Stereometriyada qavariq figuralar uchun formulalar. Kesilgan piramidaning hajmi Konusning lateral va to'liq yuzalarining hajmi va maydoni

"Get an A" video kursi matematikadan 60-65 ballgacha imtihonni muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematikada FOYDALANISH profilining 1-13 barcha topshiriqlarini toʻliq bajaring. Matematikada asosiy USE ni topshirish uchun ham javob beradi. Imtihonni 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun imtihonga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha imtihonning 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13- muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan ko'proq ball to'playdi va na yuz ball talaba, na gumanist ularsiz ishlay olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Imtihonning tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI Bankining vazifalaridan 1-qismning barcha tegishli vazifalari tahlil qilindi. Kurs USE-2018 talablariga to‘liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab imtihon topshiriqlari. Matnli masalalar va ehtimollar nazariyasi. Muammoni hal qilishning oddiy va esda qoladigan algoritmlari. Geometriya. Nazariya, ma'lumotnoma, USE vazifalarining barcha turlarini tahlil qilish. Stereometriya. Yechish uchun hiyla-nayranglar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan - 13-topshiriqga. Tikish o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarni vizual tushuntirish. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funktsiya va hosila. Imtihonning 2-qismining murakkab masalalarini yechish uchun asos.

\((\rang(qizil)(\textbf(1-fakt. Parallel chiziqlar haqida)))\)
\(\o'q\) Fazodagi ikkita chiziq, agar ular bir tekislikda yotsa va kesishmasa, parallel bo'ladi.
\(\bullet\) Ikki parallel chiziqdan faqat bitta tekislik o'tadi.
\(\o'q\) Agar ikkita parallel chiziqdan biri tekislikni kesib o'tsa, ikkinchi chiziq ham shu tekislikni kesib o'tadi.
\(\ o'q \) Agar \(a\) chizig'i \(b\) chizig'iga parallel bo'lsa, u o'z navbatida \(c\) chiziqqa parallel bo'lsa, \(a\parallel c\) .
\(\o'q\) \(\alpha\) va \(\beta\) tekisliklari \(a\) chiziq bo'ylab, \(\beta\) va \(\pi\) tekisliklari chiziq bo'ylab kesishsin. chiziq \(b \) , \(\pi\) va \(\alfa\) tekisliklari \(p\) chizig'i bo'ylab kesishadi. Agar \(a\parallel b\) bo'lsa, \(p\parallel a\) (yoki \(p\parallel b\)):

\((\rang(qizil)(\textbf(2-fakt. Chiziq va tekislikning parallelligi haqida)))\)
\(\oʻq\) Chiziq va tekislikning oʻzaro joylashishining uch turi mavjud:
1. chiziqning tekislik bilan ikkita umumiy nuqtasi bor (ya'ni u tekislikda yotadi);
2. chiziq tekislik bilan aynan bitta umumiy nuqtaga ega (ya’ni tekislikni kesib o‘tadi);
3. chiziqning tekislik bilan umumiy nuqtalari yo'q (ya'ni tekislikka parallel).
\(\o'q\) Agar \(\pi\) tekislikda yotmagan \(a\) chiziq \(\pi\) tekislikda yotgan qandaydir \(p\) chiziqqa parallel bo'lsa, u holda u parallel bo'ladi. berilgan tekislikka.

\(\ o'q \) \(p\) chizig'i \(\mu\) tekislikka parallel bo'lsin. Agar \(\pi\) tekislik \(p\) chizig'idan o'tib, tekislikni kesishsa \(\mu\) , u holda \(\pi\) va \(\mu\) tekisliklarning kesishish chizig'i. chiziq \(m\) - chiziqqa parallel \(p\) .

\((\rang(qizil)(\textbf(3-fakt. Parallel tekisliklar haqida)))\)
\(\bullet\) Agar ikkita tekislikning umumiy nuqtalari bo'lmasa, ular parallel tekisliklar deyiladi.
\(\bullet\) Agar bir tekislikdan ikkita kesishuvchi chiziq mos ravishda boshqa tekislikdan ikkita kesishuvchi chiziqqa parallel bo'lsa, bunday tekisliklar parallel bo'ladi.

\(\bullet\) Agar ikkita parallel tekislik \(\alfa\) va \(\beta\) uchinchi tekislik bilan kesishsa \(\gamma\) , u holda tekisliklarning kesishish chiziqlari ham parallel bo'ladi: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Parallel tekisliklar orasiga o'ralgan parallel chiziqlarning segmentlari quyidagilarga teng: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\rang(qizil)(\textbf(4-fakt. Kesishuvchi chiziqlar haqida)))\)
\(\o'q\) Fazodagi ikkita to'g'ri chiziq bir tekislikda yotmasa, kesishuvchi deyiladi.
\(\ bullet\) belgisi:
\(l\) chizig'i \(\lambda\) tekislikda yotsin. Agar \(s\) chiziq \(\lambda\) tekislikni \(l\) chizig'ida yotmagan \(S\) nuqtada kesib o'tsa, \(l\) va \(s\) chiziqlar. kesishadi.

\(\ o'q \) \(a\) va \(b\) qiyshaygan chiziqlar orasidagi burchakni topish algoritmi:

Qadam 2. \(\pi\) tekisligida \(a\) va \(p\) chiziqlar orasidagi burchakni toping (\(p\parallel b\) ). Ularning orasidagi burchak egri chiziqlar orasidagi burchakka teng bo'ladi \(a\) va \(b\) .

\((\rang(qizil)(\textbf(5-fakt. Chiziq va tekislikning perpendikulyarligi haqida)))\)
\(\o'q\) To'g'ri tekislikka perpendikulyar deyiladi, agar u shu tekislikdagi istalgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsa.
\(\ o'q\) Agar ikkita chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
\(\oʻq\) Belgisi: agar toʻgʻri chiziq berilgan tekislikda yotgan ikkita kesishuvchi toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar boʻlsa, u holda bu tekislikka perpendikulyar boʻladi.

\((\rang(qizil)(\textbf(6-fakt. Masofalar haqida)))\)
\(\bullet\) Parallel chiziqlar orasidagi masofani topish uchun bir chiziqning istalgan nuqtasidan boshqa chiziqqa perpendikulyar tushirish kerak. Perpendikulyarning uzunligi - bu chiziqlar orasidagi masofa.
\(\o'q\) Tekislik va unga parallel bo'lgan chiziq orasidagi masofani topish uchun chiziqning istalgan nuqtasidan shu tekislikka perpendikulyar tushirish kerak. Perpendikulyarning uzunligi - bu chiziq va tekislik orasidagi masofa.
\(\bullet\) Parallel tekisliklar orasidagi masofani topish uchun bir tekislikning istalgan nuqtasidan boshqa tekislikka perpendikulyarni tushirish kerak. Ushbu perpendikulyarning uzunligi parallel tekisliklar orasidagi masofadir.
\(\ o'q \) egri chiziqlar orasidagi masofani topish algoritmi \(a\) va \(b\):
Qadam 1. Ikkita kesishuvchi chiziqlardan biri orqali \(a\) boshqa chiziqqa parallel \(\pi\) tekislikni chizing \(b\) . Buni qanday qilish kerak: \(\beta\) tekislikni \(b\) chizig'i orqali \(a\) chiziqni \(P\) nuqtada kesib o'tadigan qilib o'tkazing; nuqta orqali chiziq chizish \(P\) \(p\parallel b\) ; u holda \(a\) va \(p\) orqali o'tuvchi tekislik \(\pi\) tekislikdir.
Qadam 2. \(b\) chiziqning istalgan nuqtasidan tekislikgacha bo'lgan masofani toping \(\pi\) . Bu masofa egri chiziqlar orasidagi masofadir \(a\) va \(b\) .

\((\rang(qizil)(\textbf(7-fakt. Uch perpendikulyar teorema (TTP) haqida))))\)
\(\o'q\) \(AH\) tekislikka perpendikulyar \(\beta\) bo'lsin. \(AB, BH\) qiya va uning tekislikka proyeksiyasi \(\beta\) bo'lsin. U holda \(\beta\) tekislikdagi \(x\) chiziq proyeksiyaga perpendikulyar bo'lgandagina qiyalikka perpendikulyar bo'ladi: \[\begin(hizalangan) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(hizalangan)\]

E'tibor bering, \(x\) chizig'i \(B\) nuqtadan o'tishi shart emas. Agar u \(B\) nuqtadan o'tmasa, u holda \(B\) nuqtadan o'tuvchi va \(x\) ga parallel bo'lgan \(x"\) chiziq quriladi. Agar, masalan, \( x"\perp BH\ ) , keyin ham \(x\perp BH\) .

\((\rang(qizil)(\textbf(8-fakt. Chiziq va tekislik orasidagi burchak, shuningdek tekisliklar orasidagi burchak haqida)))\)
\(\o'q\) Qiya chiziq va tekislik orasidagi burchak bu chiziq va uning berilgan tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchakdir. Shunday qilib, bu burchak qiymatlarni \((0^\circ;90^\circ)\) oralig'idan oladi.
Agar chiziq tekislikda yotsa, ular orasidagi burchak teng deb hisoblanadi \(0^\circ\) . Agar chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lsa, u holda ta'rifga asoslanib, ular orasidagi burchak \(90^\circ\) .
\(\o'q\) Qiya chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni topish uchun bu to'g'ri chiziqning qandaydir \(A\) nuqtasini belgilash va tekislikka perpendikulyar \(AH\) chizish kerak. Agar \(B\) chiziqning tekislik bilan kesishgan nuqtasi bo'lsa, u holda \(\burchak ABH\) kerakli burchak hisoblanadi.

\(\bullet\) \(\alpha\) va \(\beta\) tekisliklari orasidagi burchakni topish uchun quyidagi algoritmdan foydalanishingiz mumkin:
Tekislikda ixtiyoriy \(A\) nuqtani belgilang \(\alfa\) .
\(AH\perp h\) chizing, bu erda \(h\) tekisliklarning kesishish chizig'i.
Tekislikka perpendikulyar \(AB\) chizing \(\beta\) .
U holda \(AB\) tekislikka perpendikulyar \(\beta\) , \(AH\) qiya, demak \(HB\) proyeksiyadir. Keyin TTP tomonidan \(HB\perp h\) .
Demak, \(\burchak AHB\) tekisliklar orasidagi dihedral burchakning chiziqli burchagidir. Bu burchakning daraja o'lchovi tekisliklar orasidagi burchakning daraja o'lchovidir.

E'tibor bering, biz to'g'ri burchakli uchburchakni oldik \(\triangle AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Qoida tariqasida, undan \(\burchak AHB\) topish qulay.

