Formaalse loogika paradoksid ja loogikavead. Meelelahutuslikud loogilised paradoksid Paradoksid loogikas

14.08.2020

Teadlastele ja mõtlejatele on pikka aega meeldinud lõbustada ennast ja oma kolleege lahendamatute probleemide püstitamise ja kõikvõimalike paradokside sõnastamise kaudu. Mõned neist mõttekatsetest jäävad aktuaalseks aastatuhandeid, mis viitab paljude populaarteaduslike mudelite ebatäiuslikkusele ja "aukudele" üldtunnustatud teooriates, mida on pikka aega peetud fundamentaalseks. Kutsume teid mõtisklema kõige huvitavamate ja hämmastavamate paradokside üle, mis, nagu praegu öeldakse, "lõhkusid aju" rohkem kui ühe põlvkonna loogikutel, filosoofidel ja matemaatikutel.

1. Aporia "Achilleus ja kilpkonn"

Achilleuse ja kilpkonna paradoks on üks paradoksidest (loogiliselt õiged, kuid vastuolulised väited), mille sõnastas Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast 5. sajandil eKr. Selle olemus on järgmine: legendaarne kangelane Achilleus otsustas võistelda kilpkonnaga jooksmises. Nagu teate, ei erine kilpkonnad kiiruse poolest, seega andis Achilleus vastasele edumaaks 500 m. Kui kilpkonn selle vahemaa ületab, hakkab kangelane jälitama 10 korda suurema kiirusega, st samal ajal kui kilpkonn roomab 50 m , Achilleus suudab etteantud 500 m edustardi joosta . Siis ületab jooksja järgmised 50 m, kuid sel ajal roomab kilpkonn veel 5 m, tundub, et Achilleus hakkab sellele järele jõudma, kuid vastane on endiselt ees ja kui ta jookseb 5 m, õnnestub tal edasi liikuda veel pool meetrit ja nii edasi. Nende vaheline kaugus väheneb lõpmatult, kuid teoreetiliselt ei õnnestu kangelasel kunagi aeglasele kilpkonnale järele jõuda, seda pole palju, kuid alati temast ees.

Füüsika seisukohalt pole paradoksil muidugi mõtet - kui Achilleus liigub palju kiiremini, murrab ta niikuinii edasi, kuid Zeno soovis ennekõike oma arutluskäiguga näidata, et idealiseeritud matemaatilised mõisted "Ruumipunkt" ja "ajahetk" ei sobi liiga õigeks rakendamiseks reaalsele liikumisele. Aporia paljastab lahknevuse matemaatiliselt kõlava idee, et nullist erineva ruumi ja aja intervalle saab lõpmatuseni jagada (nii et kilpkonn peab alati ette jääma) ja reaalsuse vahel, milles kangelane mõistagi võidujooksu võidab.

2. Ajaahela paradoks

Ajas rändamist kirjeldavad paradoksid on pikka aega olnud ulmekirjanike ning ulmefilmide ja telesaadete loojate inspiratsiooniallikaks. Ajasilmuse paradokside variante on mitu, ühe lihtsaima ja illustreerivama näite sellise probleemi kohta tõi oma raamatus The New Time Travelers Massachusettsi ülikooli professor David Toomey.

Kujutage ette, et ajarändur on ostnud raamatupoest Shakespeare'i Hamleti koopia. Seejärel läks ta neitsikuninganna Elizabeth I ajal Inglismaale ja, olles leidnud William Shakespeare'i, ulatas talle raamatu. Ta kirjutas selle ümber ja avaldas oma tööna. Möödub sadu aastaid, Hamlet tõlgitakse kümnetesse keeltesse, trükitakse lõputult kordustrükki ja üks eksemplaridest satub just raamatupoodi, kust ajarändur selle ostab ja Shakespeare'ile annab, kes teeb koopia jne... Keda tuleks sel juhul arvestada? surematu tragöödia autorit?

3. Tüdruku ja poisi paradoks

Tõenäosusteoorias nimetatakse seda paradoksi ka "härra Smithi lasteks" või "proua Smithi probleemideks". Selle sõnastas esmakordselt Ameerika matemaatik Martin Gardner ajakirja Scientific American ühes numbris. Teadlased on paradoksi üle vaielnud aastakümneid ja selle lahendamiseks on mitu võimalust. Pärast probleemi läbimõtlemist võite pakkuda oma versiooni.

Peres kasvab kaks last ja kindlalt on teada, et üks neist on poiss. Kui suur on tõenäosus, et ka teine laps on meessoost? Esmapilgul on vastus üsna ilmne - 50 kuni 50, kas ta on tõesti poiss või tüdruk, võimalused peaksid olema võrdsed. Probleem on selles, et kahelapseliste perede puhul on laste sugude vahel neli võimalikku kombinatsiooni – kaks tüdrukut, kaks poissi, vanem poiss ja noorem tüdruk ning vastupidi – vanem tüdruk ja noorem poiss. Esimese võib välistada, kuna üks lastest on kindlasti poiss, kuid sel juhul on võimalikud kolm varianti, mitte kaks ning tõenäosus, et ka teine laps on poiss, on üks võimalus kolmest.

4. Jourdaini kaardiparadoks

Briti loogiku ja matemaatiku Philippe Jourdaini 20. sajandi alguses välja pakutud probleemi võib pidada üheks kuulsa valetaja paradoksi variandiks.

Kujutage ette – hoiate käes postkaarti, millel on kirjas: "Postkaardi tagaküljel olev väide vastab tõele." Kaardi ümberpööramisel ilmneb lause "Teisel poolel olev väide on vale." Nagu aru saate, on vastuolu: kui esimene väide on tõene, siis on ka teine tõene, kuid sel juhul peab esimene olema vale. Kui postkaardi esimene pool on vale, siis ei saa ka teise fraasi tõeseks pidada, mis tähendab, et esimene väide muutub taas tõeseks... Veelgi huvitavam versioon valetaja paradoksist on järgmises lõigus.

5. Sofism "krokodill"

Jõe kaldal seisab ema lapsega, järsku ujub nende juurde krokodill ja tirib lapse vette. Lohutamatu ema palub oma lapse tagastada, mille peale krokodill vastab, et on nõus ta tervelt tagasi andma, kui naine vastab tema küsimusele õigesti: "Kas ta tagastab oma lapse?" Selge see, et naisel on kaks vastust – jah või ei. Kui ta väidab, et krokodill kingib talle lapse, siis oleneb kõik loomast - vastust õigeks pidades laseb röövija lapse lahti, aga kui ütleb, et ema eksis, siis ta ei näe. laps, vastavalt kõikidele lepingu reeglitele.

Naise eitav vastus teeb asja tunduvalt keerulisemaks – kui see tõeks osutub, peab röövija täitma tehingu tingimused ja vabastama lapse, kuid sel moel ei vasta ema vastus tegelikkusele. Sellise vastuse valelikkuse tagamiseks on krokodillil vaja laps emale tagastada, kuid see on vastuolus lepinguga, sest tema viga peaks jätma lapse krokodilli juurde.

Väärib märkimist, et krokodilli pakutud tehing sisaldab loogilist vastuolu, mistõttu on tema lubadus täitmatu. Selle klassikalise sofismi autoriks peetakse 5. sajandil eKr elanud oraatorit, mõtlejat ja poliitikut Coraxit Siracusast.

6. Aporia "Dihhotoomia"

Teine paradoks Zenoni Eleast, mis näitab idealiseeritud matemaatilise liikumismudeli ebakorrektsust. Probleemi võib sõnastada nii – oletame, et kavatsete oma linna mõne tänava algusest lõpuni läbida. Selleks tuleb ületada esimene pool sellest, siis pool ülejäänud poolest, siis pool järgmisest segmendist jne. Teisisõnu - kõnnite pool kogu distantsist, siis veerand, üks kaheksandik, üks kuueteistkümnendik - teekonna kahanevate lõikude arv kipub lõpmatuseni, kuna mis tahes järelejäänud osa saab jagada kaheks, mis tähendab, et seda on võimatu teha. minna terve tee. Sõnastades esmapilgul veidi kauge paradoksi, tahtis Zeno näidata, et matemaatilised seadused on reaalsusega vastuolus, sest tegelikult saab hõlpsasti läbida kogu distantsi ilma jälgi.

7. Aporia "Lendav nool"

Elea Zenoni kuulus paradoks puudutab sügavaimaid vastuolusid teadlaste ideedes liikumise ja aja olemusest. Aporia on sõnastatud järgmiselt: vibust lastud nool jääb liikumatuks, kuna igal ajahetkel puhkab see liikumata. Kui igal ajahetkel on nool paigal, siis on ta alati paigal ja ei liigu üldse, kuna puudub ajahetk, mil nool ruumis liigub.

Inimkonna silmapaistvad mõistused on sajandeid püüdnud lahendada lendava noole paradoksi, kuid loogilisest seisukohast on see täiesti õige. Selle ümberlükkamiseks on vaja selgitada, kuidas lõplik ajavahemik võib koosneda lõpmatust arvust ajahetkedest – isegi Zenoni apooriat veenvalt kritiseerinud Aristoteles ei suutnud seda tõestada. Aristoteles juhtis õigesti tähelepanu, et ajaperioodi ei saa pidada mingite jagamatute isoleeritud hetkede summaks, kuid paljud teadlased usuvad, et tema lähenemine ei erine sügavuti ega lükka ümber paradoksi olemasolu. Väärib märkimist, et lendava noole probleemi püstitades ei püüdnud Zenon ümber lükata liikumise võimalikkust kui sellist, vaid paljastada vastuolusid idealistlikes matemaatilistes kontseptsioonides.

8. Galilei paradoks

Oma Vestlustes ja matemaatilistes tõendites kahe uue teadusharu kohta pakkus Galileo Galilei välja paradoksi, mis demonstreerib lõpmatute hulkade kummalisi omadusi. Teadlane sõnastas kaks vastandlikku otsust. Esiteks on arvud, mis on teiste täisarvude ruudud, näiteks 1, 9, 16, 25, 36 jne. On ka teisi numbreid, millel seda omadust pole – 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 jms. Seega peab täiuslike ruutude ja tavaarvude koguarv olema suurem kui ainult täiuslike ruutude arv. Teine otsus: iga naturaalarvu jaoks on selle täpne ruut ja iga ruudu jaoks on täisarvu ruutjuur, see tähendab, et ruutude arv on võrdne naturaalarvude arvuga.

Sellest vastuolust lähtudes järeldas Galileo, et elementide arvu arutlusi rakendatakse ainult lõplike hulkade puhul, kuigi hilisemad matemaatikud võtsid kasutusele hulga kardinaalsuse mõiste – selle abil tõestati ka Galilei teise otsuse õigsus lõpmatute hulkade puhul. .

9. Kartulikoti paradoks

Oletame, et ühel põllumehel on kott kartulit, mis kaalub täpselt 100 kg. Pärast selle sisu uurimist avastab talunik, et kotti hoiti niiskes kohas – 99% selle massist on vesi ja 1% ülejäänud kartulis sisalduvatest ainetest. Ta otsustab kartuleid veidi kuivatada, et nende veesisaldus langeks 98%-ni, ja viib koti kuivale kohale. Järgmisel päeval selgub, et üks liiter (1 kg) vett on tõesti aurustunud, aga koti kaal on vähenenud 100-lt 50 kg-le, kuidas see nii saab? Arvutame - 99% 100 kg-st on 99 kg, mis tähendab, et kuiva jäägi massi ja vee massi suhe oli algselt 1/99. Pärast kuivatamist sisaldab vesi 98% koti kogumassist, mis tähendab, et kuiva jäägi massi ja vee massi suhe on nüüd 1/49. Kuna jäägi mass ei ole muutunud, kaalub järelejäänud vesi 49 kg.

Muidugi tuvastab tähelepanelik lugeja arvutustes kohe jämeda matemaatilise vea - kujuteldavat koomilist "kartulikoti paradoksi" võib pidada suurepäraseks näiteks sellest, kuidas esmapilgul "loogilist" ja "teaduslikult toetatud" arutluskäiku saab sõna otseses mõttes ehitada. terve mõistusega nullist vasturääkiv teooria.tähendus.

10 Raveni paradoks

Probleemi tuntakse ka Hempeli paradoksina – see sai oma teise nime saksa matemaatiku Carl Gustav Hempeli, selle klassikalise versiooni autori auks. Probleem on sõnastatud üsna lihtsalt: iga ronk on must. Sellest järeldub, et kõik, mis pole must, ei saa olla ronk. Seda seadust nimetatakse loogiliseks vastupositsiooniks, see tähendab, et kui teatud eeldusel "A" on tagajärg "B", siis "B" eitus on samaväärne "A" eitusega. Kui inimene näeb musta varest, tugevdab see tema veendumust, et kõik rongad on mustad, mis on üsna loogiline, kuid vastanduse ja induktsiooni põhimõtte kohaselt on mõistlik väita, et mittemustade objektide vaatlemine (ütleme , punased õunad) tõestab ka seda, et kõik varesed on mustaks värvitud. Ehk see, et inimene elab Peterburis, tõestab, et ta ei ela Moskvas.

Loogika seisukohalt tundub paradoks täiuslik, kuid see on vastuolus tegeliku eluga – punased õunad ei saa kuidagi kinnitada tõsiasja, et kõik varesed on mustad.

Kuidas ajupost töötab – sõnumite edastamine ajust ajju Interneti kaudu

10 maailma saladust, mille teadus lõpuks paljastas

10 küsimust universumi kohta, millele teadlased praegu vastuseid otsivad

8 asja, mida teadus ei suuda seletada

2500-aastane teadussaladus: miks me haigutame

3 kõige lollimat argumenti, millega evolutsiooniteooria vastased oma teadmatust õigustavad

Kas kaasaegse tehnoloogia abil on võimalik superkangelaste võimeid realiseerida?

Loogikaseaduste järgi Ivin Aleksander Arhipovitš

MIS ON LOOGILINE PARADOKS?

Loogiliste paradokside ammendavat loetelu pole olemas ja see on võimatu.

Vaadeldavad paradoksid on vaid osa kõigist seni avastatud. Tõenäoliselt avastatakse tulevikus palju muid ja isegi täiesti uusi tüüpe. Juba paradoksi mõiste ei ole nii kindel, et oleks võimalik koostada loetelu vähemalt juba teadaolevatest paradoksidest.

"Hoogusteoreetilised paradoksid on väga tõsine probleem, mitte matemaatika, vaid pigem loogika ja epistemoloogia jaoks," kirjutab Austria matemaatik ja loogik K. Gödel. "Loogika on vastuoluline. Loogilisi paradokse pole, ütleb nõukogude matemaatik D. Bochvar. - Sellised lahknevused on mõnikord märkimisväärsed, mõnikord sõnalised. Asi on suuresti selles, mida täpselt mõeldakse "loogilise paradoksi" all.

Loogiliste paradokside vajalik tunnus on loogikasõnaraamat. Paradoksid, mis on loogilised, tuleb sõnastada loogiliselt. Loogikas pole aga selgeid kriteeriume terminite jagamisel loogilisteks ja ekstraloogilisteks. Arutluskäigu õigsusega tegelev loogika püüab viia miinimumini mõisted, millest sõltub praktiliselt rakendatud järelduste õigsus. Kuid see miinimum ei ole üheselt ette määratud. Lisaks saab loogiliselt formuleerida ka mitteloogilisi väiteid. Seda, kas konkreetne paradoks kasutab ainult puhtloogilisi eeldusi, pole kaugeltki alati võimalik üheselt kindlaks teha.

