• เส้นตั้งฉาก- ความสูงของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติซึ่งดึงจากด้านบน (นอกจากนี้ apothem คือความยาวของแนวตั้งฉากซึ่งลดลงจากกึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติเหลือ 1 ด้าน)
• ใบหน้าด้านข้าง (ASB, BSC, CSD, DSA) - สามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่ด้านบน
• ซี่โครงข้าง ( เช่น , BS , CS , ดี.เอส. ) - ด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง
• ด้านบนของปิรามิด (v. ส) - จุดที่เชื่อมขอบด้านข้างและไม่อยู่ในระนาบของฐาน
• ความสูง ( ดังนั้น ) - ส่วนของเส้นตั้งฉากซึ่งลากผ่านด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน (ปลายของส่วนดังกล่าวจะเป็นส่วนบนของปิรามิดและฐานของแนวตั้งฉาก)
• ส่วนทแยงมุมของปิรามิด- ส่วนของปิรามิดซึ่งผ่านด้านบนและแนวทแยงของฐาน
• ฐาน (เอบีซีดี) เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ส่วนบนของปิรามิดไม่ได้อยู่

คุณสมบัติของปิรามิด

1. เมื่อขอบด้านข้างทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน ให้ทำดังนี้

• ง่ายต่อการอธิบายวงกลมใกล้กับฐานของปิรามิด ในขณะที่ยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมนี้
• ซี่โครงด้านข้างทำมุมเท่ากันกับระนาบฐาน
• นอกจากนี้ การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือ เมื่อซี่โครงด้านข้างเกิดกับระนาบฐาน มุมเท่ากันหรือเมื่อวงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้ฐานของปิรามิดแล้วยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมนี้ ซึ่งหมายความว่าขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดมีขนาดเท่ากัน

2. เมื่อผิวหน้าด้านข้างมีมุมเอียงกับระนาบของฐานที่มีค่าเท่ากัน ให้ทำดังนี้

• ใกล้ฐานของปิรามิด มันง่ายที่จะอธิบายวงกลมในขณะที่ยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าไปในศูนย์กลางของวงกลมนี้
• ความสูงของใบหน้าด้านข้างมีความยาวเท่ากัน
• พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับ ½ ผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของหน้าด้านข้าง

3. ทรงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้กับปิรามิด ถ้าฐานของปิรามิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมจะเป็นจุดตัดของระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบพีระมิดที่ตั้งฉากกับพวกมัน จากทฤษฎีบทนี้ เราสรุปได้ว่าทรงกลมสามารถอธิบายได้ทั้งรอบรูปสามเหลี่ยมและรอบพีระมิดทั่วไป

4. ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากระนาบแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของพีระมิดตัดกันที่จุดที่ 1 (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะกลายเป็นศูนย์กลางของทรงกลม

ปิรามิดที่ง่ายที่สุด

ตามจำนวนมุมของฐานปิรามิด พวกเขาจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และอื่นๆ

ปิรามิดจะ สามเหลี่ยม, รูปสี่เหลี่ยมเป็นต้น เมื่อฐานของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม เป็นต้น ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือจัตุรมุข - จัตุรมุข สี่เหลี่ยม - ห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ

รูปทรงสามมิติที่มักปรากฏในปัญหาทางเรขาคณิตคือปิรามิด ตัวเลขที่ง่ายที่สุดของคลาสนี้คือรูปสามเหลี่ยม ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์รายละเอียดเกี่ยวกับสูตรพื้นฐานและคุณสมบัติที่ถูกต้อง

การแสดงทางเรขาคณิตของร่าง

ก่อนดำเนินการพิจารณาคุณสมบัติของปิรามิดสามเหลี่ยมธรรมดา เรามาดูรายละเอียดกันว่าเรากำลังพูดถึงตัวเลขอะไรอยู่

สมมติว่ามีรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจในปริภูมิสามมิติ เราเลือกจุดใดก็ได้ที่ไม่อยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมในพื้นที่นี้ และเชื่อมมันเข้ากับจุดยอดสามจุดของรูปสามเหลี่ยม เราได้ปิรามิดสามเหลี่ยม

ประกอบด้วยด้าน 4 ด้าน ซึ่งทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยม จุดที่ใบหน้าทั้งสามมาบรรจบกันเรียกว่าจุดยอด ร่างยังมีสี่ของพวกเขา เส้นตัดของสองหน้าเป็นขอบ ปิรามิดที่เป็นปัญหามี 6 ซี่โครง รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างรูปนี้

เนื่องจากรูปทรงประกอบด้วยสี่ด้านจึงเรียกว่าจัตุรมุข

ปิรามิดที่ถูกต้อง

ด้านบน พิจารณาร่างโดยพลการพร้อมฐานสามเหลี่ยม สมมติว่าเราวาดเส้นตั้งฉากจากยอดปิรามิดไปยังฐาน ส่วนนี้เรียกว่าส่วนสูง เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ที่จะใช้จ่าย4 ความสูงต่างกันสำหรับรูป หากความสูงตัดกับฐานสามเหลี่ยมในศูนย์กลางทางเรขาคณิต ปิรามิดดังกล่าวจะเรียกว่าปิรามิดแบบตรง

พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่าพีระมิดปกติ สำหรับเธอ สามเหลี่ยมทั้งสามที่สร้างพื้นผิวด้านข้างของรูปนั้นเป็นหน้าจั่วและเท่ากัน กรณีพิเศษของพีระมิดปกติคือสถานการณ์ที่ด้านทั้งสี่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านเท่ากันหมด

พิจารณาคุณสมบัติของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติและให้สูตรที่เหมาะสมในการคำนวณพารามิเตอร์

ด้านฐาน ความสูง ขอบด้านข้างและเส้นตั้งฉาก

พารามิเตอร์สองรายการใดๆ ที่ระบุไว้จะกำหนดลักษณะเฉพาะอีกสองรายการโดยไม่ซ้ำกัน เราให้สูตรที่เชื่อมโยงปริมาณที่ระบุชื่อ

สมมติว่าด้านข้างของฐานของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติคือ a ความยาวของขอบด้านข้างเท่ากับ b พีระมิดสามเหลี่ยมปกติและความสูงของพีระมิดจะเป็นเท่าใด

สำหรับความสูง ชั่วโมง เราได้รับนิพจน์:

สูตรนี้ตามมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งได้แก่ ขอบข้าง ความสูง และ 2/3 ของความสูงของฐาน

เส้นตั้งฉากของพีระมิดคือความสูงของสามเหลี่ยมด้านข้างใดๆ ความยาวของ apotema a b คือ:

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

จากสูตรเหล่านี้จะเห็นได้ว่าไม่ว่าด้านใดของฐานของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมและความยาวของขอบด้านข้าง อะโพเทมาจะเป็นเสมอ ยิ่งสูงปิรามิด

ทั้งสองสูตรที่นำเสนอมีทั้งหมดสี่ ลักษณะเชิงเส้นรูปที่เป็นปัญหา ดังนั้นจากทั้งสองที่รู้จัก คุณสามารถหาส่วนที่เหลือได้โดยการแก้ระบบจากความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษร

ปริมาณตัวเลข

สำหรับปิรามิดใด ๆ อย่างแน่นอน (รวมถึงปิรามิดที่เอียง) ค่าของปริมาตรของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยมันสามารถกำหนดได้โดยการรู้ความสูงของร่างและพื้นที่ของฐาน สูตรที่สอดคล้องกันมีลักษณะดังนี้:

การใช้นิพจน์นี้กับตัวเลขที่เป็นปัญหา เราได้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ h และด้านฐานคือ a

การหาสูตรปริมาตรของจัตุรมุขนั้นไม่ยาก โดยที่ด้านทุกด้านเท่ากันและเป็นตัวแทนของสามเหลี่ยมด้านเท่า ในกรณีนี้ ปริมาตรของตัวเลขจะถูกกำหนดโดยสูตร:

นั่นคือมันถูกกำหนดโดยความยาวของด้าน a อย่างเฉพาะเจาะจง

พื้นที่ผิว

เรายังคงพิจารณาคุณสมบัติของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติต่อไป พื้นที่ทั้งหมดของใบหน้าทั้งหมดของรูปนั้นเรียกว่าพื้นที่ผิวของมัน สะดวกในการศึกษาช่วงหลังโดยพิจารณาจากการพัฒนาที่เกี่ยวข้อง รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่าพีระมิดสามเหลี่ยมปกติเป็นอย่างไร

