Paralelograma laukums, ja ir zināmas malas. Paralelograma perimetrs un laukums

4. uzdevums.

Viena no 4√6 garuma paralelograma diagonālēm veido 60° leņķi ar pamatni, bet otrā diagonāle ar to pašu pamatni veido 45° leņķi. Atrodiet otro diagonāli.

Risinājums.

1. AO = 2√6.

2. Pielietot sinusa teorēmu trijstūrim AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Atbilde: 12.

5. uzdevums.

Paralelogramam ar malām 5√2 un 7√2 mazākais leņķis starp diagonālēm ir vienāds ar paralelograma mazāko leņķi. Atrodiet diagonāļu garumu summu.

Risinājums.

Pieņemsim, ka paralelograma diagonāles ir d 1, d 2, un leņķis starp diagonālēm un paralelograma mazāko leņķi ir φ.

1. Saskaitīsim divus dažādus
veidus.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Iegūstam vienādību 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f vai

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Izmantojot attiecību starp paralelograma malām un diagonālēm, rakstām vienādību

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Izveidosim sistēmu:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Reiziniet sistēmas otro vienādojumu ar 2 un pievienojiet pirmajam.

Mēs iegūstam (d 1 + d 2) 2 = 576. Tādējādi Id 1 + d 2 I = 24.

Tā kā d 1, d 2 ir paralelograma diagonāļu garumi, tad d 1 + d 2 = 24.

Atbilde: 24.

6. uzdevums.

Paralelograma malas ir 4 un 6. Akūtais leņķis starp diagonālēm ir 45 o. Atrodiet paralelograma laukumu.

Risinājums.

1. No trijstūra AOB, izmantojot kosinusa teorēmu, rakstām sakarību starp paralelograma malu un diagonālēm.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Līdzīgi rakstām relāciju trijstūrim AOD.

Mēs to ņemam vērā<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Iegūstam vienādojumu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Mums ir sistēma
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Atņemot pirmo no otrā vienādojuma, iegūstam 2d 1 d 2 √2 = 80 vai

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Piezīme:Šajā un iepriekšējā uzdevumā sistēma nav jāatrisina pilnībā, paredzot, ka šajā uzdevumā ir nepieciešams diagonāļu reizinājums, lai aprēķinātu laukumu.

Atbilde: 10.

7. uzdevums.

Paralelograma laukums ir 96, un tā malas ir 8 un 15. Atrodiet mazākās diagonāles kvadrātu.

Risinājums.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Veiksim aizstāšanu formulā.

Mēs iegūstam 96 = 8 15 sin VAD. Līdz ar to grēks VAD = 4/5.

2. Atrast cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Atbilstoši uzdevuma stāvoklim mēs atrodam mazākās diagonāles garumu. Diagonāle BD būs mazāka, ja leņķis BAD ir akūts. Tad cos BAD = 3/5.

3. No trijstūra ABD, izmantojot kosinusa teorēmu, atrodam diagonāles BD kvadrātu.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 \u003d 145.

Atbilde: 145.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt ģeometrijas problēmu?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Paralēlogramma To sauc par četrstūri, kura pretējās malas ir paralēlas viena otrai. Galvenie uzdevumi skolā par šo tēmu ir aprēķināt paralelograma laukumu, tā perimetru, augstumu, diagonāles. Šie daudzumi un to aprēķināšanas formulas tiks norādītas tālāk.

Paralelogrammas īpašības

Paralelograma pretējās malas un pretējie leņķi ir vienādi viens ar otru:
AB = CD, BC = AD ,

Paralelograma diagonāles krustošanās punktā ir sadalītas divās vienādās daļās:

AO=OC, OB=OD.

Leņķi, kas atrodas blakus abām pusēm (blakus esošie leņķi), summējas līdz 180 grādiem.

Katra paralelograma diagonāle sadala to divos vienāda laukuma un ģeometrisko izmēru trīsstūros.