Loogilised paradoksid ei ole jäigalt eraldatud kõigist teistest paradoksidest, nagu ka viimased ei ole selgelt eristatud kõigest mitteparadoksaalsest ja kooskõlas valitsevate ideedega.

Loogiliste paradokside uurimise alguses tundus, et neid saab eristada mõne veel uurimata positsiooni või loogikareegli rikkumise järgi. Sellise reegli rollile pretendeerides oli eriti aktiivne B. Russelli juurutatud “nõiaringi printsiip”. See põhimõte ütleb, et objektide kogum ei saa sisaldada ainult sama kollektsiooni poolt määratletud liikmeid.

Kõigil paradoksidel on üks ühine joon – iserakendatavus ehk tsirkulaarsus. Igas neist iseloomustab kõnealust objekti mingi objektide kogum, millesse ta ise kuulub. Kui tõstame välja näiteks inimese kui klassi kavalaima, siis teeme seda inimeste kogumi abil, kuhu ka see inimene kuulub ("oma klassi" abil). Ja kui me ütleme: "See väide on vale", iseloomustame meid huvitavat väidet, viidates kõigi seda sisaldavate valeväidete kogumile.

Kõigis paradoksides toimub iserakendatavus, mis tähendab, et toimub justkui ringjooneline liikumine, mis viib lõpuks alguspunkti. Püüdes meile huvipakkuvat objekti iseloomustada, pöördume objektide kogumi poole, mis seda sisaldab. Selgub aga, et oma kindlameelsuse huvides vajab ta ise vaadeldavat objekti ega ole ilma selleta selgelt mõistetav. Võib-olla peitub selles ringis paradokside allikas.

Olukorra teeb keeruliseks aga asjaolu, et selline ring eksisteerib ka paljudes täiesti mitteparadoksaalsetes argumentides. Ringkiri on tohutu hulk levinumaid, kahjutuid ja samal ajal mugavamaid väljendusviise. Sellised näited nagu "suurim kõigist linnadest", "kõigist naturaalarvudest väikseim", "üks rauaaatomi elektronidest" jne näitavad, et mitte iga enesekohaldatavuse juhtum ei too kaasa vastuolusid ja et see on oluline mitte ainult tavakeeles, vaid ka teaduskeeles.

Paradokside diskrediteerimiseks ei piisa seega pelgalt viitest isekohalduvate mõistete kasutamisele. Vaja on täiendavat kriteeriumi, et eraldada paradoksile viiv iserakendatavus kõigist selle muudest juhtudest.

Selle kohta on tehtud palju ettepanekuid, kuid tsirkulaarsuse edukat selgitust pole leitud. Selgus, et tsirkulaarsust on võimatu iseloomustada nii, et iga ringarutlus viib paradoksini ja iga paradoks on mingi ringarutluse tulemus.

Püüd leida mingit konkreetset loogikaprintsiipi, mille rikkumine oleks kõigi loogiliste paradokside eristav tunnus, ei viinud millegi kindlani.

Mingisugune paradokside liigitamine oleks kahtlemata kasulik, jaotades need tüüpideks ja tüüpideks, rühmitades ühed paradoksid ja vastandades need teistele. Midagi jätkusuutlikku pole aga saavutatud ka sel juhul.

Inglise loogik F. Ramsey, kes suri 1930. aastal, kui ta polnud veel kahekümne seitsme aastane, tegi ettepaneku jagada kõik paradoksid süntaktilisteks ja semantilisteks. Esimesse kuuluvad näiteks Russelli paradoks, teise - "valetaja", Grellingu jne paradoksid.

F. Ramsey järgi sisaldavad esimese rühma paradoksid ainult loogikasse või matemaatikasse kuuluvaid mõisteid. Viimaste hulka kuuluvad sellised mõisted nagu "tõde", "defineeritavus", "nimetamine", "keel", mis ei ole rangelt matemaatilised, vaid pigem seotud keeleteaduse või isegi teadmisteooriaga. Semantilised paradoksid näivad olevat võlgnevat mitte mingisuguse loogikavea, vaid mõne mitteloogilise mõiste ebamäärasuse või mitmetähenduslikkuse tõttu, seetõttu puudutavad nende tekitatud probleemid keelt ja need tuleb lahendada keeleteadusega.

F. Ramseyle tundus, et matemaatikud ja loogikud ei pea huvi tundma semantiliste paradokside vastu.

Hiljem selgus aga, et mõned kaasaegse loogika olulisemad tulemused saadi just seoses just nende "mitteloogiliste" paradokside sügavama uurimisega.

F. Ramsey pakutud paradokside jaotus oli alguses laialt kasutusel ja säilitab teatud tähenduse ka praegu. Samas saab üha selgemaks, et see jaotus on üsna ebamäärane ja tugineb eelkõige näidetele, mitte aga kahe paradoksirühma süvavõrdlevale analüüsile. Semantilised mõisted on nüüd hästi määratletud ja on raske mitte tunnistada, et need mõisted on tõepoolest loogilised. Semantika arenedes, mis määratleb oma põhimõisteid hulgateooria mõttes, häguneb F. Ramsey tehtud eristus üha enam.

Ajaloolised ja loogilised meetodid Üldiselt ei piisa teaduslike teadmiste empiirilisest tasemest iseenesest asjade olemusse, sealhulgas ühiskonna toimimise ja arengu mustritesse tungimiseks. Teatud etapis, kui rohkem kui

Carnapi loogiline positivism Loogiline positivism on empiiria modifitseeritud vorm. Empirism oma puhtaimal kujul on õpetus, et kõik teadmised pärinevad sensoorsest kogemusest. Loogiline positivism näib ühest olulisest punktist nõrgem, kuid tugevam

2.9. Loogiline ruut Lihtsate võrreldavate väidete seoseid kujutatakse skemaatiliselt, kasutades keskaegsete loogikute poolt välja töötatud loogilist ruutu. Nagu näete, tähistavad ruudu tipud nelja tüüpi lihtsaid otsuseid ning selle külgi ja

2. PEATÜKK LOOGILINE KÄITUMINE Loogiline biheiviorism on teooria, mille kohaselt vaimses seisundis olemine tähendab käitumuslikus seisundis olemist. Mõtlemine, lootmine, tajumine, mäletamine jne. - seda kõike tuleks mõista kas käitumise või omamisena

3. Loogiline analüüs (B. Russell) Bertrand Russell (1872–1970) on maailmakuulus inglise teadlane, filosoof ja ühiskonnategelane. Kuueteistkümneaastaselt luges ta oma ristiisa J. S. Milli autobiograafiat, mis jättis talle suure mulje. peruu milla

2. Loogiline positivism 1922. aastal kogunes Viini ülikooli loodusfilosoofia kateedrisse, mida pärast E. Machi surma juhtis professor M. Schlick, rühm noori teadlasi, kes seadsid endale julge eesmärgi – reformida. teadus ja filosoofia. See grupp on sees

§ 1. B. Russelli loogiline atomism Loogilise positivismi "vanaisad" on Moore ja Russell. Moore’i (1873-1958) rolli rõhutavad tavaliselt inglise teadlased. See seisnes selles, et ta juhtis tähelepanu filosoofide kasutatud sõnade ja väidete tähenduse analüüsile.

2. Loogiline kollaps – see, mida saab demonstreerida või mida on vaja tõestada, on ülim teadmine millegi erilise kohta. Eksistentsi ja transtsendentsi selle olemise mõttes ei eksisteeri. Kui nende peale mõelda, siis võtab mõte loogilised vormid, mis

"Loogilised" ja "ajaloolised" uurimismeetodid "Kapitalis", eriti selle neljandas köites, kajastati objekti teooria loogilise konstruktsiooni ja selle uurimise ajalooliste meetodite vahelise seose olulist epistemoloogilist probleemi – teine kohta

II. KEELE LOOGILINE ANALÜÜS Matemaatika teoreetiliseks konstrueerimiseks on välja töötatud uus loogika. Viini ringis sai sellest üldiselt teadusteooria loomise vahend. Erinevalt puhtast loogikast kasutati rakendusloogikat filosoofilise viimistlemiseks

MIS ON LOOGILINE PARADOKS? Loogiliste paradokside ammendavat loetelu pole. Vaadeldavad loogilised paradoksid on vaid osa kõigist seni avastatud. Tõenäoliselt avatakse tulevikus palju rohkem.

Loogiline positivism Esimese ja teise maailmasõja vahelisel perioodil esitati uusi filosoofilisi ideid. Paljud neist said tõuke mitteklassikalise füüsika arengust ja said loogilise positivismi tõsise epistemoloogilise analüüsi objektiks.

15. INFINITESIMAAL-LOOGIKASÕNASÕNARAAMAT b Sellega lõpeb meie lühike aruanne infinitesimaalarvude meetodi rakendamisest loogikas. Pigem pole see sõnum, vaid ainult soovitus, vaid tagasihoidlik vihje valdkonnale, mis ei saa olla tohutu. Loogika ja matemaatika ei ole

3. Jumalariigi teoloogiline iseloom Vana Testamendi ja judaismi traditsioonis tähendab Jumalariigi tulek Jumala tulekut. Eshatoloogilise lootuse keskmeks oli Jumala poolt määratud ja ellu viidud "Jahve päev", päev, mil Jumal on "kõik kõiges", mil

Kutsume teid mõtisklema kõige huvitavamate ja hämmastavamate paradokside üle, mis, nagu praegu öeldakse, "lõhkusid aju" rohkem kui ühe põlvkonna loogikutel, filosoofidel ja matemaatikutel.

1. Aporia "Achilleus ja kilpkonn"

2. Ajaahela paradoks

David Toomey "Uued ajarändurid".

3. Tüdruku ja poisi paradoks

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

4. Jourdaini kaardiparadoks

Briti loogiku ja matemaatiku Philippe Jourdaini 20. sajandi alguses välja pakutud probleemi võib pidada üheks kuulsa valetaja paradoksi variandiks.

Philippe Jourdain

5. Sofism "krokodill"

6. Aporia "Dihhotoomia"

7. Aporia "Lendav nool"

8. Galilei paradoks

Galileo Galilei / © Wikimedia

9. Kartulikoti paradoks

10 Raveni paradoks

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Loogika seisukohalt tundub paradoks täiuslik, kuid see on vastuolus tegeliku eluga – punased õunad ei saa kuidagi kinnitada tõsiasja, et kõik varesed on mustad.

Siin oli meil juba valik paradokse teiega -, samuti eriti ja Algne artikkel on veebisaidil InfoGlaz.rf Link artiklile, millest see koopia on tehtud -

Teatavasti on probleemi sõnastamine sageli olulisem ja keerulisem kui selle lahendamine. "Teaduses," kirjutas inglise keemik F. Soddy, "õigesti püstitatud probleem on enam kui pooleldi lahendatud. Vaimne ettevalmistusprotsess, mis on vajalik konkreetse ülesande tuvastamiseks, võtab sageli rohkem aega kui ülesanne ise.

Vormid, milles probleemsituatsioon avaldub ja realiseerub, on väga mitmekesised. Kaugeltki mitte alati, see ilmutab end otsese küsimusena, mis tekkis kohe uurimuse alguses. Probleemide maailm on sama keeruline kui neid genereeriv tunnetusprotsess. Probleemide tuvastamine on loova mõtlemise tuum. Paradoksid on kõige huvitavam juhtum kaudsetest, küsimusteta probleemide püstitamise viisidest. Paradoksid on tavalised teadusteooriate arenemise algfaasis, kui veel läbiuurimata alal astutakse esimesi samme ja kobatakse selle kõige üldisemaid käsitlusprintsiipe.

Paradoksid ja loogika

Laiemas mõttes on paradoks seisukoht, mis erineb järsult üldtunnustatud, väljakujunenud õigeusklikest arvamustest. “Üldtunnustatud arvamused ja see, mida peetakse ammu otsustatuks, väärivad enamasti uurimist” (G. Lichtenberg). Paradoks on sellise uurimistöö algus.

Paradoks kitsamas ja spetsiifilisemas mõttes on kaks vastandlikku, kokkusobimatut väidet, millest igaühe jaoks on näiliselt veenvad argumendid.

Paradoksi teravaim vorm on antinoomia, arutluskäik, mis tõestab kahe väite samaväärsust, millest üks on teise eitus.

Paradoksid on eriti kuulsad kõige rangemates ja täppisteadustes – matemaatikas ja loogikas. Ja see pole juhus.

Loogika on abstraktne teadus. Selles pole eksperimente, isegi mitte fakte selle sõna tavapärases tähenduses. Oma süsteemide ülesehitamisel lähtub loogika lõpuks reaalse mõtlemise analüüsist. Kuid selle analüüsi tulemused on sünteetilised, diferentseerimata. Need ei ole ühegi eraldiseisva protsessi või sündmuse väited, mida teooria peaks selgitama. Ilmselgelt ei saa sellist analüüsi nimetada vaatluseks: alati vaadeldakse konkreetset nähtust.

Uut teooriat konstrueerides lähtub teadlane tavaliselt faktidest, sellest, mida on võimalik katses jälgida. Ükskõik kui vaba ka tema loominguline kujutlusvõime on, peab see arvestama ühe vältimatu asjaoluga: teoorial on mõtet ainult siis, kui see ühtib seda puudutavate faktidega. Teooria, mis ei nõustu faktide ja tähelepanekutega, on kauge ja sellel pole väärtust.

Aga kui pole loogikakatseid, fakte ega vaatlust ennast, siis mis hoiab loogilist fantaasiat tagasi? Milliseid tegureid, kui mitte fakte, võetakse uute loogikateooriate loomisel arvesse?

Loogikateooria ja reaalse mõtlemise praktika lahknevus ilmneb sageli enam-vähem terava loogilise paradoksi ja mõnikord isegi loogilise antinoomia kujul, mis räägib teooria sisemisest vastuolust. See lihtsalt selgitab loogika paradoksidele omistatavat tähtsust ja suurt tähelepanu, mida nad selles naudivad.

"Valetaja" paradoksi variandid

Kõige kuulsam ja võib-olla ka kõige huvitavam kõigist loogilistest paradoksidest on valetaja paradoks. See oli tema, kes ülistas Miletosest pärit Eubulidese nime, kes selle avastas.

Sellel paradoksil ehk antinoomial on variante, millest paljud on vaid näiliselt paradoksaalsed.

"Valetaja" lihtsaimas versioonis ütleb inimene ainult ühe fraasi: "Ma valetan." Või ütleb ta: "See väide, mille ma praegu esitan, on vale." Või: "See väide on vale."

Kui väide on vale, siis kõneleja rääkis tõtt ja seetõttu pole tema öeldu vale. Kui väide ei ole vale ja kõneleja väidab, et see on vale, siis on see väide vale. Seetõttu selgub, et kui kõneleja valetab, siis ta räägib tõtt ja vastupidi.

Keskajal oli levinud järgmine sõnastus:

"See, mida Platon ütles, on vale," ütleb Sokrates.

"See, mida Sokrates ütles, on tõde," ütleb Platon.

Tekib küsimus, milline neist väljendab tõde ja milline on vale?

Ja siin on selle paradoksi kaasaegne paradoks. Oletame, et kaardi esiküljele on kirjutatud ainult sõnad: "Selle kaardi teisele küljele on kirjutatud tõene väide." On selge, et need sõnad esindavad tähendusrikast väidet. Kaarti ümber pöörates peame leidma lubatud väljavõtte või seda pole seal. Kui see on tagaküljel kirjas, siis see kas vastab tõele või mitte. Tagaküljel on aga sõnad: "Selle kaardi teisele küljele on kirjutatud vale väide" - ja ei midagi muud. Oletame, et esiküljel olev väide on tõene. Siis peab tagaküljel olev väide olema tõene ja seega ka esikülje väide vale. Aga kui esiküljel olev väide on vale, siis peab ka tagapool olev väide olema vale ja seetõttu peab esikülje väide olema tõene. Tulemuseks on paradoks.