สมมติว่าเรารู้ความสูง h และด้านของฐาน a ของรูป จากนั้นพื้นที่ฐานจะเท่ากับ:

นักเรียนทุกคนสามารถรับนิพจน์นี้ได้หากเขาจำวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้ และยังคำนึงว่าความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่ายังเป็นตัวแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐานด้วย

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างที่เกิดจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันสามรูปคือ:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

ความเท่าเทียมกันนี้เกิดขึ้นจากการแสดงออกของอะโพเทมาของพีระมิดในแง่ของความสูงและความยาวของฐาน

พื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปคือ:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

โปรดทราบว่าสำหรับจัตุรมุขซึ่งด้านทั้งสี่เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าเดียวกัน พื้นที่ S จะเท่ากับ:

คุณสมบัติของพีระมิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนปกติ

ถ้ายอดของพีระมิดสามเหลี่ยมที่พิจารณาแล้วถูกตัดออกโดยระนาบขนานกับฐาน เท่ากับยอดที่เหลือ ส่วนล่างจะเรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ในกรณีของฐานสามเหลี่ยม อันเป็นผลมาจากวิธีการของส่วนที่อธิบาย จะได้สามเหลี่ยมใหม่ ซึ่งก็คือด้านเท่าที่มีด้านเท่ากันหมด แต่มีความยาวด้านน้อยกว่าด้านฐาน พีระมิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนแสดงอยู่ด้านล่าง

เราเห็นว่าตัวเลขนี้จำกัดอยู่แค่ 2 ตัว ฐานสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสามอัน

สมมติว่าความสูงของผลลัพธ์ที่ได้คือ h ความยาวของด้านข้างของฐานล่างและฐานบนคือ 1 และ 2 ตามลำดับ และเส้นตั้งฉาก (ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู) เท่ากับ a จากนั้นสามารถคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดที่ถูกตัดทอนได้โดยสูตร:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

ในที่นี้เทอมแรกคือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง เทอมที่สองคือพื้นที่ของฐานรูปสามเหลี่ยม

ปริมาตรของตัวเลขคำนวณได้ดังนี้:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

เพื่อกำหนดลักษณะของปิรามิดที่ถูกตัดทอนให้ชัดเจน จำเป็นต้องทราบพารามิเตอร์สามตัวของมัน ซึ่งแสดงให้เห็นโดยสูตรข้างต้น

นี่คือข้อมูลที่รวบรวมพื้นฐานเกี่ยวกับปิรามิดและสูตรและแนวคิดที่เกี่ยวข้อง ทุกคนเรียนพร้อมติวเตอร์วิชาคณิตศาสตร์เพื่อเตรียมสอบ

พิจารณาระนาบ รูปหลายเหลี่ยม นอนอยู่ในนั้นและจุด S ไม่นอนอยู่ในนั้น เชื่อมต่อ S กับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่าปิรามิด ส่วนที่เรียกว่าขอบด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐาน และจุด S เรียกว่ายอดปิรามิด ขึ้นอยู่กับจำนวน n ปิรามิดเรียกว่ารูปสามเหลี่ยม (n=3), สี่เหลี่ยม (n=4), ห้าเหลี่ยม (n=5) เป็นต้น ชื่ออื่นปิรามิดสามเหลี่ยม - จัตุรมุข. ความสูงของปิรามิดคือการตั้งฉากจากยอดถึงระนาบฐาน

ปิรามิดเรียกว่าถูกต้องถ้า รูปหลายเหลี่ยมปกติ และฐานความสูงของปิรามิด (ฐานตั้งฉาก) เป็นจุดศูนย์กลาง

ความคิดเห็นของติวเตอร์:
อย่าสับสนแนวคิด ปิรามิดที่ถูกต้อง” และ “จัตุรมุขปกติ” ในปิรามิดปกติ ขอบด้านข้างไม่จำเป็นต้องเท่ากับขอบของฐาน แต่ในจัตุรมุขปกติ ขอบทั้ง 6 ของขอบจะเท่ากัน นี่คือคำจำกัดความของเขา มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันบอกเป็นนัยว่าจุดศูนย์กลาง P ของรูปหลายเหลี่ยม ด้วยฐานสูง จัตุรมุขปกติจึงเป็นปิรามิดปกติ

ระยะตั้งฉากคืออะไร?
มุมตั้งฉากของพีระมิดคือความสูงของใบหน้าด้านข้าง ถ้าพีระมิดเป็นพีระมิดปกติ ระยะตั้งฉากของพีระมิดทั้งหมดจะเท่ากัน กลับไม่เป็นความจริง

ครูสอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคำศัพท์ของเขา: ทำงานกับปิรามิด 80% สร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมสองประเภท:
1) มีเส้นตั้งฉาก SK และความสูง SP
2) ประกอบด้วย SA ขอบด้านข้างและการฉายภาพ PA

เพื่อให้การอ้างอิงสามเหลี่ยมเหล่านี้ง่ายขึ้น จะสะดวกกว่าสำหรับผู้สอนคณิตศาสตร์ในการตั้งชื่อรูปแรก เภสัชและวินาที costal. ขออภัย คุณจะไม่พบคำศัพท์นี้ในหนังสือเรียนใดๆ และครูต้องแนะนำเพียงฝ่ายเดียว

สูตรปริมาตรพีระมิด:
1) , พื้นที่ฐานพีระมิดอยู่ที่ไหน และ ความสูงของปิรามิดอยู่ที่ไหน
2) รัศมีของทรงกลมที่จารึกอยู่ที่ไหนและเป็นพื้นที่ เต็มพื้นผิวปิรามิด
3) โดยที่ MN คือระยะห่างของขอบตัดสองอันใดๆ และเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดกึ่งกลางของขอบทั้งสี่ที่เหลือ

คุณสมบัติฐานความสูงของพีระมิด:

จุด P (ดูรูป) เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
1) เส้นตั้งฉากเท่ากันทั้งหมด
2) ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเอียงเข้าหาฐานเท่ากัน
3) เส้นตั้งฉากทั้งหมดเอียงเท่ากับความสูงของปิรามิดเท่ากัน
4) ความสูงของปิรามิดเอียงเท่ากันทุกด้าน

ความเห็นติวเตอร์คณิต: โปรดทราบว่ารายการทั้งหมดเป็นหนึ่งเดียว ทรัพย์สินส่วนกลาง: ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ใบหน้าด้านข้างมีส่วนร่วมทุกที่ (ตัวตั้งตรงเป็นองค์ประกอบ) ดังนั้นผู้สอนสามารถนำเสนอสูตรที่แม่นยำน้อยกว่า แต่สะดวกกว่าสำหรับการท่องจำ: จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ ซึ่งเป็นฐานของปิรามิด หากมีข้อมูลที่เท่ากันเกี่ยวกับใบหน้าด้านข้าง เพื่อพิสูจน์ แค่แสดงว่าสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดเท่ากันก็เพียงพอแล้ว

จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบบริเวณฐานของพีระมิด หากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:
1) ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
2) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงเข้าหาฐานเท่ากัน
3) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดมีความลาดเอียงเท่ากัน

พีระมิด. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15). ปิรามิดเรียกว่า ถูกต้อง หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและยอดปิรามิดถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน (รูปที่ 16) พีระมิดสามเหลี่ยมที่ขอบทุกด้านเท่ากันเรียกว่า จัตุรมุข .

ซี่โครงข้างปิรามิด เรียกว่า ด้านของหน้าด้านที่ไม่อยู่ในฐาน ส่วนสูง พีระมิด คือ ระยะทางจากยอดถึงระนาบฐาน ขอบด้านข้างของพีระมิดทุกด้านเท่ากันทุกด้าน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน ความสูงของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอดเรียกว่า เภสัช . ส่วนทแยงมุม ส่วนหนึ่งของปิรามิดเรียกว่าระนาบที่ผ่านขอบทั้งสองข้างที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดเรียกว่าผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทุกด้าน พื้นที่ผิวเต็ม คือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างและฐานทั้งหมด

ทฤษฎีบท

1. หากในปิรามิดขอบทั้งหมดเอียงไปทางระนาบของฐานเท่ากัน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบบริเวณฐาน

2. หากขอบด้านข้างทั้งหมดมีความยาวเท่ากันในปิรามิด ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานใกล้กับฐาน

3. ถ้าในปิรามิด ใบหน้าทั้งหมดเอียงเท่ากันกับระนาบของฐาน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายเข้าตรงกลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดโดยพลการ สูตรนั้นถูกต้อง:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

S หลัก- พื้นที่ฐาน;

ชมคือความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดปกติ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

ห่า- ระยะตั้งฉาก

ชม- ความสูง;

อิ่ม

ด้านเอส

S หลัก- พื้นที่ฐาน;

วีคือปริมาตรของปิรามิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่า ส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) แก้ไขปิรามิดที่ถูกตัดทอน เรียกว่า ส่วนของปิรามิดปกติ อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด

ฐานรากปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ใบหน้าด้านข้าง - สี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนสูง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนทแยงมุม ส่วนหนึ่งของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าระนาบที่ผ่านขอบทั้งสองข้างที่ไม่อยู่ในใบหน้าเดียวกัน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรนี้ใช้ได้:

(4)

ที่ไหน ส 1 , ส 2 - พื้นที่ของฐานบนและล่าง;

อิ่มคือพื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอสคือพื้นที่ผิวข้าง

ชม- ความสูง;

วีคือปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี 1 , พี 2 - ปริมณฑลฐาน;

ห่า- apothem ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ60º หาแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

พีระมิดเป็นแบบปกติ ซึ่งหมายความว่าฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และด้านด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือมุมเอียงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นจะเป็นมุม เอระหว่างสองฉากตั้งฉาก: i.e. ด้านบนของปิรามิดถูกฉายที่กึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม (ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ABC). มุมเอียงของซี่โครงด้านข้าง (เช่น SB) คือมุมระหว่างขอบของตัวมันเองกับการฉายภาพบนระนาบฐาน สำหรับซี่โครง SBมุมนี้จะเป็นมุม SBD. ในการหาสัมผัสต้องรู้ขา ดังนั้นและ OB. ให้ความยาวของส่วน BDคือ 3 เอ. จุด อู๋ส่วนของเส้น BDแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และ จากเราพบว่า ดังนั้น: จากเราพบว่า:

ตอบ:

ตัวอย่าง 2จงหาปริมาตรของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมที่ถูกตัดทอนแบบปกติ ถ้าฐานของมันคือ ซม. และ ซม. และสูง 4 ซม.

วิธีการแก้.ในการหาปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ของฐาน คุณต้องหาด้านข้างของสี่เหลี่ยมฐาน โดยรู้แนวทแยงของพวกมัน ด้านข้างของฐานคือ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ซึ่งหมายถึงพื้นที่ของฐานและการแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร เราจะคำนวณปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน:

ตอบ: 112 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3จงหาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ โดยด้านฐานยาว 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของพีระมิดเท่ากับ 2 ซม.

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ด้านข้างของพีระมิดนี้เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูง ฐานกำหนดตามเงื่อนไข เฉพาะส่วนสูงเท่านั้นที่ยังไม่ทราบ หาได้จากไหน แต่ 1 อีตั้งฉากจากจุด แต่ 1 บนระนาบของฐานล่าง อา 1 ดี- ตั้งฉากจาก แต่ 1 วัน AC. แต่ 1 อี\u003d 2 ซม. เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด สำหรับการค้นหา DEเราจะวาดภาพเพิ่มเติมซึ่งเราจะแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) Dot อู๋- การฉายภาพศูนย์กลางของฐานบนและล่าง ตั้งแต่ (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลงคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และ โอมคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้:

MK=DE.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งฐานของนั้น เอและ ข (เอ> ข). ด้านแต่ละด้านมีมุมเท่ากับระนาบของฐานปิรามิด เจ. หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด.

