Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta määritellään kaavalla. Kaavat johdannaisille. Henkilötietojen suoja

11.11.2020

FROM oikolukumateriaalia aiheesta "johdannainen". Peruskoulun taso.
Teoreettista tietoa matematiikan opiskelijoille, opettajille ja ohjaajille. Auttamaan oppitunneilla.

Määritelmä: funktion derivaatta pisteessä kutsutaan funktion inkrementin ja muuttujan inkrementin suhteen rajaksi, eli

Taulukko matemaattisten perusfunktioiden johdannaisista:

Johdannaisten laskentasäännöt

Summan johdannainen minkä tahansa kahden lausekkeen summa on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden johdannaisten summa (summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa)

Erojohdannainen minkä tahansa kahden lausekkeen erotus on yhtä suuri kuin näiden termien johdannaisten erotus (eron derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten erotus).

Tuotteen johdannainen kaksi tekijää on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän derivaatan tulo toisella plus ensimmäisen tekijän tulo toisen derivaatalla (vuorollaan otettujen tekijöiden johdannaisten summa).
Matematiikan ohjaajan kommentti: kun muistutan opiskelijaa lyhyillä lauseilla tuotteen derivaatan laskentasäännöstä, sanon tämän: ensimmäisen tekijän derivaatta toisella plus aivohalvauksen vaihto!

Osamäärän johdannainen kahdesta lausekkeesta on yhtä suuri kuin tekijöiden vuorotellen otettujen derivaattojen ja nimittäjän neliön erotuksen osamäärä.

Johdannainen luvun ja funktion tulosta. Löytääksesi luvun ja kirjaimellisen lausekkeen (funktion) tulon johdannaisen, sinun on kerrottava tämä luku tämän kirjaimellisen lausekkeen johdannaisella.

Monimutkaisen funktion johdannainen:

Kompleksisen funktion derivaatan laskemiseksi sinun on löydettävä ulkofunktion derivaatta ja kerrottava se sisäisen funktion derivaatalla.

Kommenttisi ja palautteesi johdannaisia sisältävästä sivusta:
Alexander S.
Tarvitsin todella pöydän. Yksi Internetin parhaista. Kiitos paljon selityksistä ja säännöistä. Ainakin vielä yksi esimerkki heille ja yleensä se olisi hienoa. Kiitos taas.

Kolpakov A.N., matematiikan ohjaaja: ok, yritän päivittää sivulle esimerkkejä pian.

Virtuaalinen matemaattinen hakuteos.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, matematiikan ohjaaja.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan differentiaatioksi.

Tuloksena ongelmien ratkaisemisesta yksinkertaisimpien (ja ei kovin yksinkertaisten) funktioiden derivaattojen löytämisessä määrittämällä derivaatta lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi, ilmestyi derivaattataulukko ja tarkasti määritellyt differentiaatiosäännöt. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) työskentelivät ensimmäisinä johdannaisten löytämisen alalla.

Siksi meidän aikanamme minkä tahansa funktion derivaatan löytämiseksi ei tarvitse laskea edellä mainittua funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaa, vaan tarvitsee vain käyttää taulukkoa. johdannaisista ja differentiointisäännöistä. Seuraava algoritmi sopii derivaatan löytämiseen.

Löytääksesi johdannaisen, tarvitset ilmaisun vetomerkin alle hajottaa yksinkertaisia toimintoja ja päättää mitä toimia (tuote, summa, osamäärä) nämä toiminnot liittyvät toisiinsa. Edelleen löydämme alkeisfunktioiden derivaatat derivaattataulukosta ja kaavat tulon, summan ja osamäärän derivaateille - differentiaatiosäännöistä. Taulukko johdannaisista ja differentiointisäännöistä on annettu kahden ensimmäisen esimerkin jälkeen.

Esimerkki 1 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Differentiointisäännöistä selviää, että funktioiden summan derivaatta on funktioiden derivaattojen summa, ts.

Derivaatataulukosta selviää, että "X":n derivaatta on yhtä suuri kuin yksi ja sinin derivaatta on kosini. Korvaamme nämä arvot johdannaisten summassa ja löydämme ongelman ehdon vaatiman derivaatan:

Esimerkki 2 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Differentioi summan derivaatana, jossa toinen termi vakiokertoimella, se voidaan ottaa pois derivaatan merkistä:

Jos on vielä kysymyksiä siitä, mistä jokin tulee, ne pääsääntöisesti selviävät johdannaistaulukon ja yksinkertaisimmat differentiointisäännöt lukemisen jälkeen. Olemme menossa heidän luokseen juuri nyt.

