Tangenta ugla nagiba prave linije prema osi. Derivat funkcije. Geometrijsko značenje izvedenice

U matematici, jedan od parametara koji opisuje položaj prave linije na Dekartovoj koordinatnoj ravni je nagib ovu pravu liniju. Ovaj parametar karakterizira nagib prave linije prema x-osi. Da biste razumjeli kako pronaći nagib, prvo se prisjetite opšteg oblika jednadžbe prave linije u XY koordinatnom sistemu.

Općenito, bilo koja linija se može predstaviti izrazom ax+by=c, gdje su a, b i c proizvoljni realni brojevi, ali nužno a 2 + b 2 ≠ 0.

Uz pomoć jednostavnih transformacija, ovakva jednadžba se može dovesti do oblika y=kx+d, u kojem su k i d realni brojevi. Broj k je nagib, a jednačina ove prave se zove jednačina sa nagibom. Ispostavilo se da da biste pronašli nagib, samo trebate dovesti originalnu jednadžbu u gornji oblik. Za bolje razumijevanje, razmotrite konkretan primjer:

Zadatak: Pronađite nagib prave date jednadžbom 36x - 18y = 108

Rješenje: Transformirajmo originalnu jednačinu.

Odgovor: Željeni nagib ove linije je 2.

Ako smo tokom transformacije jednadžbe dobili izraz tipa x = const i kao rezultat toga ne možemo predstaviti y kao funkciju od x, onda imamo posla s ravnom linijom koja je paralelna osi X. Nagib od takva prava je jednaka beskonačnosti.

Za linije koje su izražene jednačinom kao što je y = const, nagib je nula. Ovo je tipično za prave linije paralelne sa x-osom. Na primjer:

Zadatak: Pronađite nagib prave date jednadžbom 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rješenje: Originalnu jednačinu dovodimo u opći oblik

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Nemoguće je izraziti y iz rezultirajućeg izraza, stoga je nagib ove prave linije jednak beskonačnosti, a sama prava linija će biti paralelna s Y osom.

geometrijskom smislu

Za bolje razumijevanje, pogledajmo sliku:

Na slici vidimo graf funkcije tipa y = kx. Da pojednostavimo, uzimamo koeficijent c = 0. U trouglu OAB, odnos stranice BA prema AO će biti jednak nagibu k. Istovremeno, odnos VA / AO je tangenta oštar ugaoα in pravougaonog trougla OAV. Ispada da je nagib prave jednak tangentu ugla koji ta prava čini sa x-osom koordinatne mreže.

Rješavajući problem kako pronaći nagib prave linije, nalazimo tangentu ugla između nje i x-ose koordinatne mreže. Granični slučajevi, kada je prava koja se razmatra paralelna sa koordinatnim osa, potvrđuju gore navedeno. Zaista, za pravu liniju opisanu jednadžbom y=const, ugao između nje i ose apscise nula. Tangens nultog ugla je takođe nula i nagib je takođe nula.

Za prave linije okomite na x-osu i opisane jednačinom x=const, ugao između njih i x-ose je 90 stepeni. Tangenta pravi ugao jednak je beskonačnosti, a nagib sličnih pravih je jednak beskonačnosti, što potvrđuje gore napisano.

Tangent Slope

Uobičajen zadatak koji se često sreće u praksi je i pronalaženje nagiba tangente na graf funkcije u nekoj tački. Tangenta je prava linija, stoga je koncept nagiba također primjenjiv na nju.

Da bismo shvatili kako pronaći nagib tangente, morat ćemo se prisjetiti koncepta derivacije. Derivat bilo koje funkcije u nekoj tački je konstanta brojčano jednaka tangentu ugla koji se formira između tangente u navedenoj tački na graf ove funkcije i ose apscise. Ispada da da bismo odredili nagib tangente u tački x 0, moramo izračunati vrijednost derivacije originalne funkcije u ovoj tački k \u003d f "(x 0). Razmotrimo primjer:

Zadatak: Naći nagib prave tangente na funkciju y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.

