Kaavat kuperalle kuviolle stereometriassa. Katkaistun pyramidin tilavuus on Kartion sivu- ja täyspintojen tilavuus ja pinta-ala

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka ovat tarpeen matematiikan kokeen onnistuneeseen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 USE matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita ratkaisuja, ansoja ja tentin salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.

\((\väri(punainen)(\textbf(Fact 1. Tietoja rinnakkaisista viivoista)))\)
\(\bullet\) Kaksi suoraa avaruudessa ovat yhdensuuntaisia, jos ne ovat samassa tasossa eivätkä leikkaa toisiaan.
\(\bullet\) On vain yksi taso, joka kulkee kahden yhdensuuntaisen suoran läpi.
\(\bullet\) Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta leikkaa tason, myös toinen suora leikkaa tämän tason.
\(\bullet\) Jos suora \(a\) on yhdensuuntainen suoran \(b\) kanssa, joka puolestaan ​​on yhdensuuntainen suoran \(c\) kanssa, niin \(a\parallel c\) .
\(\bullet\) Olkoon tason \(\alpha\) ja \(\beta\) leikkaus viivalla \(a\) , tasot \(\beta\) ja \(\pi\) leikkaavat viiva \(b \) , tasot \(\pi\) ja \(\alpha\) leikkaavat linjaa \(p\) pitkin. Sitten jos \(a\rinnakkais b\) , niin \(p\rinnakkais a\) (tai \(p\rinnakkais b\) ):

\((\väri(punainen)(\textbf(Fact 2. Tietoja suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta)))\)
\(\bullet\) Viivan ja tason keskinäistä järjestelyä on kolmenlaisia:
1. suoralla on kaksi yhteistä pistettä tason kanssa (eli se sijaitsee tasossa);
2. suoralla on täsmälleen yksi yhteinen piste tason kanssa (eli se leikkaa tason);
3. suoralla ei ole yhteisiä pisteitä tason kanssa (eli se on yhdensuuntainen tason kanssa).
\(\bullet\) Jos viiva \(a\) , joka ei ole tasossa \(\pi\) , on yhdensuuntainen jonkin tasossa \(\pi\) olevan suoran \(p\) kanssa, niin se on yhdensuuntainen annetun tason kanssa.

\(\bullet\) Olkoon suora \(p\) yhdensuuntainen tason \(\mu\) kanssa. Jos taso \(\pi\) kulkee suoran \(p\) läpi ja leikkaa tason \(\mu\), niin tasojen \(\pi\) ja \(\mu\) leikkausviiva on viiva \(m\) - yhdensuuntainen suoran \(p\) kanssa.

\((\väri(punainen)(\textbf(Fact 3. Tietoja yhdensuuntaisista tasoista)))\)
\(\bullet\) Jos kahdella tasolla ei ole yhteisiä pisteitä, niitä kutsutaan yhdensuuntaisiksi tasoiksi.
\(\bullet\) Jos kaksi leikkaavaa suoraa yhdestä tasosta ovat vastaavasti yhdensuuntaisia ​​kahden toisen tason leikkaavan suoran kanssa, tällaiset tasot ovat yhdensuuntaisia.

\(\bullet\) Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa \(\alpha\) ja \(\beta\) leikkaa kolmas taso \(\gamma\) , niin myös tasojen leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Yhdensuuntaisten tasojen välissä olevat yhdensuuntaisten viivojen segmentit ovat yhtä suuria kuin: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\väri(punainen)(\textbf(Fact 4. Tietoja risteävistä viivoista)))\)
\(\bullet\) Kahta avaruudessa olevaa suoraa kutsutaan leikkaaviksi, jos ne eivät ole samassa tasossa.
\(\bullet\) -merkki:
Olkoon suora \(l\) tasossa \(\lambda\) . Jos suora \(s\) leikkaa tason \(\lambda\) pisteessä \(S\), joka ei ole suoralla \(l\) , niin suorat \(l\) ja \(s\) leikkaavat.

\(\bullet\) algoritmi vinojen viivojen \(a\) ja \(b\) välisen kulman löytämiseksi:

Vaihe 2. Etsi tasosta \(\pi\) viivojen \(a\) ja \(p\) välinen kulma (\(p\rinnakkais b\) ). Niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin vinoviivojen \(a\) ja \(b\) välinen kulma.

\((\väri(punainen)(\textbf(Fact 5. Tietoja viivan ja tason kohtisuorasta)))\)
\(\bullet\) Suoran sanotaan olevan kohtisuorassa tasoon nähden, jos se on kohtisuorassa minkä tahansa tason suoraa vastaan.
\(\bullet\) Jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa tasoon nähden, ne ovat yhdensuuntaisia.
\(\bullet\) Merkki: jos suora on kohtisuorassa kahta tietyssä tasossa olevaa leikkaavaa suoraa vastaan, niin se on kohtisuorassa tähän tasoon nähden.

\((\väri(punainen)(\textbf(fakta 6. Tietoja etäisyyksistä)))\)
\(\bullet\) Jotta voit löytää yhdensuuntaisten viivojen etäisyyden, sinun on pudotettava kohtisuora mistä tahansa yhden suoran pisteestä toiselle suoralle. Pystysuoran pituus on näiden viivojen välinen etäisyys.
\(\bullet\) Löytääksesi tason ja sen suuntaisen suoran välisen etäisyyden, sinun on pudotettava kohtisuora tähän tasoon nähden mistä tahansa suoran pisteestä. Pystysuoran pituus on tämän suoran ja tason välinen etäisyys.
\(\bullet\) Jotta voit löytää yhdensuuntaisten tasojen välisen etäisyyden, sinun on laskettava kohtisuoraa toiseen tasoon nähden mistä tahansa yhden tason pisteestä. Tämän kohtisuoran pituus on yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.
\(\bullet\) algoritmi vinojen viivojen \(a\) ja \(b\) välisen etäisyyden löytämiseksi:
Vaihe 1. Piirrä toisen leikkaavan suoran \(a\) kautta taso \(\pi\) yhdensuuntainen toisen suoran \(b\) kanssa. Kuinka tehdä se: piirrä taso \(\beta\) suoran \(b\) läpi siten, että se leikkaa suoran \(a\) pisteessä \(P\) ; piirrä viiva pisteen \(P\) \(p\rinnakkais b\) läpi; silloin \(a\) ja \(p\) läpi kulkeva taso on taso \(\pi\) .
Vaihe 2. Etsi etäisyys mistä tahansa suoran \(b\) pisteestä tasoon \(\pi\) . Tämä etäisyys on vinojen viivojen \(a\) ja \(b\) välinen etäisyys.

\((\väri(punainen)(\textbf(Fact 7. Tietoja kolmen kohtisuoran lauseesta (TTP))))\)
\(\bullet\) Olkoon \(AH\) kohtisuora tasoon \(\beta\) . Olkoon \(AB, BH\) vino ja sen projektio tasoon \(\beta\) . Silloin viiva \(x\) tasossa \(\beta\) on kohtisuorassa vinoon nähden silloin ja vain, jos se on kohtisuorassa projektioon nähden: \[\begin(tasattu) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(tasattu)\]

Huomaa, että suoran \(x\) ei tarvitse kulkea pisteen \(B\) kautta. Jos se ei kulje pisteen \(B\) läpi, muodostetaan suora \(x"\), joka kulkee pisteen \(B\) läpi ja yhdensuuntainen pisteen \(x\) kanssa. Jos esimerkiksi \( x"\perp BH\ ) , niin on myös \(x\perp BH\) .

\((\color(red)(\textbf(Fact 8. Tietoja suoran ja tason välisestä kulmasta sekä tasojen välisestä kulmasta)))\)
\(\bullet\) Vinoviivan ja tason välinen kulma on kulma tämän suoran ja sen projektion välillä annettuun tasoon. Siten tämä kulma ottaa arvot väliltä \((0^\circ;90^\circ)\) .
Jos suora on tasossa, niiden välisen kulman katsotaan olevan yhtä suuri kuin \(0^\circ\) . Jos suora on kohtisuorassa tasoon nähden, niin määritelmän perusteella niiden välinen kulma on \(90^\circ\) .
\(\bullet\) Vinoviivan ja tason välisen kulman löytämiseksi on tarpeen merkitä jokin piste \(A\) tälle viivalla ja piirtää kohtisuora \(AH\) tasoon nähden. Jos \(B\) on suoran ja tason leikkauspiste, niin \(\kulma ABH\) on haluttu kulma.

\(\bullet\) Tasojen \(\alpha\) ja \(\beta\) välisen kulman löytämiseksi voit käyttää seuraavaa algoritmia:
Merkitse mielivaltainen piste \(A\) tasoon \(\alpha\) .
Piirrä \(AH\perp h\) , missä \(h\) on tasojen leikkausviiva.
Piirrä \(AB\) kohtisuoraan tasoon \(\beta\) .
Tällöin \(AB\) on kohtisuora tasoon \(\beta\) , \(AH\) on vino, joten \(HB\) on projektio. Sitten TTP:llä \(HB\perp h\) .
Siksi \(\angle AHB\) on tasojen välisen dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. Tämän kulman astemitta on tasojen välisen kulman astemitta.

Huomaa, että saimme suorakulmaisen kolmion \(\kolmio AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Yleensä on kätevää löytää siitä \(\angle AHB\).

\((\väri(punainen)(\textbf(Fact 9. Tietoja tasojen kohtisuorasta)))\)
\(\bullet\) Merkki: jos taso kulkee kohtisuorassa toiseen tasoon nähden, se on kohtisuorassa tähän tasoon nähden. \

\(\bullet\) Huomaa, että koska suoran \(a\) läpi voidaan piirtää ääretön määrä tasoja, on ääretön määrä tasoja, jotka ovat kohtisuorassa \(\beta\) (ja kulkevat \(a\) läpi) ).

Jotta matematiikan tentti voitaisiin ratkaista riittävästi, on ensinnäkin tarpeen tutkia teoreettista materiaalia, joka esittelee lukuisia lauseita, kaavoja, algoritmeja jne. Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että tämä on melko yksinkertaista. Kuitenkin sellaisen lähteen löytäminen, jossa matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon teoria esitetään helposti ja ymmärrettävästi minkä tahansa koulutustason opiskelijoille, on itse asiassa melko vaikea tehtävä. Koulukirjoja ei aina voi pitää käsillä. Ja matematiikan tentin peruskaavojen löytäminen voi olla vaikeaa jopa Internetistä.