\((\rang(qizil)(\textbf(9-fakt. Tekisliklarning perpendikulyarligi haqida)))\)
\(\o'q\) Belgisi: agar tekislik boshqa tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, u holda bu tekislikka perpendikulyar bo'ladi. \

\(\bullet\) E'tibor bering, \(a\) chizig'i bo'ylab cheksiz miqdordagi tekisliklarni o'tkazish mumkin bo'lganligi sababli, \(\beta\) ga perpendikulyar (va \(a\) orqali o'tuvchi) cheksiz sonli tekisliklar mavjud. ).

Matematikadan imtihonni adekvat hal qilish uchun, birinchi navbatda, ko'plab teoremalar, formulalar, algoritmlar va boshqalarni kiritadigan nazariy materialni o'rganish kerak.Bir qarashda, bu juda oddiydek tuyulishi mumkin. Biroq, matematikadan Yagona davlat imtihonining nazariyasi har qanday darajadagi tayyorgarlikka ega bo'lgan talabalar uchun oson va tushunarli tarzda taqdim etiladigan manbani topish, aslida, juda qiyin vazifadir. Maktab darsliklarini har doim ham qo'lda ushlab turish mumkin emas. Va matematikadan imtihon uchun asosiy formulalarni topish hatto Internetda ham qiyin bo'lishi mumkin.

Nega faqat imtihon topshirganlar uchun emas, balki matematikada nazariyani o'rganish juda muhim?

1. Chunki u sizning dunyoqarashingizni kengaytiradi. Matematika bo'yicha nazariy materialni o'rganish dunyoni bilish bilan bog'liq keng ko'lamli savollarga javob olishni istagan har bir kishi uchun foydalidir. Tabiatdagi hamma narsa tartibli va aniq mantiqqa ega. Aynan shu narsa fanda o'z aksini topadi, bu orqali dunyoni tushunish mumkin.
2. Chunki u aqlni rivojlantiradi. Matematikadan imtihon uchun ma'lumotnomalarni o'rganish, shuningdek, turli muammolarni hal qilish, inson mantiqiy fikrlash va fikr yuritishni, fikrlarni to'g'ri va aniq shakllantirishni o'rganadi. U tahlil qilish, umumlashtirish, xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantiradi.

Sizni o'quv materiallarini tizimlashtirish va taqdim etishga bo'lgan yondashuvimizning barcha afzalliklarini shaxsan baholashga taklif qilamiz.

Ba'zi ta'riflar:

1. Ko'p yuzli- chekli sonli tekis ko'pburchaklar bilan chegaralangan geometrik jism bo'lib, ularning istalgan ikkitasi umumiy tomoniga ega bo'lib, bir tekislikda yotmaydi. Bunday holda, ko'pburchaklarning o'zi yuzlar deb ataladi, ularning tomonlari ko'pburchakning qirralari va ularning uchlari ko'pburchakning uchlari hisoblanadi.
2. Ko'pburchakning barcha yuzlari hosil qilgan figuraga uning yuzasi deyiladi ( to'liq sirt), va uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisi (to'liq) sirt maydoni.
3. olti yuzi teng kvadrat bo'lgan ko'pburchakdir. Kvadratlarning yon tomonlari kubning qirralari, uchlari esa kubning uchlari deb ataladi.
4. olti yuzli va ularning har biri parallelogramm bo'lgan ko'pburchakdir. Paralelogrammalarning yon tomonlari parallelepipedning qirralari, ularning uchlari esa parallelepipedning uchlari deyiladi. Parallelepipedning ikki tomoni deyiladi qarama-qarshi, agar ular umumiy chekkaga ega bo'lmasa va umumiy chekkaga ega bo'lganlar deyiladi bog'liq. Ba'zan parallelepipedning har qanday ikkita qarama-qarshi yuzi tanlanadi va chaqiriladi asoslar, keyin qolgan yuzlar yon yuzlar, va ularning parallelepiped asoslari cho'qqilarini bog'laydigan tomonlari uning yon qovurg'alar.
5. To'g'ri parallelepiped- bu yon yuzlari to'rtburchaklar bo'lgan parallelepiped. yuzlari toʻrtburchaklar boʻlgan parallelepipeddir. E'tibor bering, har bir kuboid kuboiddir, lekin har bir kuboid kuboid emas.
6. qarama-qarshi. Parallelepipedning qarama-qarshi uchlarini tutashtiruvchi chiziq segmenti deyiladi diagonal parallelepiped. Parallelepipedning faqat to'rtta diagonali bor.
7. prizma ( n-ko'mir) ikki yuzi teng boʻlgan koʻpburchakdir n-gons va qolganlari n yuzlar parallelogrammdir. Teng n-gonlar deyiladi asoslar, va parallelogrammalar prizmaning yon tomonlari- bu shunday prizma bo'lib, uning yon tomonlari to'rtburchaklardir. To'g'ri n- uglerod prizmasi- bu prizma bo'lib, uning barcha yon yuzlari to'rtburchaklar, asoslari esa muntazamdir n-gons.
8. Prizmaning yon yuzlari maydonlarining yig'indisi deyiladi uning lateral yuzasi maydoni(belgilangan S tomoni). Prizmaning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisi deyiladi prizma yuzasi maydoni(belgilangan S to'liq).
9. Piramida ( n-ko'mir)- bu ko'pburchak, uning bir yuzi bor - ba'zilari n-gon, qolganlari n yuzlar - umumiy uchi bo'lgan uchburchaklar; n-gon deyiladi asos; umumiy uchi bo'lgan uchburchaklar deyiladi yon yuzlar, va ularning umumiy cho'qqisi deyiladi piramidaning tepasi. Piramidaning yuzlari yon tomonlari deyiladi qovurg'alar, va tepada uchrashadigan qirralar deyiladi lateral.
10. Piramidaning yon tomonlari maydonlarining yig'indisi deyiladi piramidaning yon yuzasi maydoni(belgilangan S tomoni). Piramidaning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisi deyiladi piramidaning sirt maydoni(sirt maydoni belgilangan S to'liq).
11. To'g'rin- ko'mir piramidasi- bu shunday piramida, uning asosi to'g'ri n-gon, va barcha yon qirralari bir-biriga teng. Muntazam piramidaning yon yuzlari bir-biriga teng bo'lgan teng yonli uchburchaklardir.
12. Uchburchak piramida deyiladi tetraedr agar uning barcha yuzlari bir-biriga mos keladigan muntazam uchburchaklar bo'lsa. Tetraedr oddiy uchburchak piramidaning alohida holatidir (ya'ni har bir oddiy uchburchak piramida ham tetraedr bo'lmaydi).

Stereometriya aksiomalari:

1. Bir to'g'rida yotmaydigan har qanday uchta nuqta orqali faqat bitta tekislik mavjud.
2. Agar chiziqning ikkita nuqtasi tekislikda yotsa, chiziqning barcha nuqtalari shu tekislikda yotadi.
3. Agar ikkita tekislikning umumiy nuqtasi bo'lsa, unda bu tekisliklarning barcha umumiy nuqtalari yotadigan umumiy chiziqqa ega.

Stereometriya aksiomalarining oqibatlari:

• Teorema 1. Chiziq orqali faqat bitta tekislik bor va unda bo'lmagan nuqta.
• Teorema 2. Ikkita kesishuvchi chiziq orqali faqat bitta tekislik bor.
• Teorema 3. Ikki parallel chiziq orqali faqat bitta tekislik bor.

Stereometriyada kesmalarni qurish

Stereometriyaga oid masalalarni yechish uchun zudlik bilan koʻpburchak kesimlarini (masalan, piramida, parallelepiped, kub, prizma) maʼlum tekislik boʻyicha chizmada qura bilish zarur. Keling, bo'lim nima ekanligini tushuntiruvchi bir nechta ta'riflarni beraylik:

• kesish tekisligi Piramida (prizma, parallelepiped, kub) shunday tekislik bo'lib, uning ikkala tomonida ham ushbu piramidaning nuqtalari (prizma, parallelepiped, kub) mavjud.
• piramidaning kesmasi(prizma, parallelepiped, kub) - piramida (prizma, parallelepiped, kub) va kesish tekisligi uchun umumiy bo'lgan barcha nuqtalardan iborat figura.
• Kesuvchi tekislik piramidaning yuzlarini (parallelepiped, prizma, kub) segmentlar bo'ylab kesib o'tadi, shuning uchun Bo'lim ajralish tekisligida yotgan ko'pburchak bo'lib, uning tomonlari ko'rsatilgan segmentlardir.

Piramidaning (prizma, parallelepiped, kub) kesimini qurish uchun piramidaning qirralari (prizma, parallelepiped, kub) bilan kesuvchi tekislikning kesishish nuqtalarini qurish va ularning har ikkisini bir-biriga bog'lash mumkin va kerak. bir yuz. E'tibor bering, bo'limning uchlari va tomonlarini qurish ketma-ketligi muhim emas. Ko'p yuzli qismlarni qurish ikkita qurilish vazifasiga asoslanadi:

1. Ikki tekislikning kesishish chiziqlari.

Ikki tekislik kesishadigan chiziqni qurish α va β (masalan, sekant tekislik va ko'pburchak yuzining tekisligi), siz ularning ikkita umumiy nuqtasini qurishingiz kerak, keyin bu nuqtalardan o'tadigan chiziq tekisliklarning kesishish chizig'idir. α va β .

1. Chiziq va tekislikning kesishish nuqtalari.

Chiziqning kesishish nuqtasini qurish l va samolyot α chiziqning kesishish nuqtasini chizish l va to'g'ridan-to'g'ri l 1 , uning bo'ylab tekislik kesishadi α va chiziqni o'z ichiga olgan har qanday tekislik l.

Stereometriyada to'g'ri chiziqlar va tekisliklarning o'zaro joylashishi

Ta'rifi: Stereometriya masalalarini yechish jarayonida fazoda ikkita to'g'ri chiziq deyiladi parallel agar ular bir tekislikda yotsa va kesishmasa. To'g'ri bo'lsa a va b, yoki AB va CD parallel bo'lsa, biz yozamiz:

Bir nechta teoremalar:

• Teorema 1. Fazoning ma'lum bir to'g'rida yotmaydigan har qanday nuqtasi orqali berilgan to'g'ri chiziqqa parallel faqat bitta chiziq mavjud.
• Teorema 2. Agar ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan biri berilgan tekislikni kesib oʻtsa, ikkinchi chiziq bu tekislikni kesib oʻtadi.
• Teorema 3(parallel chiziqlar belgisi). Agar ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular bir-biriga parallel.
• Teorema 4(parallelepiped diagonallarining kesishish nuqtasida). Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va bu nuqtani ikkiga bo'ladi.

