Atrisiniet ar Kramera metodi tiešsaistē, izmantojot detalizētu risinājumu. Lineārie vienādojumi. Lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana. Krāmera metode. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas
Lai apgūtu šo rindkopu, jums ir jāspēj atvērt kvalifikācijas "divreiz divi" un "trīs pa trīs". Ja kvalifikācijas rādītāji ir slikti, lūdzu, izpētiet nodarbību Kā aprēķināt determinantu?
Vispirms mēs detalizēti aplūkojam Krāmera likumu divu lineāru vienādojumu sistēmai divos nezināmajos. Priekš kam? “Galu galā visvienkāršāko sistēmu var atrisināt ar skolas metodi, saskaitot pa semestriem!
Fakts ir tāds, ka pat ja dažreiz, bet ir šāds uzdevums - atrisināt divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem, izmantojot Krāmera formulas. Otrkārt, vienkāršāks piemērs palīdzēs saprast, kā izmantot Kremera likumu sarežģītākam gadījumam – trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem.
Turklāt ir lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem, kuras vēlams atrisināt precīzi pēc Krāmera likuma!
Apsveriet vienādojumu sistēmu
Pirmajā solī mēs aprēķinām determinantu , to sauc galvenais sistēmas noteicējs.
Gausa metode.
Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums, un, lai atrastu saknes, ir jāaprēķina vēl divi noteicošie faktori:
un
Praksē iepriekš minētos apzīmētājus var apzīmēt arī ar latīņu burtu.
Vienādojuma saknes atrod pēc formulām:
,
7. piemērs
Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu 
Lēmums: Mēs redzam, ka vienādojuma koeficienti ir diezgan lieli, labajā pusē ir decimāldaļas ar komatu. Praktiskajos matemātikas uzdevumos komats ir diezgan rets viesis, es šo sistēmu pārņēmu no ekonometriskās problēmas.
Kā atrisināt šādu sistēmu? Varat mēģināt izteikt vienu mainīgo ar citu, taču šajā gadījumā jūs noteikti iegūsit šausmīgas izdomātas frakcijas, ar kurām strādāt ir ārkārtīgi neērti, un risinājuma dizains izskatīsies vienkārši šausmīgi. Jūs varat reizināt otro vienādojumu ar 6 un atņemt terminu no vārda, taču šeit parādīsies tās pašas daļas.
Ko darīt? Šādos gadījumos palīgā nāk Kremera formulas.
;
;
Atbilde: ,
Abām saknēm ir bezgalīgas astes, un tās tiek atrastas aptuveni, kas ir diezgan pieņemami (un pat ikdienišķi) ekonometrijas problēmām.
Komentāri šeit nav nepieciešami, jo uzdevums tiek atrisināts pēc gatavām formulām, tomēr ir viens brīdinājums. Lietojot šo metodi, obligāti Uzdevuma fragments ir šāds fragments: "tātad sistēmai ir unikāls risinājums". Pretējā gadījumā recenzents var jūs sodīt par Krāmera teorēmas neievērošanu.
Nebūs lieki pārbaudīt, ko ir ērti veikt ar kalkulatoru: katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē mēs aizstājam aptuvenās vērtības. Rezultātā ar nelielu kļūdu jāiegūst skaitļi, kas atrodas labajā pusē.
8. piemērs
Izsakiet savu atbildi parastās nepareizās daļskaitļos. Veikt pārbaudi.
Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam (smalka dizaina piemērs un atbilde nodarbības beigās).
Mēs pievēršamies Krāmera likuma izskatīšanai trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem: 
Mēs atrodam galveno sistēmas noteicēju: 
Ja , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa (nav risinājumu). Šajā gadījumā Kremera noteikums nepalīdzēs, jums jāizmanto Gausa metode.
Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums, un, lai atrastu saknes, ir jāaprēķina vēl trīs noteicošie faktori: 
, 
, 
Visbeidzot, atbilde tiek aprēķināta pēc formulām: 
Kā redzat, gadījums “trīs pa trīs” būtībā neatšķiras no gadījuma “divi pa divi”, brīvo terminu kolonna secīgi “iet” no kreisās puses uz labo pa galvenā determinanta kolonnām.
9. piemērs
Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. 
Lēmums: Atrisināsim sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. 
, tāpēc sistēmai ir unikāls risinājums.
Atbilde: 
.
Patiesībā šeit atkal nav ko īpaši komentēt, ņemot vērā to, ka lēmums tiek pieņemts pēc gatavām formulām. Bet ir pāris piezīmes.
Gadās, ka aprēķinu rezultātā tiek iegūtas “sliktās” nereducējamās daļas, piemēram: .
Es iesaku šādu "ārstēšanas" algoritmu. Ja pie rokas nav datora, rīkojamies šādi:
1) Aprēķinos var būt kļūda. Tiklīdz jūs saskaraties ar "sliktu" šāvienu, jums nekavējoties jāpārbauda, vai vai nosacījums ir pārrakstīts pareizi. Ja nosacījums tiek pārrakstīts bez kļūdām, tad determinanti ir jāpārrēķina, izmantojot izvērsumu citā rindā (kolonnā).
2) Ja pārbaudes rezultātā kļūdas netika atrastas, tad visticamāk, ka uzdevuma stāvoklī tika pieļauta drukas kļūda. Šajā gadījumā mierīgi un UZMANĪGI atrisiniet uzdevumu līdz galam, un tad noteikti pārbaudiet un sastādīt to tīrā eksemplārā pēc lēmuma pieņemšanas. Protams, daļējas atbildes pārbaude ir nepatīkams uzdevums, taču tas būs atbruņojošs arguments skolotājam, kuram, nu, ļoti patīk ielikt mīnusu par jebkuru sliktu lietu, piemēram. Kā rīkoties ar daļskaitļiem, sīkāk aprakstīts 8. piemēra atbildē.
