Trapezoid- ի միջին գծի նշանները. Trapezoid-ի միջին գիծը

Trapezoid-ի միջին գծի հայեցակարգը

Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ գործիչ է կոչվում trapezoid:

Սահմանում 1

Trapezoid-ը քառանկյուն է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն:

Այս դեպքում զուգահեռ կողմերը կոչվում են trapezoid-ի հիմքեր, իսկ ոչ զուգահեռները՝ trapezoid-ի կողմերը:

Սահմանում 2

Trapezoid-ի միջին գիծը գծային հատված է, որը միացնում է trapezoid-ի կողմերի միջնակետերը:

Տրապեզիայի միջին գծի թեորեմ

Այժմ մենք ներկայացնում ենք թեորեմը trapezoid-ի միջին գծի վերաբերյալ և այն ապացուցում վեկտորային մեթոդով:

Թեորեմ 1

Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին:

Ապացույց.

Մեզ տրվի $ABCD$ $AD\ և\ BC$ հիմքերով trapezoid: Եվ թող $MN$ լինի այս trapezoid-ի միջնագիծը (նկ. 1):

Նկար 1. Trapezoid- ի միջին գիծը

Եկեք ապացուցենք, որ $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$:

Դիտարկենք $\overrightarrow(MN)$ վեկտորը: Հաջորդը, մենք օգտագործում ենք պոլիգոնի կանոնը վեկտորի գումարման համար: Մի կողմից, մենք ստանում ենք դա

Մյուս կողմից

Գումարելով վերջին երկու հավասարումները՝ ստանում ենք

Քանի որ $M$-ը և $N$-ը trapezoid-ի կողմերի միջնակետերն են, մենք ունենք

Մենք ստանում ենք.

Ուստի

Նույն հավասարությունից (քանի որ $\overrightarrow(BC)$-ը և $\overrightarrow(AD)$-ը համակողմանի են և, հետևաբար, համագիծ), մենք ստանում ենք $MN||AD$:

Թեորեմն ապացուցված է.

Տրապիզոնի միջին գծի հայեցակարգի վերաբերյալ առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1

Trapezoid-ի կողմերը համապատասխանաբար $15\cm$ և $17\cm$ են։ Trapezoid-ի պարագիծը $52\cm$ է։ Գտե՛ք տրապեզի միջին գծի երկարությունը:

Որոշում.

Նշեք տրապեզի միջին գիծը $n$-ով:

Կողմերի գումարը կազմում է

Հետևաբար, քանի որ պարագիծը $52\cm$ է, հիմքերի գումարը կազմում է

Այսպիսով, թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

Պատասխան.$ 10 \ սմ $.

Օրինակ 2

Շրջանակի տրամագծի ծայրերը համապատասխանաբար $9$ սմ և $5$ սմ են նրա շոշափողից։Գտե՛ք այս շրջանագծի տրամագիծը։

Որոշում.

Եկեք մեզ տրվի $O$ կենտրոնով և $AB$ տրամագծով շրջան: Գծե՛ք $l$ շոշափողը և կառուցե՛ք $AD=9\ cm$ և $BC=5\ cm$ հեռավորությունները։ Գծենք $OH$ շառավիղը (նկ. 2):

Նկար 2.

Քանի որ $AD$ և $BC$-ը շոշափողի հեռավորություններն են, ապա $AD\bot l$ և $BC\bot l$ և քանի որ $OH$-ը շառավիղն է, ապա $OH\bot l$, հետևաբար $OH | \ձախ|AD\աջ||BC$. Այս ամենից մենք ստանում ենք, որ $ABCD$-ը trapezoid է, իսկ $OH$-ը նրա միջին գիծն է: Թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել նույնականացման համար որոշակի անձկամ կապը նրա հետ:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ այդ մասին եզակի առաջարկներ, առաջխաղացումներ և այլ միջոցառումներ և առաջիկա իրադարձություններ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակներով, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններբարելավել մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները և ձեզ առաջարկություններ տրամադրել մեր ծառայությունների վերաբերյալ:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով, դատական ​​կարգով, ք դատավարություն, և/կամ հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլփոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները մեզ թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) հիմնվելով Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Trapezoid-ի տարածքը. Ողջույններ Այս հրապարակման մեջ մենք կքննարկենք այս բանաձեւը. Ինչու՞ է այդպես, և ինչպե՞ս կարող ես դա հասկանալ: Եթե ​​կա փոխըմբռնում, ուրեմն պետք չէ դա սովորել։ Եթե ​​պարզապես ուզում եք տեսնել այս բանաձևը և ինչն է հրատապ, ապա կարող եք անմիջապես ոլորել էջը))