Stereometriyada to'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro joylashishining uchta holati mavjud:

• Chiziq tekislikda yotadi (chiziqning har bir nuqtasi tekislikda yotadi).
• Chiziq va tekislik kesishadi (bitta umumiy nuqtaga ega).
• Chiziq va tekislikning bitta umumiy nuqtasi yo'q.

Ta'rifi: Chiziq va tekislik deyiladi parallel agar ularda umumiy fikrlar bo'lmasa. To'g'ri bo'lsa a tekislikka parallel β , keyin ular yozadilar:

Teoremalar:

• Teorema 1(to'g'ri chiziq va tekislikning parallellik belgisi). Agar berilgan tekislikda yotmagan chiziq shu tekislikdagi qandaydir chiziqqa parallel bo'lsa, u berilgan tekislikka parallel bo'ladi.
• Teorema 2. Agar samolyot (rasmda - α ) to'g'ri chiziqdan o'tadi (rasmda - bilan), boshqa tekislikka parallel (rasmda - β ), va bu tekislikni, keyin tekisliklarning kesishish chizig'ini kesib o'tadi (rasmda - d) berilgan chiziqqa parallel:

Agar ikkita aniq chiziq bir tekislikda yotsa, ular kesishadi yoki parallel bo'ladi. Biroq, kosmosda (ya'ni, stereometriyada) uchinchi holat ham mumkin, agar ikkita chiziq yotadigan tekislik bo'lmasa (bu holda ular kesishmaydi va parallel emas).

Ta'rifi: Ikki qator deyiladi chatishtirish, agar ikkalasi ham yotadigan samolyot bo'lmasa.

Teoremalar:

• Teorema 1(kesishuvchi chiziqlar belgisi). Agar ikkita to'g'ri chiziqdan biri ma'lum bir tekislikda yotsa, ikkinchi chiziq esa bu tekislikni birinchi chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tsa, bu chiziqlar qiyshiq bo'ladi.
• Teorema 2. Kesishgan ikkita chiziqning har biri orqali boshqa chiziqqa parallel bo'lgan bitta tekislik mavjud.

Endi biz egri chiziqlar orasidagi burchak tushunchasini kiritamiz. Bo'lsin a va b O fazoda va u orqali to'g'ri chiziqlarni o'tkazing. a 1 va b 1 to'g'ri chiziqlarga parallel a va b mos ravishda. Egri chiziqlar orasidagi burchak a va b qurilgan kesishgan chiziqlar orasidagi burchak deb ataladi a 1 va b 1 .

Biroq, amalda nuqta O to'g'ri chiziqlardan biriga tegishli bo'lishi uchun tez-tez tanlang. Bu, odatda, oddiygina qulayroq emas, balki chizmani qurish va muammoni hal qilish nuqtai nazaridan ham oqilona va to'g'ri. Shuning uchun, egri chiziqlar orasidagi burchak uchun biz quyidagi ta'rifni beramiz:

Ta'rifi: Bo'lsin a va b kesishuvchi ikkita chiziqdir. Ixtiyoriy nuqtani oling O ulardan birida (bizning holatda, to'g'ri chiziqda b) va u orqali boshqasiga parallel chiziq torting (bizning holimizda a 1 parallel a). Egri chiziqlar orasidagi burchak a va b- tuzilgan chiziq va nuqtani o'z ichiga olgan chiziq orasidagi burchak O(bizning holimizda bu burchak β to'g'ri chiziqlar orasida a 1 va b).

Ta'rifi: Ikki qator deyiladi o'zaro perpendikulyar(perpendikulyar) agar ular orasidagi burchak 90 ° bo'lsa. Kesishgan chiziqlar perpendikulyar bo'lishi mumkin, shuningdek, bir tekislikda yotgan va kesishgan chiziqlar. To'g'ri bo'lsa a chiziqqa perpendikulyar b, keyin ular yozadilar:

Ta'rifi: Ikkita samolyot chaqiriladi parallel, agar ular kesishmasa, ya'ni. umumiy nuqtalari yo'q. Agar ikkita samolyot bo'lsa α va β parallel, keyin odatdagidek yozing:

Teoremalar:

• Teorema 1(parallel tekisliklar belgisi). Agar bitta tekislikning ikkita kesishuvchi chizig'i mos ravishda boshqa tekislikning ikkita chizig'iga parallel bo'lsa, bu tekisliklar parallel bo'ladi.
• Teorema 2(parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari xususiyatiga). Parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel tekisliklarda yotadi.
• Teorema 3(ikki parallel tekislikning uchinchi tekislik bilan kesishish chiziqlarida). Agar ikkita parallel tekislik uchdan bir qismi bilan kesishsa, ularning kesishish chiziqlari bir-biriga parallel bo'ladi.
• Teorema 4. Parallel tekisliklar orasida joylashgan parallel chiziqlarning segmentlari tengdir.
• Teorema 5(ma'lum tekislikka parallel bo'lgan va undan tashqaridagi nuqtadan o'tuvchi yagona tekislikning mavjudligi haqida). Berilgan tekislikda yotmagan nuqta orqali berilganga parallel faqat bitta tekislik mavjud.

Ta'rifi: Tekislikni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq shu tekislikdagi har bir chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, unga perpendikulyar deyiladi. To'g'ri bo'lsa a tekislikka perpendikulyar β , keyin odatdagidek yozing:

Teoremalar:

• Teorema 1. Agar ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan biri uchinchi chiziqqa perpendikulyar boʻlsa, ikkinchi chiziq ham shu chiziqqa perpendikulyar boʻladi.
• Teorema 2. Agar ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan biri tekislikka perpendikulyar boʻlsa, ikkinchi chiziq ham shu tekislikka perpendikulyar boʻladi.
• Teorema 3(tekislikka perpendikulyar chiziqlar parallelligi bo'yicha). Agar ikkita chiziq bir tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
• Teorema 4(to'g'ri chiziq va tekislikning perpendikulyarligi belgisi). Agar chiziq bir tekislikda yotgan ikkita kesishuvchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda u shu tekislikka perpendikulyar bo'ladi.
• Teorema 5(ma'lum nuqtadan o'tuvchi va berilgan chiziqqa perpendikulyar tekislik haqida). Fazoning istalgan nuqtasi orqali berilgan chiziqqa perpendikulyar faqat bitta tekislik bor.
• Teorema 6(ma'lum nuqtadan o'tuvchi va berilgan tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq haqida). Fazoning istalgan nuqtasi orqali berilgan tekislikka perpendikulyar faqat bitta chiziq bor.
• Teorema 7(to'rtburchaklar parallelepiped diagonalining xususiyati bo'yicha). To'rtburchaklar parallelepiped diagonali uzunligining kvadrati uning umumiy cho'qqisiga ega bo'lgan uchta chetining uzunliklari kvadratlari yig'indisiga teng:

Natija: To'rtburchaklar parallelepipedning barcha to'rt diagonali bir-biriga teng.

Uch perpendikulyar teorema

Nuqtaga ruxsat bering LEKIN tekis yotmaydi α . Keling, nuqtadan o'tamiz LEKIN tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq α , va harfi bilan belgilang O bu chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi α . Bir nuqtadan chizilgan perpendikulyar LEKIN samolyotga α , segment deyiladi OAJ, nuqta O perpendikulyarning asosi deyiladi. Agar a OAJ- tekislikka perpendikulyar α , a M nuqtadan farqli, bu tekislikning ixtiyoriy nuqtasidir O, keyin segment AM nuqtadan chizilgan qiyalik deyiladi LEKIN samolyotga α , va nuqta M- eğimli asos. Chiziq segmenti OM- ortogonal proyeksiya (yoki qisqasi, proyeksiya) qiya AM samolyotga α . Endi biz ko'plab muammolarni hal qilishda muhim rol o'ynaydigan teoremani taqdim etamiz.

1-teorema (taxminan uchta perpendikulyar): Tekislikda o'tkazilgan va qiya tekislikning shu tekislikka proyeksiyasiga perpendikulyar to'g'ri chiziq qiya tekislikning o'ziga ham perpendikulyar. Qarama-qarshilik ham to'g'ri:

2-teorema (taxminan uchta perpendikulyar): Tekislikda chizilgan va qiyalikka perpendikulyar to'g'ri chiziq uning shu tekislikdagi proyeksiyasiga ham perpendikulyar. Yuqoridagi chizmadagi yozuvlar uchun ushbu teoremalarni qisqacha quyidagicha shakllantirish mumkin:

Teorema: Agar tekislikdan tashqarida olingan bir nuqtadan ushbu tekislikka perpendikulyar va ikkita qiya chiziqlar o'tkazilsa, u holda:

• proyeksiyalari teng bo'lgan ikkita qiya, teng;
• ikki qiyalikdan, proyeksiyasi kattaroq bo'lgani kattaroqdir.

Kosmosdagi ob'ektlar bo'yicha masofalarning ta'riflari:

• Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa - bu nuqtadan bu tekislikka o'tkazilgan perpendikulyar uzunligi.
• Parallel tekisliklar orasidagi masofa - parallel tekisliklardan birining ixtiyoriy nuqtasidan boshqa tekislikgacha bo'lgan masofa.
• Chiziq va unga parallel tekislik orasidagi masofa chiziqning ixtiyoriy nuqtasidan tekislikgacha bo'lgan masofadir.
• Egri chiziqlar orasidagi masofa - bu qiyshaygan chiziqlarning biridan ikkinchi chiziqdan o'tadigan va birinchi chiziqqa parallel bo'lgan tekislikgacha bo'lgan masofa.

Ta'rifi: Stereometriyada to'g'ri chiziqning ortogonal proyeksiyasi a samolyotga α bu chiziqning tekislikka proyeksiyasi deyiladi α dizayn yo'nalishini aniqlaydigan to'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lsa α .

Izoh: Oldingi ta'rifdan ko'rinib turibdiki, ko'plab prognozlar mavjud. To'g'ri chiziqning tekislikka boshqa (ortogonaldan tashqari) proyeksiyalarini, agar proyeksiya yo'nalishini aniqlovchi to'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lmasa, qurish mumkin. Biroq, bu to'g'ri chiziqning tekislikka ortogonal proyeksiyasi bo'lib, biz kelajakda muammolarga duch kelamiz. Va biz ortogonal proyeksiyani oddiy proyeksiya deb ataymiz (chizmadagi kabi).

Ta'rifi: Tekislikka perpendikulyar bo'lmagan to'g'ri chiziq bilan bu tekislik orasidagi burchak to'g'ri chiziq va uning berilgan tekislikka ortogonal proyeksiyasi orasidagi burchak (burchak). AOA yuqoridagi rasmda).

Teorema: Chiziq va tekislik orasidagi burchak ma'lum bir tekislikda yotgan va chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasidan o'tuvchi chiziqlardan hosil bo'lgan barcha burchaklarning eng kichigidir.

Ta'riflar:

• ikki burchakli burchak Shakl umumiy chegara chizig'iga ega bo'lgan ikkita yarim tekislikdan va bu yarim tekisliklar chegara bo'lib xizmat qiladigan bo'shliqning bir qismidan tashkil topgan figura deb ataladi.
• Chiziqli ikki burchakli burchak Burchak deyiladi, uning tomonlari dihedral burchakning chetida umumiy kelib chiqishi bo'lgan nurlar bo'lib, uning yuzlarida chetiga perpendikulyar chiziladi.

Shunday qilib, ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi - bu ikki burchakli burchakning uning chetiga perpendikulyar tekislik bilan kesishishidan hosil bo'lgan burchak. Ikki burchakli burchakning barcha chiziqli burchaklari bir-biriga teng. Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovi uning chiziqli burchagining daraja o'lchovidir.

Ikki burchakli burchak, agar uning daraja o'lchovi 90 ° (90 ° dan kam, 90 ° dan ortiq) bo'lsa, to'g'ri (o'tkir, o'tmas) deyiladi. Kelajakda, stereometriyadagi muammolarni echishda, dihedral burchak bilan biz doimo o'sha chiziqli burchakni tushunamiz, uning daraja o'lchovi shartni qondiradi:

Ta'riflar:

• Ko'pburchakning chetidagi ikki burchakli burchak ikkiburchak burchakdir, uning chetida ko'pburchakning qirrasi, ikki tomonlama burchakning yuzlarida esa ko'pburchakning berilgan qirrasi bo'ylab kesishgan ko'pburchak yuzlari mavjud.
• Kesishuvchi tekisliklar orasidagi burchak bu tekisliklarda mos ravishda ularning ayrim nuqtalari orqali kesishgan chiziqqa perpendikulyar chizilgan to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakdir.
• Ikki tekislik perpendikulyar deyiladi, agar ular orasidagi burchak 90 ° bo'lsa.

Teoremalar:

• Teorema 1(tekisliklarning perpendikulyarligi belgisi). Agar ikkita tekislikdan biri ikkinchi tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, bu tekisliklar perpendikulyar bo'ladi.
• Teorema 2. Ikki perpendikulyar tekislikning birida yotuvchi va ular kesishgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziq boshqa tekislikka perpendikulyar.

Raqamlarning simmetriyasi

Ta'riflar:

1. ball M va M 1 chaqiriladi nuqtaga nisbatan simmetrik O , agar O segmentning o'rta nuqtasidir MM 1 .
2. ball M va M 1 chaqiriladi to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik l to'g'ri bo'lsa l MM 1 va unga perpendikulyar.
3. ball M va M 1 chaqiriladi tekislikka nisbatan simmetrik α agar samolyot α segmentning o'rtasidan o'tadi MM 1 va bu segmentga perpendikulyar.
4. Nuqta O(To'g'riga l, samolyot α ) deyiladi simmetriya markazi (o'qi, tekisligi). rasm, agar rasmning har bir nuqtasi bir nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lsa O(To'g'riga l, samolyot α ) bir xil raqamning bir nuqtasiga.
5. Qavariq ko'pburchak deyiladi to'g'ri, agar uning barcha yuzlari bir-biriga teng muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va har bir tepada bir xil miqdordagi qirralar yaqinlashsa.

Prizma

Ta'riflar:

1. Prizma- ikki yuzi parallel tekisliklarda yotgan teng koʻpburchaklar, qolgan yuzlari esa bu koʻpburchaklar bilan umumiy tomonlari boʻlgan parallelogrammalar boʻlgan koʻpburchak.
2. Asoslar - Bu parallel tekisliklarda yotgan teng ko'pburchaklar bo'lgan ikkita yuzdir. Chizmada u: ABCDE va KLMNP.
3. Yon yuzlar- asoslardan tashqari barcha yuzlar. Har bir yon yuzi, albatta, parallelogrammdir. Chizmada u: ABLK, BCML, CDNM, DEPN va EAKP.
4. Yon sirt- yon yuzlarning birlashishi.
5. To'liq sirt- asoslar va lateral sirtning birlashishi.
6. Yon qovurg'alar yon yuzlarning umumiy tomonlari. Chizmada u: AK, BL, SM, DN va EP.
7. Balandligi- prizma asoslarini tutashtiruvchi va ularga perpendikulyar kesim. Masalan, chizmada KR.
8. Diagonal- prizmaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchini bog'lovchi segment. Masalan, chizmada BP.
9. Diagonal tekislik prizmaning lateral chetidan va asosning diagonalidan o'tuvchi tekislikdir. Boshqa ta'rif: diagonal tekislik- prizmaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikki yon chetidan o'tuvchi tekislik.
10. Diagonal qism- prizma va diagonal tekislikning kesishishi. Bo'limda parallelogramma hosil bo'ladi, jumladan, ba'zan uning maxsus holatlari - romb, to'rtburchak, kvadrat. Chizmada, masalan, EBLP.
11. Perpendikulyar (ortogonal) kesma- prizma va uning yon chetiga perpendikulyar tekislikning kesishishi.

Prizmaning xossalari va formulalari:

• Prizmaning asoslari teng ko'pburchaklardir.
• Prizmaning yon yuzlari parallelogrammlardir.
• Prizmaning yon qirralari parallel va tengdir.
• Prizma hajmi uning balandligi va poydevor maydonining mahsulotiga teng:

qayerda: S tayanch - asosning maydoni (chizmada, masalan, ABCDE), h- balandlik (chizmada bu MN).

• Prizmaning umumiy sirt maydoni uning lateral yuzasining maydoni yig'indisiga va poydevorning ikki barobariga teng:

• Perpendikulyar kesim prizmaning barcha yon qirralariga perpendikulyar (quyidagi rasmda perpendikulyar kesma A 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
• Perpendikulyar kesmaning burchaklari mos keladigan yon qirralardagi dihedral burchaklarning chiziqli burchaklaridir.
• Perpendikulyar (ortogonal) kesim barcha yon yuzlarga perpendikulyar.
• Qiya prizmaning hajmi perpendikulyar kesimning maydoni va yon qovurg'aning uzunligi mahsulotiga teng:

qayerda: S sek - perpendikulyar kesimning maydoni, l- yon qovurg'aning uzunligi (quyidagi rasmda, masalan, AA 1 yoki BB 1 va boshqalar).

• Yon sirt maydoni ixtiyoriy prizma perpendikulyar kesimning perimetri va yon chetining uzunligi ko'paytmasiga teng:

qayerda: P sek - perpendikulyar kesimning perimetri, l lateral qirrasining uzunligi.

Stereometriyada prizma turlari:

• Agar yon qirralarning asosga perpendikulyar bo'lmasa, unda bunday prizma deyiladi qiyshiq(yuqoridagi rasmda). Bunday prizmaning asoslari, odatdagidek, parallel tekisliklarda joylashgan, yon qirralari bu tekisliklarga perpendikulyar emas, balki bir-biriga parallel. Yon tomonlari parallelogrammdir.
• - barcha yon qirralari asosga perpendikulyar bo'lgan prizma. To'g'ri prizmada yon qirralar balandliklardir. To'g'ri prizmaning yon yuzlari to'rtburchaklardir. Va poydevorning maydoni va perimetri mos ravishda perpendikulyar kesimning maydoni va perimetriga teng (to'g'ri prizma uchun, umuman olganda, butun perpendikulyar kesim asos bilan bir xil raqam). Shuning uchun, to'g'ri prizmaning lateral yuzasining maydoni poydevor perimetri va yon chetining uzunligi (yoki bu holda prizma balandligi) mahsulotiga teng:

qayerda: P asos - to'g'ri prizma poydevorining perimetri, l- to'g'ri prizmada balandlikka teng bo'lgan lateral qirraning uzunligi ( h). To'g'ri prizmaning hajmi umumiy formula bilan topiladi: V = S asosiy ∙ h = S asosiy ∙ l.

• To'g'ri prizma- poydevorida muntazam ko'pburchak (ya'ni barcha tomonlari va barcha burchaklari bir-biriga teng bo'lgan) yotadigan va yon qirralari asos tekisligiga perpendikulyar bo'lgan prizma. To'g'ri prizmalarga misollar:

To'g'ri prizmaning xususiyatlari:

1. Muntazam prizmaning asoslari muntazam ko'pburchaklardir.
2. Muntazam prizmaning yon yuzlari teng to'rtburchaklardir.
3. Muntazam prizmaning yon qirralari bir-biriga teng.
4. To'g'ri prizma to'g'ri.

Ta'rif: Parallelepiped - Bu asoslari parallelogramm bo'lgan prizma. Ushbu ta'rifda kalit so'z "prizma" dir. Demak, parallelepiped prizmaning xususiy holi bo'lib, u umumiy holatdan faqat asosi ixtiyoriy ko'pburchak emas, balki parallelogramm bo'lishi bilan farq qiladi. Shuning uchun prizmaga oid yuqoridagi barcha xususiyatlar, formulalar va ta'riflar parallelepiped uchun dolzarb bo'lib qoladi. Biroq, parallelepipedga xos bo'lgan bir nechta qo'shimcha xususiyatlar mavjud.

Boshqa xususiyatlar va ta'riflar:

• Parallelepipedning umumiy qirrasi bo'lmagan ikkita yuzi deyiladi qarama-qarshi va umumiy chekkaga ega bo'lish - bog'liq.
• Parallelepipedning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchi deyiladi qarama-qarshi.
• Qarama-qarshi cho'qqilarni bog'laydigan chiziq segmenti deyiladi diagonal parallelepiped.
• Parallelepipedning oltita yuzi bor va ularning barchasi parallelogrammdir.
• Parallelepipedning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib teng va parallel.
• Parallelepiped to'rt diagonalga ega; ularning barchasi bir nuqtada kesishadi va ularning har biri shu nuqta bilan ikkiga bo'linadi.
• Agar parallelepipedning to'rtta yon yuzlari to'rtburchaklar bo'lsa (va asoslari ixtiyoriy parallelogramlar bo'lsa), u deyiladi. bevosita(bu holda, to'g'ri prizmada bo'lgani kabi, barcha yon qirralarning asoslarga perpendikulyar). To'g'ri prizmaning barcha xossalari va formulalari to'g'ri parallelepiped uchun tegishli.
• Parallelepiped deyiladi qiyshiq agar uning barcha yon yuzlari to'rtburchaklar bo'lmasa.
• To'g'ri yoki qiya qutining hajmi prizma hajmining umumiy formulasi bilan hisoblanadi, ya'ni. parallelepiped asosining maydoni va balandligi ko'paytmasiga teng ( V = S asosiy ∙ h).
• Oltita yuzi to'rtburchaklar (ya'ni, yon yuzlardan tashqari, asoslari ham to'rtburchaklar) bo'lgan to'g'ri parallelepiped deyiladi. to'rtburchaklar. Kuboid uchun kuboidning barcha xususiyatlari tegishli, shuningdek:
  • d va uning qovurg'alari a, b, c nisbati bilan bog'liq:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

• • Prizma hajmining umumiy formulasidan quyidagi formulani olish mumkin kuboid hajmi:

• Barcha yuzlari teng kvadratlardan iborat bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped deyiladi kub. Boshqa narsalar qatorida, kub muntazam to'rtburchak prizma va umuman oddiy ko'pburchakdir. Kub uchun to'rtburchaklar parallelepipedning barcha xossalari va muntazam prizmalarning xossalari o'rinlidir, shuningdek:
  • Kubning mutlaqo barcha qirralari bir-biriga teng.
  • kub diagonali d va uning chetining uzunligi a nisbati bilan bog'liq:

• To'rtburchaklar parallelepipedning hajmi formulasidan quyidagi formulani olish mumkin kub hajmi:

Piramida

Ta'riflar:

• Piramida asosi ko'pburchak, qolgan yuzlari esa umumiy uchi bo'lgan uchburchaklar bo'lgan ko'pburchakdir. Poydevorning burchaklari soniga ko'ra, piramidalar uchburchak, to'rtburchak va hokazo. Rasmda misollar ko'rsatilgan: to'rtburchak va olti burchakli piramidalar.