Rješenje: Pronađite izvod originalne funkcije u općem obliku

y "(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Odgovor: Željeni nagib u tački x = 0,1 je 4,831

Nastavak teme jednačine prave na ravni zasniva se na proučavanju prave linije iz časova algebre. Ovaj članak daje generalizirane informacije na temu jednačine prave linije s nagibom. Razmotrite definicije, dobijete samu jednačinu, otkrijte vezu sa drugim vrstama jednačina. O svemu će se raspravljati na primjerima rješavanja problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije pisanja takve jednačine potrebno je definirati ugao nagiba prave linije prema Ox osi sa njihovim nagibom. Pretpostavimo da je na ravni dat Dekartov koordinatni sistem O x.

Definicija 1

Ugao nagiba prave linije prema osi O x, koji se nalazi u Dekartovom koordinatnom sistemu O x y na ravni, ovo je ugao koji se meri od pozitivnog smera O x do prave linije u smeru suprotnom od kazaljke na satu.

Kada je prava paralelna sa Ox ili se u njoj dogodi koincidencija, ugao nagiba je 0. Tada je ugao nagiba date prave α definisan na intervalu [ 0 , π) .

Definicija 2

Nagib prave linije je tangenta nagiba date prave.

Standardna notacija je k. Iz definicije dobijamo da je k = t g α . Kada je prava paralelna sa Ox, kaže se da nagib ne postoji jer ide u beskonačnost.

Nagib je pozitivan kada se graf funkcije povećava i obrnuto. Na slici su prikazane različite varijacije položaja pravog ugla u odnosu na koordinatni sistem sa vrednošću koeficijenta.

Za pronalaženje ovog ugla potrebno je primijeniti definiciju koeficijenta nagiba i izračunati tangens ugla nagiba u ravnini.

Odluka

Iz uslova imamo da je α = 120°. Po definiciji, morate izračunati nagib. Nađimo ga iz formule k = t g α = 120 = - 3 .

odgovor: k = - 3 .

Ako je ugaoni koeficijent poznat, ali je potrebno pronaći ugao nagiba prema x-osi, tada treba uzeti u obzir vrijednost kutnog koeficijenta. Ako je k > 0, tada je pravi ugao oštar i nalazi se po formuli α = a r c t g k . Ako je k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Primjer 2

Odrediti ugao nagiba date prave na O x sa nagibom jednakim 3.

Odluka

Iz uslova imamo da je nagib pozitivan, što znači da je ugao nagiba prema O x manji od 90 stepeni. Proračuni se vrše prema formuli α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Odgovor: α = a r c t g 3 .

Primjer 3

Odrediti ugao nagiba prave linije prema O x osi, ako je nagib = - 1 3 .

Odluka

Ako uzmemo slovo k kao oznaku nagiba, onda je α ugao nagiba na datu pravu liniju u pozitivnom smjeru O x. Dakle, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

odgovor: 5 pi 6 .

Jednadžba oblika y \u003d k x + b, gdje je k nagib, a b neki realni broj, naziva se jednadžba ravne linije s nagibom. Jednačina je tipična za svaku pravu liniju koja nije paralelna sa O y osom.

Ako detaljno razmotrimo ravnu liniju na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu, koja je data jednadžbom s nagibom koji izgleda kao y = k x + b. U ovom slučaju, to znači da koordinate bilo koje tačke na pravoj odgovaraju jednačini. Ako zamijenimo koordinate tačke M, M 1 (x 1, y 1), u jednadžbu y = k x + b, tada će u ovom slučaju prava proći kroz ovu tačku, inače tačka ne pripada linija.

Primjer 4

Zadana je prava linija s nagibom y = 1 3 x - 1 . Izračunajte da li tačke M 1 (3 , 0) i M 2 (2 , - 2) pripadaju datoj pravoj.

Odluka

Potrebno je zamijeniti koordinate tačke M 1 (3, 0) u datu jednačinu, tada se dobija 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Jednakost je tačna, pa tačka pripada pravoj.

Ako zamijenimo koordinate tačke M 2 (2, - 2), dobijamo netačnu jednakost oblika - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Možemo zaključiti da tačka M 2 ne pripada pravoj.

odgovor: M 1 pripada liniji, ali M 2 ne.