Այժմ մանրամասն և կարգով։

Trapezoid-ը քառանկյուն է, այս քառանկյան երկու կողմերը զուգահեռ են, մյուս երկուսը` ոչ: Նրանք, որոնք զուգահեռ չեն, տրապեզիայի հիմքերն են։ Մյուս երկուսը կոչվում են կողմեր:

Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա տրապեզը կոչվում է հավասարաչափ: Եթե ​​կողմերից մեկն ուղղահայաց է հիմքերին, ապա նման տրապիզը կոչվում է ուղղանկյուն։

Դասական ձևով տրապիզոիդը պատկերված է հետևյալ կերպ՝ ավելի մեծ հիմքը գտնվում է ներքևում, համապատասխանաբար, փոքրը՝ վերևում։ Բայց ոչ ոք չի արգելում այն ​​պատկերել և հակառակը։ Ահա էսքիզները.

Հաջորդ կարևոր հայեցակարգը.

Trapezoid-ի միջնագիծը մի հատված է, որը միացնում է կողմերի միջնակետերը: Միջին ուղիղը զուգահեռ է տրապեզի հիմքերին և հավասար է դրանց կիսագումարին։

Հիմա եկեք ավելի խորանանք: Ինչու հենց?

Դիտարկենք հիմքերով տրապեզոիդ ա և բև միջին գծով լև կատարեք մի քանի լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ՝ հիմքերի միջով ուղիղ գծեր գծեք, իսկ միջին գծի ծայրերով՝ ուղղահայացներ, մինչև դրանք հատվեն հիմքերի հետ.

*Գագաձևերի և այլ կետերի տառերի նշանակումները դիտավորյալ չեն մուտքագրվում՝ ավելորդ նշումներից խուսափելու համար:

Տեսեք, 1 և 2 եռանկյունները հավասար են եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանի համաձայն, 3 և 4 եռանկյունները նույնն են։ Եռանկյունների հավասարությունից հետևում է տարրերի, այն է՝ ոտքերի հավասարությունը (դրանք նշված են համապատասխանաբար կապույտ և կարմիր գույներով):

Հիմա ուշադրություն! Եթե ​​մտովի «կտրենք» կապույտ և կարմիր հատվածները ստորին հիմքից, ապա կունենանք միջին գծին հավասար հատված (սա ուղղանկյան կողմն է): Այնուհետև, եթե կտրված կապույտ և կարմիր հատվածները «սոսնձենք» տրապիզոնի վերին հիմքին, ապա մենք նույնպես կստանանք հատված (սա նաև ուղղանկյան կողմն է), որը հավասար է տրապիզոնի միջին գծին:

Հասկացա? Ստացվում է, որ հիմքերի գումարը հավասար կլինի trapezoid-ի երկու միջիններին.

Տես մեկ այլ բացատրություն

Անենք հետևյալը՝ կառուցենք ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է trapezoid-ի ստորին հիմքով և ուղիղ գիծ, ​​որը կանցնի A և B կետերով.

Ստանում ենք 1 և 2 եռանկյուններ, դրանք հավասար են կողային և հարակից անկյուններով (եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը)։ Սա նշանակում է, որ ստացված հատվածը (ուրվագծում այն ​​նշված է կապույտով) հավասար է տրապիզոնի վերին հիմքին։

Հիմա հաշվի առեք եռանկյունին.

*Այս trapezoid-ի միջնագիծը և եռանկյան միջին գիծը համընկնում են:

Հայտնի է, որ եռանկյունը հավասար է իրեն զուգահեռ հիմքի կեսին, այսինքն.

Լավ, հասկացա: Այժմ trapezoid-ի տարածքի մասին:

Trapezium տարածքի բանաձևը.

Ասում են՝ տրապիզոնի մակերեսը հավասար է նրա հիմքերի և բարձրության գումարի կեսի արտադրյալին։

Այսինքն, ստացվում է, որ այն հավասար է միջին գծի և բարձրության արտադրյալին.