Taulukko yksinkertaisten funktioiden johdannaisista

1. Vakion (luvun) derivaatta. Mikä tahansa luku (1, 2, 5, 200...), joka on funktiolausekkeessa. Aina nolla. Tämä on erittäin tärkeää muistaa, koska sitä vaaditaan hyvin usein
2. Riippumattoman muuttujan johdannainen. Useimmiten "x". Aina yhtä kuin yksi. Tämä on myös tärkeää muistaa
3. Tutkinnon johdannainen. Kun ratkaiset tehtäviä, sinun on muunnettava ei-neliöjuuret potenssiksi.
4. Muuttujan johdannainen potenssiin -1
5. Neliöjuuren johdannainen
6. Sinijohdannainen
7. Kosinijohdannainen
8. Tangenttiderivaata
9. Kotangentin derivaatta
10. Arsinin derivaatta
11. Arkkikosinin derivaatta
12. Arktangentin derivaatta
13. Käänteisen tangentin derivaatta
14. Luonnollisen logaritmin derivaatta
15. Logaritmisen funktion derivaatta
16. Eksponentin derivaatta
17. Eksponentiaalisen funktion derivaatta

Erottamisen säännöt

1. Summan tai erotuksen johdannainen
2. Tuotteen johdannainen
2a. Johdannainen lausekkeesta kerrottuna vakiotekijällä
3. Osamäärän derivaatta
4. Monimutkaisen funktion derivaatta

Sääntö 1Jos toimii

ovat erotettavissa jossain vaiheessa , sitten samassa kohdassa funktiot

nuo. funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa.

Seuraus. Jos kaksi differentioituvaa funktiota eroavat toisistaan vakiolla, niin niiden derivaatat ovat, eli

Sääntö 2Jos toimii

ovat erotettavissa jossain vaiheessa, silloin niiden tuote on myös erotettavissa samassa pisteessä

nuo. kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden kunkin funktion tulojen ja toisen derivaatan summa.

Seuraus 1. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä:

Seuraus 2. Useiden differentioituvien funktioiden tulon derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin tekijän ja kaikkien muiden derivaatan tulojen summa.

Esimerkiksi kolmelle kertoimelle:

Sääntö 3Jos toimii

erottuva jossain vaiheessa ja , niin tässä vaiheessa myös niiden osamäärä on differentioituva.u/v ja

nuo. kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän ja osoittajan derivaatan ja osoittajan ja nimittäjän derivaatan tulojen erotus, ja nimittäjä on edellisen osoittajan neliö .

Mistä etsiä muilta sivuilta

Kun tuotteen derivaatta ja osamäärä löydetään todellisista ongelmista, on aina tarpeen soveltaa useita differentiaatiosääntöjä kerralla, joten artikkelissa on enemmän esimerkkejä näistä derivaatoista."Tuotteen ja osamäärän johdannainen".

Kommentti. Vakiota (eli lukua) ei pidä sekoittaa termiksi summassa ja vakiotekijänä! Termin tapauksessa sen derivaatta on nolla, ja vakiotekijän tapauksessa se otetaan pois derivaattojen etumerkistä. Tämä on tyypillinen johdannaisten opiskelun alkuvaiheessa ilmenevä virhe, mutta kun keskivertoopiskelija ratkaisee useita yksi-kaksikomponenttisia esimerkkejä, tämä virhe ei enää tee.

Ja jos sinulla on termi, kun erotat tuotteen tai osamäärän u"v, jossa u- luku, esimerkiksi 2 tai 5, eli vakio, niin tämän luvun derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ja siksi koko termi on yhtä suuri kuin nolla (tällaista tapausta analysoidaan esimerkissä 10) .

Toinen yleinen virhe on kompleksisen funktion derivaatan mekaaninen ratkaisu yksinkertaisen funktion derivaatana. Siksi kompleksisen funktion derivaatta omistettu erilliselle artikkelille. Mutta ensin opimme löytämään johdannaisia yksinkertaisista funktioista.

Matkan varrella et tule toimeen ilman lausekkeiden muunnoksia. Tätä varten sinun on ehkä avattava uusissa Windows-käyttöoppaat Toiminta, jolla on voimia ja juuria ja Toiminnot murtoluvuilla .