Poznato je da je prava linija definisana jednačinom y = k · x + b koja prolazi kroz M 1 (0 , b) , zamjena je dala jednakost oblika b = k · 0 + b ⇔ b = b . Iz ovoga možemo zaključiti da jednačina prave linije sa nagibom y = k · x + b na ravni definiše pravu liniju koja prolazi kroz tačku 0, b. Formira ugao α sa pozitivnim smerom ose O x, gde je k = t g α .

Razmotrimo, na primjer, ravnu liniju definiranu korištenjem nagiba date oblikom y = 3 · x - 1 . Dobijamo da će prava prolaziti kroz tačku sa koordinatom 0, - 1 sa nagibom od α = a r c t g 3 = π 3 radijana duž pozitivnog smjera ose O x. Iz ovoga se vidi da je koeficijent 3.

Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku

Potrebno je riješiti zadatak gdje je potrebno dobiti jednačinu prave linije sa datim nagibom koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) .

Jednakost y 1 = k · x + b može se smatrati validnom, jer prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1) . Za uklanjanje broja b potrebno je oduzeti jednačinu sa koeficijentom nagiba s lijeve i desne strane. Iz ovoga slijedi da je y - y 1 = k · (x - x 1) . Ova jednakost se naziva jednačina prave linije sa datim nagibom k, koja prolazi kroz koordinate tačke M 1 (x 1, y 1) .

Primjer 5

Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 1 sa koordinatama (4, - 1), sa nagibom jednakim - 2.

Odluka

Po uslovu imamo da je x 1 = 4, y 1 = - 1, k = 2. Odavde će se jednačina prave linije napisati na ovaj način y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

odgovor: y = - 2 x + 7 .

Primjer 6

Napišite jednadžbu ravne linije s nagibom koja prolazi kroz tačku M 1 s koordinatama (3, 5) paralelnim s pravom linijom y = 2 x - 2.

Odluka

Pod uslovom imamo da paralelne prave imaju podudarne uglove nagiba, pa su koeficijenti nagiba jednaki. Da pronađem nagib od zadata jednačina, potrebno je prisjetiti se njegove osnovne formule y = 2 x - 2, pa slijedi da je k = 2 . Sastavljamo jednačinu sa koeficijentom nagiba i dobijamo:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

odgovor: y = 2 x - 1 .

Prelazak sa jednadžbe prave linije sa nagibom na druge tipove jednačina prave linije i obrnuto

Takva jednadžba nije uvijek primjenjiva za rješavanje problema, jer ima ne baš zgodnu notaciju. Da biste to učinili, mora se predstaviti u drugom obliku. Na primjer, jednadžba oblika y = k · x + b ne dozvoljava vam da zapišete koordinate vektora smjera prave linije ili koordinate vektora normale. Da biste to učinili, morate naučiti kako predstaviti jednačine različite vrste.

Možemo dobiti kanonsku jednačinu prave linije u ravni koristeći jednadžbu ravne linije sa nagibom. Dobijamo x - x 1 a x = y - y 1 a y . Potrebno je pomjeriti pojam b na lijevu stranu i podijeliti s izrazom rezultirajuće nejednakosti. Tada dobijamo jednačinu oblika y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Jednačina prave linije sa nagibom postala je kanonska jednačina date prave linije.

Primjer 7

Dovedite jednačinu prave linije sa nagibom y = - 3 x + 12 u kanonski oblik.

Odluka

Računamo i predstavljamo u obliku kanonske jednadžbe prave linije. Dobijamo jednačinu oblika:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Odgovor: x 1 = y - 12 - 3.

Opću jednačinu prave je najlakše dobiti iz y = k x + b, ali to zahtijeva transformacije: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Prijelaz je napravljen od opšta jednačina direktno na jednačine druge vrste.

Primjer 8

Zadata je jednačina prave linije oblika y = 1 7 x - 2. Saznajte da li je vektor sa koordinatama a → = (- 1 , 7) normalan pravolinijski vektor?