Valetaja paradoks jättis kreeklastele tohutu mulje. Ja seda on lihtne mõista, miks. Küsimus, mille see esmapilgul esitab, tundub üsna lihtne: kas valetab see, kes ütleb ainult, et valetab? Kuid vastus "jah" viib vastuseni "ei" ja vastupidi. Ja järelemõtlemine ei tee olukorda sugugi selgeks. Küsimuse lihtsuse ja isegi rutiini taga ilmneb mõni ebaselge ja mõõtmatu sügavus.

On isegi legend, et teatud Filit Kossky, kes püüdis meeleheitlikult seda paradoksi lahendada, sooritas enesetapu. Räägitakse ka, et üks kuulsamaid Vana-Kreeka loogikuid Diodorus Kronos andis juba oma allakäigueas vande, et ei söö enne, kui leidis lahenduse “Valetajale”, ja suri peagi, ilma et oleks midagi saavutanud.

Keskajal hakati seda paradoksi nimetama nn otsustamatuteks lauseteks ja sellest sai süstemaatilise analüüsi objekt.

Moodsal ajal ei äratanud "Valetaja" pikka aega tähelepanu. Nad ei näinud keelekasutuses mingeid, isegi väiksemaid raskusi. Ja alles meie, n-ö uusajal, jõudis loogika areng lõpuks tasemele, mil sai võimalikuks selle paradoksi taga näivad probleemid rangelt sõnastada.

Nüüd nimetatakse "Valetajat" - seda tüüpilist kunagist sofismi - sageli loogiliste paradokside kuningaks. Talle on pühendatud ulatuslik teaduskirjandus. Ja ometi, nagu paljude teiste paradokside puhul, ei ole päris selge, millised probleemid peituvad selle taga ja kuidas sellest lahti saada.

Keel ja metakeel

Nüüd peetakse "Valetajat" tavaliselt iseloomulikuks näiteks raskustest, milleni kahe keele segadus kaasa toob: keel, milles räägitakse reaalsusest, mis asub väljaspool seda, ja keel, milles räägitakse esimene keel.

Igapäevakeeles pole neil tasanditel vahet: me räägime reaalsusest ja keelest ühte keelt. Näiteks isik, kelle emakeel on vene keel, ei näe erilist erinevust väidete vahel: "Klaas on läbipaistev" ja "Klaas on läbipaistev", kuigi üks neist räägib klaasist ja teine väitest. klaasi kohta.

Kui kellelgi tekkis idee maailmast ühes keeles rääkimise vajadusest ja selle keele omadustest teises keeles, võiks ta kasutada kahte erinevat olemasolevat keelt, ütleme näiteks vene ja inglise keelt. Selle asemel, et öelda lihtsalt "Lehm on nimisõna", ütleksin "Lehm on nimisõna" ja selle asemel, et "Väide "Klaas ei ole läbipaistev" on vale" ütleksin: "Väide "Klaas ei ole läbipaistev" on vale ". Kahe erineva keele sellise kasutamise korral erineks maailmast räägitu selgelt sellest, mida räägitakse selle keele kohta, millega maailmast räägitakse. Tõepoolest, esimesed väited viitaksid vene keelele, teised aga inglise keelele.

Kui meie keeleekspert soovib veel rääkida mõnest inglise keelt juba puudutavast asjaolust, võiks ta kasutada mõnda muud keelt. Ütleme siis saksa keeles. Sellest viimasest rääkimiseks võiks kasutada, ütleme, hispaania keelt jne.

Seetõttu selgub, et see on omamoodi keelte redel või hierarhia, millest igaüht kasutatakse väga konkreetsel eesmärgil: esimeses räägitakse objektiivsest maailmast, teises - sellest esimesest keelest, kolmas - teisest keelest jne. Selline keelte eristamine nende rakendusala järgi on igapäevaelus haruldane. Kuid teadustes, mis sarnaselt loogikaga tegelevad konkreetselt keeltega, osutub see mõnikord väga kasulikuks. Keelt, millega maailmast räägitakse, nimetatakse tavaliselt objektkeeleks. Keelt, mida ainekeele kirjeldamiseks kasutatakse, nimetatakse metakeeleks.

Selge on see, et kui keel ja metakeel niimoodi piiritleda, ei saa enam sõnastada väidet "ma valetan". See räägib vene keeles öeldu väärusest ja kuulub seetõttu metakeelde ja seda tuleb väljendada inglise keeles. Täpsemalt peaks see kõlama nii: “Everything I speak in Russian is false” (“Everything I say in Russian is false”); see ingliskeelne väide ei ütle enda kohta midagi ja paradoksi ei teki.

Keele ja metakeele eristamine võimaldab kõrvaldada "Valetaja" paradoksi. Seega saab võimalikuks klassikalise tõe mõiste korrektne, ilma vastuoludeta defineerimine: väide on tõene, mis vastab tegelikkusele, mida ta kirjeldab.

Tõe mõistel, nagu kõigil teistel semantilistel mõistetel, on suhteline iseloom: seda saab alati omistada konkreetsele keelele.

Nagu näitas Poola loogik A. Tarski, tuleks tõe klassikaline definitsioon sõnastada laiemas keeles, kui see on mõeldud. Teisisõnu, kui tahame osutada, mida tähendab väljend “antud keeles tõene väide”, peame lisaks selle keele väljenditele kasutama ka väljendeid, mida selles pole.

Tarski tutvustas semantiliselt suletud keele mõistet. Selline keel sisaldab lisaks väljenditele ka nende nimetusi ning, mida on oluline rõhutada, ka väiteid selles sõnastatud lausete õigsuse kohta.

Semantiliselt suletud keeles pole keele ja metakeele vahel piiri. Selle vahendid on nii rikkad, et võimaldavad mitte ainult väita midagi keelevälise reaalsuse kohta, vaid ka hinnata selliste väidete tõesust. Need vahendid on piisavad eelkõige antinoomia "Valetaja" taastoomiseks keeles. Semantiliselt suletud keel osutub seega iseendaga vastuolus olevaks. Iga loomulik keel on ilmselgelt semantiliselt suletud.

Ainus vastuvõetav viis antinoomia ja sellest tulenevalt sisemise ebakõla kõrvaldamiseks Tarski sõnul on semantiliselt suletud keele kasutamisest loobumine. See tee on vastuvõetav muidugi ainult tehislike, formaliseeritud keelte puhul, mis võimaldavad selget jaotust keeleks ja metakeeleks. Loomulikes keeltes, nende ebaselge struktuuri ja võimalusega rääkida kõigest ühes keeles, ei ole selline lähenemine kuigi realistlik. Pole mõtet tõstatada küsimust nende keelte sisemise järjepidevuse kohta. Nende rikkalikel väljendusvõimalustel on ka varjukülg – paradoksid.

Paradoksi muud lahendused

Seega on väiteid, mis räägivad oma tõest või valest. Arvamus, et sedalaadi avaldused ei ole tähendusrikkad, on väga vana. Seda kaitses Vana-Kreeka loogik Chrysippus.

Keskajal väitis inglise filosoof ja loogik W. Ockham, et väide “Iga väide on vale” on mõttetu, kuna see räägib muuhulgas ka iseenda väärusest. Sellest väitest tuleneb otseselt vastuolu. Kui iga propositsioon on väär, siis on ka propositsioon ise; aga see, et see on vale, tähendab, et mitte iga väide pole vale. Sarnane on olukord väitega "Iga väide vastab tõele." Samuti tuleb see liigitada mõttetuks ja toob kaasa ka vastuolu: kui iga väide on tõene, siis on tõene ka selle väite enda eitus ehk väide, et iga väide pole tõene.

Miks aga ei võiks väide tähenduslikult rääkida oma tõest või valest?

Juba XIV sajandi prantsuse filosoofi Ockhami kaasaegne. J. Buridan tema otsusega ei nõustunud. Tavaliste mõttetuse ideede seisukohalt väljendid nagu "valetan", "Iga väide on tõene (vale)" jne. päris tähendusrikas. Mille üle võib mõelda, mida öelda – see on Buridani üldpõhimõte. Inimene võib mõelda selle väite tõele, mida ta lausub, mis tähendab, et ta võib sellest rääkida. Kõik väited enda kohta pole mõttetud. Näiteks väide "See lause on kirjutatud vene keeles" on tõene, kuid väide "Selles lauses on kümme sõna" on vale. Ja mõlemad on täiesti mõistlikud. Kui tunnistatakse, et väide võib rääkida iseendast, siis miks ei ole see võimeline kõnelema mõtestatult sellisest enda omadusest nagu tõde?

Buridan ise ei pidanud väidet "Ma valetan" mitte mõttetuks, vaid valeks. Ta põhjendas seda nii. Kui inimene kinnitab väidet, kinnitab ta sellega, et see on tõsi. Kui lause ütleb enda kohta, et ta on ise vale, siis on see vaid lühendatud sõnastus keerulisemast väljendist, mis kinnitab nii selle tõesust kui ka väärust. See väljend on vastuoluline ja seetõttu vale. Kuid see pole sugugi mõttetu.

Buridani argumenti peetakse mõnikord endiselt veenvaks.

Tarski poolt üksikasjalikult välja töötatud "Valetaja" paradoksi lahenduse kriitikat on teisigi. Kas tõesti pole semantiliselt suletud keeltes seda tüüpi paradoksidele vastumürki – ja lõppude lõpuks on kõik loomulikud keeled?

Kui see nii oleks, saaks tõe mõistet rangelt määratleda ainult formaliseeritud keeltes. Ainult neis on võimalik eristada objektiivset keelt, milles räägitakse ümbritsevast maailmast, ja metakeelt, milles nad sellest keelest räägivad. See keelte hierarhia on kujundatud võõrkeele omandamise eeskujul emakeele abil. Sellise hierarhia uurimine tõi kaasa palju huvitavaid järeldusi ja teatud juhtudel on see hädavajalik. Kuid loomulikus keeles seda ei eksisteeri. Kas see diskrediteerib teda? Ja kui jah, siis mil määral? Tõe mõistet kasutatakse selles ju ikkagi ja enamasti ilma igasuguste komplikatsioonideta. Kas hierarhia juurutamine on ainus viis selliste paradokside kõrvaldamiseks nagu Valetaja?

1930. aastatel tundusid vastused neile küsimustele kahtlemata jaatavad. Ent praegu pole endist üksmeelt, kuigi domineerivaks jääb traditsioon seda tüüpi paradokse keele „kihistamise” abil kõrvaldada.

Viimasel ajal on üha enam tähelepanu äratanud egotsentrilised väljendid. Need sisaldavad sõnu nagu "mina", "see", "siin", "nüüd" ja nende tõesus sõltub sellest, millal, kes ja kus neid kasutatakse.

Väites "See väide on vale" esineb sõna "see". Millisele objektile see viitab? "Valetaja" võib viidata sellele, et sõna "see" ei viita antud väite tähendusele. Aga millele see siis viitab, mida see tähendab? Ja miks ei võiks seda tähendust ikkagi tähistada sõnaga "see"?

Siinkohal detailidesse laskumata tasub vaid märkida, et egotsentriliste väljendite analüüsi kontekstis on "Valetaja" täidetud hoopis teistsuguse sisuga kui varem. Selgub, et ta ei hoiata enam keele ja metakeele segaduse eest, vaid juhib tähelepanu ohtudele, mis kaasnevad sõna «see» ja sarnaste egotsentriliste sõnade väärkasutamisega.

Probleemid, mis on aastasadade jooksul "Valetajaga" seotud olnud, on radikaalselt muutunud olenevalt sellest, kas seda nähti mitmetähenduslikkuse näitena või väljendina, mis on väliselt esitatud keele ja metakeele segunemise näitena või lõpuks tüüpiline näide egotsentriliste väljendite väärkasutusest. Ja pole kindlust, et selle paradoksiga ei seostata tulevikus muid probleeme.

Tuntud kaasaegne Soome loogik ja filosoof G. von Wright kirjutas oma teoses "Valetaja", et seda paradoksi ei tohiks mingil juhul mõista kui kohalikku isoleeritud takistust, mille saab kõrvaldada ühe leidliku mõtteliigutusega. Liar puudutab paljusid kõige olulisemaid loogika ja semantika teemasid. See on tõe määratlus ning vastuolude ja tõendite tõlgendamine ning terve rida olulisi erinevusi: lause ja sellega väljendatud mõtte vahel, väljendi kasutamise ja selle mainimise vahel, nime tähenduse ja selle mainimise vahel. objekt, mida see tähistab.

Sarnane on olukord ka teiste loogiliste paradoksidega. "Loogika antinoomiad," kirjutab von Wright, "on hämmingut tekitanud alates nende avastamisest ja jäävad ilmselt alati hämmingusse. Ma arvan, et me peaksime neid käsitlema mitte niivõrd lahendamist ootavate probleemidena, vaid kui ammendamatut mõtteainet. Need on olulised, sest neile mõtlemine puudutab kogu loogika ja seega ka mõtte kõige põhilisemaid küsimusi.

Selle "Valetaja" teemalise vestluse lõpetuseks võib meenutada kurioosset episoodi ajast, mil koolis veel formaalset loogikat õpetati. 1940. aastate lõpus ilmunud loogikaõpikus paluti kaheksanda klassi õpilastel kodutööna – nii-öelda soojendusena – leida viga, mis on tehtud selles lihtsa välimusega väites: "Ma valetan." Ja, ärge tunduge imelik, usuti, et enamik kooliõpilasi tuli sellise ülesandega edukalt toime.

2. Russelli paradoks

Juba meie sajandil avastatud paradoksidest tuntuim on B. Russelli avastatud antinoomia, mille ta edastas kirjas G. Ferge'ile. Sama antinoomiat arutasid Göttingenis üheaegselt saksa matemaatikud Z. Zermelo ja D. Hilbert.

Idee oli õhus ja selle avaldamine jättis mulje plahvatavast pommist. See paradoks põhjustas matemaatikas Hilberti sõnul täieliku katastroofi. Ohustatud on kõige lihtsamad ja olulisemad loogilised meetodid, levinumad ja kasulikumad mõisted.

Kohe sai selgeks, et ei loogikas ega matemaatikas ei olnud kogu nende pika eksisteerimise ajaloo jooksul midagi kindlalt välja töötatud, mis võiks olla aluseks antinoomia kõrvaldamisele. Ilmselgelt oli vaja harjumuspärastest mõtteviisidest kõrvale kalduda. Aga kust ja mis suunas? Kui radikaalne pidi olema väljakujunenud teoretiseerimisviiside tagasilükkamine?

Antinoomia edasise uurimisega kasvas järjekindlalt veendumus põhimõtteliselt uue lähenemise vajaduses. Pool sajandit pärast selle avastamist väitsid loogika ja matemaatika aluste spetsialistid L. Frenkel ja I. Bar-Hillel juba reservatsioonideta: , seni alati ebaõnnestunud, on selleks ilmselgelt ebapiisavad.

Kaasaegne Ameerika loogik H. Curry kirjutas sellest paradoksist veidi hiljem: „19. sajandil tuntud loogika mõttes trotsis olukord lihtsalt seletust, kuigi loomulikult võib meie haritud ajastul olla inimesi, kes näevad (või arvan, et nad näevad ), milles viga on?

