Forskare och tänkare har länge varit förtjusta i att underhålla sig själva och sina kollegor genom att ställa upp olösliga problem och formulera alla möjliga paradoxer. Vissa av dessa tankeexperiment förblir relevanta i tusentals år, vilket tyder på ofullkomligheten hos många populärvetenskapliga modeller och "hål" i allmänt accepterade teorier som länge har ansetts vara grundläggande. Vi inbjuder dig att reflektera över de mest intressanta och fantastiska paradoxerna, som, som de säger nu, "sprängde hjärnan" hos mer än en generation av logiker, filosofer och matematiker.

1. Aporia "Akilles och sköldpaddan"

Paradoxen med Akilles och sköldpaddan är en av paradoxerna (logiskt korrekta, men motsägelsefulla påståenden) som formulerades av den antika grekiske filosofen Zeno av Elea på 500-talet f.Kr. Dess kärna är följande: den legendariska hjälten Achilles bestämde sig för att tävla i att springa med en sköldpadda. Som ni vet skiljer sig sköldpaddor inte i snabbhet, så Akilles gav motståndaren ett försprång på 500 m. När sköldpaddan övervinner detta avstånd börjar hjälten jaga med en hastighet som är 10 gånger högre, det vill säga medan sköldpaddan kryper 50 m. , lyckas Achilles springa de givna 500 m försprånget . Sedan övervinner löparen de kommande 50 m, men vid denna tidpunkt kryper sköldpaddan tillbaka ytterligare 5 m, det verkar som om Akilles är på väg att komma ikapp den, men motståndaren är fortfarande före och medan han springer 5 m, lyckas hon avancera ytterligare en halv meter och så vidare. Avståndet mellan dem minskas oändligt, men i teorin lyckas hjälten aldrig komma ikapp den långsamma sköldpaddan, det är inte mycket, men alltid före honom.

Naturligtvis, ur fysikens synvinkel, är paradoxen inte vettig - om Akilles rör sig mycket snabbare kommer han att bryta framåt ändå, men Zeno ville först och främst visa med sitt resonemang att de idealiserade matematiska begreppen av "punkt i rymden" och "tidsögonblick" är inte alltför lämpliga för korrekt applicering på verklig rörelse. Aporian avslöjar diskrepansen mellan den matematiskt sunda idén att intervaller av rum och tid som inte är noll kan delas upp på obestämd tid (så att sköldpaddan alltid måste ligga före) och verkligheten där hjälten, naturligtvis, vinner loppet.

2. Time loop paradox

Paradoxerna som beskriver tidsresor har länge varit en inspirationskälla för science fiction-författare och skapare av science fiction-filmer och tv-program. Det finns flera varianter av tidsloopparadoxer, ett av de enklaste och mest illustrativa exemplen på ett sådant problem gavs i hans bok The New Time Travellers av David Toomey, professor vid University of Massachusetts.

Föreställ dig att en tidsresenär har köpt ett exemplar av Shakespeares Hamlet från en bokhandel. Sedan åkte han till England under jungfrudrottning Elizabeth I:s tid och, efter att ha hittat William Shakespeare, räckte han en bok till honom. Han skrev om den och publicerade den som sitt eget verk. Hundratals år går, Hamlet översätts till dussintals språk, trycks i oändlighet, och ett av exemplaren hamnar i själva bokhandeln där tidsresenären köper den och ger den till Shakespeare, som gör en kopia, och så vidare... Vem ska räknas i det här fallet, författaren till en odödlig tragedi?

3. Paradoxen med en flicka och en pojke

I sannolikhetsteorin kallas denna paradox också för "Mr Smiths barn" eller "Mrs Smiths problem". Den formulerades först av den amerikanske matematikern Martin Gardner i ett av numren av tidskriften Scientific American. Forskare har argumenterat om paradoxen i årtionden, och det finns flera sätt att lösa den. Efter att ha funderat över problemet kan du erbjuda din egen version.

Familjen har två barn och man vet med säkerhet att en av dem är en pojke. Vad är sannolikheten att det andra barnet också är en man? Vid första anblicken är svaret ganska uppenbart - 50 till 50, antingen han verkligen är en pojke eller en flicka, chanserna borde vara lika. Problemet är att det för tvåbarnsfamiljer finns fyra möjliga kombinationer av barns kön - två flickor, två pojkar, en äldre pojke och en yngre flicka, och vice versa - en äldre flicka och en yngre pojke. Det första kan uteslutas, eftersom ett av barnen definitivt är en pojke, men i det här fallet finns det tre möjliga alternativ, inte två, och sannolikheten att det andra barnet också är en pojke är en chans av tre.

4. Jourdains kortparadox

Problemet som den brittiske logikern och matematikern Philippe Jourdain föreslog i början av 1900-talet kan betraktas som en av varianterna av den berömda lögnarparadoxen.

Föreställ dig - du håller ett vykort i dina händer, som säger: "Utståendet på baksidan av vykortet är sant." Att vända på kortet avslöjar frasen "påståendet på andra sidan är falskt." Som du förstår finns det en motsägelse: om det första påståendet är sant, så är det andra också sant, men i det här fallet måste det första vara falskt. Om den första sidan av vykortet är falsk, så kan inte heller frasen på den andra anses vara sann, vilket betyder att det första påståendet blir sant igen ... En ännu mer intressant version av lögnarens paradox finns i nästa stycke.

5. Sofism "Krokodil"

En mamma med ett barn står på flodstranden, plötsligt simmar en krokodil fram till dem och drar barnet i vattnet. Den otröstliga mamman ber att få lämna tillbaka sitt barn, vilket krokodilen svarar att han går med på att ge tillbaka i god behag om kvinnan svarar rätt på hans fråga: "Kommer han att lämna tillbaka hennes barn?" Det är klart att en kvinna har två svar – ja eller nej. Om hon hävdar att krokodilen kommer att ge henne barnet, beror allt på djuret - med tanke på att svaret är sant, kommer kidnapparen att låta barnet gå, men om han säger att mamman hade fel, kommer hon inte att se barnet, enligt avtalets alla regler.

Kvinnans negativa svar komplicerar saken avsevärt – om det visar sig stämma måste kidnapparen uppfylla villkoren i affären och släppa barnet, men på så sätt kommer mammans svar inte att stämma överens med verkligheten. För att säkerställa falskheten i ett sådant svar måste krokodilen lämna tillbaka barnet till mamman, men detta strider mot kontraktet, eftersom hennes misstag borde lämna barnet med krokodilen.

Det är värt att notera att affären som krokodilen erbjuder innehåller en logisk motsägelse, så hans löfte kan inte uppfyllas. Oratorn, tänkaren och politikern Corax från Syrakusa, som levde på 500-talet f.Kr., anses vara författaren till denna klassiska sofism.

6. Aporia "Dichotomy"

En annan paradox från Zeno av Elea, som visar felaktigheten i den idealiserade matematiska rörelsemodellen. Problemet kan uttryckas så här - låt oss säga att du bestämmer dig för att gå igenom någon gata i din stad från början till slut. För att göra detta måste du övervinna den första hälften av den, sedan hälften av den återstående hälften, sedan hälften av nästa segment och så vidare. Med andra ord - du går hälften av hela sträckan, sedan en fjärdedel, en åttondel, en sextondel - antalet minskande segment av banan tenderar till oändligheten, eftersom alla återstående delar kan delas i två, vilket innebär att det är omöjligt att gå hela vägen. Genom att formulera en något långsökt paradox vid första anblicken ville Zeno visa att matematiska lagar motsäger verkligheten, för i själva verket kan du enkelt täcka hela sträckan spårlöst.

7. Aporia "Flying Arrow"

Den berömda paradoxen av Zeno av Elea berör de djupaste motsägelserna i vetenskapsmäns idéer om rörelsens och tidens natur. Aporia formuleras enligt följande: en pil som avfyras från en båge förblir orörlig, eftersom den när som helst vilar utan att röra sig. Om pilen vid varje tidpunkt är i vila, så är den alltid i vila och rör sig inte alls, eftersom det inte finns något ögonblick i tiden då pilen rör sig i rymden.

Mänsklighetens enastående sinnen har i århundraden försökt lösa paradoxen med en flygande pil, men ur en logisk synvinkel är det helt korrekt. För att motbevisa det är det nödvändigt att förklara hur ett ändligt tidsintervall kan bestå av ett oändligt antal ögonblick – till och med Aristoteles, som övertygande kritiserade Zenons aporia, lyckades inte bevisa detta. Aristoteles påpekade med rätta att en tidsperiod inte kan betraktas som summan av några odelbara isolerade ögonblick, men många forskare tror att hans tillvägagångssätt inte skiljer sig på djupet och inte motbevisar existensen av en paradox. Det är värt att notera att genom att ställa problemet med en flygande pil, försökte Zeno inte att motbevisa möjligheten till rörelse, som sådan, utan att avslöja motsägelser i idealistiska matematiska begrepp.

8. Galileos paradox

I sina konversationer och matematiska bevis angående två nya vetenskapsgrenar föreslog Galileo Galilei en paradox som visar de märkliga egenskaperna hos oändliga mängder. Forskaren formulerade två motstridiga bedömningar. För det första finns det tal som är kvadraterna av andra heltal, som 1, 9, 16, 25, 36 och så vidare. Det finns andra nummer som inte har denna egenskap - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 och liknande. Alltså måste det totala antalet perfekta kvadrater och vanliga tal vara större än enbart antalet perfekta kvadrater. Andra bedömningen: för varje naturligt tal finns dess exakta kvadrat, och för varje kvadrat finns en heltals kvadratrot, det vill säga antalet kvadrater är lika med antalet naturliga tal.

Baserat på denna motsägelse drog Galileo slutsatsen att resonemang om antalet element endast tillämpas på ändliga mängder, även om senare matematiker introducerade begreppet kraften hos en mängd - med dess hjälp bevisades riktigheten av Galileos andra bedömning även för oändliga mängder .

9. Potatissäcksparadox

Anta att en viss bonde har en påse potatis som väger exakt 100 kg. Efter att ha undersökt innehållet upptäcker bonden att påsen förvarades i fukt - 99 % av dess massa är vatten och 1 % av de återstående ämnena i potatis. Han bestämmer sig för att torka potatisen lite så att vattenhalten sjunker till 98 % och flyttar påsen till en torr plats. Dagen efter visar det sig att en liter (1 kg) vatten verkligen har avdunstat, men vikten på påsen har minskat från 100 till 50 kg, hur kan detta vara? Låt oss beräkna - 99% av 100 kg är 99 kg, vilket betyder att förhållandet mellan massan av torr rest och massan av vatten ursprungligen var 1/99. Efter torkning innehåller vatten 98 % av påsens totala massa, vilket innebär att förhållandet mellan massan torr rest och vattenmassan nu är 1/49. Eftersom restmassan inte har förändrats väger det kvarvarande vattnet 49 kg.

Naturligtvis kommer en uppmärksam läsare omedelbart att upptäcka ett grovt matematiskt fel i beräkningarna - den imaginära komiska "paradoxen med en säck potatis" kan betraktas som ett utmärkt exempel på hur man vid första anblicken använder "logiskt" och "vetenskapligt underbyggt" resonemang kan du bokstavligen bygga en teori från grunden som strider mot sunt förnuft.

10 Raven Paradox

Problemet är också känt som Hempels paradox – det fick sitt andra namn för att hedra den tyske matematikern Carl Gustav Hempel, författaren till dess klassiska version. Problemet är ganska enkelt formulerat: varje korp är svart. Av detta följer att allt som inte är svart inte kan vara en korp. Denna lag kallas logisk motposition, det vill säga om en viss premiss "A" har en konsekvens "B", så är negationen av "B" ekvivalent med negationen av "A". Om en person ser en svart korp, förstärker detta hans tro att alla korpar är svarta, vilket är ganska logiskt, men i enlighet med kontraposition och induktionsprincipen är det logiskt att hävda att observation av icke-svarta föremål (säg till exempel). , röda äpplen) bevisar också att alla kråkor är målade svarta. Med andra ord, det faktum att en person bor i St Petersburg bevisar att han inte bor i Moskva.

Ur logikens synvinkel ser paradoxen oklanderlig ut, men den motsäger det verkliga livet - röda äpplen kan inte på något sätt bekräfta det faktum att alla kråkor är svarta.

Hur brainmail fungerar - överföring av meddelanden från hjärna till hjärna över Internet

10 världens mysterier som vetenskapen äntligen har avslöjat

Topp 10 frågor om universum som forskare letar efter svar just nu

8 saker som vetenskapen inte kan förklara

2500 år gammal vetenskaplig hemlighet: varför vi gäspar

3 mest korkade argument att motståndare till evolutionsteorin motiverar sin okunnighet

Är det möjligt att med hjälp av modern teknik förverkliga superhjältarnas förmågor?

Enligt logikens lagar Ivin Alexander Arkhipovich

VAD ÄR DEN LOGISKA PARADOXEN?

Det finns ingen uttömmande lista över logiska paradoxer, och det är omöjligt.

De övervägda paradoxerna är bara en del av alla de som hittills upptäckts. Det är troligt att många andra och till och med helt nya typer kommer att upptäckas i framtiden. Själva begreppet paradox är inte så bestämt att det skulle vara möjligt att sammanställa en lista över åtminstone redan kända paradoxer.

"Mängdteoretiska paradoxer är ett mycket allvarligt problem, dock inte för matematik, utan snarare för logik och epistemologi", skriver den österrikiske matematikern och logikern K. Gödel. "Logiken är inkonsekvent. Det finns inga logiska paradoxer, - säger den sovjetiske matematikern D. Bochvar. – Sådana avvikelser är ibland betydande, ibland verbala. Poängen ligger till stor del i vad som exakt menas med "logisk paradox".

En nödvändig egenskap hos logiska paradoxer är den logiska ordboken. Paradoxer som är logiska måste formuleras i logiska termer. Men inom logiken finns det inga tydliga kriterier för att dela in termer i logiska och extralogiska. Logiken, som handlar om resonemangs riktighet, försöker reducera de begrepp som korrektheten av praktiskt tillämpade slutsatser beror på till ett minimum. Men detta minimum är inte entydigt förutbestämt. Dessutom kan icke-logiska påståenden också formuleras i logiska termer. Huruvida en viss paradox endast använder rent logiska premisser är långt ifrån alltid möjligt att entydigt avgöra.

Logiska paradoxer är inte strikt åtskilda från alla andra paradoxer, precis som de senare inte tydligt skiljer sig från allt icke-paradoxalt och överensstämmer med de rådande idéerna.

I början av studiet av logiska paradoxer verkade det som om de kunde särskiljas genom brott mot någon ännu outforskad position eller logikregel. Den "onda cirkelprincipen" som introducerades av B. Russell var särskilt aktiv för att hävda rollen som en sådan regel. Denna princip säger att en samling objekt inte kan innehålla medlemmar som endast definieras av samma samling.

Alla paradoxer har en sak gemensamt - självtillämpbarhet, eller cirkuläritet. I var och en av dem kännetecknas objektet i fråga av någon uppsättning objekt som det självt tillhör. Om vi ​​pekar ut till exempel en person som den listigaste i en klass så gör vi detta med hjälp av en uppsättning personer som denna person också tillhör (med hjälp av "sin klass"). Och om vi säger: "Detta påstående är falskt", karakteriserar vi uttalandet av intresse för oss genom att hänvisa till helheten av alla falska påståenden som inkluderar den.

I alla paradoxer sker självtillämpbarhet, vilket innebär att det så att säga finns en rörelse i en cirkel, som i slutet leder till utgångspunkten. I ett försök att karakterisera föremålet av intresse för oss, vänder vi oss till den uppsättning föremål som inkluderar det. Emellertid visar det sig att den, för sin bestämdhet, själv behöver föremålet under övervägande och inte klart kan förstås utan det. I denna cirkel ligger kanske källan till paradoxer.

