หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวย พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและเต็มของกรวย

เรารู้ว่ารูปกรวยคืออะไร ลองหาพื้นที่ผิวของมันกัน เหตุใดจึงจำเป็นต้องแก้ปัญหาดังกล่าว เช่น ต้องเข้าใจว่า การทดสอบจะไปทำวาฟเฟิลโคน? หรือต้องใช้อิฐกี่ก้อนเพื่อวางหลังคาอิฐของปราสาท?

การวัดพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ลองนึกภาพเขาตัวเดียวกันที่ห่อด้วยผ้า ในการหาพื้นที่ของผืนผ้า คุณต้องตัดและกางออกบนโต๊ะ เราได้รูปทรงแบนๆ เราสามารถหาพื้นที่ของมันได้

ข้าว. 1. ส่วนของโคนตามแนว generatrix

ลองทำเช่นเดียวกันกับกรวย ลอง "ตัด" พื้นผิวด้านข้างของมันตาม generatrix ใด ๆ ตัวอย่างเช่น (ดูรูปที่ 1)

ตอนนี้เรา "คลาย" พื้นผิวด้านข้างบนระนาบ เราได้รับภาค ศูนย์กลางของเซกเตอร์นี้คือส่วนบนของกรวย รัศมีของเซกเตอร์เท่ากับ generatrix ของกรวย และความยาวของส่วนโค้งสอดคล้องกับเส้นรอบวงของฐานของกรวย ส่วนดังกล่าวเรียกว่าการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 2. การพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง

ข้าว. 3. การวัดมุมเป็นเรเดียน

ลองหาพื้นที่ของเซกเตอร์ตามข้อมูลที่มีกัน ขั้นแรก มาแนะนำสัญกรณ์: ให้มุมที่ด้านบนของเซกเตอร์เป็นเรเดียน (ดูรูปที่ 3)

เรามักจะพบมุมที่ด้านบนของการกวาดในงาน ในระหว่างนี้ เรามาลองตอบคำถามกัน ว่ามุมนี้จะเกิน 360 องศาไม่ได้หรือ? นั่นคือมันจะไม่กลายเป็นว่าการกวาดจะซ้อนทับตัวเองหรือไม่? แน่นอนไม่ มาพิสูจน์กันทางคณิตศาสตร์กัน ปล่อยให้กวาด "ทับซ้อนกัน" เอง ซึ่งหมายความว่าความยาวของส่วนโค้งการกวาดนั้นมากกว่าเส้นรอบวงของรัศมี แต่ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ความยาวของส่วนโค้งกวาดคือเส้นรอบวงของรัศมี และรัศมีของฐานของกรวยแน่นอนน้อยกว่า generatrix เช่น เนื่องจากขาของสามเหลี่ยมมุมฉากมีค่าน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากนั้น ให้จำสูตรสองสูตรจากการวัดระนาบ: ความยาวส่วนโค้ง เขตพื้นที่: .

ในกรณีของเรา บทบาทนี้เล่นโดย generatrix , และความยาวของส่วนโค้งเท่ากับเส้นรอบวงฐานของกรวยนั่นคือ เรามี:

ในที่สุดเราก็ได้:

นอกจากพื้นที่ผิวด้านข้างแล้ว เรายังสามารถหาพื้นที่ได้อีกด้วย เต็มพื้นผิว. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพิ่มพื้นที่ฐานไปยังพื้นที่ผิวด้านข้าง แต่ฐานเป็นวงกลมรัศมี ซึ่งพื้นที่ตามสูตรคือ .

ในที่สุดเราก็มี: , โดยที่รัศมีของฐานของทรงกระบอกคือ generatrix

มาแก้ปัญหาสองสามข้อในสูตรที่กำหนดกัน

ข้าว. 4. มุมที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1. การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวยเป็นภาคที่มีมุมที่ปลาย หามุมนี้ถ้าความสูงของกรวยเท่ากับ 4 ซม. และรัศมีของฐานเท่ากับ 3 ซม. (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 5. สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปกรวย

โดยการกระทำครั้งแรก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบเจเนอเรทริกซ์: 5 ซม. (ดูรูปที่ 5) ยิ่งกว่านั้น เรารู้ดีว่า .

ตัวอย่าง 2. พื้นที่ของส่วนแกนของกรวยคือ , ความสูงเท่ากับ . หาพื้นที่ผิวทั้งหมด (ดูรูปที่ 6)

ร่างของการปฏิวัติที่เรียนที่โรงเรียนคือทรงกระบอก ทรงกรวย และลูกบอล

หากในงาน USE ในวิชาคณิตศาสตร์ คุณต้องคำนวณปริมาตรของกรวยหรือพื้นที่ของทรงกลม ให้ถือว่าตัวเองโชคดี

ใช้สูตรปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก ทรงกรวย และทรงกลม ทั้งหมดอยู่ในตารางของเรา เรียนรู้ด้วยใจ. นี่คือจุดเริ่มต้นของความรู้เกี่ยวกับสเตอริโอเมทรี

บางครั้งก็เป็นการดีที่จะวาดมุมมองด้านบน หรือในปัญหานี้จากด้านล่าง

2. ปริมาตรของกรวยที่ล้อมรอบค่าที่ถูกต้องมีกี่เท่า พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมมากกว่าปริมาตรของกรวยที่จารึกไว้ในปิรามิดนี้หรือไม่?

ทุกอย่างเรียบง่าย - เราวาดมุมมองจากด้านล่าง เราจะเห็นว่ารัศมีของวงกลมที่ใหญ่กว่านั้นใหญ่กว่ารัศมีของวงกลมที่เล็กกว่าหลายเท่า ความสูงของกรวยทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นปริมาตรของกรวยที่ใหญ่กว่าจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า

อื่น จุดสำคัญ. จำไว้ว่าในงานของ part B ใช้ตัวเลือกในวิชาคณิตศาสตร์ คำตอบจะเขียนเป็นจำนวนเต็มหรือจำกัด เศษส่วนทศนิยม. ดังนั้น คุณไม่ควรมีคำตอบใด ๆ หรือในคำตอบของคุณในส่วน ข. การแทนที่ค่าโดยประมาณของตัวเลขก็ไม่จำเป็นเช่นกัน! มันต้องลด! ด้วยเหตุนี้ในงานบางงานจึงมีการกำหนดภารกิจไว้เช่น "ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบหารด้วย"

และสูตรสำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของการปฏิวัติใช้ที่ไหนอีก? แน่นอนในปัญหา C2 (16) เราจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วย

นี่คือปัญหาของกรวย ซึ่งสภาพนั้นสัมพันธ์กับพื้นที่ผิวของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในบางปัญหามีคำถามเกี่ยวกับการเปลี่ยนพื้นที่ด้วยการเพิ่มขึ้น (ลดลง) ในความสูงของกรวยหรือรัศมีของฐาน ทฤษฎีการแก้ปัญหาใน . พิจารณางานต่อไปนี้:

27135. เส้นรอบวงของฐานของกรวยคือ 3, ตัวกำเนิดคือ 2. ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวย

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยคือ:

การเสียบข้อมูล:

75697 พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งถ้ากำเนิดของมันเพิ่มขึ้น 36 เท่าและรัศมีของฐานยังคงเท่าเดิม?

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย:

generatrix เพิ่มขึ้น 36 เท่า รัศมียังคงเท่าเดิม ซึ่งหมายความว่าเส้นรอบวงของฐานไม่เปลี่ยนแปลง

ดังนั้นพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ดัดแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นจะเพิ่มขึ้น 36 เท่า

*การพึ่งพาอาศัยกันนั้นตรงไปตรงมา ดังนั้นปัญหานี้จึงแก้ไขได้ง่ายด้วยปากเปล่า

27137. พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยจะลดลงกี่ครั้งถ้ารัศมีของฐานลดลง 1.5 เท่า?

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยคือ:

รัศมีลดลง 1.5 เท่า นั่นคือ:

พบว่าพื้นที่ผิวด้านข้างลดลง 1.5 เท่า

27159. ความสูงของกรวยคือ 6, ตัวกำเนิดคือ 10. ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดหารด้วย pi

พื้นผิวทั้งหมดของกรวย:

ค้นหารัศมี:

ความสูงและกำเนิดเป็นที่รู้จักโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราคำนวณรัศมี:

ทางนี้:

หารผลลัพธ์ด้วย Pi แล้วจดคำตอบ

76299 พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยคือ 108 ส่วนถูกวาดขนานกับฐานของกรวยโดยแบ่งความสูงออกเป็นครึ่งหนึ่ง หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยที่ถูกตัดทอน

ส่วนผ่านความสูงกลางขนานกับฐาน ซึ่งหมายความว่ารัศมีของฐานและ generatrix ของกรวยที่ถูกตัดทอนจะน้อยกว่ารัศมีและ generatrix ของกรวยเดิม 2 เท่า ลองเขียนว่าพื้นที่ผิวของกรวยตัดมีค่าเท่ากับเท่าใด:

มีเธอไป 4 ครั้ง พื้นที่น้อยพื้นผิวของต้นฉบับ นั่นคือ 108:4 = 27.

* เนื่องจากโคนดั้งเดิมและโคนที่ตัดแล้วมีรูปร่างคล้ายคลึงกัน จึงเป็นไปได้ที่จะใช้คุณสมบัติความคล้ายคลึงกัน:

27167. รัศมีของฐานของกรวยคือ 3 ความสูงคือ 4 ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยหารด้วย pi

สูตรสำหรับพื้นผิวทั้งหมดของกรวยคือ:

รัศมีเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าจำเป็นต้องค้นหา generatrix

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ทางนี้:

หารผลลัพธ์ด้วย Pi แล้วจดคำตอบ

งาน. พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยเป็นสี่เท่าของพื้นที่ฐาน หาโคไซน์ของมุมระหว่างตัวกำเนิดของกรวยกับระนาบของฐาน

พื้นที่ฐานของกรวยคือ:

นั่นคือโคไซน์จะเท่ากับ:

คำตอบ: 0.25

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

27136. พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งถ้ากำเนิดเพิ่มขึ้น 3 เท่า?

27160. พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยเป็นสองเท่าของพื้นที่ฐาน หามุมระหว่างตัวกำเนิดของกรวยกับระนาบของฐาน ให้คำตอบเป็นองศา .

27161. พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยคือ 12 ส่วนจะถูกวาดขนานกับฐานของกรวยโดยแบ่งความสูงออกเป็นครึ่งหนึ่ง หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยที่ถูกตัดทอน

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดีกับคุณ!

ขอแสดงความนับถือ Alexander

*แบ่งปันข้อมูลเกี่ยวกับเว็บไซต์กับเพื่อน ๆ ผ่านเครือข่ายสังคมออนไลน์

พื้นที่ผิวของกรวย (หรือเพียงแค่พื้นผิวของกรวย) เท่ากับผลรวมของพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้าง

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยคำนวณโดยสูตร: S = πR lโดยที่ R คือรัศมีของฐานของกรวยและ l- กำเนิดของกรวย

เนื่องจากพื้นที่ฐานของกรวยคือ πR 2 (เป็นพื้นที่ของวงกลม) ดังนั้นพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของกรวยจะเท่ากับ : πR 2 + πR l= πR (R + l).

การหาสูตรพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยสามารถอธิบายได้โดยใช้เหตุผลดังกล่าว ให้ภาพวาดแสดงการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย แบ่งส่วนโค้ง AB เป็นไปได้ มากกว่าส่วนที่เท่ากันและเชื่อมต่อจุดแบ่งทั้งหมดเข้ากับศูนย์กลางของส่วนโค้งและส่วนที่อยู่ติดกันด้วยคอร์ด

ได้ซีรี่ย์ สามเหลี่ยมเท่ากับ. พื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละรูปคือ อา / 2 ที่ไหน เอ- ความยาวของฐานสามเหลี่ยม a ชม.- สูงของเขา

ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ: อา / 2 น = anh / 2 ที่ไหน นคือจำนวนสามเหลี่ยม

ด้วยการแบ่งจำนวนมาก ผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะใกล้เคียงกับพื้นที่ของการพัฒนามาก นั่นคือ พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของรูปกรวย ผลรวมของฐานของรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ หนึ่ง, จะเข้าใกล้ความยาวของส่วนโค้ง AB มาก เช่น กับเส้นรอบวงฐานของกรวย ความสูงของสามเหลี่ยมแต่ละรูปจะเข้าใกล้รัศมีของส่วนโค้งมาก กล่าวคือ กำเนิดของรูปกรวย

ละเลยความแตกต่างเล็กน้อยในขนาดของปริมาณเหล่านี้ เราได้รับสูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวย (S):

S=C l / 2 โดยที่ C คือเส้นรอบวงของฐานของกรวย l- กำเนิดของกรวย

เมื่อรู้ว่า C \u003d 2πRโดยที่ R คือรัศมีของวงกลมของฐานของกรวยเราได้รับ: S \u003d πR l.

บันทึก.ในสูตร S = C l / 2 ให้เครื่องหมายของความเท่าเทียมกันที่แน่นอนและไม่ใช่ค่าประมาณ แม้ว่าบนพื้นฐานของเหตุผลข้างต้น เราก็ถือว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นค่าประมาณได้ แต่ตอนมัธยม มัธยมพิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกัน

S=C l / 2 เป็นที่แน่นอนไม่ใช่ประมาณ

ทฤษฎีบท. พื้นผิวด้านข้างของกรวยมีค่าเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและครึ่งหนึ่งของเจเนอริกซ์

ให้เราจารึกในกรวย (รูป) บ้าง ปิรามิดที่ถูกต้องและแสดงด้วยตัวอักษร Rและ lตัวเลขแสดงความยาวของเส้นรอบวงฐานและเส้นตั้งฉากของพีระมิดนี้

จากนั้นพื้นผิวด้านข้างจะแสดงโดยผลิตภัณฑ์ 1 / 2 R l .

ให้เราสมมติว่าจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในฐานเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด แล้วปริมณฑล Rจะมีแนวโน้มถึงขีดจำกัดที่นำมาเป็นความยาว C ของเส้นรอบวงฐานและเส้นตั้งฉาก lจะมีเครื่องกำเนิดกรวยเป็นขีดจำกัด (เนื่องจาก ΔSAK หมายความว่า SA - SK
1 / 2 R l, จะมีแนวโน้มถึงขีด จำกัด 1/2 C L. ขีดจำกัดนี้ถือเป็นค่าของพื้นผิวด้านข้างของกรวย ระบุพื้นผิวด้านข้างของกรวยด้วยตัวอักษร S เราสามารถเขียนได้:

S = 1/2 C L = C 1/2 ลิตร

ผลที่ตามมา.
1) ตั้งแต่ C \u003d 2 π R จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของกรวยจะแสดงโดยสูตร:

S=1/2 2π R ล= π RL

2) เราได้พื้นผิวทั้งหมดของกรวยถ้าเราเพิ่มพื้นผิวด้านข้างไปยังพื้นที่ฐาน ดังนั้น เมื่อแทนพื้นผิวทั้งหมดโดย T เราจะมี:

T= π RL+ π R2= π อาร์(L+R)

ทฤษฎีบท. พื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลคูณของผลรวมของเส้นรอบวงของฐานและตัวกำเนิด

ให้เราจารึกในกรวยที่ถูกตัดทอน (รูป) ปกติบ้าง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนและแสดงด้วยตัวอักษร ร ร 1 และ lตัวเลขที่แสดงความยาวของเส้นรอบวงของฐานล่างและฐานบนและเส้นตั้งฉากของพีระมิดนี้ในหน่วยเชิงเส้นเดียวกัน

จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่จารึกไว้คือ 1/2 ( พี + พี 1) l

ด้วยการเพิ่มจำนวนใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่จารึกไว้อย่างไม่ จำกัด เส้นรอบวง Rและ R 1 มีแนวโน้มถึงขีดจำกัดที่นำมาเป็นความยาว C และ C 1 ของวงกลมฐานและเส้นตั้งฉาก lมีขีดจำกัด generatrix L ของกรวยที่ถูกตัดทอน ดังนั้น ค่าของพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดที่จารึกไว้จึงมีแนวโน้มที่จะมีค่าเท่ากับ (С + С 1) L. ขีดจำกัดนี้ถือเป็นค่าของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน แสดงถึงพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนด้วยตัวอักษร S เราจะได้รับ:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

ผลที่ตามมา.
1) หาก R และ R 1 หมายถึงรัศมีของวงกลมของฐานล่างและฐานบน จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเป็น:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)ล.

2) หากอยู่ในสี่เหลี่ยมคางหมู OO 1 A 1 A (รูปที่) จากการหมุนที่ได้รับกรวยที่ถูกตัดทอนเราวาด สายกลาง BC เราได้รับ:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1)

R + R 1 = 2 ปีก่อนคริสตกาล

เพราะเหตุนี้,

S=2 π บีซีแอล,

เช่น. พื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของส่วนเฉลี่ยและตัวกำเนิด

3) พื้นผิวทั้งหมด T ของกรวยที่ถูกตัดทอนแสดงดังนี้:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)