Russelli paradoks oma algsel kujul on seotud hulga ehk klassi mõistega.

Võime rääkida erinevate objektide hulgast, näiteks kõigi inimeste hulgast või naturaalarvude hulgast. Esimese komplekti elemendiks on iga inimene, teise elemendiks on iga naturaalarv. Samuti võib hulkasid iseennast pidada mõneks objektiks ja rääkida hulkade hulgast. Võib isegi tutvustada selliseid mõisteid nagu kõigi hulkade hulk või kõigi mõistete hulk.

Tavaliste komplektide komplekt

Mis tahes meelevaldselt võetud hulga puhul tundub mõistlik küsida, kas see on oma element või mitte. Komplekte, mis ei sisalda ennast elemendina, nimetatakse tavalisteks. Näiteks kõigi inimeste hulk ei ole inimene, nii nagu aatomite hulk pole aatom. Õigete elementide komplektid on ebatavalised. Näiteks hulk, mis ühendab kõiki hulki, on hulk ja sisaldab seetõttu ennast elemendina.

Mõelge nüüd kõigi tavaliste komplektide komplektile. Kuna tegemist on komplektiga, võib selle kohta ka küsida, kas see on tavaline või ebatavaline. Vastus on aga heidutav. Kui see on tavaline, siis definitsiooni järgi peab see sisaldama ennast elemendina, kuna sisaldab kõiki tavalisi hulki. Kuid see tähendab, et see on ebatavaline komplekt. Eeldus, et meie hulk on tavaline hulk, viib seega vastuoluni. Nii et see ei saa olla normaalne. Teisest küljest ei saa see olla ka ebatavaline: ebatavaline komplekt sisaldab ennast elemendina ja meie komplekti elemendid on ainult tavalised komplektid. Selle tulemusena jõuame järeldusele, et kõigi harilike hulkade hulk ei saa olla ei tavaline ega erakordne.

Seega on kõigi hulkade hulk, mis ei ole õiged elemendid, õige element siis ja ainult siis, kui see pole selline element. See on selge vastuolu. Ja see saadi kõige tõenäolisemate oletuste põhjal ja pealtnäha vaieldamatute sammude abil.

Vastuolu ütleb, et sellist komplekti lihtsalt pole. Aga miks see ei võiks eksisteerida? See koosneb ju objektidest, mis vastavad täpselt määratletud tingimusele ja tingimus ise ei tundu kuidagi erandlik või ebaselge. Kui nii lihtsalt ja selgelt määratletud hulka ei saa eksisteerida, siis mis vahe on tegelikult võimalike ja võimatute hulkade vahel? Järeldus vaadeldava komplekti olematuse kohta kõlab ootamatult ja tekitab ärevust. See muudab meie üldise ettekujutuse komplektist amorfseks ja kaootiliseks ning pole mingit garantiid, et see ei saa tekitada uusi paradokse.

Russelli paradoks on tähelepanuväärne oma äärmise üldistuse poolest. Selle ehitamiseks ei ole vaja keerulisi tehnilisi kontseptsioone, nagu mõne muu paradoksi puhul piisab mõistetest "hulk" ja "kogumi element". Kuid see lihtsus räägib lihtsalt selle fundamentaalsest olemusest: see puudutab meie arutluse sügavaimaid aluseid hulkade kohta, kuna see ei räägi mitte mõnest erijuhtumist, vaid hulkadest üldiselt.

Paradoksi muud variandid

Russelli paradoks ei ole konkreetselt matemaatiline. See kasutab hulga mõistet, kuid ei puuduta konkreetselt matemaatikaga seotud eriomadusi.

See ilmneb siis, kui paradoks sõnastada ümber puhtalt loogiliselt.

Iga omaduse kohta võib suure tõenäosusega küsida, kas see on tema enda suhtes rakendatav või mitte.

Näiteks omadus olla kuum ei kehti tema enda kohta, kuna ta ise ei ole kuum; konkreetne olemise omadus ei viita ka iseendale, sest see on abstraktne omadus. Kuid abstraktsuse, abstraktsuse omadus on rakendatav iseendale. Nimetagem neid enda jaoks mitterakendatavaid omadusi kohaldamatuteks. Kas kehtib omadus olla enda suhtes kohaldamatu? Selgub, et kohaldamatus on kohaldamatu ainult siis, kui see seda ei ole. See on muidugi paradoksaalne.

Russelli antinoomia loogiline, omandiga seotud variatsioon on sama paradoksaalne kui matemaatiline, hulgaga seotud variatsioon.

Russell pakkus välja ka järgmise populaarse versiooni enda avastatud paradoksist.

Kujutage ette, et ühe küla nõukogu määratles juuksuri ülesanded järgmiselt: raseerida kõik küla mehed, kes ennast ei aja, ja ainult need mehed. Kas ta peaks end raseerima? Kui jah, siis viitab see neile, kes end raseerivad, ja neile, kes raseerivad end, ei tohiks ta raseerida. Kui ei, siis kuulub ta nende hulka, kes ise ei raseeri ja seetõttu peab ta ise raseerima. Seega jõuame järeldusele, et see juuksur raseerib end siis ja ainult siis, kui ta ise ei raseeri. See on muidugi võimatu.

Argument juuksuri kohta põhineb oletusel, et selline juuksur on olemas. Sellest tulenev vastuolu tähendab, et see oletus on vale ja pole sellist külaelanikku, kes raseeriks kõiki neid ja ainult neid külaelanikke, kes ennast ei raseeri.

Juuksuri tööülesanded ei tundu esmapilgul vastuolulised, nii et järeldus, et seda ei saa olla, kõlab mõnevõrra ootamatult. See järeldus pole aga paradoksaalne. Tingimus, mida külajuuksur peab täitma, on tegelikult iseendale vasturääkiv ja seetõttu võimatu. Sellist juuksurit ei saa külas olla samal põhjusel, et seal pole inimest, kes oleks temast vanem või kes oleks sündinud enne tema sündi.

Vaidlust juuksuri üle võib nimetada pseudoparadoksiks. Oma käigult on see rangelt analoogne Russelli paradoksiga ja just see teebki selle huvitavaks. Kuid see pole ikkagi tõeline paradoks.

Teine näide samast pseudoparadoksist on tuntud kataloogiargument.

Teatud raamatukogu otsustas koostada bibliograafilise kataloogi, mis hõlmaks kõiki neid ja ainult neid bibliograafilisi katalooge, mis ei sisalda viiteid iseendale. Kas selline kataloog peaks sisaldama linki iseendale?

On lihtne näidata, et sellise kataloogi loomise idee ei ole teostatav; seda lihtsalt ei saa eksisteerida, sest see peab üheaegselt sisaldama viidet iseendale ja mitte sisaldama.

Huvitav on märkida, et kõigi kataloogide kataloogimist, mis ei sisalda viiteid iseendale, võib pidada lõputuks, lõputuks protsessiks. Oletame, et mingil hetkel koostati kataloog, näiteks K1, sealhulgas kõik muud kataloogid, mis ei sisalda viiteid iseendale. K1 loomisega ilmus veel üks kataloog, mis ei sisalda linki iseendale. Kuna eesmärk on teha täielik kataloog kõigist kataloogidest, mis ennast ei maini, on ilmne, et K1 pole lahendus. Ta ei maini üht neist kataloogidest – iseennast. Kui lisada see tema mainimine K1-s, saame K2 kataloogi. See mainib K1, kuid mitte K2 ennast. Lisades sellise mainimise K2-le, saame KZ, mis pole jällegi täielik, kuna see ei maini ennast. Ja lõputult edasi.

3. Grellingu ja Berry paradoksid

Huvitava loogilise paradoksi avastasid saksa loogikud K. Grelling ja L. Nelson (Grellingi paradoks). Selle paradoksi saab sõnastada väga lihtsalt.

Autoloogilised ja heteroloogilised sõnad

Mõnel omadust tähistaval sõnal on sama omadus, mida nad nimetavad. Näiteks omadussõna "vene" on ise vene keel, "mitmesilbiline" on ise mitmesilbiline ja "viiesilbiline" ise on viiesilbiline. Selliseid iseendale viitavaid sõnu nimetatakse enesetähenduslikeks või autoloogilisteks.

Selliseid sõnu pole nii palju, valdaval osal omadussõnadest pole omadusi, mida nad nimetavad. "Uus" ei ole muidugi uus, "hot" on kuum, "one-sylable" on ühesilbiline ja "inglise keel" on inglise keel. Sõnu, millel puudub nende tähistatav omadus, nimetatakse varjunimedeks ehk heteroloogilisteks. Ilmselgelt on kõik omadussõnad, mis tähistavad omadusi, mis sõnadele ei kehti, heteroloogilised.

Selline omadussõnade jaotus kahte rühma tundub selge ja vaieldamatu. Seda saab laiendada nimisõnadele: "sõna" on sõna, "nimisõna" on nimisõna, kuid "kell" ei ole kell ja "verb" ei ole tegusõna.

Paradoks tekib kohe, kui esitatakse küsimus: kummasse kahest rühmast kuulub omadussõna "heteroloogiline" ise? Kui see on autoloogiline, on sellel määratud omadus ja see peab olema heteroloogiline. Kui see on heteroloogiline, ei ole sellel omadust, mida ta nimetab, ja seepärast peab see olema autoloogiline. On paradoks.

Analoogiliselt selle paradoksiga on lihtne sõnastada teisi sama struktuuriga paradokse. Näiteks, kas suitsidaalne inimene on või ei ole see, kes tapab iga mittesuitsidaalse inimese ja ei tapa ühtegi enesetappu?

Selgus, et Grelligi paradoksi tunti keskajal väljendi antinoomiana, mis ennast ei nimeta. Võib ette kujutada suhtumist sofismidesse ja paradoksidesse kaasajal, kui vastust nõudnud ja elavat debatti tekitanud probleem äkitselt ununes ning alles viissada aastat hiljem taasavastati!

Teisele, väliselt lihtsale antinoomiale viitas meie sajandi alguses D. Berry.

Naturaalarvude hulk on lõpmatu. Nende arvude nende nimede hulk, mis on saadaval näiteks vene keeles ja sisaldavad vähem kui näiteks sada sõna, on piiratud. See tähendab, et on selliseid naturaalnumbreid, millele vene keeles pole alla sajast sõnast koosnevaid nimesid. Nende arvude hulgas on ilmselgelt kõige väiksem arv. Seda ei saa nimetada alla saja sõna sisaldava venekeelse väljendi abil. Kuid väljend: "Kõige väiksem naturaalarv, mille keerulist nime vene keeles ei eksisteeri, koosneb vähem kui sajast sõnast" on lihtsalt selle arvu nimi! See nimi on just sõnastatud vene keeles ja sisaldab vaid üheksateist sõna. Ilmselge paradoks: nimeline number osutus selliseks, millele nime polegi!

4. Lahendamatu vaidlus

Ühe kuulsa paradoksi keskmes on väike vahejuhtum, mis juhtus rohkem kui kaks tuhat aastat tagasi ja mida pole tänaseni unustatud.

Kuulus sofist Protagoras, kes elas 5. sajandil. eKr oli üliõpilane nimega Euathlus, kes õppis õigusteadust. Nende vahel sõlmitud lepingu järgi pidi Euathlus koolituse eest tasuma vaid siis, kui võidab oma esimese kohtuasja. Kui ta selle protsessi kaotab, ei ole ta üldse kohustatud maksma. Pärast õpingute lõpetamist Evatl aga protsessides ei osalenud. See kestis päris kaua, õpetaja kannatus sai otsa ja ta esitas oma õpilase vastu hagi. Seega oli see Euathluse jaoks esimene kohtuprotsess. Protagoras põhjendas oma nõuet järgmiselt:

"Ükskõik, milline on kohtu otsus, Euathlus peab mulle maksma. Ta kas võidab oma esimese kohtuprotsessi või kaotab. Kui ta võidab, maksab ta meie lepingu alusel. Kui ta kaotab, maksab ta vastavalt sellele otsusele.

Ilmselt oli Euathlus võimekas õpilane, nagu ta vastas Protagorasele:

- Tõepoolest, ma kas võidan protsessi või kaotan selle. Võidu korral vabastab kohtuotsus mind maksekohustusest. Kui kohtuotsus ei ole minu kasuks, siis ma kaotasin oma esimese kohtuasja ja meie lepingu alusel ei maksa.

Lahendused Protagorase ja Euathluse paradoksile

Asja sellisest pöördest hämmeldunult pühendas Protagoras sellele vaidlusele Euathlusega spetsiaalse essee "Maksevaidlus". Kahjuks see, nagu suurem osa Protagorase kirjutatust, meieni ei jõudnud. Sellegipoolest tuleb avaldada austust Protagorasele, kes aimas lihtsa kohtujuhtumi taga kohe probleemi, mis väärib erilist uurimist.

Ka G. Leibniz, kes ise on hariduselt jurist, võttis seda vaidlust tõsiselt. Oma doktoritöös "Uuring keerulistest kohtuasjadest õiguses" püüdis ta tõestada, et kõik juhtumid, ka kõige keerulisemad, nagu Protagorase ja Euathlose kohtuvaidlused, peavad leidma terve mõistuse alusel õige lahenduse. Leibnizi sõnul peaks kohus keelduma Protagorasest nõude enneaegse esitamise eest, kuid jätma talle siiski õiguse nõuda Evatlilt raha maksmist hiljem, nimelt pärast esimest võidetud protsessi.

Sellele paradoksile on pakutud palju muid lahendusi.

Eelkõige viitasid nad asjaolule, et kohtuotsus peaks olema suurema jõuga kui kahe isiku vaheline erakokkulepe. Võib vastata, et ilma selle lepinguta, kui vähetähtis see ka ei tunduks, poleks ei kohut ega selle otsust. Kohus peab ju oma otsuse langetama just omal korral ja selle alusel.

Nad apelleerisid ka üldisele põhimõttele, et iga töö ja seega ka Protagorase töö tuleb tasuda. Kuid on teada, et sellel põhimõttel on alati olnud erandeid, eriti orjapidajate ühiskonnas. Lisaks ei ole see vaidluse konkreetses olukorras lihtsalt kohaldatav: Protagoras, tagades kõrge haridustaseme, keeldus ju ise tasu vastu võtmast, kui tema õpilane esimeses protsessis ebaõnnestub.

Mõnikord nad räägivad nii. Nii Protagorasel kui ka Euathlusel on osaliselt õigus ja üldiselt pole kummalgi õigus. Igaüks neist võtab arvesse vaid poolte enda jaoks kasulikest võimalustest. Täielik või kõikehõlmav läbimõtlemine avab neli võimalust, millest vaid pooled on ühele vaidlusalusele kasulikud. Milline neist võimalustest realiseerub, seda ei otsusta mitte loogika, vaid elu. Kui kohtunike otsusel on lepingust suurem jõud, peab Euathl maksma ainult siis, kui ta protsessi kaotab, s.t. kohtuotsuse alusel. Kui aga erakokkulepe asetatakse kõrgemale kui kohtunike otsus, siis saab Protagoras tasu ainult protsessi kaotamise korral Evatlusele, s.o. Protagorasega sõlmitud lepingu alusel.

See elukutse ajab lõpuks kõik segamini. Millest, kui mitte loogikast, saavad kohtunikud juhinduda tingimustes, kui kõik olulised asjaolud on täiesti selged? Ja milline juhtimine saab olema, kui Protagoras, kes nõuab tasu kohtu kaudu, saavutab selle vaid protsessi kaotades?

Leibnizi esmapilgul veenev lahendus on aga pisut parem loogika ja elu ebamäärasest vastandusest. Sisuliselt teeb Leibniz ettepaneku muuta tagasiulatuvalt lepingu sõnastust ja sätestada, et esimene Euathlusega seotud kohtuasi, mille tulemusel otsustatakse tasumise küsimus, ei tohiks olla Protagorase hagi alusel toimuv kohtuprotsess. See mõte on sügav, kuid ei ole seotud konkreetse kohtuga. Kui algses lepingus oleks selline punkt olnud, poleks kohtuvaidlust üldse vaja olnud.

Kui selle raskuse lahendusena mõistame vastust küsimusele, kas Euathlus peaks Protagorasele maksma või mitte, siis kõik need, nagu ka kõik muud mõeldavad lahendused, on loomulikult vastuvõetamatud. Need pole midagi muud kui vaidluse olemusest kõrvalekaldumine, need on nii-öelda sofistilised trikid ja kavalused lootusetus ja lahendamatus olukorras. Sest ei terve mõistus ega sotsiaalseid suhteid puudutavad üldpõhimõtted ei suuda vaidlust lahendada.

Lepingut selle algsel kujul ja kohtuotsust, olgu viimane milline tahes, ei ole võimalik koos täita. Selle tõestamiseks piisab lihtsatest loogikavahenditest. Sama vahendiga saab ka näidata, et leping on oma täiesti süütule välimusele vaatamata iseendale vastuoluline. See eeldab loogiliselt võimatu väite elluviimist: Euathlus peab maksma hariduse eest ja samal ajal mitte maksma.

Reeglid, mis viivad ummikusse

Inimmõistusel, kes on harjunud mitte ainult oma tugevuse, vaid ka paindlikkuse ja isegi leidlikkusega, on muidugi raske selle absoluutse lootusetusega leppida ja tunnistada, et ta on ummikusse viidud. Eriti raske on see siis, kui ummikseisu tekitab mõistus ise: ta nii-öelda komistab täiesti selgest ja kukub oma võrkudesse. Sellegipoolest tuleb tunnistada, et mõnikord, ja muide, mitte nii harva, põhjustavad spontaanselt tekkinud või teadlikult juurutatud kokkulepped ja reeglisüsteemid lahendamatuid, lootusetuid olukordi.

Näide hiljutisest maleelust kinnitab seda mõtet veel kord.

Rahvusvahelised malevõistluste reeglid kohustavad maletajaid jäädvustama mängu liigutused liigutuste kaupa selgelt ja loetavalt. Veel hiljuti oli reeglites kirjas, et maletaja, kellel jäi ajapuudusel mitme käigu salvestamine vahele, peab "niipea, kui ajahäda lõppeb, viivitamatult täitma oma ankeedi, kirjutades vahele jäänud käigud üles". Selle juhise alusel katkestas üks kohtunik 1980. aasta maleolümpiaadil (Malta) rasketes raskustes kulgenud mängu ja peatas kella, teatades, et kontrollkäigud on tehtud ja seega on aeg panna. mängude arvestused korras.

"Aga vabandust," hüüdis kaotuse äärel osaleja, kes lootis mängu lõpus ainult kirgede intensiivsusele, "lõppude lõpuks pole veel langenud ühtegi lippu ja keegi ei saa kunagi (nagu see on ka reeglites kirjas) oskab öelda, mitu liigutust on tehtud.

Küll aga toetas kohtunikku peakohtunik, kes ütles, et tõepoolest, kuna ajahäda oli lõppenud, tuli reeglistikku järgides hakata tegemata käike fikseerima.

Selles olukorras oli mõttetu vaielda: reeglid ise viisid ummikusse. Jäi vaid muuta nende sõnastust selliselt, et edaspidi sarnaseid juhtumeid ette ei saaks.

Nii tehti ka samal ajal toimunud Rahvusvahelise Maleliidu kongressil: sõnade "niipea kui ajahäda läbi saab" asemel on reeglites nüüd kirjas: "niipea kui lipp näitab lõppu ajast".

See näide näitab selgelt, kuidas ummikseisudes toime tulla. On mõttetu vaielda selle üle, kummal poolel on õigus: vaidlus on lahendamatu ja selles pole võitjat. Jääb vaid leppida olevikuga ja hoolitseda tuleviku eest. Selleks tuleb algsed kokkulepped või reeglid ümber sõnastada selliselt, et need ei viiks kedagi teist samasse lootusetusse olukorda.

Loomulikult ei ole selline teguviis lahendus lahendamatule vaidlusele ega väljapääs lootusetust olukorrast. See on pigem peatus ületamatu takistuse ees ja tee ümber selle.

Paradoks "krokodill ja ema"

Vana-Kreekas oli väga populaarne lugu krokodillist ja emast, mis langes oma loogiliselt sisult kokku paradoksiga "Protagoras ja Euathlus".

Krokodill röövis oma lapse jõe kaldal seisnud egiptlanna käest. Tema palvele laps tagastada vastas krokodill, kes valas nagu alati krokodillipisarat:

"Teie õnnetus puudutas mind ja ma annan teile võimaluse oma laps tagasi saada. Arva ära, kas ma annan selle sulle või mitte. Kui vastad õigesti, annan lapse tagasi. Kui ei arva, siis ma tagasi ei anna.

Mõeldes vastas ema:

Sa ei anna mulle last.

"Sa ei saa seda," lõpetas krokodill. Sa kas rääkisid tõtt või mitte. Kui see on tõsi, et ma ei loobu lapsest, siis ma ei loobu temast, sest muidu see ei vasta tõele. Kui öeldu ei vasta tõele, siis sa ei arvanud ja lapsele ma kokkuleppel ei anna.

See arutluskäik ei tundunud emale aga veenev.

- Aga kui ma rääkisin tõtt, siis annate lapse mulle, nagu me kokku leppisime. Kui ma ei arvanud, et te last ei anna, siis peate selle mulle andma, muidu ei vasta see, mida ma ütlesin, vale.

Kellel on õigus: emal või krokodillil? Milleks krokodillile antud lubadus kohustab? Et last kinkida või, vastupidi, mitte ära anda? Ja mõlemale korraga. See lubadus on iseendaga vastuolus ja seega ei saa seda loogikaseaduste tõttu täita.

Misjonär leidis end kannibalide juurest ja saabus täpselt õhtusöögi ajaks. Nad lasevad tal valida, kuidas teda süüakse. Selleks peab ta lausuma mõne väite tingimusega, et kui see väide osutub tõeks, siis nad küpsetavad selle ja kui see osutub valeks, siis röstivad.

Mida peaks misjonär ütlema?

Muidugi peaks ta ütlema: "Sa praadid mind ära."

Kui ta on tõesti praetud, selgub, et ta rääkis tõtt ja seetõttu tuleb teda keeta. Kui teda keedetakse, on tema väide vale ja teda tuleks lihtsalt praadida. Kannibalidel pole pääsu: "praadimisest" järgneb "küpsetamine" ja vastupidi.

See kavala misjonäri episood on muidugi järjekordne parafraas Protagorase ja Euathlose vaidlusest.

Sancho Panza paradoks

Ühe Vana-Kreekas tuntud vana paradoksi mängib Don Quijotes üles M. Cervantes. Sancho Panzast on saanud Barataria saare kuberner ja ta haldab õukonda.

Esimesena tuleb tema juurde mõni külaline ja ütleb: "Senior, teatud valdus on sügava jõega jagatud kaheks pooleks... Nii, üle selle jõe visati sild ja sealsamas servas seisab võllapuu ja on midagi sellist, nagu kohus, kus tavaliselt istub neli inimest.kohtunikud ja nemad mõistavad kohut jõe, silla ja kogu kinnistu omaniku antud seaduse alusel, milline seadus on koostatud nii: ja kes valetab, ilma igasuguse leebuseta saatke need sealsamas asuvasse võllapuusse ja hukka. Sellest ajast, kui see seadus täies karmuses välja kuulutati, õnnestus paljudel üle silla pääseda ja niipea, kui kohtunikud olid veendunud, et möödujad räägivad tõtt, lasid nad sealt läbi. Aga siis ühel päeval vandus mees, kes vannutas ja ütles: ta vannub, et ta tuli selleks, et teda just selle võllapuu otsa riputada, ja mitte millegi muu pärast. See vanne tekitas kohtunikes hämmingut ja nad ütlesid: „Kui sellel mehel lastakse takistusteta edasi minna, tähendab see, et ta on vannet rikkunud ja on seaduse järgi surmani. kui me ta üles poome, siis ta vandus, et ta tuli ainult selle võllapuu otsa riputamiseks, järelikult ei ole tema vanne, nagu selgub, vale ja sama seaduse alusel on vaja ta läbi lasta. Ja seega ma küsin teilt, vanemkuberner, mida peaksid kohtunikud selle mehega tegema, sest nad on endiselt hämmeldunud ja kõhklevad ...

Sancho soovitas, võib-olla mitte ilma kavaluseta, et pool tõtt rääkinud inimesest tuleks läbi lasta ja valetaja üles riputada ning nii järgitaks silla ületamise reegleid igas vormis. See lõik on huvitav mitmes mõttes.

Esiteks illustreerib see selgelt tõsiasja, et paradoksis kirjeldatud lootusetu olukorraga võib silmitsi seista - ja mitte puhtalt teoorias, vaid praktikas - kui mitte päris inimene, siis vähemalt kirjanduslik kangelane.

Sancho Panza pakutud väljapääs ei olnud muidugi paradoksi lahendus. Kuid see oli vaid lahendus, mille poole jäi tema ametikohal appi võtta.

Kunagi oli Aleksander Suur selle asemel, et kavala Gordiuse sõlme lahti siduda, millega pole veel keegi hakkama saanud, selle lihtsalt läbi. Sancho tegi sama. Püüdes mõistatust oma tingimustel lahendada oli kasutu – see oli lihtsalt lahendamatu. Jäi need tingimused kõrvale heita ja enda omad tutvustada.

Ja üks hetk. Selle episoodiga mõistab Cervantes selgelt hukka keskaegse õigluse ülemäära formaalse skaala, mis on läbi imbunud skolastilise loogika vaimust. Kuid kui laialt levinud oli tema ajal – ja see oli umbes nelisada aastat tagasi – teave loogikavaldkonnast! Seda paradoksi ei tea mitte ainult Cervantes ise. Kirjanik leiab, et oma kangelasele, kirjaoskamatule talupojale on võimalik omistada võime mõista, et tal seisab ees lahendamatu ülesanne!

5. Muud paradoksid

Ülaltoodud paradoksid on argumendid, mille tulemuseks on vastuolu. Kuid loogikas on ka teist tüüpi paradokse. Nad toovad välja ka mõningaid raskusi ja probleeme, kuid teevad seda vähem karmilt ja kompromissitult. Sellised on eelkõige allpool käsitletavad paradoksid.

Ebatäpsete mõistete paradoksid

Enamik mitte ainult loomuliku keele, vaid ka teaduskeele mõisteid on ebatäpsed või, nagu neid ka nimetatakse, hägused. Sageli osutub see arusaamatuste, vaidluste või isegi lihtsalt ummikseisu põhjuseks.

Kui kontseptsioon on ebatäpne, on selle objektide ala piir, mille suhtes seda kohaldatakse, terav, hägune. Võtame näiteks mõiste "kuhja". Üks tera (liivatera, kivi vms) ei ole veel hunnik. Tuhat tera on juba ilmselgelt hunnik. Ja kolm tera? Ja kümme? Kui palju teri lisatakse kuhja moodustamiseks? Ei ole väga selge. Samamoodi pole selge, millise teravilja eemaldamisega hunnik kaob.

Ebatäpsed on empiirilised omadused "suur", "raske", "kitsas" jne. Sellised tavalised mõisted nagu "tark", "hobune", "maja" jne on ebatäpsed.

Pole liivatera, mille eemaldamisel saaksime öelda, et selle eemaldamisega ei saa seda, mis jääb, enam koduks nimetada. Kuid lõppude lõpuks näib see tähendavat, et maja järkjärgulise demonteerimise ajal - kuni selle täieliku kadumiseni - pole põhjust kuulutada maja puudumist! Järeldus on selgelt paradoksaalne ja heidutav.

On lihtne näha, et kuhja moodustamise võimatuse vaidlus viiakse läbi tuntud matemaatilise induktsiooni meetodi abil. Üks tera ei moodusta hunnikut. Kui n tera ei moodusta hunnikuid, siis n+1 tera ei moodusta hunnikuid. Seetõttu ei saa ükski terade arv moodustada hunnikuid.

Selle ja sarnaste tõendite võimalikkus, mis viib absurdsete järeldusteni, tähendab, et matemaatilise induktsiooni põhimõttel on piiratud ulatus. Seda ei tohiks kasutada ebatäpsete, ebamääraste mõistetega arutlemisel.

Hea näide sellest, kuidas need kontseptsioonid võivad viia lahendamatute vaidlusteni, on kurioosne kohtuprotsess, mis leidis aset 1927. aastal Ameerika Ühendriikides. Skulptor C. Brancusi pöördus kohtusse, nõudes tema tööde tunnustamist kunstiteostena. New Yorki näitusele saadetud tööde hulgas oli skulptuur "Lind", mida praegu peetakse abstraktse stiili klassikaks. See on umbes pooleteise meetri kõrgune poleeritud pronksist moduleeritud sammas, millel ei ole väliselt sarnasust linnuga. Tolliametnikud keeldusid kategooriliselt tunnistamast Brancusi abstraktset loomingut kunstiteosteks. Nad panid need rubriiki "Metallihaigla ja majapidamistarbed" ning kehtestasid neile suure tollimaksu. Nördinud Brancusi kaebas kohtusse.

Tavasid toetasid kunstnikud – rahvusakadeemia liikmed, kes kaitsesid kunstis traditsioonilisi meetodeid. Nad tegutsesid kohtuprotsessil kaitse tunnistajatena ja väitsid kategooriliselt, et katse "lindu" kunstiteosena käsitleda oli lihtsalt pettus.

See konflikt rõhutab ilmekalt "kunstiteose" mõistega opereerimise raskust. Skulptuuri peetakse traditsiooniliselt kujutava kunsti vormiks. Kuid skulptuurikujutise originaaliga sarnasuse määr võib varieeruda väga suurtes piirides. Ja millisel hetkel lakkab skulptuurne kujund, mis kaugeneb üha enam originaalist, olemast kunstiteos ja muutub "metallriistaks"? Sellele küsimusele on sama raske vastata kui küsimusele, kus on piir maja ja selle varemete vahel, sabaga hobuse ja sabata hobuse vahel jne. Muide, modernistid on üldiselt veendunud, et skulptuur on ekspressiivse vormi objekt ja see ei pea olema üldse kujund.

Ebatäpsete mõistete käsitlemine nõuab seega teatud ettevaatust. Kas poleks parem neid üldse vältida?

Saksa filosoof E. Husserl kaldus teadmistelt nõudma nii äärmist rangust ja täpsust, mida ei leia isegi matemaatikas. Seoses sellega meenutavad Husserli biograafid irooniaga temaga lapsepõlves juhtunud juhtumit. Talle kingiti sulenoa ja kui ta otsustas tera võimalikult teravaks teha, teritas ta seda seni, kuni terast ei jäänud enam midagi järele.