Situationen kompliceras dock av att en sådan cirkel också finns i många helt oparadoxala argument. Cirkulär är en stor variation av de vanligaste, ofarliga och samtidigt bekväma uttryckssätten. Sådana exempel som "den största av alla städer", "det minsta av alla naturliga tal", "en av järnatomens elektroner", etc., visar att inte alla fall av självtillämpbarhet leder till en motsägelse och att det är viktigt inte bara i vanligt språk, utan också i vetenskapens språk.

Enbart en hänvisning till användningen av självtillämpliga begrepp är alltså otillräcklig för att misskreditera paradoxer. Det behövs några ytterligare kriterium för att separera självtillämplighet, vilket leder till en paradox, från alla andra fall av den.

Det har funnits många förslag om detta, men inget framgångsrikt förtydligande av cirkulariteten har hittats. Det visade sig vara omöjligt att karakterisera cirkularitet på ett sådant sätt att varje cirkelresonemang leder till en paradox, och varje paradox är resultatet av något cirkelresonemang.

Ett försök att hitta någon specifik logikprincip, vars kränkning skulle vara ett utmärkande drag för alla logiska paradoxer, ledde inte till något definitivt.

Någon sorts klassificering av paradoxer skulle utan tvekan vara användbar genom att dela in dem i typer och typer, gruppera vissa paradoxer och ställa dem mot andra. Inget hållbart har dock uppnåtts i detta fall heller.

Den engelske logikern F. Ramsey, som dog 1930, när han ännu inte var tjugosju år gammal, föreslog att dela upp alla paradoxer i syntaktiska och semantiska. Den första inkluderar till exempel Russells paradox, den andra - paradoxerna för "lögnaren", Grelling, etc.

Enligt F. Ramsey innehåller paradoxer i den första gruppen endast begrepp som hör till logik eller matematik. De senare inkluderar sådana begrepp som "sanning", "definierbarhet", "namngivning", "språk", som inte är strikt matematiska, utan snarare relaterade till lingvistik eller till och med kunskapsteorin. Semantiska paradoxer verkar inte bero på något fel i logiken, utan på vagheten eller tvetydigheten hos vissa icke-logiska begrepp, därför rör de problem de ställer språket och måste lösas av lingvistik.

Det verkade för F. Ramsey att matematiker och logiker inte behöver vara intresserade av semantiska paradoxer.

Senare visade det sig dock att några av den moderna logikens mest betydande resultat erhölls just i samband med en djupare studie av just dessa "icke-logiska" paradoxer.

Den uppdelning av paradoxer som F. Ramsey föreslagit användes i stor utsträckning till en början och har en viss betydelse även nu. Samtidigt blir det allt tydligare att denna uppdelning är ganska vag och i första hand bygger på exempel, och inte på en djupgående jämförande analys av de två grupperna av paradoxer. Semantiska begrepp är nu väldefinierade, och det är svårt att inte inse att dessa begrepp verkligen är logiska. Med utvecklingen av semantiken, som definierar dess grundläggande begrepp i termer av mängdteori, suddas den distinktion som gjorts av F. Ramsey alltmer ut.

Historiska och logiska metoder I stort sett är den empiriska nivån av vetenskaplig kunskap i sig inte tillräcklig för att tränga in i sakers väsen, inklusive funktions- och samhällsutvecklingsmönster. I ett visst skede, när mer än

Carnaps logiska positivism Logisk positivism är en modifierad form av empiri. Empiri i sin renaste form är läran att all kunskap kommer från sensorisk erfarenhet. Logisk positivism ser svagare ut än den på en viktig punkt, men starkare på

2.9. Den logiska kvadraten Relationer mellan enkla jämförbara propositioner skildras schematiskt med den logiska kvadraten, som utvecklats av medeltida logiker. Som du kan se betecknar kvadratens hörn fyra typer av enkla bedömningar, och dess sidor och

KAPITEL 2 LOGISK BEHAVIORISM Logisk behaviorism är teorin att att vara i ett mentalt tillstånd betyder att vara i ett beteendemässigt tillstånd. Att tänka, hoppas, uppfatta, minnas osv. - allt detta ska förstås antingen som beteende eller som innehav

3. Logisk analys (B. Russell) Bertrand Russell (1872–1970) är en världsberömd engelsk vetenskapsman, filosof och offentlig person. Vid sexton års ålder läste han sin gudfaders självbiografi, J. S. Mill, som gjorde stort intryck på honom. peru milla

2. Logisk positivism År 1922, vid Institutionen för naturfilosofi vid universitetet i Wien, som efter E. Machs död leddes av professor M. Schlick, samlades en grupp unga vetenskapsmän som satte upp sig ett djärvt mål - att reformera vetenskap och filosofi. Den här gruppen är med

§ 1. B. Russells logiska atomism Den logiska positivismens "farfäder" är Moore och Russell. Rollen som Moore (1873-1958) brukar framhållas av engelska forskare. Den bestod i att han uppmärksammade analysen av betydelsen av ord och uttalanden som filosofer använder.

2. Logisk kollaps - Det som kan påvisas eller som behöver bevisas är den ultimata kunskapen om något speciellt. Existens och transcendens, i betydelsen av denna varelse, existerar inte. Om vi ​​tänker på dem, så antar tanken logiska former, vilket

"Logiska" och "historiska" metoder för forskning I "Capital", särskilt i dess fjärde volym, återspeglades ett viktigt epistemologiskt problem om förhållandet mellan den logiska konstruktionen av teorin om ett objekt och de historiska metoderna för dess studie - den andra av

II. LOGISK ANALYS AV SPRÅK En ny logik har utvecklats för den teoretiska konstruktionen av matematik. I Wiencirkeln blev det i allmänhet ett sätt att skapa vetenskapsteorin. Till skillnad från ren logik användes tillämpad logik för att förfina filosofiska

VAD ÄR DEN LOGISKA PARADOXEN? Det finns ingen uttömmande lista över logiska paradoxer. De övervägda logiska paradoxerna är bara en del av alla de som hittills upptäckts. Det är troligt att många fler kommer att öppnas i framtiden.

Logisk positivism Under tiden mellan första och andra världskriget fördes nya filosofiska idéer fram. Många av dem stimulerades av utvecklingen av icke-klassisk fysik och blev föremål för seriös epistemologisk analys av logisk positivism.

15. INFINITESIMAL-LOGISK ORDBOK Detta avslutar vår korta rapport om tillämpningen av metoden för infinitesimaler på logik. Snarare är detta inte ett budskap, utan bara ett förslag, bara en blygsam antydan om ett område som inte kan annat än vara enormt. Logik och matematik är det inte

3. Guds rikes teologiska karaktär I traditionen från Gamla testamentet och judendomen betyder Guds rikes ankomst Guds ankomst. Centrum för det eskatologiska hoppet var "Jahves dag" bestämd och genomförd av Gud, dagen då Gud kommer att vara "allt i alla", då

Forskare och tänkare har länge varit förtjusta i att underhålla sig själva och sina kollegor genom att ställa upp olösliga problem och formulera alla möjliga paradoxer. Vissa av dessa tankeexperiment förblir relevanta i tusentals år, vilket tyder på ofullkomligheten hos många populärvetenskapliga modeller och "hål" i allmänt accepterade teorier som länge har ansetts vara grundläggande.

Vi inbjuder dig att reflektera över de mest intressanta och fantastiska paradoxerna, som, som de säger nu, "sprängde hjärnan" hos mer än en generation av logiker, filosofer och matematiker.

1. Aporia "Akilles och sköldpaddan"

Paradoxen med Akilles och sköldpaddan är en av paradoxerna (logiskt korrekta, men motsägelsefulla påståenden) som formulerades av den antika grekiske filosofen Zeno av Elea på 500-talet f.Kr. Dess kärna är följande: den legendariska hjälten Achilles bestämde sig för att tävla i att springa med en sköldpadda. Som ni vet skiljer sig sköldpaddor inte i snabbhet, så Akilles gav motståndaren ett försprång på 500 m. När sköldpaddan övervinner detta avstånd börjar hjälten jaga med en hastighet som är 10 gånger högre, det vill säga medan sköldpaddan kryper 50 m. , lyckas Achilles springa de givna 500 m försprånget . Sedan övervinner löparen de kommande 50 m, men vid denna tidpunkt kryper sköldpaddan tillbaka ytterligare 5 m, det verkar som om Akilles är på väg att komma ikapp den, men motståndaren är fortfarande före och medan han springer 5 m, lyckas hon avancera ytterligare en halv meter och så vidare. Avståndet mellan dem minskas oändligt, men i teorin lyckas hjälten aldrig komma ikapp den långsamma sköldpaddan, det är inte mycket, men alltid före honom.

© www.student31.ru

Naturligtvis, ur fysikens synvinkel, är paradoxen inte vettig - om Akilles rör sig mycket snabbare kommer han att bryta framåt ändå, men Zeno ville först och främst visa med sitt resonemang att de idealiserade matematiska begreppen av "punkt i rymden" och "tidsögonblick" är inte alltför lämpliga för korrekt applicering på verklig rörelse. Aporian avslöjar diskrepansen mellan den matematiskt sunda idén att intervaller av rum och tid som inte är noll kan delas upp på obestämd tid (så att sköldpaddan alltid måste ligga före) och verkligheten där hjälten, naturligtvis, vinner loppet.

2. Time loop paradox

The New Time Traveler av David Toomey

Paradoxerna som beskriver tidsresor har länge varit en inspirationskälla för science fiction-författare och skapare av science fiction-filmer och tv-program. Det finns flera varianter av tidsloopparadoxer, ett av de enklaste och mest illustrativa exemplen på ett sådant problem gavs i hans bok The New Time Travellers av David Toomey, professor vid University of Massachusetts.

Föreställ dig att en tidsresenär har köpt ett exemplar av Shakespeares Hamlet från en bokhandel. Sedan åkte han till England under jungfrudrottning Elizabeth I:s tid och, efter att ha hittat William Shakespeare, räckte han en bok till honom. Han skrev om den och publicerade den som sitt eget verk. Hundratals år går, Hamlet översätts till dussintals språk, trycks i oändlighet, och ett av exemplaren hamnar i själva bokhandeln där tidsresenären köper den och ger den till Shakespeare, som gör en kopia, och så vidare... Vem ska räknas i det här fallet, författaren till en odödlig tragedi?

3. Paradoxen med en flicka och en pojke

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

I sannolikhetsteorin kallas denna paradox också för "Mr Smiths barn" eller "Mrs Smiths problem". Den formulerades först av den amerikanske matematikern Martin Gardner i ett av numren av tidskriften Scientific American. Forskare har argumenterat om paradoxen i årtionden, och det finns flera sätt att lösa den. Efter att ha funderat över problemet kan du erbjuda din egen version.

Familjen har två barn och man vet med säkerhet att en av dem är en pojke. Vad är sannolikheten att det andra barnet också är en man? Vid första anblicken är svaret ganska uppenbart - 50 till 50, antingen han verkligen är en pojke eller en flicka, chanserna borde vara lika. Problemet är att det för tvåbarnsfamiljer finns fyra möjliga kombinationer av barns kön - två flickor, två pojkar, en äldre pojke och en yngre flicka, och vice versa - en äldre flicka och en yngre pojke. Det första kan uteslutas, eftersom ett av barnen definitivt är en pojke, men i det här fallet finns det tre möjliga alternativ, inte två, och sannolikheten att det andra barnet också är en pojke är en chans av tre.

4. Jourdains kortparadox

Problemet som den brittiske logikern och matematikern Philippe Jourdain föreslog i början av 1900-talet kan betraktas som en av varianterna av den berömda lögnarparadoxen.

Philippe Jourdain

Föreställ dig - du håller ett vykort i dina händer, som säger: "Utståendet på baksidan av vykortet är sant." Att vända på kortet avslöjar frasen "påståendet på andra sidan är falskt." Som du förstår finns det en motsägelse: om det första påståendet är sant, så är det andra också sant, men i det här fallet måste det första vara falskt. Om den första sidan av vykortet är falsk, så kan inte heller frasen på den andra anses vara sann, vilket betyder att det första påståendet blir sant igen ... En ännu mer intressant version av lögnarens paradox finns i nästa stycke.

5. Sofism "Krokodil"

En mamma med ett barn står på flodstranden, plötsligt simmar en krokodil fram till dem och drar barnet i vattnet. Den otröstliga mamman ber att få lämna tillbaka sitt barn, vilket krokodilen svarar att han går med på att ge tillbaka i god behag om kvinnan svarar rätt på hans fråga: "Kommer han att lämna tillbaka hennes barn?" Det är klart att en kvinna har två svar – ja eller nej. Om hon hävdar att krokodilen kommer att ge henne barnet, beror allt på djuret - med tanke på att svaret är sant, kommer kidnapparen att låta barnet gå, men om han säger att mamman hade fel, kommer hon inte att se barnet, enligt avtalets alla regler.

© Corax från Syracuse

Kvinnans negativa svar komplicerar saken avsevärt – om det visar sig stämma måste kidnapparen uppfylla villkoren i affären och släppa barnet, men på så sätt kommer mammans svar inte att stämma överens med verkligheten. För att säkerställa falskheten i ett sådant svar måste krokodilen lämna tillbaka barnet till mamman, men detta strider mot kontraktet, eftersom hennes misstag borde lämna barnet med krokodilen.

Det är värt att notera att affären som krokodilen erbjuder innehåller en logisk motsägelse, så hans löfte kan inte uppfyllas. Oratorn, tänkaren och politikern Corax från Syrakusa, som levde på 500-talet f.Kr., anses vara författaren till denna klassiska sofism.

6. Aporia "Dichotomy"

© www.student31.ru

En annan paradox från Zeno av Elea, som visar felaktigheten i den idealiserade matematiska rörelsemodellen. Problemet kan uttryckas så här - låt oss säga att du bestämmer dig för att gå igenom någon gata i din stad från början till slut. För att göra detta måste du övervinna den första hälften av den, sedan hälften av den återstående hälften, sedan hälften av nästa segment och så vidare. Med andra ord - du går hälften av hela sträckan, sedan en fjärdedel, en åttondel, en sextondel - antalet minskande segment av banan tenderar till oändligheten, eftersom alla återstående delar kan delas i två, vilket innebär att det är omöjligt att gå hela vägen. Genom att formulera en något långsökt paradox vid första anblicken ville Zeno visa att matematiska lagar motsäger verkligheten, för i själva verket kan du enkelt täcka hela sträckan spårlöst.

7. Aporia "Flying Arrow"

Den berömda paradoxen av Zeno av Elea berör de djupaste motsägelserna i vetenskapsmäns idéer om rörelsens och tidens natur. Aporia formuleras enligt följande: en pil som avfyras från en båge förblir orörlig, eftersom den när som helst vilar utan att röra sig. Om pilen vid varje tidpunkt är i vila, så är den alltid i vila och rör sig inte alls, eftersom det inte finns något ögonblick i tiden då pilen rör sig i rymden.

© www.academic.ru

Mänsklighetens enastående sinnen har i århundraden försökt lösa paradoxen med en flygande pil, men ur en logisk synvinkel är det helt korrekt. För att motbevisa det är det nödvändigt att förklara hur ett ändligt tidsintervall kan bestå av ett oändligt antal ögonblick – till och med Aristoteles, som övertygande kritiserade Zenons aporia, lyckades inte bevisa detta. Aristoteles påpekade med rätta att en tidsperiod inte kan betraktas som summan av några odelbara isolerade ögonblick, men många forskare tror att hans tillvägagångssätt inte skiljer sig på djupet och inte motbevisar existensen av en paradox. Det är värt att notera att genom att ställa problemet med en flygande pil, försökte Zeno inte att motbevisa möjligheten till rörelse, som sådan, utan att avslöja motsägelser i idealistiska matematiska begrepp.

