Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը որոշվում է բանաձևով. Ածանցյալների բանաձևեր. Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն
ԻՑ «ածանցյալ» թեմայով սրբագրիչ նյութեր. Հիմնական դպրոցի մակարդակ.
Տեսական տեղեկատվություն մաթեմատիկայի ուսանողների, ուսուցիչների և կրկնուսույցների համար: Դասերին օգնելու համար:
Սահմանում:ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում կոչվում է ֆունկցիայի աճի և փոփոխականի աճի հարաբերության սահման, այսինքն.
Հիմնական մաթեմատիկական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ.
Ածանցյալ գործիքների հաշվարկման կանոններ
Գումարի ածանցյալցանկացած երկու արտահայտությունը հավասար է այս արտահայտությունների ածանցյալների գումարին (գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին)
Տարբերության ածանցյալցանկացած երկու արտահայտությունը հավասար է այս տերմինների ածանցյալների տարբերությանը (տարբերության ածանցյալը հավասար է ածանցյալների տարբերությանը):
Արտադրանքի ածանցյալերկու գործոն հավասար է առաջին գործոնի ածանցյալի արտադրյալին երկրորդի կողմից գումարած առաջին գործոնի արտադրյալին երկրորդի ածանցյալով (հերթով վերցված գործոնների ածանցյալների գումարը):
Մաթեմատիկայի դասախոսի մեկնաբանությունը.երբ ուսանողին կարճ արտահայտություններով հիշեցնում եմ արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկելու կանոնի մասին, ասում եմ սա՝ առաջին գործոնի ածանցյալը երկրորդ գումարածով. ինսուլտի փոխանակում!
քանորդի ածանցյալերկու արտահայտությունները հավասար են գործակիցների հերթափոխով վերցված ածանցյալների տարբերության և հայտարարի քառակուսու գործակցին:
Թվի և ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալ. Թվի և բառացի արտահայտության (ֆունկցիայի) արտադրյալի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է այս թիվը բազմապատկել այս բառացի արտահայտության ածանցյալով:
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը և այն բազմապատկել ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։
Ձեր մեկնաբանությունները և կարծիքները ածանցյալներով էջի վերաբերյալ.
Ալեքսանդր Ս.
Ինձ իսկապես սեղան էր պետք: Ինտերնետում ամենաշատերից մեկը: Շատ շնորհակալ եմ բացատրությունների և կանոնների համար։ Գոնե ևս մեկ օրինակ իրենց և ընդհանրապես հիանալի կլիներ։ Նորից շնորհակալություն.
Կոլպակով Ա.Ն., մաթեմատիկայի դաստիարակ.լավ, շուտով կփորձեմ թարմացնել էջը օրինակներով:
Վիրտուալ մաթեմատիկական տեղեկատու.
Կոլպակով Ալեքսանդր Նիկոլաևիչ, մաթեմատիկայի դասախոս:
Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այս պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:
Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում
Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:
Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:
Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:
Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.
- Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլփոստի հասցեն և այլն:
Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.
- Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
- Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
- Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
- Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:
Բացահայտում երրորդ կողմերին
Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:
Բացառություններ.
- Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական կարգով, դատական վարույթում և (կամ) հիմնվելով Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրարկման կամ հանրային շահերի այլ նպատակներով:
- Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:
Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն
Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:
Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով
Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները ապահով են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:
Ածանցյալ գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում։
Ամենապարզ (և ոչ շատ պարզ) ֆունկցիաների ածանցյալները գտնելու խնդիրների լուծման արդյունքում՝ ածանցյալը որպես փաստարկի աճի հարաբերակցության սահման սահմանելով, հայտնվեց ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման հստակ սահմանված կանոնները։ . Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716) առաջինն են աշխատել ածանցյալների որոնման ոլորտում։
Հետևաբար, մեր ժամանակներում որևէ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ հաշվարկել ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության վերը նշված սահմանը փաստարկի աճին, այլ անհրաժեշտ է օգտագործել միայն աղյուսակը. ածանցյալների և տարբերակման կանոնների. Հետևյալ ալգորիթմը հարմար է ածանցյալը գտնելու համար.
Ածանցյալը գտնելու համար, Ձեզ անհրաժեշտ է արտահայտություն՝ հարվածի նշանի տակ կոտրել պարզ գործառույթներըև որոշել, թե ինչ գործողություններ (արտադրանք, գումար, գործակից)այս գործառույթները կապված են: Այնուհետև, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները մենք գտնում ենք ածանցյալների աղյուսակում, իսկ արտադրանքի, գումարի և գործակիցի ածանցյալների բանաձևերը՝ տարբերակման կանոններում: Ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման կանոնները տրված են առաջին երկու օրինակներից հետո:
Օրինակ 1Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Տարբերակման կանոններից պարզում ենք, որ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը ֆունկցիաների ածանցյալների գումարն է, այսինքն.
Ածանցյալների աղյուսակից պարզում ենք, որ «X»-ի ածանցյալը հավասար է մեկի, իսկ սինուսի ածանցյալը՝ կոսինուսը։ Մենք փոխարինում ենք այս արժեքները ածանցյալների գումարում և գտնում ենք խնդրի պայմանով պահանջվող ածանցյալը.
Օրինակ 2Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Որպես գումարի ածանցյալ տարբերակել, որում հաստատուն գործակցով երկրորդ անդամը կարող է հանվել ածանցյալի նշանից.