Jos etsit ratkaisuja johdannaisille, joilla on potenssit ja juuret, eli milloin funktio näyttää , noudata sitten oppituntia "Murtolukujen summan johdannainen potenssien ja juurien kanssa".

Jos sinulla on tehtävä, kuten , niin olet oppitunnilla "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset".

Vaiheittaiset esimerkit - kuinka löytää johdannainen

Esimerkki 3 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Määritämme funktiolausekkeen osat: koko lauseke edustaa tuotetta ja sen tekijät ovat summia, joista toisessa yksi termeistä sisältää vakiotekijän. Sovellamme tulojen differentiointisääntöä: kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden tulojen summa ja toisen funktion tulojen summa:

Seuraavaksi sovelletaan summan differentiaatiosääntöä: funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa. Meidän tapauksessamme kussakin summassa toinen termi miinusmerkillä. Jokaisessa summassa näemme sekä itsenäisen muuttujan, jonka derivaatta on yhtä suuri, että vakion (luku), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Joten "x" muuttuu yhdeksi ja miinus 5 - nollaksi. Toisessa lausekkeessa "x" kerrotaan kahdella, joten kerromme kaksi samalla yksiköllä kuin "x":n derivaatta. Saamme seuraavat johdannaisten arvot:

Korvaamme löydetyt derivaatat tulojen summaksi ja saamme koko tehtävän ehdon vaatiman funktion derivaatan:

Esimerkki 4 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Meidän on löydettävä osamäärän derivaatta. Käytämme osamäärän erottamiseen kaavaa: kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän ja osoittajan derivaatan sekä osoittajan ja nimittäjän derivaatan tulojen erotus, ja nimittäjä on entisen osoittajan neliö. Saamme:

Olemme jo löytäneet esimerkin 2 osoittajan tekijöiden derivaatan. Älä myöskään unohda, että tulo, joka on tämän esimerkin osoittajan toinen tekijä, otetaan miinusmerkillä:

Jos etsit ratkaisuja sellaisiin ongelmiin, joissa sinun on löydettävä funktion derivaatta, jossa on jatkuva kasa juuria ja asteita, kuten esim. sitten tervetuloa tunnille "Johdannainen murtolukujen summasta potenssien ja juurien kanssa" .

Jos haluat oppia lisää sinien, kosinien, tangenttien ja muiden trigonometristen funktioiden derivaatoista, eli kun funktio näyttää tältä , sitten sinulla on oppitunti "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset" .

Esimerkki 5 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Tässä funktiossa näemme tuotteen, jonka yksi tekijöistä on riippumattoman muuttujan neliöjuuri, jonka derivaattaan tutustuimme derivaattataulukossa. Tuloerosäännön ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon mukaan saamme:

Esimerkki 6 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Tässä funktiossa näemme osamäärän, jonka osinko on riippumattoman muuttujan neliöjuuri. Esimerkissä 4 toistetun ja sovelletun osamäärän differentiaatiosäännön ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon mukaan saadaan:

Poistaaksesi osoittajan murto-osan kertomalla osoittaja ja nimittäjä luvulla.

Mikä on johdannaisfunktio - tämä on tärkein matemaattinen käsite, on samalla tasolla integraalien kanssa analyysissä. Tämä funktio tietyssä pisteessä antaa ominaisuuden funktion muutosnopeudelle tietyssä pisteessä.
Sellaiset käsitteet kuin differentiaatio ja integrointi, ensimmäinen tarkoittaa derivaatan löytämistä, toinen päinvastoin palauttaa funktion tästä derivaattasta lähtien.
Johdannaisilla on tärkeä rooli differentiaalilaskelmissa.
Kuvaavaa esimerkkiä varten kuvaamme derivaatan koordinaattitasolla.

funktiossa y \u003d f (x) kiinnitämme pisteet M, joissa (x0; f (X0)) ja N f (x0 +? x) jokaisessa abskissassa on lisäys muodossa? x. Inkrementti on prosessi, kun abskissa muuttuu, jolloin myös ordinaatta muuttuu. Nimetty?
Etsitään kolmion MPN kulman tangentti käyttämällä pisteitä M ja N tähän.

tg? = NP/MP = ?y/?x.