8. Galileos paradox

Galileo Galilei / © Wikimedia

I sina konversationer och matematiska bevis angående två nya vetenskapsgrenar föreslog Galileo Galilei en paradox som visar de märkliga egenskaperna hos oändliga mängder. Forskaren formulerade två motstridiga bedömningar. För det första finns det tal som är kvadraterna av andra heltal, som 1, 9, 16, 25, 36 och så vidare. Det finns andra nummer som inte har denna egenskap - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 och liknande. Alltså måste det totala antalet perfekta kvadrater och vanliga tal vara större än enbart antalet perfekta kvadrater. Andra bedömningen: för varje naturligt tal finns dess exakta kvadrat, och för varje kvadrat finns en heltals kvadratrot, det vill säga antalet kvadrater är lika med antalet naturliga tal.

Baserat på denna motsägelse drog Galileo slutsatsen att resonemang om antalet element endast tillämpas på ändliga mängder, även om senare matematiker introducerade begreppet kraften hos en mängd - med dess hjälp bevisades riktigheten av Galileos andra bedömning även för oändliga mängder .

9. Potatissäcksparadox

© nieidealne-danie.blogspot.com

Anta att en viss bonde har en påse potatis som väger exakt 100 kg. Efter att ha undersökt innehållet upptäcker bonden att påsen förvarades i fukt - 99 % av dess massa är vatten och 1 % av de återstående ämnena i potatis. Han bestämmer sig för att torka potatisen lite så att vattenhalten sjunker till 98 % och flyttar påsen till en torr plats. Dagen efter visar det sig att en liter (1 kg) vatten verkligen har avdunstat, men vikten på påsen har minskat från 100 till 50 kg, hur kan detta vara? Låt oss beräkna - 99% av 100 kg är 99 kg, vilket betyder att förhållandet mellan massan av torr rest och massan av vatten ursprungligen var 1/99. Efter torkning innehåller vatten 98 % av påsens totala massa, vilket innebär att förhållandet mellan massan torr rest och vattenmassan nu är 1/49. Eftersom restmassan inte har förändrats väger det kvarvarande vattnet 49 kg.

Naturligtvis kommer en uppmärksam läsare omedelbart att upptäcka ett grovt matematiskt fel i beräkningarna - den imaginära komiska "paradoxen med en säck potatis" kan betraktas som ett utmärkt exempel på hur man vid första anblicken använder "logiskt" och "vetenskapligt underbyggt" resonemang kan du bokstavligen bygga en teori från grunden som strider mot sunt förnuft.

10 Raven Paradox

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Problemet är också känt som Hempels paradox – det fick sitt andra namn för att hedra den tyske matematikern Carl Gustav Hempel, författaren till dess klassiska version. Problemet är ganska enkelt formulerat: varje korp är svart. Av detta följer att allt som inte är svart inte kan vara en korp. Denna lag kallas logisk motposition, det vill säga om en viss premiss "A" har en konsekvens "B", så är negationen av "B" ekvivalent med negationen av "A". Om en person ser en svart korp, förstärker detta hans tro att alla korpar är svarta, vilket är ganska logiskt, men i enlighet med kontraposition och induktionsprincipen är det logiskt att hävda att observation av icke-svarta föremål (säg till exempel). , röda äpplen) bevisar också att alla kråkor är målade svarta. Med andra ord, det faktum att en person bor i St Petersburg bevisar att han inte bor i Moskva.

Ur logikens synvinkel ser paradoxen oklanderlig ut, men den motsäger det verkliga livet - röda äpplen kan inte på något sätt bekräfta det faktum att alla kråkor är svarta.

Här hade vi redan ett urval av paradoxer med dig -, såväl som i synnerhet, och Originalartikeln finns på hemsidan InfoGlaz.rf Länk till artikeln från vilken denna kopia är gjord -

Det är känt att det ofta är viktigare och svårare att formulera ett problem än att lösa det. ”Inom vetenskapen”, skrev den engelske kemisten F. Soddy, ”är ett korrekt ställt problem mer än hälften löst. Den mentala förberedelseprocess som krävs för att ta reda på att det finns en viss uppgift tar ofta längre tid än själva uppgiften.

De former i vilka problemsituationen manifesteras och förverkligas är mycket olika. Långt ifrån alltid avslöjar det sig i form av en direkt fråga som uppstod redan i början av studien. Problemens värld är lika komplex som kognitionsprocessen som genererar dem. Att identifiera problem är kärnan i kreativt tänkande. Paradoxer är det mest intressanta fallet med implicita, ifrågasättande sätt att ställa problem. Paradoxer är vanliga i de tidiga stadierna av utvecklingen av vetenskapliga teorier, när de första stegen tas i ett ännu outforskat område och de mest allmänna principerna för förhållningssätt till det trevas.

Paradoxer och logik

I vid bemärkelse är en paradox ett ställningstagande som kraftigt avviker från allmänt accepterade, etablerade, ortodoxa åsikter. "Allmänt accepterade åsikter och vad som anses vara en fråga sedan länge avgjord, förtjänar oftast forskning" (G. Lichtenberg). Paradox är början på sådan forskning.

En paradox i snävare och mer specialiserad mening är två motsatta, oförenliga påståenden, för var och en av dem finns det till synes övertygande argument.

Den skarpaste formen av paradox är antinomi, ett resonemang som bevisar likvärdigheten mellan två påståenden, varav det ena är en negation av det andra.

Paradoxer är särskilt kända inom de mest rigorösa och exakta vetenskaperna - matematik och logik. Och detta är ingen slump.

Logik är en abstrakt vetenskap. Det finns inga experiment i det, inte ens fakta i ordets vanliga bemärkelse. När man bygger sina system utgår logiken i slutändan från analysen av verkligt tänkande. Men resultaten av denna analys är syntetiska, odifferentierade. De är inte uttalanden om några separata processer eller händelser som teorin ska förklara. Uppenbarligen kan en sådan analys inte kallas en observation: ett konkret fenomen observeras alltid.

Genom att konstruera en ny teori, utgår vetenskapsmannen vanligtvis från fakta, från vad som kan observeras i experimentet. Hur fri hans kreativa fantasi än må vara, måste den räkna med en oumbärlig omständighet: en teori är meningsfull endast om den överensstämmer med fakta som hör till den. En teori som inte håller med fakta och observationer är långsökt och har inget värde.

Men om det inte finns några experiment i logik, inga fakta och ingen iakttagelse i sig, vad håller då tillbaka logisk fantasi? Vilka faktorer, om inte fakta, beaktas när man skapar nya logiska teorier?

Diskrepansen mellan logisk teori och praktiken av verkligt tänkande avslöjas ofta i form av en mer eller mindre akut logisk paradox, och ibland även i form av en logisk antinomi, som talar om teorins inre inkonsekvens. Detta förklarar bara vikten som tillmäts paradoxer i logik, och den stora uppmärksamhet som de åtnjuter i den.

Varianter av "Liar"-paradoxen

Den mest kända och kanske mest intressanta av alla logiska paradoxer är lögnarparadoxen. Det var han som förhärligade namnet Eubulides från Miletos som upptäckte det.

Det finns varianter av denna paradox, eller antinomi, av vilka många bara till synes paradoxala.

I den enklaste versionen av "Liar" säger en person bara en fras: "Jag ljuger." Eller så säger han: "Det uttalande jag nu gör är falskt." Eller: "Detta påstående är falskt."

Om påståendet är falskt sa talaren sanningen, och därför är det han sa inte en lögn. Om påståendet inte är falskt, och talaren hävdar att det är falskt, så är detta påstående falskt. Det visar sig därför att om talaren ljuger så talar han sanning och vice versa.

På medeltiden var följande formulering vanlig:

"Det Platon sa är falskt", säger Sokrates.

"Det Sokrates sa är sanningen", säger Platon.

Frågan uppstår, vem av dem uttrycker sanningen och vilken är en lögn?

Och här är en modern paradox av denna paradox. Låt oss anta att endast orden är skrivna på framsidan av kortet: "På andra sidan av detta kort är skrivet ett sant uttalande." Det är tydligt att dessa ord representerar ett meningsfullt uttalande. Om vi ​​vänder på kortet måste vi antingen hitta det utlovade uttalandet, eller så finns det inte där. Om det står skrivet på baksidan så är det antingen sant eller inte. Men på baksidan står orden: "Det finns en falsk uppgift skriven på andra sidan av detta kort" - och inget mer. Antag att påståendet på framsidan är sant. Då måste påståendet på baksidan vara sant, och därför måste påståendet på framsidan vara falskt. Men om påståendet på framsidan är falskt måste påståendet på baksidan också vara falskt, och därför måste påståendet på framsidan vara sant. Resultatet är en paradox.

Lögnarparadoxen gjorde ett stort intryck på grekerna. Och det är lätt att förstå varför. Frågan som det ställer vid första anblicken verkar ganska enkel: ljuger han som bara säger att han ljuger? Men svaret "ja" leder till svaret "nej", och vice versa. Och eftertanke klargör inte alls situationen. Bakom frågans enkelhet och till och med rutin avslöjar den ett dunkelt och omätligt djup.

Det finns till och med en legend om att en viss Filit Kossky, desperat att lösa denna paradox, begick självmord. Det sägs också att en av de berömda antika grekiska logikerna, Diodorus Kronos, redan under sina nedåtgående år, avlade ett löfte om att inte äta förrän han hittade lösningen på "Lögnaren", och snart dog utan att ha uppnått någonting.

På medeltiden hänvisades denna paradox till de så kallade oavgörbara meningarna och blev föremål för systematisk analys.

I modern tid väckte "Lögnaren" ingen uppmärksamhet på länge. De såg inga, inte ens mindre, svårigheter när det gäller användningen av språket. Och först i vår, så kallade moderna tid, har logikens utveckling äntligen nått en nivå då det blivit möjligt att strikt formulera de problem som tycks ligga bakom denna paradox.

Nu kallas "Liar" - denna typiska forna sofism - ofta till som kungen av logiska paradoxer. En omfattande vetenskaplig litteratur ägnas åt honom. Och ändå, som i fallet med många andra paradoxer, är det fortfarande inte helt klart vilka problem som ligger bakom och hur man kan bli av med det.

Språk och metaspråk

Nu brukar "Lögnaren" anses vara ett karakteristiskt exempel på de svårigheter som förväxlingen av två språk leder till: språket där man talar om en verklighet som ligger utanför den, och språket som man talar om själva modersmål.

I vardagsspråket finns ingen skillnad mellan dessa nivåer: vi talar samma språk om verkligheten och om språket. Till exempel, en person vars modersmål är ryska ser inte så stor skillnad mellan påståendena: "Glas är genomskinligt" och "Det är sant att glas är genomskinligt", även om en av dem talar om glas och den andra om ett uttalande om glas.

Om någon hade en idé om behovet av att prata om världen på ett språk, och om egenskaperna hos detta språk på ett annat, kunde han använda två olika befintliga språk, låt oss säga ryska och engelska. Istället för att bara säga "Ko är ett substantiv", skulle jag säga "Ko är ett substantiv", och istället för "påståendet "Glas är inte genomskinligt" är falskt" skulle jag säga "påståendet "Glas är inte genomskinligt" är falskt ". Med denna användning av två olika språk skulle det som sägs om världen skilja sig klart från det som sägs om det språk som man talar om världen med. De första påståendena skulle faktiskt hänvisa till det ryska språket, medan det andra skulle hänvisa till engelska.

Om ytterligare vår expert på språk skulle vilja tala ut om vissa omständigheter som redan berör det engelska språket, kan han använda ett annat språk. Låt oss säga tyska. För att tala om detta senare skulle man kunna tillgripa, låt oss säga, det spanska språket, och så vidare.

Det visar sig därför en sorts stege, eller hierarki, av språk, som vart och ett används för ett mycket specifikt syfte: i den första talar de om den objektiva världen, i den andra - om detta första språk, i tredje - om andraspråket osv. En sådan distinktion mellan språk enligt deras användningsområde är en sällsynt företeelse i vardagen. Men inom vetenskaperna, som likt logiken specifikt handlar om språk, visar det sig ibland vara väldigt användbart. Språket som används för att tala om världen brukar kallas objektspråk. Språket som används för att beskriva ämnesspråket kallas ett metaspråk.

Det är klart att om språk och metaspråk avgränsas på det här sättet kan påståendet "jag ljuger" inte längre formuleras. Det talar om falskheten i det som sägs på ryska, och tillhör därför metaspråket och måste uttryckas på engelska. Specifikt borde det låta så här: "Allt jag talar på ryska är falskt" ("Allt jag säger på ryska är falskt"); detta engelska uttalande säger ingenting om sig självt, och ingen paradox uppstår.

Skillnaden mellan språk och metaspråk gör det möjligt att eliminera "Liar"-paradoxen. Därmed blir det möjligt att korrekt, utan motsägelse, definiera det klassiska sanningsbegreppet: ett påstående är sant som motsvarar den verklighet som det beskriver.

Sanningsbegreppet, liksom alla andra semantiska begrepp, har en relativ karaktär: det kan alltid hänföras till ett visst språk.

Som den polske logikern A. Tarski visade bör den klassiska definitionen av sanning formuleras på ett språk som är bredare än det språk som den är avsedd för. Med andra ord, om vi vill ange vad uttrycket "ett påstående som är sant på ett visst språk" betyder, måste vi, förutom uttrycken för detta språk, även använda uttryck som inte finns i det.

Tarski introducerade begreppet ett semantiskt slutet språk. Ett sådant språk inkluderar, förutom sina uttryck, deras namn och även, vilket är viktigt att betona, uttalanden om sanningen i de meningar som formulerats i det.

Det finns ingen gräns mellan språk och metaspråk i ett semantiskt slutet språk. Dess medel är så rika att de inte bara tillåter att hävda något om utomspråkig verklighet, utan också att utvärdera sanningen i sådana uttalanden. Dessa medel är i synnerhet tillräckliga för att reproducera antinomin "Liar" i språket. Ett semantiskt slutet språk visar sig alltså vara självmotsägande. Varje naturligt språk är uppenbarligen semantiskt stängt.

Det enda acceptabla sättet att eliminera antinomi, och därmed intern inkonsekvens, enligt Tarski, är att överge användningen av ett semantiskt slutet språk. Denna väg är acceptabel, naturligtvis, endast i fallet med konstgjorda, formaliserade språk som tillåter en tydlig uppdelning i språk och metaspråk. I naturliga språk, med sin oklara struktur och förmågan att prata om allt på samma språk, är detta tillvägagångssätt inte särskilt realistiskt. Det är meningslöst att ta upp frågan om dessa språks interna konsekvens. Deras rika uttrycksmöjligheter har också sin baksida - paradoxer.

Andra lösningar på paradoxen

Så det finns uttalanden som talar om sin egen sanning eller falskhet. Tanken att den här typen av uttalanden inte är meningsfulla är mycket gammal. Den försvarades av den antika grekiske logikern Chrysippus.

På medeltiden konstaterade den engelske filosofen och logikern W. Ockham att påståendet ”Every statement is false” är meningslöst, eftersom det bland annat talar om sin egen falskhet. En motsägelse följer direkt av detta uttalande. Om varje påstående är falskt, så är det också själva påståendet; men att det är falskt betyder att inte alla påståenden är falska. Situationen är liknande med påståendet "Varje påstående är sant." Det måste också klassificeras som meningslöst och leder också till en motsägelse: om varje påstående är sant, så är negationen av detta påstående i sig också sant, det vill säga påståendet att inte varje påstående är sant.

Men varför kan inte ett påstående meningsfullt tala om sin egen sanning eller falskhet?