Ja pie rokas ir dators, tad tā pārbaudei izmantojiet automatizētu programmu, kuru var bez maksas lejupielādēt jau pašā nodarbības sākumā. Starp citu, programmu visizdevīgāk ir izmantot uzreiz (pat pirms risinājuma palaišanas), uzreiz redzēsiet starpposmu, kurā kļūdījāties! Tas pats kalkulators automātiski aprēķina sistēmas risinājumu, izmantojot matricas metodi.
Otrā piezīme. Ik pa laikam ir sistēmas, kuru vienādojumos trūkst dažu mainīgo, piemēram: 
Šeit pirmajā vienādojumā nav mainīgā, otrajā nav mainīgā. Šādos gadījumos ir ļoti svarīgi pareizi un UZMANĪGI pierakstīt galveno noteicošo: 
– trūkstošo mainīgo vietā tiek liktas nulles.
Starp citu, ir racionāli atvērt determinantus ar nullēm rindā (kolonnā), kurā atrodas nulle, jo ir ievērojami mazāk aprēķinu.
10. piemērs
Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. 
Šis ir piemērs pašrisināšanai (pabeigšanas paraugs un atbilde nodarbības beigās).
4 vienādojumu sistēmai ar 4 nezināmajiem Krāmera formulas tiek rakstītas pēc līdzīgiem principiem. Jūs varat redzēt dzīvu piemēru nodarbībā Determinant Properties. Samazinot determinanta secību - pieci 4.kārtas determinanti ir diezgan atrisināmi. Lai gan uzdevums jau ļoti atgādina profesora kurpi uz laimīgā studenta krūtīm.
Sistēmas risinājums, izmantojot apgriezto matricu
Apgrieztās matricas metode būtībā ir īpašs gadījums matricas vienādojums(Skatīt norādītās nodarbības piemēru Nr. 3).
Lai izpētītu šo sadaļu, ir jāspēj paplašināt determinanti, atrast apgriezto matricu un veikt matricas reizināšanu. Attiecīgās saites tiks sniegtas skaidrojuma gaitā.
11. piemērs
Atrisiniet sistēmu ar matricas metodi
Lēmums: Mēs rakstām sistēmu matricas formā:
, kur 
Lūdzu, apskatiet vienādojumu sistēmu un matricas. Pēc kāda principa mēs rakstām elementus matricās, es domāju, ka visi saprot. Vienīgais komentārs: ja vienādojumos trūktu daži mainīgie, tad matricā attiecīgajās vietās būtu jāliek nulles.
Mēs atrodam apgriezto matricu pēc formulas:
, kur ir transponētā matricas atbilstošo elementu algebrisko komplementu matrica.
Pirmkārt, tiksim galā ar noteicošo faktoru:
Šeit determinants tiek paplašināts ar pirmo rindiņu.
Uzmanību! Ja , tad apgrieztā matrica neeksistē, un sistēmu nav iespējams atrisināt ar matricas metodi. Šajā gadījumā sistēma tiek atrisināta ar nezināmo novēršanu (Gausa metode).
Tagad jums ir jāaprēķina 9 nepilngadīgie un jāieraksta tie nepilngadīgo matricā 
Atsauce: Lineārajā algebrā ir noderīgi zināt dubulto indeksu nozīmi. Pirmais cipars ir rindas numurs, kurā atrodas elements. Otrais cipars ir kolonnas numurs, kurā atrodas elements: 
Tas ir, dubultais apakšindekss norāda, ka elements atrodas pirmajā rindā, trešajā kolonnā, bet, piemēram, elements atrodas 3. rindā, 2. kolonnā.
Risināšanas gaitā labāk ir detalizēti aprakstīt nepilngadīgo aprēķinu, lai gan ar zināmu pieredzi tos var pielāgot, lai skaitītu ar kļūdām mutiski.
Pirmajā daļā mēs apskatījām dažus teorētiskos materiālus, aizstāšanas metodi, kā arī sistēmu vienādojumu saskaitīšanas metodi. Visiem, kas ieradās vietnē caur šo lapu, iesaku izlasīt pirmo daļu. Iespējams, dažiem apmeklētājiem materiāls šķitīs pārāk vienkāršs, taču lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas gaitā izteicu vairākas ļoti svarīgas piezīmes un secinājumus par matemātisko uzdevumu risināšanu kopumā.
Un tagad mēs analizēsim Krāmera likumu, kā arī lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu, izmantojot apgriezto matricu (matricas metodi). Visi materiāli ir sniegti vienkārši, detalizēti un skaidri, gandrīz visi lasītāji varēs uzzināt, kā atrisināt sistēmas, izmantojot iepriekš minētās metodes.
Vispirms mēs detalizēti aplūkojam Krāmera likumu divu lineāru vienādojumu sistēmai divos nezināmajos. Priekš kam? “Galu galā visvienkāršāko sistēmu var atrisināt ar skolas metodi, saskaitot pa semestriem!
Fakts ir tāds, ka pat ja dažreiz, bet ir šāds uzdevums - atrisināt divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem, izmantojot Krāmera formulas. Otrkārt, vienkāršāks piemērs palīdzēs saprast, kā izmantot Kremera likumu sarežģītākam gadījumam – trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem.
Turklāt ir lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem, kuras vēlams atrisināt precīzi pēc Krāmera likuma!
Apsveriet vienādojumu sistēmu
Pirmajā solī mēs aprēķinām determinantu , to sauc galvenais sistēmas noteicējs.
Gausa metode.
Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums, un, lai atrastu saknes, ir jāaprēķina vēl divi noteicošie faktori:
un
Praksē iepriekš minētos apzīmētājus var apzīmēt arī ar latīņu burtu.
Vienādojuma saknes atrod pēc formulām:
,
7. piemērs
Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu 
Lēmums: Mēs redzam, ka vienādojuma koeficienti ir diezgan lieli, labajā pusē ir decimāldaļas ar komatu. Praktiskajos matemātikas uzdevumos komats ir diezgan rets viesis, es šo sistēmu pārņēmu no ekonometriskās problēmas.
Kā atrisināt šādu sistēmu? Varat mēģināt izteikt vienu mainīgo ar citu, taču šajā gadījumā jūs noteikti iegūsit šausmīgas izdomātas frakcijas, ar kurām strādāt ir ārkārtīgi neērti, un risinājuma dizains izskatīsies vienkārši šausmīgi. Jūs varat reizināt otro vienādojumu ar 6 un atņemt terminu no vārda, taču šeit parādīsies tās pašas daļas.
Ko darīt? Šādos gadījumos palīgā nāk Kremera formulas.
;
;
Atbilde: ,
Abām saknēm ir bezgalīgas astes, un tās tiek atrastas aptuveni, kas ir diezgan pieņemami (un pat ikdienišķi) ekonometrijas problēmām.
Komentāri šeit nav nepieciešami, jo uzdevums tiek atrisināts pēc gatavām formulām, tomēr ir viens brīdinājums. Lietojot šo metodi, obligāti Uzdevuma fragments ir šāds fragments: "tātad sistēmai ir unikāls risinājums". Pretējā gadījumā recenzents var jūs sodīt par Krāmera teorēmas neievērošanu.
Nebūs lieki pārbaudīt, ko ir ērti veikt ar kalkulatoru: katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē mēs aizstājam aptuvenās vērtības. Rezultātā ar nelielu kļūdu jāiegūst skaitļi, kas atrodas labajā pusē.
8. piemērs
Izsakiet savu atbildi parastās nepareizās daļskaitļos. Veikt pārbaudi.
Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam (smalka dizaina piemērs un atbilde nodarbības beigās).
Mēs pievēršamies Krāmera likuma izskatīšanai trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem:
Mēs atrodam galveno sistēmas noteicēju:
Ja , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa (nav risinājumu). Šajā gadījumā Kremera noteikums nepalīdzēs, jums jāizmanto Gausa metode.
Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums, un, lai atrastu saknes, ir jāaprēķina vēl trīs noteicošie faktori: 
, 
, 
Visbeidzot, atbilde tiek aprēķināta pēc formulām: 
Kā redzat, gadījums “trīs pa trīs” būtībā neatšķiras no gadījuma “divi pa divi”, brīvo terminu kolonna secīgi “iet” no kreisās puses uz labo pa galvenā determinanta kolonnām.
9. piemērs
Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. 
Lēmums: Atrisināsim sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. 
, tāpēc sistēmai ir unikāls risinājums.
Atbilde: 
.
Patiesībā šeit atkal nav ko īpaši komentēt, ņemot vērā to, ka lēmums tiek pieņemts pēc gatavām formulām. Bet ir pāris piezīmes.
Gadās, ka aprēķinu rezultātā tiek iegūtas “sliktās” nereducējamās daļas, piemēram: .
Es iesaku šādu "ārstēšanas" algoritmu. Ja pie rokas nav datora, rīkojamies šādi:
1) Aprēķinos var būt kļūda. Tiklīdz jūs saskaraties ar "sliktu" šāvienu, jums nekavējoties jāpārbauda, vai vai nosacījums ir pārrakstīts pareizi. Ja nosacījums tiek pārrakstīts bez kļūdām, tad determinanti ir jāpārrēķina, izmantojot izvērsumu citā rindā (kolonnā).
2) Ja pārbaudes rezultātā kļūdas netika atrastas, tad visticamāk, ka uzdevuma stāvoklī tika pieļauta drukas kļūda. Šajā gadījumā mierīgi un UZMANĪGI atrisiniet uzdevumu līdz galam, un tad noteikti pārbaudiet un sastādīt to tīrā eksemplārā pēc lēmuma pieņemšanas. Protams, daļējas atbildes pārbaude ir nepatīkams uzdevums, taču tas būs atbruņojošs arguments skolotājam, kuram, nu, ļoti patīk ielikt mīnusu par jebkuru sliktu lietu, piemēram. Kā rīkoties ar daļskaitļiem, sīkāk aprakstīts 8. piemēra atbildē.
Ja pie rokas ir dators, tad tā pārbaudei izmantojiet automatizētu programmu, kuru var bez maksas lejupielādēt jau pašā nodarbības sākumā. Starp citu, programmu visizdevīgāk ir izmantot uzreiz (pat pirms risinājuma palaišanas), uzreiz redzēsiet starpposmu, kurā kļūdījāties! Tas pats kalkulators automātiski aprēķina sistēmas risinājumu, izmantojot matricas metodi.
Otrā piezīme. Ik pa laikam ir sistēmas, kuru vienādojumos trūkst dažu mainīgo, piemēram: 
Šeit pirmajā vienādojumā nav mainīgā, otrajā nav mainīgā. Šādos gadījumos ir ļoti svarīgi pareizi un UZMANĪGI pierakstīt galveno noteicošo: – trūkstošo mainīgo vietā tiek liktas nulles.
Starp citu, ir racionāli atvērt determinantus ar nullēm rindā (kolonnā), kurā atrodas nulle, jo ir ievērojami mazāk aprēķinu.
10. piemērs
Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. 
Šis ir piemērs pašrisināšanai (pabeigšanas paraugs un atbilde nodarbības beigās).
4 vienādojumu sistēmai ar 4 nezināmajiem Krāmera formulas tiek rakstītas pēc līdzīgiem principiem. Jūs varat redzēt dzīvu piemēru nodarbībā Determinant Properties. Samazinot determinanta secību - pieci 4.kārtas determinanti ir diezgan atrisināmi. Lai gan uzdevums jau ļoti atgādina profesora kurpi uz laimīgā studenta krūtīm.
Sistēmas risinājums, izmantojot apgriezto matricu
Apgrieztās matricas metode būtībā ir īpašs gadījums matricas vienādojums(Skatīt norādītās nodarbības piemēru Nr. 3).
Lai izpētītu šo sadaļu, ir jāspēj paplašināt determinanti, atrast apgriezto matricu un veikt matricas reizināšanu. Attiecīgās saites tiks sniegtas skaidrojuma gaitā.
11. piemērs
Atrisiniet sistēmu ar matricas metodi 
Lēmums: Mēs rakstām sistēmu matricas formā:
, kur
Lūdzu, apskatiet vienādojumu sistēmu un matricas. Pēc kāda principa mēs rakstām elementus matricās, es domāju, ka visi saprot. Vienīgais komentārs: ja vienādojumos trūktu daži mainīgie, tad matricā attiecīgajās vietās būtu jāliek nulles.
Mēs atrodam apgriezto matricu pēc formulas:
, kur ir transponētā matricas atbilstošo elementu algebrisko komplementu matrica.
Pirmkārt, tiksim galā ar noteicošo faktoru:
Šeit determinants tiek paplašināts ar pirmo rindiņu.
Uzmanību! Ja , tad apgrieztā matrica neeksistē, un sistēmu nav iespējams atrisināt ar matricas metodi. Šajā gadījumā sistēma tiek atrisināta ar nezināmo novēršanu (Gausa metode).
Tagad jums ir jāaprēķina 9 nepilngadīgie un jāieraksta tie nepilngadīgo matricā
Atsauce: Lineārajā algebrā ir noderīgi zināt dubulto indeksu nozīmi. Pirmais cipars ir rindas numurs, kurā atrodas elements. Otrais cipars ir kolonnas numurs, kurā atrodas elements:
Tas ir, dubultais apakšindekss norāda, ka elements atrodas pirmajā rindā, trešajā kolonnā, bet, piemēram, elements atrodas 3. rindā, 2. kolonnā.
Gabriels Krāmers - Šveices matemātiķis, Johana Bernulli students un draugs, viens no lineārās algebras pamatlicējiem. Kremers uzskatīja patvaļīga skaita lineāru vienādojumu sistēmu ar kvadrātveida matricu. Sistēmas risinājumu viņš prezentēja daļskaitļu kolonnas veidā ar kopsaucēju – matricas determinantu. Krāmera metodes pamatā ir determinantu izmantošana lineāro vienādojumu sistēmu risināšanā, kas var būtiski paātrināt atrisināšanas procesu. Šo metodi var izmantot, risinot sistēmu, kurā ir tik daudz lineāru vienādojumu, cik katrā vienādojumā ir nezināmo. Galvenais, lai sistēmas determinants nebūtu vienāds ar "0", tad risinājumā var izmantot Cramer metodi, ja "0" - šo metodi nevar izmantot. Šo metodi var izmantot arī lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai ar unikālu risinājumu.
Krāmera teorēma. Ja sistēmas determinants nav nulle, tad lineāro vienādojumu sistēmai ir viens risinājums, un nezināmais ir vienāds ar determinantu attiecību. Saucējs satur sistēmas determinantu, bet skaitītājs satur determinantu, kas iegūts no sistēmas determinanta, aizstājot koeficientus ar nezināmo ar brīvajiem vārdiem. Šī teorēma attiecas uz jebkuras kārtas lineāro vienādojumu sistēmu.
Pieņemsim, ka mums tiek piešķirts šāds SLAE:
\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrix)\right.\]
Saskaņā ar Krāmera teorēmu mēs iegūstam:
Atbilde: \
Kur es varu atrisināt vienādojumu ar Krāmera metodi, izmantojot tiešsaistes risinātāju?
Jūs varat atrisināt vienādojumu mūsu vietnē https: //. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumu. Viss, kas jums jādara, ir tikai ievadīt savus datus risinātājā. Varat arī noskatīties video instrukciju un uzzināt, kā atrisināt vienādojumu mūsu vietnē. Un, ja jums ir kādi jautājumi, varat tos uzdot mūsu Vkontakte grupā http://vk.com/pocketteacher. Pievienojieties mūsu grupai, mēs vienmēr esam priecīgi jums palīdzēt.
Lai lineāro vienādojumu sistēmā ir tik daudz vienādojumu, cik neatkarīgo mainīgo, t.i. ir forma
Šādas lineāro vienādojumu sistēmas sauc par kvadrātvienādojumu. Determinantu, kas sastāv no sistēmas neatkarīgo mainīgo koeficientiem (1.5), sauc par sistēmas galveno determinantu. Mēs to apzīmēsim ar grieķu burtu D. Tādējādi,
. (1.6)
Ja galvenajā determinantā ir patvaļīgs ( j th) kolonnu, aizstājiet to ar sistēmas brīvo dalībnieku kolonnu (1.5), tad mēs varam iegūt vairāk n palīgdeterminanti:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Krāmera noteikums Lineāro vienādojumu kvadrātisko sistēmu atrisināšana ir šāda. Ja sistēmas (1.5) galvenais determinants D nav nulle, tad sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast pēc formulām:
(1.8)
Piemērs 1.5. Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot Krāmera metodi
.
Aprēķināsim sistēmas galveno noteicēju:
Kopš D¹0 sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast, izmantojot formulas (1.8):
Tādējādi
Matricas darbības
1. Matricas reizināšana ar skaitli. Matricas reizināšanas ar skaitli darbība ir definēta šādi.
2. Lai matricu reizinātu ar skaitli, visi tās elementi jāreizina ar šo skaitli. T.i
. (1.9)
Piemērs 1.6. 
.
Matricas pievienošana.
Šī darbība tiek ieviesta tikai tādas pašas kārtas matricām.
Lai pievienotu divas matricas, vienas matricas elementiem jāpievieno attiecīgie otras matricas elementi:
(1.10)
Matricas pievienošanas darbībai ir asociativitātes un komutativitātes īpašības.
Piemērs 1.7. 
.
Matricas reizināšana.
Ja matricas kolonnu skaits BET atbilst matricas rindu skaitam AT, tad šādām matricām tiek ieviesta reizināšanas darbība:
2 
Tādējādi, reizinot matricu BET izmēriem m´ n uz matricu AT izmēriem n´ k mēs iegūstam matricu Ar izmēriem m´ k. Šajā gadījumā matricas elementi Ar tiek aprēķināti pēc šādām formulām:
Problēma 1.8. Ja iespējams, atrodiet matricu reizinājumu AB un ba:
Lēmums. 1) Atrast darbu AB, jums ir nepieciešamas matricas rindas A reizināt ar matricas kolonnām B:
2) Mākslas darbs ba neeksistē, jo matricas kolonnu skaits B neatbilst matricas rindu skaitam A.
