Düzgün altıgen piramidin hacmi 6 kenarlıdır. Piramit

Piramitler: tabanın ne olduğuna bağlı olarak üçgen, dörtgen vb. - üçgen, dörtgen vb.
İlk olarak, tabanı düzenli bir çokgen ise ve ikincisi, yükseklik bu çokgenin merkezinden geçerse, bir piramit doğru (Şekil 286b) olarak adlandırılır.
Aksi takdirde, piramit düzensiz olarak adlandırılır (Şekil 286, c). Düzenli bir piramitte, tüm yan kenarlar birbirine eşittir (eşit çıkıntılarla eğimli olarak). Bu nedenle, düzgün bir piramidin tüm yan yüzleri eşit ikizkenar üçgenlerdir.
Düzenli bir altıgen piramidin elemanlarının analizi ve bunların karmaşık bir çizimde temsili (Şek.287).

a) Düzgün altıgen piramidin karmaşık çizimi. Piramidin tabanı P1 düzleminde bulunur; piramidin tabanının iki tarafı, П 2 projeksiyon düzlemine paraleldir.
b) ABCDEF tabanı - çıkıntılar düzleminde bulunan bir altıgen П 1 .
c) Yan yüz ASF - genel pozisyonda bir düzlemde bulunan bir üçgen.
d) Yan yüz FSE - profilde bulunan bir üçgen - çıkıntı yapan düzlem.
e) SE kenarı genel konumda bir segmenttir.
f) Kenar SA - ön segment.
g) Piramidin tepesi S uzayda bir noktadır.
Açık (Şekil 288 ve Şekil 289), piramitlerin karmaşık bir çizimini ve görsel görüntülerini (aksonometri) gerçekleştirirken sıralı grafik işlemlerinin örneklerini gösterir.

Verilen:
1. Taban, P 1 düzleminde bulunur.
2. Tabanın kenarlarından biri x 12 eksenine paraleldir.
I. Entegre çizim.
ben, bir. Piramidin tabanını tasarlıyoruz - bu koşula göre, П 1 düzleminde yatan bir çokgen.
Bir köşe tasarlıyoruz - uzayda bulunan bir nokta. S noktasının yüksekliği piramidin yüksekliğine eşittir. S noktasının yatay izdüşümü Sı, piramidin tabanının izdüşümünün merkezinde olacaktır (koşulla).
ben, b. Piramidin kenarlarını tasarlıyoruz - segmentler; Bunu yapmak için, ABCDE taban köşelerinin doğrudan izdüşümlerini, S piramidinin tepesinin karşılık gelen izdüşümleriyle birleştiririz. Piramidin kenarlarının önden çıkıntıları S 2 C 2 ve S 2 D 2 kesikli çizgilerle, görünmez olarak, piramidin yüzleri (SBA ve SAE) tarafından kapatılmıştır.
ben, c. SBA yan yüzündeki K noktasının yatay izdüşümü K 1 verilmiş, ön izdüşümünü bulması gerekmektedir. Bunu yapmak için, S 1 ve K 1 noktalarından bir yardımcı çizgi S 1 F 1 çizeriz, ön projeksiyonunu buluruz ve üzerinde dikey bir iletişim hattı kullanarak, noktanın istenen ön projeksiyonunun yerini belirleriz K 2 K.
II. Piramidin yüzeyinin gelişimi, yan yüzlerden oluşan düz bir şekildir - bir tarafı tabanın kenarına eşit olan aynı ikizkenar üçgenler ve diğer ikisi - yan kenarlara ve normal bir çokgenden - baz.
Kaidenin yanlarının doğal boyutları, yatay izdüşümünde ortaya çıkar. Çıkıntılardaki kaburgaların doğal boyutları ortaya çıkmadı.
Hipotenüs S 2 ¯A 2 (Şekil 288, 1 , b) sağ üçgen S 2 O 2 ¯A 2 , büyük bacağın piramidin S 2 O 2 yüksekliğine eşit olduğu ve küçük bacağın kenarın yatay izdüşümüne eşit olduğu S 1 A 1, kenarın doğal boyutudur piramidin. Süpürme aşağıdaki sırayla oluşturulmalıdır:
a) keyfi bir S noktasından (köşe) piramidin kenarına eşit R yarıçaplı bir yay çizeriz;
b) çizilmiş yay üzerinde, tabanın kenarına eşit R 1 boyutunda beş akoru ayırın;
c) D, C, B, A, E, D noktalarını birbirine seri olarak ve S noktası ile düz çizgilerle bağlayın, beş ikizkenar elde ederiz. eşit üçgenler Bu piramidin yan yüzeyinin gelişimini oluşturan, SD kenarı boyunca kesilmiş;
d) Piramidin tabanını herhangi bir yüze tutturuyoruz - örneğin üçgenleme yöntemini kullanarak bir beşgen, örneğin DSE yüzüne.
K noktası, yatay izdüşümde alınan B 1 F 1 boyutu ve nervürün doğal boyutunda alınan A 2 K 2 boyutu kullanılarak yardımcı bir düz çizgi kullanılarak taramaya aktarılır.
III. İzometride piramidin görsel temsili.
III, bir. Koordinatları kullanarak piramidin tabanını tasvir ediyoruz (Şekil 288, 1 , a).
Koordinatlarını kullanarak piramidin tepesini tasvir ediyoruz (Şek.288, 1 , a).
III, b. Piramidin yan kenarlarını, tepeyi tabanın üstleriyle birleştiriyoruz. S"D" kenarı ve C"D" ve D"E" tabanının kenarları kesikli çizgilerle, görünmez olarak gösterilmiştir, C"S"B", B"S"A" piramidinin yüzleri tarafından kapatılmıştır. ve A"S"E".
III, e. K piramidinin yüzeyindeki noktayı, y F ve x K boyutlarını kullanarak belirliyoruz. Piramidin dimetrik görüntüsü için aynı sıra izlenmelidir.
Düzensiz üçgen piramidin görüntüsü.