Redan en samtida med Ockham, den franske filosofen från XIV-talet. J. Buridan höll inte med om hans beslut. Ur vanliga idéer om meningslöshet, uttryck som "jag ljuger", "Varje påstående är sant (falskt)", etc. ganska meningsfullt. Vad du kan tänka på, vad du kan säga - detta är den allmänna principen för Buridan. En person kan tänka på sanningen i uttalandet som han uttalar, vilket betyder att han kan tala om det. Alla uttalanden om sig själva är inte meningslösa. Till exempel är påståendet "Denna mening är skriven på ryska" sant, men påståendet "Det finns tio ord i den här meningen" är falskt. Och båda är helt vettiga. Om det medges att ett uttalande kan tala om sig själv, varför är det då inte kapabelt att tala meningsfullt om en sådan egenskap hos sig själv som sanning?

Buridan själv ansåg att uttalandet "jag ljuger" inte var meningslöst, utan falskt. Han motiverade det så här. När en person bekräftar ett påstående, hävdar han därmed att det är sant. Om meningen säger sig själv att den i sig är falsk, så är det bara en förkortad formulering av ett mer komplext uttryck som hävdar både sin sanning och sin falskhet. Detta uttryck är motsägelsefullt och därför falskt. Men det är inte på något sätt meningslöst.

Buridans argument anses fortfarande ibland vara övertygande.

Det finns andra rader av kritik mot lösningen på "Liar"-paradoxen, som utvecklades i detalj av Tarski. Finns det verkligen inget motgift mot paradoxer av denna typ i semantiskt slutna språk – och alla naturliga språk är det trots allt?

Om så vore fallet skulle sanningsbegreppet endast kunna definieras på ett rigoröst sätt i formaliserade språk. Endast i dem är det möjligt att skilja mellan det objektiva språk som människor talar om omvärlden på och det metaspråk som de talar om detta språk på. Denna hierarki av språk är modellerad på förvärvet av ett främmande språk med hjälp av ett modersmål. Studiet av en sådan hierarki ledde till många intressanta slutsatser, och i vissa fall är det väsentligt. Men det finns inte i naturligt språk. Misskrediterar det honom? Och i så fall i vilken utsträckning? När allt kommer omkring används begreppet sanning fortfarande i den, och oftast utan några komplikationer. Är införandet av en hierarki det enda sättet att eliminera paradoxer som Liar?

På 1930-talet verkade svaren på dessa frågor utan tvekan vara jakande. Men nu finns det ingen tidigare enighet, även om traditionen att eliminera paradoxer av denna typ genom att "stratifiera" språket förblir dominerande.

På senare tid har egocentriska uttryck väckt mer och mer uppmärksamhet. De innehåller ord som "jag", "detta", "här", "nu", och deras sanning beror på när, av vem, var de används.

I påståendet "Detta påstående är falskt" förekommer ordet "detta". Vilket objekt syftar det på? "Lögnare" kan indikera att ordet "det" inte hänvisar till innebörden av det givna uttalandet. Men vad syftar det på, vad betyder det? Och varför kan inte denna betydelse fortfarande betecknas med ordet "detta"?

Utan att gå in på detaljer här är det bara värt att notera att i samband med analysen av egocentriska uttryck är "Liar" fylld med ett helt annat innehåll än tidigare. Det visar sig att han inte längre varnar för sammanblandningen av språk och metaspråk, utan påpekar farorna som är förknippade med missbruk av ordet "detta" och liknande egocentriska ord.

De frågor som under århundradena har förknippats med "Lögnaren" har förändrats radikalt beroende på om den sågs som ett exempel på tvetydighet, eller som ett uttryck utåt framställt som ett exempel på en blandning av språk och metaspråk, eller slutligen som ett typiskt exempel på missbruk av egocentriska uttryck. Och det finns ingen säkerhet att andra problem inte kommer att förknippas med denna paradox i framtiden.

Den välkände nutida finske logikern och filosofen H. von Wright skrev i sitt arbete om Lögnaren att denna paradox på intet sätt bör förstås som ett lokalt, isolerat hinder som kan avlägsnas med en enda uppfinningsrik tankerörelse. Liar berör många av de viktigaste ämnena inom logik och semantik. Detta är definitionen av sanning, och tolkningen av motsägelse och bevis, och en hel rad viktiga skillnader: mellan en mening och den tanke som uttrycks av den, mellan användningen av ett uttryck och dess omnämnande, mellan betydelsen av ett namn och föremålet det betecknar.

Situationen är liknande med andra logiska paradoxer. "Logikens antinomier", skriver von Wright, "har förbryllat oss sedan de upptäcktes och kommer förmodligen alltid att förbrylla oss. Vi bör, tycker jag, se dem inte så mycket som problem som väntar på att bli lösta, utan som outtömlig råvara för eftertanke. De är viktiga eftersom att tänka på dem berör de mest grundläggande frågorna i all logik, och därför all tanke.”

Som avslutning på detta samtal om "Lögnaren" kan vi minnas en märklig episod från den tid då formell logik fortfarande lärdes ut i skolan. I en logisk lärobok som publicerades i slutet av 1940-talet fick elever i åttonde klass som en läxuppgift – som en uppvärmning så att säga – hitta felet som gjordes i detta enkla uttalande: "Jag ljuger." Och låt det inte verka konstigt, man trodde att majoriteten av skolbarn lyckades klara av en sådan uppgift.

2. Russells paradox

Den mest kända av de paradoxer som upptäckts redan i vårt århundrade är den antinomin som upptäckts av B. Russell och meddelades av honom i ett brev till G. Ferge. Samma antinomi diskuterades samtidigt i Göttingen av de tyska matematikerna Z. Zermelo och D. Hilbert.

Idén låg i luften och publiceringen gav intrycket av en exploderande bomb. Denna paradox orsakade i matematiken, enligt Hilbert, effekten av en fullständig katastrof. De enklaste och viktigaste logiska metoderna, de vanligaste och mest användbara begreppen, är hotade.

Det blev omedelbart uppenbart att varken i logiken eller i matematiken, under hela deras långa historia av deras existens, var något bestämt utarbetat som kunde tjäna som grund för att eliminera antinomin. Uppenbarligen var det nödvändigt att avvika från vanliga sätt att tänka. Men varifrån och åt vilket håll? Hur radikalt skulle förkastandet av etablerade teoretiseringssätt vara?

Med ytterligare studier av antinomin växte övertygelsen om behovet av ett fundamentalt nytt tillvägagångssätt stadigt. Ett halvt sekel efter upptäckten har specialister på grunderna för logik och matematik L. Frenkel och I. Bar-Hillel redan sagt utan några reservationer: , hittills undantagslöst misslyckats, är uppenbarligen otillräckliga för detta ändamål.

Den moderna amerikanske logikern H. Curry skrev lite senare om denna paradox: ”När det gäller den logik som kändes under 1800-talet, trotsade situationen helt enkelt förklaringar, även om det naturligtvis i vår utbildade tid kan finnas människor som ser (eller tror de ser ), vad är felet?

Russells paradox i sin ursprungliga form är kopplad till begreppet en uppsättning, eller en klass.

Vi kan prata om mängder av olika objekt, till exempel om mängden av alla människor eller om mängden naturliga tal. Ett element i den första uppsättningen kommer att vara vilken enskild person som helst, ett element i den andra - varje naturligt tal. Det är också möjligt att betrakta uppsättningar själva som vissa objekt och tala om uppsättningar av uppsättningar. Man kan till och med introducera sådana begrepp som mängden av alla mängder eller mängden av alla begrepp.

Set med vanliga set

Med avseende på vilken uppsättning som helst som tas godtyckligt, verkar det rimligt att fråga sig om det är dess eget element eller inte. Uppsättningar som inte innehåller sig själva som ett element kommer att kallas vanliga. Till exempel är mängden av alla människor inte en person, precis som mängden atomer inte är en atom. Uppsättningar som är korrekta element kommer att vara ovanliga. Till exempel är en mängd som förenar alla mängder en mängd och innehåller därför sig själv som ett element.

Betrakta nu uppsättningen av alla vanliga uppsättningar. Eftersom det är ett set kan man också fråga om det är vanligt eller ovanligt. Svaret är dock nedslående. Om den är vanlig måste den per definition innehålla sig själv som ett element, eftersom den innehåller alla vanliga mängder. Men det betyder att det är en ovanlig uppsättning. Antagandet att vår uppsättning är en vanlig mängd leder alltså till en motsägelse. Så det kan inte vara normalt. Å andra sidan kan det inte heller vara ovanligt: ​​en ovanlig mängd innehåller sig själv som ett element, och elementen i vår uppsättning är bara vanliga mängder. Som ett resultat kommer vi till slutsatsen att mängden av alla vanliga uppsättningar inte kan vara vare sig vanliga eller extraordinära.

Således är mängden av alla uppsättningar som inte är korrekta element ett korrekt element om och endast om det inte är ett sådant element. Detta är en klar motsägelse. Och det erhölls på grundval av de mest rimliga antaganden och med hjälp av till synes obestridliga steg.

Motsägelsen säger att en sådan uppsättning helt enkelt inte existerar. Men varför kan det inte finnas? Det består trots allt av föremål som uppfyller ett väldefinierat villkor, och själva villkoret verkar inte på något sätt vara exceptionellt eller dunkelt. Om en mängd så enkelt och tydligt definierad inte kan existera, vad är då egentligen skillnaden mellan möjliga och omöjliga mängder? Slutsatsen om att den övervägda uppsättningen inte existerar låter oväntat och inspirerar till oro. Det gör vår allmänna föreställning om en uppsättning amorf och kaotisk, och det finns ingen garanti för att den inte kan ge upphov till några nya paradoxer.

Russells paradox är anmärkningsvärd för sin extrema allmängiltighet. För dess konstruktion behövs inga komplexa tekniska begrepp, eftersom i fallet med vissa andra paradoxer är begreppen "uppsättning" och "element av uppsättningen" tillräckliga. Men denna enkelhet talar bara om dess grundläggande natur: den berör de djupaste grunderna för vårt resonemang om mängder, eftersom den inte talar om några speciella fall, utan om mängder i allmänhet.

Andra varianter av paradoxen

Russells paradox är inte specifikt matematisk. Den använder begreppet en mängd, men berör inte några speciella egenskaper som är associerade specifikt med matematik.

Detta blir uppenbart när paradoxen omformuleras i rent logiska termer.

Av varje egenskap kan man med stor sannolikhet fråga sig om den är tillämplig på sig själv eller inte.

Egenskapen att vara varm gäller till exempel inte sig själv, eftersom den inte i sig själv är varm; egenskapen att vara konkret hänvisar inte heller till sig själv, för det är en abstrakt egenskap. Men egenskapen att vara abstrakt, att vara abstrakt, är tillämplig på en själv. Låt oss kalla dessa egenskaper otillämpliga för sig själva otillämpliga. Gäller egenskapen att vara otillämplig för sig själv? Det visar sig att otillämplighet är otillämplig endast om den inte är det. Detta är naturligtvis paradoxalt.

Den logiska, egenskapsrelaterade varianten av Russells antinomi är lika paradoxal som den matematiska, mängdrelaterade varianten.

Russell föreslog också följande populära version av paradoxen han upptäckte.

Föreställ dig att rådet i en by definierade en frisörs plikter enligt följande: att raka alla män i byn som inte rakar sig själva, och bara dessa män. Ska han raka sig? Om så är fallet kommer det att hänvisa till de som rakar sig, och de som rakar sig själva, han ska inte raka sig. Om inte kommer han att tillhöra dem som inte rakar sig, och därför måste han raka sig själv. Vi kommer alltså fram till att denna frisör rakar sig om och bara om han inte rakar sig själv. Detta är naturligtvis omöjligt.

Argumentet om barberaren bygger på antagandet att en sådan frisör existerar. Den resulterande motsägelsen innebär att detta antagande är falskt, och det finns ingen sådan bybor som skulle raka alla dessa och bara de bybor som inte rakar sig själva.

En frisörs uppgifter verkar inte motsägelsefulla vid första anblicken, så slutsatsen att det inte kan finnas någon låter lite oväntat. Denna slutsats är dock inte paradoxal. Villkoret som bybarberaren måste uppfylla är i själva verket självmotsägande och därför omöjligt. Det kan inte finnas en sådan frisör i en by av samma anledning att det inte finns någon person i den som skulle vara äldre än han själv eller som skulle vara född före sin födelse.

Argumentet om frisören kan kallas en pseudoparadox. I sin kurs är den strikt analog med Russells paradox, och det är detta som gör den intressant. Men det är fortfarande inte en sann paradox.

Ett annat exempel på samma pseudoparadox är det välkända resonemanget om katalogen.

Ett visst bibliotek bestämde sig för att sammanställa en bibliografisk katalog som skulle innehålla alla dessa och endast de bibliografiska kataloger som inte innehåller referenser till dem själva. Ska en sådan katalog innehålla en länk till sig själv?

Det är lätt att visa att idén med att skapa en sådan katalog inte är genomförbar; den kan helt enkelt inte existera, eftersom den samtidigt måste innehålla en referens till sig själv och inte inkludera.

Det är intressant att notera att katalogisering av alla kataloger som inte innehåller referenser till sig själva kan ses som en oändlig, aldrig sinande process. Låt oss säga att en katalog, säg K1, kompilerades vid något tillfälle, inklusive alla andra kataloger som inte innehåller referenser till dem själva. Med skapandet av K1 dök en annan katalog upp som inte innehåller en länk till sig själv. Eftersom målet är att göra en komplett katalog över alla kataloger som inte nämner sig själva, är det uppenbart att K1 inte är lösningen. Han nämner inte en av dessa kataloger - han själv. Inklusive detta omnämnande av honom själv i K1, får vi K2-katalogen. Den nämner K1, men inte K2 själv. Om vi ​​lägger till ett sådant omnämnande till K2 får vi KZ, som återigen inte är komplett på grund av att det inte nämner sig själv. Och på utan slut.

3. Paradoxer av Grelling och Berry

En intressant logisk paradox upptäcktes av de tyska logikerna K. Grelling och L. Nelson (Grellings paradox). Denna paradox kan formuleras väldigt enkelt.

Autologiska och heterologiska ord

Vissa ord som betecknar egenskaper har just den egenskapen de namnger. Till exempel är adjektivet "ryska" i sig ryskt, "flerstavigt" är självt flerstavigt och "femstavigt" självt har fem stavelser. Sådana ord som refererar till sig själva kallas självmenande eller autologiska.

Det finns inte så många sådana ord, de allra flesta adjektiv har inte de egenskaper som de namnger. "Ny" är naturligtvis inte ny, "het" är het, "en stavelse" är en stavelse och "engelska" är engelska. Ord som inte har den egenskap de betecknar kallas alias, eller heterologiska. Uppenbarligen kommer alla adjektiv som betecknar egenskaper som inte är tillämpliga på ord att vara heterologiska.

Denna uppdelning av adjektiv i två grupper verkar tydlig och invändningsfri. Det kan utökas till substantiv: "ord" är ett ord, "substantiv" är ett substantiv, men "klocka" är inte en klocka och "verb" är inte ett verb.

En paradox uppstår så fort frågan ställs: till vilken av de två grupperna tillhör själva adjektivet "heterologisk"? Om det är autologiskt har det den egenskap den betecknar och måste vara heterologiskt. Men om den är heterologisk har den inte den egenskap den kallar, och måste därför vara autologisk. Det finns en paradox.

I analogi med denna paradox är det lätt att formulera andra paradoxer med samma struktur. Till exempel, är eller är inte en självmordsbenägen person som dödar varje icke-suicidal person och inte dödar någon självmordsbenägen person?

Det visade sig att Grelligs paradox redan på medeltiden var känd som antinomin till ett uttryck som inte namnger sig självt. Man kan föreställa sig inställningen till sofismer och paradoxer i modern tid, om problemet som krävde svar och orsakade livlig debatt plötsligt glömdes bort och återupptäcktes först femhundra år senare!

En annan, utåt sett enkel antinomi indikerades i början av vårt århundrade av D. Berry.

Mängden naturliga tal är oändlig. Uppsättningen av dessa namn på dessa nummer som är tillgängliga, till exempel på det ryska språket och innehåller mindre än, säg, hundra ord, är ändlig. Det betyder att det finns sådana naturliga tal som det inte finns några namn på på ryska som består av mindre än hundra ord. Bland dessa siffror finns uppenbarligen det minsta antalet. Det kan inte kallas med hjälp av ett ryskt uttryck som innehåller mindre än hundra ord. Men uttrycket: "Det minsta naturliga numret, för vilket dess komplexa namn inte finns på ryska, som består av mindre än hundra ord" är bara namnet på detta nummer! Detta namn har precis formulerats på ryska och innehåller bara nitton ord. En uppenbar paradox: det namngivna numret visade sig vara det som det inte finns något namn för!

4. Olöslig tvist

I hjärtat av en berömd paradox ligger vad som verkar vara en liten incident som hände för mer än två tusen år sedan och som inte har glömts bort till denna dag.

Den berömda sofisten Protagoras, som levde på 500-talet. f.Kr. fanns det en student som hette Euathlus, som studerade juridik. Enligt avtalet som slöts mellan dem fick Euathlus betala för träning endast om han vann sin första rättegång. Om han förlorar denna process är han inte skyldig att betala alls. Men efter att ha avslutat sina studier deltog Evatl inte i processerna. Det varade ganska länge, lärarens tålamod tog slut och han lämnade in en stämningsansökan mot sin elev. För Euathlus var detta alltså den första rättegången. Protagoras motiverade sitt krav på följande sätt:

"Oavsett domstolens beslut kommer Euathlus att få betala mig. Han kommer antingen att vinna sin första rättegång eller förlora. Om han vinner kommer han att betala i kraft av vårt kontrakt. Om han förlorar betalar han enligt detta beslut.

Tydligen var Euathlus en duktig student, som han svarade Protagoras:

– Jag vinner faktiskt processen eller förlorar den. Om jag vinner kommer domstolsbeslutet att befria mig från betalningsskyldigheten. Om domstolsbeslutet inte är till min fördel, förlorade jag mitt första mål och kommer inte att betala i kraft av vårt kontrakt.

Lösningar på Protagoras och Euathlus Paradox

Förvirrad över denna vändning ägnade Protagoras en speciell uppsats åt denna dispyt med Euathlus, "Litigation for Payment." Tyvärr nådde den, liksom det mesta som skrevs av Protagoras, inte oss. Ändå måste man hylla Protagoras, som omedelbart anade ett problem bakom en enkel rättslig incident som förtjänar särskild studie.

G. Leibniz, själv advokat till sin utbildning, tog också denna tvist på allvar. I sin doktorsavhandling, "A Study of Intricate Cases in Law", försökte han bevisa att alla fall, även de mest invecklade, som Protagoras och Euathlus rättstvister, måste hitta en korrekt lösning på sunt förnuft. Enligt Leibniz borde domstolen vägra Protagoras för otidig inlämnande av ett krav, men lämna honom dock rätten att kräva betalning av pengar av Evatl senare, nämligen efter den första processen han vann.

Många andra lösningar på denna paradox har föreslagits.

De hänvisade särskilt till att ett domstolsbeslut bör ha större kraft än ett privat avtal mellan två personer. Man kan svara att utan denna överenskommelse, hur obetydlig den än kan tyckas, skulle det varken finnas en domstol eller dess beslut. När allt kommer omkring måste domstolen fatta sitt beslut precis vid dess tillfälle och på dess grund.

De vädjade också till den allmänna principen att varje verk, och därför Protagoras arbete, måste betalas. Men det är känt att denna princip alltid har haft undantag, särskilt i ett slavägande samhälle. Dessutom är det helt enkelt inte tillämpligt på den specifika situationen för tvisten: trots allt vägrade Protagoras, som garanterade en hög utbildningsnivå, själv att acceptera betalning om hans student misslyckades i den första processen.

Ibland pratar de så här. Både Protagoras och Euathlus har båda rätt delvis, och ingen av dem i allmänhet. Var och en av dem tar bara hänsyn till hälften av de möjligheter som är fördelaktiga för sig själv. Fullständig eller omfattande övervägande öppnar fyra möjligheter, varav endast hälften är till fördel för en av de tvistande. Vilken av dessa möjligheter som förverkligas, det kommer att avgöras inte av logik, utan av livet. Om domarnas dom kommer att ha mer kraft än kontraktet kommer Euathl att behöva betala endast om han förlorar processen, d.v.s. med stöd av domstolsbeslut. Om däremot ett privat avtal ställs högre än domarnas beslut, kommer Protagoras endast att få betalning i händelse av att processen förloras till Evatlus, d.v.s. i kraft av ett avtal med Protagoras.

Denna vädjan till livet förvirrar äntligen allt. Vad, om inte logik, kan domare vägledas av under förhållanden när alla relevanta omständigheter är helt klara? Och vilken typ av ledarskap blir det om Protagoras, som kräver betalning genom domstolen, uppnår det bara genom att förlora processen?

Leibniz lösning, som till en början verkar övertygande, är dock lite bättre än logikens och livets vaga motsättning. I huvudsak föreslår Leibniz att man retroaktivt ska ändra ordalydelsen i kontraktet och att den första rättegången som involverar Euathlus, vars utgång kommer att avgöra frågan om betalning, inte ska vara rättegången mot Protagoras. Denna tanke är djup, men inte relaterad till en viss domstol. Hade det funnits en sådan klausul i det ursprungliga avtalet hade det inte behövts någon rättstvist alls.

Om man genom lösningen av denna svårighet förstår svaret på frågan om Euathlus ska betala Protagoras eller inte, så är alla dessa, liksom alla andra tänkbara lösningar, naturligtvis ohållbara. De är inget annat än ett avsteg från tvistens väsen, de är så att säga sofistiska knep och list i en hopplös och olöslig situation. För varken sunt förnuft eller några allmänna principer om sociala relationer kan lösa tvisten.

Det är omöjligt att tillsammans genomföra avtalet i dess ursprungliga form och domstolens beslut, oavsett vad det senare är. För att bevisa detta räcker det med enkla medel för logik. På samma sätt kan det också visas att fördraget, trots sitt helt oskyldiga utseende, är självmotsägande. Det kräver förverkligandet av ett logiskt omöjligt förslag: Euathlus måste både betala för utbildningen och samtidigt inte betala.

Regler som leder till en återvändsgränd

Det mänskliga sinnet, som inte bara är vant vid dess styrka, utan också vid dess flexibilitet och till och med påhittighet, har naturligtvis svårt att förlika sig med denna absoluta hopplöshet och erkänna att det har körts in i en återvändsgränd. Detta är särskilt svårt när återvändsgränden skapas av sinnet självt: det, så att säga, snubblar ur det blå och faller i sina egna nät. Ändå måste man erkänna att ibland, och förresten, inte så sällan, överenskommelser och regelsystem, spontant bildade eller införda medvetet, leder till olösliga, hopplösa situationer.

Ett exempel från det senaste schacklivet kommer återigen att bekräfta denna idé.

Internationella regler för schacktävlingar ålägger schackspelare att registrera spelet drag för drag tydligt och läsligt. Fram till nyligen stod det också i reglerna att en schackspelare som missade registreringen av flera drag på grund av tidsbrist måste, "så snart hans tidsbesvär upphör, omedelbart fylla i sitt formulär och skriva ner de missade dragen." Baserat på denna instruktion avbröt en domare vid schackolympiaden 1980 (Malta) spelet, som pågick i svåra problem, och stoppade klockan och förklarade att kontrolldragen hade gjorts och att det därför var dags att sätta register över spelen i ordning.

"Men ursäkta mig", ropade deltagaren, som var på gränsen till att förlora och bara räknade med intensiteten av passioner i slutet av spelet, "trots allt, inte en enda flagga har ännu fallit och ingen kan någonsin (som det står också skrivet i reglerna) kan berätta hur många drag som har gjorts.

Domaren fick dock stöd av chefsdomaren, som sa att det verkligen var nödvändigt, eftersom tidsbesvären hade upphört, att följa reglernas bokstav, att börja registrera de missade dragen.

Det var meningslöst att argumentera i denna situation: själva reglerna ledde till en återvändsgränd. Det återstod bara att ändra deras formulering på ett sådant sätt att liknande fall inte skulle kunna uppstå i framtiden.

Detta gjordes vid Internationella schackförbundets kongress, som ägde rum samtidigt: istället för orden "så snart tiden är över", säger reglerna nu: "så snart flaggan anger slutet av tid".

Detta exempel visar tydligt hur man hanterar dödlägessituationer. Det är meningslöst att argumentera om vilken sida som har rätt: tvisten är olöslig, och det kommer inte att finnas någon vinnare i den. Det återstår bara att komma överens med nuet och ta hand om framtiden. För att göra detta behöver du omformulera de ursprungliga avtalen eller reglerna på ett sådant sätt att de inte leder någon annan in i samma hopplösa situation.

Naturligtvis är en sådan handling inte en lösning på en olöslig tvist eller en väg ut ur en hopplös situation. Det är snarare ett stopp framför ett oöverstigligt hinder och en väg runt det.

Paradox "krokodil och mamma"

I antikens Grekland var berättelsen om en krokodil och en mamma mycket populär, och sammanföll i dess logiska innehåll med paradoxen "Protagoras och Euathlus".

Krokodilen ryckte sitt barn från en egyptisk kvinna som stod på flodstranden. På hennes vädjan att lämna tillbaka barnet svarade krokodilen, som alltid fällde en krokodiltår:

"Din olycka berörde mig, och jag ska ge dig en chans att få tillbaka ditt barn. Gissa om jag ska ge det till dig eller inte. Svarar du rätt kommer jag att lämna tillbaka barnet. Om du inte gissar så ger jag det inte tillbaka.

Tänkande svarade mamman:

Du kommer inte att ge mig barnet.

"Du kommer inte att få det," avslutade krokodilen. Antingen sa du sanningen eller så sa du inte det. Om det är sant att jag inte kommer att ge upp barnet, så kommer jag inte att ge upp det, för annars kommer det inte att vara sant. Om det som sades inte är sant, så gissade du inte, och jag kommer inte att ge barnet enligt överenskommelse.

Detta resonemang verkade dock inte övertygande för mamman.

– Men om jag berättade sanningen, då ska du ge mig barnet, som vi kommit överens om. Om jag inte gissade att du inte kommer att ge barnet, då måste du ge det till mig, annars kommer det jag sa inte vara osant.

Vem har rätt: mamma eller krokodil? Vad förpliktar löftet som ges till krokodilen? För att ge barnet, eller tvärtom, för att inte ge bort det? Och till båda samtidigt. Detta löfte är självmotsägande, och därför kan det inte uppfyllas i kraft av logikens lagar.

Missionären fann sig själv med kannibalerna och kom lagom till middagen. De låter honom välja hur han ska ätas. För att göra detta måste han uttala något påstående med villkoret att om detta påstående visar sig vara sant, kommer de att koka det, och om det visar sig vara falskt, kommer de att steka det.

Vad ska missionären säga?

Självklart ska han säga: "Du ska steka mig."

Om han verkligen är stekt kommer det att visa sig att han talade sanning, och därför måste han kokas. Om han är kokt, kommer hans uttalande att vara falskt, och han bör bara stekas. Kannibalerna har ingen väg ut: från "fry" följer det "koka" och vice versa.

Det här avsnittet av den listige missionären är förstås ytterligare en omskrivning av tvisten mellan Protagoras och Euathlus.

Paradoxen i Sancho Panza

En gammal paradox känd i antikens Grekland spelas upp i Don Quijote av M. Cervantes. Sancho Panza har blivit guvernör på ön Barataria och administrerar domstolen.

Den första som kommer till honom är någon besökare och säger: ”Senior, en viss egendom delas i två halvor av en djup flod ... Så en bro kastades över denna flod, och precis där på kanten står en galg och det finns något som liknar en domstol, i vilken vanligtvis fyra personer sitter, domare, och de dömer på grundval av en lag utfärdad av ägaren till ån, bron och hela godset, vilken lag är utformad på detta sätt: och den som ljuger, utan överseende, skicka dem till galgen som ligger precis där och avrätta dem. Från den tid då denna lag utfärdades i all sin stränghet, lyckades många ta sig över bron, och så fort domarna var nöjda med att de förbipasserande talade sanning, släppte de igenom dem. Men så en dag svor en man som svurits och sa: han svär att han kom för att bli upphängd på just denna galgen, och för inget annat. Denna ed förbryllade domarna, och de sade: ”Om denne man får fortsätta obehindrat, så kommer det att betyda att han har brutit mot eden och enligt lagen är skyldig till döden; om vi hänger honom, så svor han att han bara kom för att hängas upp på denna galge, därför är hans ed, det visar sig, inte falsk, och på grundval av samma lag är det nödvändigt att låta honom passera. Och så jag frågar dig, señor guvernör, vad ska domarna göra med den här mannen, eftersom de fortfarande är förvirrade och tveksamma ...

Sancho föreslog, kanske inte utan list, att hälften av den som berättade sanningen skulle släppas igenom och den som ljög skulle hängas, och på så sätt skulle reglerna för att korsa bron iakttas i alla former. Denna passage är intressant i flera avseenden.

För det första är det en tydlig illustration av det faktum att den hopplösa situation som beskrivs i paradoxen mycket väl kan mötas – och inte i ren teori, utan i praktiken – om inte en verklig person, så åtminstone en litterär hjälte.

Den utväg som Sancho Panza föreslog var naturligtvis inte en lösning på paradoxen. Men detta var bara lösningen som bara återstod att tillgripa i hans position.

En gång i tiden klippte Alexander den store, istället för att lösa den listiga gordiska knuten, som ingen ännu lyckats göra, helt enkelt av den. Sancho gjorde samma sak. Att försöka lösa pusslet på sina egna villkor var meningslöst – det var helt enkelt olösligt. Det återstod att förkasta dessa villkor och införa sina egna.

Och ett ögonblick. Med det här avsnittet fördömer Cervantes tydligt den orimligt formella skalan av medeltida rättvisa, genomsyrad av en anda av skolastisk logik. Men hur utbredd på hans tid - och detta var ungefär fyrahundra år sedan - var information från logikens område! Inte bara Cervantes själv känner till denna paradox. Författaren finner det möjligt att tillskriva sin hjälte, en analfabet bonde, förmågan att förstå att han står inför en olöslig uppgift!

5. Andra paradoxer

Ovanstående paradoxer är argument, vars resultat är en motsägelse. Men det finns andra typer av paradoxer i logiken. De pekar också på vissa svårigheter och problem, men de gör det på ett mindre hårt och kompromisslöst sätt. Sådana är i synnerhet paradoxerna som diskuteras nedan.

Paradoxer med oprecisa begrepp

De flesta av begreppen inte bara naturligt språk, utan också vetenskapens språk är felaktiga, eller, som de också kallas, suddiga. Ofta visar sig detta vara orsaken till missförstånd, tvister, eller till och med helt enkelt leder till dödlägen.

Om konceptet är felaktigt är gränsen för det område av föremål som det är tillämpligt på utan skärpa, suddig. Ta till exempel begreppet "hög". Ett korn (ett sandkorn, en sten, etc.) är ännu inte en hög. Tusen korn är uppenbarligen redan ett gäng. Och tre korn? Och tio? Hur många korn tillsätts för att bilda en hög? Inte särskilt tydligt. På samma sätt är det inte klart med borttagandet av vilket spannmål högen försvinner.

Felaktiga är de empiriska egenskaperna för "stor", "tung", "smal" etc. Sådana vanliga begrepp som "vis man", "häst", "hus" etc. är inexakta.

Det finns inget sandkorn som, när det tas bort, kan vi säga att det som finns kvar inte längre kan kallas hem. Men när allt kommer omkring tycks detta betyda att det inte vid något tillfälle i den gradvisa nedmonteringen av huset - fram till dess fullständiga försvinnande - finns det någon anledning att förklara att det inte finns något hus! Slutsatsen är helt klart paradoxal och nedslående.

Det är lätt att se att argumentet om omöjligheten att bilda en hög genomförs med hjälp av den välkända metoden matematisk induktion. Ett korn bildar inte en hög. Om n korn inte bildar högar, så bildar n+1 korn inte högar. Därför kan inget antal korn bilda högar.

Möjligheten att detta och liknande bevis leder till absurda slutsatser gör att principen om matematisk induktion har en begränsad räckvidd. Det bör inte användas i resonemang med felaktiga, vaga begrepp.

Ett bra exempel på hur dessa begrepp kan leda till olösliga tvister är en märklig rättegång som ägde rum 1927 i USA. Skulptören C. Brancusi gick till domstol och krävde att hans verk skulle erkännas som konstverk. Bland de verk som skickades till New York för utställningen fanns skulpturen "Bird", som numera anses vara en klassiker i den abstrakta stilen. Det är en modulerad pelare av polerad brons cirka en och en halv meter hög, som inte har någon yttre likhet med en fågel. Tulltjänstemän vägrade kategoriskt att erkänna Brancusis abstrakta skapelser som konstverk. De lade dem under rubriken "Sjukhus och husgeråd i metall" och ålade dem en tung tull. Upprörd stämde Brancusi.

Tullen stöddes av konstnärer - medlemmar av National Academy, som försvarade traditionella metoder inom konst. De agerade som vittnen för försvaret vid rättegången och insisterade kategoriskt på att försöket att släppa ut "fågeln" som ett konstverk helt enkelt var en bluff.

Denna konflikt understryker tydligt svårigheten att arbeta med begreppet "konstverk". Skulptur anses traditionellt vara en form av konst. Men graden av likhet mellan den skulpturala bilden och originalet kan variera inom mycket vida gränser. Och vid vilken tidpunkt slutar en skulptural bild, som alltmer flyttar sig bort från originalet, att vara ett konstverk och blir ett "metallredskap"? Denna fråga är lika svår att besvara som frågan om var går gränsen mellan ett hus och dess ruiner, mellan en häst med svans och en häst utan svans osv. Modernister är förresten generellt övertygade om att skulptur är ett objekt med uttrycksfull form och att det inte alls behöver vara en bild.

Hanteringen av oprecisa begrepp kräver alltså en viss försiktighet. Skulle det inte vara bättre att undvika dem helt och hållet?

Den tyske filosofen E. Husserl var benägen att kräva en sådan extrem rigoritet och precision av kunskap som inte ens finns i matematik. I samband med detta påminner Husserls biografer med ironi om en händelse som hände honom i barndomen. Han fick en pennkniv och beslutade sig för att göra bladet så vasst som möjligt och slipade det tills ingenting fanns kvar av bladet.

Mer exakta begrepp är att föredra framför oprecisa i många situationer. Den vanliga önskan att förtydliga de begrepp som används är ganska berättigad. Men det måste förstås ha sina gränser. Även i vetenskapens språk är en betydande del av begreppen felaktiga. Och detta är inte kopplat till individuella vetenskapsmäns subjektiva och slumpmässiga misstag, utan med själva naturvetenskaplig kunskap. I naturligt språk är oprecisa begrepp överväldigande; detta talar bland annat om hans flexibilitet och latenta styrka. Den som kräver yttersta precision av alla begrepp riskerar att stå utan språk helt och hållet. "Beröva orden all tvetydighet, all osäkerhet", skrev den franske estetikern J. Joubert, "förvandla dem ... till ensiffriga - spelet kommer att lämna tal, och med det vältalighet och poesi: allt som är rörligt och föränderligt i själens tillgivenheter, kan inte finna sitt uttryck. Men vad säger jag: beröva ... jag ska säga mer. Beröva ordet all felaktighet - och du kommer att förlora jämna axiom.

Under lång tid har både logiker och matematiker inte uppmärksammat svårigheterna i samband med luddiga begrepp och deras motsvarande uppsättningar. Frågan ställdes på följande sätt: begreppen måste vara precisa, och allt vaga är ovärdigt att seriöst intressera sig. Under de senaste decennierna har dock denna alltför strikta attityd tappat sin dragningskraft. Logiska teorier konstrueras som specifikt tar hänsyn till det unika med resonemang med felaktiga begrepp.

Den matematiska teorin om de så kallade fuzzy seten, otydligt definierade samlingar av objekt, utvecklas aktivt.

Analysen av problem med inexakthet är ett steg mot att föra logiken närmare det vanliga tänkandets praktik. Och vi kan anta att det kommer att ge många fler intressanta resultat.

Induktiv logiks paradoxer

Det finns kanske ingen del av logiken som inte har sina egna paradoxer.

Induktiv logik har sina egna paradoxer, som aktivt, men hittills utan större framgång, har bekämpats i nästan ett halvt sekel. Av särskilt intresse är bekräftelseparadoxen som upptäckts av den amerikanske filosofen K. Hempel. Det är naturligt att anse att allmänna påståenden, i synnerhet vetenskapliga lagar, bekräftas av sina positiva exempel. Om, säg, påståendet "Alla A är B" övervägs, kommer dess positiva exempel att vara objekt som har egenskaperna A och B. I synnerhet är stödexempel för påståendet "Alla korpar är svarta" objekt som är både korpar och svart. Detta påstående är dock liktydigt med påståendet "Allt som inte är svart är inte kråkor", och en bekräftelse på det senare måste också vara en bekräftelse på det förra. Men "Allt är inte svart är inte en kråka" bekräftas av varje fall av ett icke-svart föremål som inte är en kråka. Det visar sig därför att observationerna "Kon är vit", "Skorna är bruna" osv. bekräfta påståendet "Alla kråkor är svarta."

Ett oväntat paradoxalt resultat följer av till synes oskyldiga premisser.

I normernas logik orsakar ett antal av dess lagar oro. När de formuleras i meningsfulla termer blir deras inkonsekvens med de vanliga föreställningarna om rätt och fel uppenbar. Till exempel säger en av lagarna att från ordern "Skicka ett brev!" ordern ”Skicka brevet eller bränn det!” följer.

En annan lag säger att om en person har brutit mot en av sina plikter får han rätt att göra vad han vill. Vår logiska intuition vill inte stå ut med den här typen av "förpliktelselagar".

I kunskapens logik diskuteras paradoxen med logisk allvetenhet hårt. Han hävdar att en person känner till alla logiska konsekvenser som följer av de ståndpunkter han tar. Till exempel, om en person känner till de fem postulaten av Euklids geometri, då känner han till all denna geometri, eftersom den följer av dem. Men det är inte. En person kan hålla med postulaten och samtidigt inte kunna bevisa Pythagoras sats och därför tvivla på att den är generellt sann.

6. Vad är en logisk paradox

Det finns ingen uttömmande lista över logiska paradoxer, och det är omöjligt.

De övervägda paradoxerna är bara en del av alla de som hittills upptäckts. Det är troligt att många andra paradoxer kommer att upptäckas i framtiden, och till och med helt nya typer av dem. Själva begreppet paradox är inte så bestämt att det skulle vara möjligt att sammanställa en lista över åtminstone redan kända paradoxer.

"Mängdteoretiska paradoxer är ett mycket allvarligt problem, dock inte för matematik, utan snarare för logik och epistemologi", skriver den österrikiske matematikern och logikern K. Gödel. "Logiken är inkonsekvent. Det finns inga logiska paradoxer”, säger matematikern D. Bochvar. Sådana avvikelser är ibland betydande, ibland verbala. Poängen ligger till stor del i vad som exakt menas med en logisk paradox.

Det speciella med logiska paradoxer

En nödvändig egenskap hos logiska paradoxer är den logiska ordboken.

Paradoxer som är logiska måste formuleras i logiska termer. Men inom logiken finns det inga tydliga kriterier för att dela upp termer i logiska och icke-logiska. Logiken, som handlar om resonemangs riktighet, försöker reducera de begrepp som korrektheten av praktiskt tillämpade slutsatser beror på till ett minimum. Men detta minimum är inte entydigt förutbestämt. Dessutom kan icke-logiska påståenden också formuleras i logiska termer. Huruvida en viss paradox endast använder rent logiska premisser är långt ifrån alltid möjligt att entydigt avgöra.

Logiska paradoxer är inte strikt åtskilda från alla andra paradoxer, precis som de senare inte tydligt skiljer sig från allt icke-paradoxalt och överensstämmer med de rådande idéerna.

I början av studiet av logiska paradoxer verkade det som om de kunde särskiljas genom brott mot någon ännu outforskad position eller logikregel. Den onda cirkelprincipen som introducerades av B. Russell var särskilt aktiv för att hävda rollen som en sådan regel. Denna princip säger att en samling objekt inte kan innehålla medlemmar som endast definieras av samma samling.

Alla paradoxer har en sak gemensamt - självtillämpbarhet, eller cirkuläritet. I var och en av dem kännetecknas objektet i fråga av någon uppsättning objekt som det självt tillhör. Om vi ​​väljer ut till exempel den listigaste personen gör vi detta med hjälp av en population av människor som denna person tillhör. Och om vi säger: "Detta påstående är falskt", karakteriserar vi uttalandet av intresse för oss genom att hänvisa till helheten av alla falska påståenden som inkluderar den.

I alla paradoxer finns en självtillämpbarhet av begrepp, vilket innebär att det så att säga finns en rörelse i en cirkel, som i slutet leder till utgångspunkten. I ett försök att karakterisera föremålet av intresse för oss, vänder vi oss till den uppsättning föremål som inkluderar det. Emellertid visar det sig att den, för sin bestämdhet, själv behöver föremålet under övervägande och inte klart kan förstås utan det. I denna cirkel ligger kanske källan till paradoxer.

Situationen kompliceras dock av att en sådan cirkel finns i många helt icke-paradoxala argument. Cirkulär är en stor variation av de vanligaste, ofarliga och samtidigt bekväma uttryckssätten. Sådana exempel som "den största av alla städer", "det minsta av alla naturliga tal", "en av järnatomens elektroner", etc., visar att inte alla fall av självtillämpbarhet leder till en motsägelse och att det är viktigt inte bara i vanligt språk, utan också i vetenskapens språk.

Enbart en hänvisning till användningen av självtillämpliga begrepp är alltså otillräcklig för att misskreditera paradoxer. Det behövs några ytterligare kriterium för att separera självtillämplighet, vilket leder till en paradox, från alla andra fall av den.

Det har funnits många förslag om detta, men inget framgångsrikt förtydligande av cirkulariteten har hittats. Det visade sig vara omöjligt att karakterisera cirkularitet på ett sådant sätt att varje cirkelresonemang leder till en paradox, och varje paradox är resultatet av något cirkelresonemang.

Ett försök att hitta någon specifik logikprincip, vars kränkning skulle vara ett utmärkande drag för alla logiska paradoxer, ledde inte till något definitivt.

Någon sorts klassificering av paradoxer skulle utan tvekan vara användbar genom att dela in dem i typer och typer, gruppera vissa paradoxer och ställa dem mot andra. Inget hållbart har dock uppnåtts i detta fall heller.

Den engelske logikern F. Ramsey, som dog 1930, när han ännu inte var tjugosju år gammal, föreslog att dela upp alla paradoxer i syntaktiska och semantiska. Den första inkluderar till exempel Russells paradox, den andra - paradoxerna för "Lögnaren", Grelling, etc.

Enligt Ramsey innehåller den första gruppens paradoxer endast begrepp som hör till logik eller matematik. De senare inkluderar sådana begrepp som "sanning", "definierbarhet", "namngivning", "språk", som inte är strikt matematiska, utan snarare relaterade till lingvistik eller till och med kunskapsteorin. Semantiska paradoxer verkar inte bero på något fel i logiken, utan på vagheten eller tvetydigheten hos vissa icke-logiska begrepp, därför rör de problem de ställer språket och måste lösas av lingvistik.

Det verkade för Ramsey som om matematiker och logiker inte behöver vara intresserade av semantiska paradoxer. Senare visade det sig dock att några av den moderna logikens mest betydande resultat erhölls just i samband med en djupare studie av just dessa icke-logiska paradoxer.

Den uppdelning av paradoxer som Ramsey föreslagit användes i stor utsträckning till en början och har en viss betydelse även nu. Samtidigt blir det allt tydligare att denna uppdelning är ganska vag och i första hand bygger på exempel, och inte på en djupgående jämförande analys av de två grupperna av paradoxer. Semantiska begrepp är nu väldefinierade, och det är svårt att inte inse att dessa begrepp verkligen är logiska. Med utvecklingen av semantiken, som definierar dess grundläggande begrepp i termer av mängdteorin, blir den distinktion som Ramsey gjort alltmer suddig.

Paradoxer och modern logik

Vilka slutsatser för logik följer av förekomsten av paradoxer?

Först och främst talar närvaron av ett stort antal paradoxer om logikens styrka som vetenskap, och inte om dess svaghet, som det kan tyckas.

Det var ingen slump att upptäckten av paradoxer sammanföll med perioden av den mest intensiva utvecklingen av modern logik och dess största framgångar.

De första paradoxerna upptäcktes redan innan logikens uppkomst som en speciell vetenskap. Många paradoxer upptäcktes under medeltiden. Senare visade de sig dock vara bortglömda och återupptäcktes redan i vårt århundrade.

Medeltida logiker var inte medvetna om begreppen "uppsättning" och "element av uppsättningen", som introducerades i vetenskapen först under andra hälften av 1800-talet. Men känslan för paradoxer finslipades på medeltiden i en sådan utsträckning att redan vid den tidiga tiden uttrycktes vissa farhågor om självtillämpliga begrepp. Det enklaste exemplet på detta är föreställningen om att "vara sitt eget element" som förekommer i många av dagens paradoxer.

Men sådana farhågor, liksom alla varningar om paradoxer i allmänhet, var inte systematiska och bestämda förrän i vårt århundrade. De ledde inte till några tydliga förslag om att se över invanda sätt att tänka och uttrycka.

Endast modern logik har tagit själva problemet med paradoxer ur glömskan, upptäckt eller återupptäckt de flesta av de specifika logiska paradoxerna. Hon visade vidare att de sätt att tänka traditionellt utforskade av logik är helt otillräckliga för att eliminera paradoxer, och angav i grunden nya metoder för att hantera dem.

Paradoxer ställer en viktig fråga: var sviker faktiskt några av de vanliga metoderna för begreppsbildning och resonemang oss? De verkade trots allt helt naturliga och övertygande, tills det visade sig att de var paradoxala.

Paradoxer undergräver tron ​​att de vanliga metoderna för teoretiskt tänkande i sig själva och utan någon speciell kontroll över dem ger ett tillförlitligt framsteg mot sanningen.

Paradoxer kräver en radikal förändring av en alltför godtrogen syn på teoretisering, och paradoxer är en hård kritik av logiken i dess naiva, intuitiva form. De spelar rollen som en faktor som styr och sätter begränsningar för sättet att konstruera deduktiva logiska system. Och denna roll för dem kan jämföras med rollen av ett experiment som testar riktigheten av hypoteser inom sådana vetenskaper som fysik och kemi, och tvingar dem att göra ändringar i dessa hypoteser.

En paradox i en teori talar om oförenligheten av de antaganden som ligger bakom den. Det fungerar som ett snabbt upptäckt symptom på sjukdomen, utan vilket det kunde ha förbisetts.

Naturligtvis visar sjukdomen sig på många sätt, och i slutändan är det möjligt att avslöja den utan så akuta symtom som paradoxer. Till exempel skulle grunderna för mängdteorin analyseras och förfinas även om inga paradoxer i detta område upptäcks. Men det skulle inte ha funnits den skärpa och brådska med vilken paradoxerna som upptäcktes i den väckte problemet med att revidera mängdteorin.

En omfattande litteratur ägnas åt paradoxer, ett stort antal av deras förklaringar har föreslagits. Men ingen av dessa förklaringar är allmänt accepterade, och det finns ingen fullständig överenskommelse om ursprunget till paradoxer och hur man kan bli av med dem.

"Under de senaste sextio åren har hundratals böcker och artiklar ägnats åt målet att lösa paradoxer, men resultaten är otroligt dåliga i jämförelse med de ansträngningar som lagts ner", skriver A. Frenkel. "Det ser ut som", avslutar H. Curry sin analys av paradoxerna, "att en fullständig reformering av logiken krävs, och matematisk logik kan bli det viktigaste verktyget för att genomföra denna reform."

Eliminering och förklaring av paradoxer

En viktig skillnad bör noteras.

Att eliminera paradoxer och lösa dem är inte samma sak. Att ta bort en paradox från en viss teori innebär att omstrukturera den på ett sådant sätt att det paradoxala påståendet visar sig vara obevisbart i den. Varje paradox bygger på ett stort antal definitioner, antaganden och argument. Hans slutsats i teorin är en viss kedja av resonemang. Formellt sett kan man ifrågasätta vilken som helst av dess länkar, kassera den och därmed bryta kedjan och eliminera paradoxen. I många verk görs detta och begränsas till detta.

Men detta är ännu inte lösningen på paradoxen. Det räcker inte att hitta ett sätt att utesluta det, man måste på ett övertygande sätt motivera den föreslagna lösningen. Själva tvivel om något steg som leder till en paradox måste vara välgrundad.

Först och främst måste beslutet att överge några logiska medel som används för att härleda ett paradoxalt påstående vara kopplat till våra allmänna överväganden om karaktären av logiska bevis och andra logiska intuitioner. Om så inte är fallet visar sig elimineringen av paradoxen sakna solida och stabila grunder och urartar till en övervägande teknisk uppgift.

Dessutom garanterar förkastandet av vissa antaganden, även om det ger eliminering av någon speciell paradox, inte automatiskt elimineringen av alla paradoxer. Detta talar för att paradoxer inte bör "jagas" en efter en. Uteslutningen av en av dem bör alltid vara så motiverad att det finns en viss garanti för att andra paradoxer kommer att elimineras i samma steg.

Varje gång en paradox upptäcks, skriver A. Tarsky, "måste vi utsätta vårt sätt att tänka för en grundlig revidering, förkasta några antaganden som vi trodde på och förbättra de argumentationsmetoder som vi använde. Vi gör detta i ett försök att inte bara bli av med antinomier, utan också för att förhindra uppkomsten av nya.

Och slutligen kan ett ogenomtänkt och slarvigt förkastande av för många eller för starka antaganden helt enkelt leda till att även om den inte innehåller paradoxer så kommer det att visa sig vara en mycket svagare teori som bara har ett särskilt intresse.

Vad kan vara den minsta, minst radikala uppsättningen av åtgärder för att undvika kända paradoxer?

Logisk grammatik

Ett sätt är att tillsammans med sanna och falska meningar peka ut även meningslösa meningar. Denna väg antogs av B. Russell. Paradoxala resonemang förklarades av honom vara meningslösa med motiveringen att de bröt mot kraven på logisk grammatik. Inte varje mening som inte bryter mot reglerna för vanlig grammatik är meningsfull – den måste också uppfylla reglerna för en speciell, logisk grammatik.

Russell byggde upp en teori om logiska typer, ett slags logisk grammatik, vars uppgift var att eliminera alla kända antinomier. Därefter förenklades denna teori avsevärt och kallades den enkla teorin om typer.

Huvudidén med teorin om typer är tilldelningen av logiskt olika typer av objekt, införandet av en sorts hierarki, eller stege, av de föremål som övervägs. Den lägsta, eller noll, typen inkluderar enskilda objekt som inte är uppsättningar. Den första typen inkluderar uppsättningar av objekt av nolltyp, dvs. individer; till den andra - uppsättningar av uppsättningar av individer, etc. Man skiljer med andra ord på objekt, objekts egenskaper, objekts egenskaper osv. Samtidigt införs vissa restriktioner för konstruktionen av förslag. Egenskaper kan tillskrivas objekt, egenskaper hos egenskaper till egenskaper och så vidare. Men det är omöjligt att på ett meningsfullt sätt hävda att objekt har egenskaper av egenskaper.

Låt oss ta en rad förslag:

Det här huset är rött.

Rött är en färg.

Färg är ett optiskt fenomen.

I dessa meningar betecknar uttrycket "det här huset" ett visst objekt, ordet "rött" indikerar egenskapen som är inneboende i detta objekt, "att vara en färg" - till egenskapen för denna fastighet ("att vara röd") och " att vara ett optiskt fenomen" - indikerar egenskapen för egenskapen "vara en färg" som tillhör egenskapen "vara röd". Här har vi inte bara att göra med objekt och deras egenskaper, utan också med egenskaperna hos egenskaper ("egenskapen att vara röd har egenskapen att vara en färg") och till och med med egenskaperna hos egenskaper hos egenskaper.

Alla tre meningarna från ovanstående serie är naturligtvis meningsfulla. De är byggda i enlighet med typteorins krav. Och låt oss säga att meningen "Det här huset är en färg" bryter mot dessa krav. Den tillskriver ett objekt den egenskap som endast kan tillhöra egenskaper, men inte till objekt. En liknande kränkning finns i meningen "Detta hus är ett optiskt fenomen." Båda dessa förslag måste klassas som meningslösa.

En enkel teori om typer eliminerar Russells paradox. Men för att eliminera paradoxerna med Liar and Berry, räcker det inte längre att bara dela in föremålen som övervägs i typer. Det är nödvändigt att införa ytterligare beställning inom själva typerna.

Eliminering av paradoxer kan också uppnås genom att undvika användningen av för stora uppsättningar, liknande uppsättningen av alla uppsättningar. Denna väg föreslogs av den tyske matematikern E. Zermelo, som kopplade uppkomsten av paradoxer med den obegränsade konstruktionen av uppsättningar. De tillåtna mängderna definierades av honom av någon lista av axiom formulerade på ett sådant sätt att kända paradoxer inte skulle kunna härledas från dem. Samtidigt var dessa axiom starka nog att från dem härleda den klassiska matematikens vanliga argument, men utan paradoxer.

Varken dessa två eller de andra föreslagna sätten att eliminera paradoxer är allmänt accepterade. Det finns ingen vanlig uppfattning att någon av de föreslagna teorierna löser logiska paradoxer och inte bara förkastar dem utan djupgående förklaringar. Problemet med att förklara paradoxer är fortfarande öppet och fortfarande viktigt.

Paradoxernas framtid

G. Frege, förra seklets största logiker, hade tyvärr en mycket dålig karaktär. Dessutom var han oreserverad och till och med grym mot sin kritik av sin samtid.

Kanske var det därför som hans bidrag till matematikens logik och grund inte fick erkännande på länge. Och när berömmelse började komma till honom skrev den unge engelske logikern B. Russell till honom att en motsägelse uppstår i systemet som publicerades i första volymen av hans bok The Fundamental Laws of Arithmetic. Den andra volymen av denna bok var redan i tryck, och Frege kunde bara lägga till en speciell bilaga till den, där han beskrev denna motsägelse (senare kallad "Russells paradox") och medgav att han inte kunde eliminera den.

Konsekvenserna av detta erkännande var dock tragiska för Frege. Han upplevde den största chock. Och även om han då bara var 55 år, publicerade han inte ett annat betydande verk om logik, även om han levde i mer än tjugo år. Han reagerade inte ens på den livliga diskussion som skapades av Russells paradox och reagerade inte på något sätt på de många föreslagna lösningarna på denna paradox.

Det intryck som de nyupptäckta paradoxerna gjorde på matematiker och logiker uttrycktes väl av D. Hilbert: ”... Det tillstånd vi nu befinner oss i i förhållande till paradoxer är outhärdligt länge. Tänk på det: i matematiken - den modellen av säkerhet och sanning - leder bildandet av begrepp och slutledningarnas förlopp, eftersom alla studerar, lär ut och tillämpar dem, till absurditet. Var ska man leta efter tillförlitlighet och sanning, om till och med det matematiska tänkandet i sig själv slår fel?

Frege var en typisk representant för det sena artonhundratalets logik, fri från alla slags paradoxer, logik, säker på sina förmågor och påstod sig vara ett kriterium för stränghet även för matematik. Paradoxerna visade att den absoluta stränghet som uppnåddes av förment logik inte var något annat än en illusion. De visade onekligen att logiken - i den intuitiva form som den hade vid sekelskiftet - behöver en djupgående revidering.

Ungefär ett sekel har gått sedan den livliga diskussionen om paradoxer började. Den genomförda revisionen av logiken ledde dock inte till deras entydiga lösning.

Och samtidigt är ett sådant tillstånd knappast angeläget för någon idag. Med tiden har attityden till paradoxer blivit lugnare och ännu mer tolerant än när de upptäcktes. Det är inte bara så att paradoxer har blivit något bekant. Och, naturligtvis, inte för att de står ut med dem. De är fortfarande i centrum för logiker, sökandet efter deras lösningar fortsätter aktivt. Situationen förändrades främst på grund av att paradoxerna visade sig vara så att säga lokaliserade. De har hittat sin bestämda, om än oroliga, plats i en lång rad logiska studier. Det blev tydligt att absolut åtstramning, som den framställdes i slutet av förra seklet och även ibland i början av detta århundrade, i princip är ett ouppnåeligt ideal.

Man insåg också att det inte finns något enskilt problem med paradoxer som står ensamt. Problemen förknippade med dem är av olika slag och påverkar i själva verket alla logikens huvudsektioner. Upptäckten av en paradox tvingar oss att analysera våra logiska intuitioner djupare och engagera oss i en systematisk omarbetning av grunderna för logikens vetenskap. Samtidigt är önskan att undvika paradoxer varken den enda, eller ens kanske, huvuduppgiften. Även om de är viktiga är de bara ett tillfälle för reflektion över logikens centrala teman. Om man fortsätter med jämförelsen av paradoxer med särskilt uttalade symtom på sjukdomen, kan man säga att önskan att omedelbart eliminera paradoxer skulle vara som en önskan att ta bort sådana symtom utan större oro för själva sjukdomen. Vad som krävs är inte bara lösningen av paradoxer, utan deras förklaring, vilket fördjupar vår förståelse av de logiska tankemönstren.

7. Några paradoxer, eller vad som ser ut som dem

Och för att avsluta denna korta diskussion om logiska paradoxer, här är några problem som läsaren kommer att ha nytta av att begrunda. Det är nödvändigt att avgöra om de uttalanden och resonemang som ges verkligen är logiska paradoxer eller bara verkar vara det. För att göra detta bör man uppenbarligen på något sätt omstrukturera källmaterialet och försöka härleda en motsägelse ur det: både bekräftelsen och förnekandet av samma sak om samma sak. Om en paradox hittas kan du tänka på vad som orsakar dess förekomst och hur man eliminerar den. Man kan till och med försöka komma på en egen paradox av samma typ, d.v.s. byggd enligt samma schema, men på grundval av andra koncept.

1. Den som säger: "Jag vet ingenting" gör ett till synes paradoxalt, självmotsägande uttalande. Han säger i huvudsak "Jag vet att jag inte vet någonting." Men vetskapen om att det inte finns någon kunskap är fortfarande kunskap. Detta innebär att talaren å ena sidan försäkrar att han inte har någon kunskap, och å andra sidan säger han genom själva påståendet att han har viss kunskap. Vad är det här?

När man reflekterar över denna svårighet kan man komma ihåg att Sokrates uttryckte en liknande idé mer noggrant. Han sa: "Jag vet bara att jag inte vet någonting." Å andra sidan hävdade en annan forntida grek, Metrodorus, med fullständig övertygelse: "Jag vet ingenting och jag vet inte ens att jag inte vet någonting." Finns det en paradox i detta uttalande?

2. Historiska händelser är unika. Historien, om den upprepar sig, är, enligt ett välkänt uttryck, första gången som en tragedi, och andra gången som en fars. Ur det unika med historiska händelser härleds ibland tanken att historien inte lär något. "Kanske historiens största lärdom", skriver O. Huxley, "ligger egentligen i det faktum att ingen någonsin har lärt sig något av historien."

Det är osannolikt att denna idé är korrekt. Det förflutna är just det som studeras främst för att bättre förstå nuet och framtiden. En annan sak är att "lärdomarna" från det förflutna, som regel, är tvetydiga.

Är inte tron ​​på att historien inte lär något självmotsägande? När allt kommer omkring följer det självt av historien som en av dess lärdomar. Vore det inte bättre för förespråkarna för denna idé att formulera den på ett sådant sätt att den inte gäller dem själva: "Historien lär ut det enda - ingenting kan läras av den", eller "Historien lär ingenting annat än denna läxa av henne"?

3. "Bevisat att det inte finns några bevis." Detta tycks vara ett självmotsägande uttalande: det är ett bevis, eller förutsätter ett bevis som redan gjorts ("det har bevisats att..."), och hävdar samtidigt att det inte finns några bevis.

Den välkände forntida skeptikern Sextus Empiricus föreslog följande lösning: istället för ovanstående uttalande, acceptera påståendet "Det har bevisats att det inte finns något annat bevis än detta" (eller: "Det har bevisats att det inte finns något bevisat annat än det här"). Men är inte denna väg ut illusorisk? När allt kommer omkring påstås det i huvudsak att det bara finns ett och enda bevis - beviset för att det inte finns några bevis ("There is one and only proof: the proof that there are no other proofs"). Hur fungerar då själva beviset, om det, att döma av detta påstående, bara var möjligt att utföra det en gång? Sextus egen uppfattning om bevisvärdet var i alla fall inte särskilt hög. Han skrev särskilt: "Precis som de som gör utan bevis har rätt, så har de som, eftersom de är benägna att tvivla, ogrundat framför den motsatta åsikten."

4. "Inget påstående är negativt", eller mer enkelt: "Det finns inga negativa påståenden." Detta uttryck i sig är dock ett påstående och är just negativt. Det verkar som en paradox. Vilken omformulering av detta uttalande skulle kunna undvika paradoxen?

Den medeltida filosofen och logikern Zh. Åsnan, som alla andra djur, strävar efter att välja det bästa av två saker. De två armarna är helt omöjliga att skilja från varandra, och därför kan han inte föredra någon av dem. Denna "buridan åsna" finns dock inte i Buridans skrifter. Inom logiken är Buridan välkänd, och i synnerhet för sin bok om sofismer. Den innehåller följande slutsats, relevant för vårt ämne: inget påstående är negativt; därför finns det ett negativt förslag. Är denna slutsats motiverad?

5. N.V. Gogols beskrivning av Chichikovs pjässpel med Nozdrev är välkänd. Deras spel tog aldrig slut, Chichikov märkte att Nozdryov fuskade och vägrade spela av rädsla för att förlora. Nyligen rekonstruerade en utkastspecialist från kommentarer från de som spelade spelets gång och visade att Chichikovs position ännu inte var hopplös.

Låt oss anta att Chichikov ändå fortsatte spelet och till slut vann spelet, trots sin partners knep. Enligt avtalet var förloraren Nozdryov tvungen att ge Chichikov femtio rubel och "någon medelklassvalp eller ett guldsignet för en klocka". Men Nozdryov skulle med största sannolikhet vägra att betala, och påpekade att han själv fuskade hela spelet, och att inte spela efter reglerna är så att säga inget spel. Chichikov kan ha invänt att det inte är på sin plats att prata om bedrägeri här: förloraren själv fuskade, vilket innebär att han måste betala desto mer.

Visst, skulle Nozdryov behöva betala i en sådan situation eller inte? Å ena sidan, ja, för att han förlorade. Men å andra sidan, nej, eftersom ett spel som inte följer reglerna inte alls är ett spel; Det kan inte finnas någon vinnare eller förlorare i ett sådant "spel". Om Chichikov själv hade fuskat hade Nozdryov naturligtvis inte varit skyldig att betala. Men det var dock förloraren Nozdryov som fuskade ...

Något paradoxalt känns här: "å ena sidan ...", "å andra sidan ...", och dessutom är det på båda sidor lika övertygande, även om dessa sidor är oförenliga.

Ska Nozdryov fortfarande betala eller inte?

6. "Varje regel har undantag." Men detta uttalande är i sig en regel. Som alla andra regler måste den ha undantag. Ett sådant undantag skulle uppenbarligen vara regeln "Det finns regler som inte har några undantag." Finns det inte en paradox i allt? Vilket av de föregående exemplen liknar dessa två regler? Är det tillåtet att resonera så här: varje regel har undantag; Betyder det att det finns regler utan undantag?

7. "Varje generalisering är fel." Det är tydligt att detta uttalande sammanfattar upplevelsen av generaliseringens mentala funktion och i sig är en generalisering. Som alla andra generaliseringar måste det vara fel. Så det måste finnas riktiga generaliseringar. Men är det korrekt att argumentera så här: varje generalisering är fel, därför finns det sanna generaliseringar?

8. En viss författare har komponerat en "Epitaf till alla genrer" utformad för att bevisa att de litterära genrerna, skillnaden mellan vilka orsakade så mycket kontrovers, är döda och inte kan komma ihåg.

Men epitafiet är under tiden också en genre på ett visst sätt, genren gravstensinskriptioner, som utvecklades i antiken och kom in i litteraturen som ett slags epigram:

Här vilar jag: Jimmy Hogg.
Må Gud förlåta mig mina synder,
Vad skulle jag göra om jag var Gud
Och han är den bortgångne Jimmy Hogg.

Så epitafiet till alla genrer, utan undantag, syndar som med inkonsekvens. Vad är det bästa sättet att omformulera det?

9. "Säg aldrig aldrig." Genom att förbjuda användningen av ordet "aldrig", måste du använda detta ord två gånger!

Detsamma tycks vara fallet med rådet: "Det är dags för de som säger 'det är dags' att säga något annat än 'det är dags'."

Finns det en speciell inkonsekvens i sådana råd, och kan de undvikas?

10. I dikten "Tro inte", publicerad, naturligtvis, i avsnittet "Ironisk poesi", rekommenderar dess författare att inte tro på någonting:

... Tro inte på eldens magiska kraft:
Det brinner medan ved placeras i den.
Tro inte på den gyllene manade hästen
Inte för någon söt pepparkaka!
Tro inte att stjärnflockar
Rusar i en oändlig virvelvind.
Men vad blir det kvar åt dig då?
Tro inte vad jag sa.
Tro inte.

(V. Prudovsky)

Men är denna allmänna misstro verklig? Tydligen är det motsägelsefullt och därför logiskt omöjligt.

11. Antag att det, i motsats till vad man tror, ​​fortfarande finns ointressanta människor. Låt oss samla dem mentalt och välja bland dem den minsta i höjd, eller den största i vikt, eller någon annan "mest ...". Den här personen skulle vara intressant att titta på, så vi inkluderade honom i onödan i listan över ointressanta. Efter att ha uteslutit det, kommer vi återigen att finna bland de återstående "själv..." i samma mening, och så vidare. Och allt detta tills det bara finns en person kvar utan någon att jämföra med. Men det visar sig att det är just detta han är intresserad av! Som ett resultat kommer vi till slutsatsen att det inte finns några ointressanta personer. Och argumentet började med att sådana människor finns.

Man kan i synnerhet försöka hitta bland de ointressanta personerna det mest ointressanta av allt det ointressanta. I detta kommer han utan tvekan att vara intressant, och han måste uteslutas från ointressanta människor. Bland resten återigen finns det minst intressanta, och så vidare.

Det finns definitivt en touch av paradox i dessa argument. Finns det ett fel här, och i så fall vad är det?

12. Låt oss säga att du fick ett tomt pappersark och instruerades att beskriva detta ark på det. Du skriver: det här är ett rektangulärt ark, vitt, av sådana och sådana dimensioner, tillverkat av pressade träfibrer, etc.

Beskrivningen verkar vara komplett. Men den är helt klart ofullständig! Under beskrivningsprocessen ändrades objektet: text dök upp på det. Därför är det också nödvändigt att lägga till beskrivningen: och dessutom är det skrivet på detta pappersark: det här är ett ark med rektangulär form, vit ... etc. till oändligheten.

Det verkar som en paradox här, eller hur?

Ett välkänt barnrim:

Prästen hade en hund
Han älskade henne
Hon åt en köttbit
Han dödade henne.
Dödad och begravd
Och på tavlan skrev han:
"Prästen hade en hund..."

Skulle denna hundälskande pop någonsin kunna avsluta sin gravsten? Liknar inte sammansättningen av denna inskription den fullständiga beskrivningen av ett pappersark på sig själv?

13. En författare ger detta "subtila" råd: "Om små knep inte tillåter dig att uppnå det du vill, ta till stora knep." Detta råd ges under rubriken "Knep". Men är han verkligen ett av dessa knep? När allt kommer omkring hjälper "små knep" inte, och bara av denna anledning måste du tillgripa detta råd.

14. Vi kallar ett spel normalt om det slutar med ett begränsat antal drag. Exempel på vanliga spel är schack, dam, domino: dessa partier slutar alltid antingen med seger för en av parterna eller oavgjort. Spelet, som inte är normalt, fortsätter på obestämd tid utan något resultat. Låt oss också introducera begreppet superspel: det första draget i ett sådant spel är att bestämma vilket spel som ska spelas. Om du och jag till exempel tänker spela ett superspel och jag äger det första draget, kan jag säga: "Låt oss spela schack." Sedan gör du som svar det första draget i schackspelet, säg e2 - e4, och vi fortsätter spelet tills det tar slut (särskilt på grund av utgången av den tid som tilldelats av turneringsbestämmelserna). Som mitt första drag kan jag tipsa om att spela tic-tac-toe och liknande. Men spelet jag väljer måste vara normalt; du kan inte välja ett spel som inte är normalt.

Ett problem uppstår: är superspelet i sig normalt eller inte? Låt oss anta att detta är ett normalt spel. Eftersom det kan välja vilket som helst av de vanliga spelen som sitt första drag, kan jag säga: "Låt oss spela superspelet." Efter det har superspelet börjat, och nästa drag i det är ditt. Du har rätt att säga: "Låt oss spela ett superspel." Jag kan upprepa: "Let's play the super game" och därmed kan processen fortsätta i det oändliga. Därför gäller inte superspelet för vanliga spel. Men på grund av att superspelet inte är normalt kan jag inte föreslå ett superspel med mitt första drag i superspelet; Jag måste välja det vanliga spelet. Men valet av ett normalt spel som har ett slut motsäger det bevisade faktum att superspelet inte tillhör de normala.

Så, är superspelet ett normalt spel eller inte?

När man försöker svara på denna fråga bör man naturligtvis inte följa den lätta vägen med rent verbala distinktioner. Det enklaste sättet är att säga att ett vanligt spel är ett spel, och ett superspel är bara ett spratt.

Vilka andra paradoxer påminner denna paradox med att superspelet är både normalt och onormalt på samma gång?

Litteratur

Bayif J.K. Logiska uppgifter. - M., 1983.

Bourbaki N. Uppsatser om matematikens historia. - M., 1963.

Gardner M. Kom igen gissa! – M.: 1984.

Ivin A.A. Enligt logikens lagar. - M., 1983.

Klini S.K. Matematisk logik. - M., 1973.

Smallian R.M. Vad heter den här boken? – M.: 1982.

Smallian R.M. Prinsessa eller tiger? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Mängdlärans grunder. - M., 1966.

testfrågor

Vilken betydelse har paradoxer för logiken?

Vilka lösningar föreslogs för lögnarparadoxen?

Vilka egenskaper har ett semantiskt slutet språk?

Vad är kärnan i paradoxen i många vanliga uppsättningar?

Finns det en lösning på tvisten mellan Protagoras och Euathlus? Vilka lösningar föreslogs för denna tvist?

Vad är kärnan i paradoxen med inexakta namn?

Vad kan vara det speciella med logiska paradoxer?

Vilka slutsatser för logik följer av existensen av logiska paradoxer?

Vad är skillnaden mellan att eliminera och förklara en paradox? Hur ser framtiden ut för logiska paradoxer?

Ämnen för abstracts och rapporter

Begreppet en logisk paradox

Lögnarparadoxen

Russells paradox

Paradox "Protagoras och Euathlus"

Paradoxernas roll i utvecklingen av logik

Utsikter för att lösa paradoxer

Skillnad mellan språk och metaspråk

Eliminering och lösning av paradoxer

Det är känt att det ofta är viktigare och svårare att formulera ett problem än att lösa det. ”Inom vetenskapen”, skrev den engelske kemisten F. Soddy, ”är ett korrekt ställt problem mer än hälften löst. Den mentala förberedelseprocess som krävs för att ta reda på att det finns en viss uppgift tar ofta längre tid än själva uppgiften.

De former i vilka problemsituationen manifesteras och förverkligas är mycket olika. Långt ifrån alltid avslöjar det sig i form av en direkt fråga som uppstod redan i början av studien. Problemens värld är lika komplex som kognitionsprocessen som genererar dem. Att identifiera problem är kärnan i kreativt tänkande. Paradoxer är det mest intressanta fallet med implicita, ifrågasättande sätt att ställa problem. Paradoxerär vanliga i de tidiga stadierna av utvecklingen av vetenskapliga teorier, när de första stegen tas i ett ännu outforskat område och de mest allmänna principerna för förhållningssätt till det trevas.

I vidare mening paradox - denna ståndpunkt står i skarp strid med allmänt accepterade, etablerade, ortodoxa åsikter. "Allmänt accepterade åsikter och vad som anses vara en fråga om ett långsiktigt beslut, förtjänar oftast forskning" (G. Lichtenberg). Paradox är början på sådan forskning.

Paradox i en snävare och mer speciell mening - de är två motsatta, oförenliga påståenden, för var och en av vilka det finns till synes övertygande argument.

Den mest extrema formen av paradoxen är antinomi, ett argument som bevisar likvärdigheten mellan två påståenden, varav det ena är negationen av det andra.

Paradoxer är särskilt kända inom de mest rigorösa och exakta vetenskaperna - matematik och logik. Och det är ingen slump.

Logik är en abstrakt spindel. Det finns inga experiment i det, inte ens fakta i ordets vanliga bemärkelse. Genom att bygga sina system utgår logiken i slutändan från analysen av verkligt tänkande. Enligt resultaten av denna analys är syntetiska, odifferentierade. De är inte uttalanden om några separata processer eller händelser som teorin ska förklara. Uppenbarligen kan en sådan analys inte kallas en observation: ett konkret fenomen observeras alltid.

Genom att konstruera en ny teori, utgår vetenskapsmannen vanligtvis från fakta, från vad som kan observeras i experimentet. Hur fri hans kreativa fantasi än må vara, måste den räkna med en oumbärlig omständighet: en teori är meningsfull endast om den överensstämmer med fakta som hör till den. En teori som inte håller med fakta och observationer är långsökt och har inget värde.

Men om det inte finns några experiment i logik, inga fakta och ingen iakttagelse i sig, vad håller då tillbaka logisk fantasi? Vilka faktorer, om inte fakta, beaktas när man skapar nya logiska teorier?

Diskrepansen mellan logisk teori och praktiken av verkligt tänkande avslöjas ofta i form av en mer eller mindre akut logisk paradox, och ibland även i form av en logisk antinomi, som talar om teorins inre inkonsekvens. Detta förklarar bara vikten som tillmäts paradoxer i logik, och den stora uppmärksamhet som de åtnjuter i den.

"Kungen av logiska paradoxer"

Den mest kända och kanske mest intressanta av alla logiska paradoxer är lögnarparadoxen. Det var han som förhärligade namnet Eubulides från Miletos som upptäckte det.

Det finns varianter av denna paradox, eller antinomi, av vilka många är paradoxala endast till utseendet.

I den enklaste versionen av "Liar" säger en person bara en fras: "Jag ljuger." Eller så säger han: "Det uttalande jag nu gör är falskt." Eller: "Detta påstående är falskt."

Om påståendet är falskt sa talaren sanningen, och därför är det han sa inte en lögn. Om påståendet inte är falskt, och talaren hävdar att det är falskt, så är detta påstående falskt. Det visar sig därför att om talaren ljuger så talar han sanning och vice versa.

På medeltiden var följande formulering vanlig:

• – Det Platon sa är falskt, säger Sokrates.
• "Det Sokrates sa är sanningen", säger Platon. Frågan uppstår, vem av dem uttrycker sanningen och vilken är en lögn?

Och här är en modern paradox av denna paradox. Låt oss anta att endast orden skrivs på framsidan av kortet: "Ett sant uttalande är skrivet på andra sidan av detta kort." Det är tydligt att dessa ord representerar ett meningsfullt uttalande. Om vi ​​vänder på kortet måste vi antingen hitta det utlovade uttalandet, eller så finns det inte där. Om det står skrivet på baksidan så är det antingen sant eller inte. På baksidan står dock orden: "Det finns en falsk uppgift skriven på andra sidan av det här kortet" - och inget mer. Antag att påståendet på framsidan är sant. Då måste påståendet på baksidan vara sant, och därför måste påståendet på framsidan vara falskt. Men om påståendet på framsidan är falskt måste påståendet på baksidan också vara falskt, och därför måste påståendet på framsidan vara sant. Resultatet är en paradox.

Lögnarparadoxen gjorde ett stort intryck på grekerna. Och det är lätt att förstå varför. Frågan som det ställer vid första anblicken verkar ganska enkel: är han en lögnare som bara säger att han ljuger? Men svaret "ja" leder till svaret "nej", och vice versa. Och eftertanke klargör inte alls situationen. Bakom frågans enkelhet och till och med rutin avslöjar den ett dunkelt och omätligt djup.

Det finns till och med en legend om att en viss Filit Kossky, desperat att lösa denna paradox, begick självmord. Det sägs också att en av de berömda antika grekiska logikerna, Diodorus Kronos, redan under sina nedåtgående år, lovade att inte äta förrän han hittade lösningen på "Lögnaren", och snart dog, efter att ha uppnått ingenting.

På medeltiden hänvisades denna paradox till de så kallade oavgörbara meningarna och blev föremål för systematisk analys.

Och under lång tid väckte "Liar" ingen uppmärksamhet på länge. De såg inga, inte ens mindre, svårigheter när det gäller användningen av språket. Och först i vår, så kallade moderna tid, har logikens utveckling äntligen nått en nivå då det blev möjligt att strikt formulera de problem som tycks ligga bakom denna paradox.

Nu kallas "Liar" - denna typiska forna sofism - ofta till som kungen av logiska paradoxer. En omfattande vetenskaplig litteratur ägnas åt honom. Och ändå, som i fallet med många andra paradoxer, är det fortfarande inte helt klart vilka problem som ligger bakom och hur man kan bli av med det.