Կետում ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը հավասար է. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x0 կետում

11.10.2019

Բացարձակապես անհնար է լուծել մաթեմատիկայի ֆիզիկական խնդիրներ կամ օրինակներ՝ առանց դրա ածանցյալի և դրա հաշվարկման մեթոդների իմացության։ Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության կարևորագույն հասկացություններից է։ Մենք որոշեցինք այսօրվա հոդվածը նվիրել այս հիմնարար թեմային: Ի՞նչ է ածանցյալը, ի՞նչ ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակություն ունի, ինչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը։ Այս բոլոր հարցերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ ինչպե՞ս հասկանալ ածանցյալը:

Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

Թող ֆունկցիա լինի f(x) , տրված որոշակի ընդմիջումով (ա, բ) . Այս միջակայքին են պատկանում x և x0 կետերը։ Երբ x-ը փոխվում է, ֆունկցիան ինքնին փոխվում է: Փաստարկի փոփոխություն - դրա արժեքների տարբերություն x-x0 . Այս տարբերությունը գրված է այսպես դելտա x և կոչվում է արգումենտի ավելացում։ Ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ ավելացումը երկու կետում ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունն է: Ածանցյալ սահմանում.

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ վերջինս հակված է զրոյի:

Հակառակ դեպքում կարելի է գրել այսպես.

Ի՞նչ իմաստ ունի նման սահման գտնելը։ Բայց ո՞ր մեկը.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է OX առանցքի անկյան շոշափմանը և տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողին:

ֆիզիկական իմաստածանցյալ: ուղու ժամանակային ածանցյալը հավասար է ուղղագիծ շարժման արագությանը։

Իսկապես, դպրոցական օրերից բոլորը գիտեն, որ արագությունը մասնավոր ճանապարհ է։ x=f(t) և ժամանակ տ . Միջին արագությունըորոշ ժամանակով.

Միանգամից շարժման արագությունը պարզելու համար t0 Դուք պետք է հաշվարկեք սահմանը.

Կանոն առաջին. հանել հաստատունը

Հաստատունը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Ավելին, դա պետք է արվի. Մաթեմատիկայի օրինակներ լուծելիս, որպես կանոն, վերցրեք. եթե դուք կարող եք պարզեցնել արտահայտությունը, անպայման պարզեցրեք .

Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք ածանցյալը.

Կանոն երկրորդ՝ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին։ Նույնը վերաբերում է ֆունկցիաների տարբերության ածանցյալին։

Մենք չենք տա այս թեորեմի ապացույցը, այլ ավելի շուտ դիտարկենք գործնական օրինակ:

Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Երրորդ կանոն՝ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ

Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ՝ գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Որոշում:

Այստեղ կարևոր է ասել բարդ ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկի մասին։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Վերոնշյալ օրինակում մենք հանդիպում ենք արտահայտության.

Այս դեպքում միջանկյալ արգումենտը 8x է հինգերորդ հզորությանը: Նման արտահայտության ածանցյալը հաշվարկելու համար մենք նախ դիտարկում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ, այնուհետև բազմապատկում ենք բուն միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Չորրորդ կանոն՝ երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալի որոշման բանաձև.

Մենք փորձեցինք զրոյից խոսել ածանցյալների մասին: Այս թեման այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է, այնպես որ զգուշացե՛ք. օրինակներում հաճախ են որոգայթներ, ուստի զգույշ եղեք ածանցյալները հաշվարկելիս:

Այս և այլ թեմաների վերաբերյալ ցանկացած հարցով կարող եք կապվել ուսանողական ծառայության հետ: Հետևում կարճաժամկետմենք կօգնենք ձեզ լուծել ամենադժվար թեստը և զբաղվել առաջադրանքներով, նույնիսկ եթե նախկինում երբեք չեք զբաղվել ածանցյալների հաշվարկով:

Ածանցյալ գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում։

Ամենապարզ (և ոչ շատ պարզ) ֆունկցիաների ածանցյալները գտնելու խնդիրների լուծման արդյունքում՝ ածանցյալը որպես փաստարկի աճի հարաբերակցության սահման սահմանելով, հայտնվեց ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման հստակ սահմանված կանոնները։ . Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716) առաջինն են աշխատել ածանցյալների որոնման ոլորտում։

Հետևաբար, մեր ժամանակներում որևէ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ հաշվարկել ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության վերը նշված սահմանը փաստարկի աճին, այլ անհրաժեշտ է օգտագործել միայն աղյուսակը. ածանցյալների և տարբերակման կանոնների. Հետևյալ ալգորիթմը հարմար է ածանցյալը գտնելու համար.

Ածանցյալը գտնելու համար, Ձեզ անհրաժեշտ է արտահայտություն՝ հարվածի նշանի տակ կոտրել պարզ գործառույթներըև որոշել, թե ինչ գործողություններ (արտադրանք, գումար, գործակից)այս գործառույթները կապված են: Այնուհետև, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները մենք գտնում ենք ածանցյալների աղյուսակում, իսկ արտադրանքի, գումարի և գործակիցի ածանցյալների բանաձևերը՝ տարբերակման կանոններում: Ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման կանոնները տրված են առաջին երկու օրինակներից հետո:

Օրինակ 1Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Որոշում. Տարբերակման կանոններից պարզում ենք, որ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը ֆունկցիաների ածանցյալների գումարն է, այսինքն.

Ածանցյալների աղյուսակից պարզում ենք, որ «X»-ի ածանցյալը հավասար է մեկի, իսկ սինուսի ածանցյալը՝ կոսինուսը։ Մենք փոխարինում ենք այս արժեքները ածանցյալների գումարում և գտնում ենք խնդրի պայմանով պահանջվող ածանցյալը.

Օրինակ 2Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Որոշում. Որպես գումարի ածանցյալ տարբերակել, որում հաստատուն գործակցով երկրորդ անդամը կարող է հանվել ածանցյալի նշանից.

Եթե դեռ հարցեր կան, թե որտեղից ինչ-որ բան, դրանք, որպես կանոն, պարզ են դառնում ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման ամենապարզ կանոնները կարդալուց հետո։ Մենք հենց հիմա գնում ենք նրանց մոտ։

Պարզ ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ

1. Հաստատուն (թիվ) ածանցյալ. Ցանկացած թիվ (1, 2, 5, 200...), որը գտնվում է ֆունկցիայի արտահայտության մեջ։ Միշտ զրո: Սա շատ կարևոր է հիշել, քանի որ դա շատ հաճախ է պահանջվում
2. Անկախ փոփոխականի ածանցյալ. Առավել հաճախ «x»: Միշտ մեկին հավասար: Սա նույնպես կարևոր է հիշել
3. աստիճանի ածանցյալ. Խնդիրներ լուծելիս պետք է ոչ քառակուսի արմատները վերածել հզորության:
4. Փոփոխականի ածանցյալը -1-ի
5. Ածանցյալ քառակուսի արմատ
6. Սինուսային ածանցյալ
7. Կոսինուսի ածանցյալ
8. Շոշափող ածանցյալ
9. Կոտանգենսի ածանցյալ
10. Արկսինի ածանցյալ
11. Աղեղային կոսինուսի ածանցյալ
12. Աղեղային շոշափողի ածանցյալ
13. Հակադարձ շոշափողի ածանցյալ
14. Բնական լոգարիթմի ածանցյալ
15. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ
16. Ցուցանիշի ածանցյալ
17. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Տարբերակման կանոններ

1. Գումարի կամ տարբերության ածանցյալ
2. Արտադրանքի ածանցյալ
2 ա. Արտահայտության ածանցյալը բազմապատկված է հաստատուն գործակցով
3. ածանցյալի
4. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ

Կանոն 1Եթե գործառույթներ

ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա նույն կետում ֆունկցիաները

դրանք. ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։

Հետևանք. Եթե երկու տարբերվող ֆունկցիաները տարբերվում են հաստատունով, ապա դրանց ածանցյալներն են, այսինքն.

Կանոն 2Եթե գործառույթներ

ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա նրանց արտադրանքը նույնպես տարբերվում է նույն կետում

դրանք. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին և մյուսի ածանցյալին։

Հետևանք 1. Մշտական գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից:

Հետևանք 2. Մի քանի տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է գործոններից յուրաքանչյուրի և բոլոր մյուսների ածանցյալի արտադրյալների գումարին։

Օրինակ, երեք բազմապատկիչների համար.

Կանոն 3Եթե գործառույթներ

ինչ-որ պահի տարբերվող և , ապա այս պահին նրանց քանորդը նույնպես տարբերելի է։u/v , և

դրանք. Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, իսկ հայտարարը նախկին համարիչի քառակուսին է։ .

Որտեղ փնտրել այլ էջերում

Արտադրանքի ածանցյալը և գործակիցը իրական խնդիրներում գտնելիս միշտ անհրաժեշտ է կիրառել մի քանի տարբերակման կանոններ միանգամից, ուստի այս ածանցյալների վերաբերյալ ավելի շատ օրինակներ կան հոդվածում:«Արդյունքի և գործակիցի ածանցյալը».

Մեկնաբանություն.Պետք չէ շփոթել հաստատունը (այսինքն՝ թիվը) որպես գումարի անդամ և որպես հաստատուն գործոն: Տերմինի դեպքում նրա ածանցյալը հավասար է զրոյի, իսկ հաստատուն գործոնի դեպքում հանվում է ածանցյալների նշանից։ Սա բնորոշ սխալ, որը տեղի է ունենում սկզբնական փուլսովորելով ածանցյալներ, բայց քանի որ դրանք լուծում են մի քանի մեկ-երկու բաղադրիչ օրինակներ, սովորական ուսանողն այլևս չի անում այս սխալը:

Իսկ եթե ապրանքը կամ գործակիցը տարբերակելիս ունեք տերմին u"v, որտեղ u- մի թիվ, օրինակ, 2 կամ 5, այսինքն՝ հաստատուն, ապա այս թվի ածանցյալը հավասար կլինի զրոյի և, հետևաբար, ամբողջ անդամը հավասար կլինի զրոյի (նման դեպքը վերլուծվում է օրինակ 10-ում) .

Մեկ այլ տարածված սխալ է բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի մեխանիկական լուծումը որպես պարզ ֆունկցիայի ածանցյալ: Այսպիսով բարդ ֆունկցիայի ածանցյալնվիրված է առանձին հոդված. Բայց նախ մենք կսովորենք գտնել պարզ ֆունկցիաների ածանցյալներ։

Ճանապարհին դուք չեք կարող անել առանց արտահայտությունների փոխակերպումների: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է բացել Windows-ի նոր ձեռնարկները Գործողություններ ուժերով և արմատներովև Գործողություններ կոտորակներով .

Եթե դուք լուծումներ եք փնտրում հզորություններով և արմատներով ածանցյալների համար, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է. , այնուհետև հետևեք «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարի ածանցյալ» դասին.

Եթե ունեք այնպիսի առաջադրանք, ինչպիսին է , ապա դուք «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» դասին եք։

Քայլ առ քայլ օրինակներ - ինչպես գտնել ածանցյալը

Օրինակ 3Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Որոշում. Մենք որոշում ենք ֆունկցիայի արտահայտության մասերը. ամբողջ արտահայտությունը ներկայացնում է արտադրյալը, իսկ դրա գործակիցները գումարներ են, որոնցից երկրորդում տերմիններից մեկը պարունակում է հաստատուն գործակից։ Մենք կիրառում ենք արտադրյալի տարբերակման կանոնը՝ երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին և մյուսի ածանցյալին.

Հաջորդիվ կիրառում ենք գումարի տարբերակման կանոնը՝ ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։ Մեր դեպքում յուրաքանչյուր գումարում երկրորդ անդամը մինուս նշանով։ Յուրաքանչյուր գումարում մենք տեսնում ենք և՛ անկախ փոփոխական, որի ածանցյալը հավասար է մեկի, և՛ հաստատուն (թիվ), որի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, «x»-ը վերածվում է մեկի, իսկ մինուս 5-ը՝ զրոյի: Երկրորդ արտահայտության մեջ «x»-ը բազմապատկվում է 2-ով, ուստի մենք երկուսը բազմապատկում ենք նույն միավորով, ինչ «x»-ի ածանցյալը։ Մենք ստանում ենք ածանցյալների հետևյալ արժեքները.

Գտնված ածանցյալները փոխարինում ենք արտադրյալների գումարով և ստանում խնդրի պայմանով պահանջվող ամբողջ ֆունկցիայի ածանցյալը.

Օրինակ 4Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Որոշում. Մեզնից պահանջվում է գտնել քանորդի ածանցյալը։ Մենք կիրառում ենք գործակից տարբերակելու բանաձևը. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի ածանցյալի և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, և հայտարարը նախկին համարիչի քառակուսին է: Մենք ստանում ենք.

Օրինակ 2-ում մենք արդեն գտել ենք համարիչի գործակիցների ածանցյալը: Չմոռանանք նաև, որ արտադրյալը, որը համարիչի երկրորդ գործոնն է, ներկա օրինակում վերցված է մինուս նշանով.

Եթե դուք լուծումներ եք փնտրում այնպիսի խնդիրների համար, որոնցում պետք է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, որտեղ կա արմատների և աստիճանների շարունակական կույտ, ինչպես օրինակ, օրինակ. ապա բարի գալուստ դասի «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարի ածանցյալը» .

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ավելին իմանալ սինուսների, կոսինուսների, տանգենտների և այլ ածանցյալների մասին եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է , ուրեմն դաս ունես «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» .

Օրինակ 5Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Որոշում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք արտադրյալ, որի գործոններից մեկը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է, որի ածանցյալին ծանոթացանք ածանցյալների աղյուսակում։ Ըստ արտադրյալի տարբերակման կանոնի և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքի՝ ստանում ենք.

Օրինակ 6Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Որոշում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք այն քանորդը, որի դիվիդենտը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է։ Համաձայն գործակիցի տարբերակման կանոնի, որը մենք կրկնեցինք և կիրառեցինք օրինակ 4-ում, և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքով, ստանում ենք.

Համարիչի կոտորակից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք .

Օրինակ 1

Հղում: Ֆունկցիան նշելու հետևյալ եղանակները համարժեք են. Որոշ առաջադրանքներում հարմար է ֆունկցիան նշանակել որպես «խաղացող», իսկ որոշներում՝ «ef x-ից»:

Նախ մենք գտնում ենք ածանցյալը.

Օրինակ 2

Հաշվիր ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում

, , գործառույթի ամբողջական ուսումնասիրությունև այլն:

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը կետում: Եկեք նախ գտնենք ածանցյալը.

Դե, դա բոլորովին այլ հարց է: Հաշվեք ածանցյալի արժեքը կետում.

Այն դեպքում, երբ դուք չեք հասկանում, թե ինչպես է հայտնաբերվել ածանցյալը, վերադառնաք թեմայի առաջին երկու դասերին: Եթե դժվարություններ կան (թյուրիմացություն) աղեղային շոշափողի և դրա իմաստների հետ, անպայման ուսումնասիրություն մեթոդական նյութ Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները- ամենավերջին պարբերությունը. Որովհետև ուսանողական տարիքի համար դեռ բավականաչափ արկտանգեններ կան:

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը կետում:

Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը

Նախորդ պարբերությունը համախմբելու համար դիտարկենք շոշափողը գտնելու խնդիրը ֆունկցիայի գրաֆիկաայս պահին: Այս առաջադրանքը մենք հանդիպել ենք դպրոցում, այն հանդիպում է նաև բարձրագույն մաթեմատիկայի կուրսում։

Դիտարկենք «ցուցադրական» տարրական օրինակ:

Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը աբսցիսայով կետում: Ես անմիջապես կտամ խնդրին պատրաստ գրաֆիկական լուծում (գործնականում դա շատ դեպքերում անհրաժեշտ չէ).

Շոշափողի խիստ սահմանումը տրվում է ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումները, բայց մինչև մենք տիրապետենք տեխնիկական մասհարց. Անշուշտ, գրեթե բոլորը ինտուիտիվ հասկանում են, թե ինչ է շոշափողը: Եթե բացատրում եք «մատների վրա», ապա ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափում է ուղիղ, որը վերաբերում է ֆունկցիայի գրաֆիկին միակկետ. Այս դեպքում ուղիղ գծի բոլոր մոտակա կետերը գտնվում են ֆունկցիայի գրաֆիկին հնարավորինս մոտ:

Ինչպես կիրառվում է մեր դեպքում. ժամը , շոշափողը (ստանդարտ նշում) դիպչում է ֆունկցիայի գրաֆիկին մեկ կետում:

Իսկ մեր խնդիրն է գտնել ուղիղ գծի հավասարումը։

Գործառույթի ածանցյալը կետում

Ինչպե՞ս գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում: Այս առաջադրանքի երկու ակնհայտ կետերը բխում են ձևակերպումից.

1) Անհրաժեշտ է գտնել ածանցյալը.

2) Անհրաժեշտ է հաշվարկել ածանցյալի արժեքը տվյալ կետում.

Օրինակ 1

Հաշվիր ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում

Օգնություն. ֆունկցիայի նշման հետևյալ եղանակները համարժեք են.

Որոշ առաջադրանքներում հարմար է ֆունկցիան նշանակել որպես «խաղացող», իսկ որոշներում՝ «ef x-ից»:

Նախ մենք գտնում ենք ածանցյալը.

Հուսով եմ, որ շատերն արդեն հարմարվել են բանավոր նման ածանցյալներ գտնելու համար։

Երկրորդ քայլում մենք հաշվարկում ենք ածանցյալի արժեքը հետևյալ կետում.

Անկախ լուծման համար տաքացման փոքր օրինակ.

Օրինակ 2

Հաշվիր ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում

Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Մի կետում ածանցյալը գտնելու անհրաժեշտությունը առաջանում է հետևյալ առաջադրանքների դեպքում՝ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող կառուցել (հաջորդ պարբերություն), Էքստրեմումի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն , գրաֆիկի թեքման ֆունկցիայի ուսումնասիրություն , գործառույթի ամբողջական ուսումնասիրություն և այլն:

Բայց խնդրո առարկա առաջադրանքը տեղի է ունենում վերահսկողական աշխատանքև ինքնին: Եվ, որպես կանոն, նման դեպքերում ֆունկցիան տրվում է բավականին բարդ։ Այս առումով դիտարկենք ևս երկու օրինակ։

Օրինակ 3

Հաշվիր ֆունկցիայի ածանցյալը կետում.
Եկեք նախ գտնենք ածանցյալը.

Ածանցյալը, սկզբունքորեն, գտնված է, և պահանջվող արժեքը կարող է փոխարինվել: Բայց ես իրականում ոչինչ չեմ ուզում անել։ Արտահայտությունը շատ երկար է, իսկ «x»-ի արժեքը կոտորակային է։ Հետեւաբար, մենք փորձում ենք հնարավորինս պարզեցնել մեր ածանցյալը։ Այս դեպքում փորձենք վերջին երեք անդամները կրճատել ընդհանուր հայտարարի. կետում.

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է:

Ինչպե՞ս գտնել F(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը Ho կետում: Ինչպե՞ս լուծել այն ընդհանրապես:

Եթե բանաձևը տրված է, ապա գտե՛ք ածանցյալը և X-ի փոխարեն փոխարինե՛ք X-զրո: հաշվել
Եթե մենք խոսում ենք o b-8 ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ, գրաֆիկ, ապա պետք է գտնել անկյան շոշափողը (սուր կամ բութ), որը շոշափում է X առանցքին (օգտագործելով ուղղանկյուն եռանկյան մտավոր կառուցվածքը և որոշելով անկյան շոշափողը)

Թիմուր Ադիլխոջաև

Նախ, դուք պետք է որոշեք նշանը: Եթե x0 կետը գտնվում է կոորդինատային հարթության ստորին մասում, ապա պատասխանի նշանը կլինի մինուս, իսկ եթե ավելի բարձր է, ապա +:
Երկրորդ, դուք պետք է իմանաք, թե ինչ է տանժը ուղղանկյուն ուղղանկյունում: Եվ սա հակառակ կողմի (ոտքի) հարակից կողմի (նաև ոտքի) հարաբերակցությունն է: Սովորաբար նկարի վրա մի քանի սև հետքեր կան: Այս նշաններից դուք կատարում եք ուղղանկյուն եռանկյունև գտնել տանգեր:

Ինչպե՞ս գտնել f x ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x0 կետում:

կոնկրետ հարց չկա՝ 3 տարի առաջ

Ընդհանուր դեպքում, ցանկացած կետում ինչ-որ փոփոխականի նկատմամբ ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է տարբերակել տվյալ ֆունկցիան այս փոփոխականի նկատմամբ։ Ձեր դեպքում X փոփոխականով: Ստացված արտահայտության մեջ X-ի փոխարեն դրեք x-ի արժեքը այն կետում, որի համար պետք է գտնել ածանցյալի արժեքը, այսինքն. Ձեր դեպքում փոխարինեք զրոյական X-ը և հաշվարկեք ստացված արտահայտությունը:

Դե, ձեր ցանկությունը հասկանալու այս հարցը, իմ կարծիքով, անկասկած արժանի է +, որը ես դնում եմ հանգիստ խղճով։

Ածանցյալը գտնելու խնդրի նման ձևակերպումը հաճախ դրվում է նյութը ածանցյալի երկրաչափական իմաստի վրա ամրացնելու համար։ Առաջարկվում է որոշակի ֆունկցիայի գրաֆիկ, ամբողջովին կամայական և ոչ տրված հավասարմամբ, և պահանջվում է գտնել ածանցյալի արժեքը (ոչ թե բուն ածանցյալը) նշված X0 կետում: Դրա համար կառուցվում է տվյալ ֆունկցիայի շոշափողը և գտնվում են դրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։ Այնուհետև այս շոշափողի հավասարումը կազմվում է y=kx+b ձևով։

Այս հավասարման մեջ k գործակիցը և կլինի ածանցյալի արժեքը: Մնում է գտնել բ գործակցի արժեքը. Դա անելու համար մենք գտնում ենք y-ի արժեքը x \u003d o-ում, թող այն հավասար լինի 3-ի, սա b գործակցի արժեքն է: Մենք X0-ի և Y0-ի արժեքները փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ և գտնում ենք k՝ այս պահին ածանցյալի մեր արժեքը:

Եթե հետևենք սահմանմանը, ապա մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը Δ ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է։ yԴ փաստարկի ավելացմանը x:

Ամեն ինչ կարծես պարզ է. Բայց փորձեք այս բանաձեւով հաշվարկել, ասենք, ֆունկցիայի ածանցյալը զ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ե xմեղք x. Եթե դուք ամեն ինչ անում եք ըստ սահմանման, ապա մի երկու էջ հաշվարկներից հետո դուք պարզապես կքնեք։ Հետեւաբար, կան ավելի պարզ եւ արդյունավետ ուղիներ:

Սկզբից մենք նշում ենք, որ այսպես կոչված տարրական գործառույթները կարելի է տարբերել գործառույթների ամբողջ բազմազանությունից: Սրանք համեմատաբար պարզ արտահայտություններ են, որոնց ածանցյալները վաղուց հաշվարկվել և մուտքագրվել են աղյուսակում։ Նման գործառույթները բավականին հեշտ են հիշել՝ դրանց ածանցյալների հետ միասին:

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ

Տարրական գործառույթները ստորև նշված են ամեն ինչ: Այս ֆունկցիաների ածանցյալները պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ավելին, դրանք անգիր անելը դժվար չէ, դրա համար էլ տարրական են։

Այսպիսով, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները.

Անուն	Գործառույթ	Ածանցյալ
Մշտական	զ(x) = Գ, Գ ∈ Ռ	0 (այո, այո, զրո):
Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով	զ(x) = x n	n · x n − 1
Սինուս	զ(x) = մեղք x	cos x
Կոսինուս	զ(x) = cos x	− մեղք x(մինուս սինուս)
Շոշափող	զ(x) = տգ x	1/co 2 x
Կոտանգենս	զ(x) = ctg x	− 1/մեղք2 x
բնական լոգարիթմ	զ(x) = մատյան x	1/x
Կամայական լոգարիթմ	զ(x) = մատյան ա x	1/(x ln ա)
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա	զ(x) = ե x	ե x(ոչինչ չի փոխվել)

Եթե տարրական ֆունկցիան բազմապատկվում է կամայական հաստատունով, ապա նոր ֆունկցիայի ածանցյալը նույնպես հեշտությամբ հաշվարկվում է.

(Գ · զ)’ = Գ · զ ’.

Ընդհանրապես հաստատունները կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Օրինակ:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ակնհայտ է, որ տարրական գործառույթները կարելի է ավելացնել միմյանց, բազմապատկել, բաժանել և շատ ավելին: Այսպես կհայտնվեն նոր գործառույթներ՝ արդեն ոչ շատ տարրական, բայց նաև տարբերվող՝ ըստ որոշակի կանոնների։ Այս կանոնները քննարկվում են ստորև:

Գումարի և տարբերության ածանցյալ

Թողեք գործառույթները զ(x) և է(x), որոնց ածանցյալները մեզ հայտնի են։ Օրինակ, կարող եք վերցնել վերը քննարկված տարրական գործառույթները: Այնուհետև կարող եք գտնել այս ֆունկցիաների գումարի և տարբերության ածանցյալը.

(զ + է)’ = զ ’ + է ’
(զ − է)’ = զ ’ − է ’

Այսպիսով, երկու ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը): Կարող են լինել ավելի շատ ժամկետներ: Օրինակ, ( զ + է + հ)’ = զ ’ + է ’ + հ ’.

Խիստ ասած, հանրահաշիվում «հանում» հասկացություն չկա։ Գոյություն ունի «բացասական տարր» հասկացություն։ Հետեւաբար, տարբերությունը զ − էկարող է վերագրվել որպես գումար զ+ (−1) է, և հետո մնում է միայն մեկ բանաձև՝ գումարի ածանցյալը։

զ(x) = x 2 + սինքս; է(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների գումարն է, ուստի.

զ ’(x) = (x 2+ մեղք x)’ = (x 2)' + (մեղ x)’ = 2x+ cosx;

Մենք նմանապես վիճում ենք ֆունկցիայի համար է(x): Միայն կան երեք տերմիններ (հանրահաշվի տեսանկյունից).

է ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Պատասխան.
զ ’(x) = 2x+ cosx;
է ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Արտադրանքի ածանցյալ

Մաթեմատիկան տրամաբանական գիտություն է, ուստի շատերը կարծում են, որ եթե գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին, ապա արտադրյալի ածանցյալը. գործադուլ«\u003e հավասար է ածանցյալների արտադրյալին: Բայց ձեզ համար թուզ: Արտադրանքի ածանցյալը հաշվարկվում է բոլորովին այլ բանաձևով: Մասնավորապես.

(զ · է) ’ = զ ’ · է + զ · է ’

Բանաձևը պարզ է, բայց հաճախ մոռացվում է. Եվ ոչ միայն դպրոցականներ, այլեւ ուսանողներ։ Արդյունքը սխալ լուծված խնդիրներն են։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = x 3 cosx; է(x) = (x 2 + 7x− 7) · ե x .

Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների արդյունք է, ուստի ամեն ինչ պարզ է.

զ ’(x) = (x 3 կո x)’ = (x 3) կոթ x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 կո x + x 3 (-մեղ x) = x 2 (3cos x − xմեղք x)

Գործառույթ է(x) առաջին բազմապատկիչը մի փոքր ավելի բարդ է, բայց ընդհանուր սխեմանսա չի փոխվում. Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի առաջին բազմապատկիչը է(x) բազմանդամ է, իսկ նրա ածանցյալը գումարի ածանցյալն է։ Մենք ունենք:

է ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ե x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · ե x + (x 2 + 7x− 7) ( ե x)’ = (2x+ 7) · ե x + (x 2 + 7x− 7) · ե x = ե x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ե x = x(x+ 9) · ե x .

Պատասխան.
զ ’(x) = x 2 (3cos x − xմեղք x);
է ’(x) = x(x+ 9) · ե x .

Նշենք, որ վերջին քայլում ածանցյալը գործոնացվում է: Ֆորմալ կերպով դա անհրաժեշտ չէ, բայց ածանցյալների մեծ մասը հաշվարկվում է ոչ թե ինքնուրույն, այլ ֆունկցիան ուսումնասիրելու համար: Սա նշանակում է, որ հետագայում ածանցյալը կհավասարեցվի զրոյի, նրա նշանները կպարզվեն և այլն։ Նման դեպքի համար ավելի լավ է գործոնների քայքայված արտահայտություն ունենալ։

Եթե կա երկու գործառույթ զ(x) և է(x), և է(x) ≠ 0 մեզ հետաքրքրող բազմության վրա, մենք կարող ենք սահմանել նոր ֆունկցիա հ(x) = զ(x)/է(x): Նման ֆունկցիայի համար կարող եք նաև գտնել ածանցյալը.

Թույլ չէ, չէ՞: Որտեղի՞ց եկավ մինուսը: Ինչո՞ւ է 2? Բայց այսպես. Սա ամենաբարդ բանաձևերից մեկն է. առանց շշի չես կարող հասկանալ: Ուստի ավելի լավ է այն ուսումնասիրել կոնկրետ օրինակներով։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ կան տարրական ֆունկցիաներ, ուստի մեզ անհրաժեշտ է գործակիցի ածանցյալի բանաձևը.

Ավանդույթի համաձայն, մենք համարիչը վերածում ենք գործոնների, սա մեծապես կհեշտացնի պատասխանը.

Բարդ ֆունկցիան պարտադիր չէ, որ բանաձև լինի կես կիլոմետր երկարությամբ: Օրինակ, բավական է վերցնել ֆունկցիան զ(x) = մեղք xև փոխարինել փոփոխականը x, ասենք, վրա x 2+ln x. Պարզվում է զ(x) = մեղք ( x 2+ln x) բարդ ֆունկցիա է։ Նա նաև ունի ածանցյալ, բայց դա չի աշխատի գտնել այն վերը քննարկված կանոնների համաձայն:

Ինչպե՞ս լինել: Նման դեպքերում փոփոխականի փոխարինումը և բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը օգնում են.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ», եթե xփոխարինվում է տ(x).

Որպես կանոն, այս բանաձևի ըմբռնման հետ կապված իրավիճակը նույնիսկ ավելի տխուր է, քան գործակիցի ածանցյալը։ Ուստի ավելի լավ է նաև դա բացատրել կոնկրետ օրինակներով, հետ մանրամասն նկարագրությունամեն քայլափոխի.

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = ե 2x + 3 ; է(x) = մեղք ( x 2+ln x)

Նշենք, որ եթե ֆունկցիայի մեջ զ(x) 2 արտահայտության փոխարեն x+ 3-ը հեշտ կլինի x, ապա ստանում ենք տարրական ֆունկցիա զ(x) = ե x. Հետևաբար, մենք կատարում ենք փոխարինում. թող 2 x + 3 = տ, զ(x) = զ(տ) = ե տ. Մենք փնտրում ենք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ բանաձևով.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (ե տ)’ · տ ’ = ե տ · տ ’

Եվ հիմա - ուշադրություն: Հակադարձ փոխարինման կատարում. տ = 2x+ 3. Մենք ստանում ենք.

զ ’(x) = ե տ · տ ’ = ե 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ե 2x+ 3 2 = 2 ե 2x + 3

Հիմա եկեք նայենք ֆունկցիային է(x): Ակնհայտորեն պետք է փոխարինել: x 2+ln x = տ. Մենք ունենք:

է ’(x) = է ’(տ) · տ= (մեղ տ)’ · տ' = cos տ · տ ’

Հակադարձ փոխարինում. տ = x 2+ln x. Ապա.

է ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Այսքանը: Ինչպես երևում է վերջին արտահայտությունից, ամբողջ խնդիրը կրճատվել է գումարի ածանցյալի հաշվարկով։

Պատասխան.
զ ’(x) = 2 ե 2x + 3 ;
է ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Շատ հաճախ իմ դասերին «ածանցյալ» տերմինի փոխարեն օգտագործում եմ «ինսուլտ» բառը։ Օրինակ՝ ինսուլտ գումարից հավասար է գումարինհարվածներ. Դա ավելի պարզ է? Դե, դա լավ է:

Այսպիսով, ածանցյալի հաշվարկը հանգում է հենց այս հարվածներից ազատվելուն՝ համաձայն վերը քննարկված կանոնների։ Որպես վերջնական օրինակ՝ վերադառնանք ռացիոնալ ցուցիչով ածանցյալ հզորությանը.

(x n)’ = n · x n − 1

Քչերը գիտեն դա դերում nկարող է լավ գործել կոտորակային թիվ. Օրինակ, արմատն է x 0,5 . Բայց ինչ անել, եթե արմատի տակ ինչ-որ բան կա: Դարձյալ բարդ ֆունկցիա կստացվի՝ թեստերում ու քննություններում սիրում են նման կոնստրուկցիաներ տալ։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Նախ, եկեք արմատը վերագրենք որպես ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժ.

զ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Այժմ մենք կատարում ենք փոխարինում. թող x 2 + 8x − 7 = տ. Մենք ածանցյալը գտնում ենք բանաձևով.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (տ 0.5)' տ' = 0,5 տ−0,5 տ ’.

Մենք կատարում ենք հակադարձ փոխարինում. տ = x 2 + 8x− 7. Մենք ունենք.

զ ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Վերջապես, վերադառնանք արմատներին.

Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ածանցյալ:

Ներածություն.

իրական մեթոդաբանական զարգացումներնախատեսված է Արդյունաբերական և շինարարական ֆակուլտետի ուսանողների համար: Դրանք կազմված են մաթեմատիկայի դասընթացի ծրագրի հետ կապված «Մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների դիֆերենցիալ հաշվարկ» բաժնում։

Մշակումները ներկայացնում են միասնական մեթոդաբանական ուղեցույց, որը ներառում է. տեսական համառոտ տեղեկատվություն. «բնորոշ» առաջադրանքներ և վարժություններ՝ այդ լուծումների մանրամասն լուծումներով և բացատրություններով. վերահսկման ընտրանքներ.

Լրացուցիչ վարժություններ յուրաքանչյուր պարբերության վերջում: Զարգացումների նման կառուցվածքը դրանք հարմարեցնում է ուսուցչի նվազագույն աջակցությամբ բաժինը ինքնուրույն տիրապետելու համար:

§մեկ. Ածանցյալի սահմանում.

Մեխանիկական և երկրաչափական նշանակություն

ածանցյալ.

Ածանցյալ հասկացությունը մաթեմատիկական վերլուծության կարևորագույն հասկացություններից է, այն առաջացել է դեռևս 17-րդ դարում։ Ածանցյալ հասկացության ձևավորումը պատմականորեն կապված է երկու խնդիրների հետ՝ փոփոխական շարժման արագության և կորի շոշափողի խնդրի հետ։

Այս առաջադրանքները, չնայած դրանց տարբեր բովանդակություն, հանգեցնում է նույն մաթեմատիկական գործողությանը, որը պետք է կատարվի ֆունկցիայի վրա։Այս գործողությունը ստացել է հատուկ անվանում մաթեմատիկայի մեջ։ Այն կոչվում է ֆունկցիայի տարբերակման գործողություն։ Տարբերակման գործողության արդյունքը կոչվում է ածանցյալ:

Այսպիսով, x0 կետում y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը ֆունկցիայի ավելացման հարաբերակցության սահմանն է (եթե այն գոյություն ունի) փաստարկի ավելացման հարաբերակցության սահմանը (եթե այն գոյություն ունի):
ժամը
.

Ածանցյալը սովորաբար նշվում է հետևյալ կերպ.
.

Այսպիսով, ըստ սահմանման

Նշաններն օգտագործվում են նաև ածանցյալը նշելու համար
.

Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը.

Եթե s=s(t) նյութական կետի ուղղագիծ շարժման օրենքն է, ապա
t ժամանակի այս կետի արագությունն է։

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.

Եթե y=f(x) ֆունկցիան մի կետում ունի ածանցյալ , ապա լանջինկետում գտնվող ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող
հավասար է
.

Օրինակ.

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
կետում =2:

1) Եկեք մի կետ տանք = 2 հավելում
. Ուշադրություն դարձրեք, որ.

2) Գտեք ֆունկցիայի աճը կետում =2:

3) Կազմե՛ք ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի աճին.

Եկեք գտնենք հարաբերության սահմանը ժամը
:

Այսպիսով,
.

§ 2. Ոմանց ածանցյալներ

ամենապարզ գործառույթները.

Աշակերտը պետք է սովորի, թե ինչպես հաշվարկել կոնկրետ ֆունկցիաների ածանցյալները՝ y=x,y= իսկ ընդհանրապես y= .

Գտե՛ք y=x ֆունկցիայի ածանցյալը:

դրանք. (x)′=1.

Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը

Ածանցյալ

Թող լինի
ապա

Հեշտ է նկատել օրինաչափություն հզորության ֆունկցիայի ածանցյալների արտահայտություններում
ժամը n=1,2,3.

Հետևաբար,

. (1)

Այս բանաձևը վավեր է ցանկացած իրական n-ի համար:

Մասնավորապես, օգտագործելով (1) բանաձևը, մենք ունենք.

;

Օրինակ.

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Այս ֆունկցիան ձևի ֆունկցիայի հատուկ դեպք է

ժամը
.

Օգտագործելով (1) բանաձևը, մենք ունենք

y=sin x և y=cos x ֆունկցիաների ածանցյալները։

Թող y=sinx:

Բաժանենք ∆x-ի, ստանում ենք

Դx→0 սահմանին անցնելով՝ ունենք

Թող y=cosx:

Դx→0 սահմանին անցնելով՝ ստանում ենք

;
. (2)

§3. Տարբերակման հիմնական կանոնները.

Դիտարկենք տարբերակման կանոնները.

Թեորեմ1 . Եթե u=u(x) և v=v(x) ֆունկցիաները տարբերվում են տվյալ x կետում, ապա դրանց գումարը նույնպես տարբերվում է այս կետում, իսկ գումարի ածանցյալը հավասար է ստացված անդամների գումարին. (u+v)"=u"+v".(3)

Ապացույց՝ դիտարկենք y=f(x)=u(x)+v(x) ֆունկցիան:

x արգումենտի ∆x աճը համապատասխանում է u և v ֆունկցիաների ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x): Այնուհետև y ֆունկցիան կավելացվի

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Հետևաբար,

Այսպիսով, (u+v)"=u"+v".

Թեորեմ2. Եթե u=u(x) և v=v(x) ֆունկցիաները տարբերվում են x կետում, ապա դրանց արտադրյալը նույնպես տարբերվում է նույն կետում:Այս դեպքում արտադրյալի ածանցյալը գտնում ենք հետևյալ բանաձևով. (uv) "=u" v + uv ". (4)

Ապացույց. Թող y=uv, որտեղ u-ը և v-ը x-ի որոշ տարբերվող ֆունկցիաներ են: Թող x-ը մեծացվի ∆x-ով, ապա u-ը կավելացվի ∆u-ով, v-ն կաճի ∆v-ով, իսկ y-ը կաճի ∆y-ով:

Մենք ունենք y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), կամ

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Հետեւաբար, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Այստեղից

Անցնելով սահմանին ως ∆x→0 և հաշվի առնելով, որ u-ը և v-ն կախված չեն ∆x-ից, ունենք.

Թեորեմ 3. Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի հայտարարը հավասար է բաժանարարի քառակուսուն, իսկ համարիչը՝ բաժանարարի կողմից շահաբաժնի ածանցյալի արտադրյալի և բաժանարարի արտադրյալի տարբերությունը։ դիվիդենտ բաժանարարի ածանցյալով, այսինքն.

Եթե
ապա
(5)