Apgrieztā matrica. Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana matricas veidā
Matrica A- 1 sauc par kvadrātveida matricas apgriezto BET ja vienlīdzība ir spēkā:
kur cauri es apzīmē identitātes matricu tādā pašā secībā kā matrica BET:
.
Lai kvadrātveida matricai būtu apgrieztā vērtība, ir nepieciešams un pietiekami, lai tās determinants nebūtu nulle. Apgrieztā matrica tiek atrasta pēc formulas:
, (1.13)
kur A ij- elementu algebriskie papildinājumi aij matricas BET(Ņemiet vērā, ka matricas rindu algebriskie papildinājumi BET ir sakārtoti apgrieztajā matricā atbilstošu kolonnu veidā).
Piemērs 1.9. Atrodi apgriezto matricu A- 1 uz matricu
.
Mēs atrodam apgriezto matricu pēc formulas (1.13), kas gadījumam n= 3 izskatās šādi:
.
Atradīsim det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Tā kā sākotnējās matricas determinants atšķiras no nulles, tad pastāv apgrieztā matrica.
1) Atrodiet algebriskos papildinājumus A ij:
Apgrieztās matricas atrašanas ērtībai mēs ievietojām algebriskos papildinājumus sākotnējās matricas rindās attiecīgajās kolonnās.
No iegūtajiem algebriskajiem saskaitījumiem sastādām jaunu matricu un sadalām ar determinantu det A. Tādējādi mēs iegūsim apgriezto matricu:
Lineāro vienādojumu kvadrātiskās sistēmas ar galveno determinantu, kas nav nulle, var atrisināt, izmantojot apgriezto matricu. Šim nolūkam sistēma (1.5) tiek uzrakstīta matricas formā:
kur 
Reizinot abas vienādības puses (1,14) kreisajā pusē ar A- 1, mēs iegūstam sistēmas risinājumu:
, kur
Tādējādi, lai atrastu kvadrātveida sistēmas risinājumu, jāatrod sistēmas galvenās matricas apgrieztā matrica un jāreizina tā labajā pusē ar brīvo terminu kolonnas matricu.
Problēma 1.10. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu
izmantojot apgriezto matricu.
Lēmums. Mēs rakstām sistēmu matricas formā: ,
kur 
ir sistēmas galvenā matrica, nezināmo kolonna un brīvo dalībnieku kolonna. Tā kā sistēmas galvenais noteicējs 
, tad sistēmas galvenā matrica BET ir apgriezta matrica BET- viens. Lai atrastu apgriezto matricu BET-1 , aprēķina algebriskos papildinājumus visiem matricas elementiem BET:
No iegūtajiem skaitļiem sastādām matricu (turklāt algebriskus papildinājumus matricas rindām BET ierakstiet attiecīgajās kolonnās) un sadaliet to ar determinantu D. Tādējādi esam atraduši apgriezto matricu:
Sistēmas risinājumu atrod pēc formulas (1.15):
Tādējādi
Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar parastajiem Jordānijas izņēmumiem
Dota patvaļīga (ne vienmēr kvadrātveida) lineāro vienādojumu sistēma:
(1.16)
Nepieciešams rast sistēmas risinājumu, t.i. tāda mainīgo kopa, kas apmierina visas sistēmas (1.16) vienādības. Vispārīgā gadījumā sistēmai (1.16) var būt ne tikai viens risinājums, bet arī bezgalīgs skaits atrisinājumu. Tam var arī nebūt risinājumu.
Risinot šādas problēmas, tiek izmantota labi zināmā nezināmo izslēgšanas metode no skolas kursa, ko sauc arī par parasto Jordānijas izslēgšanas metodi. Šīs metodes būtība slēpjas apstāklī, ka vienā no sistēmas (1.16) vienādojumiem viens no mainīgajiem ir izteikts citu mainīgo izteiksmē. Tad šis mainīgais tiek aizstāts ar citiem sistēmas vienādojumiem. Rezultāts ir sistēma, kas satur vienu vienādojumu un vienu mazāku mainīgo nekā sākotnējā sistēma. Tiek atcerēts vienādojums, no kura tika izteikts mainīgais.
Šo procesu atkārto, līdz sistēmā paliek pēdējais vienādojums. Nezināmo izslēgšanas procesā daži vienādojumi var pārvērsties, piemēram, patiesās identitātēs. Šādi vienādojumi tiek izslēgti no sistēmas, jo tie ir derīgi jebkurai mainīgo vērtībai un tāpēc neietekmē sistēmas risinājumu. Ja nezināmo izslēgšanas procesā vismaz viens vienādojums kļūst par vienādību, kuru nevar izpildīt nevienai mainīgo vērtībai (piemēram, ), tad secinām, ka sistēmai nav risinājuma.
Ja risināšanas gaitā nekonsekventi vienādojumi neradās, tad viens no tajā atlikušajiem mainīgajiem tiek atrasts no pēdējā vienādojuma. Ja pēdējā vienādojumā paliek tikai viens mainīgais, tad to izsaka kā skaitli. Ja citi mainīgie paliek pēdējā vienādojumā, tad tos uzskata par parametriem, un caur tiem izteiktais mainīgais būs šo parametru funkcija. Pēc tam tiek veikta tā sauktā "apgrieztā kustība". Atrastais mainīgais tiek aizstāts ar pēdējo iegaumēto vienādojumu un tiek atrasts otrais mainīgais. Tad divi atrastie mainīgie tiek aizstāti ar priekšpēdējo iegaumēto vienādojumu un tiek atrasts trešais mainīgais un tā tālāk, līdz pirmajam iegaumētajam vienādojumam.
Rezultātā mēs iegūstam sistēmas risinājumu. Šis risinājums būs vienīgais, ja atrastie mainīgie ir skaitļi. Ja pirmais atrastais mainīgais un pēc tam visi pārējie ir atkarīgi no parametriem, tad sistēmai būs bezgalīgi daudz risinājumu (katra parametru kopa atbilst jaunam risinājumam). Formulas, kas ļauj atrast sistēmas risinājumu atkarībā no noteiktas parametru kopas, sauc par sistēmas vispārējo risinājumu.
Piemērs 1.11.
x
Pēc pirmā vienādojuma iegaumēšanas 
un ienesot līdzīgus terminus otrajā un trešajā vienādojumā, mēs nonākam pie sistēmas:
Express y no otrā vienādojuma un aizstājiet to ar pirmo vienādojumu:
Atcerieties otro vienādojumu, un no pirmā mēs atrodam z:
Veicot apgriezto kustību, mēs secīgi atrodam y un z. Lai to izdarītu, mēs vispirms aizvietojam ar pēdējo iegaumēto vienādojumu , no kura mēs atrodam y:
.
Pēc tam mēs aizvietojam pirmo iegaumēto vienādojumu no kurienes atrodam x:
Problēma 1.12. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izslēdzot nezināmos:
. (1.17)
Lēmums. Izteiksim mainīgo no pirmā vienādojuma x un aizstājiet to otrajā un trešajā vienādojumā:
.
Atcerieties pirmo vienādojumu 
Šajā sistēmā pirmais un otrais vienādojums ir pretrunā viens otram. Patiešām, izsakot y 
, mēs iegūstam, ka 14 = 17. Šī vienādība nav izpildīta nevienai mainīgo vērtībai x, y, un z. Līdz ar to sistēma (1.17) ir nekonsekventa, t.i., nav risinājuma.
Lasītāji tiek aicināti neatkarīgi pārbaudīt, vai sākotnējās sistēmas galvenais noteicošais faktors (1.17) ir vienāds ar nulli.
Apsveriet sistēmu, kas no sistēmas (1.17) atšķiras tikai ar vienu brīvu terminu.
Problēma 1.13. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izslēdzot nezināmos:
. (1.18)
Lēmums. Tāpat kā iepriekš, mēs izsakām mainīgo no pirmā vienādojuma x un aizstājiet to otrajā un trešajā vienādojumā:
.
Atcerieties pirmo vienādojumu un mēs piedāvājam līdzīgus terminus otrajā un trešajā vienādojumā. Mēs nonākam pie sistēmas:
izsakot y no pirmā vienādojuma un aizstājot to ar otro vienādojumu , mēs iegūstam identitāti 14 = 14, kas neietekmē sistēmas risinājumu, un tāpēc to var izslēgt no sistēmas.
Pēdējā iegaumētajā vienādībā mainīgais z tiks uzskatīts par parametru. Mēs ticam . Tad
Aizstājējs y un z pirmajā iegaumētā vienādībā un atrast x:
.
Tādējādi sistēmai (1.18) ir bezgalīga risinājumu kopa, un jebkuru risinājumu var atrast no formulām (1.19), izvēloties patvaļīgu parametra vērtību t:
(1.19)
Tādējādi sistēmas risinājumi, piemēram, ir šādas mainīgo kopas (1; 2; 0), (2; 26; 14) utt. Formulas (1.19) izsaka sistēmas (1.18) vispārīgo (jebkuru) risinājumu. ).
Gadījumā, ja sākotnējā sistēmā (1.16) ir pietiekami daudz vienādojumu un nezināmo, norādītā parasto Jordānas elimināciju metode šķiet apgrūtinoša. Tomēr tā nav. Pietiek atvasināt algoritmu sistēmas koeficientu pārrēķināšanai vienā solī vispārīgā formā un formalizēt problēmas risinājumu speciālu Džordana tabulu veidā.
Dota lineāro formu (vienādojumu) sistēma:
, (1.20)
kur x j- neatkarīgi (vēlamie) mainīgie, aij- nemainīgi koeficienti
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Sistēmas labās daļas y i (i = 1, 2,…, m) var būt gan mainīgie (atkarīgie), gan konstantes. Šai sistēmai ir jāatrod risinājumi, novēršot nezināmos.
Apskatīsim šādu darbību, kas turpmāk saukta par "vienu no parastajiem Jordānijas izņēmumiem". No patvaļīga ( r th) vienādība, mēs izsakām patvaļīgu mainīgo ( x s) un aizstāt ar visām pārējām vienādībām. Protams, tas ir iespējams tikai tad, ja a rs¹ 0. Koeficients a rs sauc par izšķirošo (dažreiz vadošo vai galveno) elementu.
Mēs iegūsim šādu sistēmu:
. (1.21)
No s sistēmas vienādību (1.21), mēs pēc tam atradīsim mainīgo x s(pēc citu mainīgo atrašanas). S Rinda tiek atcerēta un pēc tam izslēgta no sistēmas. Atlikušajā sistēmā būs viens vienādojums un viens mazāk neatkarīgs mainīgais nekā sākotnējā sistēma.
Aprēķināsim iegūtās sistēmas (1.21) koeficientus sākotnējās sistēmas (1.20) koeficientu izteiksmē. Sāksim ar r vienādojums, kas pēc mainīgā izteikšanas x s pārējie mainīgie izskatīsies šādi:
Tādējādi jaunie koeficienti r vienādojumus aprēķina pēc šādām formulām:
(1.23)
Tagad aprēķināsim jaunos koeficientus b ij(i¹ r) no patvaļīga vienādojuma. Lai to izdarītu, mēs aizstājam mainīgo, kas izteikts ar (1.22) x s iekšā i sistēmas vienādojums (1.20):
Pēc līdzīgu nosacījumu ieviešanas mēs iegūstam:
(1.24)
No vienādības (1.24) iegūstam formulas, pēc kurām aprēķina atlikušos sistēmas (1.21) koeficientus (izņemot r vienādojums):
(1.25)
Lineāro vienādojumu sistēmu transformācija ar parasto Jordānijas elimināciju metodi ir parādīta tabulu (matricu) veidā. Šīs tabulas sauc par "Jordānijas galdiem".
Tādējādi problēma (1.20) ir saistīta ar šādu Jordan tabulu:
1.1. tabula
| x 1 | x 2 | … | x j | … | x s | … | x n | |
| y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | a i 1 | a i 2 | aij | a ir | a iekšā | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | a r 1 | a r 2 | a rj | a rs | a rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| g n= | a m 1 | a m 2 | a mj | a ms | amn |
Jordānijas tabulā 1.1 ir kreisā galvas kolonna, kurā ir ierakstītas sistēmas labās daļas (1.20), un augšējā virsraksta rindiņa, kurā ir ierakstīti neatkarīgie mainīgie.
Pārējie tabulas elementi veido sistēmas (1.20) galveno koeficientu matricu. Ja reizinām matricu BET uz matricu, kas sastāv no augšējās galvenes rindas elementiem, tad iegūstam matricu, kas sastāv no kreisās galvenes kolonnas elementiem. Tas nozīmē, ka būtībā Jordānas tabula ir matricas forma lineāru vienādojumu sistēmas rakstīšanai: . Šajā gadījumā sistēmai (1.21.) atbilst šāda Jordānijas tabula:
1.2. tabula
| x 1 | x 2 | … | x j | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b ir | b iekšā | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | br 1 | br 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | bmj | b ms | bmn |
Atļaujošs elements a rs mēs izcelsim treknrakstā. Atgādiniet, ka, lai ieviestu vienu Jordānijas izņēmumu posmu, atrisināšanas elementam ir jābūt vienādam ar nulli. Tabulas rindu, kurā ir atļauts elements, sauc par pieļaujamo rindu. Kolonnu, kurā ir iespējots elements, sauc par iespējošanas kolonnu. Pārejot no dotās tabulas uz nākamo tabulu, viens mainīgais ( x s) no tabulas augšējās galvenes rindas tiek pārvietota uz kreiso galvenes kolonnu un, gluži pretēji, viens no sistēmas brīvajiem dalībniekiem ( y r) tiek pārvietots no tabulas kreisās galvenes kolonnas uz augšējo galvenes rindu.
Aprakstīsim algoritmu koeficientu pārrēķināšanai, pārejot no Jordānas tabulas (1.1) uz tabulu (1.2), kas izriet no formulām (1.23) un (1.25).
1. Iespējošanas elements tiek aizstāts ar apgriezto skaitli:
2. Atlikušos pieļaujamās līnijas elementus sadala ar pieļaujamo elementu un maina zīmi uz pretējo: 
3. Pārējie iespējošanas kolonnas elementi ir sadalīti iespējošanas elementā: 
4. Elementi, kas nav iekļauti atrisināšanas rindā un atrisināšanas kolonnā, tiek pārrēķināti pēc formulām: 
Pēdējo formulu ir viegli atcerēties, ja pamanāt, ka elementi, kas veido daļu 
, atrodas krustojumā i- ak un r-th līnijas un j un s-th kolonnas (atrisināmā rinda, risināmā kolonna un rinda un kolonna, kuru krustpunktā atrodas pārrēķināmais elements). Precīzāk, formulu iegaumējot 
varat izmantot šādu diagrammu:
Veicot Jordānijas izņēmumu pirmo soli, jebkurš 1.3. tabulas elements, kas atrodas kolonnās x 1 ,…, x 5 (visi norādītie elementi nav vienādi ar nulli). Jums nevajadzētu atlasīt tikai iespējojošo elementu pēdējā kolonnā, jo jāatrod neatkarīgi mainīgie x 1 ,…, x 5 . Mēs izvēlamies, piemēram, koeficientu 1 ar mainīgo x 3 tabulas 1.3 trešajā rindā (iespējošanas elements ir parādīts treknrakstā). Pārejot uz 1.4. tabulu, mainīgais x 3 no augšējās galvenes rindas tiek aizstātas ar konstanti 0 kreisajā galvenes kolonnā (trešā rinda). Tajā pašā laikā mainīgais x 3 ir izteikts pārējo mainīgo izteiksmē.
virkne x 3 (1.4. tabula), iepriekš atceroties, var izslēgt no 1.4. tabulas. 1.4. tabulā ir izslēgta arī trešā kolonna ar nulli augšējā galvenes rindā. Lieta tāda, ka neatkarīgi no šīs kolonnas koeficientiem b i 3 visi tam atbilstošie katra vienādojuma 0 termini b i 3 sistēmas būs vienādas ar nulli. Tāpēc šos koeficientus nevar aprēķināt. Viena mainīgā izslēgšana x 3 un atceroties vienu no vienādojumiem, mēs nonākam pie sistēmas, kas atbilst 1.4 tabulai (ar svītrotu līniju x 3). Izvēloties tabulā 1.4 kā atrisināšanas elementu b 14 = -5, pārejiet uz 1.5. tabulu. 1.5. tabulā mēs atceramies pirmo rindu un izslēdzam to no tabulas kopā ar ceturto kolonnu (ar nulli augšpusē).
1.5. tabula 1.6. tabula
No pēdējās tabulas 1.7 mēs atrodam: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Secīgi aizstājot jau atrastos mainīgos iegaumētajās rindās, mēs atrodam atlikušos mainīgos:
Tādējādi sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. mainīgs x 5, varat piešķirt patvaļīgas vērtības. Šis mainīgais darbojas kā parametrs x 5 = t. Mēs pierādījām sistēmas saderību un atradām tās vispārīgo risinājumu:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Parametra došana t dažādas vērtības, mēs iegūstam bezgalīgu skaitu sākotnējās sistēmas risinājumu. Tā, piemēram, sistēmas risinājums ir šāda mainīgo kopa (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Krāmera metode balstās uz determinantu izmantošanu lineāro vienādojumu sistēmu risināšanā. Tas ievērojami paātrina risinājuma procesu.
Krāmera metodi var izmantot, lai atrisinātu sistēmu, kurā ir tik daudz lineāru vienādojumu, cik katrā vienādojumā ir nezināmo. Ja sistēmas determinants nav vienāds ar nulli, tad risinājumā var izmantot Krāmera metodi, ja tas ir vienāds ar nulli, tad nevar. Turklāt Krāmera metodi var izmantot, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas, kurām ir unikāls risinājums.
Definīcija. Determinantu, kas sastāv no nezināmo faktoru koeficientiem, sauc par sistēmas determinantu un apzīmē ar (delta).
Noteicošie faktori
tiek iegūti, aizstājot koeficientus pie atbilstošajiem nezināmajiem ar brīvajiem vārdiem:
;
.
Krāmera teorēma. Ja sistēmas determinants nav nulle, tad lineāro vienādojumu sistēmai ir viens risinājums, un nezināmais ir vienāds ar determinantu attiecību. Saucējs satur sistēmas determinantu, bet skaitītājs satur determinantu, kas iegūts no sistēmas determinanta, aizstājot koeficientus ar nezināmo ar brīvajiem vārdiem. Šī teorēma attiecas uz jebkuras kārtas lineāro vienādojumu sistēmu.
1. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu:
Saskaņā ar Krāmera teorēma mums ir:
Tātad sistēmas (2) risinājums:
tiešsaistes kalkulators, Krāmera risinājuma metode.
Trīs gadījumi lineāro vienādojumu sistēmu risināšanā
Kā redzams no Krāmera teorēmas, risinot lineāro vienādojumu sistēmu, var rasties trīs gadījumi:
Pirmais gadījums: lineāro vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums
(sistēma ir konsekventa un noteikta)
Otrais gadījums: lineāro vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits
(sistēma ir konsekventa un nenoteikta)
** 
,
tie. nezināmo un brīvo terminu koeficienti ir proporcionāli.
Trešais gadījums: lineāro vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu
(sistēma nekonsekventa)
Tātad sistēma m lineāri vienādojumi ar n tiek saukti mainīgie nesaderīgi ja tam nav risinājumu, un locītavu ja tam ir vismaz viens risinājums. Tiek saukta apvienota vienādojumu sistēma, kurai ir tikai viens risinājums noteikti, un vairāk nekā vienu nenoteikts.
Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas piemēri ar Krāmera metodi
Ļaujiet sistēmai
.
Pamatojoties uz Krāmera teorēmu
………….
,
kur 
-
sistēmas identifikators. Atlikušos determinantus iegūst, aizstājot kolonnu ar atbilstošā mainīgā (nezināmā) koeficientiem ar brīvajiem locekļiem:
2. piemērs
Tāpēc sistēma ir noteikta. Lai atrastu tā risinājumu, mēs aprēķinām determinantus
Pēc Krāmera formulām mēs atrodam:
Tātad (1; 0; -1) ir vienīgais sistēmas risinājums.
Lai pārbaudītu vienādojumu sistēmu 3 X 3 un 4 X 4 risinājumus, var izmantot tiešsaistes kalkulatoru, Kramera risināšanas metodi.
Ja lineāro vienādojumu sistēmā vienā vai vairākos vienādojumos nav mainīgo, tad determinantā tiem atbilstošie elementi ir vienādi ar nulli! Šis ir nākamais piemērs.
3. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu ar Krāmera metodi:
.
Lēmums. Mēs atrodam sistēmas noteicēju:
Uzmanīgi apskatiet vienādojumu sistēmu un sistēmas determinantu un atkārtojiet atbildi uz jautājumu, kādos gadījumos viens vai vairāki determinanta elementi ir vienādi ar nulli. Tātad determinants nav vienāds ar nulli, tāpēc sistēma ir noteikta. Lai atrastu tā risinājumu, mēs aprēķinām nezināmo noteicošos faktorus
Pēc Krāmera formulām mēs atrodam:
Tātad sistēmas risinājums ir (2; -1; 1).
Lai pārbaudītu vienādojumu sistēmu 3 X 3 un 4 X 4 risinājumus, var izmantot tiešsaistes kalkulatoru, Kramera risināšanas metodi.
Lapas augšdaļa
Mēs turpinām kopīgi risināt sistēmas, izmantojot Cramer metodi
Kā jau minēts, ja sistēmas determinants ir vienāds ar nulli un nezināmo determinanti nav vienādi ar nulli, sistēma ir nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu. Ilustrēsim ar šādu piemēru.
6. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu ar Krāmera metodi:
Lēmums. Mēs atrodam sistēmas noteicēju:
Sistēmas determinants ir vienāds ar nulli, tāpēc lineāro vienādojumu sistēma ir vai nu nekonsekventa un noteikta, vai arī nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu. Skaidrības labad mēs aprēķinām nezināmo noteicošos faktorus
Nezināmo determinanti nav vienādi ar nulli, tāpēc sistēma ir nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu.
Lai pārbaudītu vienādojumu sistēmu 3 X 3 un 4 X 4 risinājumus, var izmantot tiešsaistes kalkulatoru, Kramera risināšanas metodi.
Lineāro vienādojumu sistēmu uzdevumos ir arī tādi, kur papildus mainīgos apzīmējošajiem burtiem ir arī citi burti. Šie burti apzīmē kādu ciparu, visbiežāk reālu skaitli. Praksē šādi vienādojumi un vienādojumu sistēmas rada problēmas atrast jebkuras parādības un objektu vispārīgās īpašības. Tas ir, jūs izgudrojāt kādu jaunu materiālu vai ierīci, un, lai aprakstītu tā īpašības, kas ir kopīgas neatkarīgi no kopiju izmēra vai skaita, jums ir jāatrisina lineāro vienādojumu sistēma, kur dažu mainīgo koeficientu vietā ir burti. Piemēri nav tālu jāmeklē.
Nākamais piemērs ir paredzēts līdzīgai problēmai, tikai palielinās vienādojumu, mainīgo un burtu skaits, kas apzīmē kādu reālu skaitli.
8. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu ar Krāmera metodi:
Lēmums. Mēs atrodam sistēmas noteicēju:
Noteicošo faktoru atrašana nezināmajiem