• Baza piramidaning uchi tegishli bo'lmagan ko'pburchakdir. Chizmada asos BCDE.
• Bazadan boshqa yuzlar deyiladi lateral. Chizmada u: ABC, ACD, ADE va AEB.
• Yon yuzlarning umumiy cho'qqisi deyiladi piramidaning tepasi(aniq butun piramidaning tepasi, boshqa barcha cho'qqilar kabi nafaqat tepa). Uni chizishda A.
• Piramidaning yuqori qismini poydevorning yuqori qismi bilan bog'laydigan qirralar deyiladi lateral. Chizmada u: AB, AC, AD va AE.
• Piramidani belgilab, avval uning tepasini, keyin esa poydevorning tepalarini chaqirishadi. Chizilgan piramida uchun belgi quyidagicha bo'ladi: ABCDE.

• Balandligipiramidalar piramidaning tepasidan poydevoriga chizilgan perpendikulyar deyiladi. Ushbu perpendikulyarning uzunligi harf bilan belgilanadi H. Chizmada balandlik ko'rsatilgan AG. Eslatma: faqat piramida muntazam to'rtburchak piramida bo'lsa (chizmadagi kabi), piramidaning balandligi poydevorning diagonaliga to'g'ri keladi. Boshqa hollarda, bunday emas. Umumiy holatda, ixtiyoriy piramida uchun balandlik va asosning kesishish nuqtasi har qanday joyda bo'lishi mumkin.
• Apotema - yon chekka balandligi to'g'ri piramida uning tepasidan chizilgan. Masalan, chizmada AF.
• Piramidaning diagonal kesmasi- piramidaning yuqori qismidan va poydevorning diagonalidan o'tadigan qismi. Masalan, chizmada ACE.

Yaxshiroq yodlash uchun belgilar bilan yana bir stereometrik chizma(rasmda, to'g'ri uchburchak piramidasi):

Agar barcha yon qirralar ( SA, SB, SC, SD quyidagi rasmda) piramidalar teng, keyin:

• Piramida poydevori yaqinida aylana tasvirlanishi mumkin va piramidaning tepasi uning markaziga proyeksiyalangan (nuqta). O). Boshqa so'zlar bilan aytganda, balandlik (chiziq SO), bunday piramidaning tepasidan poydevorga tushirilgan ( A B C D), taglik atrofida chegaralangan doira markaziga tushadi, ya'ni. asosning perpendikulyar o'rta nuqtalarining kesishish nuqtasida.
• Yon qovurg'alar taglik tekisligi bilan teng burchaklarni hosil qiladi (quyidagi rasmda bu burchaklar SAO, SBO, ShHT, SDO).

Muhim: Buning aksi ham to'g'ri, ya'ni yon qirralarning asos tekisligi bilan teng burchaklar hosil qilsa yoki piramida poydevori yaqinida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lsa va piramidaning tepasi uning markaziga proyeksiyalangan bo'lsa, unda barcha piramidaning yon qirralari teng.

Agar yon tomonlar bir burchak ostida tayanch tekisligiga moyil bo'lsa (burchaklar DMN, DKN, DLN quyidagi chizmada teng), keyin:

• Piramidaning tagiga doira chizilgan bo'lishi mumkin va piramidaning tepasi uning markaziga proyeksiyalangan (nuqta). N). Boshqa so'zlar bilan aytganda, balandlik (chiziq DN), bunday piramidaning tepasidan poydevorga tushirilgan, poydevorga yozilgan doira markaziga tushadi, ya'ni. asosning bissektrisalarining kesishish nuqtasiga.
• Yon yuzlarning balandligi (apotemlar) tengdir. Quyidagi rasmda DK, DL, DM- teng apotemlar.
• Bunday piramidaning lateral yuzasi asosning perimetri va yon yuzining balandligi (apotem) mahsulotining yarmiga teng.

qayerda: P- poydevorning perimetri, a- apotem uzunligi.

Muhim: Buning aksi ham to‘g‘ri bo‘ladi, ya’ni piramida poydevoriga aylana chizilgan bo‘lsa va piramidaning tepasi uning markaziga proyeksiyalangan bo‘lsa, u holda barcha yon yuzlar bir xil burchak ostida asos tekisligiga qiyshaygan bo‘ladi. yon yuzlarning balandliklari (apotem) teng.

To'g'ri piramida

Ta'rifi: Piramida deyiladi to'g'ri, agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va tepasi asosning markaziga proyeksiyalangan bo'lsa. Keyin u quyidagi xususiyatlarga ega:

• Oddiy piramidaning barcha yon qirralari tengdir.
• Muntazam piramidaning barcha yon yuzlari poydevor tekisligiga bir burchak ostida moyil bo'ladi.

Muhim eslatma: Ko'rib turganingizdek, oddiy piramidalar yuqorida tavsiflangan xususiyatlarni o'z ichiga olgan piramidalardan biridir. Haqiqatan ham, agar muntazam piramidaning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa, unda uning chizilgan va chegaralangan doiralarining markazi bir-biriga to'g'ri keladi va muntazam piramidaning tepasi aynan shu markazga proyeksiyalanadi (ta'rif bo'yicha). Biroq, buni tushunish muhimdir nafaqat to'g'ri piramidalar yuqorida aytib o'tilgan xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin.

• Muntazam piramidada barcha yon tomonlar teng yon tomonli uchburchaklardir.
• Har qanday oddiy piramidada siz sharni yozishingiz va uning atrofidagi sharni tasvirlashingiz mumkin.
• Muntazam piramidaning lateral yuzasining maydoni poydevor va apotem perimetri mahsulotining yarmiga teng.

Piramidaning hajmi va maydoni uchun formulalar

Teorema(balandliklari teng va asoslarning teng maydonlariga ega bo'lgan piramidalar hajmi bo'yicha). Balandliklari va asoslarining teng maydonlariga ega bo'lgan ikkita piramidaning hajmlari tengdir (albatta, siz piramida hajmining formulasini allaqachon bilgan bo'lsangiz kerak yoki uni bir necha qatorlar ostida ko'rasiz va bu bayonot sizga aniq ko'rinadi, lekin aslida, "ko'z bilan" hukm, keyin bu teorema unchalik ravshan emas (quyidagi rasmga qarang).Aytgancha, bu boshqa ko'p yuzli va geometrik shakllar uchun ham amal qiladi: ularning ko'rinishi aldamchi, shuning uchun, albatta, matematikada siz faqat formulalar va to'g'ri hisob-kitoblarga ishonish kerak).

• piramida hajmi formula yordamida hisoblash mumkin:

qayerda: S asos - piramida poydevorining maydoni, h piramidaning balandligi.

• Piramidaning lateral yuzasi yon yuzlar maydonlarining yig'indisiga teng. Piramidaning lateral yuzasi maydoni uchun rasmiy ravishda quyidagi stereometrik formulani yozish mumkin:

qayerda: S yon - yon sirt maydoni, S 1 , S 2 , S 3 - yon yuzlarning joylari.

• Piramidaning to'liq yuzasi lateral yuzaning maydoni va poydevorning maydoni yig'indisiga teng:

Ta'riflar:

• - eng oddiy ko'pburchak, uning yuzlari to'rtta uchburchak, boshqacha aytganda, uchburchak piramida. Tetraedr uchun uning har qanday yuzi asos bo'lib xizmat qilishi mumkin. Hammasi bo'lib tetraedrning 4 ta yuzi, 4 ta tepasi va 6 ta qirrasi bor.
• Tetraedr deyiladi to'g'ri agar uning barcha yuzlari teng tomonli uchburchaklar bo'lsa. Oddiy tetraedr uchun:
  1. Muntazam tetraedrning barcha qirralari teng.
  2. Muntazam tetraedrning barcha yuzlari bir-biriga teng.
  3. Barcha yuzlarning perimetrlari, maydonlari, balandligi va boshqa barcha elementlari mos ravishda bir-biriga teng.

Chizma oddiy tetraedrni, uchburchaklarni ko'rsatadi ABC, ADC, CBD, yomon teng. Piramidaning hajmi va maydonlarining umumiy formulalaridan, shuningdek, planimetriyadan olingan bilimlardan, formulalarni olish qiyin emas. muntazam tetraedrning hajmi va maydoni(a- qovurg'a uzunligi):

Ta'rifi: Stereometriyadagi masalalarni yechishda piramida deyiladi to'rtburchaklar, agar piramidaning yon qirralaridan biri poydevorga perpendikulyar bo'lsa. Bunday holda, bu chekka piramidaning balandligi. Quyida uchburchak va beshburchakli to'rtburchak piramidalarga misollar keltirilgan. Chapdagi rasm SA qirradir, u ham balandlikdir.

Kesilgan piramida

Ta'riflar va xususiyatlar:

• kesilgan piramida piramida asosi bilan uning asosiga parallel kesuvchi tekislik orasiga o'ralgan ko'pburchak deyiladi.
• Kesish tekisligi va asl piramidaning kesishmasida olingan raqam ham deyiladi asos kesilgan piramida. Shunday qilib, chizmadagi kesilgan piramida ikkita asosga ega: ABC va A 1 B 1 C 1 .
• Kesilgan piramidaning yon yuzlari trapezoidlardir. Masalan, chizmada AA 1 B1B.
• Kesilgan piramidaning lateral qirralari asl piramida qirralarining asoslar orasiga o'ralgan qismlari deb ataladi. Chizmada, masalan, AA 1 .
• Kesilgan piramidaning balandligi bir asos tekisligining qaysidir nuqtasidan ikkinchi asos tekisligiga chizilgan perpendikulyar (yoki bu perpendikulyarning uzunligi).
• Kesilgan piramida deyiladi to'g'ri, agar u asosga parallel tekislik bilan kesilgan ko'pburchak bo'lsa to'g'ri piramidalar.
• Muntazam kesilgan piramidaning asoslari muntazam ko'pburchaklardir.
• Muntazam kesilgan piramidaning yon yuzlari teng yonli trapesiyadir.
• apotema muntazam kesilgan piramida uning lateral yuzining balandligi deb ataladi.
• Kesilgan piramidaning lateral yuzasining maydoni uning barcha lateral yuzlari maydonlarining yig'indisidir.

Kesilgan piramida uchun formulalar

Kesilgan piramidaning hajmi:

qayerda: S 1 va S 2 - asosiy maydonlar, h- kesilgan piramidaning balandligi. Biroq, amalda, kesilgan piramidaning hajmini quyidagicha izlash qulayroqdir: siz kesilgan piramidani piramidaga to'ldirishingiz, yon qirralarni kesishishgacha cho'zishingiz mumkin. Keyin kesilgan piramidaning hajmini butun piramida va tugallangan qismning hajmlari o'rtasidagi farq sifatida topish mumkin. Yon sirt maydonini butun piramidaning lateral sirt maydonlari va tugallangan qismi o'rtasidagi farq sifatida ham topish mumkin. Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasi uning asoslari va apotem perimetrlari yig‘indisining yarmi ko‘paytmasiga teng:

qayerda: P 1 va P 2 - asosiy perimetrlar to'g'ri kesilgan piramida, a- apotem uzunligi. Har qanday kesilgan piramidaning umumiy sirt maydoni, shubhasiz, asoslar va lateral sirt maydonlarining yig'indisi sifatida topiladi:

Piramida va shar (shar)

Teorema: Piramida atrofida doirasini tavsiflang piramidaning negizida chizilgan ko'pburchak (ya'ni, atrofida shar tasvirlash mumkin bo'lgan ko'pburchak) joylashganida. Bu shart zarur va etarli. Sfera markazi piramida chetlarining o'rta nuqtalaridan ularga perpendikulyar bo'lgan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

Izoh: Bu teoremadan kelib chiqadiki, sharni har qanday uchburchak atrofida ham, har qanday muntazam piramida atrofida ham tasvirlash mumkin. Biroq, sharni tasvirlash mumkin bo'lgan piramidalar ro'yxati faqat ushbu turdagi piramidalar bilan cheklanmaydi. O'ngdagi rasmda, balandlikda SH nuqta tanlash kerak O, piramidaning barcha uchlaridan bir xil masofada: SO = OB = OS = OD = O.A. Keyin nuqta O chegaralangan sharning markazidir.

Teorema: Siz piramidada bo'lishingiz mumkin sharni yozing piramidaning ichki dihedral burchaklarining bissektrisa tekisliklari bir nuqtada kesishganda (zarur va etarli shart). Bu nuqta sharning markazi bo'ladi.

Izoh: Yuqoridagi satrni o'qiganingizni tushunmadingiz. Biroq, shuni yodda tutish kerak har qanday muntazam piramida - bu sharni yozish mumkin bo'lgan piramida. Shu bilan birga, sharni yozish mumkin bo'lgan piramidalar ro'yxati to'g'ri bo'lganlar bilan tugamaydi.

Ta'rif: bissektrisa tekisligi dihedral burchakni yarmiga bo'ladi va bissektrisa tekisligining har bir nuqtasi ikki burchakli burchakni tashkil etuvchi yuzlardan teng masofada joylashgan. O'ng tekislikdagi rasm γ tekisliklar hosil qilgan dihedral burchakning bissektrisa tekisligidir α va β .

Quyidagi stereometrik chizmada piramidaga (yoki to'p yaqinida tasvirlangan piramida) yozilgan to'p ko'rsatilgan, nuqta esa O chizilgan sharning markazidir. Bu nuqta O to'pning barcha yuzlaridan bir xil masofada, masalan:

OM = OO 1

piramida va konus

Stereometriyada konus piramidaga yozilgan deb ataladi, agar ularning cho'qqilari bir-biriga to'g'ri kelsa va uning asosi piramida poydevoriga yozilgan bo'lsa. Bundan tashqari, piramidaga konusni faqat piramidaning apotemalari bir-biriga teng bo'lganda yozish mumkin (zarur va etarli shart).

Konus piramida yonida yozilgan deb ataladi ularning uchlari bir-biriga to'g'ri kelganda va uning asosi piramida poydevori yaqinida tasvirlangan. Bundan tashqari, piramida yaqinidagi konusni faqat piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lganda tasvirlash mumkin (zarur va etarli shart).

Muhim mulk:

piramida va silindr

Tsilindr piramida ichiga yozilganligi aytiladi, agar uning asoslaridan biri piramida kesmasiga chizilgan tekislik doirasiga toʻgʻri kelsa, asosga parallel, ikkinchisi esa piramida asosiga tegishli boʻlsa.

Tsilindrning piramida yaqinida chegaralanganligi aytiladi, agar piramidaning tepasi uning asoslaridan biriga tegishli bo'lsa va uning boshqa poydevori piramida poydevori yaqinida tasvirlangan bo'lsa. Bundan tashqari, piramidaning tagida yozilgan ko'pburchak mavjud bo'lgandagina piramida yaqinidagi silindrni tasvirlash mumkin (zarur va etarli shart).

Sfera va to'p

Ta'riflar:

1. Sfera- berk sirt, berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan fazodagi nuqtalarning joylashuvi deyiladi sharning markazi. Sfera, shuningdek, uning diametri atrofida yarim doira aylanishidan hosil bo'lgan aylanish jismidir. shar radiusi shar markazini sharning istalgan nuqtasi bilan tutashtiruvchi segment deyiladi.
2. Chordoy shar - sharning ikkita nuqtasini bog'laydigan segment.
3. diametri shar uning markazidan o'tuvchi akkord deyiladi. Sharning markazi uning har qanday diametrini ikkita teng segmentga ajratadi. Radiusli har qanday shar diametri R 2 hisoblanadi R.
4. To'p- geometrik jism; ma'lum bir markazdan belgilangan masofadan katta bo'lmagan masofada joylashgan kosmosdagi barcha nuqtalar to'plami. Bu masofa deyiladi to'p radiusi. To'p o'zining qattiq diametri atrofida yarim doira aylantirish orqali hosil bo'ladi. Eslatma: sharning yuzasi (yoki chegarasi) shar deb ataladi. To'pga quyidagi ta'rifni berish mumkin: shar va fazoning shu shar bilan chegaralangan qismidan tashkil topgan geometrik jism shar deyiladi.
5. Radius, akkord va diametri to'pga sharning radiusi, akkord va diametri deyiladi, bu to'pning chegarasi hisoblanadi.
6. To'p va shar o'rtasidagi farq aylana va aylana o'rtasidagi farqga o'xshaydi. Aylana - bu chiziq va aylana ham bu chiziq ichidagi barcha nuqtalardir. Sfera qobiqdir va to'p ham bu qobiq ichidagi barcha nuqtalardir.
7. Sfera (to'p) markazidan o'tadigan tekislik deyiladi diametrli tekislik.
8. Sferaning (to'pning) diametrli tekislikdagi kesimi deyiladi katta doira (katta doira).

Teoremalar:

• Teorema 1(tekislik bilan sharning kesimida). Sferaning tekislik bilan kesmasi aylanadir. E'tibor bering, tekislik sharning markazidan o'tgan taqdirda ham teoremaning tasdiqlanishi haqiqat bo'lib qoladi.
• Teorema 2(tekislik bilan sharning kesimida). To'pning tekislik bilan kesmasi aylana bo'lib, to'pning markazidan kesma tekisligiga chizilgan perpendikulyarning asosi kesmada olingan aylananing markazidir.

Berilgan to'pning bir qismida tekislik bilan olinishi mumkin bo'lgan eng katta doira to'pning markazidan o'tadigan qismda yotadi. O. U katta doira deb ataladi. Uning radiusi sharning radiusiga teng. Har qanday ikkita katta doira to'pning diametrida kesishadi AB. Bu diametr, shuningdek, kesishgan katta doiralarning diametridir. Bir xil diametrli uchlarida joylashgan sharsimon sirtning ikkita nuqtasi orqali (1-rasmda). A va B), siz cheksiz ko'p ajoyib doiralarni chizishingiz mumkin. Masalan, Yerning qutblari orqali cheksiz ko'p meridianlarni o'tkazish mumkin.

Ta'riflar:

1. Sferaga teguvchi tekislik sfera bilan faqat bitta umumiy nuqtasi bo'lgan tekislik, ularning umumiy nuqtasi esa tekislik va sharning aloqa nuqtasi deb ataladi.
2. To'pga teginish tekisligi sferaga teguvchi tekislik deyiladi, bu to'pning chegarasi.
3. Sharning (to'pning) tangens tekisligida yotgan va tutash nuqtasidan o'tadigan har qanday chiziq deyiladi. sharga to'g'ri chiziqqa teginish (to'p). Ta'rifga ko'ra, teginish tekisligi shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega, shuning uchun tangens chiziq ham shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega - aloqa nuqtasi.

Teoremalar:

• Teorema 1(sferaga teginish tekisligining belgisi). Sfera radiusiga perpendikulyar bo'lgan va sharda yotgan uning uchidan o'tuvchi tekislik sharga tegadi.
• Teorema 2(sferaga teguvchi tekislikning xossasi bo'yicha). Sferaga teguvchi tekislik aloqa nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Ko'p yuzli va shar

Ta'rifi: Stereometriyada ko'pburchak (masalan, piramida yoki prizma) deyiladi doirasiga kiritilgan agar uning barcha uchlari sharda yotsa. Bunday holda, shar ko'pburchak (piramidalar, prizmalar) yaqinida chegaralangan deb ataladi. Xuddi shunday: ko'pburchak deyiladi to'pga yozilgan agar uning barcha uchlari shu sharning chegarasida yotsa. Bunday holda, to'p ko'pburchak yaqinida yozilgan deb aytiladi.

Muhim xususiyat: ko'pburchak atrofida chegaralangan sharning markazi radiusga teng masofada joylashgan. R sharlar, ko'pburchakning har bir tepasidan. Sferada yozilgan ko'pburchaklarga misollar:

Ta'rifi: Ko'pburchak deyiladi shar (to'p) haqida tasvirlangan, agar shar (to'p) tegsa hammasi ko'p yuzli yuzlar. Bunday holda, shar va to'p ko'pburchakda yozilgan deb ataladi.