Vēl viena ievērojama īpašība, ko bieži izmanto problēmu risināšanā, ir tāda, ka paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu malu kvadrātu summu:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Paralelogramu galvenās iezīmes:

1. Četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, ir paralelograms.
2. Četrstūris ar vienādām pretējām malām ir paralelograms.
3. Četrstūris ar vienādām un paralēlām pretējām malām ir paralelograms.
4. Ja četrstūra diagonāles krustpunktā dala uz pusēm, tad tas ir paralelograms.
5. Četrstūris, kura pretējie leņķi pa pāriem ir vienādi, ir paralelograms

Paralelograma bisektrise

Pretējo leņķu bisektrise paralelogrammā var būt paralēla vai sakrist.

Blakus esošo leņķu bisektrise (blakus vienai malai) krustojas taisnā leņķī (perpendikulāri).

Paralēlogrammas augstums

Paralēlogrammas augstums- šis ir segments, kas ir novilkts no leņķa, kas ir perpendikulārs pamatnei. No tā izriet, ka no katra leņķa var novilkt divus augstumus.

Paralēlogrammas laukuma formula

Paralēlogrammas laukums ir vienāds ar malas un tai novilktā augstuma reizinājumu. Platības formula ir šāda

Otrā formula ir ne mazāk populāra aprēķinos un tiek definēta šādi: paralelograma laukums ir vienāds ar blakus esošo malu reizinājumu ar leņķa sinusu starp tām.

Pamatojoties uz iepriekš minētajām formulām, jūs zināt, kā aprēķināt paralelograma laukumu.

Paralēlogrammas perimetrs

Paralelograma perimetra aprēķināšanas formula ir

tas ir, perimetrs ir divreiz lielāks par malu summu. Uzdevumi uz paralelograma tiks apskatīti blakus materiālos, bet pagaidām izpētiet formulas. Lielākā daļa uzdevumu paralelograma malu, diagonāļu aprēķināšanai ir diezgan vienkārši un ir saistīti ar sinusa teorēmas un Pitagora teorēmas pārzināšanu.

Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (paralelogrammas sadaļa). Ja jums ir jāatrisina problēma ģeometrijā, kuras šeit nav - rakstiet par to forumā. Lai apzīmētu kvadrātsaknes izvilkšanas darbību uzdevumu risināšanā, tiek izmantots simbols √ vai sqrt (), un radikālā izteiksme ir norādīta iekavās.

Teorētiskais materiāls

Paskaidrojumi paralelograma laukuma atrašanas formulām:

1. Paralelograma laukums ir vienāds ar vienas malas garuma un šīs malas augstuma reizinājumu.
2. Paralelograma laukums ir vienāds ar tā divu blakus esošo malu un leņķa sinusa reizinājumu starp tām
3. Paralelograma laukums ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājuma

Problēmas paralelograma laukuma atrašanai

Risinājums.
Par BK apzīmēsim paralelograma ABCD mazāko augstumu, kas pazemināts no punkta B uz lielāko bāzi AD.
Atrodi taisnleņķa trijstūra ABK kājas vērtību, ko veido mazāks augstums, mazāka mala un lielāka pamatnes daļa. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82–81
AK=1

Pagarināsim paralelograma BC augšējo pamatni un nolaidīsim uz tā augstumu AN no apakšējās pamatnes. AN = BK kā taisnstūra ANBK malas. Iegūtajā taisnleņķa trijstūrī ANC atrodam kāju NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225–81
NC2 = √144
NC = 12

Tagad atradīsim paralelograma ABCD lielāko bāzi BC.
BC=NC-NB
Mēs ņemam vērā, ka NB = AK kā taisnstūra malas, tad
BC=12 - 1=11

Paralelograma laukums ir vienāds ar pamatnes reizinājumu un augstumu līdz šai pamatnei.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Atbilde: 99 cm2.

Uzdevums

Risinājums.
Nometīsim vēl vienu perpendikulāru DK uz diagonāles AC.
Attiecīgi trijstūri AOB un DKC, COB un AKD ir pa pāriem kongruenti. Viena no malām ir paralelograma pretējā puse, viens no leņķiem ir taisns, jo tas ir perpendikulārs diagonālei, un viens no pārējiem leņķiem ir iekšējais krusts, kas atrodas paralelograma paralēlajām malām un nogriezni. no diagonāles.