Kun x menee arvoon 0. Leikkaava MN on tulossa lähemmäksi tangenttia MT ja kulmaa? tulee olemaan?. Siksi tg? suurin arvo tg:lle?.

tg? = lim from?x-0 tg ? = lim from?x-0 ?y/?x

Johdannaistaulukko

Jos lausut kunkin sanamuodon johdannaiskaavat. Taulukko on helpompi muistaa.
1) Vakioarvon derivaatta on 0.
2) X vedolla on yksi.
3) Jos on vakiotekijä, otamme derivaatalta yksinkertaisesti pois eo.
4) Saadaksesi derivaatan asteen, sinun on kerrottava tämän asteen eksponentti asteella, jolla on sama kanta, jossa eksponentti on 1 pienempi.
5) Juuren löytäminen on yksi jaettuna kahdella näistä juurista.
6) Yhden jaettuna X:llä derivaatta on yhtä kuin yksi jaettuna X:llä neliöitynä, miinusmerkillä.
7) P sini on kosini
8) P kosini on yhtä suuri kuin sini, jossa on miinusmerkki.
9) P tangentti on yhtä kuin yksi jaettuna kosinin neliöllä.
10) P kotangentti on yhtä kuin yksi miinusmerkillä jaettuna sinin neliöllä.

Erottamisessa on myös sääntöjä, jotka on myös helpompi oppia lausumalla ne ääneen.

1) Hyvin yksinkertaisesti termien lukumäärä on yhtä suuri kuin niiden summa.
2) Kertomassa oleva derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäisen arvon kertominen toisella, lisäten itseensä toisen arvon kertolasku ensimmäisellä.
3) Jakoderivaata on yhtä suuri kuin ensimmäisen arvon kertominen toisella, vähentäen itsestään toisen arvon kertolasku ensimmäisellä. Murtoluku jaettuna toisella neliöllä.
4) Formulaatio on kolmannen kaavan erikoistapaus.

Tällä oppitunnilla jatkamme funktioiden derivaattojen tutkimista ja siirrymme monimutkaisempaan aiheeseen, nimittäin tuotteen ja osamäärän johdannaisiin. Jos katsoit edellistä oppituntia, luultavasti ymmärsit, että otimme huomioon vain yksinkertaisimmat konstruktit, nimittäin potenssifunktion derivaatan, summat ja erot. Erityisesti opimme, että summan derivaatta on yhtä suuri kuin niiden summa ja erotuksen derivaatta on vastaavasti yhtä suuri kuin niiden erotus. Valitettavasti osamäärän ja tuotteen johdannaisten tapauksessa kaavat ovat paljon monimutkaisempia. Aloitetaan funktioiden tulon derivaatan kaavasta.

Trigonometristen funktioiden johdannaiset

Aluksi sallin itselleni pienen lyyrisen poikkeaman. Tosiasia on, että tavallisen potenssifunktion - $y=((x)^(n))$ - lisäksi tässä oppitunnissa on muita toimintoja, nimittäin $y=\sin x$ sekä $y =\ cos x$ ja muu trigonometria - $y=tgx$ ja tietysti $y=ctgx$.

Jos me kaikki tiedämme täysin hyvin potenssifunktion derivaatan, nimittäin $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, niin trigonometriset funktiot on mainittava erikseen. Kirjoitetaan:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Mutta tiedät nämä kaavat erittäin hyvin, mennään pidemmälle.

Mikä on tuotteen johdannainen?

Ensinnäkin tärkein asia: jos funktio on kahden muun funktion tulo, esimerkiksi $f\cdot g$, tämän konstruktion derivaatta on yhtä suuri kuin seuraava lauseke:

Kuten näet, tämä kaava on huomattavasti erilainen ja monimutkaisempi kuin aiemmin tarkastelemamme kaavat. Esimerkiksi summan derivaatta pidetään alkeisarvona — $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ tai erotuksen derivaatta, jota pidetään myös alkeellisena — $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Yritetään soveltaa ensimmäistä kaavaa laskeaksemme kahden tehtävässä meille annetun funktion derivaatat. Aloitetaan ensimmäisestä esimerkistä:

Ilmeisesti seuraava konstruktio toimii tuotteena, tarkemmin sanottuna tekijänä: $((x)^(3))$, voimme pitää sitä muodossa $f$ ja $\left(x-5 \right)$ voimme pitää $g$:na. Silloin heidän tuotteensa on vain kahden toiminnon tulos. Me päätämme:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(3)) \oikea))^(\alkuluku ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) oikea))^(\alkuluku ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(tasaa)\].