Muhim: Ko‘pburchak ichiga chizilgan sharning markazi radiusga teng masofada joylashgan. r sharlar, ko'pburchakning yuzlarini o'z ichiga olgan tekisliklarning har biridan. Sfera yaqinida tasvirlangan ko'p yuzli misollar:

Sfera hajmi va sirt maydoni

Teoremalar:

• Teorema 1(sferaning maydoni haqida). Sharning maydoni:

qayerda: R- sharning radiusi.

• Teorema 2(to'pning hajmi haqida). Radiusli sharning hajmi R formula bo'yicha hisoblanadi:

To'p segmenti, qatlam, sektor

Stereometriyada to'p segmenti to'pning kesish tekisligi bilan kesilgan qismini chaqirdi. Bunday holda, balandlik, segment asosining radiusi va to'pning radiusi o'rtasidagi nisbat:

qayerda: h- segment balandligi, r− segment asos radiusi, R- to'p radiusi. Sferik segment asosining maydoni:

Sferik segmentning tashqi yuzasi maydoni:

To'p segmentining to'liq yuzasi:

To'p segmentining hajmi:

Stereometriyada sferik qatlam Sharning ikkita parallel tekislik orasiga o'ralgan qismi deyiladi. Sferik qatlamning tashqi yuzasi maydoni:

qayerda: h sferik qatlamning balandligi, R- to'p radiusi. Sferik qatlamning to'liq yuzasi:

qayerda: h sferik qatlamning balandligi, R- to'p radiusi, r 1 , r 2 - sferik qatlam asoslarining radiusi, S 1 , S 2 - bu bazalarning maydonlari. Sferik qatlamning hajmi oddiygina ikkita sharsimon segmentning hajmlari orasidagi farq sifatida topiladi.

Stereometriyada to'p sektori sharsimon qismdan va sharsimon qismdan iborat bo'lgan to'pning markazida tepasi bo'lgan konusdan va sharsimon segmentning asosiga to'g'ri keladigan asosi deb ataladi. Bu erda to'p segmenti to'pning yarmidan kamroq ekanligi taxmin qilinadi. Sferik sektorning to'liq yuzasi:

qayerda: h mos keladigan sharsimon segmentning balandligi, r- sharsimon segment (yoki konus) asosining radiusi, R- to'p radiusi. Sferik sektorning hajmi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Ta'riflar:

1. Ba'zi tekislikda, markazi bo'lgan doirani ko'rib chiqing O va radius R. Doiraning har bir nuqtasi orqali aylananing tekisligiga perpendikulyar chiziq chizamiz. Silindrsimon sirt bu chiziqlardan hosil bo'lgan raqam deyiladi va chiziqlarning o'zi deyiladi silindrsimon sirt hosil qiladi. Silindrsimon sirtning barcha generatorlari bir-biriga parallel, chunki ular aylana tekisligiga perpendikulyar.

1. To'g'ri dumaloq silindr yoki oddiygina silindr silindrsimon sirt va silindrsimon yuzaning generatorlariga perpendikulyar bo'lgan ikkita parallel tekislik bilan chegaralangan geometrik jism deb ataladi. Norasmiy ravishda siz silindrni tagida aylana bo'lgan to'g'ri prizma deb o'ylashingiz mumkin. Bu silindrning lateral yuzasi hajmi va maydoni uchun formulalarni osongina tushunishga yordam beradi va kerak bo'lganda.
2. Tsilindrning yon yuzasi silindrsimon sirtning kesish tekisliklari orasida joylashgan qismi, uning avlodiga perpendikulyar bo'lgan qismi deyiladi va silindrsimon sirt bilan parallel tekisliklarda kesilgan qismlar (doiralar) deyiladi. silindrli asoslar. Tsilindrning asoslari ikkita teng doiradir.
3. Silindr generatori silindr asoslari yotadigan parallel tekisliklar orasida joylashgan silindrsimon sirt generatrixining segmenti (yoki ushbu segmentning uzunligi) deb ataladi. Tsilindrning barcha generatorlari parallel va bir-biriga teng, shuningdek, asoslarga perpendikulyar.
4. Silindr o'qi silindrning asosi bo'lgan doiralarning markazlarini bog'laydigan segment deyiladi.
5. silindr balandligi perpendikulyar (yoki bu perpendikulyarning uzunligi), silindrning bir asosi tekisligining qaysidir nuqtasidan ikkinchi asosning tekisligiga tortilgan deb ataladi. Tsilindrda balandlik generatrixga teng.
6. Silindr radiusi uning asoslari radiusi deyiladi.
7. Tsilindr deyiladi teng qirrali agar uning balandligi taglikning diametriga teng bo'lsa.
8. Tsilindrni to'rtburchakni uning bir tomoni atrofida 360 ° ga aylantirish orqali olish mumkin.
9. Agar kesish tekisligi silindrning o'qiga parallel bo'lsa, u holda silindrning kesimi to'rtburchaklar bo'lib, uning ikki tomoni generatorlar, qolgan ikkitasi esa silindr asoslarining akkordlaridir.
10. Eksenel qism Tsilindr - bu silindrning o'qi orqali o'tadigan tekislik bilan kesilgan qismi. Tsilindrning eksenel qismi to'rtburchak bo'lib, uning ikki tomoni silindrning generatorlari, qolgan ikkitasi esa uning asoslarining diametrlari.
11. Agar kesish tekisligi silindrning o'qiga perpendikulyar bo'lsa, u holda asoslarga teng bo'lgan kesmada aylana hosil bo'ladi. Quyidagi chizmada: chapda - eksenel qism; markazda - silindrning o'qiga parallel bo'lgan qism; o'ng tomonda - silindrning poydevoriga parallel bo'lgan qism.

Silindr va prizma

Prizma silindrga chizilgan deb aytiladi agar uning asoslari silindrning asoslariga yozilgan bo'lsa. Bunda silindr prizma atrofida aylana deb aytiladi. Bu holda prizmaning balandligi va silindrning balandligi teng bo'ladi. Prizmaning barcha yon qirralari silindrning yon yuzasiga tegishli bo'ladi va uning generatorlari bilan mos keladi. Tsilindr deganda biz faqat to'g'ri tsilindrni nazarda tutganimiz uchun bunday silindrga faqat to'g'ri prizma ham kiritilishi mumkin. Misollar:

Prizma silindr atrofida o'ralgan deyiladi, agar uning asoslari silindrning tagliklari yaqinida tasvirlangan bo'lsa. Bunda silindr prizma ichiga chizilgan deb aytiladi. Bu holda prizmaning balandligi va silindrning balandligi ham teng bo'ladi. Prizmaning barcha yon qirralari silindrning generatrixiga parallel bo'ladi. Tsilindr deganda faqat to'g'ri tsilindrni nazarda tutganimiz sababli, bunday silindrni faqat to'g'ri prizmaga yozish mumkin. Misollar:

Silindr va shar

Sfera (to'p) silindrga yozilgan deb ataladi agar u silindrning asoslariga va uning har bir generatoriga tegsa. Bunday holda, silindr shar (to'p) atrofida cheklangan deb ataladi. Sfera silindrga faqat teng qirrali silindr bo'lsa, yozilishi mumkin, ya'ni. uning asosiy diametri va balandligi teng. Yozilgan sharning markazi silindr o'qining o'rtasi bo'ladi va bu sharning radiusi silindrning radiusiga to'g'ri keladi. Misol:

Tsilindr shar shaklida yozilgan deb aytiladi, agar silindr asoslarining doiralari sharning kesimlari bo'lsa. Agar silindrning asoslari sharning kesimlari bo'lsa, silindr shar ichiga yozilgan deyiladi. Bunday holda, to'p (shar) silindrning yonida yozilgan deb ataladi. Har qanday silindr atrofida sharni tasvirlash mumkin. Ta'riflangan sharning markazi, shuningdek, silindr o'qining o'rtasi bo'ladi. Misol:

Pifagor teoremasiga asoslanib, chegaralangan sharning radiusi bilan bog'liq quyidagi formulani isbotlash oson ( R), silindr balandligi ( h) va silindrning radiusi ( r):

Silindrning lateral va to'liq yuzalarining hajmi va maydoni

Teorema 1(tsilindrning lateral yuzasining maydoni haqida): silindrning lateral yuzasining maydoni uning poydevori aylanasi va balandligining mahsulotiga teng:

qayerda: R silindr asosining radiusi, h- uning balandligi. Ushbu formula to'g'ri prizmaning lateral sirt maydoni formulasi asosida osongina olinadi (yoki isbotlangan).

Tsilindrning to'liq yuzasi, stereometriyada odatdagidek, lateral sirt va ikkita asosning maydonlarining yig'indisi. Tsilindrning har bir poydevorining maydoni (ya'ni, aylana maydoni) quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Shunday qilib, silindrning umumiy sirt maydoni S to'la silindr quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Teorema 2(silindrning hajmi haqida): silindrning hajmi taglik va balandlikning maydoniga teng:

qayerda: R va h mos ravishda silindrning radiusi va balandligi. Bu formula prizma hajmi formulasi asosida ham osonlik bilan olinadi (isbotlanadi).

Teorema 3(Arximed): Sharning hajmi uning atrofida tasvirlangan silindr hajmidan bir yarim baravar kam va bunday to'pning sirt maydoni umumiy sirt maydonidan bir yarim baravar kam. bir xil silindr:

Konus

Ta'riflar:

1. Konus (aniqrog'i, dumaloq konus) aylanadan iborat tana deb ataladi (deb ataladi konusning asosi), bu aylana tekisligida yotmaydigan nuqta (deb ataladi konusning yuqori qismi) va konusning yuqori qismini poydevor nuqtalari bilan bog'laydigan barcha mumkin bo'lgan segmentlar. Norasmiy ravishda siz konusni oddiy piramida sifatida qabul qilishingiz mumkin, uning tagida doira mavjud. Bu konusning lateral yuzasining hajmi va maydoni uchun formulalarni osongina tushunishga yordam beradi va kerak bo'lganda.

1. Konusning yuqori qismini poydevor doirasi nuqtalari bilan bog'laydigan segmentlar (yoki ularning uzunliklari) deyiladi. konus hosil qiladi. To'g'ri dumaloq konusning barcha generatorlari bir-biriga teng.
2. Konusning yuzasi konusning asosi (doira) va yon yuzadan (barcha mumkin bo'lgan generatorlardan tashkil topgan) iborat.
3. Konusning generatorlarining birlashishi deyiladi konusning generatrix (yoki yon) yuzasi. Konusning generatriksi konussimon sirtdir.
4. Konus deyiladi bevosita agar konusning uchini asosning markazi bilan tutashtiruvchi chiziq asos tekisligiga perpendikulyar bo'lsa. Quyida biz faqat o'ng konusni ko'rib chiqamiz va uni qisqalik uchun konus deb ataymiz.
5. Vizual ravishda, tekis dumaloq konusni to'g'ri uchburchakni o'z oyog'i atrofida o'q sifatida aylantirish natijasida olingan tana sifatida tasavvur qilish mumkin. Bunday holda, konusning lateral yuzasi gipotenuzaning aylanishidan hosil bo'ladi va asos o'q bo'lmagan oyoqning aylanishidan hosil bo'ladi.
6. konusning radiusi uning asosining radiusi deyiladi.
7. konusning balandligi perpendikulyar (yoki uning uzunligi) deb ataladi, uning tepasidan poydevor tekisligiga tushiriladi. To'g'ri konus uchun balandlikning asosi taglikning markaziga to'g'ri keladi. To'g'ri dumaloq konusning o'qi uning balandligini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqdir, ya'ni. asos va tepaning markazidan o'tadigan to'g'ri chiziq.
8. Agar kesish tekisligi konusning o'qi orqali o'tsa, u holda kesma teng yonli uchburchak bo'lib, uning asosi konusning asosining diametri, tomonlari esa konusning generatrixidir. Bunday kesish deyiladi eksenel.

1. Agar kesish tekisligi konusning balandligining ichki nuqtasidan o'tib, unga perpendikulyar bo'lsa, u holda konusning kesimi aylana bo'lib, uning markazi balandlik va bu tekislikning kesishish nuqtasidir.
2. Balandligi ( h), radius ( R) va generatrix uzunligi ( l) to'g'ri aylana konusning aniq munosabatini qanoatlantiradi:

Konusning lateral va to'liq yuzalarining hajmi va maydoni

Teorema 1(konusning lateral yuzasi maydonida). Konusning lateral yuzasining maydoni poydevor va generatriksning yarmi aylanasining mahsulotiga teng:

qayerda: R konusning asosining radiusi, l konusning generatrix uzunligi. Ushbu formula oddiy piramidaning lateral yuzasi formulasi asosida osongina olinadi (yoki isbotlangan).

Konusning to'liq sirt maydoni lateral sirt maydoni va tayanch maydoni yig'indisidir. Konusning asosining maydoni (ya'ni, aylananing maydoni): S asos = pR 2. Shunday qilib, konusning umumiy sirt maydoni S to'la konus quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Teorema 2(konusning hajmi bo'yicha). Konusning hajmi taglik maydonining uchdan biriga teng balandlikka ko'paytiriladi:

qayerda: R konusning asosining radiusi, h- uning balandligi. Bu formula ham piramida hajmi formulasi asosida osonlik bilan olinadi (isbotlanadi).

Ta'riflar:

1. Konusning asosiga parallel bo'lgan va konusni kesishgan tekislik undan kichikroq konusni kesib tashlaydi. Qolganlari deyiladi kesilgan konus.

1. Asl konusning asosi va bu konusning kesimida tekislik bilan olingan doira deyiladi asoslar, va ularning markazlarini bog'laydigan segment - kesilgan konusning balandligi.
2. Kesilgan konusning balandligidan (ya'ni, uning asoslari markazlari orqali) o'tadigan to'g'ri chiziq uning o'qi.
3. Konusning lateral yuzasining kesilgan konusni tutashgan qismi uning deyiladi yon yuzasi, va kesilgan konusning asoslari orasida joylashgan konusning generatrix segmentlari deyiladi. hosil qiluvchi.
4. Kesilgan konusning barcha generatorlari bir-biriga teng.
5. Kesilgan konusni to'rtburchaklar trapetsiyani asoslarga perpendikulyar bo'lgan tomoni atrofida 360 ° ga aylantirish orqali olish mumkin.

Kesilgan konus uchun formulalar:

Kesilgan konusning hajmi to'liq konus va konusning asosiga parallel bo'lgan tekislik bilan kesilgan konusning hajmlari orasidagi farqga teng. Kesilgan konusning hajmi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

qayerda: S 1 = π r 1 2 va S 2 = π r 2 2 - asoslar maydonlari, h- kesilgan konusning balandligi, r 1 va r 2 - kesilgan konusning yuqori va pastki asoslarining radiuslari. Biroq, amalda, kesilgan konusning hajmini dastlabki konusning va kesilgan qismning hajmlari o'rtasidagi farq sifatida izlash hali ham qulayroqdir. Kesilgan konusning lateral yuzasi, shuningdek, asl konusning lateral yuzasi va kesilgan qismi o'rtasidagi farq sifatida ham topilishi mumkin.

Darhaqiqat, kesilgan konusning lateral yuzasining maydoni to'liq konusning lateral sirtlari va konusning poydevoriga parallel ravishda tekislik bilan kesilgan konusning lateral yuzalarining maydonlari orasidagi farqga teng. Kesilgan konusning lateral yuzasi formula bo'yicha hisoblanadi:

qayerda: P 1 = 2π r 1 va P 2 = 2π r 2 - kesilgan konusning asoslarining perimetrlari, l- generatrix uzunligi. Kesilgan konusning umumiy sirt maydoni, aniqki, asoslar va lateral sirt maydonlarining yig'indisi sifatida topiladi:

E'tibor bering, kesilgan konusning lateral yuzasining hajmi va maydoni uchun formulalar oddiy kesilgan piramidaning o'xshash xususiyatlari uchun formulalardan olingan.

Konus va shar

Konus sharga chizilgan deyiladi(to'p), agar uning tepasi sharga (to'pning chegarasi) tegishli bo'lsa va poydevorning atrofi (tayanchning o'zi) sharning (to'p) bir qismi bo'lsa. Bunday holda, shar (to'p) konusning yaqinida chegaralangan deb ataladi. Sfera har doim to'g'ri aylana konusning atrofida tasvirlanishi mumkin. Cheklangan sharning markazi konusning balandligini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqda yotadi va bu sharning radiusi konusning eksenel kesimi atrofida aylana radiusiga teng bo'ladi (bu kesma teng yonli uchburchakdir) . Misollar:

Sfera (to'p) konusga yozilgan deb ataladi, agar shar (to'p) konusning asosiga va uning har bir generatoriga tegsa. Bunday holda, konus shar (to'p) yaqinida yozilgan deb ataladi. Shar har doim to'g'ri aylana konusga chizilgan bo'lishi mumkin. Uning markazi konusning balandligida yotadi va ichkariga chizilgan sharning radiusi konusning eksenel qismiga chizilgan doira radiusiga teng bo'ladi (bu kesma teng yonli uchburchakdir). Misollar:

Konus va piramida

• Agar konusning asosi piramida poydevoriga chizilgan bo'lsa va konusning va piramidaning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa, konus piramidaga yozilgan deb ataladi (piramida konusning yonida tasvirlangan).
• Piramida konusning ichiga yozilgan deb ataladi (konus piramida yonida tasvirlangan), agar uning asosi konusning poydevoriga yozilgan bo'lsa va yon qirralari konusning generatorlari bo'lsa.
• Bunday konus va piramidalarning balandligi bir-biriga teng.

Eslatma: Qattiq geometriyada konusning piramidaga qanday sig'ishi yoki piramida yaqinida tasvirlanganligi haqida batafsil ma'lumot allaqachon muhokama qilingan.

Fizika va matematika fanidan KTga qanday muvaffaqiyatli tayyorgarlik ko'rish kerak?

Muvaffaqiyatli bo'lish uchun KTga tayyorgarlik fizika va matematikada, boshqa narsalar qatorida, uchta muhim shart bajarilishi kerak:

1. Barcha mavzularni o'rganing va berilgan barcha test va topshiriqlarni bajaring o'quv materiallari o'sha veb-saytda. Buning uchun sizga hech narsa kerak emas, ya'ni: har kuni uch-to'rt soatni fizika va matematika bo'yicha KTga tayyorgarlik ko'rish, nazariyani o'rganish va muammolarni hal qilishga bag'ishlash. Gap shundaki, KT imtihon bo'lib, unda faqat fizika yoki matematikani bilishning o'zi kifoya qilmaydi, shuningdek, siz turli xil mavzular va turli xil murakkablikdagi ko'plab muammolarni tez va muvaffaqiyatsiz hal qila olishingiz kerak. Ikkinchisini faqat minglab muammolarni hal qilish orqali o'rganish mumkin.
2. o'rganing fizikadagi barcha formulalar va qonunlar, matematikada formulalar va usullar. Darhaqiqat, buni qilish ham juda oddiy, fizikada atigi 200 ga yaqin kerakli formulalar mavjud, matematikada esa biroz kamroq. Ushbu fanlarning har birida asosiy murakkablik darajasidagi muammolarni hal qilishning o'nga yaqin standart usullari mavjud bo'lib, ularni ham o'rganish mumkin va shu bilan to'liq avtomatik va qiyinchiliksiz raqamli transformatsiyaning ko'p qismini kerakli vaqtda hal qilish mumkin. Shundan so'ng siz faqat eng qiyin vazifalar haqida o'ylashingiz kerak bo'ladi.
3. Barcha uch bosqichga tashrif buyuring takroriy sinov fizika va matematika bo'yicha. Ikkala variantni ham hal qilish uchun har bir RTga ikki marta tashrif buyurish mumkin. Yana DT bo‘yicha, masalani tez va samarali yechish, formulalar va usullarni bilishdan tashqari, vaqtni to‘g‘ri rejalashtirish, kuchlarni taqsimlash, eng muhimi javob shaklini to‘g‘ri to‘ldirish ham zarur. , javoblar va topshiriqlar sonini yoki o'z familiyangizni chalkashtirmasdan. Shuningdek, RT davomida topshiriqlarda savollar berish uslubiga ko'nikish kerak, bu DTda tayyor bo'lmagan odam uchun juda g'ayrioddiy tuyulishi mumkin.

Ushbu uchta nuqtani muvaffaqiyatli, g'ayratli va mas'uliyat bilan amalga oshirish sizga KTda ajoyib natijani ko'rsatishga imkon beradi, bu sizning qodirligingizdan maksimal darajada.

Xato topdingizmi?

Agar siz o'ylaganingizdek, o'quv materiallarida xatolik topsangiz, bu haqda pochta orqali yozing. Xato haqida ijtimoiy tarmoqda ham yozishingiz mumkin (). Xatda mavzuni (fizika yoki matematika), mavzu yoki testning nomi yoki raqamini, topshiriqning raqamini yoki matndagi (sahifa) sizning fikringizcha, xato bo'lgan joyni ko'rsating. Shuningdek, taxmin qilingan xato nima ekanligini tasvirlab bering. Sizning maktubingiz e'tibordan chetda qolmaydi, xatolik yo tuzatiladi yoki sizga nima uchun xato emasligi tushuntiriladi.