Tādējādi paralelograma laukums ir vienāds ar norādīto trīsstūru laukumu. Tas ir
Sparal = 2S AOB + 2S BOC

Taisnstūra trīsstūra laukums ir puse no kāju reizinājuma. Kur
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Atbilde: 56 cm2.

Videokursā "Iegūsti A" iekļautas visas matemātikas eksāmena sekmīgai nokārtošanai par 60-65 punktiem nepieciešamās tēmas. Pilnīgi visi profila uzdevumi 1-13 USE matemātikā. Piemērots arī matemātikas pamata USE nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Eksāmena ātrie risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risināšanai, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstīšana. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Eksāmena 2.daļas sarežģītu uzdevumu risināšanas bāze.

Tāpat kā Eiklīda ģeometrijā punkts un taisne ir galvenie plakņu teorijas elementi, tātad paralelograms ir viena no galvenajām izliektu četrstūru figūrām. No tā, tāpat kā pavedieni no lodītes, izplūst jēdzieni "taisnstūris", "kvadrāts", "rombs" un citi ģeometriski lielumi.

Saskarsmē ar

Paralelograma definīcija

izliekts četrstūris, kas sastāv no segmentiem, kuru katrs pāris ir paralēls, ģeometrijā ir pazīstams kā paralelograms.

Kā izskatās klasiskais paralelograms, ir četrstūris ABCD. Malas sauc par pamatiem (AB, BC, CD un AD), perpendikulu, kas novilkts no jebkuras virsotnes uz šīs virsotnes pretējo pusi, sauc par augstumu (BE un BF), taisnes AC un BD ir diagonāles.

Uzmanību! Kvadrāts, rombs un taisnstūris ir īpaši paralelograma gadījumi.

Malas un leņķi: attiecību īpašības

Galvenās īpašības kopumā ko iepriekš nosaka pats apzīmējums, tos pierāda ar teorēmu. Šīs īpašības ir šādas:

1. Puses, kas atrodas pretējās, ir identiskas pa pāriem.
2. Leņķi, kas ir pretēji viens otram, ir vienādi pa pāriem.

Pierādījums: aplūkosim ∆ABC un ∆ADC, kas iegūti, dalot četrstūri ABCD ar taisni AC. ∠BCA=∠CAD un ∠BAC=∠ACD, jo AC tiem ir kopīgs (vertikālie leņķi attiecīgi BC||AD un AB||CD). No tā izriet: ∆ABC = ∆ADC (otrais trīsstūru vienādības kritērijs).

Segmenti AB un BC ∆ABC atbilst pa pāriem līnijām CD un AD ∆ADC, kas nozīmē, ka tie ir identiski: AB = CD, BC = AD. Tādējādi ∠B atbilst ∠D un tie ir vienādi. Tā kā ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kas arī ir identiski pa pāriem, tad ∠A = ∠C. Īpašums ir pierādīts.

Figūras diagonāļu raksturojums

Galvenā iezīmešīs paralelogramu taisnes: krustošanās punkts sadala tās uz pusēm.

Pierādījums: lai m E ir figūras ABCD diagonāļu AC un BD krustpunkts. Tie veido divus samērīgus trīsstūrus - ∆ABE un ∆CDE.

AB = CD, jo tie ir pretēji. Saskaņā ar līnijām un sekantiem ∠ABE = ∠CDE un ∠BAE = ∠DCE.

Saskaņā ar otro vienlīdzības zīmi ∆ABE = ∆CDE. Tas nozīmē, ka elementi ∆ABE un ∆CDE ir: AE = CE, BE = DE un turklāt tie ir samērīgas AC un BD daļas. Īpašums ir pierādīts.

Blakus esošo stūru iezīmes

Blakus esošajās malās leņķu summa ir 180°, jo tie atrodas tajā pašā pusē paralēlajām līnijām un sekantam. Četrstūrim ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektoru īpašības:

1. , nomesti uz vienu pusi, ir perpendikulāri;
2. pretējām virsotnēm ir paralēlas bisektrise;
3. trijstūris, kas iegūts, zīmējot bisektrisi, būs vienādsānu.