Miksi matematiikan teorian opiskelu on niin tärkeää, ei vain kokeeseen osallistuville?

1. Koska se laajentaa näköalojasi. Matematiikan teoreettisen materiaalin opiskelu on hyödyllistä kaikille, jotka haluavat saada vastauksia monenlaisiin maailman tuntemiseen liittyviin kysymyksiin. Luonnossa kaikki on järjestettyä ja sillä on selkeä logiikka. Juuri tämä heijastuu tieteeseen, jonka kautta on mahdollista ymmärtää maailmaa.
2. Koska se kehittää älyä. Opiskellessaan matematiikan kokeen viitemateriaaleja sekä ratkaisemalla erilaisia ​​​​ongelmia ihminen oppii ajattelemaan ja päättelemään loogisesti, muotoilemaan ajatuksia oikein ja selkeästi. Hän kehittää kykyä analysoida, yleistää ja tehdä johtopäätöksiä.

Kutsumme sinut henkilökohtaisesti arvioimaan kaikkia koulutusmateriaalien systematisointiin ja esittämiseen liittyvää lähestymistapaamme.

Jotkut määritelmät:

1. Polyhedron on geometrinen kappale, jota rajoittaa äärellinen määrä litteitä polygoneja, joista mitkään kaksi, joilla on yhteinen sivu, eivät ole samassa tasossa. Tässä tapauksessa itse polygoneja kutsutaan pinnoiksi, niiden sivut ovat monitahoisen reunat ja niiden kärjet ovat polyhedronin kärjet.
2. Monitahoisen kaikkien pintojen muodostamaa hahmoa kutsutaan sen pinnaksi ( koko pinta), ja sen kaikkien pintojen pinta-alojen summa on (koko) pinta-ala.
3. on monitahoinen, jossa on kuusi yhtä suuria neliöitä. Neliöiden sivuja kutsutaan kuution reunoiksi ja pisteitä kuution kärjeksi.
4. on monitahoinen, jolla on kuusi pintaa ja jokainen niistä on suuntaviiva. Suuntasärmiön sivuja kutsutaan suuntaissärmiön reunoksi ja niiden kärjet suuntaissärmiön kärkiksi. Suuntasärmiön kahta sivua kutsutaan vastapäätä, jos niillä ei ole yhteistä reunaa, ja niitä, joilla on yhteinen reuna, kutsutaan liittyvät. Joskus mitkä tahansa kaksi suuntaissärmiön vastakkaista pintaa valitaan ja kutsutaan perusteita, sitten muut kasvot sivupinnat, ja niiden sivut, jotka yhdistävät suuntaissärmiön kantajen kärjet, ovat sen kylkiluut.
5. Oikea suuntaissärmiö- tämä on suuntaissärmiö, jonka sivupinnat ovat suorakulmioita. on suuntaissärmiö, jonka kaikki pinnat ovat suorakulmioita. Huomaa, että jokainen kuutio on suorakulmainen, mutta jokainen kuutio ei ole kuutio.
6. vastapäätä. Kutsutaan janaa, joka yhdistää suuntaissärmiön vastakkaiset kärjet diagonaalinen suuntaissärmiö. Suuntaissärmiössä on vain neljä diagonaalia.
7. Prisma ( n-hiili) on monitahoinen, jonka kaksi pintaa ovat yhtä suuret n-gonit ja loput n kasvot ovat suunnikkaat. Yhtä suuri n-goneja kutsutaan perusteita, ja suuntaviivat prisman sivupinnat- tämä on sellainen prisma, jossa sivupinnat ovat suorakulmioita. Oikea n- hiiliprisma- tämä on prisma, jossa kaikki sivupinnat ovat suorakulmioita ja sen pohjat ovat säännöllisiä n-gons.
8. Prisman sivupintojen pinta-alojen summaa kutsutaan sen sivupinta-ala(merkitty S puoli). Prisman kaikkien pintojen pinta-alojen summaa kutsutaan prisman pinta-ala(merkitty S koko).
9. Pyramidi ( n-hiili)- tämä on monitahoinen, jolla on yksi kasvo - jotkut n-gon ja loput n kasvot - kolmiot, joilla on yhteinen kärki; n-gon kutsutaan perusta; kutsutaan kolmioita, joilla on yhteinen kärki sivupinnat, ja niiden yhteistä kärkeä kutsutaan pyramidin huipulla. Pyramidin pintojen sivuja kutsutaan sen sivuiksi kylkiluut, ja kärjessä kohtaavia reunoja kutsutaan lateraalinen.
10. Pyramidin sivupintojen pinta-alojen summaa kutsutaan pyramidin sivupinta-ala(merkitty S puoli). Pyramidin kaikkien pintojen pinta-alojen summaa kutsutaan pyramidin pinta-ala(pinta-ala on merkitty S koko).
11. Oikean- hiilipyramidi- tämä on sellainen pyramidi, jonka kanta on oikea n-gon, ja kaikki sivureunat ovat samat keskenään. Säännöllisen pyramidin sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita, jotka ovat yhtä suuria keskenään.
12. Kolmiopyramidi on ns tetraedri jos sen kaikki pinnat ovat yhteneviä säännöllisiä kolmioita. Tetraedri on säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin erikoistapaus (eli jokainen säännöllinen kolmiopyramidi ei ole tetraedri).

Stereometrian aksioomat:

1. Kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole samalla viivalla, on vain yksi taso.
2. Jos kaksi suoran pistettä ovat samassa tasossa, niin kaikki suoran pisteet ovat tässä tasossa.
3. Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niillä on yhteinen viiva, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.

Stereometrian aksioomien seuraukset:

• Lause 1. On vain yksi taso suoran läpi ja piste, joka ei ole sillä.
• Lause 2. Kahden leikkaavan suoran läpi kulkee vain yksi taso.
• Lause 3. Kahden yhdensuuntaisen suoran läpi kulkee vain yksi taso.

Osuuksien rakentaminen stereometriassa

Stereometrian ongelmien ratkaisemiseksi on kiireellisesti kyettävä rakentamaan monitahoisia osia (esimerkiksi pyramidi, suuntaissärmiö, kuutio, prisma) tietyllä tasolla. Annetaan muutamia määritelmiä, jotka selittävät, mikä osio on:

• leikkaustaso Pyramidi (prisma, suuntaissärmiö, kuutio) on sellainen taso, jonka molemmilla puolilla on tämän pyramidin pisteitä (prisma, suuntaissärmiö, kuutio).
• pyramidin poikkileikkaus(prisma, suuntaissärmiö, kuutio) on kuvio, joka koostuu kaikista pyramidille (prisma, suuntaissärmiö, kuutio) ja leikkaustasolle yhteisistä pisteistä.
• Leikkaustaso leikkaa pyramidin pinnat (rinnakkaisputki, prisma, kuutio) segmenttejä pitkin, joten osio on leikkaustasossa oleva monikulmio, jonka sivut ovat osoitettuja segmenttejä.

Pyramidin poikkileikkauksen (prisma, suuntaissärmiö, kuutio) rakentamiseksi on mahdollista ja välttämätöntä rakentaa sekanttitason leikkauspisteet pyramidin reunojen kanssa (prisma, suuntaissärmiö, kuutio) ja yhdistää ne kaksi yksi kasvo. Huomaa, että osan kärkien ja sivujen konstruointijärjestys ei ole olennainen. Polyhedra-osien rakentaminen perustuu kahteen rakennustehtävään:

1. Kahden tason leikkauslinjat.

Rakentaa suora, jota pitkin jotkut kaksi tasoa leikkaavat α ja β (esimerkiksi sekanttitaso ja monitahoisen pinnan taso), sinun on rakennettava niiden kaksi yhteistä pistettä, jolloin näiden pisteiden kautta kulkeva viiva on tasojen leikkausviiva α ja β .

1. Suoran ja tason leikkauspisteet.

Suoran leikkauspisteen rakentaminen l ja lentokone α piirrä viivan leikkauspiste l ja suora l 1, jota pitkin taso leikkaa α ja mikä tahansa taso, joka sisältää suoran l.

Suorien ja tasojen keskinäinen järjestely stereometriassa

Määritelmä: Stereometrian tehtävien ratkaisemisen aikana kutsutaan kahta suoraa avaruudessa rinnakkain jos ne sijaitsevat samassa tasossa eivätkä leikkaa toisiaan. Jos suoraan a ja b, tai AB ja CD ovat rinnakkaisia, kirjoitamme:

Useita lauseita:

• Lause 1. Minkä tahansa avaruuden pisteen läpi, joka ei ole tietyllä suoralla, on vain yksi suora yhdensuuntainen annetun suoran kanssa.
• Lause 2. Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta leikkaa tietyn tason, toinen suora leikkaa tämän tason.
• Lause 3(yhdensuuntaisten viivojen merkki). Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.
• Lause 4(suuntaissärmiön lävistäjien leikkauspisteessä). Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja puolittavat tämän pisteen.

Stereometriassa on kolme suoran ja tason keskinäistä järjestelyä:

• Viiva on tasossa (jokainen suoran piste on tasossa).
• Suora ja taso leikkaavat (sillä on yksi yhteinen piste).
• Suoralla ja tasolla ei ole yhtä yhteistä pistettä.

Määritelmä: Linjaa ja tasoa kutsutaan rinnakkain jos niillä ei ole yhteisiä kohtia. Jos suoraan a yhdensuuntainen tason kanssa β , sitten he kirjoittavat:

Lauseet:

• Lause 1(merkki suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta). Jos suora, joka ei ole tietyssä tasossa, on yhdensuuntainen jonkin tässä tasossa olevan suoran kanssa, niin se on yhdensuuntainen annetun tason kanssa.
• Lause 2. Jos kone (kuvassa - α ) kulkee suoran linjan läpi (kuvassa - Kanssa), yhdensuuntainen toisen tason kanssa (kuvassa - β ), ja leikkaa tämän tason, sitten tasojen leikkausviivan (kuvassa - d) on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa:

Jos kaksi erillistä suoraa ovat samassa tasossa, ne joko leikkaavat tai ovat yhdensuuntaisia. Kuitenkin avaruudessa (eli stereometriassa) on mahdollista myös kolmas tapaus, kun ei ole tasoa, jossa kaksi suoraa on (tässä tapauksessa ne eivät leikkaa eivätkä ole yhdensuuntaisia).

Määritelmä: Kaksi riviä kutsutaan risteytys, jos ei ole tasoa, jossa he molemmat makaavat.

Lauseet:

• Lause 1(merkki leikkaavista viivoista). Jos toinen kahdesta suorasta on tietyssä tasossa ja toinen suora leikkaa tämän tason pisteessä, joka ei kuulu ensimmäiseen suoraan, nämä suorat ovat vinossa.
• Lause 2. Kummankin leikkaavan suoran läpi kulkee yksi taso, joka on yhdensuuntainen toisen suoran kanssa.

Nyt esittelemme vinoviivojen välisen kulman käsitteen. Päästää a ja b O avaruudessa ja piirrä suorat viivat sen läpi. a 1 ja b 1 yhdensuuntainen suorien viivojen kanssa a ja b vastaavasti. Kulma vinojen viivojen välillä a ja b kutsutaan kulmaan rakennettujen leikkaavien viivojen välillä a 1 ja b 1 .

Käytännössä kuitenkin pointti O valita useammin niin, että se kuuluu johonkin suorista viivoista. Tämä ei yleensä ole vain alkeellisesti kätevämpää, vaan myös järkevämpää ja oikeampaa piirustuksen rakentamisen ja ongelman ratkaisemisen kannalta. Siksi vinojen viivojen väliselle kulmalle annamme seuraavan määritelmän:

Määritelmä: Päästää a ja b ovat kaksi leikkaavaa viivaa. Ota mielivaltainen kohta O yhdellä niistä (meidän tapauksessamme suoralla linjalla b) ja piirrä sen läpi yhdensuuntainen viiva toisen kanssa (tässä tapauksessa a 1 rinnakkais a). Kulma vinojen viivojen välillä a ja b on muodostetun suoran ja pisteen sisältävän suoran välinen kulma O(meidän tapauksessamme tämä on kulma β suorien viivojen väliin a 1 ja b).

Määritelmä: Kaksi riviä kutsutaan keskenään kohtisuorassa(pystysuorassa), jos niiden välinen kulma on 90°. Risteysviivat voivat olla kohtisuorassa, samoin kuin samassa tasossa olevat ja leikkaavat viivat. Jos suoraan a kohtisuoraan viivaan nähden b, sitten he kirjoittavat:

Määritelmä: Näitä kahta konetta kutsutaan rinnakkain, jos ne eivät risteä, ts. niillä ei ole yhteisiä kohtia. Jos kaksi konetta α ja β rinnakkain, kirjoita sitten tavalliseen tapaan:

Lauseet:

• Lause 1(yhdensuuntaisten tasojen merkki). Jos yhden tason kaksi leikkaavaa suoraa ovat vastaavasti yhdensuuntaisia ​​toisen tason kahden suoran kanssa, nämä tasot ovat yhdensuuntaisia.
• Lause 2(suuntaissärmiön vastakkaisten pintojen ominaisuudessa). Suuntasärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaisissa tasoissa.
• Lause 3(kahden yhdensuuntaisen tason ja kolmannen tason leikkauslinjoilla). Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa kolmas, niin niiden leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa.
• Lause 4. Yhdensuuntaisten tasojen välissä olevat yhdensuuntaisten viivojen segmentit ovat yhtä suuret.
• Lause 5(erityisen tason olemassaolosta, joka on yhdensuuntainen tietyn tason kanssa ja kulkee sen ulkopuolella olevan pisteen kautta). Pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyssä tasossa, on vain yksi taso, joka on yhdensuuntainen annetun tason kanssa.

Määritelmä: Tasoa leikkaavan suoran sanotaan olevan kohtisuorassa tasoon nähden, jos se on kohtisuorassa jokaista sen tason suoraa vastaan. Jos suoraan a kohtisuorassa tasoon nähden β kirjoita sitten tavalliseen tapaan:

Lauseet:

• Lause 1. Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta on kohtisuorassa kolmatta suoraa vastaan, niin toinen suora on myös kohtisuorassa tätä suoraa vastaan.
• Lause 2. Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta on kohtisuorassa tasoon nähden, niin toinen suora on myös kohtisuorassa tätä tasoa vastaan.
• Lause 3(tasoon nähden kohtisuorassa olevien viivojen yhdensuuntaisuudesta). Jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa samaan tasoon nähden, ne ovat yhdensuuntaisia.
• Lause 4(merkki suoran ja tason kohtisuorasta). Jos suora on kohtisuorassa kahteen tasossa olevaan leikkausviivaan nähden, se on kohtisuorassa kyseiseen tasoon nähden.
• Lause 5(tasosta, joka kulkee tietyn pisteen läpi ja on kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan). Minkä tahansa avaruuden pisteen läpi kulkee vain yksi taso, joka on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.
• Lause 6(noin tietyn pisteen läpi kulkevasta suorasta, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden). Minkä tahansa avaruuden pisteen läpi kulkee vain yksi viiva, joka on kohtisuora annettuun tasoon nähden.
• Lause 7(suorakulmaisen suuntaissärmiön lävistäjän ominaisuudesta). Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjän pituuden neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen reunan, joilla on yhteinen kärki, pituuksien neliöiden summa:

Seuraus: Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön kaikki neljä lävistäjää ovat keskenään yhtä suuret.

Kolmen kohtisuoran lause

Anna pointin MUTTA ei makaa tasaisesti α . Käydään pisteen läpi MUTTA suora viiva kohtisuorassa tasoon nähden α , ja merkitse kirjaimella O tämän suoran ja tason leikkauspiste α . Pisteestä piirretty kohtisuora MUTTA lentokoneeseen α , kutsutaan segmentiksi JSC, piste O kutsutaan kohtisuoran kannaksi. Jos JSC- kohtisuorassa tasoon nähden α , a M on tämän tason mielivaltainen piste, joka on eri kuin piste O, sitten segmentti OLEN kutsutaan pisteestä vedetyksi kaltevuudeksi MUTTA lentokoneeseen α , ja pointti M- kalteva pohja. Jana OM- ortogonaalinen projektio (tai lyhyesti sanottuna projektio) vino OLEN lentokoneeseen α . Nyt esitämme lauseen, jolla on tärkeä rooli monien ongelmien ratkaisemisessa.

Lause 1 (noin kolme kohtisuoraa): Tasoon piirretty suora viiva, joka on kohtisuorassa vinotason projektioon nähden tälle tasolle, on myös kohtisuorassa itse vinoon nähden. Päinvastoin on myös totta:

Lause 2 (noin kolme kohtisuoraa): Tasoon piirretty suora viiva, joka on kohtisuorassa vinoon nähden, on myös kohtisuorassa tämän tason projektioon nähden. Nämä lauseet, yllä olevan piirustuksen merkintää varten, voidaan muotoilla lyhyesti seuraavasti:

Lause: Jos yhdestä pisteestä, joka on otettu tason ulkopuolelle, piirretään kohtisuora ja kaksi vinoviivaa tähän tasoon, niin:

• kaksi vinoa, joilla on samat projektiot, ovat yhtä suuret;
• kahdesta vinosta se, jonka projektio on suurempi, on suurempi.

Etäisyydet avaruudessa olevien kohteiden mukaan:

• Etäisyys pisteestä tasoon on pisteestä kyseiseen tasoon vedetyn kohtisuoran pituus.
• Yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys on etäisyys yhden yhdensuuntaisen tason mielivaltaisesta pisteestä toiseen tasoon.
• Suoran ja sen suuntaisen tason välinen etäisyys on etäisyys mielivaltaisesta suoran pisteestä tasoon.
• Vinoviivojen välinen etäisyys on etäisyys yhdestä vinoviivasta toisen viivan kautta kulkevaan tasoon, joka on yhdensuuntainen ensimmäisen viivan kanssa.

Määritelmä: Stereometriassa suoran ortogonaalinen projektio a lentokoneeseen α kutsutaan tämän suoran projektioksi tasolle α jos suunnittelusuunnan määrittelevä suora on kohtisuorassa tasoon nähden α .

Kommentti: Kuten edellisestä määritelmästä näet, ennusteita on monia. Muita (paitsi ortogonaalisia) suoran projektioita tasolle voidaan rakentaa, jos projektion suunnan määräävä suora ei ole kohtisuorassa tasoon nähden. Tulevaisuuden ongelmissa kohtaamme kuitenkin suoran suoran ortogonaalisen projektion tasoon. Ja me kutsumme ortogonaalista projektiota yksinkertaisesti projektioksi (kuten piirustuksessa).

Määritelmä: Kulma sellaisen suoran, joka ei ole kohtisuorassa tasoon nähden, ja tämän tason välinen kulma on suoran ja sen ortogonaalisen projektion välinen kulma tiettyyn tasoon (kulma AOA' yllä olevassa piirustuksessa).

Lause: Suoran ja tason välinen kulma on pienin kaikista kulmista, jotka tietty suora muodostaa viivojen kanssa, jotka sijaitsevat tietyssä tasossa ja kulkevat suoran ja tason leikkauspisteen kautta.

Määritelmät:

• dihedraalinen kulma Figuuria kutsutaan kuvioksi, joka muodostuu kahdesta puolitasosta, joilla on yhteinen rajaviiva ja osa tilaa, jonka rajana nämä puolitasot toimivat.
• Lineaarinen dihedraalinen kulma Kulmaa kutsutaan kulmaksi, jonka sivut ovat dihedraalisen kulman reunalle yhteisen alkupisteen omaavia säteitä, jotka piirretään sen pinnoille kohtisuoraan reunaan nähden.

Dihedraalisen kulman lineaarinen kulma on siis kulma, jonka muodostaa kaksitahoisen kulman leikkaus sen reunaan nähden kohtisuorassa olevan tason kanssa. Kaikki dihedraalisen kulman lineaariset kulmat ovat keskenään yhtä suuret. Dihedraalisen kulman astemitta on sen lineaarisen kulman astemitta.

Dihedraalista kulmaa kutsutaan oikeaksi (teräväksi, tylpäksi), jos sen astemitta on 90° (alle 90°, yli 90°). Jatkossa stereometrian tehtäviä ratkaistaessa dihedraalisella kulmalla ymmärrämme aina sen lineaarisen kulman, jonka astemitta täyttää ehdon:

Määritelmät:

• Monitahoisen reunan kaksitahoinen kulma on kaksitahoinen kulma, jonka reuna sisältää monitahoisen reunan, ja kaksitahoisen kulman pinnat sisältävät monitahoisen pinnat, jotka leikkaavat monitahoisen annettua reunaa pitkin.
• Leikkaavien tasojen välinen kulma on kulma niiden suorien välillä, jotka on piirretty näille tasoille, jotka ovat kohtisuorassa niiden leikkausviivaa vastaan ​​joidenkin sen pisteiden kautta.
• Kahden tason sanotaan olevan kohtisuorassa, jos niiden välinen kulma on 90°.

Lauseet:

• Lause 1(merkki tasojen kohtisuorasta). Jos toinen kahdesta tasosta kulkee toiseen tasoon nähden kohtisuorassa olevan linjan läpi, nämä tasot ovat kohtisuorassa.
• Lause 2. Suora, joka sijaitsee toisessa kahdesta kohtisuorasta tasosta ja on kohtisuorassa linjaan, jossa ne leikkaavat, on kohtisuorassa toiseen tasoon nähden.

Figuurien symmetria

Määritelmät:

1. pisteitä M ja M 1 kutsutaan symmetrisesti pisteen suhteen O , jos O on janan keskipiste MM 1 .
2. pisteitä M ja M 1 kutsutaan symmetrinen suoran linjan suhteen l jos suora l MM 1 ja kohtisuorassa siihen nähden.
3. pisteitä M ja M 1 kutsutaan symmetrisesti tason suhteen α jos lentokone α kulkee segmentin keskeltä MM 1 ja on kohtisuorassa tähän segmenttiin nähden.
4. Piste O(suoraan l, lentokone α ) kutsutaan symmetrian keskipiste (akseli, taso). kuva, jos jokainen kuvion piste on symmetrinen pisteen suhteen O(suoraan l, lentokone α ) johonkin saman luvun pisteeseen.
5. Kuperaa polyhedriaa kutsutaan oikea, jos sen kaikki pinnat ovat säännöllisiä polygoneja, jotka ovat yhtä suuret toistensa kanssa ja sama määrä reunoja suppenee jokaisessa kärjessä.

Prisma

Määritelmät:

1. Prisma- monitahoinen, jonka kaksi sivua ovat samanlaisia ​​monikulmioita, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, ja loput pinnat ovat suunnikkaita, joilla on yhteiset sivut näiden monikulmioiden kanssa.
2. Perusteet - nämä ovat kaksi pintaa, jotka ovat yhtä suuria polygoneja, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa. Piirustuksessa lukee: ABCDE ja KLMNP.
3. Sivukasvot- kaikki kasvot paitsi pohjat. Jokainen sivupinta on väistämättä suunnikas. Piirustuksessa lukee: ABLK, BCML, CDNM, DEPN ja EAKP.
4. Sivupinta- sivupintojen liitos.
5. Täysi pinta- pohjan ja sivupinnan liitos.
6. Sivukylkiluut ovat sivupintojen yhteiset puolet. Piirustuksessa lukee: AK, BL, CM, DN ja EP.
7. Korkeus- segmentti, joka yhdistää prisman kantat ja on kohtisuorassa niihin nähden. Piirustuksessa esim. KR.
8. Diagonaalinen- segmentti, joka yhdistää kaksi prisman kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan. Piirustuksessa esim. BP.
9. Diagonaalinen taso on taso, joka kulkee prisman sivureunan ja kannan diagonaalin läpi. Muu määritelmä: diagonaalinen taso- taso, joka kulkee prisman kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.
10. Diagonaalinen leikkaus- prisman ja diagonaalitason leikkauspiste. Leikkaukseen muodostetaan suunnikas, mukaan lukien joskus sen erikoistapaukset - rombi, suorakulmio, neliö. Piirustuksessa esim. EBLP.
11. Kohtisuora (ortogonaalinen) leikkaus- prisman ja sen sivureunaan nähden kohtisuorassa olevan tason leikkauspiste.

Prisman ominaisuudet ja kaavat:

• Prisman kantat ovat yhtä suuret monikulmiot.
• Prisman sivupinnat ovat suuntakuvia.
• Prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset ja tasaiset.
• Prisman tilavuus yhtä suuri kuin sen korkeuden ja pohjan pinta-alan tulo:

missä: S pohja - pohjan pinta-ala (piirustuksessa esim. ABCDE), h- korkeus (piirustuksessa se on MN).

• Prisman kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivupinnan pinta-alan ja kaksinkertaisen pohjan pinta-alan summa:

• Pystysuora leikkaus on kohtisuorassa kaikkiin prisman sivureunoihin nähden (alla olevassa kuvassa kohtisuora leikkaus on A 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
• Pystysuoran leikkauksen kulmat ovat dihedraalisten kulmien lineaariset kulmat vastaavissa sivureunoissa.
• Pystysuora (ortogonaalinen) leikkaus on kohtisuorassa kaikkiin sivupintoihin nähden.
• Kaltevan prisman tilavuus on yhtä suuri kuin kohtisuoran leikkauksen pinta-alan ja sivurivan pituuden tulo:

missä: S sek - kohtisuoran leikkauksen pinta-ala, l- sivurivan pituus (esimerkiksi alla olevassa kuvassa AA 1 tai BB 1 ja niin edelleen).

• Sivuttaispinta-ala mielivaltaisen prisman arvo on yhtä suuri kuin kohtisuoran leikkauksen kehän ja sivureunan pituuden tulo:

missä: P sek - kohtisuoran leikkauksen kehä, l on sivureunan pituus.

Prismatyypit stereometriassa:

• Jos sivureunat eivät ole kohtisuorassa pohjaan nähden, niin tällaista prismaa kutsutaan vino(kuvassa yllä). Tällaisen prisman pohjat, kuten tavallista, sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, sivureunat eivät ole kohtisuorassa näihin tasoihin nähden, vaan yhdensuuntaiset toistensa kanssa. Sivupinnat ovat suuntakuvia.
• - prisma, jossa kaikki sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Oikeassa prismassa sivureunat ovat korkeuksia. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita. Ja pohjan pinta-ala ja ympärysmitta ovat vastaavasti yhtä suuria kuin kohtisuoran leikkauksen pinta-ala ja kehä (suorassa prismassa yleisesti ottaen koko kohtisuora leikkaus on sama luku kuin pohja). Siksi suoran prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja sivureunan pituuden (tai tässä tapauksessa prisman korkeuden) tulo:

missä: P pohja - suoran prisman pohjan kehä, l- sivureunan pituus, joka on yhtä suuri suorassa prismassa kuin korkeus ( h). Suoran prisman tilavuus saadaan yleisestä kaavasta: V = S tärkein ∙ h = S tärkein ∙ l.

• Oikea prisma- prisma, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio (eli sellainen, jossa kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret) ja sivureunat ovat kohtisuorassa kannan tasoihin nähden. Esimerkkejä oikeista prismoista:

Oikean prisman ominaisuudet:

1. Säännöllisen prisman kantat ovat säännöllisiä monikulmioita.
2. Säännöllisen prisman sivupinnat ovat yhtä suuret suorakulmiot.
3. Säännöllisen prisman sivureunat ovat keskenään yhtä suuret.
4. Oikea prisma on suora.

Määritelmä: Parallelepiped - Se on prisma, jonka kanta on suunnikkaat. Tässä määritelmässä avainsana on "prisma". Suuntaissärmiö on siis prisman erikoistapaus, joka eroaa yleisestä vain siinä, että sen kanta ei ole mielivaltainen monikulmio, vaan suuntaviiva. Siksi kaikki yllä olevat prismaa koskevat ominaisuudet, kaavat ja määritelmät ovat edelleen merkityksellisiä suuntaissärmiön kannalta. On kuitenkin olemassa useita suuntaissärmiölle ominaisia ​​lisäominaisuuksia.

Muut ominaisuudet ja määritelmät:

• Kutsutaan suuntaissärmiön kahta pintaa, joilla ei ole yhteistä reunaa vastapäätä ja joilla on yhteinen reuna - liittyvät.
• Kutsutaan kahta suuntaissärmiön kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan vastapäätä.
• Kutsutaan janaa, joka yhdistää vastakkaiset kärjet diagonaalinen suuntaissärmiö.
• Suuntaissärmiössä on kuusi pintaa ja ne kaikki ovat suunnikkaita.
• Suuntasärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset pareittain.
• Suuntaissärmiössä on neljä diagonaalia; ne kaikki leikkaavat yhdessä pisteessä, ja jokainen niistä jakaa tämän pisteen kahtia.
• Jos suuntaissärmiön neljä sivupintaa ovat suorakulmioita (ja kantat ovat mielivaltaisia ​​suunnikkaita), niin sitä kutsutaan ns. suoraan(tässä tapauksessa, kuten suorassa prismassa, kaikki sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden). Kaikki suoran prisman ominaisuudet ja kaavat ovat merkityksellisiä oikealle suuntaissärmiölle.
• Suuntaissärmiötä kutsutaan vino jos kaikki sen sivupinnat eivät ole suorakulmioita.
• Suoran tai vinon laatikon tilavuus lasketaan yleisellä kaavalla prisman tilavuudelle, ts. on yhtä suuri kuin suuntaissärmiön pohjan pinta-alan ja sen korkeuden tulo ( V = S tärkein ∙ h).
• Oikea suuntaissärmiö, jossa kaikki kuusi pintaa ovat suorakulmioita (eli sivupintojen lisäksi pohjat ovat suorakulmioita), on ns. suorakulmainen. Kuutiomuodossa kaikki kuutiomuodon ominaisuudet ovat merkityksellisiä, samoin kuin:
  • d ja hänen kylkiluita a, b, c suhteessa suhteeseen:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

• • Prisman tilavuuden yleisestä kaavasta voidaan saada seuraava kaava kuution tilavuus:

• Kutsutaan suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, jonka kaikki pinnat ovat yhtä suuria neliöitä kuutio. Kuutio on muun muassa säännöllinen nelikulmainen prisma ja yleensä säännöllinen monitahoinen. Kuutiolle ovat voimassa kaikki suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön ominaisuudet ja säännöllisten prismien ominaisuudet sekä:
  • Ehdottomasti kaikki kuution reunat ovat samanarvoisia keskenään.
  • kuution diagonaali d ja sen reunan pituus a suhteessa suhteeseen:

• Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tilavuuden kaavasta voidaan saada seuraava kaava kuution tilavuus:

Pyramidi

Määritelmät:

• Pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on monikulmio ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki. Pohjan kulmien lukumäärän mukaan pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​ja niin edelleen. Kuvassa on esimerkkejä: nelikulmaiset ja kuusikulmaiset pyramidit.

• Pohja on monikulmio, johon pyramidin kärki ei kuulu. Piirustuksessa pohja on BCDE.
• Muita kasvoja kuin pohjaa kutsutaan lateraalinen. Piirustuksessa lukee: ABC, ACD, ADE ja AEB.
• Sivupintojen yhteistä kärkeä kutsutaan pyramidin huipulla(täsmälleen koko pyramidin huippu, eikä vain huippu, kuten kaikki muutkin huiput). Piirustuksessa se A.
• Reunoja, jotka yhdistävät pyramidin yläosan pohjan yläosaan, kutsutaan lateraalinen. Piirustuksessa lukee: AB, AC, ILMOITUS ja AE.
• Pyramidi tarkoittaa ensin sen huipuksi ja sitten pohjan huipuksi. Piirustuksen pyramidin nimitys on seuraava: ABCDE.

• Korkeuspyramidit kutsutaan kohtisuoraksi, joka on vedetty pyramidin huipulta sen pohjaan. Tämän kohtisuoran pituus on merkitty kirjaimella H. Piirustuksessa korkeus on AG. merkintä: vain jos pyramidi on säännöllinen nelikulmainen pyramidi (kuten piirustuksessa), pyramidin korkeus putoaa kannan diagonaaliin. Muissa tapauksissa näin ei ole. Yleisessä tapauksessa mielivaltaisen pyramidin korkeuden ja pohjan leikkauspiste voi olla missä tahansa.
• Apothem - sivureunan korkeus oikea sen huipulta vedetty pyramidi. Piirustuksessa esim. AF.
• Pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin poikkileikkaus, joka kulkee pyramidin huipun ja pohjan diagonaalin läpi. Piirustuksessa esim. ÄSSÄ.

Toinen stereometrinen piirros symboleilla parempaa muistamista varten(kuvassa oikea kolmiopyramidi):

Jos kaikki sivureunat ( SA, SB, SC, SD alla olevassa piirustuksessa) pyramidit ovat yhtä suuret, niin:

• Ympyrä voidaan kuvata lähellä pyramidin kantaa ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan ​​(piste O). Toisin sanoen, korkeus (viiva NIIN), laskettu tällaisen pyramidin huipulta pohjaan ( ABCD), putoaa pohjan ympärillä olevan rajatun ympyrän keskelle, ts. kannan kohtisuorien keskipisteiden leikkauspisteessä.
• Sivurivat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa (alla olevassa kuvassa nämä ovat kulmia SAO, SBO, SCO, SDO).

Tärkeä: Päinvastoin on myös totta, eli jos sivureunat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa tai jos ympyrä voidaan kuvata lähellä pyramidin kantaa ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan, niin kaikki pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret.

Jos sivupinnat ovat vinossa perustasoon nähden yhdessä kulmassa (kulmat DMN, DKN, DLN alla olevassa piirroksessa ovat yhtä suuret), niin:

• Pyramidin pohjalle voidaan piirtää ympyrä ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan ​​(piste N). Toisin sanoen, korkeus (viiva DN), laskettu tällaisen pyramidin huipulta pohjaan, putoaa pohjaan kirjoitetun ympyrän keskelle, ts. kantan puolittajien leikkauspisteeseen.
• Sivupintojen (apoteemien) korkeudet ovat yhtä suuret. Alla olevassa piirustuksessa DK, DL, DM- yhtäläiset apoteemit.
• Tällaisen pyramidin sivupinta-ala yhtä suuri kuin puolet pohjan kehän ja sivupinnan korkeuden tulosta (apoteemi).

missä: P- pohjan kehä, a- apoteemi pituus.

Tärkeä: Päinvastoin on myös totta, eli jos pyramidin pohjaan voidaan piirtää ympyrä ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan, niin kaikki sivupinnat ovat kallistuneet perustasoon nähden samassa kulmassa ja sivupintojen korkeudet (apoteemit) ovat yhtä suuret.

Oikea pyramidi

Määritelmä: Pyramidi on ns oikea, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja kärki heijastetaan kannan keskelle. Sitten sillä on seuraavat ominaisuudet:

• Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
• Säännöllisen pyramidin kaikki sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden yhdessä kulmassa.

Tärkeä muistiinpano: Kuten näet, tavalliset pyramidit ovat yksi niistä pyramideista, jotka sisältävät juuri edellä kuvatut ominaisuudet. Todellakin, jos säännöllisen pyramidin kanta on säännöllinen monikulmio, niin sen piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden keskipiste osuu yhteen ja säännöllisen pyramidin huippu heijastetaan tarkasti tähän keskustaan ​​(määritelmän mukaan). Se on kuitenkin tärkeää ymmärtää ei vain oikein pyramidilla voi olla edellä mainitut ominaisuudet.

• Tavallisessa pyramidissa kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita.
• Missä tahansa säännöllisessä pyramidissa voit sekä piirtää pallon että kuvata sen ympärillä olevan pallon.
• Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan kehän ja apoteemin tulosta.

Kaavat pyramidin tilavuudelle ja pinta-alalle

Lause(pyramidien tilavuudesta, joilla on samat korkeudet ja yhtä suuret kantat). Kahdella pyramidilla, joilla on samat korkeudet ja samat kantapinta-alat, on samat tilavuudet (tietenkin tiedät jo luultavasti pyramidin tilavuuden kaavan, tai näet sen muutaman rivin alapuolella, ja tämä väite näyttää sinulle ilmeiseltä, mutta itse asiassa "silmän perusteella" päätellen tämä lause ei ole niin ilmeinen (katso alla oleva kuva). Muuten, tämä pätee myös muihin polyhedraihin ja geometrisiin muotoihin: niiden ulkonäkö on petollinen, joten todellakin matematiikassa täytyy luottaa vain kaavoihin ja oikeisiin laskelmiin).

• pyramidin tilavuus voidaan laskea kaavalla:

missä: S kanta on pyramidin pohjan pinta-ala, h on pyramidin korkeus.

• Pyramidin sivupinta on yhtä suuri kuin sivupintojen pinta-alojen summa. Pyramidin sivupinnan alueelle voidaan kirjoittaa muodollisesti seuraava stereometrinen kaava:

missä: S sivu - sivupinta-ala, S 1 , S 2 , S 3 - sivupintojen alueet.

• Pyramidin koko pinta yhtä suuri kuin sivupinnan ja pohjan pinta-alan summa:

Määritelmät:

• - yksinkertaisin monitahoinen, jonka pinnat ovat neljä kolmiota, toisin sanoen kolmion muotoinen pyramidi. Tetraedrin mitkä tahansa sen pinnat voivat toimia pohjana. Kaiken kaikkiaan tetraedrissä on 4 pintaa, 4 kärkeä ja 6 reunaa.
• Tetraedria kutsutaan oikea jos sen kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita. Tavallinen tetraedri:
  1. Säännöllisen tetraedrin kaikki reunat ovat yhtä suuret.
  2. Säännöllisen tetraedrin kaikki pinnat ovat keskenään yhtä suuret.
  3. Kaikkien pintojen kehät, pinta-alat, korkeudet ja kaikki muut elementit ovat vastaavasti samat keskenään.

Piirustus näyttää säännöllisen tetraedrin, kun taas kolmiot ABC, ADC, CBD, huono ovat tasavertaisia. Pyramidin tilavuuden ja pinta-alan yleisistä kaavoista sekä planimetrian tiedoista ei ole vaikeaa saada kaavoja säännöllisen tetraedrin tilavuus ja pinta-ala(a- kylkiluiden pituus):

Määritelmä: Kun ratkaistaan ​​stereometrian tehtäviä, pyramidia kutsutaan suorakulmainen, jos yksi pyramidin sivureunoista on kohtisuorassa kantaan nähden. Tässä tapauksessa tämä reuna on pyramidin korkeus. Alla on esimerkkejä kolmiomaisista ja viisikulmaisista suorakaiteen muotoisista pyramideista. Kuva vasemmalla SA on reuna, joka on myös korkeus.

Katkaistu pyramidi

Määritelmät ja ominaisuudet:

• katkaistu pyramidi kutsutaan polyhedroniksi, joka on suljettu pyramidin kannan ja sen pohjan suuntaisen leikkaustason väliin.
• Leikkaustason ja alkuperäisen pyramidin leikkauspisteestä saatua kuvaa kutsutaan myös perusta katkaistu pyramidi. Joten piirustuksen katkaistulla pyramidilla on kaksi kantaa: ABC ja A 1 B 1 C 1 .
• Katkaistun pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia. Piirustuksessa esim. AA 1 B1B.
• Katkaistun pyramidin sivureunoja kutsutaan alkuperäisen pyramidin reunojen osiksi, jotka on suljettu kantojen väliin. Piirustuksessa esim. AA 1 .
• Katkaistun pyramidin korkeus on kohtisuora (tai tämän kohtisuoran pituus), joka on piirretty jostakin pisteestä yhden kantan tasossa toisen kannan tasoon.
• Katkaistu pyramidi on ns oikea, jos se on monitahoinen, jonka katkaisee pohjan suuntainen taso oikea pyramidit.
• Säännöllisen katkaistun pyramidin kantat ovat säännöllisiä monikulmioita.
• Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita.
• apoteemi säännöllistä katkaistua pyramidia kutsutaan sen sivupinnan korkeudeksi.
• Katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala on sen kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa.

Kaavat katkaistulle pyramidille

Katkaistun pyramidin tilavuus on:

missä: S 1 ja S 2 - perusalueet, h on katkaistun pyramidin korkeus. Käytännössä on kuitenkin kätevämpää etsiä katkaistun pyramidin tilavuutta seuraavasti: voit täydentää katkaistun pyramidin pyramidiin laajentaen sivureunat leikkauskohtaan. Sitten katkaistun pyramidin tilavuus voidaan löytää erotuksena koko pyramidin ja valmiin osan tilavuuksien välillä. Sivupinta-ala voidaan löytää myös koko pyramidin ja valmiin osan sivupintojen erotuksena. Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala on yhtä suuri kuin kantojensa kehien ja apoteemin summan puolitulo:

missä: P 1 ja P 2 - pohjakehät oikea katkaistu pyramidi, a- apoteemi pituus. Minkä tahansa katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala saadaan ilmeisesti pohjan ja sivupinnan pinta-alojen summana:

Pyramidi ja pallo (pallo)

Lause: Pyramidin ympärillä kuvaile laajuutta kun pyramidin pohjalla on merkitty monikulmio (eli monikulmio, jonka ympärillä voidaan kuvata pallo). Tämä ehto on välttämätön ja riittävä. Pallon keskipiste on niihin nähden kohtisuorassa olevien pyramidin reunojen keskipisteiden kautta kulkevien tasojen leikkauspiste.

Huomautus: Tästä lauseesta seuraa, että pallo voidaan kuvata sekä minkä tahansa kolmion ympärillä että minkä tahansa säännöllisen pyramidin ympärillä. Luettelo pyramideista, joiden lähellä palloa voidaan kuvata, ei kuitenkaan rajoitu tämäntyyppisiin pyramideihin. Kuvassa oikealla, korkeudella SH täytyy valita kohta O, yhtä kaukana kaikista pyramidin pisteistä: NIIN = OB = OS = OD = OA. Sitten se pointti O on rajatun pallon keskipiste.

Lause: Pystyt pyramidissa piirtää pallo kun pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat yhdessä pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tämä piste tulee olemaan pallon keskipiste.

Kommentti: Et ilmeisesti ymmärtänyt yllä olevaa riviäsi. Se on kuitenkin tärkeää muistaa mikä tahansa säännöllinen pyramidi on sellainen, johon voidaan piirtää pallo. Samaan aikaan luettelo pyramideista, joihin pallo voidaan kirjoittaa, ei ole tyhjentynyt oikeilla.

Määritelmä: Bisector-taso jakaa kaksitahoisen kulman kahtia, ja puolittajatason jokainen piste on yhtä kaukana dihedraalisen kulman muodostavista pinnoista. Kuva oikealla tasolla γ on tasojen muodostaman kaksitahoisen kulman puolittajataso α ja β .

Alla olevassa stereometrisessä piirustuksessa on pyramidiin kaiverrettu pallo (tai pallon lähellä kuvattu pyramidi), kun taas piste O on piirretyn pallon keskipiste. Tämä kohta O yhtä kaukana pallon kaikista sivuista, esimerkiksi:

OM = OO 1

pyramidi ja kartio

Stereometriassa kartiota kutsutaan kaiverretuksi pyramidiin, jos niiden kärjet ovat samat ja sen kanta on merkitty pyramidin kantaan. Lisäksi on mahdollista piirtää kartio pyramidiin vain, kun pyramidin apoteemit ovat keskenään yhtä suuret (välttämätön ja riittävä ehto).

Kartiota kutsutaan kaiverretuksi pyramidin lähellä kun niiden kärjet yhtyvät ja sen kanta on kuvattu lähellä pyramidin kantaa. Lisäksi on mahdollista kuvata kartio pyramidin lähellä vain silloin, kun pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret (välttämätön ja riittävä ehto).

Tärkeä omaisuus:

pyramidi ja sylinteri

Sylinterin sanotaan olevan kaiverrettu pyramidiin, jos yksi sen kanta osuu pyramidin kannan suuntaiseen poikkileikkaukseen piirretyn tason ympyrän kanssa ja toinen kanta kuuluu pyramidin kantaan.

Sylinterin sanotaan olevan pyramidin lähellä, jos pyramidin huippu kuuluu johonkin sen kantaan ja sen toinen kanta on kuvattu lähellä pyramidin kantaa. Lisäksi on mahdollista kuvata pyramidin lähellä olevaa sylinteriä vain, kun pyramidin pohjassa on merkitty monikulmio (välttämätön ja riittävä ehto).

Pallo ja pallo

Määritelmät:

1. Pallo- suljettu pinta, pisteen paikka avaruudessa yhtä kaukana tietystä pisteestä, ns pallon keskipiste. Pallo on myös pyörimiskappale, joka muodostuu puoliympyrän pyörimisestä halkaisijansa ympäri. pallon säde kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää pallon keskipisteen mihin tahansa pallon pisteeseen.
2. Chordoy pallo on jana, joka yhdistää kaksi pallon pistettä.
3. halkaisija palloa kutsutaan sen keskustan läpi kulkevaksi sointeeksi. Pallon keskipiste jakaa minkä tahansa sen halkaisijan kahteen yhtä suureen segmenttiin. Mikä tahansa pallon halkaisija, jolla on säde R on 2 R.
4. Pallo- geometrinen runko; joukko avaruuden pisteitä, jotka ovat enintään tietyn etäisyyden päässä tietystä keskustasta. Tätä etäisyyttä kutsutaan pallon säde. Pallo muodostetaan kiertämällä puoliympyrää sen kiinteän halkaisijan ympäri. merkintä: pallon pintaa (tai rajaa) kutsutaan palloksi. Pallolle on mahdollista antaa seuraava määritelmä: geometristä kappaletta kutsutaan palloksi, joka koostuu pallosta ja tämän pallon rajaamasta tilan osasta.
5. Säde, sointu ja halkaisija palloa kutsutaan pallon säteeksi, jänteeksi ja halkaisijaksi, joka on tämän pallon raja.
6. Pallon ja pallon välinen ero on samanlainen kuin ympyrän ja ympyrän välinen ero. Ympyrä on suora, ja ympyrä on myös kaikki pisteet tämän suoran sisällä. Pallo on kuori, ja pallo on myös kaikki tämän kuoren sisällä olevat pisteet.
7. Pallon (pallon) keskustan läpi kulkevaa tasoa kutsutaan diametraalinen taso.
8. Pallon (pallon) halkaisijatason leikkausta kutsutaan mahtava ympyrä (iso ympyrä).

Lauseet:

• Lause 1(pallon leikkauksella tason mukaan). Pallon tason leikkaus on ympyrä. Huomaa, että lauseen väite pysyy paikkansa, vaikka taso kulkee pallon keskipisteen läpi.
• Lause 2(pallon leikkauksella tason mukaan). Pallon leikkaus tason mukaan on ympyrä ja pallon keskipisteestä leikkaustasoon vedetyn kohtisuoran kanta on leikkauksessa saadun ympyrän keskipiste.

Suurin ympyrä niistä, jotka voidaan saada tietyn pallon osassa tasolla, sijaitsee osassa, joka kulkee pallon keskustan kautta O. Sitä kutsutaan suureksi ympyräksi. Sen säde on yhtä suuri kuin pallon säde. Mitkä tahansa kaksi suurta ympyrää leikkaavat pallon halkaisijassa AB. Tämä halkaisija on myös leikkaavien suurten ympyröiden halkaisija. Pallomaisen pinnan kahden pisteen läpi, jotka sijaitsevat saman halkaisijan omaavissa päissä (kuvassa 1). A ja B), voit piirtää äärettömän määrän suuria ympyröitä. Esimerkiksi Maan napojen läpi voidaan vetää ääretön määrä meridiaaneja.

Määritelmät:

1. Tangentti tasosta palloon kutsutaan tasoksi, jolla on vain yksi yhteinen piste pallon kanssa, ja niiden yhteistä pistettä kutsutaan tason ja pallon kosketuspisteeksi.
2. Tangenttitaso palloon kutsutaan tangenttitasoksi palloon, joka on tämän pallon raja.
3. Mikä tahansa viiva, joka sijaitsee pallon (pallon) tangenttitasossa ja kulkee kosketuspisteen kautta, on ns. Pallon (pallon) suoran linjan tangentti. Määritelmän mukaan tangenttitasolla on vain yksi yhteinen piste pallon kanssa, joten tangenttiviivalla on myös vain yksi yhteinen piste pallon kanssa - kosketuspiste.

Lauseet:

• Lause 1(pallon tangenttitason merkki). Taso, joka on kohtisuorassa pallon säteeseen nähden ja joka kulkee sen pallon päällä olevan pään läpi, koskettaa palloa.
• Lause 2(pallon tangenttitason ominaisuudesta). Pallon tangenttitaso on kohtisuorassa kosketuspisteeseen piirrettyyn säteeseen nähden.

Polyhedra ja pallo

Määritelmä: Stereometriassa monitahoja (kuten pyramidia tai prismaa) kutsutaan merkitty laajuuteen jos sen kaikki kärjet ovat pallolla. Tässä tapauksessa palloa kutsutaan monitahoisen lähellä rajatuksi (pyramidit, prismat). Vastaavasti: polyhedronia kutsutaan kaiverrettu palloon jos sen kaikki kärjet ovat tämän pallon rajalla. Tässä tapauksessa pallon sanotaan olevan kaiverrettu lähelle monitahoa.

Tärkeä ominaisuus: Monitahoisen pallon ympärille rajatun pallon keskipiste on säteen verran R palloja, jokaisesta monitahoisen kärjestä. Tässä on esimerkkejä palloon kirjoitetuista polyhedraista:

Määritelmä: Monitahoista kutsutaan kuvailtu pallosta (pallosta), jos pallo (pallo) koskettaa kaikki monitahoiset kasvot. Tässä tapauksessa palloa ja palloa kutsutaan monitahoiseen kaiverretuiksi.

Tärkeää: Monitahoiseen kirjoitetun pallon keskipiste on säteen verran r palloja, jokaisesta tasosta, joka sisältää monitahoisen pinnat. Tässä on esimerkkejä pallon lähellä kuvatuista polyhedraista:

Pallon tilavuus ja pinta-ala

Lauseet:

• Lause 1(pallon pinta-alasta). Pallon pinta-ala on:

missä: R on pallon säde.

• Lause 2(pallon tilavuudesta). Säteisen pallon tilavuus R lasketaan kaavalla:

Pallosegmentti, kerros, sektori

Stereometriassa pallon segmentti kutsutaan leikkaustason leikkaamaksi pallon osaksi. Tässä tapauksessa korkeuden, segmentin pohjan säteen ja pallon säteen välinen suhde:

missä: h- segmentin korkeus, r- segmentin kantasäde, R− pallon säde. Pallomaisen segmentin pohjan pinta-ala:

Pallomaisen segmentin ulkopinnan pinta-ala:

Pallosegmentin koko pinta-ala:

Pallon segmentin tilavuus:

Stereometriassa pallomainen kerros Pallon osaa, joka on kahden yhdensuuntaisen tason välissä, kutsutaan. Pallomaisen kerroksen ulkopinnan pinta-ala:

missä: h on pallomaisen kerroksen korkeus, R− pallon säde. Pallomaisen kerroksen koko pinta-ala:

missä: h on pallomaisen kerroksen korkeus, R- pallon säde, r 1 , r 2 ovat pallomaisen kerroksen pohjien säteet, S 1 , S 2 ovat näiden tukikohtien alueita. Pallomaisen kerroksen tilavuus löytyy yksinkertaisimmin kahden pallomaisen segmentin tilavuuksien erona.

Stereometriassa pallosektori kutsutaan pallon osaksi, joka koostuu pallomaisesta segmentistä ja kartiosta, jonka kärki on pallon keskellä ja pohja, joka osuu yhteen pallomaisen segmentin pohjan kanssa. Tässä oletetaan, että pallon segmentti on pienempi kuin puolet pallosta. Pallomaisen sektorin koko pinta-ala:

missä: h on vastaavan pallomaisen segmentin korkeus, r on pallomaisen segmentin (tai kartion) pohjan säde, R− pallon säde. Pallosektorin tilavuus lasketaan kaavalla:

Määritelmät:

1. Tarkastellaan jossain tasossa ympyrää, jonka keskipiste on O ja säde R. Ympyrän jokaisen pisteen läpi piirretään viiva, joka on kohtisuorassa ympyrän tasoon nähden. Sylinterimäinen pinta kutsutaan näiden viivojen muodostamaa kuviota ja kutsutaan itse viivoja muodostaen lieriömäisen pinnan. Kaikki sylinterimäisen pinnan generaattorit ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa, koska ne ovat kohtisuorassa ympyrän tasoon nähden.

1. Suora pyöreä sylinteri tai yksinkertaisesti sylinteri kutsutaan geometriseksi kappaleeksi, jota rajoittaa sylinterimäinen pinta ja kaksi yhdensuuntaista tasoa, jotka ovat kohtisuorassa lieriömäisen pinnan generaattoreihin nähden. Epämuodollisesti voit ajatella sylinteriä suorana prismana, jonka pohjassa on ympyrä. Tämä auttaa helposti ymmärtämään ja tarvittaessa johtamaan kaavoja sylinterin sivupinnan tilavuudelle ja alalle.
2. Sylinterin sivupinta kutsutaan sitä osaa lieriömäisestä pinnasta, joka sijaitsee sen generatrixiin nähden kohtisuorassa leikkaustasojen välissä, ja osia (ympyröitä), jotka sylinterimäinen pinta katkaisee yhdensuuntaisissa tasoissa, kutsutaan ns. sylinterin pohjat. Sylinterin pohjat ovat kaksi yhtä suurta ympyrää.
3. Sylinterin generatrix jota kutsutaan lieriömäisen pinnan generatrixin segmentiksi (tai tämän segmentin pituudeksi), joka sijaitsee yhdensuuntaisten tasojen välissä, joissa sylinterin kannat sijaitsevat. Kaikki sylinterin generaattorit ovat yhdensuuntaisia ​​ja yhtä suuria keskenään ja myös kohtisuorassa kantaan nähden.
4. Sylinterin akseli kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää sylinterin pohjana olevien ympyröiden keskipisteet.
5. sylinterin korkeus jota kutsutaan kohtisuoraksi (tai tämän kohtisuoran pituudeksi), joka on piirretty jostakin sylinterin yhden kannan tason pisteestä toisen kannan tasoon. Sylinterin korkeus on yhtä suuri kuin generatrix.
6. Sylinterin säde kutsutaan sen kantakohtien säteeksi.
7. Sylinteri on ns tasasivuinen jos sen korkeus on yhtä suuri kuin pohjan halkaisija.
8. Sylinteri voidaan saada kiertämällä suorakulmiota sen toisen sivun ympäri 360°.
9. Jos leikkaustaso on yhdensuuntainen sylinterin akselin kanssa, niin sylinterin leikkaus on suorakulmio, jonka kaksi sivua ovat generaattoreita ja kaksi muuta ovat sylinterin kannan jänteitä.
10. Aksiaalinen osa Sylinteri on osa sylinteristä sen akselin kautta kulkevan tason mukaan. Sylinterin aksiaalinen poikkileikkaus on suorakulmio, jonka kaksi sivua ovat sylinterin generaattoreita ja kaksi muuta ovat sen kannan halkaisijat.
11. Jos leikkaustaso on kohtisuorassa sylinterin akseliin nähden, muodostuu ympyrä poikkileikkaukseen, joka on yhtä suuri kuin pohjat. Alla olevassa piirustuksessa: vasemmalla - aksiaalinen leikkaus; keskellä - sylinterin akselin suuntainen osa; oikealla - sylinterin pohjan suuntainen osa.

Sylinteri ja prisma

Prisman sanotaan olevan kaiverrettu sylinteriin jos sen pohjat on kaiverrettu sylinterin kantaan. Tässä tapauksessa sylinterin sanotaan olevan prisman ympärillä. Prisman korkeus ja sylinterin korkeus ovat tässä tapauksessa yhtä suuret. Kaikki prisman sivureunat kuuluvat sylinterin sivupintaan ja osuvat yhteen sen generaattoreiden kanssa. Koska sylinterillä tarkoitamme vain suoraa sylinteriä, niin tällaiseen sylinteriin voidaan myös kirjoittaa vain suora prisma. Esimerkkejä:

Prisman sanotaan olevan sylinterin ympärillä, jos sen pohjat on kuvattu lähellä sylinterin kantaa. Tässä tapauksessa sylinterin sanotaan olevan kaiverrettu prismaan. Prisman korkeus ja sylinterin korkeus ovat myös tässä tapauksessa yhtä suuret. Prisman kaikki sivureunat ovat yhdensuuntaisia ​​sylinterin generatrixin kanssa. Koska sylinterillä tarkoitamme vain suoraa sylinteriä, tällainen sylinteri voidaan kirjoittaa vain suoraan prismaan. Esimerkkejä:

Sylinteri ja pallo

Palloa (palloa) kutsutaan sylinteriin kirjoitetuksi jos se koskettaa sylinterin ja jokaisen sen generaattorin pohjaa. Tässä tapauksessa sylinteriä kutsutaan pallon (pallon) ympärille rajatuksi. Pallo voidaan kirjoittaa sylinteriin vain, jos se on tasasivuinen sylinteri, ts. sen pohjan halkaisija ja korkeus ovat yhtä suuret. Kirjoitetun pallon keskipiste on sylinterin akselin keskikohta, ja tämän pallon säde on sama kuin sylinterin säde. Esimerkki:

Sylinterin sanotaan olevan kaiverrettu palloon, jos sylinterin kannan ympyrät ovat pallon osia. Sylinterin sanotaan olevan kirjoitettu palloon, jos sylinterin pohjat ovat pallon osia. Tässä tapauksessa palloa (palloa) kutsutaan kaiverretuksi sylinterin lähellä. Pallo voidaan kuvata minkä tahansa sylinterin ympärillä. Kuvatun pallon keskipiste on myös sylinterin akselin keskikohta. Esimerkki:

Pythagoraan lauseen perusteella on helppo todistaa seuraava rajatun pallon sädettä koskeva kaava ( R), sylinterin korkeus ( h) ja sylinterin säde ( r):

Sylinterin sivu- ja täyspinnan tilavuus ja pinta-ala

Lause 1(sylinterin sivupinnan pinta-alasta): Sylinterin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen pohjan kehän ja korkeuden tulo:

missä: R on sylinterin pohjan säde, h- hänen korkeutensa. Tämä kaava on helppo johtaa (tai todistettu) suoran prisman sivupinta-alan kaavan perusteella.

Sylinterin koko pinta-ala, kuten stereometriassa tavallista, on sivupinnan ja kahden kannan pinta-alojen summa. Jokaisen sylinterin pohjan pinta-ala (eli vain ympyrän pinta-ala) lasketaan kaavalla:

Siksi sylinterin kokonaispinta-ala S koko sylinteri lasketaan kaavalla:

Lause 2(noin sylinterin tilavuudesta): Sylinterin tilavuus on yhtä suuri kuin pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo:

missä: R ja h ovat sylinterin säde ja korkeus. Tämä kaava on myös helppo johtaa (todistettu) prisman tilavuuden kaavan perusteella.

Lause 3(Archimedes): Pallon tilavuus on puolitoista kertaa pienempi kuin sen ympärillä kuvatun sylinterin tilavuus, ja tällaisen pallon pinta-ala on puolitoista kertaa pienempi kuin pallon kokonaispinta-ala. sama sylinteri:

Kartio

Määritelmät:

1. Kartio (tarkemmin pyöreä kartio) kutsutaan kehoksi, joka koostuu ympyrästä (ns kartiopohja), piste, joka ei ole tämän ympyrän tasossa (ns kartion yläosa) ja kaikki mahdolliset segmentit, jotka yhdistävät kartion yläosan pohjan pisteisiin. Epävirallisesti voit nähdä kartio tavallisena pyramidina, jonka pohjassa on ympyrä. Tämä auttaa helposti ymmärtämään ja tarvittaessa johtamaan kaavoja kartion sivupinnan tilavuudelle ja pinta-alalle.

1. Janat (tai niiden pituudet), jotka yhdistävät kartion yläosan pohjan ympyrän pisteisiin, ovat ns. muodostaen kartion. Kaikki suoran pyöreän kartion generaattorit ovat keskenään samanarvoisia.
2. Kartion pinta koostuu kartion pohjasta (ympyrä) ja sivupinnasta (joka koostuu kaikista mahdollisista generaattoreista).
3. Kartion generaattoreiden liittoa kutsutaan kartion generatrix (tai sivupinta).. Kartion generatrix on kartiomainen pinta.
4. Kartiota kutsutaan suoraan jos viiva, joka yhdistää kartion kärjen kannan keskipisteeseen, on kohtisuorassa kannan tasoon nähden. Seuraavassa tarkastelemme vain oikeaa kartiota, kutsuen sitä yksinkertaisesti kartioksi lyhyyden vuoksi.
5. Visuaalisesti suora pyöreä kartio voidaan kuvitella kappaleeksi, joka saadaan kiertämällä suorakulmaista kolmiota jalkansa ympäri akselina. Tässä tapauksessa kartion sivupinta muodostuu hypotenuusan pyörimisestä ja pohja muodostuu jalan, joka ei ole akseli, kierto.
6. kartion säde kutsutaan sen pohjan säteeksi.
7. kartion korkeus kutsutaan kohtisuoraksi (tai sen pituudeksi), laskettuna sen yläosasta pohjan tasoon. Oikealla kartiolla korkeuden pohja on sama kuin pohjan keskusta. Oikean pyöreän kartion akseli on suora viiva, joka sisältää sen korkeuden, ts. suora viiva, joka kulkee pohjan keskikohdan ja yläosan läpi.
8. Jos leikkaustaso kulkee kartion akselin läpi, leikkaus on tasakylkinen kolmio, jonka kanta on kartion pohjan halkaisija ja sivut ovat kartion generatrix. Tällaista leikkausta kutsutaan aksiaalinen.

1. Jos leikkaustaso kulkee kartion korkeuden sisäpisteen läpi ja on kohtisuorassa siihen nähden, niin kartion leikkaus on ympyrä, jonka keskipiste on korkeuden ja tämän tason leikkauspiste.
2. Korkeus ( h), säde ( R) ja generatriisin pituus ( l) oikean pyöreän kartion osalta, täyttävät ilmeisen suhteen:

Kartion sivu- ja täyspintojen tilavuus ja pinta-ala

Lause 1(kartion sivupinnan alueella). Kartion sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan ja generatrixin puolen kehän tulo:

missä: R on kartion pohjan säde, l on kartion generatrixin pituus. Tämä kaava on helppo johtaa (tai todistettu) säännöllisen pyramidin sivupinta-alan kaavan perusteella.

Kartion koko pinta-ala on sivupinta-alan ja pohjapinta-alan summa. Kartion pohjan pinta-ala (eli vain ympyrän pinta-ala) on: S pohja = πR 2. Siksi kartion kokonaispinta-ala S koko kartio lasketaan kaavalla:

Lause 2(kartion tilavuudella). Kartion tilavuus on kolmasosa peruspinta-alasta kerrottuna korkeudella:

missä: R on kartion pohjan säde, h- hänen korkeutensa. Tämä kaava on myös helposti johdettavissa (todistettu) pyramidin tilavuuden kaavan perusteella.

Määritelmät:

1. Taso, joka on yhdensuuntainen kartion kannan kanssa ja leikkaa kartion, katkaisee siitä pienemmän kartion. Loput kutsutaan katkaistu kartio.

1. Alkuperäisen kartion kantaa ja tämän kartion leikkauksessa tason avulla saatua ympyrää kutsutaan perusteita, ja niiden keskipisteitä yhdistävä segmentti - katkaistun kartion korkeus.
2. Suora viiva, joka kulkee katkaistun kartion korkeuden läpi (eli sen kannan keskipisteiden läpi) on sen akseli.
3. Kartion sivupinnan osaa, joka rajoittaa katkaistua kartiota, kutsutaan sen osaksi sivupinta, ja katkaistun kartion kantojen välissä olevia kartion generatriisin segmenttejä kutsutaan sen tuottaa.
4. Kaikki katkaistun kartion generaattorit ovat keskenään samanarvoisia.
5. Katkaistu kartio voidaan saada kiertämällä suorakaiteen muotoista puolisuunnikasta 360° sen sivun ympäri, joka on kohtisuorassa kantaan nähden.

Kaavat katkaistulle kartiolle:

Katkaistun kartion tilavuus on yhtä suuri kuin täyden kartion ja kartion pohjan suuntaisen tason katkaiseman kartion tilavuuksien erotus. Katkaistun kartion tilavuus lasketaan kaavalla:

missä: S 1 = π r 12 ja S 2 = π r 2 2 - pohjan alueet, h on katkaistun kartion korkeus, r 1 ja r 2 - katkaistun kartion ylä- ja alapohjan säteet. Käytännössä on kuitenkin edelleen kätevämpää etsiä katkaistun kartion tilavuutta alkuperäisen kartion ja leikatun osan tilavuuksien erona. Katkaistun kartion sivupinta-ala voidaan löytää myös alkuperäisen kartion ja leikatun osan sivupintojen välisenä erona.

Itse asiassa katkaistun kartion sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin täyden kartion sivupintojen ja kartion pohjan kanssa yhdensuuntaisen tason leikkaaman kartion sivupintojen alueiden välinen ero. Katkaistun kartion sivupinta-ala lasketaan kaavalla:

missä: P 1 = 2π r 1 ja P 2 = 2π r 2 - katkaistun kartion pohjan kehät, l- generatrixin pituus. Katkaistun kartion kokonaispinta-ala, ilmeisesti löytyy pohjan ja sivupinnan pinta-alojen summana:

Huomaa, että katkaistun kartion sivupinnan tilavuuden ja pinta-alan kaavat on johdettu säännöllisen katkaistun pyramidin vastaavien ominaisuuksien kaavoista.

Kartio ja pallo

Kartion sanotaan olevan kaiverrettu palloon(pallo), jos sen kärki kuuluu palloon (pallon rajaan) ja pohjan (itse pohjan) ympärysmitta on osa pallosta (pallosta). Tässä tapauksessa palloa (palloa) kutsutaan kartion lähellä olevaksi rajatuksi. Pallo voidaan aina kuvata oikean pyöreän kartion ympärillä. Piirretyn pallon keskipiste on suoralla viivalla, joka sisältää kartion korkeuden, ja tämän pallon säde on yhtä suuri kuin kartion aksiaalileikkauksen ympärille rajatun ympyrän säde (tämä leikkaus on tasakylkinen kolmio) . Esimerkkejä:

Palloa (palloa) kutsutaan kartioon piirretyksi, jos pallo (pallo) koskettaa kartion kantaa ja jokaista sen generaattoria. Tässä tapauksessa kartiota kutsutaan pallon lähelle piirretyksi (palloksi). Pallo voidaan aina kirjoittaa oikeaan pyöreään kartioon. Sen keskipiste on kartion korkeudella, ja piirretyn pallon säde on yhtä suuri kuin kartion aksiaaliseen osaan piirretyn ympyrän säde (tämä leikkaus on tasakylkinen kolmio). Esimerkkejä:

Kartio ja pyramidi

• Kartiota kutsutaan pyramidiin kirjoitetuksi (pyramidi kuvataan lähellä kartiota), jos kartion kanta on kaiverrettu pyramidin pohjaan ja kartion ja pyramidin kärjet osuvat yhteen.
• Pyramidia kutsutaan kartioon piirretyksi (kartio kuvataan lähellä pyramidia), jos sen kanta on kaiverrettu kartion pohjaan ja sivureunat ovat kartion generaattoreita.
• Tällaisten kartioiden ja pyramidien korkeudet ovat samat.

merkintä: Lisätietoa siitä, kuinka kiinteässä geometriassa kartio sopii pyramidiin tai sitä kuvataan pyramidin lähellä, on jo käsitelty

Kuinka valmistautua onnistuneesti fysiikan ja matematiikan CT:hen?

Menestyäkseen valmistautua CT:hen muun muassa fysiikassa ja matematiikassa kolme olennaista ehtoa on täytettävä:

1. Tutustu kaikkiin aiheisiin ja suorita kaikki annetut testit ja tehtävät harjoittelumateriaalit kyseisellä verkkosivustolla. Tätä varten et tarvitse mitään, nimittäin: omistaa kolmesta neljään tuntia päivittäin fysiikan ja matematiikan CT: hen valmistautumiseen, teorian opiskeluun ja ongelmien ratkaisemiseen. Tosiasia on, että CT on koe, jossa ei riitä vain fysiikan tai matematiikan tunteminen, vaan sinun on myös pystyttävä ratkaisemaan nopeasti ja ilman epäonnistumisia suuri määrä erilaisia ​​​​aiheita ja vaihtelevan monimutkaisuuden ongelmia. Jälkimmäinen voidaan oppia vain ratkaisemalla tuhansia ongelmia.
2. oppia kaikki kaavat ja lait fysiikassa ja kaavat ja menetelmät matematiikassa. Itse asiassa se on myös hyvin yksinkertaista, fysiikassa on vain noin 200 tarvittavaa kaavaa ja matematiikassa jopa vähän vähemmän. Jokaisessa näistä aineista löytyy noin tusina standardimenetelmää perusmonimutkaisuuden ongelmien ratkaisemiseksi, jotka voidaan myös oppia ja siten täysin automaattisesti ja vaivatta ratkaista suurin osa digitaalisesta muunnoksesta oikeaan aikaan. Sen jälkeen sinun tarvitsee vain ajatella vaikeimpia tehtäviä.
3. Vieraile kaikissa kolmessa vaiheessa harjoitustestaus fysiikassa ja matematiikassa. Jokaisessa RT:ssä voi käydä kahdesti molempien vaihtoehtojen ratkaisemiseksi. Jälleen DT:llä kyvyn nopeasti ja tehokkaasti ratkaista ongelmia sekä kaavojen ja menetelmien tuntemuksen lisäksi on myös osattava oikein suunnitella aikaa, jakaa voimat ja ennen kaikkea täyttää vastauslomake oikein , sekoittamatta vastausten ja tehtävien numeroita tai omaa sukunimeäsi. RT:n aikana on myös tärkeää tottua tehtävien kysymystyyliin, mikä saattaa tuntua hyvin epätavalliselta valmistautumattomalle henkilölle DT:llä.

Näiden kolmen kohdan onnistunut, ahkera ja vastuullinen toteuttaminen antaa sinulle mahdollisuuden näyttää TT:ssä erinomaisen tuloksen, maksimaalisen, mihin pystyt.

Löysitkö virheen?

Jos, kuten sinusta näyttää, löysit virheen koulutusmateriaaleista, kirjoita siitä postitse. Voit myös kirjoittaa virheestä sosiaaliseen verkostoon (). Ilmoita kirjeessä aihe (fysiikka tai matematiikka), aiheen tai kokeen nimi tai numero, tehtävän numero tai tekstin (sivun) paikka, jossa mielestäsi on virhe. Kerro myös, mikä väitetty virhe on. Kirjeesi ei jää huomaamatta, virhe joko korjataan tai sinulle selitetään, miksi se ei ole virhe.