Եթե դեռ հարցեր կան, թե որտեղից ինչ-որ բան, դրանք, որպես կանոն, պարզ են դառնում ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման ամենապարզ կանոնները կարդալուց հետո։ Մենք հենց հիմա գնում ենք նրանց մոտ։
Պարզ ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ
| 1. Հաստատուն (թիվ) ածանցյալ. Ցանկացած թիվ (1, 2, 5, 200...), որը գտնվում է ֆունկցիայի արտահայտության մեջ։ Միշտ զրո: Սա շատ կարևոր է հիշել, քանի որ դա շատ հաճախ է պահանջվում | |
| 2. Անկախ փոփոխականի ածանցյալ. Առավել հաճախ «x»: Միշտ մեկին հավասար: Սա նույնպես կարևոր է հիշել | |
| 3. աստիճանի ածանցյալ. Խնդիրներ լուծելիս պետք է ոչ քառակուսի արմատները վերածել հզորության: | |
| 4. Փոփոխականի ածանցյալը -1-ի | |
| 5. Քառակուսի արմատի ածանցյալ | |
| 6. Սինուսային ածանցյալ | |
| 7. Կոսինուսի ածանցյալ |  |
| 8. Շոշափող ածանցյալ |  |
| 9. Կոտանգենսի ածանցյալ |  |
| 10. Արկսինի ածանցյալ |  |
| 11. Աղեղային կոսինուսի ածանցյալ |  |
| 12. Աղեղային շոշափողի ածանցյալ |  |
| 13. Հակադարձ շոշափողի ածանցյալ |  |
| 14. Բնական լոգարիթմի ածանցյալ | |
| 15. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ |  |
| 16. Ցուցանիշի ածանցյալ | |
| 17. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ |
Տարբերակման կանոններ
| 1. Գումարի կամ տարբերության ածանցյալ |  |
| 2. Արտադրանքի ածանցյալ |  |
| 2 ա. Արտահայտության ածանցյալը բազմապատկված է հաստատուն գործակցով | |
| 3. ածանցյալի |  |
| 4. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ |  |
Կանոն 1Եթե գործառույթներ
ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա նույն կետում ֆունկցիաները
և
դրանք. ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։
Հետևանք. Եթե երկու տարբերվող ֆունկցիաները տարբերվում են հաստատունով, ապա դրանց ածանցյալներն են, այսինքն.
Կանոն 2Եթե գործառույթներ
ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա նրանց արտադրանքը նույնպես տարբերվում է նույն կետում
և
դրանք. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին և մյուսի ածանցյալին։
Հետևանք 1. Մշտական գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից:
Հետևանք 2. Մի քանի տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է գործոններից յուրաքանչյուրի և բոլոր մյուսների ածանցյալի արտադրյալների գումարին։
Օրինակ, երեք բազմապատկիչների համար.
Կանոն 3Եթե գործառույթներ
ինչ-որ պահի տարբերվող և , ապա այս պահին նրանց քանորդը նույնպես տարբերելի է։u/v , և
դրանք. Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, իսկ հայտարարը նախկին համարիչի քառակուսին է։ .
Որտեղ փնտրել այլ էջերում
Արտադրանքի ածանցյալը և գործակիցը իրական խնդիրներում գտնելիս միշտ անհրաժեշտ է կիրառել մի քանի տարբերակման կանոններ միանգամից, ուստի այս ածանցյալների վերաբերյալ ավելի շատ օրինակներ կան հոդվածում:«Արդյունքի և գործակիցի ածանցյալը».
Մեկնաբանություն.Պետք չէ շփոթել հաստատունը (այսինքն՝ թիվը) որպես գումարի անդամ և որպես հաստատուն գործոն: Տերմինի դեպքում նրա ածանցյալը հավասար է զրոյի, իսկ հաստատուն գործոնի դեպքում հանվում է ածանցյալների նշանից։ Սա տիպիկ սխալ է, որը տեղի է ունենում ածանցյալների ուսումնասիրության սկզբնական փուլում, բայց քանի որ միջին ուսանողը լուծում է մի քանի մեկ-երկու բաղադրիչ օրինակներ, այս սխալն այլևս չի անում:
Իսկ եթե ապրանքը կամ գործակիցը տարբերակելիս ունեք տերմին u"v, որտեղ u- մի թիվ, օրինակ, 2 կամ 5, այսինքն՝ հաստատուն, ապա այս թվի ածանցյալը հավասար կլինի զրոյի և, հետևաբար, ամբողջ անդամը հավասար կլինի զրոյի (նման դեպքը վերլուծվում է օրինակ 10-ում) .
Մեկ այլ տարածված սխալ է բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի մեխանիկական լուծումը որպես պարզ ֆունկցիայի ածանցյալ: Ահա թե ինչու բարդ ֆունկցիայի ածանցյալնվիրված առանձին հոդվածի։ Բայց նախ մենք կսովորենք գտնել պարզ ֆունկցիաների ածանցյալներ։
Ճանապարհին դուք չեք կարող անել առանց արտահայտությունների փոխակերպումների: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է բացել Windows-ի նոր ձեռնարկները Գործողություններ ուժերով և արմատներովև Գործողություններ կոտորակներով .
Եթե դուք լուծումներ եք փնտրում հզորություններով և արմատներով ածանցյալների համար, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է. 
, այնուհետև հետևեք «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարի ածանցյալ» դասին.
Եթե ունեք այնպիսի առաջադրանք, ինչպիսին է 
, ապա դուք «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» դասին եք։
Քայլ առ քայլ օրինակներ - ինչպես գտնել ածանցյալը
Օրինակ 3Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Մենք որոշում ենք ֆունկցիայի արտահայտության մասերը. ամբողջ արտահայտությունը ներկայացնում է արտադրյալը, իսկ դրա գործակիցները գումարներ են, որոնցից երկրորդում տերմիններից մեկը պարունակում է հաստատուն գործակից։ Մենք կիրառում ենք արտադրյալի տարբերակման կանոնը՝ երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին և մյուսի ածանցյալին.