Tarkastellaan nyt tarkemmin jokaista termiämme. Näemme, että sekä ensimmäinen että toinen termi sisältävät $x$:n potenssin: ensimmäisessä tapauksessa se on $((x)^(2))$, ja toisessa se on $((x)^(3) )$. Otetaan pienin aste pois suluista, se jää hakasulkeeseen:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\vasen(3x-15+x \oikea)=( (x)^(2))(4x-15) \\\end(tasaa)\]

Kaikki löysimme vastauksen.

Palaamme tehtäviimme ja yritämme ratkaista:

Joten kirjoitetaan uudelleen:

Huomioimme jälleen, että puhumme kahden funktion tulosta: $x$, joka voidaan merkitä $f$, ja $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, joka voi merkitään $g$:lla.

Siten meillä on jälleen kahden funktion tulo. Löytääksemme funktion $f\left(x \right)$ johdannaisen, käytämme jälleen kaavaamme. Saamme:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \oikea))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(tasaa)\]

Vastaus löytyi.

Miksi johdannaiset jaetaan tekijöihin?

Olemme juuri käyttäneet joitakin erittäin tärkeitä matemaattisia tosiasioita, jotka eivät sinänsä liity johdannaisiin, mutta ilman niiden tietämystä kaikessa tämän aiheen jatkotutkimuksessa ei yksinkertaisesti ole järkeä.

Ensinnäkin, kun ratkaisimme aivan ensimmäisen ongelman ja päästimme jo eroon kaikista johdannaisten merkeistä, aloimme jostain syystä jakaa tämän lausekkeen.

Toiseksi, kun ratkaisimme seuraavaa ongelmaa, siirryimme useita kertoja juuresta tutkintoon rationaalisella eksponentilla ja päinvastoin käyttämällä 8.-9. luokan kaavaa, joka tulee toistaa erikseen.

Mitä tulee tekijöihin jakamiseen – miksi tarvitsemme kaikkia näitä lisäponnisteluja ja muutoksia? Itse asiassa, jos ongelma sanoo yksinkertaisesti "etsi funktion johdannainen", näitä lisävaiheita ei tarvita. Todellisissa ongelmissa, jotka odottavat sinua kaikenlaisissa kokeissa ja kokeissa, pelkkä derivaatan löytäminen ei useinkaan riitä. Tosiasia on, että derivaatta on vain työkalu, jolla voit selvittää esimerkiksi funktion lisäyksen tai pienenemisen, ja tätä varten sinun on ratkaistava yhtälö, kerrottava se. Ja tässä tämä tekniikka on erittäin sopiva. Ja yleensä, on paljon mukavampaa ja miellyttävämpää työskennellä tekijöiksi hajotetun funktion kanssa tulevaisuudessa, jos muutoksia tarvitaan. Siksi sääntö numero 1: jos johdannainen voidaan ottaa huomioon, sinun tulee tehdä juuri niin. Ja heti sääntö numero 2 (itse asiassa tämä on 8.-9. luokan materiaalia): jos juuri esiintyy ongelmassa n-astetta, lisäksi juuri on selvästi suurempi kuin kaksi, niin tämä juuri voidaan korvata tavallisella asteella rationaalisen eksponentin kanssa ja eksponenttiin tulee murto-osa, jossa n- sama aste - on tämän murtoluvun nimittäjässä.

Tietenkin, jos juuren alla on jokin tutkinto (meidän tapauksessamme tämä on aste k), se ei mene minnekään, vaan näkyy yksinkertaisesti juuri tämän asteen osoittajassa.

Ja nyt kun ymmärrät tämän kaiken, palataanpa tuotteen johdannaisiin ja lasketaan vielä muutama yhtälö.

Mutta ennen kuin siirryn suoraan laskelmiin, haluaisin muistaa seuraavat mallit:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Harkitse ensimmäistä esimerkkiä:

Meillä on jälleen kahden funktion tulo: ensimmäinen on $f$, toinen on $g$. Muistutan kaavasta:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Päätetään:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Siirrytään toiseen funktioon:

Jälleen $\left(3x-2 \right)$ on $f$:n funktio, $\cos x$ on $g$:n funktio. Kahden funktion tulon kokonaisderivaata on yhtä suuri:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ vasen(\cos x \oikea))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \oikea))^(\prime ))+((\vasen(4x\sin x \oikea)) ^(\prime))\]

Kirjoitetaan erikseen:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \oikea)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\vasen(\cos x \oikea))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Emme huomioi tätä ilmaisua tekijöinä, koska tämä ei ole vielä lopullinen vastaus. Nyt meidän on ratkaistava toinen osa. Kirjoitetaan se ulos:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Ja nyt palaamme alkuperäiseen tehtäväämme ja keräämme kaiken yhdeksi rakenteeksi:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Siinä se, tämä on lopullinen vastaus.

Siirrytään viimeiseen esimerkkiin - se on monimutkaisin ja laajin laskelmien kannalta. Eli esimerkki:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Laskemme jokaisen osan erikseen:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \oikea))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\vasen(tgx \oikea))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(tasaa)\]

Palaamalla alkuperäiseen funktioon laskemme sen derivaatan kokonaisuutena:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(tasaa)\]

Itse asiassa tämä on kaikki, mitä halusin kertoa teoksen johdannaisista. Kuten näet, kaavan pääongelma ei ole sen muistaminen, vaan se, että saadaan melko suuri määrä laskelmia. Mutta se on okei, koska nyt siirrymme osamäärän derivaatta, jossa meidän on työskenneltävä kovasti.

Mikä on osamäärän derivaatta?

Eli osamäärän derivaatan kaava. Ehkä tämä on vaikein kaava koulun johdannaiskurssissa. Oletetaan, että meillä on funktio muotoa $\frac(f)(g)$, jossa $f$ ja $g$ ovat myös funktioita, jotka voivat olla myös keskeneräisiä. Sitten se lasketaan seuraavan kaavan mukaan:

Osoittaja muistuttaa hieman tuotteen derivaatan kaavaa, mutta termien välissä on miinusmerkki ja nimittäjään on lisätty myös alkuperäisen nimittäjän neliö. Katsotaan kuinka tämä toimii käytännössä:

Yritetään ratkaista:

\[(f)"=((\vasen(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \oikea))^(\prime ))=\frac(((\vasen) (((x)^(2))-1 \oikea))^(\alkuluku ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \oikea )\cdot ((\vasen(x+2 \oikea))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Ehdotan, että kirjoitat jokaisen osan erikseen ja kirjoitat ylös:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ oikea))^(\alkuluku ))-(1)"=2x \\& ((\vasen(x+2 \oikea))^(\alkuluku ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(tasaa)\]

Kirjoitamme ilmaisumme uudelleen:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\vasen(x+2 \oikea))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\vasen(x+2 \oikea) ))^(2))) \\\end(tasaa)\]

Olemme löytäneet vastauksen. Siirrytään toiseen funktioon:

Sen perusteella, että sen osoittaja on vain yksi, laskelmat ovat hieman yksinkertaisempia. Joten kirjoitetaan:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \oikea))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \vasen(((x)^(2))+4 \oikea)-1\cdot ((\vasen(((x)^(2))+4 \oikea))^(\alkuluku )))(( (\vasen(((x)^(2))+4 \oikea))^(2)))\]

Lasketaan jokainen esimerkin osa erikseen:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left((()) (x)^(2)) \oikea))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(tasaa)\]

Kirjoitamme ilmaisumme uudelleen:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \oikea))^(2)))=-\frac(2x)(((\vasen(((x)^(2))+4 \oikea))^(2)))\]

Olemme löytäneet vastauksen. Kuten odotettiin, laskennan määrä osoittautui huomattavasti pienemmäksi kuin ensimmäisessä funktiossa.

Mitä eroa merkintöjen välillä on?

Tarkkailla opiskelijoilla on todennäköisesti jo kysymys: miksi joissain tapauksissa merkitsemme funktiota muodossa $f\left(x \right)$, kun taas toisissa tapauksissa kirjoitamme vain $y$? Itse asiassa matematiikan kannalta ei ole mitään eroa - sinulla on oikeus käyttää sekä ensimmäistä että toista nimitystä, eikä kokeista ja testeistä aiheudu seuraamuksia. Edelleen kiinnostuneille selitän, miksi oppikirjojen ja tehtävien kirjoittajat joissain tapauksissa kirjoittavat $f\left(x \right)$ ja toisissa (paljon useammin) vain $y$. Asia on siinä, että kirjoittamalla funktion muodossa \, vihjaamme implisiittisesti laskelmamme lukevalle, että puhumme funktionaalisen riippuvuuden algebrallisesta tulkinnasta. Eli on olemassa jokin muuttuja $x$, harkitsemme riippuvuutta tästä muuttujasta ja merkitsemme sitä $f\left(x \right)$. Samanaikaisesti, nähtyään tällaisen nimityksen, se, joka lukee laskelmasi, esimerkiksi todentaja, odottaa alitajuisesti, että häntä odottavat tulevaisuudessa vain algebralliset muunnokset - ei kaavioita eikä geometriaa.

Toisaalta käyttämällä muodon \ merkintää, eli merkitsemällä muuttujaa yhdellä kirjaimella, teemme heti selväksi, että tulevaisuudessa olemme kiinnostuneita juuri funktion geometrisesta tulkinnasta, eli olemme ensisijaisesti kiinnostuneita. sen kaaviossa. Vastaavasti lukijalla on \ muotoisen tietueen edessä oikeus odottaa graafisia laskelmia, eli kaavioita, konstruktioita jne., mutta ei missään tapauksessa analyyttisiä muunnoksia.

Haluaisin myös kiinnittää huomionne yhteen piirteeseen niiden tehtävien suunnittelussa, joita tarkastelemme tänään. Monet opiskelijat ajattelevat, että annan liian yksityiskohtaisia laskelmia, ja monet niistä voitaisiin jättää väliin tai yksinkertaisesti ratkaista päässäni. Juuri tällainen yksityiskohtainen tietue antaa kuitenkin sinun päästä eroon loukkaavista virheistä ja lisätä merkittävästi oikein ratkaistujen ongelmien prosenttiosuutta esimerkiksi itse valmistautuessasi kokeisiin tai kokeisiin. Siksi, jos olet edelleen epävarma kyvyistäsi, jos olet juuri aloittamassa tämän aiheen opiskelua, älä kiirehdi - kuvaile yksityiskohtaisesti jokaista vaihetta, kirjoita jokainen kerroin, jokainen veto, ja pian opit ratkaisemaan tällaiset esimerkit paremmin kuin monet opettajat. Toivottavasti tämä on ymmärrettävää. Lasketaanpa muutama esimerkki lisää.

Useita mielenkiintoisia haasteita

Tällä kertaa, kuten näemme, trigonometria on läsnä laskettujen johdannaisten koostumuksessa. Muistutan siis seuraavasta:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(tasaa )\]

Emme tietenkään tule toimeen ilman osamäärän johdannaista, nimittäin:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Harkitse ensimmäistä toimintoa:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \oikea))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \oikea))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(tasaa)\]

Joten olemme löytäneet ratkaisun tähän ilmaisuun.

Siirrytään toiseen esimerkkiin:

On selvää, että sen derivaatta on monimutkaisempi jo pelkästään siksi, että trigonometria on läsnä sekä tämän funktion osoittajassa että nimittäjässä. Me päätämme:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \oikea)) ^(2)))\]

Huomaa, että meillä on tuotteen johdannainen. Tässä tapauksessa se on yhtä suuri kuin:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) oikea))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Palaamme laskelmiimme. Kirjoitamme muistiin:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \oikea))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Me laskimme.

Miten osamäärän derivaatta pelkistetään tuotteen derivaatan yksinkertaiseksi kaavaksi?

Ja tässä haluaisin tehdä yhden erittäin tärkeän huomautuksen erityisesti trigonometrisista funktioista. Asia on siinä, että alkuperäinen konstruktiomme sisältää lausekkeen muodossa $\frac(\sin x)(\cos x)$, joka voidaan helposti korvata vain $tgx$:lla. Näin ollen vähennämme osamäärän derivaatan yksinkertaisemmaksi tuotteen derivaatan kaavaksi. Lasketaan tämä esimerkki uudelleen ja verrataan tuloksia.

Joten nyt meidän on otettava huomioon seuraavat asiat:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Kirjoitetaan uudelleen alkuperäinen funktiomme $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ tämän tosiasian mielessä. Saamme:

Lasketaan:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(tasaa) \]

Jos nyt vertaamme tulosta siihen, mitä saimme aiemmin, laskettaessa eri tavalla, niin varmistamme, että saimme saman lausekkeen. Siten riippumatta siitä, mihin suuntaan lähdemme laskettaessa johdannaista, jos kaikki lasketaan oikein, vastaus on sama.

Tärkeitä vivahteita ongelmien ratkaisemisessa

Lopuksi haluaisin kertoa vielä yhden hienouden, joka liittyy osamäärän derivaatan laskemiseen. Se, mitä aion kertoa sinulle nyt, ei ollut opetusvideon alkuperäisessä käsikirjoituksessa. Kuitenkin pari tuntia ennen kuvaamista opiskelin erään opiskelijani kanssa ja olimme juuri selvittäneet aihetta osamäärän johdannaisista. Ja kuten kävi ilmi, monet opiskelijat eivät ymmärrä tätä kohtaa. Oletetaan siis, että meidän on laskettava seuraavan funktion alkuluku:

Periaatteessa siinä ei ole ensi silmäyksellä mitään yliluonnollista. Laskentaprosessissa voimme kuitenkin tehdä monia typeriä ja loukkaavia virheitä, joita haluaisin nyt analysoida.

Joten harkitsemme tätä johdannaista. Ensinnäkin huomaa, että meillä on termi $3((x)^(2))$, joten on tarkoituksenmukaista muistaa seuraava kaava:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Lisäksi meillä on termi $\frac(48)(x)$ — käsittelemme sitä osamäärän derivaatan kautta, nimittäin:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Joten päätetään:

\[(y)"=((\vasen(\frac(48)(x) \oikea))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \oikea)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Ensimmäisellä termillä ei ole ongelmia, katso:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \oikea))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Mutta ensimmäisen termin, $\frac(48)(x)$, kanssa sinun on työskenneltävä erikseen. Tosiasia on, että monet opiskelijat sekoittavat tilanteen, kun sinun täytyy löytää $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ ja kun sinun täytyy löytää $((\left (\frac (48)(x) \oikea))^(\prime ))$. Toisin sanoen ne sekoitetaan, kun vakio on nimittäjässä ja kun vakio on osoittajassa, vastaavasti, kun muuttuja on osoittajassa tai nimittäjässä.

Aloitetaan ensimmäisestä vaihtoehdosta:

\[((\vasen(\frac(x)(48) \oikea))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Toisaalta, jos yritämme tehdä saman toisen murtoluvun kanssa, saamme seuraavan:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\vasen(\frac(1)(x) \oikea))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(tasaa)\]

Sama esimerkki voitaisiin kuitenkin laskea eri tavalla: vaiheessa, jossa siirryttiin osamäärän derivaatta, voidaan pitää $\frac(1)(x)$ potenssina negatiivisella eksponenttilla, eli saamme seuraavan :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-)) 1)) \oikea))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(tasaa)\]

Ja niin, ja niin saimme saman vastauksen.

Näin ollen olemme jälleen vakuuttuneita kahdesta tärkeästä tosiasiasta. Ensinnäkin sama johdannainen voidaan laskea täysin eri tavoilla. Esimerkiksi $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ voidaan pitää sekä osamäärän derivaatana että potenssifunktion derivaatana. Lisäksi, jos kaikki laskelmat suoritetaan oikein, vastaus on aina sama. Toiseksi laskettaessa johdannaisia, jotka sisältävät sekä muuttujan että vakion, on olennaisen tärkeää missä muuttuja sijaitsee - osoittajassa vai nimittäjässä. Ensimmäisessä tapauksessa, kun muuttuja on osoittajassa, saamme yksinkertaisen lineaarifunktion, joka yksinkertaisesti laskee. Ja jos muuttuja on nimittäjässä, niin saadaan monimutkaisempi lauseke aiemmin annetuilla mukana olevilla laskelmilla.

Tätä oppituntia voidaan pitää täydellisenä, joten jos et ymmärrä jotain yksityisen tai tuotteen johdannaisista ja todellakin, jos sinulla on kysyttävää tästä aiheesta, älä epäröi - vieraile verkkosivustollani, kirjoita, soita ja minä yritän ehdottomasti, voinko auttaa sinua.

Johdannaiset itsessään eivät ole mitenkään vaikea aihe, vaan erittäin laaja, ja nyt tutkimaamme käytetään tulevaisuudessa monimutkaisempien ongelmien ratkaisemisessa. Siksi kaikki osamäärän tai tuotteen johdannaisten laskemiseen liittyvät väärinkäsitykset on parempi tunnistaa heti, heti. Ei silloin, kun ne ovat suuri väärinkäsitysten lumipallo, vaan kun ne ovat pieniä tennispalloja, joita on helppo käsitellä.