Paljudes olukordades eelistatakse täpsemaid mõisteid ebatäpsetele. Tavapärane soov kasutatavaid mõisteid selgitada on igati õigustatud. Kuid loomulikult peavad sellel olema oma piirid. Isegi teaduskeeles on märkimisväärne osa mõistetest ebatäpsed. Ja see ei ole seotud üksikute teadlaste subjektiivsete ja juhuslike vigadega, vaid teaduslike teadmiste olemusega. Loomulikus keeles on ebatäpsed mõisted ülekaalukad; see räägib muuhulgas tema paindlikkusest ja varjatud tugevusest. Igaüks, kes nõuab kõikidelt mõistetelt ülimat täpsust, riskib täielikult keeleta jääda. Prantsuse esteetik J. Joubert kirjutas: "Võtke sõnadest ilma igasugusest kahemõttelisusest ja ebakindlusest," kirjutas prantsuse esteetik J. Joubert, "muutke need ... ühekohalisteks numbriteks - mäng jätab kõne ning koos sellega ilu ja poeesia: kõik, mis on liikuv ja muutuv. hinge kiindumused, ei leia oma väljendust. Aga mis ma ütlen: võtma ära ... ma ütlen veel. Võtke sõna igasugusest ebatäpsusest ilma - ja kaotate isegi aksioomid.

Nii loogikud kui ka matemaatikud ei pööranud pikka aega tähelepanu hägusate mõistete ja neile vastavate kogumitega seotud raskustele. Küsimus püstitati järgmiselt: mõisted peavad olema täpsed ja kõik ebamäärane ei vääri tõsist huvi. Viimastel aastakümnetel on see liiga range suhtumine aga oma veetluse kaotanud. Ehitatakse üles loogilised teooriad, mis võtavad konkreetselt arvesse ebatäpsete mõistetega arutluse ainulaadsust.

Aktiivselt areneb matemaatiline teooria nn häguste hulkade, ebaselgelt määratletud objektide kogumite kohta.

Ebatäpsuse probleemide analüüs on samm loogika lähendamise suunas tavamõtlemise praktikale. Ja võime eeldada, et see toob palju huvitavamaid tulemusi.

Induktiivse loogika paradoksid

Võib-olla pole ühtegi loogikaosa, millel poleks oma paradokse.

Induktiivsel loogikal on omad paradoksid, mille vastu on aktiivselt, kuid seni suurema eduta võideldud ligi pool sajandit. Eriti huvitav on Ameerika filosoofi K. Hempeli avastatud kinnitusparadoks. On loomulik arvata, et üldisi väiteid, eriti teaduslikke seadusi, kinnitavad nende positiivsed näited. Kui võtta arvesse näiteks väidet "Kõik A on B", siis on selle positiivseteks näideteks objektid, millel on omadused A ja B. Eelkõige on lause "Kõik rongad on mustad" toetavad näited objektid, mis on nii rongad kui ka rongad. must. See väide võrdub aga väitega "Kõik asjad, mis pole mustad, ei ole varesed" ja viimase kinnitus peab olema ka kinnitus esimesele. Kuid "Kõik pole must, pole vares" kinnitab iga mittemust objekti juhtum, mis pole vares. Selgub seega, et tähelepanekud "Lehm on valge", "Kingad on pruunid" jne. kinnitage väide "Kõik varesed on mustad."

Pealtnäha süütutest eeldustest järeldub ootamatu paradoksaalne tulemus.

Normide loogikas tekitavad muret mitmed selle seadused. Kui need on sõnastatud tähendusrikkalt, ilmneb nende vastuolu tavapäraste õige ja vale mõistetega. Näiteks ütleb üks seadustest, et korraldusest "Saada kiri!" järgneb käsk “Saada kiri või põleta!”.

Teine seadus ütleb, et kui inimene on rikkunud mõnda oma kohustust, saab ta õiguse teha kõike, mida tahab. Meie loogiline intuitsioon ei taha sedasorti "kohustusseadustega" leppida.

Teadmiste loogikas arutatakse palju loogilise kõiketeadmise paradoksi üle. Ta väidab, et inimene teab kõiki loogilisi tagajärgi, mis tulenevad tema võetud seisukohtadest. Näiteks kui inimene teab viit Eukleidese geomeetria postulaati, siis järelikult teab ta kogu seda geomeetriat, kuna see tuleneb neist. Aga ei ole. Inimene võib nõustuda postulaatidega ja samal ajal mitte tõestada Pythagorase teoreemi ja seetõttu kahelda, et see üldiselt vastab tõele.

6. Mis on loogiline paradoks

Loogiliste paradokside ammendavat loetelu pole olemas ja see on võimatu.

Vaadeldavad paradoksid on vaid osa kõigist seni avastatud. Tõenäoliselt avastatakse tulevikus palju muid paradokse ja isegi täiesti uut tüüpi neid. Juba paradoksi mõiste ei ole nii kindel, et oleks võimalik koostada loetelu vähemalt juba teadaolevatest paradoksidest.

"Hoogusteoreetilised paradoksid on väga tõsine probleem, mitte matemaatika, vaid pigem loogika ja epistemoloogia jaoks," kirjutab Austria matemaatik ja loogik K. Gödel. "Loogika on vastuoluline. Loogilisi paradokse pole olemas,” ütleb matemaatik D. Bochvar. Sellised lahknevused on mõnikord märkimisväärsed, mõnikord sõnalised. Asi on suuresti selles, mida täpselt loogilise paradoksi all mõeldakse.

Loogiliste paradokside eripära

Loogiliste paradokside vajalik tunnus on loogikasõnaraamat.

Paradoksid, mis on loogilised, tuleb sõnastada loogiliselt. Loogikas pole aga selgeid kriteeriume terminite jagamiseks loogilisteks ja mitteloogilisteks. Arutluskäigu õigsusega tegelev loogika püüab viia miinimumini mõisted, millest sõltub praktiliselt rakendatud järelduste õigsus. Kuid see miinimum ei ole üheselt ette määratud. Lisaks saab loogiliselt formuleerida ka mitteloogilisi väiteid. Seda, kas konkreetne paradoks kasutab ainult puhtloogilisi eeldusi, pole kaugeltki alati võimalik üheselt kindlaks teha.

Loogilised paradoksid ei ole jäigalt eraldatud kõigist teistest paradoksidest, nagu ka viimased ei ole selgelt eristatud kõigest mitteparadoksaalsest ja kooskõlas valitsevate ideedega.

Loogiliste paradokside uurimise alguses tundus, et neid saab eristada mõne veel uurimata positsiooni või loogikareegli rikkumise järgi. Sellise reegli rollile pretendeerides oli eriti aktiivne B. Russelli juurutatud nõiaringi printsiip. See põhimõte ütleb, et objektide kogum ei saa sisaldada ainult sama kollektsiooni poolt määratletud liikmeid.

Kõigil paradoksidel on üks ühine joon – iserakendatavus ehk tsirkulaarsus. Igas neist iseloomustab kõnealust objekti mingi objektide kogum, millesse ta ise kuulub. Kui valime välja näiteks kõige kavalama inimese, teeme seda rahvastiku abiga, kuhu see inimene kuulub. Ja kui me ütleme: "See väide on vale", iseloomustame meid huvitavat väidet, viidates kõigi seda sisaldavate valeväidete kogumile.

Kõikides paradoksides on mõistete iserakendatavus, mis tähendab, et toimub justkui ringikujuline liikumine, mis viib lõpuks alguspunkti. Püüdes meile huvipakkuvat objekti iseloomustada, pöördume objektide kogumi poole, mis seda sisaldab. Selgub aga, et oma kindlameelsuse huvides vajab ta ise vaadeldavat objekti ega ole ilma selleta selgelt mõistetav. Võib-olla peitub selles ringis paradokside allikas.

Olukorra teeb keeruliseks aga asjaolu, et selline ring eksisteerib paljudes täiesti mitteparadoksaalsetes argumentides. Ringkiri on tohutu hulk levinumaid, kahjutuid ja samal ajal mugavamaid väljendusviise. Sellised näited nagu "suurim kõigist linnadest", "kõigist naturaalarvudest väikseim", "üks rauaaatomi elektronidest" jne näitavad, et mitte iga enesekohaldatavuse juhtum ei too kaasa vastuolusid ja et see on oluline mitte ainult tavakeeles, vaid ka teaduskeeles.

Püüd leida mingit konkreetset loogikaprintsiipi, mille rikkumine oleks kõigi loogiliste paradokside eristav tunnus, ei viinud millegi kindlani.

Ramsey järgi sisaldavad esimese rühma paradoksid ainult loogikasse või matemaatikasse kuuluvaid mõisteid. Viimaste hulka kuuluvad sellised mõisted nagu "tõde", "defineeritavus", "nimetamine", "keel", mis ei ole rangelt matemaatilised, vaid pigem seotud keeleteaduse või isegi teadmisteooriaga. Semantilised paradoksid näivad olevat võlgnevat mitte mingisuguse loogikavea, vaid mõne mitteloogilise mõiste ebamäärasuse või mitmetähenduslikkuse tõttu, seetõttu puudutavad nende tekitatud probleemid keelt ja need tuleb lahendada keeleteadusega.

Ramseyle tundus, et matemaatikud ja loogikud ei pea huvi tundma semantiliste paradokside vastu. Hiljem selgus aga, et mõned kaasaegse loogika olulisemad tulemused saadi just seoses just nende mitteloogiliste paradokside sügavama uurimisega.

Ramsey pakutud paradokside jaotust kasutati alguses laialdaselt ja see säilitab teatud tähtsuse ka praegu. Samas saab üha selgemaks, et see jaotus on üsna ebamäärane ja tugineb eelkõige näidetele, mitte aga kahe paradoksirühma süvavõrdlevale analüüsile. Semantilised mõisted on nüüd hästi määratletud ja on raske mitte tunnistada, et need mõisted on tõepoolest loogilised. Semantika arenedes, mis määratleb oma põhimõisted hulgateooria kaudu, häguneb Ramsey tehtud eristus üha enam.

Paradoksid ja kaasaegne loogika

Millised järeldused loogika jaoks tulenevad paradokside olemasolust?

Esiteks räägib suure hulga paradokside olemasolu loogika kui teaduse tugevusest, mitte aga selle nõrkusest, nagu võib tunduda.

Pole juhus, et paradokside avastamine langes kokku kaasaegse loogika kõige intensiivsema arengu ja selle suurimate õnnestumiste perioodiga.

Esimesed paradoksid avastati juba enne loogika kui eriteaduse tekkimist. Keskajal avastati palju paradokse. Hiljem osutusid need aga unustusehõlma ja taasavastati juba meie sajandil.

Keskaegsed loogikud ei olnud teadlikud mõistetest "kogum" ja "kogumi element", mis võeti teadusesse alles 19. sajandi teisel poolel. Kuid paradokside hõngu lihviti keskajal sedavõrd, et juba sel varakult väljendati teatud muret iserakendatavate mõistete pärast. Lihtsaim näide selle kohta on paljudes tänapäeva paradoksides esinev "oma elemendiks olemise" mõiste.

Kuid sellised hirmud, nagu kõik hoiatused paradokside kohta üldiselt, ei olnud süstemaatilised ja kindlad kuni meie sajandini. Need ei toonud kaasa selgeid ettepanekuid harjumuspäraste mõtlemis- ja väljendusviiside uuesti läbivaatamiseks.

Ainult kaasaegne loogika on paradokside probleemi unustusest välja viinud, avastanud või uuesti avastanud enamiku spetsiifilistest loogilistest paradoksidest. Lisaks näitas ta, et loogika abil traditsiooniliselt uuritud mõtlemisviisid on paradokside kõrvaldamiseks täiesti ebapiisavad, ja osutas põhimõtteliselt uutele meetoditele nendega toimetulemiseks.

Paradoksid esitavad olulise küsimuse: kus tegelikult mõned tavalised mõistete moodustamise ja arutlemise meetodid meid alt veavad? Ju need tundusid täiesti loomulikud ja veenvad, kuni selgus, et need on paradoksaalsed.

Paradoksid õõnestavad usku, et harjumuspärased teoreetilise mõtlemise meetodid iseenesest ja ilma nende üle erilise kontrollita tagavad usaldusväärse edasimineku tõe poole.

Nõudes radikaalset muutust liiga kergeusklikus lähenemises teoretiseerimisele, on paradoksid loogika karm kriitika selle naiivsel, intuitiivsel kujul. Nad mängivad teguri rolli, mis kontrollib ja seab piiranguid deduktiivsete loogikasüsteemide konstrueerimisele. Ja seda nende rolli võib võrrelda eksperimendi rolliga, mis kontrollib hüpoteeside õigsust sellistes teadustes nagu füüsika ja keemia ning sunnib neid hüpoteese muutma.

Paradoks teoorias räägib selle aluseks olevate eelduste kokkusobimatusest. See toimib haiguse õigeaegselt avastatud sümptomina, ilma milleta oleks see võinud tähelepanuta jääda.

Loomulikult avaldub haigus mitmel viisil ja lõpuks on võimalik seda paljastada ilma selliste ägedate sümptomiteta nagu paradoksid. Näiteks analüüsitaks ja viimistletaks hulgateooria aluseid isegi siis, kui selles valdkonnas paradokse ei avastataks. Kuid poleks olnud seda teravust ja kiireloomulisust, millega selles avastatud paradoksid tõstatasid hulgateooria ülevaatamise probleemi.

Paradoksidele on pühendatud ulatuslik kirjandus, välja on pakutud suur hulk nende seletusi. Kuid ükski neist seletustest pole üldtunnustatud ning puudub täielik üksmeel paradokside päritolu ja nendest vabanemise osas.

"Viimase kuuekümne aasta jooksul on paradokside lahendamise eesmärgile pühendatud sadu raamatuid ja artikleid, kuid tulemused on tehtud jõupingutustega võrreldes hämmastavalt kehvad," kirjutab A. Frenkel. "Näib," lõpetab H. Curry oma paradokside analüüsi, "et vaja on täielikku loogikareformi ja matemaatiline loogika võib saada selle reformi läbiviimise peamiseks vahendiks."

Paradokside kõrvaldamine ja selgitamine

Tuleb märkida ühte olulist erinevust.

Paradokside kõrvaldamine ja nende lahendamine ei ole sama asi. Teatud teooriast paradoksi eemaldamine tähendab selle ümberstruktureerimist nii, et paradoksaalne väide osutub selles tõestamatuks. Iga paradoks tugineb suurele hulgale definitsioonidele, eeldustele ja argumentidele. Tema järeldus teoreetiliselt on teatud arutlusahel. Formaalselt öeldes võib selle mis tahes lüli kahtluse alla seada, selle kõrvale heita ja seeläbi ahela katkestada ja paradoksi kõrvaldada. Paljudes töödes seda tehakse ja sellega piirdutakse.

Kuid see pole veel paradoksi lahendus. Selle välistamiseks ei piisa vaid võimaluse leidmisest, väljapakutud lahendust tuleb veenvalt põhjendada. Kahtlus mõne paradoksini viiva sammu suhtes peab olema hästi põhjendatud.

Esiteks tuleb otsus loobuda mõnest paradoksaalse väite tuletamisel kasutatavast loogilisest vahendist, mis tuleb siduda meie üldiste kaalutlustega loogilise tõestuse olemuse ja muude loogiliste intuitsioonide kohta. Kui see nii ei ole, osutub paradoksi kõrvaldamine kindla ja stabiilse aluse puudumiseks ning taandub valdavalt tehniliseks ülesandeks.

Veelgi enam, mõne eelduse tagasilükkamine, isegi kui see tagab mõne konkreetse paradoksi kõrvaldamise, ei taga automaatselt kõigi paradokside kõrvaldamist. See viitab sellele, et paradokse ei tohiks ükshaaval "jahtida". Neist ühe väljajätmine peaks alati olema nii põhjendatud, et oleks kindel garantii, et sama sammuga kõrvaldatakse ka teised paradoksid.