Հաջորդիվ կիրառում ենք գումարի տարբերակման կանոնը՝ ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։ Մեր դեպքում յուրաքանչյուր գումարում երկրորդ անդամը մինուս նշանով։ Յուրաքանչյուր գումարում մենք տեսնում ենք և՛ անկախ փոփոխական, որի ածանցյալը հավասար է մեկի, և՛ հաստատուն (թիվ), որի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, «x»-ը վերածվում է մեկի, իսկ մինուս 5-ը՝ զրոյի: Երկրորդ արտահայտության մեջ «x»-ը բազմապատկվում է 2-ով, ուստի մենք երկուսը բազմապատկում ենք նույն միավորով, ինչ «x»-ի ածանցյալը։ Մենք ստանում ենք ածանցյալների հետևյալ արժեքները.
Գտնված ածանցյալները փոխարինում ենք արտադրյալների գումարով և ստանում խնդրի պայմանով պահանջվող ամբողջ ֆունկցիայի ածանցյալը.
Օրինակ 4Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Մեզնից պահանջվում է գտնել քանորդի ածանցյալը։ Մենք կիրառում ենք գործակից տարբերակելու բանաձևը. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի ածանցյալի և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, և հայտարարը նախկին համարիչի քառակուսին է: Մենք ստանում ենք.
Օրինակ 2-ում մենք արդեն գտել ենք համարիչի գործակիցների ածանցյալը: Չմոռանանք նաև, որ արտադրյալը, որը ներկայիս օրինակում համարիչի երկրորդ գործոնն է, վերցված է մինուս նշանով.
Եթե դուք լուծումներ եք փնտրում այնպիսի խնդիրների համար, որոնցում պետք է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, որտեղ կա արմատների և աստիճանների շարունակական կույտ, ինչպես օրինակ, օրինակ. 
ապա բարի գալուստ դասի «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարի ածանցյալը» .
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ավելին իմանալ սինուսների, կոսինուսների, տանգենտների և այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալների մասին, այսինքն՝ երբ ֆունկցիան նման է. , ուրեմն դաս ունես «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» .
Օրինակ 5Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք արտադրյալ, որի գործոններից մեկը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է, որի ածանցյալին ծանոթացանք ածանցյալների աղյուսակում։ Ըստ արտադրյալի տարբերակման կանոնի և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքի՝ ստանում ենք.
Օրինակ 6Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք այն քանորդը, որի դիվիդենտը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է։ Համաձայն գործակիցի տարբերակման կանոնի, որը մենք կրկնեցինք և կիրառեցինք օրինակ 4-ում, և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքով, ստանում ենք.
Համարիչի կոտորակից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք .
Ինչ է ածանցյալ ֆունկցիան - սա հիմնական մաթեմատիկական հասկացությունն է, ինտեգրալների հետ նույն մակարդակի վրա է, վերլուծության մեջ: Այս ֆունկցիան որոշակի կետում տալիս է տվյալ կետում ֆունկցիայի փոփոխության արագության բնութագիրը:
Նման հասկացությունները, ինչպիսիք են տարբերակումը և ինտեգրումը, առաջինը նշանակում է ածանցյալ գտնելու գործողություն, երկրորդը, ընդհակառակը, վերականգնում է այս ածանցյալից սկսած գործառույթը:
Ածանցյալ հաշվարկները կարևոր դեր են խաղում դիֆերենցիալ հաշվարկներում:
Պատկերավոր օրինակի համար մենք կպատկերենք ածանցյալը կոորդինատային հարթության վրա:
y \u003d f (x) ֆունկցիայի մեջ մենք ամրագրում ենք M կետերը, որոնցում (x0; f (X0)) և N f (x0 +? x) յուրաքանչյուր աբսցիսայի վրա կա x ձևի աճ: Ավելացումն այն գործընթացն է, երբ փոխվում է աբսցիսան, հետո փոխվում է նաև օրդինատը։ Նշանակված է որպես?
Եկեք գտնենք անկյան շոշափողը MPN եռանկյան մեջ՝ դրա համար օգտագործելով M և N կետերը:
tg? = NP/MP = ?y/?x.
Երբ x-ը գնում է 0-ի: MN հատվողը մոտենում է MT շոշափողին և անկյան հետ: կլինի?. Հետեւաբար, tg? առավելագույն արժեքը tg-ի համար:
tg? = lim from?x-0 tg ? = lim from?x-0 ?y/?x
Ածանցյալ աղյուսակ
Եթե արտասանեք յուրաքանչյուրի ձևակերպումը ածանցյալ բանաձևեր. Աղյուսակը ավելի հեշտ կլինի հիշել:
1) հաստատուն արժեքի ածանցյալը 0 է:
2) X-ը հարվածով հավասար է մեկ:
3) Եթե կա հաստատուն գործոն, մենք պարզապես հանում ենք eo-ն ածանցյալի համար:
4) Ածանցյալ հզորությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է այս աստիճանի ցուցիչը բազմապատկել նույն հիմքով ցուցիչով, որի ցուցիչը 1-ով պակաս է:
5) Արմատ գտնելը բաժանվում է այս արմատներից 2-ի վրա:
6) X-ի բաժանված մեկի ածանցյալը հավասար է մեկին բաժանված X-ի քառակուսի, մինուս նշանով:
7) P սինուսը հավասար է կոսինուսի
8) P կոսինուսը հավասար է մինուս նշանով սինուսին:
9) P շոշափողը հավասար է մեկին, որը բաժանվում է քառակուսի կոսինուսի վրա:
10) P կոտանգենսը հավասար է մինուս նշանով մեկին, որը բաժանվում է սինուսի քառակուսու վրա:
Տարբերակման մեջ կան նաև կանոններ, որոնք նույնպես ավելի հեշտ է սովորել՝ դրանք բարձրաձայն արտասանելով։
1) Շատ պարզ, անդամների թիվը հավասար է դրանց գումարին:
2) Բազմապատկման մեջ ածանցյալը հավասար է առաջին արժեքի երկրորդով բազմապատկմանը, ինքն իրեն ավելացնելով երկրորդ արժեքի բազմապատկումը առաջինով:
3) Բաժանման մեջ ածանցյալը հավասար է առաջին արժեքի երկրորդով բազմապատկմանը, իրենից հանելով երկրորդ արժեքի բազմապատկումը առաջինով: Կոտորակը բաժանված է երկրորդ արժեքի քառակուսու վրա:
4) Ձևակերպումը երրորդ բանաձևի հատուկ դեպք է.