Դուք հավանաբար արդեն նկատել եք, որ դա ակնհայտ է։ Երկրաչափական առումով սա կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ. եթե 2 և 4 եռանկյունները մտովի կտրենք տրապիզոնից և դնենք համապատասխանաբար 1 և 3 եռանկյունների վրա.

Այնուհետև մենք ստանում ենք տարածքով ուղղանկյուն մակերեսին հավասարմեր trapezoid. Այս ուղղանկյան մակերեսը հավասար կլինի միջին գծի և բարձրության արտադրյալին, այսինքն՝ կարող ենք գրել.

Բայց այստեղ խոսքը ոչ թե գրավոր, այլ հասկանալու մեջ է։

Ներբեռնեք (դիտեք) հոդվածի նյութը *pdf ձևաչափով

Այսքանը: Հաջողություն քեզ!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր։

Միայն երկու զուգահեռ կողմերով քառանկյունը կոչվում է trapeze.

Trapezoid-ի զուգահեռ կողմերը կոչվում են իր հիմքերը, և կոչվում են այն կողմերը, որոնք զուգահեռ չեն կողմերը. Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա նման trapezoid isosceles. Հիմքերի միջև հեռավորությունը կոչվում է տրապեզի բարձրություն:

Տրապեզիայի միջին գիծ

Միջին գիծը տրապիզոնի կողմերի միջնակետերը միացնող հատված է: Trapezoid-ի միջին գիծը զուգահեռ է նրա հիմքերին:

Թեորեմ.

Եթե ​​մի կողմի միջնակետը հատող ուղիղը զուգահեռ է տրապեզիի հիմքերին, ապա այն կիսում է երկրորդը. կողային կողմը trapezoid.

Թեորեմ.

Միջին գծի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի երկարությունների միջին թվաբանականին

MN միջին գիծ, ​​AB և CD - հիմքեր, AD և BC - կողմեր

MN=(AB+DC)/2

Թեորեմ.

Trapezoid-ի միջին գծի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի երկարությունների միջին թվաբանականին:

Հիմնական խնդիրըԱպացուցեք, որ տրապեզի միջին գիծը կիսում է հատվածը, որի ծայրերը գտնվում են տրապիզոնի հիմքերի մեջտեղում:

Եռանկյունու միջին գիծ

Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող ուղիղ հատվածը կոչվում է եռանկյան միջնագիծ։ Այն զուգահեռ է երրորդ կողմին և երկարությունը երրորդ կողմի երկարության կեսն է։
ԹեորեմԵթե ​​եռանկյան մի կողմի միջնակետը հատող ուղիղը զուգահեռ է տվյալ եռանկյան մյուս կողմին, ապա այն կիսում է երրորդ կողմը:

AM = MC և BN = NC =>

Եռանկյունի և Trapezoid Midline հատկությունների կիրառում

Հատվածի բաժանումը որոշակի թվով հավասար մասերի:
Առաջադրանք՝ AB հատվածը բաժանել 5 հավասար մասերի:
Որոշում:
Թող p լինի պատահական ճառագայթ, որի սկիզբը A կետն է և որը չի գտնվում AB ուղիղի վրա: Մենք հաջորդաբար մի կողմ ենք դնում 5 հավասար հատված p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Մենք A 5-ը միացնում ենք B-ին և A 4, A 3, A 2 և A 1 միջով գծեր ենք գծում, որոնք զուգահեռ են A 5 B-ին: Նրանք հատում են AB-ը համապատասխանաբար B 4, B 3, B 2 և B 1 կետերում: Այս կետերը AB հատվածը բաժանում են 5 հավասար մասերի։ Իսկապես, BB 3 A 3 A 5 trapezoid-ից մենք տեսնում ենք, որ BB 4 = B 4 B 3: Նույն կերպ B 4 B 2 A 2 A 4 trapezoid-ից ստանում ենք B 4 B 3 = B 3 B 2.

Մինչ trapezoid-ից B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1:
Այնուհետև B 2 AA 2-ից հետևում է, որ B 2 B 1 = B 1 A. Եզրափակելով ՝ մենք ստանում ենք.
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Հասկանալի է, որ AB հատվածը մեկ այլ թվով հավասար մասերի բաժանելու համար պետք է նույնքան հավասար հատվածներ նախագծել p ճառագայթի վրա։ Եվ հետո շարունակեք վերը նկարագրված ձևով: