>> Matricas

4.1 Matricas. Matricas operācijas

Taisnstūra matrica ar izmēru mxn ir mxn skaitļu kolekcija, kas sakārtota taisnstūrveida tabulā, kurā ir m rindas un n kolonnas. Mēs to ierakstīsim formā

vai saīsināti kā A = (a i j) (i = ; j = ), skaitļus a i j sauc par tā elementiem; pirmais rādītājs norāda uz rindas numuru, otrais rādītājs uz kolonnas numuru. Vienāda izmēra A = (a i j) un B = (b i j) sauc par vienādiem, ja to elementi vienādās vietās ir pa pāriem vienādi, tas ir, A = B, ja a i j = b i j .

Matricu, kas sastāv no vienas rindas vai vienas kolonnas, sauc attiecīgi par -rindas vai kolonnas vektoru. Kolonnu vektorus un rindu vektorus vienkārši sauc par vektoriem.

Matrica, kas sastāv no viena skaitļa, tiek identificēta ar šo numuru. A izmēra mxn, kura visi elementi ir vienādi ar nulli, sauc par nulli un apzīmē ar 0. Elementus ar vienādiem indeksiem sauc par galvenās diagonāles elementiem. Ja rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu, t.i., m = n, tad tiek uzskatīts, ka matrica ir n kārtas kvadrāts. Kvadrātveida matricas, kurās tikai galvenās diagonāles elementi nav nulle, sauc par diagonālajām matricām un raksta šādi:

.

Ja visi diagonāles elementi a i i ir vienādi ar 1, tad to sauc par vienību un apzīmē ar burtu E:

.

Kvadrātveida matricu sauc par trīsstūrveida, ja visi elementi virs (vai zem) galvenās diagonāles ir vienādi ar nulli. Transponēšana ir transformācija, kurā rindas un kolonnas tiek apmainītas, vienlaikus saglabājot to numurus. Transponēšana ir apzīmēta ar T augšpusē.

Ja (4.1) mēs pārkārtojam rindas ar kolonnām, tad mēs iegūstam

,

kas tiks transponēts attiecībā pret A. Konkrēti, kolonnas vektora transponēšana rada rindas vektoru un otrādi.

A reizinājums ar skaitli b ir matrica, kuras elementus iegūst no atbilstošajiem A elementiem, reizinot ar skaitli b: b A = (b a i j).

Vienāda izmēra A = (a i j) un B = (b i j) summa ir vienāda izmēra C = (c i j), kuras elementus nosaka pēc formulas c i j = a i j + b i j .

Produkts AB tiek definēts, pieņemot, ka kolonnu skaits A ir vienāds ar rindu skaitu B.

AB reizinājums, kur A = (a i j) un B = (b j k), kur i = , j= , k= , dots noteiktā secībā AB, ir C = (c i k), kura elementus nosaka šāds noteikums:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Citiem vārdiem sakot, reizinājuma AB elements ir definēts šādi: i-tās rindas un k-tās kolonnas C elements ir vienāds ar i-tās rindas A elementu reizinājumu summu ar atbilstošie k-tās kolonnas B elementi.

Piemērs 2.1. Atrodiet AB un reizinājumu.

Lēmums. Mums ir: A izmērs 2x3, B izmērs 3x3, tad pastāv reizinājums AB = C un C elementi ir vienādi

С 11 = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, с 21 = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, с 12 = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10.

, un produkts BA neeksistē.

Piemērs 2.2. Tabulā parādīts produktu vienību skaits, kas katru dienu tiek nosūtītas no pienotavas 1 un 2 uz veikaliem M 1, M 2 un M 3, un produkcijas vienības piegāde no katras pienotavas uz veikalu M 1 maksā 50 den. vienības, veikalā M 2 - 70 un M 3 - 130 den. vienības Aprēķiniet katras rūpnīcas ikdienas transportēšanas izmaksas.

piena produkti

Lēmums. Apzīmē ar A matricu, kas mums dota nosacījumā, un ar
B - matrica, kas raksturo izmaksas par produkcijas vienības piegādi veikaliem, t.i.,

,

Tad transporta izmaksu matrica izskatīsies šādi:

.

Tātad pirmā iekārta transportēšanai katru dienu tērē 4750 den. vienību, otrā - 3680 den.un.

Piemērs 2.3. Šūšanas uzņēmums ražo ziemas mēteļus, pussezonas mēteļus un lietusmēteļus. Plānoto produkciju desmitgadei raksturo vektors X = (10, 15, 23). Tiek izmantoti četru veidu audumi: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Tabulā ir norādīti auduma patēriņa rādītāji (metros) katram izstrādājumam. Vektors C = (40, 35, 24, 16) norāda katra auduma metra izmaksas, bet vektors P = (5, 3, 2, 2) - katra auduma metra transportēšanas izmaksas. veids.

	Auduma patēriņš
Ziemas metelis
Demi mētelis

1. Cik metri no katra auduma veida būs nepieciešami plāna izpildei?

2. Atrodiet katra produkta veida pielāgošanai izmantotā auduma izmaksas.

3. Nosakiet visa plāna pabeigšanai nepieciešamā auduma izmaksas.

Lēmums. Apzīmēsim ar A matricu, kas mums ir dota nosacījumā, t.i.,

,

tad, lai atrastu auduma metru skaitu, kas nepieciešams plāna pabeigšanai, vektors X jāreizina ar matricu A:

Auduma izmaksas, kas iztērētas katra veida izstrādājuma pielāgošanai, tiek noteiktas, reizinot matricu A un vektoru C T:

.

Visa plāna pabeigšanai nepieciešamā auduma izmaksas tiks noteiktas pēc formulas:

Visbeidzot, ņemot vērā transporta izmaksas, visa summa būs vienāda ar auduma izmaksām, t.i., 9472 den. vienības, plus vērtība

X A P T =
.

Tātad, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (den. vienības).

MATRIKSAS DEFINĪCIJA. MATRIKSU VEIDI

Matricas izmērs m× n sauc par kopumu m n skaitļi, kas sakārtoti taisnstūrveida tabulā m līnijas un n kolonnas. Šī tabula parasti ir pievienota iekavās. Piemēram, matrica var izskatīties šādi:

Īsuma labad matricu var apzīmēt ar vienu lielo burtu, piemēram, BET vai AT.

Kopumā lieluma matrica m× n raksti šādi

.

Tiek izsaukti skaitļi, kas veido matricu matricas elementi. Matricas elementus ir ērti piegādāt ar diviem indeksiem aij: pirmais norāda rindas numuru, bet otrais norāda kolonnas numuru. Piemēram, a 23– elements atrodas 2. rindā, 3. kolonnā.

Ja rindu skaits matricā ir vienāds ar kolonnu skaitu, tad matricu sauc kvadrāts, un tiek izsaukts tā rindu vai kolonnu skaits kārtībā matricas. Iepriekš minētajos piemēros otrā matrica ir kvadrātveida - tās secība ir 3, bet ceturtā matrica - tās secība ir 1.

Tiek izsaukta matrica, kurā rindu skaits nav vienāds ar kolonnu skaitu taisnstūrveida. Piemēros šī ir pirmā matrica un trešā.

Ir arī matricas, kurām ir tikai viena rinda vai viena kolonna.

Tiek izsaukta matrica, kurā ir tikai viena rinda matrica - rinda(vai virkne) un matricu, kurā ir tikai viena kolonna, matrica - kolonna.

Tiek izsaukta matrica, kurā visi elementi ir vienādi ar nulli nulles un tiek apzīmēts ar (0) vai vienkārši 0. Piemēram,

.

galvenā diagonāle Kvadrātveida matrica ir diagonāle, kas iet no augšējā kreisā stūra uz apakšējo labo stūri.

Tiek izsaukta kvadrātveida matrica, kurā visi elementi zem galvenās diagonāles ir vienādi ar nulli trīsstūrveida matrica.

.

Tiek saukta kvadrātveida matrica, kurā visi elementi, izņemot tos, kas atrodas galvenajā diagonālē, ir vienādi ar nulli. diagonāli matrica. Piemēram, vai.

Tiek izsaukta diagonālā matrica, kurā visi diagonālie ieraksti ir vienādi ar vienu viens matrica un tiek apzīmēta ar burtu E. Piemēram, 3. kārtas identitātes matricai ir forma .

DARBĪBAS UZ MATRIKSĀM

Matricas vienlīdzība. Divas matricas A un B tiek uzskatīti par vienādiem, ja tiem ir vienāds rindu un kolonnu skaits un to attiecīgie elementi ir vienādi aij = b ij. Tātad ja un , tad A=B, ja a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 un a 22 = b 22.

transponēšana. Apsveriet patvaļīgu matricu A no m līnijas un n kolonnas. To var saistīt ar šādu matricu B no n līnijas un m kolonnas, kur katra rinda ir matricas kolonna A ar tādu pašu numuru (tātad katra kolonna ir matricas rinda A ar to pašu numuru). Tātad ja , tad .

Šī matrica B sauca transponēts matrica A, un pāreja no A uz B transponēšana.

Tādējādi transponēšana ir matricas rindu un kolonnu lomu maiņa. Matrica transponēta matricā A, parasti apzīmē A T.

Komunikācija starp matricu A un tā transponēto var uzrakstīt kā .

Piemēram. Atrodiet matricu, kas transponēta uz doto.

Matricas pievienošana.Ļaujiet matricām A un B sastāv no vienāda skaita rindu un vienāda kolonnu skaita, t.i. ir vienādi izmēri. Tad, lai pievienotu matricas A un B nepieciešams matricēt elementus A pievienot matricas elementus B stāvot tajās pašās vietās. Tādējādi divu matricu summa A un B sauc par matricu C, ko nosaka noteikums, piemēram,

Piemēri. Atrodiet matricu summu:

Ir viegli pārbaudīt, vai matricas pievienošana atbilst šādiem likumiem: komutatīva A+B=B+A un asociatīvā ( A+B)+C=A+(B+C).

Matricas reizināšana ar skaitli. Lai reizinātu matricu A uz numuru k nepieciešams katrs matricas elements A reiziniet ar šo skaitli. Tātad matricas produkts A uz numuru k ir jauna matrica, kuru nosaka likums vai .

Par jebkuriem cipariem a un b un matricas A un B vienādības ir izpildītas:

Piemēri.

Matricas reizināšana.Šī operācija tiek veikta saskaņā ar īpašu likumu. Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka matricas faktoru lielumiem jābūt konsekventiem. Var reizināt tikai tās matricas, kuru pirmās matricas kolonnu skaits sakrīt ar otrās matricas rindu skaitu (t.i., pirmās rindas garums ir vienāds ar otrās kolonnas augstumu). strādāt matricas A nav matrica B sauc par jauno matricu C=AB, kuras elementi sastāv šādi:

Tā, piemēram, lai iegūtu produktu (t.i., matricā C) elementu 1. rindā un 3. kolonnā no 13, jums ir jāņem 1. rinda 1. matricā, 3. kolonna 2. un pēc tam jāreizina rindas elementi ar atbilstošajiem kolonnas elementiem un jāpievieno iegūtie produkti. Un citus produktu matricas elementus iegūst, izmantojot līdzīgu pirmās matricas rindu reizinājumu ar otrās matricas kolonnām.

Kopumā, ja mēs reizinām matricu A = (aij) Izmērs m× n uz matricu B = (bij) Izmērs n× lpp, tad mēs iegūstam matricu C Izmērs m× lpp, kuras elementus aprēķina šādi: elements c ij tiek iegūts elementu reizinājuma rezultātā i matricas rinda A par attiecīgajiem elementiem j-matricas kolonna B un to summēšana.

No šī noteikuma izriet, ka jūs vienmēr varat reizināt divas vienādas kārtas kvadrātveida matricas, kā rezultātā mēs iegūstam tādas pašas kārtas kvadrātmatricu. Jo īpaši kvadrātveida matricu vienmēr var reizināt ar sevi, t.i. kvadrātā uz augšu.

Vēl viens svarīgs gadījums ir matricas rindas reizināšana ar matricas kolonnu, un pirmās platumam jābūt vienādam ar otrās augstumu, kā rezultātā mēs iegūstam pirmās kārtas matricu (t.i., vienu elementu). Tiešām,

.

Piemēri.

Tādējādi šie vienkāršie piemēri parāda, ka matricas, vispārīgi runājot, nepārvietojas viena ar otru, t.i. A∙B ≠ B∙A . Tāpēc, reizinot matricas, jums rūpīgi jāuzrauga faktoru secība.

Var pārbaudīt, ka matricas reizināšana pakļaujas asociatīvajiem un sadales likumiem, t.i. (AB)C=A(BC) un (A+B)C=AC+BC.

To ir viegli pārbaudīt arī, reizinot kvadrātveida matricu A uz identitātes matricu E tādā pašā secībā mēs atkal iegūstam matricu A, Turklāt AE=EA=A.

Var atzīmēt šādu dīvainu faktu. Kā zināms, 2, kas nav nulles skaitļu reizinājums nav vienāds ar 0. Matricām tas var nebūt, t.i. 2 nulles matricu reizinājums var būt vienāds ar nulles matricu.

piemēram, ja , tad

.

NOTEIKTĀJU JĒDZIENS

Dota otrās kārtas matrica - kvadrātveida matrica, kas sastāv no divām rindām un divām kolonnām .

Otrās kārtas determinantsšai matricai atbilst skaitlis, kas iegūts šādi: no 11 līdz 22 līdz 12 līdz 21.

Determinants tiek apzīmēts ar simbolu .

Tātad, lai atrastu otrās kārtas determinantu, no galvenās diagonāles elementu reizinājuma ir jāatņem otrās diagonāles elementu reizinājums.

Piemēri. Aprēķināt otrās kārtas determinantus.

Līdzīgi mēs varam uzskatīt trešās kārtas matricu un atbilstošo determinantu.

Trešās kārtas determinants, kas atbilst noteiktai trešās kārtas kvadrātveida matricai, ir skaitlis, ko apzīmē un iegūst šādi:

.

Tādējādi šī formula dod trešās kārtas determinanta paplašināšanu pirmās rindas elementu izteiksmē 11, 12, 13 un samazina trešās kārtas determinanta aprēķinu uz otrās kārtas determinantu aprēķinu.

Piemēri. Aprēķiniet trešās kārtas determinantu.

Līdzīgi var ieviest determinantu jēdzienus ceturtais, piektais utt. rīkojumus, pazeminot to secību, paplašinot 1. rindas elementus, bet apzīmējumiem mijas zīmes "+" un "-".

Tātad, atšķirībā no matricas, kas ir skaitļu tabula, determinants ir skaitlis, kas noteiktā veidā tiek piešķirts matricai.

Lineārā algebra 1

Matricas 1

Matricas operācijas 2

Matricas determinanti 6

Apgrieztā matrica 13

Matricas rangs 16

Lineārā neatkarība 21

Lineāro vienādojumu sistēmas 24

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes 27

Apgrieztās matricas metode 27

Metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai ar kvadrātmatricu, izmantojot Krāmera formulas 29

Gausa metode (mainīgo lielumu secīgas likvidēšanas metode) 31

Lineārās algebras matricas

Matrica izmērs mxn ir taisnstūrveida skaitļu tabula, kurā ir m rindas un n kolonnas. Skaitļus, kas veido matricu, sauc par matricas elementiem.

Matricas parasti apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem, bet elementus ar tiem pašiem, bet mazajiem burtiem ar dubultu indeksāciju.

Piemēram, apsveriet 2 x 3 matricu A:

Šai matricai ir divas rindas (m= 2) un trīs kolonnas (n= 3), t.i. tas sastāv no sešiem elementiem a ij , kur i ir rindas numurs, j ir kolonnas numurs. Šajā gadījumā tas aizņem vērtības no 1 līdz 2 un no viena līdz trim (rakstiski
). Proti, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Tiek izsauktas vienāda izmēra (mxn) matricas A un B vienāds, ja tie sakrīt pa elementam, t.i., a ij =b ij for
, t.i. jebkuram ii un j (var rakstīt i, j).

rindu matrica ir matrica ar vienu rindu, un kolonnu matrica ir matrica ar vienu kolonnu.

Piemēram,
ir rindu matrica, un
.

kvadrātveida matrica n-tā kārtība ir matrica, rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu un ir vienāds ar n.

Piemēram,
ir otrās kārtas kvadrātveida matrica.

Diagonāli matricas elementi ir elementi, kuru rindas numurs ir vienāds ar kolonnas numuru (a ij ,i=j). Šie elementi veidojas galvenā diagonāle matricas. Iepriekšējā piemērā elementi a 11 = 3 un a 22 = 5 veido galveno diagonāli.

Diagonālā matrica ir kvadrātveida matrica, kurā visi ārpusdiagonālie elementi ir vienādi ar nulli. Piemēram,
ir trešās kārtas diagonālā matrica. Ja visi diagonālie elementi ir vienādi ar vienu, tad tiek izsaukta matrica viens(parasti apzīmē ar burtu E). Piemēram,
ir trešās kārtas identitātes matrica.

Matricu sauc nulles ja visi tā elementi ir vienādi ar nulli.

Tiek saukta kvadrātveida matrica trīsstūrveida ja visi tā elementi zem (vai virs) galvenās diagonāles ir vienādi ar nulli. Piemēram,
ir trešās kārtas trīsstūrveida matrica.

Matricas operācijas

Ar matricām varat veikt šādas darbības:

1. Matricas reizināšana ar skaitli. Matricas A reizinājums ar skaitli  ir matrica B = A, kuras elementi ir b ij = a ij jebkuram ii un j.

Piemēram, ja
, tad
.

2. Matricas pievienošana. Divu vienāda izmēra m x n matricu A un B summa ir matrica C \u003d A + B, kuras elementi ir ar ij \u003d a ij + b ij pie i,j.

Piemēram, ja
tad

.

Ņemiet vērā, ka, izmantojot iepriekšējās darbības, mēs varam noteikt matricas atņemšana vienāds izmērs: atšķirība A-B \u003d A + (-1) * B.

3. Matricas reizināšana. Matricas A, kuras izmērs ir mxn, reizinājums ar matricu B ar izmēru nxp ir tāda matrica C, kuras katrs elements ar ij ir vienāds ar matricas A i-tās rindas elementu reizinājumu un matricas B j-tās kolonnas atbilstošie elementi, t.i.
.

Piemēram, ja

, tad produkta matricas izmērs būs 2 x 3, un tas izskatīsies šādi:

Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka matrica A atbilst matricai B.

Pamatojoties uz kvadrātmatricu reizināšanas operāciju, tiek definēta darbība eksponenci. Kvadrātveida matricas A vesela skaitļa pozitīva jauda A m (m > 1) ir m matricu reizinājums, kas vienāds ar A, t.i.

Mēs uzsveram, ka matricu saskaitīšana (atņemšana) un reizināšana nav definēta jebkurām divām matricām, bet tikai tām, kas atbilst noteiktām prasībām attiecībā uz to dimensiju. Lai atrastu matricu summu vai starpību, to lielumam jābūt vienādam. Lai atrastu matricu reizinājumu, pirmās no tām kolonnu skaitam jāsakrīt ar otrās rindu skaitu (šādas matricas sauc piekrita).

Apskatīsim dažas aplūkoto darbību īpašības, kas ir analogas skaitļu darbību īpašībām.

1) Komutatīvais (pārvietošanas) saskaitīšanas likums:

A + B = B + A

2) Asociatīvais (asociatīvais) pievienošanas likums:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Sadales (distributīvais) reizināšanas likums attiecībā uz saskaitīšanu:

(A + B) = A + B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Asociatīvais (asociatīvais) reizināšanas likums:

 (AB) \u003d ( A) B \u003d A ( B)

A(BC) = (AB)C

Uzsveram, ka komutatīvais reizināšanas likums matricām vispārējā gadījumā NAV izpildīts, t.i. AB BA. Turklāt AB esamība ne vienmēr nozīmē BA esamību (matricas var nebūt konsekventas, un tad to reizinājums vispār nav definēts, kā iepriekš minētajā matricas reizināšanas piemērā). Bet pat tad, ja abi darbi eksistē, tie parasti ir atšķirīgi.

Konkrētā gadījumā jebkuras kvadrātmatricas A un tādas pašas kārtas identitātes matricas reizinājumam ir komutatīvais likums, un šis reizinājums ir vienāds ar A (reizināšana ar identitātes matricu šeit ir līdzīga reizināšanai ar vienu, reizinot skaitļus):

AE = EA = A

Patiešām,

Uzsvērsim vēl vienu atšķirību starp matricas reizināšanu un skaitļu reizināšanu. Skaitļu reizinājums var būt vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no tiem ir vienāds ar nulli. To nevar teikt par matricām, t.i. nulles matricu reizinājums var būt vienāds ar nulles matricu. Piemēram,

Turpināsim aplūkot operācijas ar matricām.

4. Matricas transponēšana ir pārejas darbība no matricas A, kuras izmērs ir mxn, uz matricu A T ar izmēru nxm, kurā tiek apmainītas rindas un kolonnas:

%.

Transponēšanas darbības īpašības:

1) No definīcijas izriet, ka, ja matrica tiek transponēta divreiz, mēs atgriezīsimies pie sākotnējās matricas: (A T) T = A.

2) No transpozīcijas zīmes var izņemt konstanto koeficientu: (А) T =А T .

3) Transpozīcija ir sadaloša attiecībā uz matricas reizināšanu un saskaitīšanu: (AB) T =B T A T un (A+B) T =B T +A T .

Šī rokasgrāmata palīdzēs jums uzzināt, kā matricas operācijas: matricu saskaitīšana (atņemšana), matricas transponēšana, matricu reizināšana, matricas inversā atrašana. Viss materiāls ir sniegts vienkāršā un pieejamā formā, ir sniegti atbilstoši piemēri, lai pat nesagatavots cilvēks varētu iemācīties veikt darbības ar matricām. Paškontrolei un pašpārbaudei varat bez maksas lejupielādēt matricas kalkulatoru >>>.

Mēģināšu maksimāli samazināt teorētiskos aprēķinus, vietām iespējami skaidrojumi “uz pirkstiem” un nezinātnisku terminu lietošana. Solīda teorijas cienītāji, lūdzu, neiesaistieties kritikā, mūsu uzdevums ir iemācīties strādāt ar matricām.

SUPERĀTRAI sagatavošanai par tēmu (kurš "deg") ir intensīvs pdf-kurss Matrica, determinants un nobīde!

Matrica ir dažu taisnstūrveida tabula elementi. Kā elementi mēs apsvērsim skaitļus, tas ir, skaitliskās matricas. ELEMENTS ir termins. Terminu vēlams atcerēties, tas bieži gadīsies, nav nejaušība, ka izmantoju treknrakstu, lai to izceltu.

Apzīmējums: matricas parasti apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem

Piemērs: Apsveriet matricu "divreiz trīs":

Šī matrica sastāv no sešām elementi:

Visi skaitļi (elementi) matricas iekšpusē pastāv atsevišķi, tas ir, nav runas par atņemšanu:

Tā ir tikai skaitļu tabula (kopa)!

Mēs arī vienosimies nepārkārtot numuru, ja paskaidrojumā nav norādīts citādi. Katram numuram ir sava atrašanās vieta, un tos nevar sajaukt!

Attiecīgajai matricai ir divas rindas:

un trīs kolonnas:

STANDARTS: runājot par matricas izmēriem, tad vispirms norāda rindu skaitu, un tikai tad - kolonnu skaitu. Mēs tikko esam sadalījuši matricu pa trīs.

Ja matricas rindu un kolonnu skaits ir vienāds, tad matrica tiek izsaukta kvadrāts, Piemēram: ir trīs reizes trīs matrica.

Ja matricai ir viena kolonna vai viena rinda, tad šādas matricas arī sauc vektori.

Faktiski matricas jēdzienu mēs zinām jau kopš skolas laikiem. Apsveriet, piemēram, punktu ar koordinātām "x" un "y": . Būtībā punkta koordinātas tiek ierakstītas matricā pa vienam. Starp citu, šeit ir piemērs, kāpēc skaitļu secībai ir nozīme: un tie ir divi pilnīgi atšķirīgi plaknes punkti.

Tagad pāriesim pie pētījuma. matricas operācijas:

1) Pirmā darbība. Mīnusa noņemšana no matricas (mīnusa ievietošana matricā).

Atpakaļ uz mūsu matricu . Kā jūs droši vien pamanījāt, šajā matricā ir pārāk daudz negatīvu skaitļu. Tas ir ļoti neērti dažādu darbību veikšanas ziņā ar matricu, ir neērti rakstīt tik daudz mīnusu, un tas vienkārši izskatās neglīts dizainā.

Pārvietosim mīnusu ārpus matricas, mainot KATRAM matricas elementa zīmi:

Pie nulles, kā jūs saprotat, zīme nemainās, nulle - arī Āfrikā ir nulle.

Apgrieztais piemērs: . Neglīti izskatās.

Matricā ieviešam mīnusu, mainot KATRA matricas elementa zīmi:

Nu, tas ir daudz skaistāks. Un, pats galvenais, ar matricu būs VIEGLĀK veikt jebkādas darbības. Jo ir tāda matemātiska tautas zīme: jo vairāk mīnusu - jo vairāk neskaidrību un kļūdu.

2) Otrā darbība. Matricas reizināšana ar skaitli.

Piemērs:

Tas ir vienkārši, lai reizinātu matricu ar skaitli, jums ir nepieciešams visi reiziniet matricas elementu ar doto skaitli. Šajā gadījumā trīs.

Vēl viens noderīgs piemērs:

– matricas reizināšana ar daļskaitli

Vispirms apskatīsim, ko darīt NAV VAJADZĪBAS:

NAV NEPIECIEŠAMS matricā ievadīt daļskaitli, pirmkārt, tas tikai apgrūtina turpmākās darbības ar matricu, otrkārt, skolotājam apgrūtina risinājuma pārbaudi (īpaši, ja - uzdevuma galīgā atbilde).

Un jo īpaši, NAV VAJADZĪBAS sadaliet katru matricas elementu ar mīnus septiņi:

No raksta Matemātika manekeniem vai kur sākt, mēs atceramies, ka augstākajā matemātikā decimāldaļdaļas ar komatu cenšas izvairīties no visiem iespējamajiem veidiem.

Vienīgā lieta vēlamsšajā piemērā ir jāievieto matricā mīnuss:

Bet ja VISI matricas elementi tika dalīti ar 7 bez pēdām, tad varētu (un vajag!) dalīt.

Piemērs:

Šajā gadījumā jūs varat VAJAG reiziniet visus matricas elementus ar , jo visi matricas skaitļi dalās ar 2 bez pēdām.

Piezīme: augstākās matemātikas teorijā nav skolas jēdziena "dalījums". Frāzes "šis ir dalīts ar šo" vietā vienmēr varat teikt "tas tiek reizināts ar daļskaitli". Tas ir, dalīšana ir īpašs reizināšanas gadījums.

3) Trešā darbība. Matricas transponēšana.

Lai transponētu matricu, tās rindas jāieraksta transponētās matricas kolonnās.

Piemērs:

Transponēt matricu

Šeit ir tikai viena rinda, un saskaņā ar likumu tā ir jāraksta kolonnā:

ir transponētā matrica.

Transponētā matrica parasti tiek apzīmēta ar augšējo indeksu vai svītru augšējā labajā stūrī.

Soli pa solim piemērs:

Transponēt matricu

Pirmkārt, mēs pārrakstām pirmo rindu pirmajā kolonnā:

Tad mēs pārrakstām otro rindu otrajā kolonnā:

Un visbeidzot mēs pārrakstām trešo rindu trešajā kolonnā:

Gatavs. Aptuveni runājot, transponēt nozīmē apgriezt matricu uz sāniem.

4) Ceturtā darbība. Matricu summa (starpība)..

Matricu summa ir vienkārša darbība.
NE VISAS MATRIKSAS VAR LOKOTI. Lai veiktu matricu saskaitīšanu (atņemšanu), tām ir jābūt VIENĀDA IZMĒRA.

Piemēram, ja ir dota matrica divi reiz divi, tad to var pievienot tikai matricai divi reiz divi, nevis citai!

Piemērs:

Pievienojiet matricas un

Lai pievienotu matricas, jāpievieno tām atbilstošie elementi:

Matricu atšķirībai noteikums ir līdzīgs, jāatrod atbilstošo elementu atšķirība.

Piemērs:

Atrodi matricu atšķirību ,

Un kā šo piemēru atrisināt vienkāršāk, lai neapjuktu? Ir ieteicams atbrīvoties no nevajadzīgiem mīnusiem, tāpēc matricai pievienosim mīnusu:

Piezīme: augstākās matemātikas teorijā nav skolas jēdziena "atņemšana". Frāzes “atņemt šo no šī” vietā vienmēr varat teikt “pievienojiet tam negatīvu skaitli”. Tas ir, atņemšana ir īpašs saskaitīšanas gadījums.

5) Piektā darbība. Matricas reizināšana.

Kādas matricas var reizināt?

Lai matrica tiktu reizināta ar matricu, tā, lai matricas kolonnu skaits būtu vienāds ar matricas rindu skaitu.

Piemērs:
Vai ir iespējams reizināt matricu ar matricu?

Tātad, jūs varat reizināt matricas datus.

Bet, ja matricas ir pārkārtotas, tad šajā gadījumā reizināšana vairs nav iespējama!

Tāpēc reizināšana nav iespējama:

Nereti sastopami uzdevumi ar viltību, kad skolēnam tiek lūgts reizināt matricas, kuru reizināšana acīmredzami nav iespējama.

Jāņem vērā, ka dažos gadījumos ir iespējams reizināt matricas abos veidos.
Piemēram, matricām ir iespējama gan reizināšana, gan reizināšana

Tātad, pakalpojumi matricu risināšanai tiešsaistē:

Matricas pakalpojums ļauj veikt elementāras matricu transformācijas.
Ja jums ir uzdevums veikt sarežģītāku transformāciju, tad šo pakalpojumu vajadzētu izmantot kā konstruktoru.

Piemērs. Matricas dati A un B, jāatrod C = A -1 * B + B T ,

1. Vispirms jums vajadzētu atrast apgrieztā matricaA1 = A-1, izmantojot pakalpojumu apgrieztās matricas atrašanai;
2. Tālāk pēc matricas atrašanas A1 dari to matricas reizināšanaA2 = A1 * B, izmantojot pakalpojumu matricas reizināšanai;
3. Darīsim to matricas transponēšanaA3 = B T (transponētās matricas atrašanas pakalpojums);
4. Un pēdējais - atrodiet matricu summu Ar = A2 + A3(pakalpojums matricu summas aprēķināšanai) - un saņemam atbildi ar detalizētāko risinājumu!;

Matricu reizinājums

Šis ir tiešsaistes pakalpojums divi soļi:

• Ievadiet pirmo faktoru matricu A
• Ievadiet otrā faktora matricu vai kolonnas vektoru B

Matricas reizināšana ar vektoru

Matricas reizināšanu ar vektoru var atrast, izmantojot pakalpojumu Matricas reizināšana
(Pirmais faktors būs dotā matrica, otrs faktors būs kolonna, kas sastāv no dotā vektora elementiem)

Šis ir tiešsaistes pakalpojums divi soļi:

• Ievadiet matricu A, kurai jāatrod apgrieztā matrica
• Saņemiet atbildi ar detalizētu risinājumu apgrieztās matricas atrašanai

Matricas determinants

Šis ir tiešsaistes pakalpojums viens solis:

• Ievadiet matricu A, kuram jāatrod matricas determinants

Matricas transponēšana

Šeit jūs varat sekot matricas transponēšanas algoritmam un uzzināt, kā pašam atrisināt šādas problēmas.
Šis ir tiešsaistes pakalpojums viens solis:

• Ievadiet matricu A, kas ir jātransponē

Matricas rangs

Šis ir tiešsaistes pakalpojums viens solis:

• Ievadiet matricu A, kuram jāatrod rangs

Matricas īpašvērtības un matricas īpašvektori

Šis ir tiešsaistes pakalpojums viens solis:

• Ievadiet matricu A, kuriem jums jāatrod īpašvektori un īpašvērtības (pašvērtības)

Matricas eksponēšana

Šis ir tiešsaistes pakalpojums divi soļi:

• Ievadiet matricu A, kas tiks pacelts pie varas
• Ievadiet veselu skaitli q- grāds