Այս դասում մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել ֆունկցիաների ածանցյալները և անցնել ավելի բարդ թեմայի, այն է՝ արտադրյալի ածանցյալները և գործակիցը: Եթե դիտել եք նախորդ դասը, հավանաբար հասկացաք, որ մենք դիտարկել ենք միայն ամենապարզ կառուցվածքները, այն է՝ ուժային ֆունկցիայի ածանցյալը, գումարներն ու տարբերությունները: Մասնավորապես, տեղեկացանք, որ գումարի ածանցյալը հավասար է նրանց գումարին, իսկ տարբերության ածանցյալը՝ համապատասխանաբար նրանց տարբերությանը։ Ցավոք սրտի, գործակիցի և արտադրյալի ածանցյալների դեպքում բանաձևերը շատ ավելի բարդ կլինեն։ Սկսենք ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալի բանաձեւից։
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ
Սկսելու համար ես ինձ թույլ կտամ մի փոքրիկ լիրիկական շեղում. Փաստն այն է, որ բացի ստանդարտ հզորության ֆունկցիայից՝ $y=((x)^(n))$, այս դասում կլինեն այլ ֆունկցիաներ, այն է՝ $y=\sin x$, ինչպես նաև $y: =\ cos x$ և այլ եռանկյունաչափություն - $y=tgx$ և, իհարկե, $y=ctgx$:
Եթե մենք բոլորս հիանալի գիտենք հզորության ֆունկցիայի ածանցյալը, այն է՝ $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, ապա, ինչպես. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար պետք է նշել առանձին: Եկեք գրենք.
\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& ((\ ձախ (\sinx \աջ))^(\prime ))=\cosx \\& ((\ ձախ (\cos x \աջ))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \աջ))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos)^(2))x) \\& ((\ ձախ( ctgx \աջ))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos)^(2))x) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Բայց դուք շատ լավ գիտեք այս բանաձեւերը, եկեք ավելի հեռուն գնանք:
Ի՞նչ է արտադրանքի ածանցյալը:
Նախ, ամենակարևորը. եթե ֆունկցիան երկու այլ ֆունկցիաների արտադրյալ է, օրինակ՝ $f\cdot g$, ապա այս շինարարության ածանցյալը հավասար կլինի հետևյալ արտահայտությանը.
Ինչպես տեսնում եք, այս բանաձևը զգալիորեն տարբերվում է և ավելի բարդ, քան այն բանաձևերը, որոնք մենք ավելի վաղ քննարկել ենք: Օրինակ՝ գումարի ածանցյալը համարվում է տարրական — $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, կամ տարբերության ածանցյալ, որը նույնպես համարվում է տարրական — $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$:
Փորձենք կիրառել առաջին բանաձևը՝ հաշվարկելու երկու ֆունկցիաների ածանցյալները, որոնք մեզ տրված են խնդրի մեջ։ Սկսենք առաջին օրինակից.
Ակնհայտորեն, հետևյալ շինարարությունը գործում է որպես արտադրանք, ավելի ճիշտ՝ որպես գործոն՝ $((x)^(3))$, այն կարող ենք համարել $f$, իսկ $\left(x-5 \right)$։ մենք կարող ենք համարել $g$: Այդ դեպքում նրանց արտադրանքը պարզապես երկու ֆունկցիայի արդյունք կլինի։ Մենք որոշում ենք.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((\ ձախ (((x)^(3))\cdot \ձախ(x-5 \աջ) \աջ))^(\prime ))=((\ձախ(( (x)^(3)) \աջ))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \աջ)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ աջ))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \ձախ(x-5 \աջ)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]:
Այժմ եկեք ավելի սերտ նայենք մեր յուրաքանչյուր տերմինին: Մենք տեսնում ենք, որ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ անդամները պարունակում են $x$ հզորություն. առաջին դեպքում այն $((x)^(2))$ է, իսկ երկրորդում՝ $((x)^(3) ) $. Փակագծերից հանենք ամենափոքր աստիճանը, այն կմնա փակագծում.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& 3((x)^(2))\cdot \ձախ(x-5 \աջ)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \աջ)+x \աջ)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \աջ)=( (x)^(2))(4x-15) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Այն ամենը, ինչ մենք գտանք պատասխանը:
Մենք վերադառնում ենք մեր առաջադրանքներին և փորձում լուծել.
Այսպիսով, եկեք վերաշարադրենք.
Կրկին նշում ենք, որ խոսքը երկու ֆունկցիաների արտադրյալի մասին է՝ $x$, որը կարելի է նշել $f$-ով և $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, որը կարող է. նշանակվել $g$-ով:
Այսպիսով, մենք կրկին ունենք երկու ֆունկցիայի արտադրյալ։ $f\left(x \right)$ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար մենք կրկին օգտագործում ենք մեր բանաձևը։ Մենք ստանում ենք.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (f)"=\ձախ(x \աջ)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \աջ)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \աջ))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \աջ)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Պատասխանը գտնվեց:
Ինչու՞ ֆակտորիզացնել ածանցյալները:
Մենք պարզապես օգտագործեցինք մի քանի շատ կարևոր մաթեմատիկական փաստեր, որոնք ինքնին կապված չեն ածանցյալների հետ, բայց առանց նրանց իմացության, այս թեմայի հետագա բոլոր ուսումնասիրությունները պարզապես իմաստ չունեն:
Նախ, լուծելով հենց առաջին խնդիրը և արդեն ազատվելով ածանցյալների բոլոր նշաններից, ինչ-ինչ պատճառներով մենք սկսեցինք ֆակտորիզացնել այս արտահայտությունը:
Երկրորդ՝ հետևյալ խնդիրը լուծելիս մի քանի անգամ ռացիոնալ ցուցիչով արմատից աստիճանի ենք անցել և հակառակը՝ օգտագործելով 8-9-րդ դասարանի բանաձևը, որը պետք է կրկնել առանձին։
Ինչ վերաբերում է ֆակտորիզացիային, ինչո՞ւ են մեզ պետք այս բոլոր լրացուցիչ ջանքերն ու վերափոխումները: Իրականում, եթե խնդիրը պարզապես ասում է «գտիր ֆունկցիայի ածանցյալը», ապա այս լրացուցիչ քայլերը պարտադիր չեն։ Այնուամենայնիվ, իրական խնդիրներում, որոնք սպասում են ձեզ բոլոր տեսակի քննությունների և թեստերի ժամանակ, պարզապես ածանցյալը գտնելը հաճախ բավարար չէ: Փաստն այն է, որ ածանցյալը միայն գործիք է, որի միջոցով դուք կարող եք պարզել, օրինակ, ֆունկցիայի աճը կամ նվազումը, և դրա համար անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը, գործոնավորել այն: Եվ այստեղ այս տեխնիկան շատ տեղին կլինի: Իսկ ընդհանրապես, շատ ավելի հարմար ու հաճելի է աշխատել ապագայում գործոնների քայքայված ֆունկցիայի հետ, եթե ինչ-որ փոխակերպումներ պահանջվեն։ Հետևաբար, կանոն թիվ 1. եթե ածանցյալը կարող է գործոնավորվել, դա հենց այն է, ինչ դուք պետք է անեք: Եվ անմիջապես կանոն թիվ 2 (իրականում սա 8-9-րդ դասարանի նյութն է). եթե խնդրի մեջ արմատն է առաջանում n-րդ աստիճան, ընդ որում, արմատը ակնհայտորեն մեծ է երկուսից, ապա այս արմատը կարող է փոխարինվել սովորական աստիճանով ռացիոնալ ցուցիչով, և ցուցիչում կհայտնվի կոտորակ, որտեղ. n- նույն աստիճանը - կլինի այս կոտորակի հայտարարում:
Իհարկե, եթե արմատի տակ ինչ-որ աստիճան կա (մեր դեպքում դա աստիճանն է կ), ապա այն ոչ մի տեղ չի գնում, այլ պարզապես հայտնվում է հենց այս աստիճանի համարիչում։
Եվ հիմա, երբ հասկացաք այս ամենը, վերադառնանք արտադրյալի ածանցյալներին և հաշվարկենք ևս մի քանի հավասարումներ։
Բայց նախքան ուղղակիորեն հաշվարկներին անցնելը, ես կցանկանայի հիշեցնել հետևյալ օրինաչափությունները.
\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& ((\ձախ(\sin x \աջ))^(\prime ))=\cos x \\& ((\ ձախ (\cos x \աջ))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos)^(2))x) \\& ((\left(ctgx \աջ))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Դիտարկենք առաջին օրինակը.
Մենք նորից ունենք երկու ֆունկցիայի արտադրյալ՝ առաջինը $f$ է, երկրորդը՝ $g$։ Հիշեցնեմ բանաձևը.
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Եկեք որոշենք.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (y)"=((\ ձախ(((x)^(4)) \աջ))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \աջ))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \աջ) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Անցնենք երկրորդ ֆունկցիային.
Կրկին $\left(3x-2 \right)$-ը $f$-ի ֆունկցիա է, $\cos x$-ը $g$-ի ֆունկցիա է: Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ընդհանուր ածանցյալը հավասար կլինի.
\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& (y)"=((\ ձախ (3x-2 \աջ))^(\prime ))\cdot \cos x+\ ձախ (3x-2 \աջ)\cdot ((\ ձախ(\cos x \աջ))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \աջ)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\ ձախ (3x-2 \աջ)\cdot \sin x \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[(y)"=((\ ձախ (((x)^(2))\cdot \cos x \աջ))^(\prime ))+((\ ձախ (4x\sin x \աջ)) ^(\prime))\]
Առանձին գրենք.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((\ձախ(((x)^(2))\cdot \cos x \աջ))^(\prime ))=\ձախ(((x)^(2)) \աջ)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \աջ))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \ձախ (-\sin x \աջ)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Մենք այս արտահայտությունը գործոնների չենք դասավորում, քանի որ սա դեռ վերջնական պատասխանը չէ։ Այժմ մենք պետք է լուծենք երկրորդ մասը։ Եկեք գրենք այն.
\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& ((\ ձախ (4x\cdot \sin x \աջ))^(\prime ))=((\ ձախ (4x \աջ))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\ ձախ (\sin x \աջ))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Եվ հիմա մենք վերադառնում ենք մեր սկզբնական առաջադրանքին և ամեն ինչ հավաքում ենք մեկ կառույցի մեջ.
\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Վերջ, սա վերջնական պատասխանն է։
Անցնենք վերջին օրինակին՝ այն կլինի ամենաբարդն ու ամենածավալունը հաշվարկների առումով։ Այսպիսով, օրինակ.
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \աջ))^(\prime) )\]
Յուրաքանչյուր մասը հաշվում ենք առանձին.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((\ ձախ (((x)^(2))\cdot tgx \աջ))^(\prime ))=((\ ձախ ((x)^(2)) \աջ))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \աջ))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos)^(2))x) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& ((\ ձախ (2x\cdot ctgx \աջ))^(\prime ))=((\ ձախ (2x \աջ))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \աջ))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)((\sin )^(2))x) \աջ)=2\cdot ctgx-\frac(2x)((\sin )^(2))x) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Վերադառնալով սկզբնական ֆունկցիային, մենք հաշվարկում ենք դրա ածանցյալը որպես ամբողջություն.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac((x)^(2)))(((\cos)^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)((\sin )^(2))x) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Սա, ըստ էության, այն ամենն է, ինչ ուզում էի պատմել ստեղծագործության ածանցյալների մասին։ Ինչպես տեսնում եք, բանաձևի հիմնական խնդիրը ոչ թե այն անգիր անելն է, այլ այն, որ ստացվում են բավականին մեծ քանակությամբ հաշվարկներ։ Բայց դա նորմալ է, քանի որ այժմ մենք անցնում ենք գործակից ածանցյալին, որտեղ մենք պետք է իսկապես շատ աշխատենք:
Ո՞րն է գործակիցի ածանցյալը:
Այսպիսով, գործակիցի ածանցյալի բանաձևը. Թերևս սա դպրոցական ածանցյալ դասընթացի ամենադժվար բանաձևն է։ Ենթադրենք, մենք ունենք $\frac(f)(g)$ ձևի ֆունկցիա, որտեղ $f$ և $g$ նույնպես ֆունկցիաներ են, որոնք նույնպես կարող են հեռացվել։ Այնուհետև այն կհաշվարկվի հետևյալ բանաձևով.
Համարիչը մեզ որոշակիորեն հիշեցնում է արտադրյալի ածանցյալի բանաձևը, այնուամենայնիվ, տերմինների միջև կա մինուս նշան և հայտարարին ավելացվել է նաև սկզբնական հայտարարի քառակուսին: Տեսնենք, թե ինչպես է դա աշխատում գործնականում.
Փորձենք լուծել.
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \աջ))^(\prime ))=\frac(((\ ձախ (((x)^(2))-1 \աջ))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \աջ )\cdot ((\ ձախ (x+2 \աջ))^(\prime )))((\ ձախ (x+2 \աջ))^(2)))\]
Առաջարկում եմ յուրաքանչյուր մասը առանձին գրել և գրել.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((\ ձախ (((x)^(2))-1 \աջ))^(\prime ))=((\ ձախ ((x)^(2)) \ աջ))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \աջ))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\վերջ (հավասարեցնել)\]
Մենք վերաշարադրում ենք մեր արտահայտությունը.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \աջ)-\left(((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 1) (((\ձախ(x+2 \աջ))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\ձախ(x+2 \աջ))^(2))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\ ձախ(x+2 \աջ ))^(2))) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Մենք գտել ենք պատասխանը. Անցնենք երկրորդ ֆունկցիային.
Դատելով նրանից, որ դրա համարիչը ընդամենը մեկն է, այստեղ հաշվարկները մի փոքր ավելի պարզ կլինեն։ Այսպիսով, եկեք գրենք.
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \աջ))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \աջ)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \աջ))^(\prime )))(( (\ձախ(((x)^(2))+4 \աջ))^(2)))\]
Օրինակի յուրաքանչյուր հատված առանձին հաշվենք.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (1)"=0 \\& ((\ձախ(((x)^(2))+4 \աջ))^(\prime ))=((\ձախ(( (x)^(2)) \աջ))^(\prime ))+(4)"=2x \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Մենք վերաշարադրում ենք մեր արտահայտությունը.
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \աջ)-1\cdot 2x)(((\ ձախ(((x)^(2) )+4 \աջ))^(2)))=-\frac(2x)((\ձախ(((x)^(2))+4 \աջ))^(2)))\]
Մենք գտել ենք պատասխանը. Ինչպես և սպասվում էր, հաշվարկների քանակը զգալիորեն ավելի քիչ էր, քան առաջին ֆունկցիայի համար:
Ո՞րն է տարբերությունը նշումների միջև:
Ուշադիր ուսանողների մոտ երևի արդեն հարց կա. ինչու՞ որոշ դեպքերում ֆունկցիան նշանակում ենք $f\left(x \right)$, իսկ որոշ դեպքերում պարզապես գրում ենք $y$: Իրականում, մաթեմատիկայի տեսանկյունից, բացարձակապես տարբերություն չկա՝ դուք իրավունք ունեք օգտագործել և՛ առաջին նշումը, և՛ երկրորդը, և քննությունների և թեստերի համար տույժեր չեն լինի։ Նրանց համար, ովքեր դեռ հետաքրքրված են, ես կբացատրեմ, թե ինչու դասագրքերի և խնդիրների հեղինակները որոշ դեպքերում գրում են $f\left(x \right)$, իսկ որոշ դեպքերում (շատ ավելի հաճախ) ընդամենը $y$: Բանն այն է, որ ֆունկցիա գրելով \ ձևով՝ մենք անուղղակիորեն ակնարկում ենք նրան, ով կկարդա մեր հաշվարկները, որ խոսքը ֆունկցիոնալ կախվածության հանրահաշվական մեկնաբանության մասին է։ Այսինքն՝ կա ինչ-որ $x$ փոփոխական, մենք դիտարկում ենք կախվածությունը այս փոփոխականից և այն նշանակում ենք $f\left(x \right)$։ Միևնույն ժամանակ, տեսնելով նման նշանակումը, նա, ով կարդում է ձեր հաշվարկները, օրինակ՝ տեսուչը, ենթագիտակցորեն ակնկալում է, որ ապագայում իրեն սպասվում են միայն հանրահաշվական փոխակերպումներ՝ առանց գրաֆիկների և երկրաչափության:
Մյուս կողմից, օգտագործելով \ ձևի նշումը, այսինքն՝ փոփոխականը մեկ տառով նշելով, մենք անմիջապես պարզեցնում ենք, որ ապագայում մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի ճշգրիտ երկրաչափական մեկնաբանությունը, այսինքն՝ մեզ առաջին հերթին հետաքրքրում է. իր գրաֆիկում։ Ըստ այդմ, հանդիպելով \ ձևի գրառումին, ընթերցողն իրավունք ունի ակնկալել գրաֆիկական հաշվարկներ, այսինքն՝ գրաֆիկներ, կոնստրուկցիաներ և այլն, բայց ոչ մի դեպքում ոչ վերլուծական վերափոխումներ։
Ես նաև կցանկանայի ձեր ուշադրությունը հրավիրել առաջադրանքների նախագծման մեկ առանձնահատկությունի վրա, որը մենք այսօր դիտարկում ենք: Շատ ուսանողներ կարծում են, որ ես չափազանց մանրամասն հաշվարկներ եմ տալիս, և դրանցից շատերը կարող են բաց թողնել կամ պարզապես լուծել իմ գլխում: Այնուամենայնիվ, հենց այդպիսի մանրամասն գրառումն է, որը թույլ կտա ձերբազատվել վիրավորական սխալներից և զգալիորեն մեծացնել ճիշտ լուծված խնդիրների տոկոսը, օրինակ՝ թեստերին կամ քննություններին ինքնապատրաստվելու դեպքում։ Հետևաբար, եթե դեռ վստահ չեք ձեր կարողություններին, եթե նոր եք սկսել ուսումնասիրել այս թեման, մի շտապեք - մանրամասն նկարագրեք յուրաքանչյուր քայլը, գրեք յուրաքանչյուր բազմապատկիչ, յուրաքանչյուր հարված և շատ շուտով կսովորեք, թե ինչպես լուծել նման օրինակները: ավելի լավ, քան շատ դպրոցի ուսուցիչներ: Հուսով եմ, որ սա հասկանալի է: Թվարկենք ևս մի քանի օրինակ։
Մի քանի հետաքրքիր մարտահրավերներ
Այս անգամ, ինչպես տեսնում ենք, հաշվարկված ածանցյալների բաղադրության մեջ առկա է եռանկյունաչափությունը։ Այսպիսով, թույլ տվեք հիշեցնել ձեզ հետևյալը.
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\ end (հավասարեցնել )\]
Իհարկե, մենք չենք կարող անել առանց քանորդի ածանցյալ, այն է՝
\[((\left(\frac(f)(g) \աջ))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Դիտարկենք առաջին գործառույթը.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (զ)"=((\ ձախ (\frac(\sin x)(x) \աջ))^(\prime ))=\frac((\ձախ(\sin x) \աջ))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \աջ))(((x)^(2))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Այսպիսով, մենք գտել ենք այս արտահայտության լուծումը։
Անցնենք երկրորդ օրինակին.
Ակնհայտ է, որ նրա ածանցյալը կլինի ավելի բարդ, եթե միայն այն պատճառով, որ եռանկյունաչափությունը առկա է այս ֆունկցիայի և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում: Մենք որոշում ենք.
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \աջ))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \աջ) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))((\ ձախ (\cos x \աջ)) ^(2)))\]
Նշենք, որ մենք ունենք արտադրանքի ածանցյալ: Այս դեպքում այն հավասար կլինի.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((\ձախ(x\cdot \sin x \աջ))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ ճիշտ))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Մենք վերադառնում ենք մեր հաշվարկներին։ Մենք գրում ենք.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (y)"=\frac(\ձախ(\sin x+x\cos x \աջ)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \ձախ(-\sin x \աջ) )(((\cos)^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos)^(2))x+x((\sin) ^(2))x)(((\cos)^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \աջ))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)((\cos )^(2))x) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Այսքանը: Մենք հաշվել ենք։
Ինչպե՞ս նվազեցնել գործակիցի ածանցյալը արտադրանքի ածանցյալի պարզ բանաձևի:
Եվ այստեղ ես կցանկանայի մի շատ կարևոր նկատառում անել կոնկրետ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերաբերյալ։ Բանն այն է, որ մեր սկզբնական կառուցվածքը պարունակում է $\frac(\sin x)(\cos x)$ ձևի արտահայտություն, որը հեշտությամբ կարող է փոխարինվել ընդամենը $tgx$-ով: Այսպիսով, մենք կնվազեցնենք գործակիցի ածանցյալը արտադրանքի ածանցյալի ավելի պարզ բանաձևի: Եկեք նորից հաշվարկենք այս օրինակը և համեմատենք արդյունքները։
Այսպիսով, հիմա մենք պետք է հաշվի առնենք հետևյալը.
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Եկեք վերագրենք մեր սկզբնական $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ ֆունկցիան՝ նկատի ունենալով այս փաստը: Մենք ստանում ենք.
Եկեք հաշվենք.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (y)"=((\ձախ(x\cdot tgx \աջ))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \աջ) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos)^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos)^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)((\cos)^(2))x) \\\վերջ (հավասարեցնել) \]
Հիմա, եթե համեմատենք արդյունքը ավելի վաղ ստացածի հետ, այլ կերպ հաշվարկելիս, ապա կհամոզվենք, որ ստացել ենք նույն արտահայտությունը։ Այսպիսով, ածանցյալը հաշվարկելիս ինչ ճանապարհ էլ գնանք, եթե ամեն ինչ ճիշտ հաշվարկվի, ապա պատասխանը նույնն է լինելու։
Կարևոր նրբերանգներ խնդիրների լուծման գործում
Եզրափակելով, ես կցանկանայի ձեզ ասել ևս մեկ նրբություն՝ կապված քանորդի ածանցյալի հաշվարկի հետ։ Այն, ինչ ես հիմա ձեզ կպատմեմ, տեսահոլովակի սկզբնական սցենարում չկար: Սակայն նկարահանվելուց մի քանի ժամ առաջ սովորում էի ուսանողներիցս մեկի հետ, և մենք նոր էինք դասավորում գործակիցի ածանցյալների թեման։ Եվ, ինչպես պարզվեց, շատ ուսանողներ չեն հասկանում այս կետը: Այսպիսով, ենթադրենք, որ անհրաժեշտ է հաշվել հետևյալ ֆունկցիայի unprime-ը.
Սկզբունքորեն դրա մեջ առաջին հայացքից գերբնական ոչինչ չկա։ Սակայն հաշվարկի ընթացքում մենք կարող ենք բազմաթիվ հիմար ու վիրավորական սխալներ թույլ տալ, որոնք կուզենայի հիմա վերլուծել։
Այսպիսով, մենք համարում ենք այս ածանցյալը: Նախ, նշենք, որ մենք ունենք $3((x)^(2))$ տերմինը, ուստի տեղին է հիշել հետևյալ բանաձևը.
\[((\left(((x)^(n)) \աջ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Բացի այդ, մենք ունենք $\frac(48)(x)$ տերմինը, որի հետ գործ կունենանք քանորդի ածանցյալի միջոցով, այն է՝
\[((\left(\frac(f)(g) \աջ))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Այսպիսով, եկեք որոշենք.
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \աջ))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \աջ)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Առաջին տերմինի հետ կապված խնդիրներ չկան, տես.
\[((\left(3((x)^(2)) \աջ))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \աջ))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Բայց առաջին տերմինով, $\frac(48)(x)$, դուք պետք է աշխատեք առանձին: Փաստն այն է, որ շատ ուսանողներ շփոթում են իրավիճակը, երբ դուք պետք է գտնեք $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ և երբ դուք պետք է գտնեք $((\left): (\frac (48)(x) \աջ))^(\prime ))$. Այսինքն՝ նրանք շփոթվում են, երբ հաստատունը գտնվում է հայտարարի մեջ և երբ հաստատունը համապատասխանաբար համարիչում է, երբ փոփոխականը գտնվում է համարիչի կամ հայտարարի մեջ։
Սկսենք առաջին տարբերակից.
\[((\left(\frac(x)(48) \աջ))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
Մյուս կողմից, եթե փորձենք նույնն անել երկրորդ կոտորակի հետ, ապա կստանանք հետևյալը.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((\ ձախ (\frac(48)(x) \աջ))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \աջ ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48) )(((x)^(2))) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Այնուամենայնիվ, նույն օրինակը կարելի է տարբեր կերպ հաշվարկել. այն փուլում, որտեղ մենք անցել ենք քանորդի ածանցյալին, մենք կարող ենք $\frac(1)(x)$ համարել որպես բացասական ցուցիչ ունեցող հզորություն, այսինքն՝ ստանում ենք հետևյալը. :
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \աջ))^(\prime ))=48\cdot ((\left((x)^(- 1)) \աջ))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \աջ)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\վերջ(հավասարեցնել)\]
Եվ այսպես, և այսպես, ստացանք նույն պատասխանը.
Այսպիսով, մենք ևս մեկ անգամ համոզվում ենք երկու կարևոր փաստի մեջ. Նախ, նույն ածանցյալը կարող է հաշվարկվել բոլորովին այլ կերպ: Օրինակ, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$-ը կարելի է համարել և՛ որպես քանորդի ածանցյալ, և՛ որպես հզորության ֆունկցիայի ածանցյալ։ Ավելին, եթե բոլոր հաշվարկները ճիշտ կատարվեն, ապա պատասխանը միշտ նույնը կլինի։ Երկրորդ, և՛ փոփոխական, և՛ հաստատուն պարունակող ածանցյալները հաշվարկելիս սկզբունքորեն կարևոր է, թե որտեղ է գտնվում փոփոխականը՝ համարիչի կամ հայտարարի մեջ: Առաջին դեպքում, երբ փոփոխականը գտնվում է համարիչում, մենք ստանում ենք պարզ գծային ֆունկցիա, որը պարզապես հաշվում է։ Իսկ եթե փոփոխականը հայտարարի մեջ է, ապա ավելի բարդ արտահայտություն ենք ստանում ավելի վաղ տրված ուղեկցող հաշվարկներով։
Այս դասը կարելի է համարել ավարտված, այնպես որ, եթե դուք ինչ-որ բան չեք հասկանում մասնավորի կամ ապրանքի ածանցյալներից, և իսկապես, եթե ունեք հարցեր այս թեմայի վերաբերյալ, մի հապաղեք. այցելեք իմ կայքը, գրեք, զանգահարեք և ես անպայման կփորձեմ, կարո՞ղ եմ օգնել ձեզ:
Ածանցյալներն իրենք ոչ մի դեպքում բարդ թեմա չեն, այլ շատ ծավալուն, և այն, ինչ մենք հիմա ուսումնասիրում ենք, հետագայում կօգտագործվի ավելի բարդ խնդիրներ լուծելիս։ Այդ իսկ պատճառով ավելի լավ է անմիջապես բացահայտել բոլոր թյուրիմացությունները՝ կապված գործակցի կամ արտադրանքի ածանցյալների հաշվարկների հետ։ Ոչ թե երբ դրանք թյուրիմացությունների հսկայական ձնագնդի են, այլ երբ դրանք թենիսի փոքրիկ գնդակ են, որի հետ հեշտ է գլուխ հանել: