB. Šis diametrs ir arī krustojošo lielo apļu diametrs. Caur diviem sfēriskas virsmas punktiem, kas atrodas viena diametra galos (att. A un B), varat uzzīmēt bezgalīgi daudz lielisku apļu. Piemēram, caur Zemes poliem var izvilkt bezgalīgu skaitu meridiānu.

Definīcijas:

1. Pieskares plakne sfērai sauc par plakni, kurai ir tikai viens kopīgs punkts ar sfēru, un to kopīgo punktu sauc par plaknes un sfēras saskares punktu.
2. Bumbiņas pieskares plakne sauc par pieskares plakni sfērai, kas ir šīs lodes robeža.
3. Tiek saukta jebkura taisne, kas atrodas sfēras (lodes) pieskares plaknē un iet caur saskares punktu pieskaras sfērai (bumbiņai) taisnai līnijai. Pēc definīcijas pieskares plaknei ir tikai viens kopīgs punkts ar sfēru, tāpēc arī pieskares taisnei ar sfēru ir tikai viens kopīgs punkts - saskares punkts.

Teorēmas:

• 1. teorēma(sfēras pieskares plaknes zīme). Sfērai pieskaras plakne, kas ir perpendikulāra sfēras rādiusam un iet caur tās galu, kas atrodas uz sfēras.
• 2. teorēma(par sfēras pieskares plaknes īpašību). Sfēras pieskares plakne ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz saskares punktam.

Daudzskaldnis un sfēra

Definīcija: Stereometrijā sauc daudzskaldni (piemēram, piramīdu vai prizmu). iekļauts darbības jomā ja visas tā virsotnes atrodas uz sfēras. Šajā gadījumā sfēru sauc par norobežotu daudzskaldņa tuvumā (piramīdas, prizmas). Līdzīgi: sauc daudzskaldnis ierakstīts bumbiņā ja visas tā virsotnes atrodas uz šīs lodes robežas. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka bumbiņa ir ierakstīta daudzskaldņa tuvumā.

Svarīgs īpašums: ap daudzskaldni norobežotās sfēras centrs atrodas attālumā, kas vienāds ar rādiusu R sfēras, no katras daudzskaldņa virsotnes.Šeit ir daudzskaldņu piemēri, kas ierakstīti sfērā:

Definīcija: Daudzskaldnis tiek saukts aprakstīts par sfēru (bumbu), ja sfēra (bumba) pieskaras visi daudzskaldņu sejas. Šajā gadījumā sfēru un lodi sauc par ierakstītiem daudzskaldnī.

Svarīgi: Daudzskaldnī ierakstītas sfēras centrs atrodas attālumā, kas vienāds ar rādiusu r sfēras no katras plaknes, kas satur daudzskaldņa skaldnes.Šeit ir daudzskaldņu piemēri, kas aprakstīti sfēras tuvumā:

Sfēras tilpums un virsmas laukums

Teorēmas:

• 1. teorēma(par sfēras laukumu). Sfēras laukums ir:

kur: R ir sfēras rādiuss.

• 2. teorēma(par bumbas tilpumu). Lodes tilpums ar rādiusu R aprēķina pēc formulas:

Bumbas segments, slānis, sektors

Stereometrijā bumbas segments sauc par bumbiņas daļu, ko nogriež griešanas plakne. Šajā gadījumā attiecība starp augstumu, segmenta pamatnes rādiusu un lodes rādiusu:

kur: h- segmenta augstums, r- segmenta bāzes rādiuss, R− lodītes rādiuss. Sfēriskā segmenta pamatnes laukums:

Sfēriskā segmenta ārējās virsmas laukums:

Pilna lodītes segmenta virsmas laukums:

Bumbu segmenta tilpums:

Stereometrijā sfērisks slānis Tiek saukta sfēras daļa, kas atrodas starp divām paralēlām plaknēm. Sfēriskā slāņa ārējās virsmas laukums:

kur: h ir sfēriskā slāņa augstums, R− lodītes rādiuss. Sfēriskā slāņa pilna virsmas laukums:

kur: h ir sfēriskā slāņa augstums, R- lodītes rādiuss, r 1 , r 2 ir sfēriskā slāņa pamatu rādiusi, S 1 , S 2 ir šo bāzu laukumi. Sfēriskā slāņa tilpumu visvienkāršāk var atrast kā starpību starp divu sfērisku segmentu tilpumiem.

Stereometrijā bumbas sektors sauc par lodītes daļu, kas sastāv no sfēriska segmenta un konusa ar virsotni lodītes centrā un pamatni, kas sakrīt ar sfēriskā segmenta pamatni. Šeit tiek pieņemts, ka bumbas segments ir mazāks par pusi no bumbas. Sfēriskā sektora pilna virsmas laukums:

kur: h ir atbilstošā sfēriskā segmenta augstums, r ir sfēriskā segmenta (vai konusa) pamatnes rādiuss, R− lodītes rādiuss. Sfēriskā sektora tilpumu aprēķina pēc formulas:

Definīcijas:

1. Kādā plaknē apsveriet apli ar centru O un rādiuss R. Caur katru apļa punktu novelkam līniju, kas ir perpendikulāra apļa plaknei. Cilindriska virsma tiek saukta figūra, ko veido šīs līnijas, un tiek sauktas pašas līnijas veidojot cilindrisku virsmu. Visi cilindriskās virsmas ģeneratori ir paralēli viens otram, jo ​​tie ir perpendikulāri apļa plaknei.

1. Taisns apļveida cilindrs vai vienkārši cilindrs sauc par ģeometrisku ķermeni, ko ierobežo cilindriska virsma un divas paralēlas plaknes, kas ir perpendikulāras cilindriskās virsmas ģeneratoriem. Neoficiāli jūs varat iedomāties cilindru kā taisnu prizmu ar apli pie pamatnes. Tas palīdzēs viegli saprast un, ja nepieciešams, iegūt formulas cilindra sānu virsmas tilpumam un laukumam.
2. Cilindra sānu virsma sauc to cilindriskās virsmas daļu, kas atrodas starp griešanas plaknēm, kas ir perpendikulāra tās ģenerātoram, un sauc daļas (apļus), ko cilindriskā virsma nogriež paralēlās plaknēs. cilindru pamatnes. Cilindra pamatnes ir divi vienādi apļi.
3. Cilindra ģenerators sauc par cilindriskas virsmas ģenerātora segmentu (vai šī segmenta garumu), kas atrodas starp paralēlām plaknēm, kurās atrodas cilindra pamatnes. Visi cilindra ģeneratori ir paralēli un vienādi viens otram, kā arī perpendikulāri pamatnēm.
4. Cilindra ass sauc par segmentu, kas savieno to apļu centrus, kas ir cilindra pamatnes.
5. cilindra augstums sauc par perpendikulu (vai šī perpendikula garumu), kas novilkts no kāda punkta vienas cilindra pamatnes plaknē uz otras pamatnes plakni. Cilindrā augstums ir vienāds ar ģenerātoru.
6. Cilindra rādiuss sauc par tā pamatu rādiusu.
7. Cilindrs tiek saukts vienādmalu ja tā augstums ir vienāds ar pamatnes diametru.
8. Cilindru var iegūt, pagriežot taisnstūri ap vienu no tā malām par 360°.
9. Ja griešanas plakne ir paralēla cilindra asij, tad cilindra griezums ir taisnstūris, kura divas malas ir ģeneratori, bet pārējās divas ir cilindra pamatu hordas.
10. Aksiālā daļa Cilindrs ir cilindra daļa ar plakni, kas iet caur tā asi. Cilindra aksiālā daļa ir taisnstūris, kura divas malas ir cilindra ģeneratori, bet pārējās divas ir tā pamatnes diametri.
11. Ja griešanas plakne ir perpendikulāra cilindra asij, tad griezumā, kas vienāds ar pamatnēm, veidojas aplis. Zemāk redzamajā zīmējumā: pa kreisi - aksiālā daļa; centrā - sekcija, kas ir paralēla cilindra asij; labajā pusē - sekcija, kas ir paralēla cilindra pamatnei.