Paralelograma raksturīgo pazīmju noteikšana pēc teorēmas

Šī attēla iezīmes izriet no tā galvenās teorēmas, kas skan šādi: četrstūris tiek uzskatīts par paralelogramu gadījumā, ja tā diagonāles krustojas, un šis punkts sadala tās vienādos segmentos.

Pierādījums: Ļaujiet četrstūra ABCD taisnēm AC un BD krustoties t. E. Tā kā ∠AED = ∠BEC un AE+CE=AC BE+DE=BD, tad ∆AED = ∆BEC (ar pirmo trīsstūru vienādības zīmi). Tas ir, ∠EAD = ∠ECB. Tie ir arī iekšējie šķērsgriezuma AC šķērsošanas leņķi līnijām AD un BC. Tādējādi pēc paralēlisma definīcijas - AD || BC. Līdzīga īpašība ir arī līniju BC un CD. Teorēma ir pierādīta.

Figūras laukuma aprēķināšana

Šīs figūras laukums atrodami vairākos veidos viens no vienkāršākajiem: reizināt augstumu un pamatni, uz kuru tas ir novilkts.

Pierādījums: No virsotnēm B un C uzzīmējiet perpendikulus BE un CF. ∆ABE un ∆DCF ir vienādi, jo AB = CD un BE = CF. ABCD ir vienāds ar taisnstūri EBCF, jo tie sastāv arī no proporcionāliem skaitļiem: S ABE un S EBCD, kā arī S DCF un S EBCD. No tā izriet, ka šīs ģeometriskās figūras laukums ir tāds pats kā taisnstūra laukums:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Lai noteiktu paralelograma laukuma vispārējo formulu, mēs apzīmējam augstumu kā hb, un sānu b. Attiecīgi:

Citi veidi, kā atrast apgabalu

Platības aprēķini caur paralelograma malām un leņķi, ko tie veido, ir otrā zināmā metode.

,

Spr-ma - platība;

a un b ir tās malas

α - leņķis starp segmentiem a un b.

Šī metode praktiski balstās uz pirmo, bet gadījumā, ja tā nav zināma. vienmēr nogriež taisnleņķa trīsstūri, kura parametrus nosaka trigonometriskās identitātes, t.i. Pārveidojot attiecību, mēs iegūstam . Pirmās metodes vienādojumā mēs aizvietojam augstumu ar šo produktu un iegūstam šīs formulas derīguma pierādījumu.

Caur paralelograma diagonālēm un leņķi, ko tie rada, kad tie krustojas, varat arī atrast apgabalu.

Pierādījums: AC un BD, kas krustojas, veido četrus trīsstūrus: ABE, BEC, CDE un AED. To summa ir vienāda ar šī četrstūra laukumu.

Katra no šīm ∆ laukumu var atrast izteiksmē , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Tā kā , tad aprēķinos tiek izmantota viena sinusa vērtība. Tas ir . Tā kā AE+CE=AC= d 1 un BE+DE=BD= d 2 , laukuma formula samazinās līdz:

.

Pielietojums vektoru algebrā

Šī četrstūra veidojošo daļu iezīmes ir atradušas pielietojumu vektoru algebrā, proti: divu vektoru pievienošana. Paralelograma noteikums nosaka, ka ja doti vektoriunnēir kolineāri, tad to summa būs vienāda ar šī skaitļa diagonāli, kuras bāzes atbilst šiem vektoriem.

Pierādījums: no patvaļīgi izvēlēta sākuma - tas ir. - mēs veidojam vektorus un . Tālāk mēs veidojam paralelogramu OASV, kur segmenti OA un OB ir malas. Tādējādi OS atrodas uz vektora vai summas.

Formulas paralelograma parametru aprēķināšanai

Identitātes tiek norādītas ar šādiem nosacījumiem:

1. a un b, α - malas un leņķis starp tām;
2. d 1 un d 2 , γ - diagonāles un to krustpunktā;
3. h a un h b - augstumi nolaisti uz a un b malām;

Parametrs	Formula
Pušu atrašana
pa diagonālēm un starp tām esošā leņķa kosinusu
pa diagonāli un uz sāniem
caur augstumu un pretējo virsotni
Diagonāļu garuma atrašana
sānos un augšdaļas izmēru starp tām