Verilen:
1. Taban, P 1 düzleminde bulunur.
2. Tabanın BC tarafı X eksenine diktir.
I. Entegre çizim
ben, bir. Piramidin tabanını tasarlıyoruz - P 1 düzleminde yatan bir ikizkenar üçgen ve üst S - uzayda bulunan, yüksekliği piramidin yüksekliğine eşit olan bir nokta.
ben, b. Piramidin kenarlarını tasarlıyoruz - tabanın köşelerinin aynı adlı çıkıntılarını düz çizgilerle piramidin tepesinin aynı adlı çıkıntılarına bağladığımız bölümler. Uçağın tabanının yan tarafının yatay izdüşümünü kesikli bir çizgi ile, ABS, ACS piramidinin iki yüzü tarafından kapatılmış görünmez bir çizgi olarak gösteriyoruz.
ben, c. Yan yüzün önden A 2 C 2 S 2 izdüşümünde D noktasının D 2 izdüşümü verilmiştir. Yatay izdüşümünü bulması gerekiyor. Bunu yapmak için, D 2 noktasından x 12 eksenine paralel bir yardımcı düz çizgi çizeriz - yatayın önden izdüşümü, sonra yatay izdüşümünü buluruz ve üzerinde dikey bir iletişim hattı kullanarak konumunu belirleriz. D noktasının istenen yatay izdüşümü D 1.
II. Bir piramit süpürme inşaatı.
Kaidenin kenarlarının doğal boyutları yatay izdüşümde ortaya çıkar. Önden projeksiyonda kaburga AS'nin doğal boyutu ortaya çıkar; çıkıntılarda BS ve CS nervürlerinin doğal boyutu yoktur, bu nervürlerin boyutu, S piramidinin tepesinden geçen P1 düzlemine dik olan i ekseni etrafında döndürülerek ortaya çıkar. Yeni önden projeksiyon ¯C 2 S 2, CS kenarının doğal değeridir.
Piramidin yüzeyinin gelişimini oluşturma sırası:
a) tabanı CB piramidinin tabanının kenarına eşit olan bir ikizkenar üçgen - CSB yüzü çizin ve taraf- kaburga SC'nin doğal boyutu ;
b) inşa edilmiş üçgenin SC ve SB kenarlarına - CSA ve BSA piramidinin yüzleri ve inşa üçgenin CB tabanına - CBA piramidinin tabanına iki üçgen ekleriz, sonuç olarak tam bir elde ederiz. bu piramidin yüzeyinin açılması.
D noktasının gelişime aktarımı aşağıdaki sırayla gerçekleştirilir: önce, R 1 boyutunu kullanarak ASC yan yüz geliştirmesine yatay bir çizgi çizin ve ardından R'yi kullanarak yatay çizgi üzerindeki D noktasının konumunu belirleyin. 2 boyut.
III. Piramidin görsel bir temsili ve önden dimetrik projeksiyon
III, bir. (

Mekansal figürlerin hacimlerinin hesaplanması, stereometrinin önemli görevlerinden biridir. Bu yazıda, piramit gibi bir çokyüzlülüğün hacmini belirleme konusunu ele alacağız ve ayrıca düzenli bir altıgen vereceğiz.

Piramit altıgen

Başlamak için, makalede tartışılacak olan rakamın ne olduğunu düşünelim.

Kenarları mutlaka birbirine eşit olmayan keyfi bir altıgenimiz olsun. Ayrıca uzayda altıgenin düzleminde olmayan bir nokta seçtiğimizi varsayalım. İkincisinin tüm köşelerini seçilen nokta ile birleştirerek bir piramit elde ederiz. Aşağıdaki resimde altıgen tabanlı iki farklı piramit gösterilmiştir.

Altıgenin yanı sıra, şeklin bağlantı noktası tepe noktası olarak adlandırılan altı üçgenden oluştuğu görülebilir. Gösterilen piramitler arasındaki fark, sağdaki h yüksekliğinin altıgen tabanı geometrik merkezinde kesmemesi, soldaki figürün yüksekliğinin ise tam olarak bu merkeze düşmesidir. Bu kriter sayesinde sol piramit düz ve sağa eğimli olarak adlandırıldı.

Şekilde soldaki şeklin tabanı, kenarları ve açıları eşit olan bir altıgenden oluştuğu için doğru denir. Makalede ayrıca sadece bu piramit hakkında konuşacağız.

Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için aşağıdaki formül geçerlidir:

Burada h, şeklin yüksekliğinin uzunluğudur, S o, tabanının alanıdır. Düzgün bir altıgen piramidin hacmini belirlemek için bu ifadeyi kullanalım.

Söz konusu şekil bir eşkenar altıgene dayandığından, alanını hesaplamak için bir n-gon için aşağıdaki genel ifade kullanılabilir:

S n = n/4 * bir 2 * ctg(pi/n)

Burada n, çokgenin kenar (köşe) sayısına eşit bir tamsayıdır, a, kenarının uzunluğudur, kotanjant işlevi uygun tablolar kullanılarak hesaplanır.

n = 6 için ifadeyi uygulayarak şunu elde ederiz:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Şimdi bu ifadeyi yerine koymak için kalır Genel formül V hacmi için:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * bir 2

Bu nedenle, söz konusu piramidin hacmini hesaplamak için iki doğrusal parametresini bilmek gerekir: tabanın kenarının uzunluğu ve şeklin yüksekliği.

Sorun çözümü örneği

V 6 için elde edilen ifadenin aşağıdaki problemi çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösterelim.

Doğru hacmin 100 cm3 olduğu bilinmektedir. Aşağıdaki eşitlikle birbirleriyle ilişkili olduğu biliniyorsa, tabanın kenarını ve şeklin yüksekliğini belirlemek gerekir:

Hacim formülüne yalnızca a ve h dahil edildiğinden, bu parametrelerden herhangi biri, diğeri aracılığıyla ifade edilerek onun içine ikame edilebilir. Örneğin, a yerine koyarız, şunu elde ederiz:

V 6 \u003d √3 / 2 * s * (2 * s) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Şeklin yükseklik değerini bulmak için, hacimden uzunluk boyutuna karşılık gelen üçüncü derecenin kökünü almak gerekir. Piramidin V 6 hacim değerini problemin durumundan değiştiriyoruz, yüksekliği alıyoruz:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Tabanın kenarı, sorunun durumuna göre bulunan değerin iki katı olduğundan, onun değerini elde ederiz:

a = 2*h = 2*3.0676 = 6.1352 cm

Altıgen bir piramidin hacmi, yalnızca şeklin yüksekliği ve tabanının kenarının değeri ile bulunabilir. Bunu hesaplamak için piramidin iki farklı lineer parametresini bilmek yeterlidir, örneğin özet ve yan kenarın uzunluğu.

Çizim ilk ve çok önemli adım Geometrik bir problemin çözümünde. Düzenli bir piramidin çizimi ne olmalıdır?

önce hatırlayalım paralel tasarım özellikleri:

- şeklin paralel bölümleri paralel bölümler olarak gösterilmiştir;

- paralel doğruların bölümlerinin uzunluklarının ve bir düz çizginin bölümlerinin oranı korunur.

Düzenli bir üçgen piramidin çizimi

İlk önce, tabanı çizin. Paralel olmayan parçaların uzunluklarının açıları ve oranları paralel tasarımda korunmadığından, piramidin tabanındaki düzgün üçgen keyfi bir üçgen ile temsil edilir.

Eşkenar üçgenin merkezi, üçgenin medyanlarının kesişme noktasıdır. Kesişme noktasındaki medyanlar, yukarıdan sayarak 2: 1 oranında bölündüğünden, tabanın üstünü karşı tarafın ortasına zihinsel olarak bağlarız, yaklaşık olarak üç parçaya böleriz ve bir nokta koyarız. üstten 2 parça mesafe. Bu noktadan yukarıya doğru bir dik çizin. Bu piramidin yüksekliğidir. Dikeyi o kadar uzun çiziyoruz ki yan kenar yüksekliğin görüntüsünü kapatmıyor.

doğru çizmek dörtgen piramit

Düzenli bir dörtgen piramidin çizimi de tabandan başlar. Parçaların paralelliği korunduğu, ancak açıların büyüklükleri olmadığı için, tabandaki kare bir paralelkenar olarak tasvir edilmiştir. arzu edilir keskin köşe bu paralelkenarı küçültün, sonra yan yüzler daha büyük olur. Bir karenin merkezi, köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Köşegenler çiziyoruz, kesişme noktasından dik olanı geri alıyoruz. Bu dik, piramidin yüksekliğidir. Dikin uzunluğunu, yan kenarların birbiriyle birleşmemesi için seçiyoruz.

Düzenli bir altıgen piramidin çizimi

Paralel izdüşüm, parçaların paralelliğini koruduğu için, düzenli bir altıgen piramidin - düzenli bir altıgen - tabanı, karşıt kenarları paralel ve eşit olan bir altıgen olarak tasvir edilir. Düzgün bir altıgenin merkezi, köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Çizimi karıştırmamak için köşegen çizmiyoruz, ancak bu noktayı yaklaşık olarak buluyoruz. Ondan, yan kenarların birbiriyle birleşmemesi için dik - piramidin yüksekliğini - geri yükleriz.

Tarih: 2015-01-19

Eğer ihtiyacın varsa adım adım talimat piramit taraması nasıl yapılır, o zaman dersimizi soruyorum. Her şeyden önce, piramidinizin Şekil 1'deki gibi açılıp açılmadığını değerlendirin.

90 derece döndürdüyseniz, sizin durumunuzda şekilde "bilinen gerçek değerler" olarak işaretlenen kenar, oluşturmanız gereken profil projeksiyonunda bulunabilir. Benim durumumda bu gerekli değil, zaten inşaat için gerekli tüm miktarlara sahibiz. Bu çizimde sadece önden projeksiyondaki SA ve SD kenarlarının tam boyutta görüntülendiğini unutmamak önemlidir. Diğerleri uzunluk distorsiyonu ile yansıtılır. Ayrıca üstten görünümde altıgenin tüm kenarları da tam boy olarak yansıtılmıştır. Buna dayanarak, başlayalım.

1. Daha fazla güzellik için ilk çizgiyi yatay olarak çizelim (Şekil 1). Ardından, R=a yarıçaplı geniş bir yay çizeceğiz, yani. piramidin yan kenarının uzunluğuna eşit bir yarıçap ile. A noktasını alıyoruz. Ondan, r \u003d b (piramidin tabanının kenarının uzunluğu) yarıçaplı bir pusula ile yay üzerinde bir çentik yapıyoruz. B noktasını alalım. Piramidin ilk yüzüne zaten sahibiz!

2. B noktasından aynı yarıçapa sahip başka bir çentik yapacağız - C noktasını alacağız ve onu B ve S noktalarına bağlayarak piramidin ikinci yan yüzünü alacağız (Şekil 2).

3. Bu adımları gerekli sayıda tekrarlayarak (hepsi piramidinizin kaç yüzü olduğuna bağlıdır) böyle bir yelpaze elde edeceğiz (Şekil 3). Doğru yapı ile üssün tüm puanlarını almalı, uç noktalar tekrarlanmalıdır.

4. Bu her zaman gerekli değildir, ancak yine de gereklidir: Piramidin tabanını yan yüzeyin gelişimine ekleyin. Bu noktaya kadar okuyan herkesin altı-sekiz beşgen çizmeyi bildiğine inanıyorum (bir beşgen nasıl çizilir derste ayrıntılı olarak anlatılmaktadır) Zorluk, rakamın çizilmesi gerektiği gerçeğinde yatmaktadır. Doğru yer ve doğru açıda. Herhangi bir yüzün ortasından bir eksen çizin. Taban çizgisiyle kesişme noktasından m mesafesini Şekil 4'te gösterildiği gibi çiziyoruz.


Bu noktadan bir dik çizerek, gelecekteki altıgenin eksenlerini elde ederiz. Ortaya çıkan merkezden, üstten görünüm oluştururken yaptığınız gibi bir daire çiziyoruz. Lütfen dairenin yan yüzün iki noktasından geçmesi gerektiğini unutmayın (benim durumumda bunlar F ve A'dır)

5. Şekil 5, altıgen prizmanın nihai katlanmamış görünümünü göstermektedir.


Bu, piramit taramasının yapımını tamamlar. Taramalarınızı yapın, çözümler bulmayı öğrenin, aşındırıcı olun ve asla pes etmeyin. Uğradığınız için teşekkürler. Bizi arkadaşlarınıza tavsiye etmeyi unutmayın :) İyi seyirler!

veya telefon numaramızı yazın ve arkadaşlarınıza bizden bahsedin - biri muhtemelen çizim yapmanın bir yolunu arıyor

veya sayfanızda veya blogunuzda derslerimiz hakkında bir not oluşturun - ve başka biri çizimde ustalaşabilir.