Cilindrs un prizma

Par prizmu tiek teikts, ka tā ir ierakstīta cilindrā ja tā pamatnes ir ierakstītas cilindra pamatnēs. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka cilindrs ir norobežots ap prizmu. Prizmas augstums un cilindra augstums šajā gadījumā būs vienādi. Visas prizmas sānu malas piederēs cilindra sānu virsmai un sakritīs ar tā ģeneratoriem. Tā kā ar cilindru mēs saprotam tikai taisnu cilindru, tad šādā cilindrā var ierakstīt arī tikai taisnu prizmu. Piemēri:

Tiek uzskatīts, ka prizma ir norobežota ap cilindru, ja tā pamatnes ir aprakstītas netālu no cilindra pamatnēm. Šajā gadījumā tiek teikts, ka cilindrs ir ierakstīts prizmā. Arī prizmas augstums un cilindra augstums šajā gadījumā būs vienādi. Visas prizmas sānu malas būs paralēlas cilindra ģeneratoram. Tā kā ar cilindru mēs saprotam tikai taisnu cilindru, tad šādu cilindru var ierakstīt tikai taisnā prizmā. Piemēri:

Cilindrs un sfēra

Sfēru (bumbiņu) sauc par ierakstītu cilindrā ja tas pieskaras cilindra pamatnēm un katram tā ģeneratoram. Šajā gadījumā cilindru sauc par ierobežotu ap sfēru (bumbu). Sfēru cilindrā var ierakstīt tikai tad, ja tas ir vienādmalu cilindrs, t.i. tā pamatnes diametrs un augstums ir vienādi. Ierakstītās sfēras centrs būs cilindra ass vidus, un šīs sfēras rādiuss sakritīs ar cilindra rādiusu. Piemērs:

Tiek uzskatīts, ka cilindrs ir ierakstīts sfērā, ja cilindra pamatņu apļi ir sfēras griezumi. Par cilindru tiek uzskatīts, ka tas ir ierakstīts sfērā, ja cilindra pamatnes ir sfēras sekcijas. Šajā gadījumā lodi (sfēru) sauc par ierakstītu pie cilindra. Sfēru var aprakstīt ap jebkuru cilindru. Aprakstītās sfēras centrs būs arī cilindra ass vidus. Piemērs:

Pamatojoties uz Pitagora teorēmu, ir viegli pierādīt šādu formulu, kas attiecas uz ierobežotās sfēras rādiusu ( R), cilindra augstums ( h) un cilindra rādiuss ( r):

Cilindra sānu un pilno virsmu tilpums un laukums

1. teorēma(uz cilindra sānu virsmas laukuma): Cilindra sānu virsmas laukums ir vienāds ar tā pamatnes apkārtmēra un augstuma reizinājumu:

kur: R ir cilindra pamatnes rādiuss, h- viņa augsto. Šī formula ir viegli atvasināma (vai pierādīta), pamatojoties uz taisnas prizmas sānu virsmas laukuma formulu.

Pilns cilindra virsmas laukums, kā parasti stereometrijā, ir sānu virsmas un divu pamatu laukumu summa. Katras cilindra pamatnes laukumu (t.i., tikai apļa laukumu) aprēķina pēc formulas:

Tāpēc cilindra kopējais virsmas laukums S pilns Cilindru aprēķina pēc formulas:

2. teorēma(par cilindra tilpumu): Cilindra tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu:

kur: R un h ir attiecīgi cilindra rādiuss un augstums. Arī šī formula ir viegli atvasināta (pierādīta), pamatojoties uz prizmas tilpuma formulu.

3. teorēma(Arhimēds): Lodes tilpums ir pusotru reizi mazāks par ap to aprakstītā cilindra tilpumu, un šādas lodītes virsmas laukums ir pusotru reizi mazāks par lodes kopējo virsmas laukumu. tas pats cilindrs:

Konuss

Definīcijas:

1. Konuss (precīzāk, apļveida konuss) sauc par ķermeni, kas sastāv no apļa (saukts konusa pamatne), punkts, kas neatrodas šī apļa plaknē (ko sauc konusa augšdaļa) un visus iespējamos segmentus, kas savieno konusa augšdaļu ar pamatnes punktiem. Neformāli konusu var uztvert kā regulāru piramīdu, kuras pamatnē ir aplis. Tas palīdzēs viegli saprast un, ja nepieciešams, iegūt formulas konusa sānu virsmas tilpumam un laukumam.

1. Nosegumus (vai to garumus), kas savieno konusa virsotni ar pamatnes apļa punktiem sauc veidojot konusu. Visi taisnā apļveida konusa ģeneratori ir vienādi viens ar otru.
2. Konusa virsma sastāv no konusa pamatnes (apļa) un sānu virsmas (sastāv no visiem iespējamiem ģeneratoriem).
3. Tiek saukta konusa ģeneratoru savienība konusa generatrix (vai sānu) virsma. Konusa veidotājs ir koniska virsma.
4. Konusu sauc tiešā veidā ja taisne, kas savieno konusa virsotni ar pamatnes centru, ir perpendikulāra pamatnes plaknei. Tālāk mēs aplūkosim tikai taisnu konusu, īsuma labad to saucot vienkārši par konusu.
5. Vizuāli taisnu riņķveida konusu var iedomāties kā ķermeni, kas iegūts, pagriežot taisnleņķa trīsstūri ap tā kāju kā asi. Šajā gadījumā konusa sānu virsmu veido hipotenūzas rotācija, un pamatni veido kājas rotācija, kas nav ass.
6. konusa rādiuss sauc par tās pamatnes rādiusu.
7. konusa augstums sauc par perpendikulu (vai tā garumu), nolaižot no augšas līdz pamatnes plaknei. Labajam konusam augstuma pamatne sakrīt ar pamatnes centru. Labā apļveida konusa ass ir taisna līnija, kas satur tā augstumu, t.i. taisna līnija, kas iet caur pamatnes centru un augšpusi.
8. Ja griešanas plakne iet caur konusa asi, tad griezums ir vienādsānu trīsstūris, kura pamatne ir konusa pamatnes diametrs, bet malas ir konusa ģenerātors. Tādu griezumu sauc aksiāls.

1. Ja griešanas plakne iet caur konusa augstuma iekšējo punktu un ir tam perpendikulāra, tad konusa griezums ir aplis, kura centrs ir augstuma un šīs plaknes krustošanās punkts.
2. Augstums ( h), rādiuss ( R) un ģenerātora garums ( l) no labā apļveida konusa apmierina acīmredzamo sakarību:

Konusa sānu un pilno virsmu apjoms un laukums

1. teorēma(uz konusa sānu virsmas laukuma). Konusa sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes un ģenerātora apkārtmēra reizinājumu:

kur: R ir konusa pamatnes rādiuss, l ir konusa ģenerātora garums. Šī formula ir viegli atvasināma (vai pierādīta), pamatojoties uz regulāras piramīdas sānu virsmas laukuma formulu.

Pilna konusa virsmas laukums ir sānu virsmas laukuma un pamatlaukuma summa. Konusa pamatnes laukums (t.i., tikai apļa laukums) ir: S bāze = πR 2. Tāpēc konusa kopējā virsmas laukums S pilns konusu aprēķina pēc formulas:

2. teorēma(uz konusa tilpuma). Konusa tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no pamatlaukuma, kas reizināts ar augstumu:

kur: R ir konusa pamatnes rādiuss, h- viņa augsto. Šī formula ir arī viegli atvasināta (pierādīta), pamatojoties uz piramīdas tilpuma formulu.

Definīcijas:

1. Plakne, kas ir paralēla konusa pamatnei un krustojas ar konusu, nogriež no tā mazāku konusu. Pārējo sauc nošķelts konuss.

1. Tiek saukta sākotnējā konusa pamatne un aplis, kas iegūts šī konusa griezumā ar plakni pamatojums, un segments, kas savieno to centrus - nošķelta konusa augstums.
2. Taisnā līnija, kas iet caur nošķelta konusa augstumu (t.i., caur tā pamatu centriem), ir tā ass.
3. Konusa sānu virsmas daļu, kas ierobežo nošķelto konusu, sauc par tā sānu virsma, un konusa ģenerātora segmentus, kas atrodas starp nošķelta konusa pamatnēm, sauc par tā ģenerējot.
4. Visi nošķelta konusa ģeneratori ir vienādi viens ar otru.
5. Nogrieztu konusu var iegūt, pagriežot taisnstūra trapecveida trapecveida formu par 360° ap tās malu, kas ir perpendikulāra pamatnēm.

Formulas nošķelta konusam:

Nošķelta konusa tilpums ir vienāds ar starpību starp pilna konusa un konusa tilpumiem, kas nogriezti ar plakni, kas ir paralēla konusa pamatnei. Nošķelta konusa tilpumu aprēķina pēc formulas:

kur: S 1 = π r 1 2 un S 2 = π r 2 2 - pamatu laukumi, h ir nošķelta konusa augstums, r 1 un r 2 - nošķeltā konusa augšējās un apakšējās pamatnes rādiusi. Tomēr praksē joprojām ērtāk ir meklēt nošķelta konusa tilpumu kā starpību starp sākotnējā konusa un nogrieztās daļas tilpumiem. Nošķelta konusa sānu virsmas laukumu var atrast arī kā atšķirību starp sākotnējā konusa un nogrieztās daļas sānu virsmas laukumiem.

Patiešām, nošķelta konusa sānu virsmas laukums ir vienāds ar starpību starp pilna konusa sānu virsmu laukumiem un konusu, kas nogriezts ar plakni, kas ir paralēla konusa pamatnei. Nošķelta konusa sānu virsmas laukums aprēķina pēc formulas:

kur: P 1 = 2π r 1 un P 2 = 2π r 2 - nošķelta konusa pamatņu perimetrs, l- ģenerātora garums. Kopējais nošķelta konusa virsmas laukums, acīmredzot, tiek atrasts kā pamatu un sānu virsmas laukumu summa:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka nošķelta konusa sānu virsmas tilpuma un laukuma formulas ir atvasinātas no regulāras nošķeltas piramīdas līdzīgu raksturlielumu formulām.

Konuss un sfēra

Saka, ka sfērā ir ierakstīts konuss(bumba), ja tās virsotne pieder pie sfēras (lodes robeža), un pamatnes (pašas pamatnes) apkārtmērs ir lodes (lodes) posms. Šajā gadījumā sfēru (bumbu) sauc par norobežotu konusa tuvumā. Sfēru vienmēr var aprakstīt ap labo riņķveida konusu. Ierobežotās sfēras centrs atradīsies uz taisnas līnijas, kas satur konusa augstumu, un šīs sfēras rādiuss būs vienāds ar apļa rādiusu, kas ir ierobežots ap konusa aksiālo daļu (šis posms ir vienādsānu trīsstūris) . Piemēri:

Sfēru (bumbiņu) sauc par ierakstītu konusā, ja lode (bumba) pieskaras konusa pamatnei un katram tā ģeneratoram. Šajā gadījumā konusu sauc par ierakstītu pie sfēras (bumbiņas). Sfēru vienmēr var ierakstīt taisnā apļveida konusā. Tās centrs atradīsies konusa augstumā, un ierakstītās sfēras rādiuss būs vienāds ar apļa rādiusu, kas ierakstīts konusa aksiālajā daļā (šī sadaļa ir vienādsānu trīsstūris). Piemēri:

Konuss un piramīda

• Konusu sauc par ierakstītu piramīdā (piramīda ir aprakstīta pie konusa), ja konusa pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē, un konusa un piramīdas virsotnes sakrīt.
• Piramīdu sauc par ierakstītu konusā (konuss ir aprakstīts pie piramīdas), ja tās pamatne ir ierakstīta konusa pamatnē, bet sānu malas ir konusa ģeneratori.
• Šādu konusu un piramīdu augstumi ir vienādi viens ar otru.

Piezīme: Sīkāka informācija par to, kā cietā ģeometrijā konuss iekļaujas piramīdā vai tiek aprakstīts piramīdas tuvumā, jau tika apspriests

Kā veiksmīgi sagatavoties CT fizikā un matemātikā?

Lai gūtu panākumus sagatavoties CT fizikā un matemātikā cita starpā ir jāievēro trīs būtiski nosacījumi:

1. Izpētiet visas tēmas un izpildiet visus norādītos testus un uzdevumus mācību materiālišajā tīmekļa vietnē. Lai to izdarītu, jums nav nepieciešams pilnīgi nekas, proti: katru dienu trīs līdz četras stundas jāvelta CT sagatavošanai fizikā un matemātikā, teorijas apguvei un problēmu risināšanai. Fakts ir tāds, ka CT ir eksāmens, kurā nepietiek tikai ar fizikas vai matemātikas zināšanām, jums ir arī jāspēj ātri un bez neveiksmēm atrisināt lielu skaitu uzdevumu par dažādām tēmām un dažādas sarežģītības. Pēdējo var apgūt, tikai atrisinot tūkstošiem problēmu.
2. mācīties visas formulas un likumi fizikā un formulas un metodes matemātikā. Faktiski to ir arī ļoti vienkārši izdarīt, fizikā ir tikai aptuveni 200 nepieciešamo formulu, bet matemātikā - pat nedaudz mazāk. Katrā no šiem priekšmetiem ir ap desmitiem standarta metožu pamata sarežģītības līmeņa problēmu risināšanai, kuras var arī apgūt, un tādējādi pilnīgi automātiski un bez grūtībām atrisināt lielāko daļu digitālās transformācijas īstajā laikā. Pēc tam būs jādomā tikai par grūtākajiem uzdevumiem.
3. Apmeklējiet visus trīs posmus mēģinājumu pārbaude fizikā un matemātikā. Katru RT var apmeklēt divas reizes, lai atrisinātu abas iespējas. Atkal, uz DT, papildus spējai ātri un efektīvi atrisināt problēmas, formulu un metožu zināšanām, ir arī jāprot pareizi plānot laiku, sadalīt spēkus un, pats galvenais, pareizi aizpildīt atbildes veidlapu. , nejaucot ne atbilžu un uzdevumu numurus, ne savu uzvārdu. Tāpat RT laikā ir svarīgi pierast pie jautājumu uzdošanas stila uzdevumos, kas DT nesagatavotam cilvēkam var šķist ļoti neparasts.

Veiksmīga, rūpīga un atbildīga šo trīs punktu īstenošana ļaus jums uzrādīt izcilu CT rezultātu, maksimumu, uz ko esat spējīgs.

Vai atradāt kļūdu?

Ja jūs, kā jums šķiet, mācību materiālos atradāt kļūdu, lūdzu, rakstiet par to pa pastu. Varat arī rakstīt par kļūdu sociālajā tīklā (). Vēstulē norādiet mācību priekšmetu (fizika vai matemātika), tēmas vai kontroldarba nosaukumu vai numuru, uzdevuma numuru vai vietu tekstā (lappusē), kur, jūsuprāt, ir kļūda. Aprakstiet arī iespējamo kļūdu. Jūsu vēstule nepaliks nepamanīta, kļūda vai nu tiks izlabota, vai arī paskaidros, kāpēc tā nav kļūda.