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

ให้เราใช้คำกล่าวที่ว่าถ้าทุกหน้าของพีระมิดเอียงเท่ากันกับระนาบของฐาน จุดยอดจะถูกฉายเข้าไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน Dot อู๋- การฉายภาพจุดยอด สที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม SODคือเส้นโครงฉากของสามเหลี่ยม CSDสู่ระนาบฐาน ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปทรงแบนเราได้รับ:

ในทำนองเดียวกันก็หมายความว่า ดังนั้นปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี. วาดสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) Dot อู๋เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากสามารถจารึกวงกลมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว หรือ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี

บทนำ

เมื่อเราเริ่มศึกษาตัวเลขสามมิติ เราพูดถึงหัวข้อ "พีระมิด" เราชอบธีมนี้เพราะพีระมิดมักถูกใช้ในงานสถาปัตยกรรม และตั้งแต่ของเรา อาชีพในอนาคตสถาปนิกที่ได้รับแรงบันดาลใจจากรูปนี้ เราคิดว่าเธอจะสามารถผลักดันเราไปสู่โครงการดีๆ ได้

ความแข็งแกร่งของโครงสร้างสถาปัตยกรรมคุณภาพที่สำคัญที่สุด เชื่อมโยงความแข็งแรงประการแรกกับวัสดุที่สร้างขึ้นและประการที่สองกับคุณสมบัติ โซลูชั่นที่สร้างสรรค์ปรากฎว่าความแข็งแรงของโครงสร้างเกี่ยวข้องโดยตรงกับรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างนั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตนั้นซึ่งถือได้ว่าเป็นแบบจำลองของรูปแบบสถาปัตยกรรมที่สอดคล้องกัน ปรากฎว่ารูปทรงเรขาคณิตเป็นตัวกำหนดความแข็งแกร่งของโครงสร้างสถาปัตยกรรมด้วย

ปิรามิดอียิปต์ถือเป็นโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมที่ทนทานที่สุดมาช้านาน อย่างที่คุณทราบ พวกมันมีรูปร่างเหมือนปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมทั่วไป

เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ให้ความมั่นคงสูงสุดเนื่องจากพื้นที่ฐานขนาดใหญ่ ในทางกลับกัน รูปร่างของปิรามิดช่วยให้มวลลดลงเมื่อความสูงเหนือพื้นดินเพิ่มขึ้น เป็นคุณสมบัติทั้งสองนี้ที่ทำให้ปิรามิดมีความเสถียรและแข็งแรงในสภาวะแรงโน้มถ่วง

วัตถุประสงค์ของโครงการ: เรียนรู้สิ่งใหม่เกี่ยวกับปิรามิด เพิ่มพูนความรู้ และค้นหาการใช้งานจริง

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็นต้องแก้ไขงานต่อไปนี้:

เรียนรู้ข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับปิรามิด

ถือว่าปิรามิดเป็นรูปเรขาคณิต

ค้นหาการใช้งานในชีวิตและสถาปัตยกรรม

ค้นหาความเหมือนและความแตกต่างระหว่างปิรามิดที่อยู่ใน ส่วนต่างๆ Sveta

ส่วนทฤษฎี

ข้อมูลทางประวัติศาสตร์

จุดเริ่มต้นของเรขาคณิตของปิรามิดถูกวางในอียิปต์โบราณและบาบิโลน แต่ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันใน กรีกโบราณ. คนแรกที่ระบุว่าปริมาตรของพีระมิดเท่ากับเท่าใดคือเดโมคริตุส และ Eudoxus of Cnidus ได้พิสูจน์แล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Euclid จัดระบบความรู้เกี่ยวกับปิรามิดในเล่มที่สิบสองของ "จุดเริ่มต้น" ของเขาและยังนำคำจำกัดความแรกของปิรามิดออกมา: ร่างที่ล้อมรอบด้วยระนาบที่บรรจบกันจากระนาบหนึ่งที่จุดหนึ่ง

หลุมฝังศพของฟาโรห์อียิปต์ ปิรามิดที่ใหญ่ที่สุดคือ Cheops, Khafre และ Mikerin ใน El Giza ในสมัยโบราณถือว่าเป็นหนึ่งในเจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลก การสร้างปิรามิดซึ่งชาวกรีกและโรมันได้เห็นอนุสาวรีย์แห่งความเย่อหยิ่งของกษัตริย์และความโหดร้ายอย่างที่ไม่เคยปรากฏมาก่อนซึ่งทำให้ชาวอียิปต์ทั้งมวลต้องการก่อสร้างที่ไร้สติเป็นการกระทำทางศาสนาที่สำคัญที่สุดและควรจะแสดงออกอย่างชัดเจน เอกลักษณ์อันลึกลับของประเทศและผู้ปกครอง ประชากรของประเทศทำงานก่อสร้างสุสานในช่วงปีปลอดจากงานเกษตรกรรม ข้อความจำนวนหนึ่งเป็นพยานถึงความสนใจและความห่วงใยที่กษัตริย์เอง (แม้ว่าจะในภายหลัง) ได้จ่ายเงินเพื่อสร้างหลุมฝังศพและผู้สร้างหลุมฝังศพของพวกเขา เป็นที่รู้จักกันเกี่ยวกับเกียรตินิยมลัทธิพิเศษที่กลายเป็นปิรามิดเอง

แนวคิดพื้นฐาน

พีระมิดรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐานซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน

อโพเทม- ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากด้านบน

ใบหน้าด้านข้าง- สามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่ด้านบน

ซี่โครงข้าง- ด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง

ด้านบนของปิรามิด- จุดเชื่อมต่อขอบด้านข้างและไม่อยู่ในระนาบของฐาน

ส่วนสูง- ส่วนของเส้นตั้งฉากที่ลากผ่านด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน (ปลายของส่วนนี้คือส่วนบนของปิรามิดและฐานของแนวตั้งฉาก)

ส่วนแนวทแยงของปิรามิด- ส่วนของปิรามิดที่ผ่านด้านบนและแนวทแยงของฐาน

ฐาน- รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ในยอดปิรามิด

คุณสมบัติหลักของปิรามิดที่ถูกต้อง

ขอบด้านข้าง ใบหน้าด้านข้าง และมุมตั้งฉากเท่ากันตามลำดับ

มุมไดฮีดรัลที่ฐานเท่ากัน

มุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้างเท่ากัน

ความสูงแต่ละจุดมีค่าเท่ากันจากจุดยอดฐานทั้งหมด

ความสูงแต่ละจุดจะเท่ากันจากทุกด้าน

สูตรปิรามิดพื้นฐาน

พื้นที่ผิวข้างและผิวเต็มของปิรามิด

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด (เต็มและถูกตัดออก) คือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด

ทฤษฎีบท: พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและระยะตั้งฉากของพีระมิด

พี- ปริมณฑลของฐาน

ชม.- ระยะตั้งฉาก

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและเต็มของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

p1, พี่ 2 - ปริมณฑลฐาน

ชม.- ระยะตั้งฉาก

R- พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ด้านเอส- พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

S1 + S2- พื้นที่ฐาน

ปริมาณพีระมิด

รูปร่าง มาตราส่วนปริมาตรใช้สำหรับปิรามิดทุกชนิด

ชมคือความสูงของปิรามิด

มุมพีระมิด

มุมที่เกิดจากใบหน้าด้านข้างและฐานของพีระมิดเรียกว่ามุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด

มุมไดฮีดรัลประกอบด้วยเส้นตั้งฉากสองเส้น

ในการกำหนดมุมนี้ คุณมักจะต้องใช้ทฤษฎีบทตั้งฉากสามประการ.

มุมที่เกิดจากขอบด้านข้างและการฉายภาพบนระนาบของฐานเรียกว่า มุมระหว่างขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน.

มุมที่เกิดจากใบหน้าสองข้างเรียกว่า มุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้างของพีระมิด

มุมที่เกิดจากขอบทั้งสองด้านของหน้าพีระมิดด้านเดียวเรียกว่า มุมบนยอดปิรามิด.

ส่วนของปิรามิด

พื้นผิวของพีระมิดคือพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยม ใบหน้าแต่ละหน้าเป็นระนาบ ดังนั้น ส่วนของพีระมิดที่กำหนดโดยระนาบซีแคนต์จึงเป็นเส้นหักซึ่งประกอบด้วยเส้นตรงที่แยกจากกัน

ส่วนทแยงมุม

ส่วนของปิรามิดโดยระนาบที่ลอดผ่านขอบสองข้างที่ไม่อยู่หน้าเดียวกัน เรียกว่า ส่วนทแยงมุมปิรามิด

ส่วนขนาน

ทฤษฎีบท:

หากระนาบข้ามพีระมิดขนานกับฐาน ขอบด้านข้างและความสูงของปิรามิดจะถูกแบ่งโดยระนาบนี้ออกเป็นส่วนๆ

ส่วนของระนาบนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมคล้ายกับฐาน

พื้นที่ของส่วนและฐานสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของระยะห่างจากด้านบน

ประเภทของปิรามิด

ปิรามิดที่ถูกต้อง- พีระมิด ซึ่งฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และส่วนบนของพีระมิดถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน

ที่ปิรามิดที่ถูกต้อง:

1. ซี่โครงเท่ากัน

2. ด้านข้างเท่ากัน

3. เส้นตั้งฉากเท่ากัน

4. มุมไดฮีดรัลที่ฐานเท่ากัน

5. มุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้างเท่ากัน

6. ความสูงแต่ละจุดมีค่าเท่ากันจากจุดยอดฐานทั้งหมด

7. ความสูงแต่ละจุดจะเท่ากันทุกด้าน

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน- ส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐาน

ฐานและส่วนที่สอดคล้องกันของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่า ฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอน.

เส้นตั้งฉากจากจุดใดๆ ของฐานหนึ่งไปยังระนาบของอีกฐานหนึ่งเรียกว่า ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

งาน

ลำดับที่ 1 ทางขวา พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของฐาน SO=8 ซม. BD=30 ซม. หาขอบด้านข้าง SA

การแก้ปัญหา

ลำดับที่ 1 ในปิรามิดทั่วไป ใบหน้าและขอบทั้งหมดเท่ากัน

ลองพิจารณา OSB: OSB-สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะ

SB 2 \u003d ดังนั้น 2 + OB 2

SB2=64+225=289

พีระมิดในสถาปัตยกรรม

พีระมิด - โครงสร้างอนุสาวรีย์ในรูปแบบของปิรามิดเรขาคณิตธรรมดาซึ่ง ข้างมาบรรจบกัน ณ จุดหนึ่ง ตามวัตถุประสงค์ในการใช้งาน ปิรามิดในสมัยโบราณเป็นสถานที่ฝังศพหรือสักการะ ฐานของปิรามิดอาจเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปหลายเหลี่ยม โดยมีจำนวนจุดยอดตามอำเภอใจ แต่รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดคือฐานสี่เหลี่ยม

มีการสร้างปิรามิดจำนวนมากขึ้น วัฒนธรรมที่แตกต่าง โลกโบราณส่วนใหญ่เป็นวัดหรืออนุสาวรีย์ ปิรามิดที่ใหญ่ที่สุดคือปิรามิดอียิปต์

ทั่วทุกมุมโลก คุณสามารถเห็นโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมในรูปแบบของปิรามิด อาคารพีระมิดชวนให้นึกถึงสมัยโบราณและดูสวยงามมาก

ปิรามิดแห่งอียิปต์ยิ่งใหญ่ที่สุด อนุสรณ์สถานทางสถาปัตยกรรม อียิปต์โบราณหนึ่งใน "เจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลก" คือปิรามิดแห่ง Cheops จากตีนขึ้นสู่ยอด สูงถึง 137.3 ม. และก่อนที่จะสูญเสียยอดไป ความสูงของมันคือ 146.7 ม.

การสร้างสถานีวิทยุในเมืองหลวงของสโลวาเกียซึ่งมีรูปร่างคล้ายพีระมิดกลับหัว สร้างขึ้นในปี 1983 นอกจากสำนักงานและสถานที่ให้บริการแล้ว ภายในเล่มยังมีห้องแสดงคอนเสิร์ตที่ค่อนข้างกว้างขวางซึ่งมีอวัยวะที่ใหญ่ที่สุดแห่งหนึ่งในสโลวาเกีย .

พิพิธภัณฑ์ลูฟร์ซึ่ง "เงียบและสง่างามราวกับพีระมิด" ได้ผ่านการเปลี่ยนแปลงหลายครั้งในช่วงหลายศตวรรษก่อนจะกลายเป็นพิพิธภัณฑ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลก ถือกำเนิดขึ้นเป็นป้อมปราการที่สร้างขึ้นโดยฟิลิป ออกุสตุสในปี ค.ศ. 1190 ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นที่ประทับของราชวงศ์ ในปี พ.ศ. 2336 วังได้กลายเป็นพิพิธภัณฑ์ คอลเล็กชันได้รับการเติมเต็มผ่านการพินัยกรรมหรือการซื้อ