Iga kord, kui avastatakse paradoks, kirjutab A. Tarsky: „peame allutama oma mõtteviisid põhjalikule revideerimisele, tagasi lükkama mõned eeldused, millesse uskusime, ja täiustama argumenteerimismeetodeid, mida kasutasime. Teeme seda mitte ainult selleks, et vabaneda antinoomiatest, vaid ka vältida uute tekkimist.

Ja lõpuks, liiga paljude või liiga tugevate eelduste läbimõtlematu ja hoolimatu tagasilükkamine võib lihtsalt viia selleni, et kuigi see ei sisalda paradokse, osutub see oluliselt nõrgemaks teooriaks, millel on ainult konkreetne huvi.

Milline võiks olla minimaalne ja kõige vähem radikaalne meetmete kogum teadaolevate paradokside vältimiseks?

Loogiline grammatika

Üks võimalus on tõeste ja valede lausete kõrval välja tuua ka mõttetud laused. Selle tee valis B. Russell. Paradoksaalsed arutluskäigud tunnistas ta mõttetuks, kuna need rikuvad loogilise grammatika nõudeid. Mitte iga lause, mis ei riku tavagrammatika reegleid, pole tähendusrikas – see peab vastama ka erilise, loogilise grammatika reeglitele.

Russell ehitas loogiliste tüüpide teooria, omamoodi loogilise grammatika, mille ülesandeks oli kõrvaldada kõik teadaolevad antinoomiad. Seejärel lihtsustati seda teooriat oluliselt ja hakati nimetama lihtsaks tüüpide teooriaks.

Tüüpide teooria põhiidee on loogiliselt erinevat tüüpi objektide jaotamine, vaadeldavate objektide omamoodi hierarhia ehk redeli juurutamine. Madalaim ehk nulltüüp sisaldab üksikuid objekte, mis ei ole komplektid. Esimene tüüp sisaldab nulltüüpi objektide komplekte, s.o. üksikisikud; teisele - indiviidide komplektide komplektid jne. Ehk siis eristatakse objekte, objektide omadusi, objektide omaduste omadusi jne. Samas kehtestatakse teatud piirangud ettepanekute ülesehitusele. Omadusi saab omistada objektidele, omaduste omadusi omadustele jne. Kuid on võimatu mõtestatult väita, et objektidel on omaduste omadused.

Võtame rea soovitusi:

See maja on punane.

Punane on värv.

Värv on optiline nähtus.

Nendes lausetes tähistab väljend "see maja" teatud objekti, sõna "punane" tähistab sellele objektile omast omadust, "olla värv" - selle omaduse omadusele ("olla punane") ja " olema optiline nähtus" – näitab omaduse "olla värv" omadust, mis kuulub "olla punane" omadusse. Siin ei käsitle me mitte ainult esemeid ja nende omadusi, vaid ka omaduste omadusi (“punaseks olemise omadusel on omadus olla värv”) ja isegi omaduste omaduste omadustega.

Kõik kolm lauset ülaltoodud seeriast on loomulikult tähendusrikkad. Need on ehitatud vastavalt tüübiteooria nõuetele. Ja ütleme, et lause "See maja on värv" rikub neid nõudeid. See omistab objektile omaduse, mis võib kuuluda ainult omadustele, kuid mitte objektidele. Sarnane rikkumine sisaldub lauses "See maja on optiline nähtus." Mõlemad ettepanekud tuleb liigitada mõttetuks.

Lihtne tüüpide teooria kõrvaldab Russelli paradoksi. Valetaja ja Marja paradokside kõrvaldamiseks aga pelgalt vaadeldavate objektide tüüpideks jagamisest enam ei piisa. Tüüpide endi sees on vaja sisse viia mõningane lisajärjestus.

Paradokside kõrvaldamist on võimalik saavutada ka liiga suurte kogumite kasutamise vältimisega, sarnaselt kõigi komplektide hulgaga. Selle tee pakkus välja saksa matemaatik E. Zermelo, kes sidus paradokside ilmnemise hulga piiramatu konstrueerimisega. Lubatavad hulgad määratles ta mingi aksioomide loeteluga, mis oli sõnastatud nii, et neist ei tuleneks välja teadaolevaid paradokse. Samas olid need aksioomid piisavalt tugevad, et tuletada neist välja klassikalise matemaatika tavapärased argumendid, kuid ilma paradoksideta.

Ei need kaks ega teised välja pakutud paradokside kõrvaldamise viisid ei ole üldiselt aktsepteeritud. Ei ole levinud arvamust, et ükski pakutud teooriatest lahendab loogilised paradoksid, mitte ei heida neid lihtsalt kõrvale ilma põhjaliku selgituseta. Paradokside selgitamise probleem on endiselt lahtine ja endiselt oluline.

Paradokside tulevik

Möödunud sajandi suurim loogik G. Frege oli kahjuks väga halva iseloomuga. Lisaks suhtus ta oma kaasaegsete kriitikasse jäägitult ja isegi julmalt.

Võib-olla just seetõttu ei pälvinud tema panus matemaatika loogikasse ja alusesse pikka aega tunnustust. Ja kui kuulsus talle jõudma hakkas, kirjutas noor inglise loogik B. Russell talle, et tema raamatu "Aritmeetika põhiseadused" esimeses köites avaldatud süsteemis tekib vastuolu. Selle raamatu teine köide oli juba trükis ja Frege suutis sellele lisada vaid spetsiaalse lisa, kus ta visandas selle vastuolu (hiljem nimetati seda "Russelli paradoksiks") ja tunnistas, et ei suuda seda kõrvaldada.

Selle äratundmise tagajärjed olid Frege jaoks aga traagilised. Ta koges suurimat šokki. Ja kuigi ta oli siis vaid 55-aastane, ei avaldanud ta teist märkimisväärset loogikat käsitlevat teost, kuigi elas rohkem kui kakskümmend aastat. Ta ei reageerinud isegi Russelli paradoksi tekitatud elavale diskussioonile ega reageerinud kuidagi selle paradoksi paljudele pakutud lahendustele.

Seda muljet, mille matemaatikutele ja loogikutele äsja avastatud paradoksid jätsid, väljendas hästi D. Hilbert: „... Seisund, milles me praegu paradokside suhtes oleme, on pikka aega väljakannatamatu. Mõelge sellele: matemaatikas - selles kindluse ja tõe mudelis - viib mõistete kujunemine ja järelduste käik, nagu igaüks neid uurib, õpetab ja rakendab, absurdini. Kust otsida usaldusväärsust ja tõde, kui isegi matemaatiline mõtlemine ise eksib?

Frege oli üheksateistkümnenda sajandi lõpu loogika tüüpiline esindaja, vaba igasugustest paradoksidest, loogikast, kindel oma võimetes ja pretendeerides sellele, et ta on isegi matemaatika ranguse kriteerium. Paradoksid näitasid, et oletatava loogikaga saavutatud absoluutne rangus ei olnud midagi muud kui illusioon. Need näitasid vaieldamatult, et loogika – sellisel intuitiivsel kujul, nagu see oli sajandivahetusel – vajab põhjalikku läbivaatamist.

Paradokside üle elavnemise algusest on möödas umbes sajand. Loogika läbivaatamine ei viinud aga nende ühemõttelise lahenduseni.

Ja samas vaevalt, et selline seisund tänapäeval kellelegi muret teeb. Aja jooksul on suhtumine paradoksidesse muutunud rahulikumaks ja isegi tolerantsemaks kui nende avastamise ajal. Asi pole ainult selles, et paradoksidest on saanud midagi tuttavat. Ja muidugi mitte, et nad neid välja kannataksid. Loogikute tähelepanu keskpunktis püsivad nad endiselt, nende lahenduste otsimine jätkub aktiivselt. Olukord muutus eelkõige seetõttu, et paradoksid osutusid nii-öelda lokaliseerituks. Nad on leidnud oma kindla, ehkki probleemse koha paljudes loogikauuringutes. Sai selgeks, et absoluutne kasinus, nagu seda kujutati eelmise sajandi lõpus ja mõnikord isegi selle sajandi alguses, on põhimõtteliselt kättesaamatu ideaal.

Samuti saadi aru, et paradokside probleemi pole üksi. Nendega seotud probleemid on erinevat tüüpi ja mõjutavad tegelikult kõiki loogika põhilõike. Paradoksi avastamine sunnib meid oma loogilisi intuitsioone sügavamalt analüüsima ja tegelema loogikateaduse aluste süstemaatilise ümbertöötamisega. Samas pole soov paradokse vältida ainuke ega isegi ehk põhiülesanne. Kuigi need on olulised, annavad need vaid võimaluse mõtiskleda loogika kesksete teemade üle. Jätkates paradokside võrdlemist eriti väljendunud haigussümptomitega, võib öelda, et soov paradokse koheselt kõrvaldada oleks nagu soov sellised sümptomid eemaldada, ilma et peaks haiguse enda pärast eriti muretsema. Vaja pole mitte ainult paradokside lahendamist, vaid nende selgitamist, mis süvendab meie arusaamist mõtlemise loogilistest mustritest.

7. Mõned paradoksid või nende moodi väljanägemine

Ja selle lühikese loogiliste paradokside arutelu lõpetuseks toon siinkohal mõned probleemid, mille üle lugejal on kasulik mõtiskleda. Tuleb otsustada, kas esitatud väited ja põhjendused on tõesti loogilised paradoksid või ainult näivad olevat. Selleks tuleks ilmselgelt algmaterjal kuidagi ümber struktureerida ja püüda sellest tuletada vastuolu: nii sama asja jaatamist kui ka eitamist. Kui paradoks leitakse, võite mõelda, mis selle esinemise põhjustab ja kuidas seda kõrvaldada. Võite isegi proovida välja mõelda oma sama tüüpi paradoksi, st. ehitatud sama skeemi järgi, kuid teiste kontseptsioonide alusel.

1. See, kes ütleb: "Ma ei tea midagi", teeb näiliselt paradoksaalse, iseendale vasturääkiva väite. Ta väidab sisuliselt: "Ma tean, et ma ei tea midagi." Kuid teadmine, et teadmisi pole, on ikkagi teadmine. See tähendab, et kõneleja ühelt poolt kinnitab, et tal pole teadmisi, ja teisest küljest ütleb ta juba selle väitega, et tal on teatud teadmisi. Mis siin lahti on?

Seda raskust mõeldes võib meenutada, et Sokrates väljendas sarnast mõtet hoolikamalt. Ta ütles: "Ma tean ainult seda, et ma ei tea midagi." Teisest küljest kinnitas teine vanakreeklane Metrodoros täieliku veendumusega: "Ma ei tea midagi ja ma isegi ei tea, et ma ei tea midagi." Kas selles väites on paradoks?

2. Ajaloosündmused on ainulaadsed. Ajalugu, kui see kordub, on tuntud väljendi kohaselt esimest korda nagu tragöödia ja teisel korral nagu farss. Ajaloosündmuste ainulaadsusest tuleneb mõnikord mõte, et ajalugu ei õpeta midagi. "Võib-olla ajaloo suurim õppetund," kirjutab O. Huxley, "tõesti seisneb selles, et keegi pole kunagi ajaloost midagi õppinud."

On ebatõenäoline, et see idee on õige. Minevik on just see, mida uuritakse peamiselt oleviku ja tuleviku paremaks mõistmiseks. Teine asi on see, et mineviku "õppetunnid" on reeglina mitmetähenduslikud.

Kas usk, et ajalugu ei õpeta midagi, pole enesele vastuoluline? Lõppude lõpuks tuleneb see ise ajaloost kui ühest selle õppetunnist. Kas poleks selle idee pooldajatel parem sõnastada see nii, et see ei kehtiks nende endi kohta: "Ajalugu õpetab ainsat asja - sellest ei saa midagi õppida" või "Ajalugu ei õpeta midagi peale selle õppetunni" tema omast"?

3. "Tõestas, et tõendeid pole." See näib olevat sisemiselt vastuoluline väide: see on tõestus või see eeldab juba tehtud tõestust ("on tõestatud, et...") ja samal ajal kinnitab, et tõendit pole.

Tuntud iidne skeptik Sextus Empiricus pakkus välja järgmise lahenduse: nõustuge ülaltoodud väite asemel väitega "On tõestatud, et peale selle pole muid tõendeid" (või: "On tõestatud, et pole tõestatud midagi muud kui see”). Kuid kas see väljapääs pole illusoorne? Väidetakse ju sisuliselt, et on ainult üks ja ainus tõend – mis tahes tõendi puudumise tõend ("On üks ja ainus tõend: tõend, et muid tõendeid pole olemas"). Mis on siis tõestuse enda toimimine, kui selle väite põhjal otsustades oli seda võimalik läbi viia ainult üks kord? Igatahes ei olnud Sextuse enda arvamus tõendite väärtusest kuigi kõrge. Ta kirjutas eelkõige: "Nii nagu neil, kes teevad ilma tõenditeta, on õigus, on õigus neil, kes kalduvad kahtlema ja esitavad alusetult vastupidise arvamuse."

4. "Ükski väide ei ole negatiivne" või lihtsamalt öeldes: "Ei ole negatiivseid väiteid." See väljend ise on aga väide ja on täpselt negatiivne. See tundub paradoksina. Milline selle väite ümbersõnastamine võiks paradoksi vältida?

Keskaegne filosoof ja loogik Zh. Eesel, nagu iga teinegi loom, püüab valida kahest asjast parima. Need kaks kätt on üksteisest täiesti eristamatud ja seetõttu ei saa ta neist kumbagi eelistada. Seda "buridani eeslit" aga Buridani enda kirjutistes pole. Loogikas on Buridan hästi tuntud ja eriti tema sofismide raamatu poolest. See sisaldab järgmist meie teemaga seotud järeldust: ükski väide ei ole negatiivne; seetõttu on negatiivne ettepanek. Kas see järeldus on õigustatud?

5. N.V.Gogoli kirjeldus Tšitšikovi kabemängust Nozdreviga on hästi teada. Nende mäng ei lõppenudki, Tšitšikov märkas, et Nozdrjov petab ja keeldus kaotuse kartuses mängimast. Hiljuti rekonstrueeris kabespetsialist selle mängu kulgu mänginute märkuste põhjal ja näitas, et Tšitšikovi seis pole veel lootusetu.

Oletame, et Tšitšikov jätkas sellegipoolest mängu ja võitis lõpuks mängu vaatamata oma partneri trikkidele. Kokkuleppe järgi pidi kaotaja Nozdrjov kinkima Tšitšikovile viiskümmend rubla ja "mingi keskklassi kutsika või kella kuldmärgi". Kuid Nozdrjov keelduks suure tõenäosusega maksmast, viidates sellele, et ta ise pettis kogu mängu ja reeglite järgi mängimine pole justkui mäng. Tšitšikov võis vastu vaielda, et pettusest rääkimine on siin kohatu: kaotaja ise pettis, mis tähendab, et ta peab maksma seda rohkem.

Tõepoolest, kas Nozdrjov peaks sellises olukorras maksma või mitte? Ühest küljest jah, sest ta kaotas. Aga teisest küljest ei, kuna mäng, mis ei ole reeglite järgi, pole üldse mäng; Sellises “mängus” ei saa olla võitjat ega kaotajat. Kui Tšitšikov ise oleks petnud, poleks Nozdrjovil loomulikult olnud kohustust maksta. Kuid siiski oli kaotaja Nozdrjov see, kes pettis ...