Odluka

Da bismo to riješili, potrebno je prijeći na drugi oblik ove jednadžbe, za to pišemo:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficijenti ispred varijabli su koordinate vektora normale prave linije. Zapišimo to ovako n → = 1 7 , - 1 , dakle 1 7 x - y - 2 = 0 . Jasno je da je vektor a → = (- 1, 7) kolinearan vektoru n → = 1 7 , - 1 , pošto imamo fer odnos a → = - 7 · n → . Iz toga slijedi da je originalni vektor a → = - 1 , 7 normalni vektor prave 1 7 x - y - 2 = 0 , što znači da se smatra normalnim vektorom za pravu y = 1 7 x - 2 .

odgovor: Je

Hajde da riješimo problem obrnuto od ovog.

Treba se preseliti iz opšti pogled jednadžba A x + B y + C = 0 , gdje je B ≠ 0, na jednadžbu nagiba. Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu za y. Dobijamo A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultat je jednačina sa nagibom jednakim - A B .

Primjer 9

Zadata je jednačina prave linije oblika 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Dobiti jednadžbu date linije sa nagibom.

Odluka

Na osnovu uvjeta potrebno je riješiti za y, tada dobijamo jednačinu oblika:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Odgovor: y = 1 6 x + 1 4 .

Jednadžba oblika x a + y b \u003d 1 rješava se na sličan način, koja se naziva jednačina prave linije u segmentima, ili kanonski oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y . Potrebno ga je riješiti s obzirom na y, tek tada dobijamo jednačinu sa nagibom:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanonska jednadžba se može svesti na oblik sa nagibom. Za ovo:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + 1

Primjer 10

Postoji ravna linija data jednadžbom x 2 + y - 3 = 1 . Dovesti u oblik jednačine sa nagibom.

Odluka.

Na osnovu uslova potrebno je transformisati, tada dobijamo jednačinu oblika _formula_. Obje strane jednačine treba pomnožiti sa -3 da se dobije tražena jednačina nagiba. Transformirajući, dobijamo:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

odgovor: y = 3 2 x - 3 .

Primjer 11

Jednadžba prave linije oblika x - 2 2 \u003d y + 1 5 dovodi se u oblik s nagibom.

Odluka

Potrebno je izračunati izraz x - 2 2 = y + 1 5 kao proporciju. Dobijamo da je 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Sada ga morate u potpunosti omogućiti, za ovo:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Odgovor: y = 5 2 x - 6 .

Da biste riješili takve zadatke, parametarske jednadžbe prave linije oblika x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ treba svesti na kanonsku jednadžbu prave linije, tek nakon toga možete nastaviti na jednačina sa nagibom.

Primjer 12

Pronađite nagib prave ako je zadan parametarskim jednačinama x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Odluka

Morate prijeći sa parametarskog prikaza na nagib. Da bismo to uradili, nalazimo kanonsku jednačinu iz date parametarske:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Sada je potrebno riješiti ovu jednakost u odnosu na y da bi se dobila jednačina prave linije sa nagibom. Da bismo to učinili, pišemo na sljedeći način:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Iz toga slijedi da je nagib prave linije jednak 2. Ovo je zapisano kao k = 2.

odgovor: k = 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Koeficijent nagiba je ravan. U ovom članku ćemo razmotriti zadatke vezane za koordinatnu ravan uključene u ispit iz matematike. Ovo su zadaci za:

- određivanje nagiba prave, kada su poznate dvije tačke kroz koje ona prolazi;
- određivanje apscise ili ordinate tačke preseka dve prave na ravni.

Što je apscisa i ordinata tačke opisano je u ovom dijelu. U njemu smo već razmatrali nekoliko problema vezanih za koordinatnu ravan. Šta treba razumjeti za vrstu zadataka koji se razmatraju? Malo teorije.

Jednačina prave linije na koordinatnoj ravni ima oblik:

gdje k – ovo je nagib prave linije.

Sledeći trenutak! Nagib prave linije jednaka tangenti ugao nagiba prave linije. Ovo je ugao između date linije i oseoh.

Leži između 0 i 180 stepeni.

Odnosno, ako jednačinu prave linije svedemo na oblik y = kx + b, onda dalje uvijek možemo odrediti koeficijent k (koeficijent nagiba).

Također, ako možemo odrediti tangentu nagiba prave na osnovu uvjeta, onda ćemo na taj način pronaći njen nagib.

Sljedeći teoretski trenutak!Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.Formula izgleda ovako:

Razmotrite probleme (slično onima iz otvorena banka zadaci):

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (–6; 0) i (0; 6).

U ovom zadatku, najracionalniji način da se to riješi je da se pronađe tangenta ugla između x-ose i date prave linije. Poznato je da je jednak ugaonom koeficijentu. Razmotrimo pravokutni trokut formiran od prave linije i osa x i y:

Tangens ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i susjedne katete:

* Oba kraka su jednaka šest (ovo su njihove dužine).

svakako, ovaj zadatak može se riješiti korištenjem formule za pronalaženje jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke. Ali to će biti duži put rješenja.

Odgovor: 1

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (5;0) i (0;5).

Naše tačke imaju koordinate (5;0) i (0;5). znači,

Dovedemo formulu u formu y = kx + b

Dobili smo to ugaoni koeficijent k = – 1.

Odgovor: -1

Pravo a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;6) i (8;0). Pravo b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0;10) i paralelna je pravoj a b sa osovinom vol.

U ovom zadatku možete pronaći jednačinu prave linije a, odredite nagib za njega. Duž b nagib će biti isti jer su paralelni. Zatim možete pronaći jednadžbu prave linije b. A zatim, zamjenom vrijednosti y = 0 u nju, pronađite apscisu. ALI!

U ovom slučaju, lakše je koristiti svojstvo sličnosti trokuta.

Pravokutni trouglovi formirani datim (paralelnim) linijama koordinata su slični, što znači da su omjeri njihovih stranica jednaki.

Željena apscisa je 40/3.

Odgovor: 40/3

Pravo a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;8) i (–12;0). Pravo b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0; -12) i paralelna je pravoj a. Pronađite apscisu tačke preseka prave b sa osovinom vol.

Za ovaj problem, najracionalniji način za njegovo rješavanje je korištenje svojstva sličnosti trokuta. Ali mi ćemo to riješiti na drugačiji način.

Znamo tačke kroz koje prava prolazi a. Možemo napisati jednačinu prave linije. Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke je:

Po uslovu, tačke imaju koordinate (0;8) i (–12;0). znači,

Hajde da se setimo y = kx + b:

Imam taj ugao k = 2/3.

*Ugaoni koeficijent se može naći kroz tangentu ugla u pravokutnom trokutu sa kracima 8 i 12.

Znamo da paralelne prave imaju jednake nagibe. Dakle, jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku (0;-12) ima oblik:

Pronađite vrijednost b možemo zamijeniti apscisu i ordinatu u jednadžbu:

Dakle, linija izgleda ovako:

Sada, da biste pronašli željenu apscisu točke presjeka linije s x-osom, trebate zamijeniti y = 0:

Odgovor: 18

Pronađite ordinatu tačke preseka ose oy i prava koja prolazi kroz tačku B(10;12) i paralelna koja prolazi kroz ishodište i tačku A(10;24).

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;0) i (10;24).

Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke je:

Naše tačke imaju koordinate (0;0) i (10;24). znači,

Hajde da se setimo y = kx + b

Nagibi paralelnih pravih su jednaki. Dakle, jednačina prave koja prolazi kroz tačku B (10; 12) ima oblik:

Značenje b nalazimo zamjenom koordinata tačke B (10; 12) u ovu jednačinu:

Dobili smo jednačinu prave linije:

Da pronađemo ordinatu tačke preseka ove linije sa osom OU mora se zamijeniti u pronađenu jednačinu X= 0:

*Najlakše rješenje. Uz pomoć paralelnog prevođenja ovu liniju pomičemo prema dolje duž ose OU do tačke (10;12). Pomak se dešava za 12 jedinica, odnosno tačka A(10;24) je "prešla" do tačke B(10;12), a tačka O(0;0) "prešla" do tačke (0;–12). Tako će rezultirajuća linija presjeći osu OU u tački (0;–12).

Željena ordinata je -12.

Odgovor: -12

Naći ordinatu tačke preseka prave date jednačinom

3x + 2y = 6, sa osovinom Oy.

Koordinata tačke preseka date linije sa osom OU ima oblik (0; at). Zamijenite apscisu u jednačinu X= 0, i nađi ordinatu:

Ordinata tačke preseka prave sa osom OU jednako 3.

* Sistem je u toku:

Odgovor: 3

Naći ordinatu tačke preseka pravih datih jednačinama

3x + 2y = 6 i y = - x.

Kada su date dvije prave, a pitanje je pronalaženje koordinata tačke preseka ovih pravih, sistem ovih jednačina je rešen:

U prvoj jednačini zamjenjujemo - X umjesto at:

Ordinata je minus šest.

odgovor: – 6

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (–2; 0) i (0; 2).

Odrediti nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (2;0) i (0;2).

Prava a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;4) i (6;0). Prava b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0;8) i paralelna je pravoj a. Naći apscisu tačke preseka prave b sa x-osom.

Odrediti ordinatu tačke preseka y-ose i prave koja prolazi kroz tačku B (6;4) i paralelne prave koja prolazi kroz ishodište i tačku A (6;8).

1. Potrebno je jasno razumjeti da je nagib prave jednak tangenti nagiba prave linije. Ovo će vam pomoći u rješavanju mnogih problema ove vrste.

2. Mora se razumjeti formula za pronalaženje prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke. Uz njegovu pomoć uvijek možete pronaći jednadžbu prave ako su date koordinate dvije njene tačke.

3. Zapamtite da su nagibi paralelnih pravih jednaki.

4. Kao što razumijete, u nekim je problemima zgodno koristiti znak sličnosti trouglova. Problemi se rješavaju praktično usmeno.

5. Zadaci u kojima su date dvije prave i potrebno je pronaći apscisu ili ordinatu njihove presječne točke mogu se rješavati grafički. Odnosno, izgradite ih na koordinatnoj ravni (na listu u ćeliji) i vizualno odredite točku presjeka. *Ali ova metoda nije uvijek primjenjiva.

6. I posljednje. Ako se daju prava linija i koordinate točaka njenog presjeka s koordinatnim osama, tada je u takvim problemima zgodno pronaći kutni koeficijent pronalaženjem tangente kuta u formiranom pravokutnom trokutu. Kako "vidjeti" ovaj trokut za različite rasporede linija na ravni je shematski prikazano u nastavku:

>> Ugao nagiba linije od 0 do 90 stepeni<<

>> Pravolinijski ugao od 90 do 180 stepeni<<

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.

Derivat funkcije jedna je od najtežih tema u školskom programu. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je brzina promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji najbrže raste?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey su dobili posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su se njihova primanja promijenila tokom godine:

Možete odmah vidjeti sve na grafikonu, zar ne? Kostjina primanja su se više nego udvostručila za šest meseci. I Grišini prihodi su također porasli, ali samo malo. A Matthewov prihod se smanjio na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj. derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, derivat njegovog prihoda je općenito negativan.

Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako da to uradimo?

Ono što zaista gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja sa x. Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati različitu vrijednost derivacije – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije se označava sa .

Hajde da pokažemo kako pronaći koristeći graf.

Crta se graf neke funkcije. Uzmite tačku na njoj sa apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.

Derivat funkcije u tački jednak je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Imajte na umu - kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju koja je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jedinu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, štaviše, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne katete i susjedne. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Ovakvi zadaci se često nalaze na ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedna važna korelacija. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangenti nagiba tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku, funkcija se povećava. Tangenta na graf, nacrtana u tački, formira oštar ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Dakle, izvod je pozitivan u tački.

U ovom trenutku, naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

A šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Dakle, tangenta nagiba tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Tačka je maksimalna tačka. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa "plus" na "minus".

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja sa "minus" na "plus".

Zaključak: uz pomoć izvoda možete saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, onda je funkcija opadajuća.

U tački maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak sa plusa na minus.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak sa minusa na plus.

Ove nalaze zapisujemo u obliku tabele:

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ova tzv :

U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak izvedenice se ne mijenja – ostao je pozitivan kao što je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Ali kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje