ทำเล็บ 

งานวิจัย "สูตรพีค". สูตรพีคในหลักสูตร planimetry ของโรงเรียน

สตาร์โคว่า คริสตินา นักเรียนชั้น ป.8B

บทความนี้พิจารณาทฤษฎีบทของ Pick และข้อพิสูจน์

พิจารณาปัญหาการหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

ภาควิชาสามัญศึกษาและอาชีวศึกษา

การบริหารงานเทศบาลเมืองไชคอฟสกี้

ระดับการใช้งาน

การประชุมวิชาการเทศบาล VI
นักเรียน

สถาบันการศึกษาทั่วไปในเขตปกครองตนเอง

"มัธยมศึกษาปีที่ 11"

ส่วน: คณิตศาสตร์

การประยุกต์ใช้สูตรของพิค

นักเรียนชั้น8 "B"

โรงเรียนมัธยม MAOU №11ไชคอฟสกี

ผู้นำ: Batueva L, N. ,

ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MAOU №11

ไชคอฟสกี

ปี 2555

I. บทนำ……………………………………………………. 2

ครั้งที่สอง สูตรพีค

2.1.Grids.Knots…………………………………………….4

2.2.สามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม…………………………5

2.3. หลักฐานของทฤษฎีบทพิค…………………………6

2.4 การศึกษาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม…………9

2.5. สรุป…………………………………………………..12

III ปัญหาทางเรขาคณิตพร้อมเนื้อหาที่ใช้งานได้จริง ... 13

IV. บทสรุป………………………………………………..14

V. รายการวรรณกรรมที่ใช้แล้ว………………………..16

  1. บทนำ

ความหลงใหลในวิชาคณิตศาสตร์มักเริ่มต้นด้วยการคิดถึงปัญหา ดังนั้น เมื่อศึกษาหัวข้อ "พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม" จึงเกิดคำถามขึ้นว่ามีงานที่แตกต่างจากงานที่พิจารณาในตำราเรขาคณิตหรือไม่ เหล่านี้เป็นงานบนกระดาษตาหมากรุก เรามีคำถาม: อะไรคือลักษณะเฉพาะของงานดังกล่าวมีอะไรบ้าง วิธีการพิเศษและเทคนิคการแก้ปัญหาบนกระดาษตาหมากรุก เห็นงานดังกล่าวในการควบคุมและการวัด ใช้วัสดุและ GIA ตัดสินใจที่จะตรวจสอบงานบนกระดาษตาหมากรุกที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาพื้นที่ของร่างที่ปรากฎอย่างแน่นอน

ฉันเริ่มศึกษาวรรณกรรมแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตในหัวข้อนี้ ดูเหมือนว่าสิ่งที่น่าสนใจสามารถพบได้บนเครื่องบินตาหมากรุกนั่นคือบนกระดาษที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งวาดเป็นสี่เหลี่ยมที่เหมือนกัน? อย่าด่วนตัดสิน ปรากฎว่างานที่เกี่ยวข้องกับกระดาษตาหมากรุกนั้นค่อนข้างหลากหลาย ฉันเรียนรู้วิธีคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุก สำหรับงานจำนวนมากบนกระดาษในกรง ไม่มีกฎทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหา วิธีการและเทคนิคเฉพาะ นี่คือคุณสมบัติที่กำหนดคุณค่าสำหรับการพัฒนาที่ไม่เฉพาะเจาะจง ทักษะการเรียนรู้หรือทักษะ แต่โดยทั่วไป ความสามารถในการคิด ไตร่ตรอง วิเคราะห์ มองหาการเปรียบเทียบ กล่าวคือ งานเหล่านี้พัฒนาทักษะการคิดในความหมายที่กว้างที่สุด

เรากำหนด:

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: งานบนกระดาษตาหมากรุก

วิชาที่เรียน: ปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนกระดาษตาหมากรุก วิธีการ และเทคนิคในการแก้ปัญหา

วิธีการวิจัย: การสร้างแบบจำลอง การเปรียบเทียบ ลักษณะทั่วไป การเปรียบเทียบ การศึกษาทรัพยากรวรรณกรรมและอินเทอร์เน็ต การวิเคราะห์และการจัดหมวดหมู่ข้อมูล

  1. วัตถุประสงค์ของการศึกษา:หาและทดสอบสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้สูตรพีค

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ เราขอเสนอให้แก้ปัญหาต่อไปนี้งาน:

  1. เลือกวรรณกรรมที่จำเป็น
  2. เลือกสื่อเพื่อการวิจัย เลือกข้อมูลหลัก น่าสนใจ เข้าใจได้
  3. วิเคราะห์และจัดระเบียบข้อมูลที่ได้รับ
  4. หา วิธีการต่างๆและเทคนิคการแก้ปัญหาบนกระดาษตาหมากรุก
  5. สร้างงานนำเสนออิเล็กทรอนิกส์ของงานเพื่อนำเสนอสื่อที่รวบรวมให้เพื่อนร่วมชั้น

หลากหลายงานบนกระดาษในกล่อง "ความบันเทิง" ของพวกเขาขาด กฎทั่วไปและวิธีการแก้ไขทำให้เกิดปัญหาแก่เด็กนักเรียนในการพิจารณา

  1. สมมติฐาน:. พื้นที่ของตัวเลขที่คำนวณโดยสูตร Pick เท่ากับพื้นที่ของตัวเลขที่คำนวณโดยสูตร Planimetry

เมื่อแก้ปัญหาบนกระดาษตาหมากรุก เราต้องการจินตนาการทางเรขาคณิตและข้อมูลทางเรขาคณิตที่ค่อนข้างง่ายที่ทุกคนรู้จัก

ครั้งที่สอง สูตรพีค

2.1. ตาข่าย. นอต.

พิจารณาบนระนาบของเส้นคู่ขนานสองตระกูลที่แบ่งระนาบออกเป็นกำลังสองเท่ากัน เซตของจุดตัดทั้งหมดของเส้นเหล่านี้เรียกว่าจุดแลตทิซหรือเพียงแค่แลตทิซ และจุดเองนั้นเรียกว่าโหนดแลตทิซ

โหนดภายในของรูปหลายเหลี่ยม -สีแดง.

นอตบนใบหน้าของรูปหลายเหลี่ยม -สีฟ้า.

ในการประมาณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนกระดาษตาหมากรุก ก็เพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเซลล์ที่รูปหลายเหลี่ยมนี้ครอบคลุม (เราใช้พื้นที่ของเซลล์เป็นหน่วย) แม่นยำยิ่งขึ้น ifส คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม B คือจำนวนเซลล์ที่อยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด และ G คือจำนวนเซลล์ที่มีจุดร่วมอย่างน้อยหนึ่งจุดกับด้านในของรูปหลายเหลี่ยม

เราจะพิจารณาเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ที่โหนดของกระดาษตาหมากรุก - ในจุดที่เส้นตารางตัดกัน

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกสามารถคำนวณได้ง่าย ๆ โดยแสดงเป็นผลรวมหรือผลต่างของพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากและสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านตามเส้นกริดที่ลากผ่านจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่วาด

2.2 สามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีจุดยอดที่โหนดกริดสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ - แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม "ธรรมดา"

ให้รูปหลายเหลี่ยมและเซตจำกัดบนระนาบถึง จุดที่อยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมและบนขอบของมัน (นอกจากนี้ จุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมยังเป็นของเซตถึง ).

สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดถึง เรียกว่าการแบ่งพาร์ติชั่น ให้รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดในชุดถึง เพื่อให้แต่ละจุดในถึง ทำหน้าที่เป็นจุดยอดสำหรับสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมแต่ละรูปที่จุดนี้อยู่ (นั่นคือ จุดจากถึง อย่าตกอยู่ข้างในหรือด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม มะเดื่อ. 1.37).

ข้าว. 1.37

ทฤษฎีบท 2 ก) n . ใด ๆ -gon สามารถตัดด้วยเส้นทแยงมุมเป็นสามเหลี่ยม และจำนวนสามเหลี่ยมจะเท่ากับน – 2 (พาร์ทิชันนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ในจุดยอดน-กอน).

พิจารณารูปหลายเหลี่ยมจำนวนเต็มอย่างง่ายที่ไม่เสื่อมถอย (นั่นคือ มีการเชื่อมต่อ - จุดสองจุดใดๆ สามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งต่อเนื่องที่บรรจุอยู่ภายในทั้งหมด และจุดยอดทั้งหมดมีพิกัดจำนวนเต็ม ขอบเขตของมันคือโพลิไลน์ที่เชื่อมต่อโดยไม่มี ทางแยกตัวเองและมีพื้นที่ไม่เป็นศูนย์) .

ในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

2.3. พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Pick

ให้ B เป็นจำนวนจุดจำนวนเต็มภายในรูปหลายเหลี่ยม Г เป็นจำนวนจุดจำนวนเต็มบนขอบเขต- พื้นที่ของมัน แล้วสูตรการเลือก: S=V+G2-1

ตัวอย่าง. สำหรับรูปหลายเหลี่ยมในรูป B=23 (จุดสีเหลือง), D=7, (จุดสีน้ำเงิน อย่าลืมจุดยอด!) ดังนั้นหน่วยตาราง

อันดับแรก โปรดทราบว่าสูตรของ Pick นั้นเป็นจริงสำหรับหน่วยกำลังสอง แน่นอน ในกรณีนี้ เรามี B=0, D=4 และ.

พิจารณาสี่เหลี่ยมที่มีด้านนอนอยู่บนเส้นขัดแตะ ให้ด้านยาวเท่ากันและ . เรามีในกรณีนี้ B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b จากนั้นตามสูตร Pick

ลองพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขาวางอยู่บนแกนพิกัด สามเหลี่ยมดังกล่าวได้มาจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านและ พิจารณาในกรณีก่อนหน้านี้โดยตัดเป็นแนวทแยงมุม ให้นอนตะแคงจุดจำนวนเต็ม แล้วสำหรับสิ่งนี้กรณี B \u003d a-1) b-1, 2 G \u003d G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 แล้วเราก็ได้มัน4) พิจารณาสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ หาได้จากการตัดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากออกหลายๆ รูป และบางทีอาจจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็ได้ (ดูรูป) เนื่องจากสูตรของ Pick เป็นจริงสำหรับทั้งสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจึงได้ว่ามันจะเป็นจริงสำหรับรูปสามเหลี่ยมใดก็ได้

ยังคงต้องใช้ขั้นตอนสุดท้าย: ย้ายจากรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม (เช่น ตามเส้นทแยงมุม) ดังนั้น เราแค่ต้องพิสูจน์ว่าเมื่อเพิ่มสามเหลี่ยมใดๆ ลงในรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดเอง สูตรของ Pick ยังคงเป็นจริง ให้รูปหลายเหลี่ยมและสามเหลี่ยม มีด้านร่วมกัน สมมุติว่าสำหรับสูตรของ Pick นั้นถูกต้อง เราจะพิสูจน์ว่ามันจะเป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จากเพิ่ม ตั้งแต่และ มีด้านร่วมกัน จากนั้นจุดจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ด้านนี้ ยกเว้นจุดยอดสองจุด จะกลายเป็นจุดภายในของรูปหลายเหลี่ยมใหม่ จุดยอดจะเป็นจุดเขตแดน มาแทนเลขกัน จุดร่วมผ่านและรับ B=MT=BM+BT+c-2 - จำนวนจุดจำนวนเต็มภายในของรูปหลายเหลี่ยมใหม่ Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - จำนวนจุดขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมใหม่ จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราได้รับ: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2 . เนื่องจากเราได้สันนิษฐานว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับและสำหรับ แยกกัน แล้ว S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 . ดังนั้น สูตร Pick ได้รับการพิสูจน์แล้ว

2.4 การศึกษาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม

2) บนกระดาษตาหมากรุกที่มีเซลล์ขนาด 1 ซม. x 1 ซม. แสดงให้เห็น

สามเหลี่ยม หาพื้นที่เป็นตารางเซนติเมตร

รูปภาพ

ตามสูตรเรขาคณิต

ตามสูตรของพิค

S=12ah

Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1

Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ​​​​∙ 1=1.5

Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD=

1,5-1=0,5

S= V+G2-1

G=3 ;V=0.

S=0+3/2-1=0.5

3) สี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกวาดบนกระดาษตาหมากรุกที่มีเซลล์ขนาด 1 ซม. x 1 ซม. หาพื้นที่เป็นตารางเซนติเมตร.

รูปภาพ

ตามสูตรเรขาคณิต

ตามสูตรของพิค

S=a∙b

Sq.KMNE=7 ∙ 7=49

Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8

Str.AKB=Str.DCE=8

Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ​​​​∙ 3=4.5

Str.AND=Str.BMC=4.5

Spr.= Sq.KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24

S= V+G2-1

ง=14; ว=19.

S=18+14/2-1=24

4) บนกระดาษตาหมากรุกที่มีเซลล์ขนาด 1 ซม. x 1 ซม. แสดงให้เห็น

รูปภาพ

ตามสูตรเรขาคณิต

ตามสูตรของพิค

S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3.5

S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7

S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2

S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2.5

S5=a²=1²=1

ตร.= a²=7²=49

S=49-3.5-7-2-2.5-1=32cm²

S= V+G2-1

D=5; V=31.

S=31+ 42 -1=32cm²

5) บนกระดาษตาหมากรุกที่มีเซลล์ขนาด 1 ซม. x 1 ซม.

สี่ตาราง หาพื้นที่เป็นตารางเซนติเมตร.

S= a b

ก=36+36=62

b=9+9=32

S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 ซม. 2

S= V+G2-1

D=18, V=28

S=28+ 182 -1=36ซม. 2

6) บนกระดาษตาหมากรุกที่มีเซลล์ขนาด 1 ซม. x 1 ซม. แสดงให้เห็น

สี่ตาราง หาพื้นที่เป็นตารางเซนติเมตร

S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5

S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18

S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5

S=4.5+18+4.5=27 cm²

S= V+G2-1

ง=18; ว=28.

S=28+ 182 -1=36cm²

7) บนกระดาษตาหมากรุกที่มีเซลล์ขนาด 1 ซม. x 1 ซม. แสดงให้เห็น

สี่ตาราง หาพื้นที่เป็นตารางเซนติเมตร

S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5

S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18

S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5

S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18

ตร.=9²=81cm²

S=81-4.5-18-4.5-18=36cm²

S= V+G2-1

ง=18; ว=28.

S=28+ 182 -1=36cm²

8) บนกระดาษตาหมากรุกที่มีเซลล์ขนาด 1 ซม. x 1 ซม. แสดงให้เห็น

สี่ตาราง หาพื้นที่เป็นตารางเซนติเมตร

รูปภาพ

ตามสูตรเรขาคณิต

ตามสูตรของพิค

S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4

S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8

S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8

S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2

Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48

S5=48-4-8-8-2=24 cm²

S= G+V2-1

ง=16; ว=17.

S=17+ 162 -1=24 cm²

บทสรุป

  1. เปรียบเทียบผลลัพธ์ในตารางและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Pick ผมได้ข้อสรุปว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คำนวณโดยใช้สูตร Pick เท่ากับพื้นที่ของตัวเลขที่คำนวณโดยใช้สูตร Planimetry ที่ได้รับ

ดังนั้นสมมติฐานของฉันจึงถูกต้อง

III. ปัญหาทางเรขาคณิตกับเนื้อหาที่ใช้งานได้จริง

สูตร Pick จะช่วยเราแก้ปัญหาเรขาคณิตด้วยเนื้อหาที่ใช้งานได้จริง

ภารกิจที่ 9 . ค้นหาพื้นที่ ป่าไม้(เป็นตารางเมตร) ปรากฎบนแผนผังที่มีตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 × 1 (ซม.) ในระดับ 1 ซม. - 200 ม. (รูปที่ 10)

วิธีการแก้.

ข้าว. 10 V \u003d 8, G \u003d 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10.5 (ซม.²)

1 ซม.² - 200² ตร.ม.; S = 40,000 10.5 = 420,000 (ตร.ม.)

คำตอบ: 420,000 m²

งาน 10 . ค้นหาพื้นที่ของสนาม (เป็นตารางเมตร) ที่แสดงในแผนผังที่มีตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 × 1 (ซม.) ในระดับ 1 ซม. - 200 ม. (รูปที่ 11)

วิธีการแก้. หา S พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกโดยใช้สูตรพีค: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (ซม.²)

ข้าว. 11 1 ซม.² - 200² ตร.ม.; S = 40000 8 = 320,000 (ตร.ม.)

คำตอบ: 320,000 m²

บทสรุป

ในกระบวนการวิจัย ฉันเรียนหนังสืออ้างอิง วรรณกรรมวิทยาศาสตร์ยอดนิยม เรียนรู้วิธีการทำงานในโปรแกรมโน้ตบุ๊ก ฉันพบว่า

ปัญหาในการค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่โหนดของตารางเป็นแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย Pick ในปี 1899 เพื่อพิสูจน์สูตร Pick ที่ยอดเยี่ยม

จากการทำงานของฉัน ฉันได้เพิ่มพูนความรู้ในการแก้ปัญหาด้วยกระดาษตาหมากรุก กำหนดประเภทของปัญหาที่อยู่ระหว่างการศึกษาด้วยตนเอง และเชื่อมั่นในความหลากหลายของปัญหา

ฉันเรียนรู้วิธีคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนแผ่นตาหมากรุก ระดับที่แตกต่างกันความยากลำบาก - จากง่ายไปจนถึงโอลิมปิก ทุกคนสามารถค้นหางานที่มีความซับซ้อนในระดับที่เป็นไปได้ เริ่มต้นจากนี้ จะสามารถดำเนินการต่อไปเพื่อแก้ไขปัญหาที่ยากขึ้นได้

ฉันสรุปได้ว่าหัวข้อที่ฉันสนใจนั้นค่อนข้างหลากหลาย งานบนกระดาษตาหมากรุกนั้นหลากหลาย วิธีการและเทคนิคในการแก้ปัญหาก็มีความหลากหลายเช่นกัน ดังนั้นฉันจึงตัดสินใจทำงานในทิศทางนี้ต่อไป

วรรณกรรม

1. เรขาคณิตบนกระดาษตาหมากรุก MEHMAT MSU ขนาดเล็ก

2. Zharkovskaya N. M. , Riss E. A. เรขาคณิตกระดาษตาหมากรุก สูตรของ Pick // Mathematics, 2009, no. 17, p. 24-25.

3. งาน เปิดธนาคารงานในวิชาคณิตศาสตร์ FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov.Polygons บน lattices.M.MTsNMO, 2006

5. การศึกษาเฉพาะเรื่องetudes.ru

6. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev และอื่น ๆ เรขาคณิต 7-9 คลาส M. การตรัสรู้ 2010

ข้อความของงานวางโดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

บทนำ

ฉันเป็นนักเรียนชั้น ป.6 ฉันเริ่มเรียนเรขาคณิตตั้งแต่ปีที่แล้ว เพราะฉันเรียนที่โรงเรียนโดยใช้หนังสือเรียน “คณิตศาสตร์ เลขคณิต เรขาคณิต” แก้ไขโดย E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. มินาเอวาและอื่น ๆ

ความสนใจมากที่สุดของฉันถูกดึงดูดโดยหัวข้อ "กำลังสองของตัวเลข", "การรวบรวมสูตร" ฉันสังเกตเห็นว่าสามารถหาพื้นที่ของตัวเลขเดียวกันได้ วิธีทางที่แตกต่าง. ในชีวิตประจำวันเรามักจะประสบปัญหาในการหาพื้นที่ เช่น หาพื้นที่ที่จะทาสี เป็นเรื่องที่น่าสนใจในการซื้อวอลเปเปอร์สำหรับการปรับปรุงใหม่คุณจำเป็นต้องรู้ขนาดของห้องเช่น พื้นที่ผนัง. การคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า และสามเหลี่ยมมุมฉากไม่ได้ทำให้ฉันลำบาก

ฉันรู้สึกทึ่งกับหัวข้อนี้ ฉันจึงเริ่มมองหาเนื้อหาเพิ่มเติมบนอินเทอร์เน็ต จากการค้นหา ฉันพบสูตร Pick - นี่คือสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุก การคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรนี้ดูเหมือนว่านักเรียนทุกคนจะสามารถเข้าถึงได้ นั่นคือเหตุผลที่ฉันตัดสินใจ งานวิจัย.

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ:

    หัวข้อนี้เป็นการเพิ่มและเจาะลึกการศึกษาวิชาเรขาคณิต

    การศึกษาหัวข้อนี้จะช่วยให้คุณเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกและการสอบได้ดียิ่งขึ้น

วัตถุประสงค์:

    ทำความคุ้นเคยกับสูตร Pick

    เชี่ยวชาญเทคนิคในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้สูตร Pick

    จัดระบบและสรุปเนื้อหาเชิงทฤษฎีและปฏิบัติ

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

    ตรวจสอบประสิทธิภาพและความเหมาะสมของการนำสูตรไปใช้ในการแก้ปัญหา

    เรียนรู้วิธีใช้สูตร Pick กับปัญหาความซับซ้อนที่แตกต่างกัน

    เปรียบเทียบปัญหาที่แก้ไขโดยใช้สูตร Pick และวิธีดั้งเดิม

ส่วนสำคัญ

1.1. ประวัติอ้างอิง

Georg Alexander Pick เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย เกิดเมื่อวันที่ 10 สิงหาคม พ.ศ. 2402 เขาเป็น เด็กมีพรสวรรค์เขาได้รับการสอนจากพ่อของเขาซึ่งเป็นหัวหน้าสถาบันเอกชน เมื่ออายุ 16 ปี Georg จบการศึกษาจากโรงเรียนมัธยมและเข้ามหาวิทยาลัยเวียนนา เมื่ออายุได้ 20 ปี เขาได้รับสิทธิในการสอนวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สูตรการกำหนดพื้นที่ของโครงตาข่ายของรูปหลายเหลี่ยมทำให้เขาโด่งดังไปทั่วโลก เขาตีพิมพ์สูตรของเขาในบทความในปี พ.ศ. 2442 มันกลายเป็นที่นิยมเมื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวโปแลนด์ Hugo Steinhaus รวมไว้ใน 1969 ในการตีพิมพ์ภาพทางคณิตศาสตร์

Georg Pieck สำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยเวียนนาและสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกในปี 1880 หลังจากได้รับปริญญาเอก เขาได้รับการแต่งตั้งเป็นผู้ช่วยของเออร์เนสต์ มัคที่มหาวิทยาลัยเชิร์ล-เฟอร์ดินานด์ในกรุงปราก ที่นั่นเขากลายเป็นครู เขายังคงอยู่ในปรากจนกระทั่งเกษียณอายุในปี 1927 แล้วเดินทางกลับเวียนนา

Pick เป็นประธานคณะกรรมการที่มหาวิทยาลัยเยอรมันแห่งปรากซึ่งแต่งตั้ง Einstein ศาสตราจารย์วิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ในปี 1911

เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ Czech Academy of Sciences and Arts แต่ถูกไล่ออกจากโรงเรียนหลังการยึดครองกรุงปรากของนาซี

เมื่อพวกนาซีเข้าสู่ออสเตรียเมื่อวันที่ 12 มีนาคม พ.ศ. 2481 เขากลับไปปราก ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2482 พวกนาซีบุกเชโกสโลวาเกีย เมื่อวันที่ 13 กรกฎาคม พ.ศ. 2485 พิกถูกส่งตัวไปที่ค่าย Theresienstadt ซึ่งก่อตั้งโดยพวกนาซีทางตอนเหนือของโบฮีเมีย ซึ่งเขาเสียชีวิตในอีกสองสัปดาห์ต่อมาเมื่ออายุ 82 ปี

1.2. วิจัยและพิสูจน์

ฉันเริ่มงานวิจัยโดยถามคำถาม: ฉันสามารถหาตัวเลขส่วนใดได้บ้าง ผมสามารถทำสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมต่างๆได้ แต่แล้วรูปหลายเหลี่ยมห้า หก และโดยทั่วไปแล้วมีรูปหลายเหลี่ยมล่ะ?

ในระหว่างการวิจัยในเว็บไซต์ต่างๆ ฉันเห็นวิธีแก้ไขปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมห้า, หก- และรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ สูตรการแก้ปัญหาเหล่านี้เรียกว่าสูตรของพิค หน้าตาเป็นแบบนี้ :S =B+G/2-1, ที่ไหน ที่- จำนวนโหนดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยม จี- จำนวนโหนดที่วางอยู่บนเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยม ลักษณะเฉพาะของสูตรนี้คือใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกเท่านั้น

รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้อย่างง่ายดายโดยมีจุดยอดที่โหนดของโครงตาข่าย ไม่มีโหนดทั้งด้านในและด้านข้าง สามารถแสดงว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมดเท่ากันและเท่ากับ ½ ดังนั้น พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนของมัน ต.

ในการหาจำนวนนี้ เราแทนด้วย n จำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม โดย ที่- จำนวนโหนดภายในผ่าน จีคือจำนวนโหนดที่ด้านข้าง รวมทั้งจุดยอดด้วย ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ 180° ต.

ทีนี้ลองหาผลรวมด้วยวิธีอื่นกัน

ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดที่โหนดภายในใดๆ คือ 2.180° นั่นคือ ผลรวมของมุมคือ 360° ที่;ผลรวมของมุมที่โหนดด้านข้างแต่ไม่ใช่ที่จุดยอดคือ ( นายน)180° และผลรวมของมุมที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับ ( G- 2)180°. ทางนี้, T= 2.180°. B+(G-n)180°+(น -2)180 °. โดยการขยายวงเล็บและหารด้วย 360° เราจะได้สูตรสำหรับพื้นที่ S ของรูปหลายเหลี่ยมที่เรียกว่าสูตรของ Pick

2. ภาคปฏิบัติ

ฉันตัดสินใจตรวจสอบสูตรนี้เกี่ยวกับงานจากคอลเล็กชัน OGE-2017 ฉันทำงานเพื่อคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยม ฉันตัดสินใจเปรียบเทียบคำตอบโดยแก้โจทย์ในสองวิธี: 1) ฉันเพิ่มตัวเลขลงในสี่เหลี่ยมแล้วลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ 2) ใช้สูตรพีค

S = 18-1.5-4.5 = 12 และ S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 และ S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7.5-12-4.5-4 = 49 และ S = 43+14/2-1 = 49

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ ผมสรุปได้ว่าทั้งสองสูตรให้คำตอบเหมือนกัน การหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตรพีคกลายเป็นเรื่องเร็วและง่ายขึ้น เพราะมีการคำนวณน้อยลง ความสะดวกในการตัดสินใจและประหยัดเวลาในการคำนวณจะเป็นประโยชน์กับฉันในอนาคตเมื่อผ่าน OGE

สิ่งนี้กระตุ้นให้ฉันทดสอบความเป็นไปได้ของการใช้สูตร Pick กับตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

ส=4+16/2-1=1

บทสรุป

สูตรของ Pick นั้นเข้าใจง่ายและใช้งานง่าย ขั้นแรกให้นับ หาร 2 บวกลบก็พอ ประการที่สอง คุณสามารถหาพื้นที่และตัวเลขที่ซับซ้อนได้โดยไม่ต้องใช้เวลามาก ประการที่สาม สูตรนี้ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ

ข้อเสียคือ Pick Formula ใช้ได้เฉพาะกับตัวเลขที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกและจุดยอดอยู่บนโหนดของเซลล์

ฉันแน่ใจว่าเมื่อผ่านการสอบปลายภาคปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขจะไม่ทำให้เกิดปัญหา ฉันคุ้นเคยกับสูตร Pick แล้ว

บรรณานุกรม

    Bunimovich E.A. , Dorofeev G.V. , Suvorova S.B. เป็นต้น คณิตศาสตร์. เลขคณิต เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กรที่มีแอพ ไปเป็นอิเล็กตรอน carrier -3rd ed.-M.: Enlightenment, 2014.- 223, p. : ป่วย. - (ทรงกลม).

    Bunimovich E.A. , Kuznetsova L.V. , Minaeva S.S. เป็นต้น คณิตศาสตร์. เลขคณิต เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กร-5th ed.-M.: Education, 2016.-240s. : ill.- (ทรงกลม).

    Vasiliev N.B. รอบสูตร Pick //ควอนตัม.- 1974.-№2. -p.39-43

    Rassolov V.V. ปัญหาในการวัดระนาบ / ครั้งที่ 5 แก้ไขแล้ว และพิเศษ - อ.: 2549.-640ส.

    ไอ.วี. ยาเชนโก โอจีอี คณิตศาสตร์: ตัวเลือกการสอบทั่วไป: O-39 36 ตัวเลือก - M.: National Education Publishing House, 2017 -240 p. - (OGE. FIPI-โรงเรียน).

    "ฉันจะแก้ OGE": คณิตศาสตร์ ระบบการฝึกอบรมของ Dmitry Gushchin OGE-2017: งาน, คำตอบ, วิธีแก้ปัญหา [ ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์]. โหมดการเข้าถึง: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (เข้าถึงเมื่อ 04/02/2017)

คำอธิบายบรรณานุกรม: Tatyanenko A. A. , Tatyanenko S. A. การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ปรากฎบนกระดาษตาหมากรุก // นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ - 2559. - ฉบับที่ 3..03.2019).





ในการเตรียมการหลัก การสอบของรัฐฉันพบกับงานที่ต้องคำนวณพื้นที่ของรูปที่ปรากฎบนกระดาษตาหมากรุก ตามกฎแล้ว งานเหล่านี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหาร้ายแรงหากรูปนั้นเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือสามเหลี่ยม การรู้สูตรการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้เพียงพอแล้วนับจำนวนเซลล์และคำนวณพื้นที่ หากตัวเลขเป็นรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ ต้องใช้เทคนิคพิเศษที่นี่ สนใจค่ะ หัวข้อนี้. ย่อมมีคำถามเกิดขึ้นว่า ที่ไหน ใน ชีวิตประจำวันจะมีปัญหาในการคำนวณพื้นที่บนกระดาษตาหมากรุกหรือไม่? มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับงานดังกล่าว? มีวิธีอื่นหรือสูตรสากลสำหรับการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงบนกระดาษตาหมากรุกหรือไม่?

การศึกษาวรรณกรรมพิเศษและแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตพบว่ามีสูตรสากลที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปที่ปรากฎในเซลล์ สูตรนี้เรียกว่าสูตรของพิก อย่างไรก็ตาม ภายใต้กรอบของหลักสูตรของโรงเรียน สูตรนี้ไม่ได้รับการพิจารณา แม้จะใช้งานง่ายและได้ผลลัพธ์ก็ตาม นอกจากนี้ ฉันยังทำการสำรวจเพื่อนและเพื่อนร่วมชั้น (ในสองรูปแบบ: ในการสนทนาส่วนตัวและใน ในโซเชียลเน็ตเวิร์ก) ซึ่งมีนักเรียน 43 คนจากโรงเรียนในเมือง Tobolsk เข้าร่วม การสำรวจนี้พบว่ามีเพียงคนเดียว (นักเรียนชั้น ป.11) ที่คุ้นเคยกับสูตรคำนวณพื้นที่พีค

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมกำหนด ในระบบนี้ ให้พิจารณารูปหลายเหลี่ยมที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม ที่ วรรณกรรมการศึกษาจุดที่มีพิกัดจำนวนเต็มเรียกว่าโหนด นอกจากนี้ รูปหลายเหลี่ยมไม่จำเป็นต้องนูน และกำหนดให้ต้องกำหนดพื้นที่

กรณีต่อไปนี้เป็นไปได้

1. รูปเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมคางหมู:

1) การนับเซลล์ คุณต้องหาความสูง เส้นทแยงมุม หรือด้านที่จำเป็นในการคำนวณพื้นที่

2) แทนที่ค่าที่พบลงในสูตรพื้นที่

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 1 ด้วยขนาดเซลล์ 1 ซม. x 1 ซม.

ข้าว. 1. สามเหลี่ยม

วิธีการแก้. เรานับเซลล์และพบว่า: . ตามสูตรที่เราได้รับ: .

2 รูปเป็นรูปหลายเหลี่ยม

หากรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมก็สามารถใช้วิธีการต่อไปนี้ได้

วิธีการแบ่งพาร์ติชัน:

1) แบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม;

2) คำนวณพื้นที่ของตัวเลขผลลัพธ์

3) หาผลรวมของพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลขที่ได้รับ

ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 2 ด้วยขนาดเซลล์ 1 ซม. x 1 ซม. โดยใช้วิธีการแบ่งพาร์ติชัน

ข้าว. 2. รูปหลายเหลี่ยม

วิธีการแก้. มีหลายวิธีในการแบ่งพาร์ติชัน เราจะแบ่งร่างเป็น สามเหลี่ยมมุมฉากและสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังแสดงในรูปที่ 3

ข้าว. 3. รูปหลายเหลี่ยม วิธีการแบ่งพาร์ติชั่น

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ: , , , พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ . การเพิ่มพื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดที่เราได้รับ:

วิธีการก่อสร้างเพิ่มเติม

1) แต่งรูปให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

2) ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขเพิ่มเติมที่ได้รับและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเอง

3) ลบพื้นที่ของตัวเลข "พิเศษ" ทั้งหมดออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 2 ด้วยขนาดเซลล์ 1 ซม. x 1 ซม. โดยใช้วิธีการก่อสร้างเพิ่มเติม

วิธีการแก้. มาสร้างร่างของเราเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังแสดงในรูปที่ 4

ข้าว. 4. รูปหลายเหลี่ยม วิธีการเสริม

พื้นที่สี่เหลี่ยมใหญ่คือ , สี่เหลี่ยมตั้งอยู่ด้านใน - , พื้นที่ของสามเหลี่ยม "พิเศษ" - , แล้ว พื้นที่ของรูปที่ต้องการคือ .

เมื่อคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนกระดาษตาหมากรุก เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีอื่นที่เรียกว่าสูตร Pick ตามชื่อของนักวิทยาศาสตร์ที่ค้นพบ

สูตรพีค

ให้รูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกมีจุดยอดเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น จุดที่พิกัดทั้งสองเป็นจำนวนเต็มเรียกว่าโหนดแลตทิซ นอกจากนี้ รูปหลายเหลี่ยมสามารถเป็นได้ทั้งแบบนูนและไม่นูน

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็นจำนวนเต็มคือ โดยที่ B คือจำนวนจุดจำนวนเต็มภายในรูปหลายเหลี่ยม และ Г คือจำนวนจุดจำนวนเต็มบนขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยม

ตัวอย่างเช่น สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 5

ข้าว. 5. นอตในสูตรของพิค

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 2 ด้วยขนาดเซลล์ 1 ซม. x 1 ซม. โดยใช้สูตร Pick

ข้าว. 6. รูปหลายเหลี่ยม สูตรพีค

วิธีการแก้. ตามรูปที่ 6: V=9, G=10 จากนั้นตามสูตร Peak เรามี:

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของงานบางอย่างที่ผู้เขียนพัฒนาขึ้นสำหรับการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่แสดงบนกระดาษตาหมากรุก

1. ใน โรงเรียนอนุบาลเด็ก ๆ ยื่นคำร้องให้พ่อแม่เป็นของขวัญ (รูปที่ 7) ค้นหาพื้นที่ของแอปพลิเคชัน ขนาดของแต่ละเซลล์คือ 1 ซม. 1 ซม.

ข้าว. 7. สภาพปัญหา 1

2. แท่นวางโก้เก๋หนึ่งเฮกตาร์สามารถเก็บฝุ่นได้มากถึง 32 ตันต่อปี, ต้นสน - มากถึง 35 ตัน, เอล์ม - มากถึง 43 ตัน, โอ๊ค - มากถึง 50 ตัน บีช - มากถึง 68 ตัน คำนวณจำนวนตัน ของฝุ่นไม้ต้นสนจะถือใน 5 ปี แผนผังของป่าสนแสดงในรูปที่ 8 (ขนาด 1 ซม. - 200 ม.)

ข้าว. 8. สภาพปัญหา 2

3. เครื่องประดับ Khanty และ Mansi โดดเด่นด้วยลวดลายเรขาคณิต มักจะมีภาพสัตว์เก๋ไก๋ รูปที่ 9 แสดงชิ้นส่วนของเครื่องประดับ Mansi "Hare ears" คำนวณพื้นที่ของส่วนที่แรเงาของเครื่องประดับ

ข้าว. 9. เงื่อนไขของปัญหา 3

4. จำเป็นต้องทาสีผนังอาคารโรงงาน (รูปที่ 10) คำนวณปริมาณสีน้ำที่ต้องการ (เป็นลิตร) ปริมาณการใช้สี: 1 ลิตรต่อ 7 ตร.ม. เมตร มาตราส่วน 1ซม. - 5ม.

ข้าว. 10. เงื่อนไขของปัญหา 4

5. รูปหลายเหลี่ยมดาว - รูปทรงเรขาคณิตแบนประกอบด้วยรังสีสามเหลี่ยมที่เล็ดลอดออกมาจาก ส่วนกลางรวมตัวกันที่จุดบรรจบกัน ความเอาใจใส่เป็นพิเศษสมควรได้รับ ดาวห้าแฉก- รูปดาวห้าแฉก รูปดาวห้าแฉกเป็นสัญลักษณ์ของความสมบูรณ์แบบ สติปัญญา สติปัญญา และความงาม นี่คือรูปแบบที่ง่ายที่สุดของดาว ซึ่งสามารถวาดได้ด้วยปากกาเพียงครั้งเดียว ไม่เคยฉีกมันออกจากกระดาษ และในขณะเดียวกันก็ไม่เคยไปซ้ำสองครั้งในแนวเดียวกัน วาดรูปดาวห้าแฉกโดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษตาหมากรุก เพื่อให้ทุกมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นผลลัพธ์อยู่ที่โหนดของเซลล์ คำนวณพื้นที่ของตัวเลขผลลัพธ์

หลังจากวิเคราะห์วรรณคดีคณิตศาสตร์และวิเคราะห์แล้ว จำนวนมากของตัวอย่างในหัวข้อการวิจัย ฉันได้ข้อสรุปว่าการเลือกวิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปบนกระดาษตาหมากรุกนั้นขึ้นอยู่กับรูปร่างของร่าง หากรูปเป็นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือสี่เหลี่ยมคางหมู แสดงว่าสะดวกที่จะใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับการคำนวณพื้นที่ หากรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน คุณสามารถใช้ทั้งวิธีแบ่งพาร์ติชันและวิธีเพิ่มได้ (ในกรณีส่วนใหญ่ วิธีการบวกจะสะดวกกว่า) หากรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนหรือเป็นรูปดาว จะสะดวกกว่าถ้าใช้สูตร Pick

เนื่องจากสูตรของ Pick เป็นสูตรสากลสำหรับการคำนวณพื้นที่ (หากจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ที่จุดขัดแตะ) จึงสามารถนำไปใช้กับรูปร่างใดก็ได้ อย่างไรก็ตาม หากรูปหลายเหลี่ยมใช้พื้นที่ขนาดใหญ่เพียงพอ (หรือเซลล์มีขนาดเล็ก) ก็มีโอกาสสูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณโหนดตาข่าย โดยทั่วไป ในระหว่างการศึกษา ข้าพเจ้าได้ข้อสรุปว่าเมื่อแก้ปัญหาดังกล่าวใน OGE ดีกว่าใช้วิธีการดั้งเดิม (พาร์ติชั่นหรือส่วนเพิ่มเติม) และตรวจสอบผลลัพธ์โดยใช้สูตร Pick

วรรณกรรม:

  1. Vavilov VV, Ustinov AV รูปหลายเหลี่ยมบนโครงตาข่าย - ม.: MTSNMO, 2549. - 72 น.
  2. Vasiliev I. N. Around the Pick สูตร // วารสารวิทยาศาสตร์ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ยอดนิยม "Kvant" - 1974. - ลำดับที่ 12. โหมดการเข้าถึง: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
  3. Zharkovskaya N. , Riss E. เรขาคณิตของกระดาษตาหมากรุก สูตรพีค // วันแรกของเดือนกันยายน คณิตศาสตร์. - 2552. - ลำดับที่ 23. - หน้า 24,25.

วิกิพจนานุกรมมีรายการสำหรับ "ปิก้า" ปิก้าในกิจการทหาร: ปิก้าเป็นอาวุธเจาะเย็นซึ่งเป็นหอกยาวชนิดหนึ่ง Pikemen เป็นทหารราบประเภทหนึ่งในกองทัพยุโรปในศตวรรษที่ 16 และต้นศตวรรษที่ 18 พิกเคลเฮล์ม (p ... Wikipedia

ทฤษฎีบทของ Pick (เรขาคณิตเชิงผสม)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 ทฤษฎีบทของ Pick เป็นผลลัพธ์คลาสสิกของเรขาคณิตเชิงผสมและเรขาคณิตของตัวเลข พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนเต็ม ... Wikipedia

สามเหลี่ยม- คำนี้มีความหมายอื่น ดูสามเหลี่ยม (ความหมาย) สามเหลี่ยม (ในปริภูมิแบบยุคลิด) เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงสามส่วนซึ่งเชื่อมจุดที่ไม่เป็นเส้นตรงสามจุด สามจุด ... ... Wikipedia

ราวสำหรับออกกำลังกาย- คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ ห้อยโหน (ความหมาย) ห้อยโหน (จากภาษากรีก τραπέζιον "table"; ... Wikipedia

รูปสี่เหลี่ยม- QUADRANGLES ┌──────────────┼────────────── ไม่นูนนูนตัดกัน ... Wikipedia

Bigon- ไดกอนปกติบนพื้นผิวของทรงกลม ดิกอนในเรขาคณิตคือ ... Wikipedia

เพนตากอน- รูปห้าเหลี่ยมปกติ (ห้าเหลี่ยม) รูปห้าเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีห้ามุม วัตถุที่มีรูปร่างนี้เรียกอีกอย่างว่ารูปห้าเหลี่ยม ปริมาณภายใน ... Wikipedia

หกเหลี่ยม- หกเหลี่ยมปกติ หกเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีหกมุม วัตถุใด ๆ ที่มีรูปร่างนี้เรียกว่ารูปหกเหลี่ยม ผลรวมของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมนูน p ... Wikipedia

สิบสองเหลี่ยม- แก้ไขรูปสองเหลี่ยม Dodecagon (กรีก ... Wikipedia

สี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกมุมเป็นมุมฉาก (เท่ากับ 90 องศา) บันทึก. ในเรขาคณิตแบบยุคลิด เพื่อให้รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็เพียงพอแล้วที่จะมีมุมอย่างน้อยสามมุมที่ถูกต้อง มุมที่สี่ (โดยอาศัยอำนาจจาก ... Wikipedia

หนังสือ

  • เอฟเฟกต์ที่ราบสูง วิธีเอาชนะความซบเซาและก้าวต่อไป, ซัลลิแวน, บี.
  • สโมสรคณิตศาสตร์ "จิงโจ้" ฉบับที่ 8 คณิตศาสตร์บนกระดาษตาหมากรุก ปัญหานี้มีไว้สำหรับงานและเกมต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับกระดาษตาหมากรุก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การคำนวณหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่...

รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีจุดตัดตัวเองเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมแลตทิซ ถ้าจุดยอดทั้งหมดอยู่ที่จุดที่มีพิกัดจำนวนเต็ม (ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)

ทฤษฎีบทของพิค

สูตร

ให้รูปหลายเหลี่ยมขัดแตะที่มีพื้นที่ไม่เป็นศูนย์

ลองแสดงพื้นที่โดย ; จำนวนจุดที่มีพิกัดจำนวนเต็มอยู่ในรูปหลายเหลี่ยม - ผ่าน ; จำนวนจุดที่มีพิกัดจำนวนเต็มอยู่ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม - ถึง .

แล้วความสัมพันธ์ที่เรียกว่า สูตรเด็ด:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าค่าของ I และ B เป็นที่รู้จักสำหรับรูปหลายเหลี่ยมบางรูป พื้นที่ของมันสามารถคำนวณได้เป็น แม้จะไม่รู้พิกัดของจุดยอดของมันก็ตาม

ความสัมพันธ์นี้ถูกค้นพบและพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย Georg Alexander Pick ในปี 1899

การพิสูจน์

การพิสูจน์ถูกสร้างขึ้นในหลายขั้นตอน: จากตัวเลขที่ง่ายที่สุดไปจนถึงรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ:

ลักษณะทั่วไปในมิติที่สูงขึ้น

น่าเสียดายที่สูตรของ Pick ที่เรียบง่ายและสวยงามนี้ไม่สามารถสรุปได้ดีในมิติที่สูงกว่า

เรื่องนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยรีฟ ซึ่งเสนอในปี 2500 ให้พิจารณาจัตุรมุข (ปัจจุบันเรียกว่า จัตุรมุขรีฟ) โดยมีจุดยอดดังต่อไปนี้:




โดยที่จำนวนธรรมชาติใด ๆ จากนั้นจัตุรมุขนี้ไม่มีจุดเดียวที่มีพิกัดจำนวนเต็มอยู่ภายในและบนขอบเขตของมันมีเพียงสี่จุด , , , และไม่มีจุดอื่น ดังนั้นปริมาตรและพื้นที่ผิวของจัตุรมุขนี้อาจแตกต่างกันในขณะที่จำนวนจุดภายในและภายนอกจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น สูตรของ Pick จึงไม่อนุญาตให้มีการวางนัยทั่วไปแม้แต่กับตัวพิมพ์สามมิติ

อย่างไรก็ตาม ยังมีลักษณะทั่วไปที่คล้ายคลึงกันกับช่องว่างที่มีมิติที่สูงกว่า นั่นคือ พหุนาม Earhart(Ehrhart Polynomial) แต่มันซับซ้อนมากและไม่เพียงขึ้นอยู่กับจำนวนจุดภายในและบนเส้นขอบของร่างเท่านั้น

มีคำถามหรือไม่?

รายงานการพิมพ์ผิด

ข้อความที่จะส่งถึงบรรณาธิการของเรา:

ส่ง