Siin on tunda midagi paradoksaalset: "ühest küljest ...", "teiselt ..." ja pealegi on see mõlemalt poolt võrdselt veenev, kuigi need pooled ei ühildu.

Kas Nozdrjov peaks ikkagi maksma või mitte?

6. "Igal reeglil on erandid." Kuid see väide on iseenesest reegel. Nagu kõigil teistel reeglitel, peavad sellel olema erandid. Selliseks erandiks oleks ilmselgelt reegel "On reegleid, millel pole erandeid." Kas kõiges pole paradoks? Milline eelmistest näidetest meenutab neid kahte reeglit? Kas on lubatud arutleda nii: igal reeglil on erandid; Kas see tähendab, et reeglid on ilma eranditeta?

7. "Iga üldistus on vale." On selge, et see väide võtab kokku üldistuse vaimse operatsiooni kogemuse ja on ise üldistus. Nagu kõik muud üldistused, peab see olema vale. Seega peavad olema tõesed üldistused. Kas on aga õige vaielda nii: iga üldistus on vale, järelikult on ka tõeseid üldistusi?

8. Teatud kirjanik on koostanud "Epitaafi kõigile žanritele", mille eesmärk on tõestada, et kirjandusžanrid, mille eristamine tekitas nii palju poleemikat, on surnud ja neid ei mäletata.

Kuid vahepeal on epitaaf ka teatud viisil žanr, hauakivide raidkirjade žanr, mis kujunes välja juba iidsetel aegadel ja sisenes kirjandusse omamoodi epigrammina:

Siin ma puhkan: Jimmy Hogg.
Andku Jumal mulle mu patud andeks,
Mida ma teeksin, kui oleksin jumal
Ja ta on kadunud Jimmy Hogg.

Nii et epitaaf eranditult kõigile žanritele patustab justkui ebakõlaga. Milline on parim viis selle ümbersõnastamiseks?

9. "Ära iial ütle iial." Sõna "mitte kunagi" kasutamise keelamisel tuleb seda sõna kasutada kaks korda!

Sama näib olevat ka nõuandega: "Nendel, kes ütlevad "on aeg", on aeg öelda midagi muud kui "on aeg".

Kas sellistes nõuannetes on omapärane ebakõla ja kas seda saab vältida?

10. Muidugi rubriigis "Irooniline luule" avaldatud luuletuses "Ära usu" soovitab selle autor mitte millessegi uskuda:

... Ärge uskuge tule maagilisse jõudu:
See põleb, kui sinna asetatakse küttepuid.
Ärge uskuge kuldsõjaga hobust
Mitte ühegi magusa piparkoogi jaoks!
Ärge uskuge, et tähekarjad
Tormab lõputus keerises.
Aga mis sul siis üle jääb?
Ära usu, mida ma ütlesin.
Ei usu.
(V. Prudovski)

Kuid kas see üldine umbusk on tõeline? Ilmselt on see vastuoluline ja seetõttu loogiliselt võimatu.

11. Oletame, et vastupidiselt levinud arvamusele leidub endiselt ebahuvitavaid inimesi. Kogume need mõtteliselt kokku ja valime nende hulgast kas pikkuselt väikseima või kaalult suurima või mõne muu "kõige ...". Seda inimest oleks huvitav vaadata, nii et lisasime ta asjatult ebahuvitavate inimeste nimekirja. Olles selle välja jätnud, leiame ülejäänute hulgast jälle “väga…” samas tähenduses jne. Ja seda kõike seni, kuni järele jääb vaid üks inimene, kellega pole kellegagi võrrelda. Aga tuleb välja, et just see teda huvitabki! Selle tulemusena jõuame järeldusele, et ebahuvitavaid inimesi pole olemas. Ja vaidlus sai alguse sellest, et sellised inimesed on olemas.

Eelkõige võib püüda ebahuvitavate inimeste seast leida kõige ebahuvitavamatest kõige ebahuvitavama. Selles on ta kahtlemata huvitav ja ta tuleb ebahuvitavate inimeste hulgast välja jätta. Ülejäänute hulgas on jällegi kõige vähem huvitavat jne.

Nendes argumentides on kindlasti paradoksaalne hõng. Kas siin on viga ja kui jah, siis mis see on?

12. Oletame, et teile anti tühi paberileht ja kästi sellel seda lehte kirjeldada. Kirjutate: see on ristkülikukujuline leht, valge, selliste ja selliste mõõtmetega, valmistatud pressitud puidukiududest jne.

Kirjeldus näib olevat täielik. Kuid see on selgelt puudulik! Kirjeldamise käigus objekt muutus: sellele ilmus tekst. Seetõttu on vaja ka kirjeldusele lisada: ja pealegi on sellele paberilehele kirjutatud: see on ristkülikukujuline leht, valge ... jne. lõpmatuseni.

See näib olevat paradoksaalne, kas pole?

Tuntud lasteriim:

Preestril oli koer
Ta armastas teda
Ta sõi tüki liha
Ta tappis ta.
Tapetud ja maetud
Ja tahvlile kirjutas ta:
"Preestril oli koer..."

Kas see koera armastav pop saaks kunagi oma hauakivi valmis saada? Kas selle pealdise koostis ei sarnane paberilehe täielikule kirjeldusele?

13. Üks autor annab selle "peen" nõuande: "Kui väikesed nipid ei võimalda teil saavutada seda, mida soovite, kasutage suuri trikke." Seda nõuannet pakutakse rubriigis "Ameti nipid". Aga kas ta on tõesti üks neist trikkidest? Lõppude lõpuks ei aita "väikesed nipid" ja just sel põhjusel peate seda nõu kasutama.

14. Me nimetame mängu normaalseks, kui see lõpeb piiratud arvu käikudega. Tavalised mängud on näiteks male, kabe, doomino: need mängud lõpevad alati kas ühe osapoole võiduga või viigiga. Mäng, mis pole normaalne, jätkub lõputult ilma ühegi tulemuseta. Tutvustame ka supermängu mõistet: sellise mängu esimene käik on määrata, millist mängu mängida. Kui näiteks kavatseme sina ja mina mängida supermängu ja minu käes on esimene käik, võin öelda: "Mängime malet." Seejärel teete vastuseks malepartii esimese käigu, näiteks e2 - e4, ja jätkame mängu kuni selle lõpuni (eriti turniiri reeglitega määratud aja möödumise tõttu). Esimese käiguna võin soovitada tic-tac-toe jms mängimist. Aga mäng, mille valin, peab olema tavaline; te ei saa valida mängu, mis pole normaalne.

Tekib probleem: kas supermäng ise on normaalne või mitte? Oletame, et see on tavaline mäng. Kuna see võib esimeseks käiguks valida mis tahes tavalise mängu, võin öelda: "Mängime supermängu." Pärast seda on supermäng alanud ja järgmine käik selles on sinu. Teil on õigus öelda: "Mängime supermängu." Võin korrata: "Mängime supermängu" ja seega võib protsess jätkuda lõputult. Seetõttu supermäng tavamängudele ei kehti. Kuid kuna supermäng ei ole normaalne, ei saa ma supermängu oma esimese käiguga supermängus soovitada; Pean valima tavalise mängu. Kuid tavalise mängu valik, millel on lõpp, on vastuolus tõestatud tõsiasjaga, et supermäng ei kuulu tavaliste hulka.

Niisiis, kas supermäng on tavaline mäng või mitte?

Püüdes sellele küsimusele vastata, ei tohiks loomulikult minna puhtalt verbaalsete eristuste lihtsat teed. Lihtsaim viis on öelda, et tavaline mäng on mäng ja supermäng on lihtsalt jant.

Milliseid paradokse veel meenutab see paradoks, kus supermäng on korraga nii normaalne kui ka ebanormaalne?

Kirjandus

Bayif J.K. Loogikaülesanded. - M., 1983.

Bourbaki N. Esseesid matemaatika ajaloost. - M., 1963.

Gardner M. Arva ära! – M.: 1984.

Ivin A.A. Loogikaseaduste järgi. - M., 1983.

Klini S.K. Matemaatiline loogika. - M., 1973.

Smallian R.M. Mis on selle raamatu nimi? – M.: 1982.

Smallian R.M. Printsess või tiiger? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Hulgateooria alused. - M., 1966.

testi küsimused

Mis tähtsus on paradoksidel loogika jaoks?

Milliseid lahendusi valetaja paradoksile pakuti?

Millised on semantiliselt suletud keele tunnused?

Mis on paljude tavaliste hulkade paradoksi olemus?

Kas Protagorase ja Euathlose vaidlusele on lahendus? Milliseid lahendusi sellele vaidlusele pakuti?

Mis on ebatäpsete nimede paradoksi olemus?

Mis võiks olla loogiliste paradokside eripära?

Millised järeldused loogika jaoks tulenevad loogiliste paradokside olemasolust?

Mis vahe on paradoksi kõrvaldamisel ja seletamisel? Milline on loogiliste paradokside tulevik?

Referaatide ja aruannete teemad

Loogilise paradoksi mõiste

Valetaja paradoks

Russelli paradoks

Paradoks "Protagoras ja Euathlus"

Paradokside roll loogika arengus

Paradokside lahendamise väljavaated

Keele ja metakeele eristamine

Paradokside kõrvaldamine ja lahendamine

Vormid, milles probleemsituatsioon avaldub ja realiseerub, on väga mitmekesised. Kaugeltki mitte alati, see ilmutab end otsese küsimusena, mis tekkis kohe uurimuse alguses. Probleemide maailm on sama keeruline kui neid genereeriv tunnetusprotsess. Probleemide tuvastamine on loova mõtlemise tuum. Paradoksid on kõige huvitavam juhtum kaudsetest, küsimusteta probleemide püstitamise viisidest. Paradoksid on levinud teaduslike teooriate kujunemise algfaasis, mil astutakse esimesi samme veel uurimata alal ja käperdatakse selle kõige üldisemaid käsitlusprintsiipe.

Laias mõttes paradoks - see seisukoht on teravas vastuolus üldtunnustatud, väljakujunenud õigeusklike arvamustega. “Üldtunnustatud arvamused ja see, mida peetakse pikaajaliseks otsuseks, väärivad enamasti uurimist” (G. Lichtenberg). Paradoks on sellise uurimistöö algus.

Paradoks kitsamas ja erilisemas mõttes - need on kaks vastandlikku, kokkusobimatut väidet, millest igaühe jaoks on näiliselt veenvad argumendid.

Paradoksi kõige äärmuslikum vorm on antinoomia, argument, mis tõestab kahe väite samaväärsust, millest üks on teise eitus.

Paradoksid on eriti kuulsad kõige rangemates ja täppisteadustes – matemaatikas ja loogikas. Ja see pole juhus.

Loogika on abstraktne ämblik. Selles pole eksperimente, isegi mitte fakte selle sõna tavapärases tähenduses. Süsteemide loomisel lähtub loogika lõppkokkuvõttes reaalse mõtlemise analüüsist. Selle analüüsi tulemuste kohaselt on sünteetilised, diferentseerimata. Need ei ole ühegi eraldiseisva protsessi või sündmuse väited, mida teooria peaks selgitama. Ilmselgelt ei saa sellist analüüsi nimetada vaatluseks: alati vaadeldakse konkreetset nähtust.

Aga kui pole loogikakatseid, fakte ega vaatlust ennast, siis mis hoiab loogilist fantaasiat tagasi? Milliseid tegureid, kui mitte fakte, võetakse uute loogikateooriate loomisel arvesse?

"Loogiliste paradokside kuningas"

Kõige kuulsam ja võib-olla ka kõige huvitavam kõigist loogilistest paradoksidest on valetaja paradoks. See oli tema, kes ülistas Miletosest pärit Eubulidese nime, kes selle avastas.

Sellel paradoksil ehk antinoomial on variante, millest paljud on paradoksaalsed vaid välimuselt.

"Valetaja" lihtsaimas versioonis ütleb inimene ainult ühe fraasi: "Ma valetan." Või ütleb ta: "See väide, mille ma praegu esitan, on vale." Või: "See väide on vale."

Keskajal oli levinud järgmine sõnastus:

- See, mida Platon ütles, on vale, ütleb Sokrates.
"See, mida Sokrates ütles, on tõde," ütleb Platon. Tekib küsimus, milline neist väljendab tõde ja milline on vale?

Ja siin on selle paradoksi kaasaegne paradoks. Oletame, et kaardi esiküljele on kirjutatud ainult sõnad: "Selle kaardi teisele küljele on kirjutatud tõene väide." On selge, et need sõnad esindavad tähendusrikast väidet. Kaarti ümber pöörates peame leidma lubatud väljavõtte või seda pole seal. Kui see on tagaküljel kirjas, siis see kas vastab tõele või mitte. Tagaküljel on aga sõnad: "Selle kaardi teisele küljele on kirjutatud vale väide" – ja ei midagi enamat. Oletame, et esiküljel olev väide on tõene. Siis peab tagaküljel olev väide olema tõene ja seega ka esikülje väide vale. Aga kui esiküljel olev väide on vale, siis peab ka tagapool olev väide olema vale ja seetõttu peab esikülje väide olema tõene. Tulemuseks on paradoks.

Valetaja paradoks jättis kreeklastele tohutu mulje. Ja seda on lihtne mõista, miks. Küsimus, mille see esmapilgul esitab, tundub üsna lihtne: kas ta on valetaja, kes ütleb ainult, et ta valetab? Kuid vastus "jah" viib vastuseni "ei" ja vastupidi. Ja järelemõtlemine ei tee olukorda sugugi selgeks. Küsimuse lihtsuse ja isegi rutiini taga ilmneb mõni ebaselge ja mõõtmatu sügavus.

Keskajal hakati seda paradoksi nimetama nn otsustamatuteks lauseteks ja sellest sai süstemaatilise analüüsi objekt.

Ja pikka aega ei äratanud "Valetaja" pikka aega tähelepanu. Nad ei näinud keelekasutuses mingeid, isegi väiksemaid raskusi. Ja alles meie, n-ö uusajal, on loogika areng lõpuks jõudnud tasemele, mil selle paradoksi taga näivad probleemid sai võimalikuks sõnastada juba rangelt.

Nüüd nimetatakse "Valetajat" - seda tüüpilist kunagist sofismi - sageli loogiliste paradokside kuningaks. Talle on pühendatud ulatuslik teaduskirjandus. Ja sellegipoolest, nagu paljude teiste paradokside puhul, pole päris selge, millised probleemid peituvad selle taga ja kuidas sellest lahti saada.

Formaalse loogika paradoksid ja loogikavead. Meelelahutuslikud loogilised paradoksid Paradoksid loogikas

1. Aporia "Achilleus ja kilpkonn"

2. Ajaahela paradoks

3. Tüdruku ja poisi paradoks

4. Jourdaini kaardiparadoks

5. Sofism "krokodill"

6. Aporia "Dihhotoomia"

7. Aporia "Lendav nool"

8. Galilei paradoks

9. Kartulikoti paradoks

10 Raveni paradoks

1. Aporia "Achilleus ja kilpkonn"

2. Ajaahela paradoks

3. Tüdruku ja poisi paradoks

4. Jourdaini kaardiparadoks

5. Sofism "krokodill"

6. Aporia "Dihhotoomia"

7. Aporia "Lendav nool"

8. Galilei paradoks

9. Kartulikoti paradoks

10 Raveni paradoks

"Loogiliste paradokside kuningas"

Teatage kirjaveast

Tekst, mis saadetakse meie toimetusele:

Teie kommentaar (valikuline):